Análise Dimensional E Semelhança

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Universidade Federal de Viçosa Mecânica dos Fluidos Análise Dimensional e Semelhança   Prof. Dr. Henrique M.P. Rosa Engenharia Mecânica Acesse: mecanicadosfluidos1.blogspot.com 1 Análise Dimensional e Semelhança Análise Dimensional Como pouquíssimos escoamentos reais podem ser solucionados com exatidão usando-se apenas métodos analíticos, o desenvolvimento da mecânica dos fluidos e de máquinas hidráulicas tem dependido muito de resultados experimentais. Muitas vezes experimentos são realizados para validar um modelo analítico ou numérico desenvolvido para representar determinado tipo de escoamento. O trabalho experimental, além de apresentar um alto custo, ele também demanda tempo. Para isso uma forma mais simples e mais barata deve ser empregada para analisar esses escoamentos. A análise dimensional é uma importante ferramenta que em muitos casos nos auxilia na obtenção desse objetivo. 2 Prof. Dr. Henrique Rosa Universidade Federal de Viçosa Engenharia Mecânica Análise Dimensional e Semelhança Análise Dimensional Parâmetros adimensionais Ensaios em modelos com escala reduzida Transposição dos resultados para o protótipo (tamanho real) utilizando as equações e parâmetros adimensionais. Condições de operação do protótipo 3 Prof. Dr. Henrique Rosa Universidade Federal de Viçosa Engenharia Mecânica Análise Dimensional e Semelhança Análise Dimensional Utilização de modelo para estudo da formação de vortex na entrada de uma bomba. 4 Prof. Dr. Henrique Rosa Universidade Federal de Viçosa Engenharia Mecânica Análise Dimensional e Semelhança Análise Dimensional Modelo reduzido do vertedouro de uma grande usina hidroelétrica Laboratório: CTH-USP – São Paulo 5 Prof. Dr. Henrique Rosa Universidade Federal de Viçosa Engenharia Mecânica Análise Dimensional e Semelhança Análise Dimensional Modelo reduzido de um TGV (trem de grande velocidade) em um túnel de vento. As linhas em azul são as linhas de corrente do escoamento. 6 Prof. Dr. Henrique Rosa Universidade Federal de Viçosa Engenharia Mecânica Análise Dimensional e Semelhança Análise Dimensional Seja determinar a força F. m, r F é função de v, D, m, r. F=F(v, D, m, r). 7 Prof. Dr. Henrique Rosa Universidade Federal de Viçosa Engenharia Mecânica Análise Dimensional e Semelhança Análise Dimensional F é função F(v, D, m, r). Prof. Dr. Henrique Rosa Universidade Federal de Viçosa 8 Engenharia Mecânica Análise Dimensional e Semelhança Análise Dimensional Como F=F(v, D, m, r), para caracterização do fenômeno físico seria necessária uma grande quantidade de curvas. (D e r fixos) (r e m fixos) (D e m fixos) 9 Prof. Dr. Henrique Rosa Universidade Federal de Viçosa Engenharia Mecânica Análise Dimensional e Semelhança Análise Dimensional Através da análise dimensional é possível demonstrar que 02 parâmetros adimensionais equivale a função dada. Consequência: A grande quantidade de curvas de grandezas físicas foi substituída por uma única curva de parâmetros adimensionais. 10 Prof. Dr. Henrique Rosa Universidade Federal de Viçosa Engenharia Mecânica Análise Dimensional e Semelhança Análise Dimensional , Supondo que se conheça a curva adimensional? 11 Prof. Dr. Henrique Rosa Universidade Federal de Viçosa Engenharia Mecânica Análise Dimensional e Semelhança Análise Dimensional Procedimento para determinação dos parâmetros p (Teorema dos Pi’s de Buckinghan) “uma equação dimensionalmente homogênea que envolve k grandezas físicas pode ser reduzida entre k-r parâmetros adimensionais independentes, onde r é o número mínimo de dimensões fundamentais necessário para descrever as grandezas.” ou (F, L, T). 12 Prof. Dr. Henrique Rosa Universidade Federal de Viçosa Engenharia Mecânica Análise Dimensional e Semelhança Análise Dimensional Procedimento para determinação dos parâmetros p dos Pi’s de Buckinghan) (teorema 1-listar todas as grandezas envolvidas; 2-escolher o conjunto de dimensões fundamentais; 3-expressar todos os parâmetros envolvidos em função das dimensões fundamentais; 4-determinar o número necessário de parâmetros p; 5-selecionar as grandezas repetidas em número igual ao das dimensões fundamentais, que deverão: -contemplar as dimensões fundamentais; -ser dimensionalmente independentes; -normalmente escolhe-se aquelas que são dimensionalmente mais simples. 6-para cada variável não repetida, construa um parâmetro p pela multiplicação da variável não repetida pelo produto das grandezas repetidas elevadas a um expoente que torne a combinação adimensional; 7-verifique se todos os parâmetros p são adimensionais. 13 Prof. Dr. Henrique Rosa Universidade Federal de Viçosa Engenharia Mecânica Análise Dimensional e Semelhança Análise Dimensional Exemplo 2.1: Num escoamento de fluido incompressível num tubo horizontal, a perda de pressão por comprimento de tubo é função do diâmetro do tubo, da massa específica e viscosidade dinâmica do fluido, e da velocidade do escoamento. Determinar os parâmetros adimensionais que podem ser utilizados para correlacionar dados experimentais. Pl  f (D, r, m, V) Solução: 1º passo: grandezas envolvidas Pl –perda de pressão por unidade de comprimento de tubo D –diâmetro r- massa específica m- viscosidade dinâmica V- velocidade 14 Prof. Dr. Henrique Rosa Universidade Federal de Viçosa Engenharia Mecânica Análise Dimensional e Semelhança Análise Dimensional Exemplo 2.1: 2º passo: dimensões fundamentais M= massa L= comprimento T= tempo 3º passo: Pa N / m 2 N kg.m / s 2 kg Pl    3   ML 2 T  2 3 2 2 m m m m m .s D  m  L r  kg  ML3 3 m N.s (kg.m / s 2 ).s kg 1 1 m  2    ML T m.s m m2 V  m  LT 1 s 15 Prof. Dr. Henrique Rosa Universidade Federal de Viçosa Engenharia Mecânica Análise Dimensional e Semelhança Análise Dimensional Exemplo 2.1: 4º passo: Tem-se que: k=5 grandezas envolvidas ( Pl , D, r, m, V ) r=3 dimensões fundamentais (M, L, T) Logo, o número de parâmetros p será: k-r = 5-3 = 2 parâmetros p. 5º passo: seleção das grandezas repetidas Como tem-se 03 dimensões fundamentais, deve-se escolher 03 grandezas repetidas, que deverão: -contemplar as 03 dimensões fundamentais; -ser dimensionalmente independentes; -normalmente escolhe-se aquelas que são dimensionalmente mais simples Logo, escolhe-se D, V e r. 16 Prof. Dr. Henrique Rosa Universidade Federal de Viçosa Engenharia Mecânica Análise Dimensional e Semelhança Análise Dimensional Exemplo 2.1: 6º passo: construção do parâmetro p1 para construção do parâmetro p1 escolhe-se a grandeza não repetida Pl p1  Pl .Da .V brc  M 0 L0T 0 Para p1 ser adimensional deve-se ter: (ML2T 2 ).(L)a .(LT 1 ) b .(ML3 )c  M 0 L0T 0 (Eq. Dimensional) M (1c) .L( 1a  b3c) .T ( 1b )  M 0 L0 T 0 Logo, para os expoentes a, b e c tem-se sistema abaixo: 1+c=0 (vem dos expoentes de M) -2+a+b-3c=0 (vem dos expoentes de L) -2-b=0 (vem dos expoentes de T) Resolvendo o sistema temos que: c=-1 ; b=-2 e a=1. Assim o parâmetro p1 será: p1  Pl .D1 .V 2 r 1 p1  Pl .D V 2r 17 Prof. Dr. Henrique Rosa Universidade Federal de Viçosa Engenharia Mecânica Análise Dimensional e Semelhança Análise Dimensional Exemplo 2.1: 6º passo: construção do parâmetro p2 para construção do parâmetro p2 escolhe-se a grandeza não repetida m Aplicando o mesmo procedimento resulta: m p2  D.Vr p 2  m.D 1 .V 1r 1 Rearranjando, fica: D.V.r p2  m (número de Reynolds Re) 7º passo: Verificar se os parâmetros p são adimensionais P.D (M.L2 .T 2 ).(L) 0 0 0 p1  2   M . L . T V r (L.T 1 ) 2 .(M.L3 ) m (M.L1 .T 1 ) 0 0 0 p2    M . L . T D.V.r (L).(L.T 1 ).(M.L3 ) (verificação ok!!!) (verificação ok!!!) 18 Prof. Dr. Henrique Rosa Universidade Federal de Viçosa Engenharia Mecânica Análise Dimensional e Semelhança Análise Dimensional Exemplo 2.1: O parâmetro p1 pode ser chamando de p dependente, pois nele está a grandeza dependente do problema, pl. Logo, a função de grandezas físicas: Pl  f (D, r, m, V) Equivale a função de parâmetros adimensionais:  D.V.r  Pl .D   G 2 Vr  m  19 Prof. Dr. Henrique Rosa Universidade Federal de Viçosa Engenharia Mecânica Análise Dimensional e Semelhança Análise Dimensional Exemplo 2.2: Num escoamento de água a 16ºC (r=1000kg/m3 e m=1,12.10-3Pa.s) num tubo horizontal de diâmetro interno 12,6mm foram realizados testes variando a velocidade e medindo a queda de pressão por comprimento. Os resultados são mostrados abaixo. a) Utilizando os parâmetros adimensionais do exemplo anterior obter a curva da relação adimensional. b) Determinar a queda de pressão por comprimento para um tubo com diâmetro interno 30mm, para uma velocidade de 2,0m/s. Velocidade (m/s) Queda de pressão (Pa/m) 0,36 0,89 1,78 3,39 7,11 200 987 3383 10500 38300 Comentário: não foi necessário fazer outro ensaio para a letra b) !!!! 20 Prof. Dr. Henrique Rosa Universidade Federal de Viçosa Engenharia Mecânica Análise Dimensional e Semelhança Análise Dimensional Números adimensionais importantes em mecânica dos fluidos 21 Prof. Dr. Henrique Rosa Universidade Federal de Viçosa Engenharia Mecânica Análise Dimensional e Semelhança Análise Dimensional Semelhança e Estudos em Modelos -Os modelos se parecem com os protótipos, -apresentam tamanhos diferentes do protótipo, podem estar envolvidos com fluidos diferentes e sempre operam sob condições diferentes (pressão, velocidade, etc..). -Normalmente o modelo é menor que o protótipo. -Assim, é menos oneroso construir e operar o modelo do que o protótipo. 22 Prof. Dr. Henrique Rosa Universidade Federal de Viçosa Engenharia Mecânica Análise Dimensional e Semelhança Análise Dimensional Semelhança e Estudos em Modelos Aplicação: -máquinas de fluxo -estruturas, -aviões, -navios, -rios, -portos, -barragens, -poluição do ar e da água . 23 Prof. Dr. Henrique Rosa Universidade Federal de Viçosa Engenharia Mecânica Análise Dimensional e Semelhança Análise Dimensional Semelhança e Estudos em Modelos Semelhança geométrica: Todas as dimensões correspondentes entre modelo e protótipo estão relacionadas pelo mesmo fator de escala 24 Prof. Dr. Henrique Rosa Universidade Federal de Viçosa Engenharia Mecânica Análise Dimensional e Semelhança Análise Dimensional Semelhança e Estudos em Modelos 25 Prof. Dr. Henrique Rosa Universidade Federal de Viçosa Engenharia Mecânica Análise Dimensional e Semelhança Semelhança e Estudos em Modelos Turbinas hidráulicas Prof. Dr. Henrique Rosa Plataforma de ensaios de modelos reduzidos Universidade Federal de Viçosa 26 Engenharia Mecânica Análise Dimensional e Semelhança Análise Dimensional Semelhança e Estudos em Modelos Para aplicar a teoria dos modelos, é necessário analisar para cada caso qual(s) os parâmetros adimensionais mais representativos do fenômeno físico. Exemplos: a)Escoamentos internos pressurizados: Re b)Escoamentos em superfície e Canais abertos: Fr c)Escoamentos sobre corpos: Re, Eu d)Escoamento compressível: Ma 27 Prof. Dr. Henrique Rosa Universidade Federal de Viçosa Engenharia Mecânica Análise Dimensional e Semelhança Análise Dimensional Exemplo: Um automóvel deve deslocar-se em ar com uma velocidade de 100km/h. Para determinar a distribuição de pressão foi construído um modelo na escala 1:5 que deve ser testada em água. Determinar a velocidade a ser adotada para o ensaio em água. Considerar viscosidade cinemática do ar igual à 1,5x10-5 m2/s e viscosidade cinemática da água igual à 10-6 m2/s. 28 Prof. Dr. Henrique Rosa Universidade Federal de Viçosa Engenharia Mecânica Análise Dimensional e Semelhança Análise Dimensional Exemplo: Um navio cujo comprimento de casco é 140m deve navegar a 7,6m/s. Calcule: a)o número de Froude Fr; b)para que haja semelhança dinâmica, a que velocidade um modelo na escala 1:30 deve ser rebocado na água? 29 Prof. Dr. Henrique Rosa Universidade Federal de Viçosa Engenharia Mecânica Conservação da massa em processos com múltiplas unidades Exemplo. Deseja-se separar uma mistura contendo 50% de Acetona (A) e 50% de Água (W) em duas correntes, uma rica em acetona e outra rica em água. O processo de separação consiste na extração da acetona da água com Acesse: metil isobutil cetona (M), que dissolve a acetona, mas que é praticamente imiscível na água, seguida por destilação para separar a Acetona do solvente. mecanicadosfluidos1.blogspot.com Determine todos os fluxos abaixo. 88%M 88%M 100kg 30