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Funda¸c˜ ao Centro de Ciˆ encias e Educa¸ca ˜o Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educa¸ca ˜o Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro
2a AD
2013/1
EAR
Licenciatura em Matem´ atica
Vers˜ ao Aluno
Coord. C. Vinagre & H. Clark
1a Quest˜ ao - [2 pontos] Em cada item abaixo, fa¸ca o solicitado: 3 (a) [1pt] Mostre, por meio da defini¸c˜ao que lim = 3, onde x ̸= 1. x→2 x − 1 3 = −1, onde x ̸= 1. (b) [1pt] Mostre, por meio da defini¸c˜ao que que lim x→(−2) x − 1 2a Quest˜ ao - [2 pontos] Em cada item, use o crit´erio sequencial apropriado para mostrar a afirma¸c˜ ao: (a) [1 pt] Seja a ̸= 0 ∈ R e suponha que a fun¸c˜ao f : R → R tenha limite L no ponto 0. Se a fun¸c˜ ao g : R → R ´e definida por g(x) = f ( xa ) para todo x ∈ R ent˜ao lim g(x) = L. x→0 ( ) |x| (b) [0,5 pt] N˜ao existe lim x + , onde x ̸= 0. x→0 x (c) [0,5 pt] A fun¸c˜ao f : R → R definida por 1 se x > 0, x f (x) = 0 se x ≤ 0. n˜ao ´e cont´ınua em x = 0. 3a Quest˜ ao - [2 pontos] Sejam X, Y ⊂ R, f : X → R e g : Y → R fun¸c˜oes tais que f (X) ⊂ Y . Mostre detalhadamente, usando o crit´erio sequencial para continuidade que: se f ´e cont´ınua em a ∈ X e g ´e cont´ınua em b = f (a) ∈ Y ent˜ao a fun¸c˜ao composta g ◦ f : X → R ´e cont´ınua em a. 4a Quest˜ ao - [2 pontos] (a) [1pt] Mostre que a equa¸c˜ao ln x − x = −1, 5 tem uma solu¸c˜ao em [1, e]. Note que ln x = loge x onde e ≈ 2, 7 . . . · (b) [1pt] Seja f : [a, b] → R uma fun¸c˜ao cont´ınua. Mostre que, se f (x) ∈ Q para todo x ∈ [a, b] com f (a) = c ent˜ao f (x) = c para todo x ∈ [a, b], ou seja, f ´e constante em [a, b]. 5a Quest˜ ao - [2 pontos] (a) [1,0 pt] Mostre, usando a defini¸c˜ao que, se a, b ∈ R, a ̸= 0, ent˜ao a fun¸c˜ao f : R → R definida por f (x) = ax + b ´e uniformemente cont´ınua em R. (b) [0,5 pt] Mostre que, se α > 0 ent˜ao a fun¸c˜ao f : [α, ∞[→ R dada por f (x) = 1/x ´e fun¸c˜ ao de Lipschtz e, portanto, uniformemente cont´ınua. (c) [0,5 pt] Mostre, usando o crit´erio sequencial apropriado, que a fun¸c˜ao f : R → R dada por f (x) = x2 n˜ao ´e uniformemente cont´ınua em R (logo n˜ao ´e lipschitziana).
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