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Funda¸c˜ ao Centro de Ciˆ encias e Educa¸ca ˜o Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educa¸ca ˜o Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro
1a AD
2013/1
EAR
Licenciatura em Matem´ atica
Vers˜ ao Aluno
Coord. C. Vinagre & H. Clark
Prezado aluno Para a resolu¸c˜ ao da Avalia¸c˜ ao `a Distˆancia - AD, vocˆe pode interagir com os colegas do seu grupo de estudo, conversando, discutindo conceitos, propriedades e estrat´egias de solu¸c˜ao das quest˜oes. Pode tamb´em consultar ´ muito importante, por´em, que vocˆe desenvolva individualmente a sua solu¸c˜ao para qualquer material. E a AD e a apresente de modo bastante detalhado, para permitir ao seu tutor identificar os conceitos e as propriedades que vocˆe utilizou e principalmente, os racioc´ınios que vocˆe desenvolveu. S´o assim ele - e vocˆe! -poder˜ao perceber eventuais falhas e lacunas no estudo realizado, e tamb´em, claro, os progressos. Trabalhe seriamente e com dedica¸c˜ ao! Siga corretamente as instru¸c˜ oes dos enunciados, sobretudo aquelas que indicam um certo procedimento (por exemplo, “Mostre por meio da defini¸c˜ ao . . .”). Isto faz parte da quest˜ao! Bom trabalho!!! Cybele Vinagre e Haroldo Clark Coordenadores.
1a Quest˜ ao - [1 ponto] Mostre que, por meio do princ´ıpio de indu¸c˜ao matem´atica, que para todo n ∈ N tem-se ( ) 1 − xn = (1 − x) 1 + x + · · · + xn−2 + xn−1 . (1) 2a Quest˜ ao - [1 ponto] Para todos a, b ∈ R, se a < b ent˜ao a <
a+b 2
< b.
3a Quest˜ ao - [2 pontos] Sejam x, a, ϵ ∈ R com ϵ > 0. Para garantir que ´e verdadeiro o enunciado |x − a| ≤ ϵ
se, e somente se,
a − ϵ ≤ x ≤ a + ϵ,
mostre detalhadamente as seguintes afirma¸c˜oes, com base nas propriedades alg´ebricas dos n´ umeros reais: (a) [1,0 pt] se |x − a| ≤ ϵ ent˜ao a − ϵ ≤ x ≤ a + ϵ; (b) [1,0 pt] se a − ϵ ≤ x ≤ a + ϵ ent˜ao |x − a| ≤ ϵ. Sugest˜ao: Use o procedimento usual para trabalhar com a defini¸c˜ao de m´odulo em ambos os itens. { } n 4a Quest˜ ao - [2 pontos] Seja A = 2n+1 ; n ∈ N . Identifique o supremo e o ´ınfimo do conjunto A e prove suas afirma¸c˜oes, usando a Defini¸c˜ao 2.4 das NA 2. 5a Quest˜ ao - [2 pontos] Mostre que: (a) [1,0 pt] Se k1 , k2 ∈ N ent˜ao lim
k1 k n→∞ n 2
= 0; 1
(b) [1,0 pt]
lim
n→∞
sen(f (n)) nk
= 0 , onde k ∈ N e f ´e uma fun¸c˜ao real qualquer definida em N.
6a Quest˜ ao - [2 pontos] [2,0 pt] Seja (xn )n∈N uma sucess˜ao de n´ umeros reais negativos e seja L seu limite. Mostre que L ≤ 0, ou seja, que L n˜ao pode ser positivo (sugest˜ao: raciocine por absurdo).
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