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Funda¸c˜ ao Centro de Ciˆ encias e Educa¸ca ˜o Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educa¸ca ˜o Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro 2o EP
2013/1
E. A. Real
Semana 2 - Notas de Aula 2
Vers˜ ao Aluno
Coord.: C. Vinagre & H. Clark
Prezado aluno, Lembre sempre que o importante nesta disciplina ´e vocˆe aprender a se comunicar em Matem´ atica: para isso, vocˆe precisa saber apresentar os seus racioc´ınios com clareza em linguagem matem´atica adequada e tamb´em saber ler e trabalhar com esta linguagem. Ao escrever, pense sempre que ´e para ser lido e entendido por outro que n˜ao vocˆe. Depois de estudar e conseguir refazer sozinho os resultados das NA 02 e deste EP, procure explicar para um colega que tamb´em j´a tenha entendido. Quem n˜ao consegue explicar e sente necessidade de decorar tudo, ´e porque ainda n˜ao entendeu! Bom trabalho para todos n´os! Cybele Vinagre & Haroldo Clark Coordenadores.
Exerc´ıcio 1 Estude as Notas de Aula 2 - NA 2 e mostre que s˜ ao verdadeiras as afirma¸c˜ oes abaixo: (a) Existem n´ umeros reais x, y que satisfazem a igualdade |x + y| = |x| + |y|. Por que isto n˜ ao contraria a Proposi¸c˜ ao conhecida como “desigualdade triangular”? (b) Existem trˆes n´ umeros irracionais que pertencem ao intervalo [0, 1] = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}.
Exerc´ıcio 2 Diga se s˜ ao verdadeiras ou falsas as afirma¸c˜ oes abaixo. Justifique suas respostas, provando as afirma¸c˜ oes verdadeiras e dando um contra-exemplo para as falsas. (a) Para todos a, b ∈ R, se a ≤ b ent˜ ao a < b . (b) Para todos a, b ∈ R, se a < b ent˜ ao a ≤ b . (c) Para todo a ∈ R, se a ̸= 0 ent˜ ao 1/a < 1 . (d) Para todo a ∈ R, se a > 1 ent˜ ao 1/a < 1 . (e) 2 ´e uma cota superior para o intervalo [0, 5/2) = {x ∈ R : 0 ≤ x < 5/2} . (f ) Entre dois n´ umeros reais existe um n´ umero racional. (g) Entre dois n´ umeros reais existe um n´ umero irracional. (h) {1/n : n ∈ N} = (0, 1]. ( 1 ) (i) {1/n : n ∈ N} ⊆ (0, 1]. (j) Se a ∈ R e a < 2 ent˜ ao |a| < 2. (k) Se a ∈ R e |a| < 2 ent˜ ao a < 2. (l) Se a ∈ R ent˜ ao a ≤ a2 . 1 Lembre: Dados A, B conjuntos, tem-se que: A ⊆ B (A est´ a contido em B) quando todo elemento de A ´e elemento de B. Portanto, A * B quando existe um elemento de A que n˜ ao ´e elemento de B. A = B quando A ⊆ B e B ⊆ A.
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(m) Se a ∈ R e a ≤ min{4, 1/5} ent˜ ao a < 3/8. (n) −1 ´e uma cota inferior para o intervalo [0, 5/2) = {x ∈ R : 0 ≤ x < 5/2} . Exerc´ıcio 3 Sejam x, y ∈ R. (a) Mostre que |x − 1| + |x − 2| ≥ 1; (b) Se ϵ > 0 ´e n´ umero real e |x − y| < ϵ, mostre que |y| − ϵ < |x| < |y| + ϵ.
Exerc´ıcio 4 Mostre, justificando detalhadamente cada passagem do seu racioc´ınio que: 2n2 + 3 1 1 (a) Se n ∈ N ent˜ ao 2 − < ; 4n + 2 2 4n 1 + 2 × 10n 2 7 − < n. (b) Para todo n ∈ N, 5 + 3 × 10n 3 10 Sugest˜ ao - Desenvolva o termo ` a esquerda de cada desigualdade.
Exerc´ıcio 5 Indique em cada item, caso existam, o supremo e o ´ınfimo dos seguintes conjuntos: (a) A = {x ∈ R; 1 < x ≤ 3} = (1, 3]. (b) B = {x ∈ R; 5 < x} = (5, ∞). (c) C = {1/(2n + 1); n ∈ N}. √ (d) [− 2, π] ∩ Q.
Exerc´ıcio 6 Justifique as afirma¸c˜ oes abaixo com base nas defini¸c˜ oes: (a) 2 ´e uma cota superior do conjunto A = {−3, −2, −1, 0, 1}, pois . . . complete! (b) 0 n˜ ao ´e uma cota superior do conjunto A = {−3, −2, −1, 0, 1}, pois . . . complete! (c) 2 ´e uma cota superior do conjunto A = (0, 2), pois . . . complete! (d) 1 n˜ ao ´e uma cota superior do conjunto A = (−1, 2), pois . . . complete! (e) (−2, 2) ∩ Q ´e um conjunto limitado, pois . . . complete! { Exerc´ıcio 7 Considere C =
2n+4 n+1 ;
} n ∈ N . Mostre que inf C = 2.
Sugest˜ ao: Use a Propriedade Arquimediana na forma “para todo n´ umero real x existe n ∈ N tal que n > x” para mostrar que 2 ´e a maior das cotas inferiores de C. Exerc´ıcio 8 Considere C = {4n/(2n + 1); n ∈ N}. Mostre, por meio da Defini¸c˜ ao 2.4 das NA 2, que sup C = 2.
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Exerc´ıcio 9 Mostre detalhadamente que: (a) se x ∈ R e |x − 2| < 1 ent˜ ao 1/|x + 2| ≤ 1/3; (b) se x ∈ R e |x + 2| < 1 ent˜ ao 1/|x − 2| ≤ 1/3. Aten¸c˜ ao: Em cada item, desenvolva a hip´ otese para chegar ` a conclus˜ ao. Fazer o contr´ ario estar´ a totalmente errado: estude as NA01 novamente! N˜ ao h´ a sentido em fazer ”rascunhos”aqui. A mesma observa¸c˜ ao serve para o pr´ oximo exerc´ıcio. % Exerc´ıcio 10 Sejam α ∈ R, com α > 1/2 e ϵ ∈ R∗+ . Mostre que para todo x ∈ R, se |x − α| < min {1, ϵ/(1 + 2α)} ent˜ ao |x2 − α2 | < ϵ.
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