Transcript
Funda¸c˜ ao Centro de Ciˆ encias e Educa¸c˜ ao Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educa¸c˜ ao Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro
´ AP2 – ELEMENTOS DE ANALISE REAL – 02/06/2012 – Gabarito
Quest˜ ao 1 [2 pontos] Seja f : R → R a fun¸c˜ao definida por f (x) = x2 . Mostre por meio da defini¸c˜ao (ϵ e δ) que f ´e cont´ınua em x0 = 2. Demonstra¸c˜ ao - Seja ϵ > 0 onde ϵ ∈ R. Toma-se { ϵ} δ = min 1, > 0. 5 Seja x ∈ domf = R tal que 0 < |x − 2| < δ. Como
(⋆)
|x2 − 4| = |(x − 2)(x + 2)| = |x − 2||x + 2| ent˜ao, se |x − 2| < δ resulta por (⋆) que |x − 2| < 1. Portanto, |x − 2| < 1 ⇒ −1 < x − 2 < 1 ⇒ 1 < x < 3 ⇒ 3 < x + 2 < 5
como
x+2>0
⇒
|x + 2| = x + 2 < 5.
Assim, novamente por (⋆) tem-se |x2 − 4| = |x − 2||x + 2| < |x − 2| · 5
|x−2|<δ≤ϵ/5
<
ϵ · 5 = ϵ. 5
Assim, se 0 < |x − 3| < δ = min{1, ϵ/5} ent˜ao |x2 − 4| = |f (x) − f (2)| < ϵ. Logo, pela defini¸c˜ao f ´e cont´ınua em x0 = 2 e escreve-se lim f (x) = f (2) x→2
Quest˜ ao 2 [2 pontos] Seja f : R → R uma fun¸c˜ao cont´ınua em x0 ∈ R. Mostre que existe δ > 0 tal que f ´e limitada em (x0 − δ, x0 + δ). Demonstra¸c˜ ao - Sendo f cont´ınua em x0 ent˜ao, por defini¸c˜ao, usada no caso particular, por exemplo, de ϵ = 1 existe δ = δ(ϵ, x0 ) > 0 tal que, para todo x ∈ R se |x − x0 | < δ ent˜ao |f (x) − f (x0 )| < 1. Ou seja, para todo x ∈ R tem-se que se x0 − δ < x < x0 + δ ent˜ao f (a) − 1 < f (x) < f (a) + 1. Portanto, se x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) ent˜ao f (x) ∈ (f (a) − 1, f (a) + 1). Logo, existe δ > 0 tal que f ´e limitada em (x0 − δ, x0 + δ) Quest˜ ao 3 [2 pontos] Mostre que: 1 1 (b) [1pt] lim 2 = 0, se x ∈ R \ {0}. (a) [1pt] lim 2 = ∞, se x ∈ (0, ∞) x→∞ x x→0 x Demonstra¸c˜ ao - (a) Seja (xn )n∈N sequˆencia de n´umeros reais tal que xn > 0 para todo n ∈ N e xn → 0 quando n → ∞. Ent˜ao xn 2 → 0 quando n → ∞ e da´ı lim
n→∞
1 = ∞. Portanto, sendo f (x) = 1/x2 , x ∈ (0, ∞), tem-se que 2 xn
Logo, pelo crit´erio sequencial tem-se que 1 =∞ x→0 x2 lim
lim f (xn ) = lim
n→∞
n→∞
1 = ∞. x2n
´ ELEMENTOS DE ANALISE REAL
AP2
2
(b) Seja (xn )n∈N sequˆencia em R \ {0} tal que xn → ∞ quando n → ∞. Segue-se que xn 2 → ∞ quando n → ∞ e da´ı 1 1 1 = 0. Portanto, sendo f (x) = , x ∈ R \ {0}, tem-se lim f (x ) = lim = 0. n n→∞ xn 2 n→∞ n→∞ x2 x2 n lim
Logo, pelo crit´erio sequencial pode-se afirmar que 1 =0 x→∞ x2 lim
Quest˜ ao 4 [2 pontos] Mostre que a fun¸c˜ao 2 x se x ∈ Q, g(x) = 0 se x ∈ R − Q, ´e deriv´avel em x0 = 0, determinando sua derivada em x0 = 0 e justificando suas afirma¸c˜oes. ´ preciso usar ϵ e δ para mostrar o limite neste caso! Lembrete: E Demonstra¸c˜ ao- Para todo x ∈ R, x ̸= 0 tem-se que: 2 x g(x) − g(0) g(x) =x = = x x−0 x 0
se x ∈ Q,
(1)
se x ∈ R − Q,
A fun¸c˜ao (1) tem limite igual a zero no ponto x0 = 0. De fato, seja ϵ ∈ R com ϵ > 0 e considera-se δ = ϵ. Seja x ∈ R tal que, se 0 < |x − 0| = |x| < δ ent˜ao x ∈ Q ou x ∈ R − Q. g(x) − g(0) Se x ∈ Q ent˜ao − 0 = |x| < δ = ϵ. x−0 g(x) − g(0) Se x ∈ R − Q ent˜ao − 0 = 0 < ϵ. x−0 g(x) − g(0) Assim, em qualquer caso − 0 < ϵ. Ou seja, se x ∈ R e 0 < |x| < δ ent˜ao x−0 g(x) − g(0) − L < ϵ. Portanto, para todo ϵ > 0 existe δ > 0 tal que para todo x ∈ dom g = R, x−0 g(x) − g(0) − 0 < ϵ. Logo, g ´e deriv´avel em zero e a derivada ´e zero se 0 < |x − 0| < δ ent˜ao x Quest˜ ao 5 [2 pontos] Sejam α > 0 e f : (α, ∞) → R dada por f (x) = ln x. Mostre que f ´e uniformemente cont´ınua em (a, ∞). Sugest˜ao: Use o Teorema do Valor M´edio. Demonstra¸c˜ ao- Primeiro modo: mostra-se que f ´e fun¸c˜ao de Lipschtz. De fato, sejam x, y ∈ (α.∞). Como a fun¸c˜ao x → ln x ´e deriv´avel em (α, ∞), ent˜ao ´e deriv´avel no intervalo de extremos x e y; logo, pelo TVM existe ξ entre x e y tal que 1 ln(x) − ln(y) = (x − y) . ξ Funda¸c˜ ao CECIERJ
(a)
Cons´ orcio CEDERJ
´ ELEMENTOS DE ANALISE REAL
AP2
3
Notar 0 < α < ξ; logo α/ξ < 1. De (a) resulta que x → ln x ´e uma fun¸c˜ao de Lipschitz em (α, ∞), pois | ln x − ln y| ≤ |x − y| para todo x, y ∈ (α, ∞). Segundo modo: pela defini¸c˜ao. Para ϵ > 0 dado, toma-se δ = ϵ e tem-se, seguindo-se os mesmos passos acima, que para todo x, y ∈ (α, ∞), se |x − y| < δ ent˜ao | ln x − ln y| ≤ |x − y| < ϵ. De qualquer dos dois modos, conclui-se que a fun¸c˜ao x → f (x) = ln x ´e uniformemente cont´ınua em (α, ∞)
Funda¸c˜ ao CECIERJ
Cons´ orcio CEDERJ
