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AUTOVALORES E AUTOVETORES Definição Seja T : V → V um operador linear. Um vetor v ∈V , v ≠ 0V , é dito autovetor, vetor próprio ou vetor característico do operador T, se existir λ ∈ R tal que T ( v ) = λ ⋅ v .
O escalar λ é denominado autovalor, valor próprio ou valor característico do operador linear T associado ao autovetor v. Exemplos: 1) T : R 2 → R 2 ( x, y ) a (3x,8 x − y )
(1,2) é autovetor de T associado ao autovalor λ = 3 , pois T (1,2) = (3,6) = 3 ⋅ (1,2) . 2) T : R 3 → R 3
( x , y , z ) a ( x + y + z ,2 y + z ,2 y + 3 z ) (1,1,2) é autovetor de T associado ao autovalor λ = 4 , pois T (1,1,2) = ( 4,4,8) = 4 ⋅ (1,1,2) e (1,−1,1) é autovetor de T associado ao autovalor λ = 1 , pois T (1,−1,1) = (1,−1,1) = 1 ⋅ (1,−1,1) . Seja v é um autovetor do operador linear T associado ao autovalor λ então kv ∈ V também é um autovetor de T associado ao autovalor λ , para todo k ∈ R , k ≠ 0 . Exemplo: Seja o operador linear T ( x, y ) = (3x,8 x − y ) . O vetor v = (1,2) é autovetor associado ao autovalor λ = 3 . Como T (2 ⋅ (1,2)) = T (2,4) = (6,12) = 3 ⋅ (2,4) , o vetor ( 2,4) é também autovetor de T associado a
λ = 3. Seja λ é um autovalor do operador linear T. O conjunto Vλ = {v ∈ V | T (v) = λv} de todos os autovetores associados a λ juntamente com o vetor nulo 0V , é denominado autoespaço correspondente ao autovalor λ . Exemplo: Considere o operador T ( x, y ) = (3x,8 x − y ) .
{
}
O autoespaço V3 = ( x, y ) ∈ R 2 | T ( x, y ) = 3( x, y ) = {( x,2 x), x ∈ R} corresponde ao autovalor λ = 3 .
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Cálculo de Autovalores, Autovetores e Autoespaços Seja o operador linear T : V → V tal que dim V = n . Por definição, T ( v ) = λ ⋅ v , com v ∈V , v ≠ 0V e λ ∈ R . Considere o operador identidade I V : V → V tal que I V ( v ) = v . Assim, T (v) = λI V (v) . Então, T (v) − λI V (v) = 0V . Pela definição de multiplicação por escalar em transformações lineares, T (v) − (λI V )(v) = 0V . Pela definição de adição de transformações, (T − λI V )(v) = 0V . Então, o vetor v ∈V , v ≠ 0V , deve pertencer ao núcleo do operador (T − λI V ) , isto é, v ∈ Ker (T − λI V ) , com v ≠ 0V . Portanto, o operador linear (T − λI V ) não é injetivo, consequentemente, não é bijetivo, nem invertível. O fato do operador linear não ser invertível é equivalente ao do determinante de sua matriz associada, dada uma certa base, ser zero. A equação det([T ] A − λI n ) = 0 , onde I n é a matriz identidade de ordem n, é denominada de equação característica. O polinômio det([T ] A − λI n ) é denominado polinômio característico de T, e suas raízes em R são os autovalores do operador linear T. Exemplo: Seja T : R 2 → R 2 tal que T ( x, y ) = (3x,8 x − y ) e considere a base canônica do R2. 0 1 0 λ 0 3 = Assim, [T ] = e λI 2 = λ 0 1 0 λ 8 − 1 3 0 λ 0 3 − λ − = Então, [T ] − λI 2 = 8 − 1 0 λ 8 3 − λ det([T ] − λI 2 ) = det 8
0 − 1 − λ
0 = (3 − λ )(−1 − λ ) − 1 − λ
λ = 3 det([T ] − λI 2 ) = 0 ∴ (3 − λ )(−1 − λ ) = 0 ∴ 1 λ 2 = −1
Logo, λ1 = 3 e λ 2 = −1 são os autovalores do operador linear T.
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Tendo encontrado os autovalores λi , com 1 ≤ i ≤ dim V . Os autovetores são os vetores v ∈V , v ≠ 0V tais que (T − λI V )(v) = 0V . Considere uma base A para o espaço vetorial V e a equação matricial ([T ] A − λI n ) ⋅ [v] A = 0 n×1 , onde 0 n×1 é a matriz nula de ordem n × 1 . Substituindo cada autovalor λi encontrado na equação matricial, obtém-se um sistema de equações lineares. Resolvendo-se cada um destes sistemas, os autovetores associados a cada um do autovalores são obtidos, e, consequentemente, os autoespaços Vλi . Exemplo: Seja T : R 2 → R 2 tal que T ( x, y ) = (3x,8 x − y ) com autovalores λ1 = 3 e λ 2 = −1 e a base canônica do R2. Para λ1 = 3 : ([T ] − 3I 2 ) ⋅ [v] = 0 2×1 3 0 1 0 x 0 8 − 1 − 3 0 1 ⋅ y = 0 ∴
3 0 3 0 x 0 0 0 x 0 8 − 1 − 0 3 ⋅ y = 0 ∴ 8 − 4 ⋅ y = 0
8x − 4 y = 0∴ y = 2 x V3 = {( x,2 x ), x ∈ R} Para λ2 = −1 : ([T ] − (−1) I 2 ) ⋅ [v] = 0 2×1 3 0 1 0 x 0 4 0 x 0 4 x = 0 8 − 1 + 0 1 ⋅ y = 0 ∴ 8 0 ⋅ y = 0 ∴ 8 x = 0 ∴ x = 0 V −1 = {(0, y ), y ∈ R} .
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Multiplicidade de Autovalores Sejam V um espaço vetorial, T um operador linear em V e λi ∈ R , com 1 ≤ i ≤ dim V , um autovalor deste operador. O número de vezes que ( λ − λi ) aparece como um fator do polinômio característico de T é denominado de multiplicidade algébrica de λi , cuja notação é m a ( λi ) . A dimensão do autoespaço Vλi é denominada a multiplicidade geométrica de λi , cuja notação é
m g ( λi ) . Exemplos: Considerando a base canônica do R3. 1) T : R 3 → R 3 tal que T ( x, y, z ) = ( 4 x + 2 y + 2 z,2 x + 4 y + 2 z,2 x + 2 y + 4 z ) 4 − λ 4 2 2 [T ] = 2 4 2 e [T ] − (λI 3 ) = 2 2 2 4 2
2 4−λ 2
2 2 4 − λ
det([T ] − λI 3 ) = 0 ∴ λ3 − 12λ + 36λ − 32 = 0 ∴ (λ − 2) 2 (λ − 8) = 0
λ1 = 2 e V 2 = {( − y − z, y , z ), y , z ∈ R}
λ2 = 8 e V8 = {( z, z, z ), z ∈ R} O autovalor 2 ocorre duas vezes como raiz do polinômio característico, m a ( 2) = 2 , e seu autoespaço possui dimensão igual a 2, m g ( 2) = 2 . Já o autovalor 8 ocorre única vez como raiz,
m a (8) = 1 , e dim V8 = 1 = m g (8) .
2) T : R 3 → R 3 tal que T ( x, y, z ) = (3x,2 y , y + 2 z ) 3 − λ 3 0 0 [T ] = 0 2 0 e [T ] − (λI 3 ) = 0 0 1 2 0
0 2−λ 1
0 0 2 − λ
det([T ] − ( λ ⋅ I 3 )) = 0 ∴ λ3 − 7λ2 + 16λ − 12 = 0 ∴ ( λ − 2) 2 ( λ − 3) = 0
λ1 = 2 e V2 = {(0,0, z ), z ∈ R}
λ2 = 3 e V3 = {( x,0,0), x ∈ R} O autovalor 2 ocorre duas vezes como raiz do polinômio característico, m a ( 2) = 2 , e dim V2 = 1 = m g (2) . O autovalor 3 ocorre única vez como raiz, m a (3) = 1 , e dim V3 = 1 = m g (3) .
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Diagonalização de Operadores Lineares Dado um operador linear T : V → V , existem representações matriciais de T relativas as bases de V. Dentre estas representações, a considerada mais simples é uma matriz diagonal. Como a cada base corresponde uma matriz, a questão se resume na obtenção de uma certa base, cuja representação matricial do operador linear T em relação a esta base é uma matriz diagonal. Assim, esta base diagonaliza o operador linear T. Seja V um espaço vetorial n-dimensional e T : V → V um operador linear. O operador linear T é denominado um operador linear diagonalizável se existir um base A de V tal que [T ] A é uma matriz diagonal. Esta base é composta pelos autovetores do operador linear T. Seja V um espaço vetorial
n-dimensional e T : V → V um operador linear. Se existem
n
autovalores distintos λ1 ,K ,λn então o operador linear T é diagonalizável. Exemplo: Seja o operador linear T : R 3 4 0 3 base canônica do R , então [T ] = − 2 1 − 2 0
→ R 3 tal que T ( x, y, z ) = ( 4 x + z,−2 x + y ,−2 x + z ) e a 1 0 . 1
λ1 = 1 , V1 = {(0, y ,0), y ∈ R} e v1 = (0,1,0) z 2 λ3 = 3 , V3 = {( − z, z, z ), z ∈ R} e v 3 = ( −1,1,1)
λ 2 = 2 , V2 = {( − , z, z ), z ∈ R} e v 2 = ( −1,2,2) 1 0 0 Sendo A = {(0,1,0), ( −1,2,2), ( −1,1,1)} uma base de autovetores, [T ] A = 0 2 0 0 0 3
Se existem r < n autovalores distintos λ1 , K , λr e suas multiplicidades algébricas e geométricas forem iguais, isto é, para todo i = 1,..., r , m a ( λi ) = m g ( λi ) , então o operador linear T é diagonalizável. Exemplo: Seja o operador T : R 3 → R 3 tal que T ( x, y, z ) = ( x + y + z, x + y + z, x + y + z ) e a 1 1 1 3 base canônica do R , então [T ] = 1 1 1 . 1 1 1
λ1 = 0 , V0 = {( − y − z, y, z ), y, z ∈ R} e A1 = {( −1,1,0), ( −1,0,1)} λ2 = 3 , V3 = {( z, z, z ), z ∈ R} e A2 = {(1,1,1)} 0 0 0 Sendo A = A1 ∪ A2 = {( −1,1,0), ( −1,0,1), (1,1,1)} uma base de autovetores, [T ] A = 0 0 0 0 0 3 16
Exercícios 1) Verificar, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores: 2 2 a) ( −2,1) para [T ] = . 1 3 1 − 1 0 3 2 . b) ( −2,1,3) para [T ] = 2 1 2 1
2) Os vetores (1,1) e ( 2,−1) são autovetores de um operador linear T : R 2 → R 2 associados aos autovalores λ1 = 5 e λ2 = −1 , respectivamente. Determinar T ( 4,1) . 3) Determinar o operador linear T : R 2 → R 2 cujos autovalores são λ1 = 1 e λ2 = 3 associados aos autoespaços V1 = {( − y , y ), y ∈ R} e V3 = {(0, y ), y ∈ R} . 4) Determinar os autovalores e os autovetores dos seguintes operadores lineares no R2. a) T ( x, y ) = ( x + 2 y ,− x + 4 y ) b) T ( x, y ) = ( y ,− x ) 5) Dado o operador linear T no R2 tal que T ( x, y ) = ( −3x − 5 y,2 y ) , encontrar uma base de autovetores. 6) Verificar se existe uma base de autovetores para: a) T : R 3 → R 3 tal que T ( x, y, z ) = ( x + y + z,2 y + z,2 y + 3z ) b) T : R 3 → R 3 tal que T ( x, y, z ) = ( x,−2 x − y,2 x + y + 2 z ) c) T : R 3 → R 3 tal que T ( x, y, z ) = ( x,−2 x + 3 y − z,−4 y + 3z ) 7) Seja T : R 2 → R 2 tal que T ( x, y ) = ( 4 x + 5 y ,2 x + y ) . Encontrar uma base que diagonalize o operador T. 8) O operador linear T : R 4 → R 4 tal que T ( x, y , z, t ) = ( x + y + z + t , x + y + z, y + z + t , x + y ) é diagonalizável?
Respostas 1) a) Sim b) Não 2) T ( x, y ) = ( x + 4 y ,2 x + 3 y ) e T ( 4,1) = (8,11) 3) T ( x, y ) = ( x,2 x + 3 y ) 4) a) autovalores: 2 e 3 b) não possui autovalores reais
5) {(1,−1), (1,0)} 6) a) b) Sim c) Não − 1 0 7) A = {(−1,1), (5,2)} e [T ] A = 0 6
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Apêndice E – Teoremas Seja V um espaço vetorial n-dimensional e T : V → V um operador linear. Teo81. Se v ∈V , v ≠ 0V é um autovetor do operador linear T associado ao autovalor λ ∈ R então para todo k ∈ R , k ≠ 0 , o vetor kv é também um autovetor de T associado ao autovalor λ . dem.: T (kv) = kT (v) = por TL2 k (λ v ) = por hipótese (kλ )v = por EV5 (λk)v = comutatividade da multiplicação em R λ (kv) por EV5 Teo82. Seja λ um autovalor de T. Então Vλ ∪ {0V } é um subespaço vetorial de V. Teo83. Sejam os autovetores v e v ′ do operador linear T associados, respectivamente, aos autovalores λ e λ ′ distintos entre si. Então v e v ′ são linearmente independentes. (1) dem.: kv + k ′v ′ = 0V T (kv + k ′v ′) = T (0V ) T (kv) + T (k ′v ′) = 0V kT (v) + k ′T (v ′) = 0V k (λv) + k ′(λ ′v ′) = 0V (2) (kλ )v + (k ′λ ′)v ′ = 0V Multiplicando-se (1) por λ , λ (kv + k ′v ′) = λ 0V λ (kv) + λ (k ′v ′) = 0V (λk )v + (λk ′)v ′ = 0V (kλ )v + (k ′λ )v ′ = 0V (3) Subtraindo (3) de (2), (kλ )v + (k ′λ ′)v ′ − (kλ )v − (k ′λ )v ′ = 0V (k ′λ ′)v ′ − (k ′λ )v ′ = 0V (k ′λ ′ − k ′λ )v ′ = 0V k ′(λ ′ − λ )v ′ = 0V Mas v ′ ≠ 0V e, por hipótese, λ ≠ λ ′ . Assim, k ′ = 0 . Analogamente, k = 0 . Logo, v e v ′ são linearmente independentes. Teo84. Sejam v1 , v 2 ,..., v r autovetores do operador linear T associados a autovalores todos distintos λ1 , λ 2 ,..., λ r . Então os autovetores v1 , v 2 ,..., v r são linearmente independentes. dem.: Por indução em r. Corolário84: Seja um operador linear T : V → V e V um espaço vetorial n-dimensional. Se T possui n autovalores distintos então existe uma base constituída por autovetores.
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Teo85. Sejam V um espaço vetorial n-dimensional e T : V → V um operador linear. Se existem n autovalores distintos λ1 ,K ,λn então o operador linear T é diagonalizável. dem.: Considere uma base de autovetores A = {v1 , v 2 ,..., v n } ⊆ V , tal que v i corresponde ao autovalor λi , para todo i = 1,..., n . Para todo i = 1,..., n , T ( v i ) = λi ⋅ v i = 0 ⋅ v1 + ... + 0 ⋅ v i −1 + λi ⋅ v i + 0 ⋅ v i +1 + ... + 0 ⋅ v n . 0 ... Então, [v i ] A = λi . ... 0 λ1 0 Assim, [T ] A = ... 0
0 λ2 ... 0 . ... ... 0 0 ... λn Logo, o operador linear T é diagonalizável. 0
...
Teo86. Se existem r < n autovalores distintos λ1 ,..,λr e para qualquer autovalor a multiplicidade algébrica for igual a sua multiplicidade geométrica, isto é, para todo i = 1,..., r , m a ( λi ) = m g ( λi ) então o operador linear T é diagonalizável. dem.: Como a multiplicidade geométrica de λi é a dimensão do autoespaço Vλi , então: dim Vλ1 + dim Vλ2 + ... + dim Vλr = dim V = n Considere Ai uma a base do autoespaço Vλi . O conjunto A = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ Ar é uma base do espaço vetorial V. k1 0 ... 0 0 k 2 ... 0 onde k j é um dos autovalores λi , respeitada sua Então, [T ] A = ... ... ... 0 0 0 ... k n multiplicidade algébrica, isto é, o autovalor λi aparecerá tantas vezes na diagonal principal quanto for sua multiplicidade algébrica.
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