Analise Matemática 1 -limites E Continuidade

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5 Continuidade 1. Determine, caso existam, os seguintes limites: sin(x − 1) ; x→1 |x − 1| 1 x cos √x ; (b) lim x→0 x − x tg(x) ; (c) lim x→0 x cos(x) 5x + 2x+1 (d) lim x−1 . x→+∞ 6 + ex (a) lim 2. Seja h : D ⊂ R → R a fun¸c˜ao real de vari´avel real definida por:  3 arcsen(x − 3)   se x > 3  x2 − 9 h(x) =    1−log [(x−1)·e] e se x ≤ 3 (a) Verifique que D =]1, 4]. arcsen(x) = 1, mostre que a fun¸c˜ao ´e cont´ınua no seu dom´ınio. (b) Sabendo que lim x→0 x 3. Seja f a fun¸c˜ao definida em R, cont´ınua no ponto x = 1, dada por:    log(x2 + 1) se x < 0       π   a.arctg x se 0 ≤ x ≤ 1 f (x) = 4      2   x − 2x + 1   se x > 1 x−1 (a) Determine o valor da constante a; (b) Estude a continuidade de f nos restantes pontos de R. 4. Seja f a fun¸c˜ao real de vari´avel real definida por:  1  se x < 0  −e x f (x) =   log 1 se x > 0 1 + x2 6 (a) Calcule lim f (x) e lim f (x). x→−∞ x→+∞ (b) Justifique que f ´e cont´ınua em todo o seu dom´ınio. (c) Mostre que f ´e prolong´avel por continuidade ao ponto 0. 5. Mostre que a equa¸c˜ao sin3 (x) + x cos(x) = 0 tem pelo menos uma raiz no intervalo ]0, π[. 6. Considere a seguinte fun¸c˜ao: m(x) =    x2 − 1 se x > 2   2 +2 x se x ≤ 2 Mostre que a fun¸c˜ao ´e cont´ınua no seu dom´ınio e indique o m´aximo e o m´ınimo da fun¸c˜ao no intervalo [1, 3]. 7. Considere a fun¸c˜ao   π  se x ≤  cos 2x − 3 t(x) =   6x se x > π π 6 π 6 (a) Estude a continuidade em R. (b) Prove que o teorema de Bolzano ´e aplic´avel `a fun¸c˜ao no intervalo determine os zeros da fun¸c˜ao nesse intervalo. t(x) . (c) Calcule limπ x→ 6 x 7 h − π πi , e 2 2