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Funda¸c˜ ao Centro de Ciˆ encias e Educa¸c˜ ao Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educa¸c˜ ao Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro
´ AP3 – ELEMENTOS DE ANALISE REAL – 15/06/2013 – Gabarito
Quest˜ ao 1 [2 pontos] Mostre que para todo natural n ≥ 7, n2 > 5n + 10. Demonstra¸c˜ ao - Exerc´ıcio t´ıpico para se usar indu¸c˜ao matem´atica. Temos que P[n] ´e n2 > 5n + 10. Para n = 7, P[7] ´e verdadeira, pois 72 = 49 > 5.7 + 10 = 45. Hip´otese indutiva - HI: Sup˜oe-se que n2 > 5n + 10 ´e verdade para algum natural n ≥ 7 fixado. Deve-se mostrar que (n + 1)2 > 5(n + 1) + 10. (Aten¸c˜ao: n˜ao se pode usar a conclus˜ao!) De fato, (n + 1)2 = n2 + 2n + 1 |{z} > (5n + 10) + 2n + 1 HI = 5(n + 1) + 2n + 6 n≥7
≥ |{z} implica
= |{z}
(5n + 5) + (5 + 2n + 1) =
associando-se de forma conveniente
5(n + 1) + 14 + 6 = 5(n + 1) + 20 > 5(n + 1) + 10. 2n≥14
Logo, como valem as duas etapas, pode-se afirmar pelo PIM que n2 > 5n + 10 para todo natural n ≥ 7. Quest˜ ao 2 [2 pontos] Mostre, por meio da defini¸c˜ao de limite, que a sequˆencia (an )n∈N dada por an =
n3 n3 + 1
converge para 1. Solu¸c˜ ao - Seja ϵ > 0 onde ϵ ∈ R.
1 Pela Propriedade Arquimediana, existe um natural n0 > . ϵ Suponha que n ∈ N satisfaz n > n0 . Ent˜ao n3 −1 = = 1 < 1 < 1. − 1 n3 + 1 n3 + 1 n3 + 1 n3 n Como n > n0 >
1 1 e ϵ > 0 ent˜ao ϵ n > 1 e da´ı < ϵ. Logo ϵ n n3 1 n3 + 1 − 1 < n < ϵ .
Mostrou-se assim que: para todo n´umero real ϵ > 0, existe n0 ∈ N tal para todo n ∈ N, se n > n0 ent˜ao n3 n3 + 1 − 1 < ϵ . n3 = 1. Da´ı, pela defini¸c˜ao de limite, escreve-se: lim 3 n→∞ n + 1 2 Quest˜ ao 3 [2 pontos] Mostre pela defini¸c˜ao (ϵ, δ) que lim √ x = 2. x→ 2
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AP3
Solu¸c˜ ao - Dado ϵ > 0 real, se 0 < |x − 0 < |x −
√
2
√ √ } { 2| < δ = min 1, ϵ/(1 + 2 2) ent˜ao
2| < 1
e
0 < |x −
√
2| <
ϵ √ . 1+2 2
(∗)
√ √ 2 < 1. Adicionando 2 2 a estas desigualdades resulta √ √ √ 2 2 − 1 < x + 2 < 1 + 2 2. √ √ Da´ı, como 2 2 − 1 > 0 ent˜ao 0 < x + 2 e portanto, √ √ √ |x + 2| = x + 2 < 1 + 2 2 . √ √ √ Como |x2 − ( 2)2 | = |x − 2||x + 2| ent˜ao por (∗∗) e em seguida por (∗)2 tem-se De (∗)1 tem-se que −1 < x −
(∗∗)
√ √ √ |x2 − ( 2)2 | ≤ |x − 2|(1 + 2 2) <
√ ϵ √ (1 + 2 2) = ϵ. (1 + 2 2) √ } { Portanto, dado ϵ > 0 real existe δ = min 1, ϵ/(1 + 2 2) tal que para todo x ∈ R, se 0 < √ √ 2 |x − 2| < δ ent˜ao |x2 − ( 2)2 | < ϵ. Logo, por defini¸c˜ao, lim √ x = 2. x→ 2
Quest˜ ao 4 [2 pontos] Mostre que a fun¸c˜ao x f (x) = 1 + e−1/x 0
se x ̸= 0, se x = 0,
n˜ao ´e deriv´avel no zero. Solu¸c˜ ao - Note que lim+ (−1/x) = −∞ e lim− (−1/x) = +∞. Portanto, lim+ e−1/x = 0 e x→0
lim− e−1/x = ∞. Da´ı, como f (0) = 0 tem-se
x→0
x→0
x→0
f ′ (0+) = lim+ x→0
f (x) 1 f (x) 1 = lim+ = 1 e f ′ (0−) = lim− = lim− = 0. −1/x x→0 1 + e x→0 x→0 1 + e−1/x x x
Como f ′ (0+) ̸= f ′ (0−) ent˜ao f n˜ao ´e deriv´avel em zero. Quest˜ ao 5 [2 pontos] Fa¸ca o que se pede: (a) [1,0 pt] Para a fun¸c˜ao f (x) = log x onde x ∈ R e x > 0, determine o polinˆomio de Taylor de ordem 3 de f em x0 = 1. (b) [1,0 pt] Mostre que a fun¸c˜ao f : R → R dada por f (x) = sen x ´e uniformemente cont´ınua em R. Solu¸c˜ ao - (a) O polinˆomio de Taylor de ordem 3 em x0 = 1 de uma fun¸c˜ao f ´e dada por P3 (x) = f (1) + f ′ (1)(x − 1) +
1 ′′ 1 f (1)(x − 1)2 + f ′′′ (1)(x − 1)3 . 2 3!
Em particular, se f (x) = log x ent˜ao f ′ (x) = x1 , f ′′ (x) = − x12 e f ′′′ (x) = Da´ı, f (1) = log 1 = 0, f ′ (1) = 1, f ′′ (x) = −1 e f ′′′ (1) = 2 . Logo, P3 (x) = 1(x − 1) − Funda¸c˜ ao CECIERJ
2 x3
.
1 2 (x − 1)2 + (x − 1)3 . 2 3! Cons´ orcio CEDERJ
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AP3
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(b) Basta mostrar que f ´e fun¸c˜ao de Lipschitz em R. Sejam ent˜ao x, y ∈ R. Como a fun¸c˜ao seno ´e deriv´avel em R ent˜ao, em particular, f ´e cont´ınua no intervalo fechado de extremos x e y e deriv´avel no intervalo aberto com os mesmos extremos. Ent˜ao, pelo TVM existe ξ ∈ R entre x e y tal que sen x − sen y = (cos ξ)(x − y) . Da´ı | sen x − sen y| = | cos ξ||x − y| ≤ 1.|x − y| = |x − y| .
(a)
sendo que a pen´ultima passagem em (a) segue do fato de que (sen z)′ = cos z ≤ |cosz| ≤ 1, para todo z ∈ R. De (a) resulta ent˜ao que a fun¸c˜ao seno ´e uma fun¸c˜ao Lipschitz com constante K=1, e portanto uniformemente cont´ınua em R, por teorema j´a estudado.
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