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ÁLGEBRA VETORIAL - TÓPICOS DAS AULAS 1. Introdução. 2. Escalares e vetores. 3. Vetor unitário. 4. Soma e subtração de vetores. 5. Vetor posição e vetor distância. 6. Multiplicação vetorial. 7. Componentes de um vetor.
Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
Introdução • O eletromagnetismo pode ser considerado como o estudo da interação entre cargas elétricas em repouso e em movimento. • Os princípios do eletromagnetismo se aplicam em várias disciplinas afins, tais como: microondas, antenas, máquinas elétricas, comunicações por satélite, interferência e compatibilidade eletromagnética, conversão eletromecânica de energia e comunicações ópticas, por exemplo.
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Escalares e vetores • Uma grandeza pode ser um escalar ou um vetor. • Um escalar é uma grandeza que só tem magnitude. Exemplo: tempo, massa, distância, temperatura e população. • Um vetor é uma grandeza que tem magnitude e orientação. Exemplo: velocidade, força, deslocamento e campo elétrico. • Uma outra categoria de grandezas físicas é denominada de tensores, dos quais os escalares e os vetores são casos particulares.
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• A teoria do eletromagnetismo é essencialmente um estudo de campos particulares. • Um campo é uma função que especifica uma grandeza particular em qualquer ponto de uma região. • Se a grandeza é escalar, ou um vetor, o campo é dito escalar, ou vetorial.
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Vetor unitário • Um vetor A tem magnitude e orientação. • Um vetor unitário âA, ao longo de A, é definido como um vetor cuja magnitude é a unidade e a orientação é ao longo de A, isto é →
âA =
A →
A dessa forma, podemos escrever A como →
→
A = A âA o que especifica completamente A em termos de sua magnitude e sua orientação. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
• Um vetor A, em coordenadas cartesianas, pode ser representado como
(A , A , A ) x
y
z
ou
Ax â x + Ay â y + Az â z
onde Ax, Ay e Az são denominadas de componentes de A, respectivamente nas direções x, y e z. âx, ây e âz são, respectivamente, os vetores unitários nas direções x, y e z.
Figura 1
Figura 2
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• A magnitude do vetor A é dada por →
A =
A x2 + A y2 + A z2
e o vetor unitário ao longo de A é dado por
âA =
Ax âx + Ayây + Azâz A x2 + A y2 + A z2
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Soma e subtração de vetores • Dois vetores A e B podem ser somados para resultar em um outro vetor C, isto é
→
→
→
C = A+ B • A soma de vetores é feita componente a componente. Dessa forma, se A=(Ax, Ay, Az) e B=(Bx, By, Bz), temos que
→
C = ( A x + B x , A y + B y , Az + B z ) Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
• A subtração de vetores é feita de modo similar
→ D = A − B = A + − B = (A x − B x , A y − B y , A z − B z ) →
→
→
→
• As três propriedades básicas da álgebra que são satisfeitas por quaisquer vetores dados A, B, e C, são as seguintes – Comutativa: →
→
→
→
A+ B = B+ A →
→
k A = A k onde k é um escalar. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
– Associativa: → → → → → A+ B+ C = A+ B + C → → k l A = (kl ) A →
– Distributiva: → → → → k A+ B = k A+ k B
onde k e l são escalares. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
Vetor posição e vetor distância • Um ponto P, em um sistema de coordenadas cartesianas, pode ser representado por (x, y, z). • O vetor posição rP, ou raio vetor, de um ponto P, é um vetor que começa na origem do sistema de coordenadas e termina no ponto P, ou seja, →
→
rP = OP = P − O = xâ x + yâ y + zâ z • O vetor distância é o deslocamento de um ponto a outro.
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• Se dois pontos, P e Q, são dados por (xP, yP, zP) e (xQ, yQ, zQ), o vetor distância, ou vetor separação, é o deslocamento de P a Q, ou seja,
→
→
→
rPQ = rQ − rP = (xQ − xP , yQ − yP , zQ − zP )
Figura 3
Figura 4
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• Um campo vetorial é dito constante, ou uniforme, se não depende das variáveis de espaço x, y, e z. • Por exemplo, →
B = 3 â x − 2 â y + 10 â z é um vetor uniforme, visto que B é o mesmo em qualquer ponto do espaço, enquanto que o vetor →
A = 2 xyâ x + y 2 ây − x 2 zâz
é não uniforme, pois A varia ponto a ponto no espaço. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
Exercícios 1. Dados os vetores A = âx + 3 âz e B = 5âx + 2ây - 6âz, determine: a) b) c) d)
A magnitude de A + B. O vetor 5A – B. A componente de A ao longo de ây. Um vetor unitário paralelo a 3A + B.
2. Dados os pontos P (1, -3, 5), Q (2, 4, 6) e R (0, 3, 8), determine: a) Os vetores posição de P e R. b) O vetor distância rQR. c) A distância entre os pontos Q e R.
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Multiplicação vetorial •
Quando dois vetores, A e B, são multiplicados entre si, o resultado pode ser um escalar ou um vetor, dependendo de como eles são multiplicados.
1. Produto ponto ou escalar: ― É definido, geometricamente, como o produto das magnitudes de A e B e do cosseno do ângulo entre eles, ou seja, →
→
→
→
A ⋅ B = A B cos θ AB onde θAB é o menor ângulo entre os vetores A e B. Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
― Se A=(Ax, Ay, Az) e B=(Bx, By, Bz), temos que →
→
A⋅ B = A x B x + A y B y + A z B z ― Dois vetores A e B, são ditos ortogonais, ou perpendiculares, um em relação ao outro, se A.B=0. ― O produto escalar satisfaz as seguintes propriedades: →
→
→
→
A⋅ B = B⋅ A
Comutativa
→ → → → → → A⋅ B + C = A⋅ B + A⋅C
→
→
→
→
2
Distributiva
A⋅ A = A Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
2. Produto cruzado ou vetorial: ― É uma quantidade vetorial cuja magnitude é a área do paralelogramo formado por A e B e cuja orientação é dada pelo avanço de um parafuso de rosca direita à medida que A gira em direção a B.
Figura 5 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
― Dessa forma, →
→
→
→
A× B = A B sen θ AB â n onde θAB é o menor ângulo entre os vetores A e B e ân é um vetor unitário normal ao plano que contém A e B. ― A orientação de ân é tomada como a orientação do polegar da mão direita quando os dedos da mão direita giram de A até B.
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― Se A=(Ax, Ay, Az) e B=(Bx, By, Bz), então
âx
ây
âz
A× B = Ax
Ay
Az
Bx
By
Bz
→
→
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― O produto vetorial tem as seguintes propriedades: →
→
→
→
A× B = − B × A
Não é comutativo
→ → → → → A× B× C ≠ A× B × C
Não é associativo
→ → → → → → A× B + C = A× B + A× C
É distributivo
→
→
→
→
A× A = 0 Escola Politécnica de Pernambuco - Notas de aula de Eletromagnetismo 1 – Prof. Helder A. Pereira
3. Produto escalar triplo: ― Dados três vetores A, B e C, definimos o produto escalar triplo como
→ → → → → → → → A⋅ B × C = B ⋅ C × A = C ⋅ A × B
→
― Se A=(Ax, Ay, Az), B=(Bx, By, Bz) e C=(Cx, Cy, Cz), então o produto escalar triplo pode ser entendido como o volume de um paralelepípedo tendo A, B e C como arestas.
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― Esse volume é obtido da seguinte forma
Ax
→ → A⋅ B × C = B x Cx
→
Ay
Az
By
Bz
Cy
Cz
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4. Produto vetorial triplo: ― Para os três vetores A, B e C, definimos o produto vetorial triplo como
→ → → → → A× B × C = B A ⋅ C
→
→ → → − C A⋅ B
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Componentes de um vetor • Dado um vetor A, definimos a componente escalar AB de A, ao longo do vetor B, como
→
AB = A ⋅ â B • A componente vetorial AB de A, ao longo de B, é simplesmente a componente escalar AB multiplicada por um vetor unitário ao longo de B, isto é
→
AB = AB âB
= A⋅ âB →
âB
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Exercícios 3. Se A = âx + 3 âz e B = 5âx + 2ây - 6âz, determine θAB. 4. Sejam E = 3ây + 4âz e F = 4âx - 10ây + 5âz, determine: a) A componente de E ao longo de F. b) O vetor unitário ortogonal a E e F, simultaneamente. 5. Se P1 é (1, 2, -3) e P2 é (-4, 0, 5), determine: a) A distância P1 P2. b) A equação vetorial da linha P1 P2. c) A menor distância entre a linha P1 P2 e o ponto P3 (7, 1, 2).
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