Transcript
Funda¸c˜ ao Centro de Ciˆ encias e Educa¸ca ˜o Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educa¸ca ˜o Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro 3o EP
2013/1
E. A. Real
Semana 3 - Notas de Aula 2 e 3
Exerc´ıcio 1 Considere o conjunto C = (a) inf C = 2/5,
Vers˜ ao Aluno
Coord.: H. Clark & C. Vinagre
{ 2n } ; n ∈ N . Mostre que: 3n + 2
(b) sup C = 2/3.
♢ Prel´ udio 1 Seja A ⊂ R um conjunto limitado e n˜ao vazio. Como R possui a propriedade do supremo ent˜ao os n´ umeros reais sup A e inf A existem. Por defini¸c˜ao, sup A ´e a menor das cotas superiores de A. Ent˜ao dado um n´ umero real α, sup A ≤ α se, e somente se, α ´ e uma cota superior de A (isto ´ e, x ≤ α para todo x ∈ A.) Vocˆe dever´a sempre lembrar disto quando precisar mostrar que o supremo de um certo conjunto ´e menor ou igual a um certo n´ umero. Por defini¸c˜ao, inf A ´e a maior das cotas inferiores de A. Ent˜ao dado um n´ umero real β, β ≤ inf A se, e somente se, β ´ e uma cota inferior de A (isto ´ e, β ≤ y para todo y ∈ A). Vocˆe dever´a sempre lembrar disto quando precisar mostrar que o ´ınfimo de um certo conjunto ´e maior ou igual a um certo n´ umero. Exerc´ıcio 2 Sejam A, B ⊂ R conjuntos limitados e n˜ ao vazios tais que A ⊂ B. Mostre que inf B ≤ inf A e sup A ≤ sup B. Conclua que inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B. Exerc´ıcio 3 Sejam A e B dois subconjuntos de R tais que α ≤ β para todo α ∈ A e para todo β ∈ B. Ent˜ ao sup A = inf B se, somente se, para cada ϵ > 0 existem α ∈ A e β ∈ B tais que β − α < ϵ.
Exerc´ıcio 4 Estude as Notas de Aula 3 e fa¸ca o que se pede em cada item abaixo: (a) Mostre que existem trˆes subconjuntos de N que sejam infinitos, enumer´ aveis, diferentes de N e disjuntos dois a dois; (b) Mostre que existem trˆes subconjuntos de Z que s˜ ao infinitos, enumer´ aveis e disjuntos dois a dois.
1
Exerc´ıcio 5 Estude as Notas de Aula 3 e mostre que todas as afirma¸c˜ oes abaixo s˜ ao falsas. Os conjuntos considerados s˜ ao sempre subconjuntos n˜ ao vazios de R . (a) Se A ⊂ B e A ´e conjunto finito ent˜ ao B ´e conjunto finito. (b) Se A ⊂ B e B ´e conjunto infinito ent˜ ao A ´e conjunto infinito. (c) Se A ⊂ B e A ´e conjunto enumer´ avel ent˜ ao B ´e conjunto enumer´ avel. (d) Toda cole¸c˜ ao enumer´ avel C = {A1 , A2 , A3 , . . . , An , . . .} de conjuntos finitos tem uni˜ ao,
∞ ∪
An ,
n=1
finita. (e) Todo subconjunto infinito de R ´e enumer´ avel. (f ) Nenhum subconjunto infinito de R ´e enumer´ avel. (g) Se A e B s˜ ao conjuntos com m e n elementos, respectivamente ent˜ ao A ∪ B possui m + n elementos. (h) Se A e B s˜ ao conjuntos infinitos ent˜ ao A ∩ B ´e um conjunto infinito. (i) Se A e B s˜ ao conjuntos infinitos ent˜ ao A ∩ B ´e um conjunto finito. (j) Para pensar: existem infinitos gr˜ aos de areia na praia de Copacabana.
Exerc´ıcio 6 Estude as Notas de Aula 02 e 03 e diga se as afirma¸c˜ oes abaixo s˜ ao verdadeiras ou falsas. Justifique completamente suas respostas. Para as verdadeiras, vocˆe pode indicar defini¸c˜ oes estudadas ou os resultados (proposi¸co ˜es, teoremas, etc) provados no livro-texto para justificar suas respostas. (a) [2, 3) ∩ Q ´e um conjunto enumer´ avel. (b) Entre dois n´ umeros reais existe um n´ umero racional. (c) Entre dois n´ umeros reais existe um n´ umero irracional. (d) Entre dois n´ umeros inteiros existe um n´ umero inteiro. (e) Entre dois n´ umeros reais existe um n´ umero inteiro. (f ) Entre dois n´ umeros reais existem infinitos n´ umeros racionais. Entre dois n´ umeros reais existem infinitos n´ umeros irracionais. (g) Todo subconjunto infinito de R ´e ilimitado. (h) Todo subconjunto enumer´ avel de R ´e ilimitado. (i) Para cada n´ umero real x existe um n´ umero natural maior do que x.
2
