Transcript
6
Diferenciabilidade 1. Determine uma equa¸c˜ao da recta tangente ao gr´afico de f no ponto (a, f (a)), sendo: (a) f (x) = 5x − x2 e a = 4 (b) f (x) =
1 x2
e a = −2
Fa¸ca um esbo¸co dos gr´aficos das fun¸co˜es e das tangentes determinadas. 2. Determine os pontos onde a tangente ao gr´afico de: 1 − x2 ´e horizontal; 1 + x2 (b) f (x) = − cos(x) + 13 cos3 (x) ´e horizontal; (c) f (x) = arcsen x3 ´e paralela `a recta y = 13 x + 3. (a) f (x) =
3. Determine, caso existam, os valores de c para os quais a tangente ao gr´afico de f (x) =
x x+1
no ponto (c, f (c)) ´e paralela `a recta que passa pelos pontos (1, f (1)) e (3, f (3)). 4. Considere a fun¸c˜ao f real de vari´avel real definida por 1 x x2 sen + se x 6= 0 x 2 f (x) = 0 se x = 0 (a) Mostre que f ´e cont´ınua em todo o seu dom´ınio. (b) Mostre que f ´e diferenci´avel e que f 0 (0) = 1/2 . (c) Existe alguma vizinhan¸ca do ponto 0 onde f seja mon´otona crescente? (d) Verifique se f 0 ´e cont´ınua no ponto 0. 5. Em quantos pontos a recta y = −2 intersecta o gr´afico y = x3 − 3x? Represente graficamente a recta e a curva. A recta ´e tangente `a curva? 6. Considere a aplica¸c˜ao f (x) = 2x2 + 3x + 1. (a) Indique os valores de x, para os quais f 0 (x) ´e negativa, positiva e nula. (b) Determine o m´ınimo de f (x).
8
7. Para cada uma das fun¸c˜oes, estude a continuidade, determine as derivadas laterais da fun¸c˜ao f no ponto c e verifique se f ´e diferenci´avel em c. Interprete geometricamente os resultados obtidos. 3x2 se x ≤ 1 (a) f (x) = e c = 1. 2x3 + 1 se x > 1 x+1 se x ≤ −1 (b) g(x) = e c = −1. (x + 1)2 se x > −1 x2 − x se x ≤ 2 (c) h(x) = e c=2 2x − 2 se x > 2 8. Considere a fun¸c˜ao f (x) = x3 − 3x2 + 2x. (a) Indique os intervalos de monotonia de f . (b) Determine um intervalo fechado no qual os extremos absolutos da restri¸c˜ao de f s˜ao atingidos no interior do intervalo. (c) Fa¸ca um esbo¸co do gr´afico de f . 9. Determine os valores m´aximo e m´ınimo da fun¸c˜ao f (x) = x3 − 3x + 3 no intervalo [−3, 23 ]. Fa¸ca um esbo¸co do gr´afico de f no intervalo indicado. x 10. Considere a fun¸c˜ao f (x) = 1+x aximo e m´ınimo de f e 2 . Determine os valores m´ fa¸ca um esbo¸co do respectivo gr´afico.
11. Considere a fun¸c˜ao f (x) =
log(x) . x
(a) Indique o dom´ınio, zeros e o limite para infinito. (b) Indique os intervalos de monotonia, extremos relativos e os sentidos da concavidade de f (c) Fa¸ca o esbo¸co do gr´afico. 12. Estude cada uma das seguintes fun¸c˜oes, determinando o dom´ınio, os limites para infinito e os extremos. (a) f (x) = x3 − x + 1 (b) f (x) = x2 ex 9
(c) f (x) = sen(x) + cos(x) 13. Para cada uma das seguintes fun¸c˜oes, determine o m´aximo e m´ınimo absolutos no intervalo indicado: (a) f (x) = x2 − 4x + 3 em −1 ≤ x ≤ 3 (b) f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 2 em 0 ≤ x ≤ 4 (c) f (x) = sen(x) cos(x) em 0 ≤ x ≤ 5 14. Determine os intervalos de monotonia, os extremos relativos e o contradom´ınio das seguintes fun¸c˜oes: (a) f (x) = x3 − 3x2 + 1 (b) f (x) = e−x
2
(c) f (x) = |x2 − 9| (d) f (x) =
1 1+x2
15. Calcule, usando o diferencial, valores aproximados de: √ (a) 98 (b) 25.1 (c) arctg(1.05) 16. Justifique as afirma¸c˜oes verdadeiras, apresente um contra-exemplo para as falsas. (a) Toda a fun¸c˜ao cont´ınua ´e limitada. (b) Se f diferenci´avel ent˜ao ´e cont´ınua. (c) Se f e g s˜ao crescentes, ent˜ao f + g e f − g s˜ao crescentes. (d) Se f e g s˜ao crescentes, ent˜ao f g e f /g (onde g n˜ao se anula) s˜ao crescentes. (e) Se f e g tˆem concavidade voltada para cima, ent˜ao f + g e f g tˆem concavidade voltada para cima. (f) Se f tem um extremo absoluto no ponto a ent˜ao f 2 tamb´em. (g) Se f crescente, ent˜ao f 2 ´e crescente. (h) Se f tem um extremo local num ponto a, ent˜ao f 0 (a) = 0. (i) Se f 0 (a) = 0, ent˜ao f tem um extremo local no ponto a.
10
7
Estudo de uma fun¸ c˜ ao 1. Considere a fun¸c˜ao f (x) =
x 1 + log(x)
(a) Determine o dom´ınio de f ; (b) Estude a continuidade de f ; (c) Estude a diferenciabilidade de f ; (d) Determine os extremos e intervalos de monotonia de f ; (e) Determine os pontos de inflex˜ao e concavidades de f ; (f) Determine o contradom´ınio de f . 2. Considere a fun¸c˜ao definida por 2 x2 − 4 x + 5 , x<2 f (x) = (x − 1)2 x + 3, x≥2 (a) Determine o dom´ınio de f ; (b) Estude f quanto `a continuidade; (c) Estude f quanto `a derivabilidade; (d) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f ; (e) Determine os pontos de inflex˜ao e as concavidades de f . 3. Considere a fun¸c˜ao definida por x log2 (|x|), f (x) = 0,
se x 6= 0 se x = 0
(a) Determine o dom´ınio de f ; (b) Estude f quanto `a continuidade; (c) Estude f quanto `a derivabilidade; (d) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f ; (e) Determine os pontos de inflex˜ao e as concavidades de f . 4. Considere a fun¸c˜ao definida por 2
f (x) = x (1 − x) 5 (a) Determine o dom´ınio de f ; (b) Estude f quanto `a continuidade; 11
(c) Estude f quanto `a derivabilidade; (d) Determine os intervalos de monotonia e os extremos locais de f ; (e) Determine os pontos de inflex˜ao e as concavidades de f .
12
8
Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy 1. Determine um ponto no gr´afico da par´abola y = x2 cuja tangente seja paralela `a recta que une os pontos A = (1, 1) e B = (3, 9). Interprete geometricamente. 2. Mostre que a equa¸c˜ao x = cos(x) tem exactamente uma solu¸c˜ao real no intervalo [0, π2 ]. 3. Mostre que para qualquer n´ umero real positivo, x, ´e v´alida a desigualdade log(1 + x) < x. Sugest˜ao: Aplique o teorema de Lagrange no intervalo [0, x] a uma fun¸c˜ao adequada. 4. Mostre que a equa¸c˜ao ex = 1 + x tem uma u ´nica solu¸c˜ao. Sugest˜ao: Para a unicidade utilize o teorema de Rolle com f (x) = ex − 1 − x. 5. Verifique as condi¸c˜oes do teorema de Lagrange para f (x) = x − x3 no intervalo [−2, 1] e determine o ponto c ∈ [−2, 1] referido na tese do mesmo teorema. 6. Prove que f (x) satisfaz as condi¸c˜oes do teorema de Rolle e indique no intervalo dado 0 os n´ umeros c tais que f (c) = 0, sendo: (a) f (x) = x3 − x; [0, 1]. (b) f (x) = x4 − 2x2 − 8; [−2, 2]. (c) f (x) = sen(x); [0, π]. 7. Prove que a equa¸c˜ao 4x3 + 6x = 1 n˜ao tem solu¸c˜oes no intervalo ] − 1, 0[. 8. Verifique as seguintes desigualdades (a) ex > 1 + x +
x2 , se x > 0 2 13
(b) x −
x3 < sen(x) < x, se x > 0 6
9. Considere a fun¸c˜ao f (x) = x2 sen( x1 ) para x 6= 0 e f (0) = 0. (a) Mostre que f ´e cont´ınua e diferenci´avel no ponto 0. (b) Mostre que a derivada de f se anula em qualquer intervalo do tipo ]0, ε[, com ε > 0. (c) Mostre n˜ao existe lim f 0 (x).
x→0
(d) Ser´a possivel determinar o valor do seguinte limite atrav´es da regra de Cauchy? lim
x→0
x2 sen( x1 ) . sen(x)
(e) Determine o limite da al´ınea anterior directamente. 10. Calcule os seguintes limites 1 x − (a) lim x→1 x − 1 log(x) (b) lim
x→+∞
1 1+ x
r (c) lim
x→0
log(x)
!1 1+x x 1−x
log(1 + 1 ) 1 x2 (d) lim x→+∞ x 11. Verifique que n˜ao ´e poss´ıvel calcular o seguinte limite atrav´es da regra de Cauchy, e determine-o directamente. x − sen(x) lim . x→∞ x + sen(x) 12. Qual o erro cometido no c´alculo do seguinte limite, onde foi usada sucessivamente a regra de Cauchy: x3 + x − 2 3x2 + 1 6x = lim = lim =3 2 x→1 x − 3x + 2 x→1 2x − 3 x→1 2 lim
Nota: O valor do limite ´e −4.
14
9
F´ ormula de Taylor 1. Determine um polin´omio P (x) de grau 2 tal que P (1) = 3, P 0 (1) = −2 e P 00 (1) = 4. 2. Escreva a f´ormula de MacLaurin, com resto de ordem 3, da fun¸c˜ao f (x) = log(cos(x)). 3. Desenvolva o polin´omio f (x) = x3 − 2x2 + 3x + 5 em potˆencias inteiras de x − 2. 4. Escreva a f´ormula de Taylor, para as seguintes fun¸c˜oes: (a) f (x) = ln(1 + x) com potˆencias de x, resto de ordem 3. 1 (b) f (x) = com potˆencias de x, resto de ordem 3. 1+x (c) f (x) = tg(x) com potˆencias de x, resto de ordem 5. π (d) f (x) = cos(x) com potˆencias de x − , resto de ordem 2. 4 5. Calcule, usando a expans˜ao de Taylor de ordem 3, valores aproximados de: √ (a) 98 (b) 25.1 (c) arctg(1.05) 6. Calcule os seguintes limites atrav´es da expans˜ao de Taylor: x − (x) x→0 x3 tg(x) − x (b) lim x→0 x3 (a) lim
7. Use a f´ormula de Taylor para estabelecer as seguintes desigualdades: (a)
1 (x − 1)2 < 1 − (x − 1) + 3 , ∀x > 1 1 + log(x) 2
x3 , ∀x < 4 2 2 3 i πh x − π2 x − π2 sen(x) π (c) >1+ x− + + , ∀x ∈ 0, 1 + cos(x) 2 2 3 2
(b) x ex ≤ x − x2 +
15
