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Funda¸c˜ ao Centro de Ciˆ encias e Educa¸c˜ ao Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educa¸c˜ ao Superior a Distˆ ancia do Estado do Rio de Janeiro
´ AP1 – ELEMENTOS DE ANALISE REAL – 24/03/2012 – Gabarito √ Quest˜ ao 1 [2 pontos] (a) [1pt] Mostre que, se ϵ ∈ R∗ , x ∈ R+ e | x − 1| < min {1, ϵ/3} ent˜ao |x − 1| < ϵ. (b) [1pt] Sejam a e b n´umeros reais. Mostre que: se a ≥ 0 e b ≥ 0 ent˜ao
a+b √ ≥ ab. 2
Sugest˜ ao: Use o fato de que: (a − b)2 ≥ 0 para todos a, b ∈ R. Solu¸c˜ ao -
√ (a) Por hip´otese ϵ > 0 ´e um n´umero real e | x − 1| < min {1, ϵ/3}. Ent˜ao √ | x − 1| < 1
e
√ ϵ | x − 1| < . 3
(⋆)
Al´em disso, tem-se
√ √ |x − 1| = | x − 1|| x + 1|. (⋆⋆) √ √ √ De (⋆)1 tem-se que −1 < x − 1 < 1, e da´ı vem que 1 < x + 1 < 3. Como x + 1 > 0 segue ent˜ao que √ √ | x + 1| = x + 1 < 3. (⋆⋆⋆) Usando-se (⋆⋆⋆) em (⋆⋆), e em seguida (⋆)2 , obt´em-se o desejado. Ou seja, √ √ √ ϵ |x − 1| = | x − 1|| x + 1| < | x − 1| · 3 < · 3 = ϵ 3 (b) Por hip´otese: a, b ∈ R+ . Ent˜ao vale (a−b)2 ≥ 0 para esses a, b, ou seja, vale que a2 −2ab+b2 ≥ 0. Adicionando 4ab a ambos os lados da u´ltima desigualdade, resulta a2 +2ab+b2 ≥ 4ab. Isto fornece (a + b)2 ≥ 4ab. Usando a hip´otese de que a, b ∈ R+√pode-se extrair a raiz quadrada de ambos os √ 2 lados dev(a + b) ≥ 4ab, e assim obt´em-se a + b ≥ 2 ab. Logo, (a + b)/2 ≥ ab. Portanto, vale a conclus˜ao para todo a, b ∈ R+ { Quest˜ ao 2 [2 pontos] Considere C =
} 3n ; n ∈ N . Mostre que n+2
sup C = 3, justificando
detalhadamente suas afirma¸co˜es. Solu¸c˜ ao - (i) Tem-se para todo n ∈ N, que 3n ≤ 3n + 6 = 3(n + 2) ´e verdade.
(⋆⋆)
Como n + 2 > 0 para todo n ∈ N ent˜ao, para todo n ∈ N, resulta 3n/(n + 2) ≤ 3, . Portanto, por defini¸c˜ao, 3 ´e uma cota superior para C. (ii) Seja c ∈ R tal que c < 3. Deve-se encontrar x ∈ C tal que c < x. 2c Pela Propriedade Arquimediana, existe n0 ∈ N tal que n0 > - note que 3 − c > 0. Este 3−c 2c fato e n0 > garantem que n0 (3 − c) > 2c. Da´ı, 3n0 − n0 c > 2c, de onde vem que 3−c
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3n0 > n0 c + 2c = (n0 + 2)c . Como n0 + 2 > 0 ent˜ao c <
2
3n0 3n0 , sendo que ∈ C. Assim, n0 + 2 n0 + 2
3n0 ∈ C tal que c < x, ou seja, c < 3 n˜ao ´e uma cota superior para C. Como n0 + 2 trabalhamos com um n´umero real gen´erico < 3, podemos afirmar que nenhum n´umero real < 3 ´e uma cota superior para C. existe x =
Pelas etapas (i) e (ii) acima e por defini¸c˜ao, fica garantido que 3 ´e a menor das cotas superiores de C, ou seja, 3 = sup C . Podia-se tamb´em trabalhar com o Lema 2.1 da NA 2
Quest˜ ao 3 [2,5 pontos] Considere a sequˆencia (an )n∈N dada pela rela¸c˜ao de recorrˆencia a1 = 0 e an+1 = e fa¸ca o que (a) [1,0 pt] (b) [1,0 pt] (c) [0,5 pt]
1 + 2an para todo n ∈ N, 3
se pede: Mostre, usando o princ´ıpio de indu¸c˜ao finita, que an < an+1 para todo n ∈ N; Mostre, usando o princ´ıpio de indu¸c˜ao finita, que an < 1 para todo n ∈ N; Mostre que lim an = 1.
Solu¸c˜ ao - (a) P[n] ´e an < an+1 . • Para n = 1 tem-se que a1 = 0 e a2 = 1/3, logo a1 < a2 . •
HI: seja n ∈ N e suponha que P[n] ´e verdade, isto ´e, suponha que an < an+1 .
Deve-se mostrar que an+1 < an+2 . A partir da hip´otese indutiva (HI) podem-se obter as seguintes afirma¸co˜es: an < an+1 =⇒ 2an < 2an+1 =⇒ 1 + 2an < 1 + 2an+1 =⇒
1 + 2an+1 1 + 2an < . 3 3
Desta u´ltima desigualdade tem-se, pela defini¸c˜ao da sequˆencia (an )n∈N , que an+1 < an+2 . Assim, para todo n ∈ N, se vale P[n] ent˜ao vale P[n+1]. Pelas duas etapas acima e pelo PIM, conclui-se que an < an+1 para todo n ∈ N. (b) Aqui P[n] ´e an < 1. •
Para n = 1 tem-se que a1 = 0 < 1.
•
HI: sup˜oe-se que P[n] ´e verdadeira para um dado natural n, isto ´e, sup˜oe-se que an < 1.
Deve-se mostrar que an+1 < 1. A partir da hip´otese indutiva (HI) obt´em-se: an < 1 =⇒ 2an < 2 =⇒ 1 + 2an < 3 =⇒
1 + 2an < 1. 3
Da u´ltima desigualdade segue da defini¸c˜ao da sequˆencia que an+1 < 1. Assim, para todo n ∈ N, se vale P[n] ent˜ao vale P[n+1]. Pelas duas etapas acima e pelo PIM, conclui-se que an < 1 para todo n ∈ N. (c) A sequˆencia (an )n∈N ´e mon´otona crescente (por (a)) e limitada superiormente (por (b)), sendo assim, pelo Teorema da Convergˆencia Mon´otona, (an )n∈N converge para um determinado n´umero L.
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Ou seja, limn→∞ an = L. Como (an+1 )n∈N ´e subsequˆencia de (an ) ent˜ao limn→∞ an+1 = L tamb´em. Portanto, usando propriedades operat´orias de limite, ( ) 1 + 2an 1 + 2L L = lim an+1 = lim . Da´ı, L = . n→∞ n→∞ 3 3 Chega-se assim que L = 1, provando que limn→∞ an = 1
Quest˜ ao 4 [2,0 pontos] Analise as s´eries abaixo quanto `a convergˆencia. Justifique suas afirma¸co˜es. ∞ ∞ ( n ) ∑ ∑ (−1)n nn (a) [1,0 pt] ln ; (b) [1,0 pt] . n + 1 n! n=1 n=3 ( )n 1 Sugest˜ ao: Para o item (b), use o teste da raz˜ao e o fato de que lim 1 + n = e ≃ 2.7 . . . · Solu¸c˜ ao - (a) Usando a propriedade: ln(a/b) = ln a − ln b para a, b > 0, tem-se ∞ ∑ n=1
ln
∞ ( n ) ∑ = [ln n − ln(n + 1)]. n+1 n=1
Da´ı, a reduzida da s´erie ´e a soma telesc´opica: Sn = (ln 1 − ln 2) + (ln 2 − ln 3) + · · · + (ln(n − 1) − ln n) = − ln n. Assim, limn→∞ Sn = −∞. Logo, a s´erie ´e divergente (b) Sendo an = (−1)n nn /n!, ent˜ao da identidade |an+1 | (n + 1)n+1 n! = = |an | (n + 1)! nn tem-se que lim
(
n+1 n
)n
( )n 1 = 1+ n
an+1 = e > 1. Logo, a s´erie ´e divergente an
Quest˜ ao 5 [1,5 ponto] Considere L ∈ R. Mostre detalhadamente pela defini¸c˜ao que se a sucess˜ao (an )n∈N de n´umeros reais satisfaz 3 para todo n ∈ N, |an − L| ≤ 2 n ent˜ao lim an = L, n→∞
3 Solu¸c˜ ao - Por hip´otese, para todo n ∈ N, |an − L| ≤ 2 . n Seja ϵ > 0. √ Pela Propriedade Arquimediana, existe N ∈ N tal que N > 3ϵ . Seja n ∈ N tal que n > N . Ent˜ao n2 > N 2 > 3/ϵ e vale |an − L| Funda¸c˜ ao CECIERJ
(por hip.) 3 3 ≤ < < ϵ. n2 N2 Cons´ orcio CEDERJ
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Portanto, para todo ϵ > 0 dado, existe N ∈ N tal que, para todo n ∈ N, se n > N ent˜ao |an − L| < ϵ . Pela defini¸c˜ao de limite de sequˆencia, tem-se que lim an = L . n→∞
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