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Instituto Superior de Engenharia de Lisboa
ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA Relações binárias e funções Estruturas algébricas Números complexos Quaterniões e rotações 3D
Apêndices ISEL - ADMat Versão 3.9, Setembro de 2012
Por Engº Carlos M. Ribeiro Licenciado em Engenharia Electrotécnica pelo IST
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Álgebra Linear e Geometria Analítica, Volume 1 © 2012 por Engº Carlos M. Ribeiro Licenciado em Engenharia Electrotécnica pelo IST E-mail:
[email protected] Versão 3.9, Setembro de 2012
Por opção pessoal do autor, o presente manual encontra-se escrito de acordo com a antiga ortografia
————— Conteúdo ————— Apêndice A
Relações binárias e funções
A.1
Introdução, 3
A.2
Relações binárias, 4
A.3
Relações de equivalência e de ordem. Conjuntos ordenados, 12
A.4
Relações funcionais, 24
A.5
Famílias, sequências, sucessões e matrizes, 30
Apêndice B
Estruturas algébricas
B.1
Introdução, 3
B.2
Operações binárias e n-árias. Grupóides. Potenciação, 3
B.3
Subconjuntos fechados. Subgrupóides, 8
B.4
Associatividade e comutatividade. Semigrupos, 12
B.5
Elementos absorventes e idempotentes. Distributividade, 22
B.6
Translações. Elementos regulares, 25
B.7
Elemento neutro. Monóides. Elementos invertíveis, 27
B.8
Grupos, 39
B.9
Subgrupos, 46
B.10
Homomorfismos e isomorfismos, 50
B.11
Anéis, anéis de integridade e corpos, 58
B.12
Anéis e álgebras de Boole, 70
Apêndice C
Números complexos
C.1
Introdução, 3
C.2
Construção do corpo dos complexos, 3
C.3
Forma algébrica de um complexo. Conjugado e módulo, 6
C.4
Argumentos de um complexo. Formas trigonométrica e exponencial, 11
C.5
Interpretação geométrica das operações com complexos, 15
C.6
Os complexos e a geometria plana. Transformações do plano, 16
iv
Conteúdo C.7
Potenciação. Expoentes inteiro, racional e real, 31
C.8
A Função exponencial e a função logarítmica complexas, 42
C.9
Funções hiperbólicas complexas directas, 50
C.10
Funções hiperbólicas complexas inversas, 67
C.11
Funções circulares complexas directas, 78
C.12
Funções circulares complexas inversas, 95
C.13
Potência de expoente complexo, 106
C.14
Os complexos e a relação de ordem. Corpos ordenados, 107
C.15
Equação do 2º grau, 111
C.16
Equação do 3º grau. Fórmulas de Cardano, 112
C.17
Complexos e o MATHEMATICA© , 118
Apêndice D
Quaterniões e rotações 3D
D.1
Introdução, 3
D.2
Construção da álgebra dos quaterniões, 4
D.3
Representação matricial complexa de quaterniões, 21
D.4
Representação matricial real de quaterniões, 24
D.5
Forma trigonométrica, 26
D.6
Rotações 3D, 35
D.7
Rotações 3D com quaterniões, 39
D.8
Anexos: quaterniões e o MATHEMATICA© , 45
Bibliografia, 45
————— Lista de figuras ————— Apêndice A
Relações binárias e funções
Fig. A.1
Domínio e contradomínio de uma relação binária, 6
Fig. A.2
Representação sagital de relações binárias, 8
Fig. A.3
Relação Ÿ em ‘, 8
Fig. A.4
Relação “B C − ™” em ‘, 9
Fig. A.5
Relação “B C Ÿ "” em ‘, 9
Fig. A.6
Uma relação binária V e a sua inversa V " , 10
Fig. A.7
A composição V ‰ W de duas relações binárias V e W , 11
Fig. A.8
Noções relativas a uma relação de ordem em ‚, 21
Fig. A.9
Noções relativas a outra relação de ordem em ‚, 22
Fig. A.10 Composição de funções, 28
Apêndice B
Estruturas algébricas
Fig. B.1
Operações nulárias, unárias, binárias e ternárias, 5
Fig. B.2
Composição de funções de E em E, 11
Fig. B.3
A associatividade, 13
Fig. B.4
A operação do exemplo B.3 não é associativa, 15
Fig. B.5
Gráficos das funções 0 ‰ 1 e 1 ‰ 0 , 18
Fig. B.6
Gráficos de 0 e de duas das suas inversas esquerdas, 35
Fig. B.7
Gráficos de 1 e de duas das suas inversas direitas, 36
Fig. B.8
Subgrupo gerado por uma parte E de um grupo †, 48
Fig. B.9
Homomorfismo de grupóides: tem-se 0 ‰ ‡ œ ˜ ‰ 0 # , 50
Fig. B.10 Foto de uma régua de cálculo, 54
Fig. B.11 Gráfico da função ? È - tanh?, 56 Fig. B.12 Triângulo de Pascal, 61
Apêndice C
Números complexos
Fig. C.1
Interpretação geométrica dos complexos, 6
Fig. C.2
Interpretação geométrica da conjugação de complexos, 7
vi
Lista de figuras Fig. C.3
O círculo trigonométrico e os complexos unitários, 11
Fig. C.4
Interpretação geométrica da adição e da subtracção, 15
Fig. C.5
Interpretação geométrica da adição de várias parcelas, 15
Fig. C.6
Interpretação geométrica da multiplicação e da divisão, 16
Fig. C.7
Interpretação geométrica da inversão de um complexo, 16
Fig. C.8
Mediatriz de um segmento, 17
Fig. C.9
Pontos ^ tais que d^ ß EÎd^ ß F œ $ , 19
Fig. C.10 Homotetia de centro na origem e razão < œ $Î#, 20 Fig. C.11 Rotação de centro na origem e ângulo ) œ 1Î', 21 Fig. C.12 Obtenção da imagem geométrica de A œ "ÎD , 23 Fig. C.13 A inversão geométrica com pólo na origem, 24 Fig. C.14 A transformação homográfica: 1, 26 Fig. C.15 A transformação homográfica: 2, 26 Fig. C.16 Modelo de uma linha de transmissão, 27 Fig. C.17 Carta de Smith: 1, 29 Fig. C.18 Carta de Smith: 2, 30 Fig. C.19 Carta de Smith: 3, 31 Fig. C.20 Interpretação geométrica da potenciação com expoente natural, 32 Fig. C.21 Raízes quintas e sextas da unidade, 37 Fig. C.22 Raízes quadradas de um complexo, 39 Fig. C.23 Potência de expoente irracional, 41 Fig. C.24 Gráficos da parte real e da parte imaginária da função exp, 46 Fig. C.25 Tabela relativa à exponencial, 46 Fig. C.26 Linhas coordenadas da função exponencial, 47 Fig. C.27 Imagens geométricas dos logaritmos de um complexo, 48 Fig. C.28 Domínio de inversão da função exponencial, 48 Fig. C.29 Gráficos da parte real e da parte imaginária da função ln, 49 Fig. C.30 Linhas coordenadas da função logarítmica, 50 Fig. C.31 Gráficos da parte real e da parte imaginária da função sinh, 58 Fig. C.32 Gráficos da parte real e da parte imaginária da função cosh, 58
Lista de figuras Fig. C.33 Tabela relativa às funções hiperbólicas directas, 60 Fig. C.34 Linhas coordenadas da função sinh, 61 Fig. C.35 Linhas coordenadas da função cosh, 62 Fig. C.36 Linhas coordenadas da função csch, 63 Fig. C.37 Linhas coordenadas da função sech, 64 Fig. C.38 Linhas coordenadas da função tanh, 65 Fig. C.39 Linhas coordenadas da função coth, 66 Fig. C.40 Domínio de inversão da função sinh, 67 Fig. C.41 Domínio de inversão da função cosh, 68 Fig. C.42 Domínio de inversão da função csch, 69 Fig. C.43 Domínio de inversão da função sech, 69 Fig. C.44 Domínio de inversão da função tanh, 70 Fig. C.45 Domínio de inversão da função coth, 71 Fig. C.46 Linhas coordenadas da função arcsinh, 72 Fig. C.47 Linhas coordenadas da função arccosh, 73 Fig. C.48 Linhas coordenadas da função arccsch, 74 Fig. C.49 Linhas coordenadas da função arcsech, 75 Fig. C.50 Linhas coordenadas da função arctanh, 76 Fig. C.51 Linhas coordenadas da função arccoth, 77 Fig. C.52 Gráficos da parte real e da parte imaginária da função sin, 85 Fig. C.53 Gráficos da parte real e da parte imaginária da função cos, 86 Fig. C.54 Tabela relativa às funções circulares directas, 88 Fig. C.55 Linhas coordenadas da função sin, 89 Fig. C.56 Linhas coordenadas da função cos, 90 Fig. C.57 Linhas coordenadas da função csc, 91 Fig. C.58 Linhas coordenadas da função sec, 92 Fig. C.59 Linhas coordenadas da função tan, 93 Fig. C.60 Linhas coordenadas da função cot, 94 Fig. C.61 Domínios de inversão das funções sin e cos, 95
vii
viii
Lista de figuras Fig. C.62 Domínios de inversão das funções csc e sec, 97 Fig. C.63 Domínios de inversão das funções tan e cot, 98 Fig. C.64 Linhas coordenadas da função arcsin, 100 Fig. C.65 Linhas coordenadas da função arccos, 101 Fig. C.66 Linhas coordenadas da função arccsc, 102 Fig. C.67 Linhas coordenadas da função arcsec, 103 Fig. C.68 Linhas coordenadas da função arctan, 104 Fig. C.69 Linhas coordenadas da função arccot, 105 Fig. C.70 Conjunto de possíveis complexos "positivos", 110
Apêndice D
Quaterniões e rotações 3D
Fig. D.1
Sir William Rowan Hamilton, 3
Fig. D.2
Placa comemorativa, 4
Fig. D.3
Moeda comemorativa do nascimento de Hamilton, 4
Fig. D.4
Tabela que define os produtos de quaterniões, 5
Fig. D.5
Grupo multiplicativo „ "ß „ 3ß „ 4ß „ 5 , 18
Fig. D.6
Tabela que define os produtos das matrizes da base de ‡w , 24
Fig. D.7
Rotação em ‘$ , 36
Fig. D.8
Rotações e quaterniões, 44
————— Simbologia —————
Lógica c:................................................... negação (not) da proposição : : ” ; ................................................disjunção (or) das proposições : e ; : ”† ; ................................................disjunção exclusiva (xor) das proposições : e ; : • ; ................................................conjunção (and) das proposições : e ; : Ê ; .............................................. : implica ; : ´ ;ß : Í ; ...................................equivalência das proposições : e ; sse................................................... se e só se a...................................................... quantificador universal (qualquer que seja...) b...................................................... quantificador existencial (existe pelo menos um...) b" .................................................... quantificador existencial exclusivo (existe um e um só...) q.e.d................................................ quod erat demonstrandum
Conjuntos +ß ,ß -ß á .................................... conjunto formado por +ß ,ß -ß á B − \À pB................................ conjunto dos elementos de \ com a propriedade pB gß ................................................ conjunto vazio P\ .............................................. conjunto das partes (subconjuntos) do conjunto \
Ec ß E............................................... complementar do conjunto E E Ï F .............................................. diferença entre os conjuntos E e F E ∪ F ..............................................reunião dos conjuntos E e F E ∩ F ..............................................intersecção dos conjuntos E e F +ß ,............................................... par ordenado formado pelos objectos + e , E ‚ F ............................................. produto cartesiano dos conjuntos E e F B" ß B# ß á ß B8 ß B5 "Ÿ5Ÿ8 .............lista de comprimento 8 de elementos de um conjunto \ gß ................................................. lista vazia pr5 B................................................ 5ª projecção ou componente da lista B \ 8 ...................................................conjunto das sequências de 8 elementos de \ B5 5−M ............................................família de elementos de um conjunto \ indexada por M pr3 B.................................................projecção ou componente de índice 3 da família B (B3 ) \ M ................................................... conjunto das famílias de elementos de \ indexadas por M \Î<.................................................conjunto quociente do conjunto \ pela relação de equivalência < E3 ................................................reunião duma família de conjuntos E3 ............................................... intersecção duma família de conjuntos
3−M
3−P
x
Simbologia
Relações binárias œ ...................................................igual Á ...................................................diferente − ................................................... pertence a, é elemento de  ................................................... não pertence a, não é elemento de § ...................................................está contido em, é uma parte de ¨ ...................................................contém, é sobreconjunto de § Î ...................................................não está contido em, não é parte de
Funções 0 B................................................ valor da função 0 no ponto B ] \ .................................................. conjunto das funções de \ em ] 0
0 À \ Ä ] ß \ Ä ] ........................ 0 é função de \ em ]
B È Cß B È 0 Bß B È C ............... B é aplicado por 0 em C ou 0 B I\ ................................................... relação (função) identidade no conjunto \ 0 E................................................imagem directa do conjunto E por 0 0 " E............................................pré-imagem do conjunto E por 0 0 " C .............................................pré-imagem do conjunto singular C ou traço de C por 0 0 " .................................................. função inversa da função injectiva 0 1 ‰ 0 ................................................ composta das funções 1 e 0 (1 após 0 ) lim 0 B.......................................... limite da função 0 no ponto + 0
0 +ß 0 ww +ß 0 5 +.......................derivada de 1ª ordem, 2ª ordem, ordem 5 de 0 em + 0 w ß 0 ww ß 0 5 .......................................função derivada de 1ª ordem, 2ª ordem, ordem 5 de 0 lnBß log+ B........................................ logaritmo neperiano de B !, logaritmo de B na base + /B ß exp B.......................................... função exponencial de base / +B .................................................... função exponencial de base + ! sinß cos............................................ funções seno e coseno arcsinß arccos...................................funções arcseno e arccoseno , 0 B dB....................................... integral definido da função 0 entre os pontos + e , + 0 B dB........................................ integral definido da função 0 estendido ao intervalo M M BÄ+ w
Estruturas B C ...............................................soma dos elementos B e C de um grupóide aditivo B ‚ Cß B † Cß B C ............................... produto dos elementos B e C de um grupóide multiplicativo !...................................................... elemento neutro (zero) de um grupóide aditivo "...................................................... elemento neutro (um, unidade ou identidade) de um grupóide multiplicativo B...................................................oposto (simétrico) do elemento regular B, num monóide aditivo " B ß "ÎB.......................................... oposto (inverso) do elemento regular B, num monóide multiplicativo B5 .............................................. soma da lista B3 "Ÿ3Ÿ8 de elementos de um semigrupo 8
5œ"
comutativo aditivo
Simbologia
xi
B5 ............................................... produto da lista B3 "Ÿ3Ÿ8 de elementos de um semigrupo 8
5œ"
comutativo multiplicativo E z F ............................................. E é isomorfo de F
Números Inteiros e Racionais ! ....................................................conjunto dos números naturais com zero !ß "ß #ß á ß 8ß á ß ™ .............................................. conjunto dos números naturais "ß #ß á ß 8ß á 7ß 8.............................................. conjunto dos inteiros entre 7 e 8 inclusivé "ß 8................................................intervalo "ß #ß á ß 8 § ™......................................................conjunto dos inteiros ™ ................................................... conjunto dos inteiros ! ™‡ ....................................................conjunto dos inteiros Á ! ™: ....................................................anel dos inteiros módulo : (corpo, se : é primo) ..................................................... conjunto dos números racionais ...................................................conjunto dos racionais ! ! ...................................................conjunto dos racionais ! ...................................................conjunto dos racionais ! ! ...................................................conjunto dos racionais Ÿ ! ‡ ................................................... conjunto dos racionais Á !
Combinatória 8x.....................................................factorial de 8 T8 ß E88 ............................................. permutações de 8
8: .................................................combinações de 8 elementos tomados : a : (coeficientes binomiais) de 8 elementos tomados : a :
E8: ................................................... arranjos
Números reais ‘..................................................... conjunto dos números reais ‘ ................................................... conjunto dos números reais ! ‘ ! ................................................... conjunto dos números reais ! ‘ ...................................................conjunto dos números reais ! ‘ ! ...................................................conjunto dos números reais Ÿ ! ‘‡ ....................................................conjunto dos números reais Á ! ‘..................................................... recta acabada † ‘..................................................... recta projectiva 1......................................................pi, razão entre o perímetro e o diâmetro de qualquer circunferência /...................................................... número de Neper, base da função exponencial B È expB B Ÿ Cß C B...................................relação de ordem em ß ™ß ou ‘ B Cß C B...................................relação de ordem estrita em ß ™ß ou ‘ +ß ,ß +ß ,ß +ß ,ß +ß ,................. intervalos limitados em ‘ ou num espaço ordenado
xii
Simbologia
∞ß ,ß ∞ß ,........................... intervalos não limitados inferiormente em ‘ ou num espaço ordenado (secções inferiores) +ß ∞ß +ß ∞.......................... intervalos não limitados superiormente em ‘ ou num espaço ordenado (secções superiores) + ¸ ,............................................... + aproximadamente igual a , B....................................................módulo do real B max \ ............................................. máximo do conjunto \ min \ ..............................................mínimo do conjunto \ sup \ .............................................. supremo do conjunto \ inf \ ................................................ínfimo do conjunto \ ∞ß ∞........................................ menos infinito, mais infinito em ‘
Números complexos ‚..................................................... conjunto dos números complexos ‚‡ ....................................................conjunto dos números complexos Á ! 3‘.................................................... conjunto dos imaginários puros B 3C..............................................forma algébrica de um complexo
ß Ew ........................................matriz transposta de E E..................................................... matriz conjugada de E E‡ ....................................................matriz transconjugada de E EF .................................................. produto das matrizes E e F cE................................................ característica da matriz E trE................................................traço da matriz quadrada E diag-" ß -# ß á ß -8 ........................ matriz diagonal de elementos diagonais -" ß -# ß á ß -8 X//w .................................................. matriz de mudança da base / para a base /w E3" ß á ß 3: à 4" ß á ß 4; ....................Submatriz de E, obtida seleccionando as linhas 3" ß á ß 3: e as colunas 4" ß á ß 4; de E E3" ß á ß 3: à 4" ß á ß 4; ............Submatriz de E, obtida seleccionando as linhas 3" ß á ß 3: e as colunas 4" ß á ß 4; de E EMà N ............................................ Submatriz de E, obtida seleccionando as linhas cujos índices pertencem aos conjuntos M e N E3" ß á ß 3: à 4" ß á ß 4; ...................Submatriz de E, obtida eliminando as linhas 3" ß á ß 3: e as colunas 4" ß á ß 4; de E E3" ß á ß 3: à 4" ß á ß 4; ................... Submatriz de E, obtida seleccionando as linhas 3" ß á ß 3: e eliminando as colunas 4" ß á ß 4; de E E3" ß á ß 3: à 4" ß á ß 4; ................... Submatriz de E, obtida eliminando as linhas 3" ß á ß 3: e seleccionando as colunas 4" ß á ß 4; de E "Ÿ4Ÿ8
Simbologia Funções lineares HomIß J , LIß J ..................... espaço vectorial das funções lineares de I em J EndI ........................................... álgebra dos endomorfismos de I Ker2, Nuc2...............................núcleo da aplicação linear 2 Img2, Im2, 2I ......................imagem da aplicação linear 2 definida em I c2, -2 ........................................... característica da aplicação linear 2 n2, 82 .......................................... nulidade da aplicação linear 2 OJ I .................................................função (linear) nula do espaço I no espaço J OI ...................................................endomorfismo nulo no espaço I det2..............................................determinante do endomorfismo 2 Q0/ 2............................................representação matricial da função linear 2 nas bases 0 e / Q/ 2............................................. representação matricial do endomorfismo 2 na base / Funções multilineares e determinantes Æ8 ................................................... grupo simétrico de ordem 8 I8 .................................................... permutação identidade de ordem 8 5 ß 7 ..................................................permutação, transposição 5 " .................................................. permutação inversa de 5 &5 .................................................sinal ou paridade da permutação 5 . detE3" ß á ß 3: à 4" ß á ß 4: ............menor de ordem : da matriz E detE3" ß á ß 3: à 4" ß á ß 4: ...........menor complementar do anterior cofdetE3" ß á ß 3: à 4" ß á ß 4: ....cofactor do menor detE3" ß á ß 3: à 4" ß á ß 4: cof+34 ß cof+34 ................................ cofactor de +34 s..................................................... matriz complementar de E (matriz dos cofactores dos E elementos de E) adjE................................................ matriz adjunta de E (transposta da anterior) det/ Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 ........................determinante dos vectores Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 na base / det?..............................................determinante do endomorfismo ? detEß E...................................... determinante da matriz E FI : ß J ........................................ espaço de todas as funções de I : em J
M: Iß J ....................................... espaço das funções :-lineares sobre I com valores em J A: Iß J ........................................ espaço das funções :-lineares alternadas sobre I com valores em J S: Iß J ........................................ espaço das funções :-lineares simétricas sobre I com valores em J OJ I : ............................................... função :-linear nula de I : em J OŠI : ............................................... forma :-linear nula de I : em Š
xv
xvi
Simbologia
Valores e vectores próprios 71 -..............................................multiplicidade geométrica do valor próprio 7+ -............................................. multiplicidade algébrica do valor próprio I- 2.............................................. Subespaço próprio do endomorfismo 2 associado ao valor próprio E2................................................ espectro do endomorfismo 2 :2 - (resp. :E -)........................ polinómio característico do endomorfismo 2 (resp. da matriz E)
Espaços euclidianos t ØBß t CÙß t BlC t t .............................. produto interno dos vectores Bt e Ct Bt † Cß Bt.................................................. norma euclidiana ou hermitiana do vector Bt versBt............................................... versor do vector não nulo Bt proj Ct Bt............................................ projecção ortogonal de Bt sobre Ct Á !t Bt ¼ Ct.............................................. ortogonalidade entre vectores de um espaço com produto interno ¼ E ...................................................complemento ortogonal de E o.n................................................... (base) ortonormada o.n.d................................................ (base) ortonormada directa KBß KBt" ß Bt# ß á ß Bt7 ................ determinante de Gram da lista B œ Bt" ß Bt# ß á ß Bt7 KB ................................................... matriz de Gram da lista B BI .............................................. conjunto das bases de um espaço vectorial
OI ............................................... conjunto das orientações de um espaço vectorial real sgn...................................................sinal de uma base, num espaço euclidiano orientado ÔBt" ß Bt# ß á ß Bt8 Õ............................... produto misto dos vectores Bt" ß Bt# ß á ß Bt8 Bt" ‚ Bt# ‚ á ‚ Bt8" ..................... produto externo dos vectores Bt" ß Bt# ß á ß Bt8" Bt" ‚ Bt# ............................................produto externo dos vectores Bt" e Bt# num espaço euclidiano orientado de dimensão $ BIß J à Š.....................................espaço das formas bilineares sobre I ‚ J BIà Š..........................................espaço das formas bilineares sobre I
AIà Š..........................................espaço das formas bilineares autoadjuntas sobre I QIà Š......................................... espaço das formas quadráticas sobre I SIß J à ‚..................................... espaço das formas sesquilineares sobre I ‚ J SIà ‚.......................................... espaço das formas sesquilineares sobre I
A‚ Iß ‚........................................espaço das formas sesquilineares hermitianas sobre I Q‚ Ià ‘....................................... espaço das formas quadráticas hermitianas sobre I E ...................................................matriz pseudoinversa de E
Simbologia Geometria analítica E, F.................................................Espaço afim, subespaço afim Ò EF , F E....................................vector de origem E e extremidade F dimE............................................... dimensão do espaço afim E R8 ................................................... espaços afins euclidianos reais orientados de dimensão 8 Sà /, Sà /t" ß /t# ß á ß /t8 ............... referencial num espaço afim o.n................................................... abreviatura de ortonormado (para referenciais) o.n.d................................................ abreviatura de ortonormado directo (para referenciais) T B" ß B# ß á ß B8 ............................ponto T de um espaço afim com coordenadas B" ß B# ß á ß B8 num dado referencial T ´ B" ß B# ß á ß B8 ...................... ponto T de um espaço afim com coordenadas B" ß B# ß á ß B8 num dado referencial @t@" ß @# ß á ß @8 ..............................vector de coordenadas @" ß @# ß á ß @8 numa dada base ØEà J Ù............................................. Subespaço afim gerado pelo ponto E e pelo subespaço vectorial J
xvii
A Relações binárias e funções
Sec. A.1] Introdução A.1
3
Introdução
No presente apêndice, definem-se alguns conceitos muito utilizados em Matemática, como sejam os de relação binária e de aplicação e definem-se, depois, noções como as de família, lista, matriz e sucessão de elementos de um conjunto (que são, afinal e ainda, a noção de função sob outras designações) tendo como pano de fundo a teoria dos conjuntos e a lógica, dos quais supomos conhecimentos mínimos: ñ As relações de pertença e de inclusão, as operações de intersecção, reunião e diferença de conjuntos; ñ Designações, expressões designatórias, proposições, expressões proposicionais; negação, conjunção, disjunção, implicação e equivalência de proposições; quantificadores universal e existencial. Definimos ainda alguns conceitos relativos às relações de equivalência (importantes na definição de novos objectos matemáticos – as classes de equivalência) e às relações de ordem. Todavia, talvez a parte mais importante deste apêndice seja o conceito de aplicação que é a generalização moderna da noção clássica de função (numérica) de uma ou mais variáveis numéricas. Devemos fazer aqui duas observações: ç A propriedade essencial de uma aplicação é a de associar a cada valor da “variável independente” um valor único da “variável dependente”; em consequência, não faz sentido falar de uma função com valores múltiplos (as outrora chamadas funções multívocas: bívocas, trívocas e até infinitívocas, consoante o número de “imagens” de cada objecto). É, óbviamente, legítimo definir funções cujos valores são subconjuntos (possivelmente com mais de um elemento) de um conjunto dado, mas tais definições são, na prática, pouco úteis. ç Deve o estudante familiarizar-se com a ideia de que uma função é um “objecto matemático” em si mesmo que pode “variar” e que pode ser considerado como um “ponto” de algum “espaço funcional”: na expressão 0 B pode-se variar o valor de B (o argumento de 0 ), mas também é possível fazer variar 0 (às vezes mantendo B constante). A definição de função aqui dada, como um conjunto de pares ordenados satisfazendo determinada condição, favorece a sua concepção como um objecto matemático como qualquer outro. Certamente, deve já o leitor estar familiarizado com a noção de função (enquanto correspondência unívoca) e ainda com a de gráfico de uma função (conjunto dos pares objecto, imagem) e, habitualmente, fala-se destas duas noções como se se tratasse de dois tipos de objectos distintos em correspondência biunívoca, mas esta é uma mera distinção psicológica (correspondente aos dois pontos de vista, geométrico ou analítico, que podem adoptar-se quando se encara a função); de facto, o que aqui fazemos é identificar a função com o seu gráfico: assim, por exemplo, uma função real de variável real é concebida como um subconjunto 0 de ‘# (formado, portanto, por pares ordenados de números reais) e a unicidade da imagem significa que não pode haver em 0 pares distintos com a mesma abcissa. É, pois, importante que o leitor se habitue a considerar uma função como um objecto, exactamente como um ponto no plano ou um número e a distinguir claramente entre a aplicação 0 e um qualquer dos seus valores 0 B. Acresce a este respeito que, na linguagem usual e em muitos livros é muita vezes feita esta confusão quando se fala de “função 0 B” em vez de “função 0 ” ou ainda de “função sinB” em vez de “função sin”.
4
Relações binárias e funções [Apêndice A
A.2
Relações binárias
Dados dois objectos B e C , chama-se par ordenado ao novo objecto, designado por Bß C , constituído pelos objectos B e C por esta ordem, isto é considera-se Bß C Á Cß B sempre que B Á C. A propriedade fundamental dos pares ordenados é a que define a respectiva igualdade: Bß C œ Bw ß C w Í B œ Bw • C œ C w
A.1
Observe-se que o par ordenado Bß C é distinto do conjunto Bß C (par não ordenado), já que Bß C œ Cß B e Bß B œ B, enquanto que Bß C Á Cß B e Bß B Á B1 . Num par ordenado : œ Bß C o elemento B é chamado a 1ª projecção, 1ª coordenada ou abcissa de : e o elemento C é a 2ª projecção, 2ª coordenada ou ordenada de : e escreve-se B œ pr" : C œ pr# : O par Cß B é dito inverso de Bß C (e é claro que também Bß C é inverso de Cß B e, portanto, o inverso do inverso de Bß C é Bß C ). Definição A.1 – Relação binária – Chama-se relação binária a um conjunto V de pares ordenados: V é uma relação binária Í a: − V Ê b Ê : œ Bß C :
BßC
A.2
Se Bß C − V , diz-se que B e C estão entre si na relação V (ou estão V -relacionados) e escreve-se BVC : Î . Se Bß C Â V , escrevemos BVC
BVC Í Bß C − V
Se V é uma relação binária, o mesmo sucede com W § V : A relação W diz-se uma restrição de V (diz-se ainda que V é um prolongamento ou extensão de W ).
Se V e W são relações, o mesmo sucede com V ∩ W , V ∪ W , V Ï W e com o conjunto vazio g (chamado, neste contexto, relação vazia): ñ Se X œ V ∩ W , então BX C Í BVC • BWC ñ Sendo X œ V ∪ W , então BX C Í BVC ” BWC
1
Pode dar-se uma definição formal de par ordenado, devida ao matemático polaco Kazimierz Kuratowski (Varsóvia 1896 – Varsóvia 1980), em termos da teoria dos conjuntos, pondo ÐB, CÑ œ {{B}, {B, C}}. Com esta definição e com base na teoria dos conjuntos, é fácil provar ÐA.1Ñ.
Sec. A.2] Relações binárias
5
ñ Se X œ V Ï W , tem-se Î BX C Í BVC • BWC Chama-se domínio ou 1ª projecção da relação V e designa-se por HV ou pr" V , o conjunto das primeiras projecções dos pares de V . Do mesmo modo, ao conjunto das segundas projecções dos elementos de V chamamos contradomínio ou 2ª projecção de V , o qual designaremos por GV ou pr# V : HV œ pr" V œ BÀ b Bß C − V C
GV œ pr# V œ CÀ b Bß C − V B
Definição A.2 – Produto Cartesiano – Sendo E e F conjuntos, chama-se produto cartesiano de E por F ao conjunto E ‚ F de todos os pares ordenados, cuja abcissa pertence a E e cuja ordenada pertence a F : E ‚ F œ Bß C À B − E • C − F
Se E e F são finitos, o mesmo acontece com E ‚ F e tem-se #E ‚ F œ #E † #F
A.3
Esta propriedade justifica a designação de “produto cartesiano”. Se E œ F , escrevemos E# (quadrado cartesiano de E) em vez de E ‚ E. Qualquer subconjunto V § E ‚ F é uma relação, dita entre os elementos de E e de F . A relação Y œ E ‚ F é chamada universal entre os elementos de E e de F (visto ser sempre BY C , para quaisquer B − E e C − F ); reciprocamente, toda a relação está contida num produto cartesiano, a saber o produto HV ‚ GV : V § HV ‚ GV
A.4
Uma relação V § E# é chamada relação em E. Em particular, a relação IE œ Bß BÀ B − E (este conjunto é também chamado diagonal de E# ) é chamada relação de igualdade ou identidade em E. Observe que qualquer relação V § E ‚ F entre os elementos de E e de F pode também ser considerada uma relação em E ∪ F , visto que V § E ‚ F Ê V § E ∪ F #
A.5
Do que acabámos de ver se segue que qualquer relação binária V é uma relação em HV ∪ GV , visto que V § HV ‚ GV § HV ∪ GV #
Frequentemente, representa-se o produto cartesiano E ‚ F pelo conjunto dos pontos Bß C de um rectângulo em que E e F correspondem aos respectivos lados (ver figura A.1); uma relação binária V § E ‚ F de E em F fica, então, representada por um subconjunto deste rectângulo.
6
Relações binárias e funções [Apêndice A A B CR B
R
y
(x,y)
CR
R
DR A
x
Fig. A.1 – O domínio e o contradomínio da relação binária V são os segmentos a cheio sobre os lados e F do rectângulo E ‚ F . Observe que V § HV ‚ GV em que HV ‚ GV é constituído pelos rectângulos a sombreado mais claro.
E
Neste tipo de representação gráfica, numa relação V entre elementos dos conjunto E e F , os pares inversos são simétricos em relação à diagonal IE∪F de E ∪ F # formada pelos pares +ß + em que + − E ∪ F (ver figura A.6). O produto cartesiano satisfaz as seguintes propriedades, cuja demonstração deixamos ao cuidado do leitor: Proposição A.1 Sejam E,F ,Ew ,F w e G conjuntos quaisquer. Então: iÑ
E‚F œF‚EÍEœg”F œg”EœF
iiÑ E ‚ F œ g Í E œ g ” F œ g
iiiÑ E ‚ F Á g Ê E ‚ F § Ew ‚ F w Ê E § Ew • F § F w ivÑ E ∪ F ‚ G œ E ‚ G ∪ F ‚ G E ‚ F ∪ G œ E ‚ F ∪ E ‚ G vÑ
E ∩ F ‚ G œ E ‚ G ∩ F ‚ G E ‚ F ∩ G œ E ‚ F ∩ E ‚ G
viÑ E Ï F ‚ G œ E ‚ G Ï F ‚ G E ‚ F Ï G œ E ‚ F Ï E ‚ G
viiÑ E ‚ F ∩ Ew ‚ F w œ E ∩ Ew ‚ F ∩ F w viiiÑ E ‚ F ∪ Ew ‚ F w § E ∪ Ew ‚ F ∪ F w
ixÑ E ∪ Ew ‚ F ∪ F w œ E ‚ F ∪ Ew ‚ F w ∪ E ‚ F w ∪ Ew ‚ F
Dada uma expressão proposicional :Bß C (ou “propriedade” dos pares Bß C ), com B − E e C − F , ela define uma relação V œ Bß C À :Bß C é verdadeira § E ‚ F entre os elementos de E e de F .
Sec. A.2] Relações binárias
7
Exemplo A.1 Se E œ "ß #ß $ß % e F œ +ß /ß 3ß 9ß ?, então
E ‚ F œ "ß +ß "ß /ß "ß 3ß "ß 9ß "ß ?ß #ß +ß #ß /ß #ß 3ß #ß 9ß #ß ?ß $ß +ß $ß /ß $ß 3ß $ß 9ß $ß ?ß %ß +ß %ß /ß %ß 3ß %ß 9ß %ß ?
e tem-se
#E ‚ F œ #E † #F œ % † & œ #!
O conjunto V œ "ß ?ß #ß 3ß #ß 9ß $ß /ß %ß +ß %ß 9ß %ß ? § E ‚ F , com sete elementos, é uma relação entre os elementos de E e de F ; pode o leitor verificar que se trata da relação BVC Í A palavra portuguesa que designa o algarismo B contém a vogal C Podem obter-se outras relações do mesmo modo, mudando a língua; por exemplo, para inglês obtém-se a relação W W œ "ß 9ß "ß /ß #ß 9ß $ß /ß %ß 9ß %ß ?
que corresponde à relação que também pode ser definida por BWC Í A palavra inglesa que designa o algarismo B contém a vogal C Exemplo A.2 Se E œ "ß #ß $ß %ß &ß ', considere-se a relação V em E definida por BVC Í B C é múltiplo de $ Tem-se
V œ "ß #ß "ß &ß #ß "ß #ß %ß $ß $ß $ß 'ß %ß #ß %ß &ß &ß "ß &ß %ß 'ß $ß 'ß '
Observe que E# tem $' elementos e V tem "#.
Quando E e F são finitos, podem usar-se duas representações adicionais: ñ Podemos construir uma tabela de duas entradas onde colocamos os elementos de E e de F e, na intersecção da coluna correspondente a B − E com a linha que corresponde a C − F , colocamos o par Bß C e, para representar os subconjuntos V § E ‚ F , assinalamos os seus elementos nesta tabela como se ilustra a seguir para os casos dos exemplos A.1 e A.2: FlE + / 3 9 ?
"
#
$
%
E
%ß /
" #
%ß 9
%
"ß +
#ß +
$ß +
%ß +
"ß 3
#ß 3
$ß 3
%ß 3
"ß /
"ß 9
"ß ?
#ß /
#ß 9
#ß ?
$ß /
$ß 9
$ß ?
%ß ?
$ & '
"
#
$
%
&
'
"ß "
#ß "
$ß "
%ß "
&ß "
'ß "
"ß $
#ß $
$ß $
%ß $
&ß $
'ß $
"ß # "ß % "ß &
"ß '
#ß # #ß % #ß &
#ß '
$ß # $ß %
$ß &
$ß '
%ß # %ß %
%ß &
%ß '
&ß # &ß %
&ß &
&ß '
'ß # 'ß %
'ß &
'ß '
8
Relações binárias e funções [Apêndice A
ñ Para representar os subconjuntos V § E ‚ F , podemos usar um grafo (ou representação sagital) cujo princípio se apresenta agora: representamos no plano pontos (nós) correspondentes aos elementos de E ∪ F e com a mesma designação que estes e, por cada par Bß C − V , colocamos uma seta orientada do nó B para o nó C (no caso de um par Bß B, desenhamos um caminho fechado de B para B). A figura A.2 seguinte mostra os diagramas sagitais para as relações V dos exemplos A.1 e A.2: A
AB 1
u
4
a
2
1
2
3
5
4
6
o i
3
e
Fig. A.2 – Representação sagital de relações binárias.
Exemplo A.3 Considere-se a relação Ÿ no conjunto ‘ dos números reais. Identificando ‘# com os conjunto dos pontos do plano, a relação Ÿ é constituída pela bissectriz dos quadrantes ímpares e pelos pontos acima desta: y
x y O
x
Fig. A.3 – Relação
Ÿ em ‘.
Exemplo A.4 Considere-se, no conjunto ‘ dos números reais, a relação V definida por BVC Í B C − ™ Procedendo como no exemplo anterior, a relação V é constituída pela família de rectas de equação C œ B 5 , em que 5 − ™:
Sec. A.2] Relações binárias
9 y 3 2 1 0
x
1 2
x y Z
3 Fig. A.4 – Relação “B C
− ™” em ‘.
Exemplo A.5 Considere-se, no conjunto ‘ dos números reais, a relação V definida por BVC Í B C Ÿ "
Procedendo como nos exemplos anteriores, a relação V é constituída por um quadrado cujos vértices são os pontos „ "ß ! e !ß „ " (prove que assim é, a título de exercício): y
1
R
1
1
0
x
|x | |y | 1
1 Fig. A.5 – Relação “B C
Ÿ "” em ‘.
10
Relações binárias e funções [Apêndice A
Definição A.3 – Relação inversa – Chama-se relação inversa de uma relação V à que é formada pelos pares inversos dos pares de V e representa-se por V " , portanto: V " œ Bß C À Cß B − V
A.6
BV " C Í CVB
A.7
Ou ainda,
É claro que se terá: HV" œ GV GV" œ HV é imediato que
V " " œ V
A.8
A figura seguinte ilustra uma relação binária V entre elementos dos conjuntos E e F e a respectiva relação inversa V " . A B R1 x
IA B
(y,x)
R (x,y)
y
y
Fig. A.6 – Uma relação binária
x
AB
V e a sua inversa V " .
Se V é uma restrição de W , então V " é uma restrição de W " V § W Ê V " § W "
Exemplo A.6 No universo dos seres humanos (de ambos os sexos), a relação V œ “é filho(a) de” tem por inversa a relação V " œ “é pai (ou mãe) de”, visto que B é filho(a) de C Í C é pai (ou mãe) de B
Sec. A.2] Relações binárias
11
Definição A.4 – Composição – Dadas duas relações V e W , a relação V ‰ W (ler “V após W”) definida por V ‰ W œ Bß D À bBß C − W • Cß D − V C
A.9
é chamada composta de V com W (por esta ordem). Na figura A.7, faz-se uma interpretação gráfica da composição de relações binárias: a relação V é formada pela reunião de dois segmentos de recta (no plano CSD ) e a relação W pela reunião de dois segmentos de recta e de um triângulo (no plano BSC ). Os dois pontos assinalados com Bw estão W -relacionados com o ponto C w e este está V relacionado com o ponto D w : então, por A.9, os dois pontos Bw estão V ‰ W -relacionados com Dw. Por outro lado, o ponto B está W -relacionado com os pontos do segmento a cheio assinalado com C e cada um destes está V -relacionado com o respectivo ponto no segmento a cheio D : então A.9 mostra que o ponto B estará V ‰ W -relacionado com todos os pontos do segmento a cheio D .
z´
R
R S z
y´
y
x
x´
S
x´ Fig. A.7 – A composição
V ‰ W de duas relações binárias V e W .
Na seguinte proposição, cuja demonstração deixamos ao cuidado do leitor, apresentam-se algumas propriedades da composição de relações binárias:
12
Relações binárias e funções [Apêndice A Proposição A.2 Sejam Vß Wß X e Y relações binárias. Então: iÑ
g‰V œV‰gœg
iiÑ V ‰ W œ g sse GW ∩ HV œ g iiiÑ Em geral, é V ‰ W Á W ‰ V
ivÑ V ‰ W ‰ X œ V ‰ W ‰ X (associatividade) vÑ
IHV § V " ‰ V e IGV § V ‰ V "
viÑ V ‰ W " œ W " ‰ V "
viiÑ HV‰W § HW e GV‰W § GV viiiÑ V § X • W § Y Ê V ‰ W § X ‰ Y
ixÑ V ∪ W ‰ X œ V ‰ X ∪ W ‰ X (distributividade em relação à reunião à direita) V ‰ W ∪ X œ V ‰ W ∪ V ‰ X (distributividade em relação à reunião à esquerda) xÑ
V ∩ W ‰ X § V ‰ X ∩ W ‰ X V ‰ W ∩ X § V ‰ W ∩ V ‰ X
xiÑ V Ï W ‰ X ¨ V ‰ X Ï W ‰ X V ‰ W Ï X ¨ V ‰ W Ï V ‰ X A.3
Relações de equivalência e de ordem. Conjuntos ordenados
Nesta secção, fixaremos a nossa atenção apenas sobre relações num certo conjunto E (de qualquer modo, podemos sempre ser conduzidos a esta situação, como vimos acima). Seja então V § E# uma relação em E: ñ Diz-se que V é reflexiva sse IE § V ou seja
V é reflexiva Í a B − E Ê BVB B
ñ A relação V diz-se anti-reflexiva sse V ∩ IE œ g, ou seja
Î V é anti-reflexiva Í a B − E Ê BVB B
ñ V diz-se simétrica sse V § V " . Portanto,
V é simétrica Í a BVC Ê CVB BßC
A inclusão V § V " implica V " § V e, portanto, V œ V " .
A.10 A.11 A.12
Sec. A.3] Relações de equivalência e de ordem. Conjuntos ordenados ñ V diz-se transitiva sse V ‰ V § V , ou seja
V é transitiva Í a BVC • CVD Ê BVD BßCßD
ñ Diz-se que V é anti-simétrica sse V ∩ V " § IE , ou seja
V é anti-simétrica Í a BVC • CVB Ê B œ C BßC
ñ Diz-se que V é assimétrica sse V ∩ V " œ g, ou seja
Î V é assimétrica Í a BVC Ê CVB BßC
13 A.13
A.14 A.15
ñ A relação V diz-se dicotómica ou total sse E# § V ∪ V " (ou ainda, E# œ V ∪ V " ): V é dicotómica ou total Í a B − E • C − E Ê BVC ” CVB BßC
A.16
Em particular, se C œ B, será BVB ” BVB o que dá BVB. Conclusão: se V é dicotómica, será necessariamente reflexiva.
2 ñ V diz-se tricotómica sse E# § V ∪† V " ∪† IE (ou ainda, E# œ V ∪† V " ∪† IE ). Portanto, 3 V é tricotómica Í a B − E • C − E Ê BVC ”† CVB ”† B œ C BßC
A.17
Definição A.5 – Relação de equivalência – Uma relação num conjunto E que seja reflexiva, simétrica e transitiva diz-se uma relação de equivalência. Por exemplo, a relação IE (ou œ ) de igualdade em E ou a relação ² de paralelismo entre as rectas de um plano são relações de equivalência. A principal propriedade das relações de equivalência é a seguinte: ñ Toda a relação de equivalência em E determina uma partição de E em subconjuntos não vazios (chamados classes de equivalência), disjuntos dois a dois e cuja reunião é E, compostos por elementos equivalentes entre si, mas não equivalentes aos das restantes classes. O conjunto destas classes de equivalência é chamado o conjunto quociente de E por V e designado por EÎV . Cada elemento B − E pertence sempre a uma (e uma só) classe, que é designada por B (leia-se “Classe de B”). As relações de equivalência são usadas em matemática para definir novas entidades ou conceitos com base noutros pre-existentes, como se mostra nos exemplos seguintes:
2 3
O símbolo ∪† significa reunião disjunta: E ∪† F œ ÐE Ï FÑ ∪ ÐF Ï EÑ œ ÐE ∪ FÑ Ï ÐE ∩ FÑ. A propriedade tricotómica de V equivale a dizer que Vß V" ß IE é uma partição de E# . O símbolo ”† significa disjunção exclusiva (ou xor): + ”† , œ Ð+ • µ ,Ñ ” Ð, • µ +Ñ œ µ (+ Í , ).
14
Relações binárias e funções [Apêndice A
Exemplo A.7 Pode definir-se a noção de direcção num plano como sendo cada uma das classes de equivalência da relação ² de paralelismo definida no conjunto E das rectas desse plano; o conjunto ? das direcções do plano é o conjunto quociente de E pela relação ² de paralelismo em E. Cada recta pertence a uma e uma só das classes de equivalência, que é chamada a direcção dessa recta. A direcção de uma recta é, assim, “o atributo que ela tem de comum com todas as que lhe são paralelas”. Exemplo A.8 Como exemplo adicional, pode mencionar-se o conceito de orientação de um espaço vectorial real de dimensão finita estudado na secção 6.7 e que é aí definido como cada uma das duas classes de equivalência em que fica dividido o conjuntos das bases de um tal espaço por uma relação de equivalência adequada (para mais pormenores, consultar aquela secção). Exemplo A.9 Considere-se a seguinte relação = em ‘
= œ Bß C À B# œ C # § ‘#
ñ De B# œ B# conclui-se que = é reflexiva. ñ B# œ C # implica C # œ B# e, portanto, = é simétrica. ñ B# œ C # • C # œ D # implicam B# œ D # , o que mostra que = é transitiva. Geometricamente, = é a reunião das bissectrizes dos quadrantes pares e ímpares no plano. Trata-se de uma relação de equivalência cujas classes de equivalência são formadas pelos conjuntos Bß B, com B − ‘ ! . Esta relação poderia ser usada para definir a noção de módulo de B (que é a propriedade comum aos reais B e B); com esta concepção de módulo, o módulo de B − ‘ seria a classe B œ Bß B (única) a que B pertence. Definição A.6 – Relação de ordem (lata) – Uma relação num conjunto E que seja reflexiva, anti-simétrica e transitiva diz-se relação de ordem4 . Exemplo A.10 As relações § e ¨ de inclusão no conjunto PY das partes de um conjunto universal Y definidas por E § F Í a B − E Ê B − F E ¨ F Í aB − F Ê B − E B B
são relações de ordem não dicotómicas. Exemplo A.11 As relações Ÿ e em ‘ são igualmente relações de ordem (dicotómicas). Exemplo A.12 A relação £ definida em por B £ C Í B é divisor de C
A.18
é uma relação de ordem não dicotómica, ao contrário do que acontece com a relação Ÿ de ordem usual em .
Escreve-se, por vezes, + £ B £ , para significar + £ B • B £ ,. 4
Uma relação que seja apenas reflexiva e transitiva é chamada de pré-ordem.
Sec. A.3] Relações de equivalência e de ordem. Conjuntos ordenados
15
Se £ for uma relação de ordem em E e B £ C , diz-se que B precede C , B é dominado por C ou ainda que C sucede B ou C domina B; Dois elementos Bß C − E dizem-se comparáveis (por £ ) se for B £ C ou C £ B; se não for B £ C nem C £ B, dizemos que B e C são não comparáveis (por £ ). Usando esta linguagem, podemos traduzir a dicotomia A.16 dizendo que £ é dicotómica sse todos os elementos de E forem comparáveis, caso em que dizemos que E é totalmente ordenado ou ainda que a ordem é total ou linear; como a dicotomia implica a reflexividade, podemos colocar a seguinte Definição A.7 – Relação de ordem total ou linear – Uma relação num conjunto E que seja dicotómica, anti-simétrica e transitiva diz-se relação de ordem total. É óbvio que toda a relação de ordem total é uma relação de ordem (porque a dicotomia implica a reflexividade). Se uma relação de ordem não é total, diremos que se trata de uma ordem parcial (portanto, reflexiva mas não dicotómica). Se £ for uma relação de ordem (respectivamente de ordem total) em E, a relação inversa ¤ é ainda uma relação de ordem (respectivamente de ordem total) em E (prove!); portanto: B¤CÍC£B
A.19
Exemplo A.13 Por exemplo, a inversa da relação de ordem parcial £ em definida por A.18 é a relação de ordem parcial ¤ em definida por B ¤ C Í B é múltiplo de C Um conjunto E, munido de uma relação de ordem £ é chamado espaço ou conjunto (parcial ou totalmente) ordenado: trata-se, portanto, do par Eß £ . Definição A.8 – Relação de ordem estrita – Uma relação diz-se de ordem estrita sse for assimétrica e transitiva. A seguinte proposição permite obter uma relação de ordem estrita a partir de qualquer relação ordem: Proposição A.3 Seja £ uma relação de ordem num conjunto E. A relação ¡ definida em E por B¡C ÍB£C•BÁC
A.20
é uma relação de ordem estrita em E (que se diz associada a £ ); se for B ¡ C , dizemos que “B é estritamente menor que C ” ou que “B precede estritamente C ”. Demonstração: Temos que provar que ¡ é assimétrica e transitiva.
ñ Para quaisquer Bß C − E, provemos que B ¡ C Ê cC ¡ B: por absurdo, suponha-se que era B ¡ C • C ¡ B. Por A.20, isto equivale a B £ C • B Á C • C £ B • C Á B ou ainda a B £ C • C £ B • B Á C o que, pela anti-simetria de £ , nos dá B œ C • B Á C , o que é falso!
16
Relações binárias e funções [Apêndice A
ñ Quanto à transitividade, B ¡ C • C ¡ D equivale a B £ C • C £ D • B Á C • C Á D ; pela transitividade de £ , será B £ D . Por outro lado, terá que ser também B Á D , caso contrário era B £ C • C £ B e, portanto B œ C , o que contraria B Á C ! Portanto, é B £ D • B Á D o que equivale a B ¡ D .
Definição A.9 – Relação de ordem estrita total – Uma relação diz-se de ordem estrita total sse for tricotómica e transitiva. Observação:
ñ Se Eß £ é totalmente ordenado ( £ é dicotómica), então a relação ¡ definida em E por A.20 é tricotómica (prove!) e é, portanto, uma relação de ordem estrita total. Exemplo A.14 São relações de ordem estrita total, por exemplo, a relação em ‘ e a relação ¡ chamada ordem lexicográfica em ‚ (induzida pela ordem usual em ‘), definida para quaisquer complexos B 3C e Bw 3C w , por B 3C ¡ Bw 3C w Í B Bw ” B œ Bw • C C w
Definição A.10 – Ordem produto – Sendo Ÿ e £ relações de ordem definidas nos conjuntos E e F respectivamente, a nova relação n definida em E ‚ F pondo, para quaisquer Bß C ß Bw ß C w − E ‚ F , Bß C n Bw ß C w Í B Ÿ Bw • C £ C w
A.21
é ainda uma relação de ordem (prove!) chamada ordem produto induzida em E ‚ F pelas ordens Ÿ e £ . Convém observar que, mesmo que as ordens Ÿ e £ sejam dicotómicas, a ordem n não o será (porquê?). Definição A.11 – Ordem lexicográfica – Sejam Ÿ e £ relações de ordem definidas nos conjuntos E e F respectivamente e a relação de ordem estrita em E associada a Ÿ . Pode provar-se que a relação n definida em E ‚ F pondo, para todos os Bß C ß Bw ß C w − E ‚ F , Bß C n Bw ß C w Í B Bw ” B œ Bw • C £ C w
A.22
é uma relação de ordem em E ‚ F chamada ordem lexicográfica em E ‚ F determinada pelas ordens Ÿ e £ em E e F (note que é esta a ordem usada num dicionário para ordenar as palavras – neste caso de duas letras apenas – a partir da ordem dos caracteres alfabéticos que as compõem). Se Eß Ÿ e Fß £ forem totalmente ordenados, o mesmo sucede com E ‚ Fß n . Exemplo A.15 Consideremos a função <À #! Ä definida por <+ß , œ #+ #, "
Mostremos que a função < é uma bijecção de #! sobre :
A.23
ñ < é injectiva: se <+ß , œ <+w ß ,w , então #+ #, " œ #+ #,w ". Mas esta igualdade w implica + œ +w porque, se fosse + +w , tinha-se #,w " œ #++ #, ", com + +w ! e #,w " seria um número par, o que é absurdo! Do mesmo modo, se fosse +w +, viria agora w #, " œ #+ + #,w ", com +w + !, e #, " seria par, o que é igualmente absurdo! w Então, é + œ +w e, substituindo em #+ #, " œ #+ #,w ", obtemos #, " œ #,w " e imediatamente a , œ ,w . De tudo o que vimos se conclui que +ß , œ +w ß ,w . w
Sec. A.3] Relações de equivalência e de ordem. Conjuntos ordenados
17
ñ < é sobrejectiva: para cada 8 − , existem +ß , − ! tais que 8 œ #+ #, "; bastará dividir sucessivamente 8 por # enquanto 8 for par e parar este procedimento assim que 8 seja ímpar (o que acontece necessariamente ao fim de um número finito de divisões por #, no pior caso, quando ficar 8 œ ", sendo então 8 uma potência de # e , œ !). O algoritmo para determinar +ß , a partir de 8 será + œ !à Enquanto 8 é par
A.24
8 œ 8Î#à + œ + "à , œ 8 "Î#à
Fim
Como < é injectiva, o par +ß , determinado por A.24 é o único satisfazendo A.23. A tabela seguinte mostra os inteiros 8, para ! Ÿ +ß , Ÿ ': , ! " # + $ % & ' ã
! " # % ) "' $# '% ã
" $ ' "# #% %) *' "*# ã
# & "! #! %! )! "'! $#! ã
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% * ") $' (# "%% #)) &(' ã
& "" ## %% )) "(' $&# (!% ã
' "$ #' &# "!% #!) %"' )$# ã
â â â â â â â â ä
Seja agora £ a ordem lexicográfica em #! determinada pela ordem Ÿ usual em ! , isto é, +ß , £ +w ß ,w Í + +w ” + œ +w • , Ÿ ,w
#! ß £ é um conjunto totalmente ordenado, visto que ! ß Ÿ o é. Podemos, agora, ordenar por meio da relação ¥ (de ordem total) definida para quaisquer números naturais w 8ß 8w − decompostos segundo A.23 em 8 œ #+ #, " e 8w œ #+ #,w ", pondo: 8 ¥ 8w Í +ß , £ +w ß ,w Í + +w ” + œ +w • , Ÿ ,w
Trata-se de uma relação de ordem total em completamente diferente da ordem usual: em termos da tabela anterior, um número 8 precede outro número 8w se e só se 8 pertence a uma linha anterior à linha a que pertence 8w ou se ambos estão na mesma linha da tabela, mas 8 está à esquerda de 8w . Por exemplo, é ## Ÿ "#, "$ Ÿ #, %) Ÿ "%% e "# Ÿ ##%. Em geral, todos os números de uma linha precedem os das linhas seguintes e, em cada linha, os números precedem os que estão à sua direita nessa linha.
18
Relações binárias e funções [Apêndice A
Em qualquer espaço ordenado \ß £ definem-se um certo número de noções importantes em vários domínios da Matemática (máximo, supremo, maximal, etc); são essas noções que passaremos a abordar adiante: Definição A.12 – Majorante – Seja \ß £ um espaço ordenado e E § \ . Diz-se que C − \ é um majorante de E sse for B £ C , para todo o B − E, C − \ é majorante de E Í aB − E Ê B £ C B
A.25
Designaremos o conjunto dos majorantes de E por MajE. Definição A.13 – Conjunto majorado – Num conjunto ordenado \ß £ , um subconjunto E § \ diz-se majorado, sse existir em \ algum majorante de E, ou seja MajE Á g. E § \ é majorado Í MajE Á g Í bC − \ • aB − E Ê B £ C C
B
A.26
Vejamos, agora, a
Proposição A.4 Sendo \ß £ um conjunto ordenado e E § \ , o conjunto E ∩ MajE tem, quando muito, um elemento. Demonstração: Sejam Q e Q w dois majorantes de E pertencentes a E. Então tem-se Q £ Q w e Q w £ Q , donde Q œ Q w . O conjunto E ∩ MajE é, portanto, vazio ou singular. Face a este resultado, podemos pôr a seguinte Definição A.14 – Máximo – Seja \ß £ um conjunto ordenado e E § \ . O elemento Q − E ∩ MajE (que, existindo, é único) é chamado o máximo de E e é designado por maxE ou maxE, Q é máximo de E Í Q − E • a B − E Ê B £ Q B
A.27
De forma semelhante se definem as noções de minorante, conjunto minorado e mínimo de E § \ , sendo o conjunto dos minorantes de E designado por MinE e o mínimo de E, se existir, por minE ou minE: Definição A.15 – Minorante – Seja \ß £ um conjunto ordenado e E § \ . Diz-se que C − \ é um minorante de E sse for C £ B, para todo o B − E, C − \ é minorante de E Í aB − E Ê C £ B B
A.28
Sec. A.3] Relações de equivalência e de ordem. Conjuntos ordenados
19
Definição A.16 – Conjunto minorado – Num conjunto ordenado \ß £ , um subconjunto E § \ diz-se minorado, sse existir em \ algum minorante de E, ou seja MinE Á g. E § \ é minorado Í MinE Á g Í bC − \ • aB − E Ê C £ B C
B
A.29
Definição A.17 – Mínimo – Seja \ß £ um espaço ordenado e E § \ . O elemento 7 − E ∩ MinE (que, existindo, é único) é chamado o mínimo de E e é designado por minE ou minE, 7 é mínimo de E Í 7 − E • aB − E Ê 7 £ B B
A.30
Podemos definir conjunto limitado pondo
Definição A.18 – Conjunto limitado – Seja \ß £ um conjunto ordenado e E § \ . Dizse que E é limitado sse E § \ é simultâneamente minorado e majorado E § \ é limitado Í MinE Á g • MajE Á g Í b w Cß C w − \ • aB − E Ê C £ B £ C w CßC
B
Definiremos, de seguida, as importantes noções de supremo e ínfimo de um conjunto:
Definição A.19 – Supremo – Seja \ß £ um conjunto ordenado e E § \ . Se E for majorado e existir o mínimo de MajE – único como vimos acima – ele é chamado o supremo de E, sendo designado por supE ou supE: supE œ minMajE
A.31
O supremo de E é, pois, um majorante de E que preceda todos os majorantes de E. Observese ainda que, se E tem elemento máximo Q , então E terá também supremo e supE œ maxE. Pode, todavia, existir supE e não existir maxE: Exemplo A.16 Por exemplo, em ‘ com a ordem usual Ÿ , o conjunto ‘ não tem máximo, mas tem supremo sup‘ œ !). De forma análoga se define o ínfimo de E (único, se existir), pondo
Definição A.20 – Ínfimo – Seja \ß £ um conjunto ordenado e E § \ . Se E for minorado e existir o máximo de MinE – único como vimos acima – ele é chamado o ínfimo de E, sendo designado por infE ou infE: infE œ maxMinE
A.32
Também aqui, se E tem elemento mínimo 7, então E terá também ínfimo e infE œ minE, mas pode existir infE sem que exista minE.
Exemplo A.17 Considere-se um conjunto universal Y e o espaço ordenado PY ß § ; observe que a relação de inclusão § em PY é uma ordem não dicotómica. Para quaisquer
20
Relações binárias e funções [Apêndice A
Eß F − PY , tem-se:
infEß F œ E ∩ Fà supEß F œ E ∪ F
Vamos agora analisar as noções de elemento minimal e maximal:
Definição A.21 – Minimal – Seja \ß £ um conjunto ordenado e E § \ . Diz-se que 7 é um elemento minimal de E sse 7 − E e não existe em E elemento algum B Á 7 tal que B £ 7: 7 é minimal de E Í 7 − E • aB − E • B £ 7 Ê B œ 7 B
A.33
Ao contrário do mínimo, um minimal não é necessariamente único, como mostra o exemplo seguinte: Exemplo A.18 A relação £ definida em por B £ C Í B é divisor de C
é uma relação de ordem lata em (não dicotómica). Se E œ 8À 8 # • 8 − § , os elementos minimais de E, para esta relação, são todos os números primos #ß $ß &ß (ß ""ß á
Note-se que o mínimo de E, se existir, é forçosamente minimal sendo, então, único. Se a relação de ordem £ for dicotómica, a recíproca também é verdadeira: de facto, se 7 é minimal de E e B − E, então (dicotomia) será B £ 7 ou 7 £ B. No caso B £ 7, será B œ 7 e, portanto, 7 £ B. Então, será sempre 7 £ B e, então, 7 é mínimo de E e, portanto, se £ for uma ordem dicotómica, não há diferença entre as noções de mínimo e de minimal. De modo semelhante se definem os elementos maximais de E:
Definição A.22 – Maximal – Seja \ß £ um conjunto ordenado e E § \ . Diz-se que Q é um elemento maximal de E sse Q − E e não existe em E elemento algum B Á Q tal que Q £ B. Q é maximal de E Í Q − E • aB − E • Q £ B Ê B œ Q B
A.34
Ao contrário do máximo, os elementos maximais não são necessariamente únicos; todavia, se existir o máximo de E, ele é forçosamente elemento maximal e este é único; se a relação de ordem £ for dicotómica, a recíproca também é verdadeira: isto significa que, se £ for uma ordem total, não haverá diferença entre as noções de máximo e de maximal.
Exemplo A.19 Como exemplo ilustrativo das noções anteriores, considere-se a relação de ordem parcial £ definida em ‚ por B 3C £ Bw 3C w Í B Ÿ Bw • C Ÿ C w
A.35
Sec. A.3] Relações de equivalência e de ordem. Conjuntos ordenados
21
Observe que esta é a ordem produto induzida em ‚ ´ ‘# pela ordem usual Ÿ em ‘ (a este propósito, consulte a secção C.14 sobre corpos ordenados no apêndice C). Considere, agora, o conjunto E § ‚ definido a seguir (círculo unitário fechado de centro na origem) E œ DÀ D Ÿ "
Tem-se, para este conjunto com a ordem A.35:
MajE œ DÀ dD " • eD " maxE não existe, porque E ∩ MajE œ g supE œ " 3 maximaisE œ DÀ D œ " • dD ! • eD ! MinE œ DÀ dD Ÿ " • eD Ÿ " minE não existe, porque E ∩ MinE œ g infE œ " 3 minimaisE œ DÀ D œ " • dD Ÿ ! • eD Ÿ !
A figura seguinte ilustra os resultados anteriores no plano de Argand: iR
Maj(A) i
sup( A) maximais(A)
A 1
O
R
-1
minimais(A) inf(A) -i
Min( A)
Fig. A.8 – Noções relativas à relação de ordem em
‚ definida por A.35.
Exemplo A.20 Ainda em ‚, consideremos a relação £ definida, para quaisquer complexos B 3C e Bw 3C w , por B 3C £ Bw 3C w Í B Bw ” B œ Bw • C Ÿ C w
A.36
Esta relação é a ordem lexicográfica em ‚ ´ ‘# (a este respeito, consulte a secção C.14 sobre corpos ordenados no apêndice C) e, como vimos e contrariamente à do exemplo anterior, é dicotómica. ‚ fica, pois, totalmente ordenado pela relação £ . Para o mesmo conjunto
22
Relações binárias e funções [Apêndice A
E œ DÀ D Ÿ ", temos agora
MajE œ DÀ dD " ” dD œ " • eD ! maxE œ " supE œ " maximaisE œ " MinE œ DÀ dD " ” dD œ " • eD Ÿ ! minE œ " infE œ " minimaisE œ "
A figura seguinte ilustra os resultados aqui obtidos no plano de Argand: iR
i
Min( A)
inf(A) min(A) minimal(A)
Maj(A)
A
Min( A)
R
1
O -1
sup( A) max(A) maximal(A)
-i
Fig. A.9 – Noções relativas à relação de ordem em
Maj(A)
‚ definida por A.36.
Exemplo A.21 No conjunto parcialmente ordenado ß £ , com £ definida por A.18, tem-se, para quaisquer 8" ß 8# ß á ß 8: − , inf8" ß 8# ß á ß 8: œ mdc8" ß 8# ß á ß 8: sup8" ß 8# ß á ß 8: œ mmc8" ß 8# ß á ß 8:
em que mdc é o máximo divisor comum e mmc é o mínimo múltiplo comum dos números indicados.
Definição A.23 – Intervalo – Sendo \ß £ um conjunto ordenado, diz-se que M § \ é um intervalo (ou conjunto conexo) de \ sse, para quaisquer +ß , − M tais que + £ ,, todo o elemento B de \ satisfazendo a relação +£B£,
Sec. A.3] Relações de equivalência e de ordem. Conjuntos ordenados pertence a M : M é um intervalo Í a +ß , − M • + £ , Ê a + £ B £ , Ê B − M +ß,
B−\
Exemplo A.22 Como exemplo de intervalos, temos: ñ g e \ são intervalos. ñ Para quaisquer +ß , − \ , com + £ ,, o conjunto +ß , œ B − \À + £ B £ ,
é o intervalo fechado de origem + e extremidade ,. ñ Para quaisquer +ß , − \ , com + ¡ ,: – O conjunto
+ß , œ B − \À + ¡ B ¡ , œ +ß , Ï +ß ,
é o intervalo aberto de origem + e extremidade ,. – O conjunto
+ß , œ B − \À + £ B ¡ , œ +ß , Ï ,
é o intervalo semi-aberto à direita de origem + e extremidade ,. – O conjunto
+ß , œ B − \À + ¡ B £ , œ +ß , Ï +
é o intervalo semi-aberto à esquerda de origem + e extremidade ,. ñ Para qualquer + − \ , os conjuntos indicados a seguir são também intervalos: – A secção inferior fechada de extremidade +: Ã ß + œ B − \À B £ +
– A secção inferior aberta de extremidade +:
Ã ß + œ B − \À B ¡ + œ Ã ß + Ï +
– A secção superior fechada de origem +: +ß Ä œ B − \À + £ B
– A secção superior aberta de origem +:
+ß Ä œ B − \À + ¡ B œ +ß Ä Ï +
Exemplo A.23 No espaço ß £ definido pela relação de ordem A.18, tem-se:
$ß #% œ $ß 'ß "#ß #%à $ß #% œ $ß 'ß "# Ã ß 8 œ "ß #ß %ß )à Ã ß 8 œ "ß #ß % Ò8ß Ä Ñ œ )ß "'ß #%ß $#ß %!ß á à 8ß Ä œ "'ß #%ß $#ß %!ß á sup#ß &ß ' œ $! œ mmc#ß &ß 'à inf#)ß %#ß (! œ "% œ mdc#)ß %#ß (!
23
24
Relações binárias e funções [Apêndice A
A.4
Relações funcionais
Definição A.24 – Função – Uma relação 0 diz-se relação funcional, aplicação, função, transformação ou operador sse não existirem em 0 pares distintos com a mesma primeira projecção: 0 é função Í 0 é uma relação • a w B0 C • B0 C w Ê C œ C w BßCßC
A.37
Neste caso, para cada B − H0 , existe sempre um e um só C − G0 tal que B0 CÀ O elemento C (único) é chamado a imagem de B por 0 (ou transformado de B por 0 ) e B é o argumento e escreve-se C œ 0 B ou B È C . Não deve confundir-se uma função 0 com uma qualquer das suas imagens 0 B. Observe-se que 0 œ g é uma função dita função vazia. As condições 0 œ g, H0 œ g e G0 œ g são equivalentes. Se 0 é uma função, é óbvio que a relação inversa 0 " é funcional sse não existirem em 0 pares distintos com a mesma segunda projecção. Neste caso, diremos que 0 é injectiva ou regular5 , o que se regista na
Definição A.25 – Função injectiva6 – Uma função 0 diz-se injectiva sse não existirem em 0 pares distintos com a mesma segunda projecção, isto é, 0 é função injectiva Í 0 é função • aw B0 C • Bw 0 C Ê B œ Bw BßB ßC
A.38
A condição anterior pode ainda escrever-se nas formas
0 é função injectiva Í a w 0 B œ 0 Bw Ê B œ Bw 0 é função injectiva Í a w B Á Bw Ê 0 B Á 0 Bw BßB BßB
A.39
Por exemplo, no caso do exemplo A.6 nem V nem V " são funcionais. Definição A.26 – Função inversa – Se 0 for uma função injectiva, a relação inversa 0 " (que é ainda funcional) é chamada a função inversa de 0 . Qualquer restrição de uma função 0 é ainda uma função (injectiva se 0 também o for). Notese, no entanto, que uma função não injectiva pode ter restrições injectivas: por exemplo, 0 œ Bß B# À B − ‘ § ‘#
não é injectiva, mas a sua restrição
§0 1 œ Bß B# À B − ‘ !
já é injectiva. Definição A.27 – Restrição de uma função a um conjunto – Se 0 é uma função e E for um conjunto, 0 ∩ E ‚ G0 § 0 é uma restrição de 0 chamada restrição de 0 ao conjunto E e designada por 0 |E . Tem-se, claro, H0 |E œ H0 ∩ E e a restrição 0 |E é vazia sse H0 ∩ E œ g.
5 6
Portanto, a função 0 é inversível sse a relação inversa de 0 for uma função. Equivale à noção de correspondência biunívoca.
Sec. A.4] Relações funcionais
25
Definição A.28 – Imagem directa de um conjunto – Dada uma função 0 e um conjunto E, o contradomínio da restrição de 0 a E é chamado imagem directa de E por meio de 0 e designado por 0 E: 0 E œ G0 |E œ CÀ bB − E • C œ 0 B § G0 B
A.40
Definição A.29 – Pré-imagem de um conjunto – Do mesmo modo, dada uma função 0 e um conjunto E, chama-se pré-imagem ou imagem inversa de E por 0 ao conjunto 0 " E definido por7 0 " E œ BÀ bC − E • C œ 0 B § H0
A.41
0 " E œ BÀ 0 B − E § H0
A.42
0 " 5 œ BÀ B − H0 • 0 B œ 5 § H0
A.43
C
ou ainda,
Definição A.30 – Traço de uma função – A pré-imagem de um conjunto singular 5 por uma função 0 é chamada traço, corte ou conjunto de nível de 0 correspondente ao valor 5 e será designada por 0 " 5 (a não confundir com a imagem de 5 pela função inversa 0 " , quando esta existir). Portanto, É óbvio que o traço 0 " 5 é vazio sse 5 Â G0 .
A proposição seguinte resume as principais propriedades das noções de imagem directa e pré-imagem de um conjunto por uma função; a demonstração fica ao cuidado do leitor: Proposição A.5 Sejam E e F conjuntos e 0 uma função. Então: iÑ
0 E œ 0 E ∩ H0
iiÑ 0 " E œ 0 " E ∩ G0
iiiÑ 0 E œ g Í E ∩ H0 œ g
ivÑ 0 " E œ g Í E ∩ G0 œ g
vÑ
0 H0 œ G0
viÑ 0 " G0 œ H0
viiÑ E § F Ê 0 E § 0 F
viiiÑ E § F Ê 0 " E § 0 " F
ixÑ 0 E ∩ F § 0 E ∩ 0 F (se 0 é injectiva, há igualdade). xÑ
7
0 E ∪ F œ 0 E ∪ 0 F
Note-se que esta noção está definida mesmo que 0 não seja inversível. Neste contexto, a notação 0 " nada tem a ver com a função inversa de 0 .
26
Relações binárias e funções [Apêndice A xiÑ 0 E Ï F ¨ 0 E Ï 0 F (se 0 é injectiva, há igualdade). xiiÑ 0 " E ∩ F œ 0 " E ∩ 0 " F xiiiÑ 0 " E ∪ F œ 0 " E ∪ 0 " F xivÑ 0 " E Ï F œ 0 " E Ï 0 " F
xvÑ 0 " 0 E ¨ E ∩ H0 (se 0 é injectiva, há igualdade). xviÑ 0 0 " E œ E ∩ G0
Exemplo A.24 A relação definida em ‘ por
V œ B# ß BÀ B − ‘
não é uma função, visto que os pares "ß " e "ß " pertencem a V e têm a mesma primeira já é funcional. projecção. A relação B# ß BÀ B − ‘ ! Exemplo A.25 A relação 0 definida em ‘ por
0 œ Bß B# À B − ‘
é uma função e H0 œ ‘ e G0 œ ‘ ! . Esta função não é injectiva, porque " œ 0 " œ 0 ". As restrições de 0 aos conjuntos ‘ ! e ‘! (entre infinitos outros) são injectivas:
1 œ 0 l ‘! œ Bß B# À B Ÿ !à 2 œ 0 l ‘! œ Bß B# À B !
As funções inversas de 1 e de 2 são
1" œ Bß BÀ B ! œ B# ß BÀ B Ÿ ! 2" œ Bß BÀ B ! œ B# ß BÀ B !
A imagem directa por 0 dos intervalos "ß !, !ß " e "ß " é o intervalo 0ß ": 0 "ß ! œ 0 !ß " œ 0 "ß " œ 0ß "
A pré-imagem por 0 do intervalo Ò"ß %Ñ é Ð#ß "Ó ∪ Ò"ß #Ñ:
0 " Ò"ß %Ñ œ Ð#ß "Ó ∪ Ò"ß #Ñ
Por fim, o traço de 0 segundo * é o conjunto $ß $ e o traço segundo qualquer 5 ! é o conjunto vazio. Exemplo A.26 A relação sin definida em ‘ por
sin œ Bß sinBÀ B − ‘
é uma função e Hsin œ ‘ e Gsin œ "ß ". Esta função não é injectiva, (porque, por exemplo, ! œ sin! œ sin1). As restrições de sin aos intervalos 1# 51ß 1# 51, com 5 − ™, são injectivas. Em particular, é injectiva a restrição de sin ao intervalo 1# ß 1# e a respectiva inversa " é designada por função arcsin œ sinl 1# ß 1# .
Sec. A.4] Relações funcionais Tem-se, por exemplo,
27
1 1 sin‘ œ sin ß œ "ß " # #
e a pré-imagem do intervalo Ò!ß "# Ñ por sin é o conjunto
sin" Ò!ß "# Ñ œ #51ß 1' #51 ∪ &'1 #51ß 1 #51 5−™
O traço de ! segundo sin é o conjunto dos múltiplos inteiros de 1 e segundo # é vazio: sin" ! œ 1™à sin" # œ g
Definição A.31 – Função de um conjunto noutro (e sobre outro) – Se 0 é uma função e E e F são conjuntos, diz-se que 0 é função de E em F sse H0 œ E e G0 § F e diz-se que 0 é função de E sobre F sse H0 œ E e G0 œ F . Assim, é evidente que, se 0 é função de E em F e F § F w , então 0 será função de E em F w . O conjunto de todas as funções de E em F designase por F E ou FEß F . Para indicar que 0 é uma função de E em F , escreve-se 0 À E Ä F ou E Ä F . Para indicar que o elemento B − E é transformado em 0 B − F , escreve-se 0
B È 0 B, x È y ou C œ 0 B. 0
Observações: ç Diz-se por vezes que uma função 0 À E Ä F é sobrejectiva, se G0 œ F ; convém, todavia, notar que a sobrejectividade não é uma propriedade apenas de 0 , mas de 0 em relação a determinado conjunto F dado (o qual é independente de 0 ) – portanto uma propriedade do par 0 ß F – por outras palavras, qualquer função é “sobrejectiva” em relação ao seu contradomínio G0 (e só em relação a este). ç Se E e F forem finitos, o mesmo se passa com F E : de facto, suponha-se 8 œ #E e 7 œ #F . Cada função 0 À E Ä F estará definida pela sua imagem em cada um dos 8 pontos do domínio E œ B" ß B# ß á ß B8 ; porém, existem 7 formas de definir cada uma dessas imagens 0 B3 , pelo que o número de possibilidades de construir 0 é de 7 ‚ 7 ‚ â ‚ 7 œ 78 . 8 factores
Portanto,
#F E œ #F #E
B.44
e é este facto que está na origem da notação F E para o conjunto das funções de E em F . ç Nas condições da observação anterior, vamos analisar qual o número M de funções injectivas (para as quais deverá ter-se 0 B" Á 0 B# Á â Á 0 B8 ) de entre as 78 funções de E em F . Claramente que, se 7 8, não existem quaisquer funções injectivas; se for 7 8, então:
28
Relações binárias e funções [Apêndice A – Existem 7 formas de definir 0 B" ;
– Para cada uma das 7 maneiras anteriores de definir 0 B" , existem 7 " formas de definir 0 B# Á 0 B" ; – Para cada uma das 7 ‚ 7 " formas anteriores de definir o par 0 B" ß 0 B# , existem 7 # formas de definir 0 B$ Á 0 B# Á 0 B" ; e assim sucessivamente...
– Finalmente, para cada uma das formas de definir os valores de 0 B" ß 0 B# ß á ß 0 B8" , existem 7 8 " œ 7 8 " formas de definir 0 B8 ; Assim, o número total M de funções injectivas é dado por M œ 7 5 œ 7 ‚ 7 " ‚ 7 # ‚ â ‚ 7 8 " 8"
7 ‚ 7 " ‚ 7 # ‚ â ‚ 7 8 " ‚ 7 8x 7 8x 7x œ œ E7 8 7 8x 5œ!
œ
Resumindo a discussão anterior, temos Mœ! M œ E7 8
, se 7 8 , se 7 8
B.45
Definição A.32 – Composição de funções – Pode provar-se que, dadas duas relações funcionais 0 e 1, a relação composta 1 ‰ 0 (leia-se “1 após 0 ”) de 1 com 0 é ainda uma relação funcional chamada função composta de 1 com 0 que, como vimos em A.9, está definida por: Bß D − 1 ‰ 0 Í bBß C − 0 • Cß D − 1 C
Se G0 ∩ H1 Á g, será ainda
1 ‰ 0 B œ 10 Bà B − 0 " G0 ∩ H1
A.46 A.47
É costume usar um esquema do tipo mostrado na figura A.10 x
y = f (x)
z = g ( f (x)) Fig. A.10 – Composição de funções.
Para a função composta valem as seguintes propriedades, cuja demonstração é deixada ao leitor, como exercício:
Sec. A.4] Relações funcionais iÑ
29
Em geral, é 0 ‰ 1 Á 1 ‰ 0 (não comutatividade)
iiÑ 0 ‰ 1 ‰ 2 œ 0 ‰ 1 ‰ 2 (associatividade) iiiÑ H1‰0 œ 0 " H1 œ 0 " G0 ∩ H1
ivÑ G1‰0 œ 1G0 œ 1G0 ∩ H1 vÑ
1 ‰ 0 œ g Í G0 ∩ H1 œ g
viÑ 1 ‰ 0 B œ 10 B, para todo o B − H1‰0 .
viiÑ 1 ‰ 0 E œ 10 E, para todo o conjunto E.
viiiÑ 1 ‰ 0 " E œ 0 " 1" E, para todo o conjunto E. Se 0 for uma função de E em F , tem-se: iÑ
0 ‰ IE œ 0
iiÑ IF ‰ 0 œ 0 E se 0 é injectiva: iÑ
0 ‰ 0 " œ IF
iiÑ 0 " ‰ 0 œ IE # Exemplo A.27 Considerem-se as funções 0 À ‘ Ä ‘ e 1À ‘ ! Ä ‘, onde 0 B œ B e 1B œ B. Em relação a 1 ‰ 0 , tem-se G0 œ H1 œ ‘ ! e G0 ∩ H1 œ ‘! , o que mostra que a composta 1 ‰ 0 não é vazia e o seu domínio é
H1‰0 œ 0 " G0 ∩ H1 œ 0 " ‘! œ 0 " G0 œ H0 œ ‘
Quanto a 0 ‰ 1, é G1 œ ‘ ! e H0 œ ‘ e G1 ∩ H0 œ ‘! ; assim sendo, temos
H0‰1 œ 1" ‘! œ 1" G1 œ H1 œ ‘!
portanto 0 ‰ 1 não é vazia e está definida em ‘ ! . As duas compostas são 1 ‰ 0 B œ 10 B œ B# œ Bà B − ‘ # 0 ‰ 1B œ 0 1B œ B œ Bà B − ‘ !
É aqui óbvio que 1 ‰ 0 Á 0 ‰ 1 (neste caso, 0 ‰ 1 é uma restrição de 1 ‰ 0 ).
30
Relações binárias e funções [Apêndice A Exemplo A.28 Considerem-se as funções 0 À ‘ Ä ‘ e lnÀ ‘ Ä ‘, onde 0 B œ " B# .
Em relação a ln ‰ 0 , tem-se G0 œ Ò"ß ∞Ñ e Hln œ ‘ e G0 ∩ Hln œ Ò"ß ∞Ñ, o que mostra que a composta ln ‰ 0 não é vazia e o seu domínio é Hln‰0 œ 0 " G0 ∩ Hln œ 0 " Ò"ß ∞Ñ œ 0 " G0 œ H0 œ ‘
Quanto a 0 ‰ ln, é Gln œ H0 œ ‘ e H0‰ln œ ln" ‘ œ ‘ ; portanto 0 ‰ ln também não é vazia e está definida em ‘ : ln ‰ 0 B œ ln0 B œ ln" B# à B − ‘ 0 ‰ lnB œ 0 lnB œ " lnB# É aqui óbvio que ln ‰ 0 Á 0 ‰ ln. Exemplo A.29 Considerem-se agora as funções 0 À ‘ Ä ‘ e lnÀ ‘ Ä ‘, onde 0 é definida por 0 B œ B# . Em relação a ln ‰ 0 , tem-se G0 œ ‘ ! e Hln œ ‘ e G0 ∩ Hln œ g, o que mostra que a composta ln ‰ 0 é vazia:
ln ‰ 0 œ g Quanto a 0 ‰ ln, é Gln œ H0 œ ‘ e H0‰ln œ ln" ‘ œ ‘ ; portanto 0 ‰ ln já não é vazia e está definida em ‘ : 0 ‰ lnB œ 0 lnB œ lnB#
Observe que também aqui se tem ln ‰ 0 Á 0 ‰ ln.
Definição A.33 – Potência cartesiana de um função – Seja 0 À E Ä F uma função de E em F e 8 − . A função 0 8 À E8 Ä F 8 definida para todo o B" ß B# ß á ß B8 − E8 por 0 8 B" ß B# ß á ß B8 œ 0 B" ß 0 B# ß á ß 0 B8
é chamada 8ª potência cartesiana de 0 e representada por 0 8 .
Por exemplo, a função sin# À ‘# Ä ‘# é definida por sin# Bß C œ sinBß sinC .
A.5
Famílias, sequências, sucessões e matrizes
Sendo \ e M conjuntos, chama-se família de elementos de \ indexada ou parametrizada por M a uma função BÀ M Ä \ ;3 È B3 . A família B é mais vulgarmente designada por B3 3−M . Por exemplo, a igualdade H5 œ B,C À B# C # œ 5# • 5 − ‘ § ‘# define uma família H5 5−‘ de partes de ‘# (circunferências de centro na origem e raio 5 , do ponto de vista geométrico) indexada por ‘. Uma família diz-se finita ou infinita consoante a cardinalidade do conjunto M dos índices. Se M œ g, a família diz-se vazia. Chama-se conjunto dos elementos da família B ao contradomínio de B e designa-se por B3 3−M . Observe-se que uma família infinita pode ter um conjunto de elementos finito ou até singular (caso de B ser função constante e M infinito). Se B3 3−M é uma
Sec. A.5] Famílias, sequências, sucessões e matrizes
31
família indexada por M e se N § M é uma parte de M , a restrição desta família a N é uma família indexada por N , chamada subfamília de B3 3−M e designada por B3 3−N . Uma sequência ou lista de comprimento 8 − de elementos de \ é uma família B de elementos de \ indexada por N8 œ ",á ,8. A sequência é designada por B œ B3 "Ÿ3Ÿ8 ou B œ B" ß B# ß á ß B8 . Se B œ B3 "Ÿ3Ÿ8 é uma lista de 8 elementos de \ , " Ÿ : Ÿ 8 e 0À ",á ,: Ä ",á ,8 é estritamente crescente, isto é, " Ÿ 0" 0# â 0: Ÿ 8, a composta B ‰ 0 é uma lista de comprimento :, que se diz sublista ou subsequência de B3 "Ÿ3Ÿ8 e designada por B05 "Ÿ5Ÿ: . O número de subsequências de comprimento : existentes numa sequência de comprimento 8 (com " Ÿ : Ÿ 8) é de 8: .
Sucessão de elementos de \ é uma família de objectos de \ indexada por M œ e usa-se a escrita B" ß B# ß á ß B8 ß á , B8 8− ou, simplesmente, B8 . Trata-se, portanto, de uma função BÀ Ä \ de variável natural. Dados dois inteiros 7ß 8 !, chama-se matriz do tipo 7 ‚ 8 de elementos de um conjunto \ a uma família EÀ "ß #ß á ß 7 ‚ "ß #ß á ß 8 Ä \à 3ß 4 È +34 de elementos de \ indexada pelo produto cartesiano "ß #ß á ß 7 ‚ "ß #ß á ß 8 œ 3ß 4À " Ÿ 3 Ÿ 7 • " Ÿ 4 Ÿ 8
e designa-se por +34 "Ÿ3Ÿ7 ou, mais simplesmente, +34 ou E. Pode ainda definir-se a matriz por "Ÿ4Ÿ8
uma tabela
+"" + E œ #" ã +7"
+"# +## ã +7#
â +"8 â +#8 ä ã â +78
na qual, no cruzamento da 3ª linha com a 4ª coluna se encontra o elemento +34 − \ (imagem do par 3ß 4 por meio de E). Se 7 Á 8, a matriz diz-se rectangular e, se 7 œ 8, a matriz diz-se quadrada (caso em que se diz ser de ordem 8, em vez de se dizer do tipo 8 ‚ 8 e em que se usa a notação +34 "Ÿ3ß4Ÿ8 ). Se 7 œ ", a matriz diz-se matriz-linha, dizendo-se matriz-coluna, quando 8 œ ". Para cada " Ÿ 3 Ÿ 7, a lista +34 "Ÿ4Ÿ8 , de comprimento 8, designa-se por linha-3 (ou 3ª linha) da matriz. Do mesmo modo, para cada " Ÿ 4 Ÿ 8, a lista +34 "Ÿ3Ÿ7 , de comprimento 7, chama-se a coluna 4 (ou 4ª coluna) da matriz E; na expressão +34 , o índice 3 é chamado índice das linhas e o índice 4 é o índice das colunas. Numa matriz quadrada de ordem 8, os elementos +33 "Ÿ3Ÿ8 constituem a diagonal principal da matriz e os elementos +3ß8"3 "Ÿ3Ÿ8 constituem a diagonal secundária. Considere-se uma matriz E œ +34 "Ÿ3Ÿ7 de elementos de um conjunto \ , dois inteiros : e ; , "Ÿ4Ÿ8
com " Ÿ : Ÿ 7 e " Ÿ ; Ÿ 8 e duas funções
3À "ß #ß á ß : Ä "ß #ß á ß 7à < È 3< 4À "ß #ß á ß ; Ä "ß #ß á ß 8à = È 4=
estritamente crescentes, isto é, " Ÿ 3" 3# â 3: Ÿ 7 • " Ÿ 4" 4# â 4; Ÿ 8
32
Relações binárias e funções [Apêndice A Consideremos, agora, a função
0À "ß #ß á ß : ‚ "ß #ß á ß ; Ä "ß #ß á ß 7 ‚ "ß #ß á ß 8à <ß = È 3< ß 4=
A composta E ‰ 0 é uma matriz de tipo : ‚ ; de elementos de \ dita submatriz de E. Os seus elementos são +3< 4= "Ÿ<Ÿ: e é constituída pelos elementos das linhas 3" ß 3# ß âß 3: e das "Ÿ=Ÿ;
colunas 4" ß 4# ß âß 4; de E. O número de submatrizes de tipo : ‚ ; que existem numa matriz do tipo 7 ‚ 8 é de 7: ‚ 8; (tal é o número de funções 0). Usamos também as notações
E3" ß 3# ß âß 3: à 4" ß 4# ß âß 4; , E3" ß 3# ß á ß 3: ;4" ß 4# ß á ß 4; e +3" 4" +3# 4" ã +3 4
: "
+3" 4# +3# 4# ã +3: 4#
â +3" 4; â +3# 4; ä ã â +3: 4;
para designar esta matriz (ver capítulo 2, secção 2.6).
B
Estruturas algébricas
Sec. B.2] Operações binárias e n-árias. Grupóides. Potenciação B.1
3
Introdução
A Álgebra no sentido moderno do termo, a saber o estudo das estruturas algébricas independentemente das suas instâncias concretas, desenvolveu-se progressivamente no decurso do século XIX, em ligação com o movimento geral de axiomatização do conjunto das matemáticas e com a crescente preocupação em “substituir o cálculo pelo conceito, o concreto pelo abstracto e o particular pelo geral”. Até então, o objectivo primordial da Álgebra tinha sido a resolução, através de fórmulas explícitas, das equações algébricas. As tentativas infrutíferas para resolver as equações gerais de grau superior ou igual a cinco, bem como os problemas da teoria dos números, levaram os matemáticos a introduzirem entidades matemáticas de uma nova natureza e que apresentavam entre si analogias estreitas na respectiva manipulação e, em consequência, a sentirem necessidade de tentar extrair o que de comum houvesse em todas estas situações aparentemente diversas. Aos poucos, foi-se conduzido à ideia de que, no fundo, a “natureza” dos objectos matemáticos envolvidos nessas situações era perfeitamente secundária e o matemático inglês George Boolea1b declarava em 1847: “A matemática trata das operações em si mesmas, independentemente dos objectos diversos aos quais podem ser aplicadas”. Ao longo do século XIX desenvolver-se-ia o processo de axiomatização que havia de conduzir às actuais estruturas, expostas sucintamente neste apêndice. Assim, desde 1850, os matemáticos ingleses desenvolveram com perfeita nitidez a noção, hoje básica, de lei de composição interna e aplicaram-na a várias situações (vectores, matrizes, lógica). Seria necessário esperar por 1910, para encontrar na vasta síntese de Steinitza2b a exposição abstracta que marca o começo da Álgebra moderna propriamente dita. O estudo dos grupos domina prioritariamente as preocupações desta época: introduzida por Cauchy e posta em evidência por Galoisa3b que mostrou a sua importância na teoria das equações, a noção de grupo vai desempenhar um papel essencial em quase todos os domínios da matemática, na física e na mecânica quântica. Os trabalhos dos matemáticos alemães sobre os números algébricos estarão na origem do estudo dos anéis e corpos comutativos. B.2
Operações binárias e n-árias. Grupóides. Potenciação
Definição B.1 – Operação binária – Sejam , e ” conjuntos. Chama-se operação binária entre os elementos de e de e com resultados em ” a uma aplicação ‡À ‚ Ä ”à aBß Cb È D que transforma pares ordenados aBß Cb de elementos de e em elementos D − ”; Os objectos B e C são chamados o primeiro e o segundo operandos respectivamente e a imagem D é o resultado da operação ‡ (para os operandos B e C). Para designar o resultado da operação ‡ sobre os operandos B e C, podemos usar: 1
2
3
Boole, George: matemático inglês (Lincoln 1815 – Ballintemple 1864). Na sua obra An investigation into the Laws of Thought, on Which are founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities lançou os fundamentos da Álgebra de Boole, encarando a lógica de uma maneira nova que a reduzia a um simples sistema algébrico (a Álgebra de Boole) de Cálculo Proposicional. Steinitz, Ernst: matemático alemão (Laurahütte 1871 – Kiel 1928). Foi, por exemplo, o autor da construção hoje standard do conjunto dos racionais como classes de equivalência da relação de equivalência a+ß ,b µ a-ß . b Í +. œ ,- definida em ™ ‚ ™‡ . Galois, Évariste: matemático francês (Bourg-la-Reine 1811 – Paris 1832) que fez importantes contribuições para a teoria das equações algébricas, tendo morrido com apenas 20 anos num duelo. Nos seus trabalhos, desenvolveu a necessária teoria dos grupos para poder lidar com a questão de saber se uma equação algébrica pode ou não ser resolvida algebricamente. Diz-se que passou a noite anterior ao dia do duelo a escrever uma carta contendo as descobertas que fizera.
4
Estruturas algébricas [Apêndice B ñ notação prefixa: ‡BC; ñ notação infixa ou tradicional: B‡C; ñ notação posfixa ou RPNa4b : BC‡;
Neste texto, usaremos a notação infixa tradicional B‡C. Na definição anterior, o termo binária refere-se à existência de dois operandos. Quando os conjuntos œ e+" ß +# ß á ß +7 f e œ e," ß ,# ß á ß ,8 f forem finitos, é possível definir qualquer operação entre os seus elementos, através de uma tabela de duas entradas (a respectiva “tabuada”) na qual se dispõem os resultados da operação para cada par a+3 ß ,4 b de operandos: ‡ +" +# ã +7
," +" ‡," +# ‡," ã +7 ‡,"
,# +" ‡,# +# ‡,# ã +7 ‡,#
â â â ä â
,8 +" ‡,8 +# ‡,8 ã +7 ‡,8
Observe que convencionámos colocar o primeiro operando de ‡ na primeira coluna da tabela e o segundo operando na primeira linha. Quando o número de elementos dos conjuntos , e ” é finito, o mesmo se passa com o número de operações binárias de ‚ em ”: se # œ 7 e # œ 8, o cardinal de ‚ será de 7 ‚ 8 e o número de operações distintas com resultado em ” é de a#”b78 (ver apêndice A). No caso de ambos os operandos e o respectivo resultado terem a mesma natureza (isto é, pertencerem a um mesmo conjunto ), a operação binária é chamada uma lei de composição interna em ou operação binária em ; nos outros casos, dizemos estar perante uma lei de composição externa. Poremos, portanto, a seguinte Definição B.2 – lei de composição interna. Grupóide – Seja um conjunto. Chama-se lei de composição interna em a uma aplicação ‡À # Ä à aBß Cb È D que transforma pares ordenados aBß Cb de elementos de em novos elementos de D − ; neste contexto, os objectos B e C são chamados o primeiro e o segundo operandos respectivamente e a imagem D é o resultado da operação, para o qual usaremos a notação infixa tradicional B‡C. É a um conjunto , dotado de uma lei de composição interna que chamaremos um grupóide, isto é, trata-se do par ordenado aà ‡b, dizendo-se ainda que é o suporte do grupóide e ‡ a sua lei de composição ou ainda que está algebrizado por ‡. O facto de que, para quaisquer elementos Bß C − , o resultado B‡C está ainda em é por vezes referido dizendo que o conjunto é fechado (ou estável) para a operação ‡. Em consequência do que se viu anteriormente, se # œ 8, então o número de leis de # composição interna em distintas é de 8a8 b , o que pode facilmente ser um número astronómico (por exemplo, se # œ &, existem &#& œ #*)Þ!#$Þ##$Þ)('Þ*&$Þ"#& operações binárias em )! Para designar as leis de composição, usam-se símbolos diversos tais como , † , ‚ , , ƒ , Î, Ï, ‡, ˜ , Š , Œ , , ‰ , etc; no presente texto e em termos abstractos, usaremos o símbolo ‡. Nalguns casos, usamos o sinal dizendo-se então que usamos a notação aditiva, caso em que a operação se chama adição e o resultado B C é a soma, onde B e C são as parcelas. Frequentemente, representamos a operação por † ou ‚ (notação multiplicativa), caso em que a operação se chama multiplicação e o resultado B † C, B ‚ C ou simplesmente BC é o produto dos factores B e C.
4
São as iniciais do inglês Reverse Polish Notation.
Sec. B.2] Operações binárias e n-árias. Grupóides. Potenciação
5
Podemos generalizar a noção de operação binária, ao caso em que há 8 operandos, com 8 − ! : Definição B.3 – Operação 8-nária – Sendo 8 − , uma operação 8-ária entre elementos dos conjuntos " ß # ß á ß 8 e com resultado num conjunto é uma função )8 À " ‚ # ‚ â ‚ 8 Ä que transforma sequências aB" ß B# ß á ß B8 b de elementos do produto cartesiano " ‚ # ‚ â ‚ 8 num resultado C œ )8 aB" ß B# ß á ß B8 b do conjunto ; B3 diz-se o 3-ésimo operando e C o resultado da operação )8 . Se 8 œ ", a operação diz-se unáriaa5b ; se 8 œ #, temos a operação binária definida anteriormente; se 8 œ $, a operação diz-se ternária; etc. Concebe-se ainda uma operação nulária )! (operação sem qualquer operando)a6b com resultado em (8 œ !), a qual consiste na simples escolha de um elemento C − .
x1 x2
=
0
y
0( )
2
y = 2( x1 ,x 2 )
x1 x1 x2 x3
1
y
= 1(x1)
3
y
=
3 ( x1
,x 2 ,x 3 )
Fig. B.1 – Operações nulárias, unárias, binárias e ternárias.
Se " œ # œ 8 œ œ , )8 diz-se uma operação 8-ária em e é, portanto, uma aplicação aB" ß B# ß á ß B8 b È C de 8 em . Em termos mais gerais, uma estrutura algébrica é formada por um número 7 finito de conjuntos " ß # ß á ß 7 (suportes da estrutura) e por uma sequência (finita) de 8 operações (leis de composição interna ou externa, operações unárias, nulárias, etc.) ‡" ß ‡# ß á ß ‡8 envolvendo elementos daqueles conjuntos, ou seja, a" ß # ß á ß 7 à ‡" ß ‡# ß á ß ‡8 b satisfazendo eventualmente alguns axiomas. Por exemplo, no capítulo 1, define-se um espaço vectorial como a estrutura algébrica constituída por um corpo aŠà ß † b (de escalares – ver secção B.11) e por um segundo conjunto I (de vectores), algebrizado por uma lei de composição interna em I (adição vectorial) e por uma lei de composição externa de Š ‚ I Ä I (produto de escalar por vector) e satisfazendo os oito axiomas aí apresentados. Se ‡ é uma lei de composição interna em , podemos definir várias operações 8-árias (8 #) em baseadas ou induzidas por ‡. A ordem pela qual são realizadas as operações é, em princípio, importante; por exemplo, para as operações ternárias e quaternárias poderá ser aB" ‡B# b‡B$ Á B" ‡aB# ‡B$ b ou aB" ‡B# b‡aB$ ‡B% b Á aB" ‡aB# ‡B$ bb‡B% , como se mostra no exemplo seguinte 5
O resultado de uma operação unária ‡ sobre o operando B pode designar-se usando a forma prefixa ‡B ou a forma posfixa B‡; neste caso, a tradição não é uniforme, encontrando-se facilmente exemplos tradicionais de ambas as notações: ñ Prefixa: Bß ÈBß cosB. ñ Posfixa: Bxß B" ß ET ß E‡ .
6
Numa máquina de calcular científica comum, encontramos teclas que designam alguns dos tipos de operações mencionados: ñ Operações nulárias: teclas '!'ß '"'ß '#'ß '$'ß '%'ß '&'ß '''ß '('ß ')'ß '*'ß '1'. ñ Operações unárias: 'Î'ß 'sin'ß 'cos'ß 'tan'ß 'B# '. C ñ Operações binárias: ''ß ''ß ' ‚ 'ß ' ƒ 'ß 'BC 'ß 'È B '.
6
Estruturas algébricas [Apêndice B Exemplo B.1 Consideremos a operação binária Š , definida em por BŠCœ
BC #
Com base na lei de composição interna Š , podemos definir duas operações ternárias )$" ß )$# À $ Ä distintas em : )$" aBß Cß D b œ aB Š Cb Š D )$# aBß Cß D b œ B Š aC Š D b As operações ternárias anteriores são efectivamente distintas, como se pode verificar facilmente pelo contra-exemplo seguinte: $ Š$œ # & )$# a"ß #ß $b œ " Š a# Š $b œ " Š œ # )$" a"ß #ß $b œ a" Š #b Š $ œ
* % ( %
De igual modo, são distintas as operações quaternárias )%3 À % Ä seguintes: )%" aBß Cß Dß Ab œ aaB Š Cb Š D b Š A )%# aBß Cß Dß Ab œ aB Š aC Š D bb Š A )%$ aBß Cß Dß Ab œ B Š aC Š aD Š Abb )%% aBß Cß Dß Ab œ B Š aaC Š D b Š Ab )%& aBß Cß Dß Ab œ aB Š Cb Š aD Š Ab Os exemplos seguintes mostram que, de facto, as operações anteriores são distintas: $ * #& )%" a"ß #ß $ß %b œ aa" Š #b Š $b Š % œ Œ Š $ Š % œ Š % œ # % ) & ( #$ )%# a"ß #ß $ß %b œ a" Š a# Š $bb Š % œ Œ" Š Š % œ Š % œ # % ) ( "" "& )%$ a"ß #ß $ß %b œ " Š a# Š a$ Š %bb œ " Š Œ# Š œ " Š œ # % ) & "$ "( )%% a"ß #ß $ß %b œ " Š aa# Š $b Š %b œ " Š Œ Š % œ " Š œ # % ) $ ( & )%& a"ß #ß $ß %b œ a" Š #b Š a$ Š %b œ Š œ # # #
Dado um grupóide aà ‡b, para cada 8 − , existem, como vimos atrás, várias operações 8árias em induzidas pela operação binária ‡. Destas, vamos escolher, para cada 8, a operação )8 À 8 Ä que é definida por recorrência (operação ‡ iterada), pondo: )" aB b œ B; (ou seja, )" œ I ; operação unária) œ ) aB ß B ß á ß B b œ ) aB ß B ß á ß B b‡B ; 8 "à (operação 8-ária) 8 " # 8 8" " # 8" 8
aB.1.1b
Sec. B.2] Operações binárias e n-árias. Grupóides. Potenciação
7
Fazendo 8 œ #ß $ß %ß á na fórmula de recorrência anterior, vem: Ú )" aB" b œ B" Ý Ý Ý Ý )# aB" ß B# b œ B" ‡B# œ aB" ‡B# b‡B$ Û )$ aB" ß B# ß B$ b Ý Ý Ý Ý )% aB" ß B# ß B$ ß B% b œ aaB" ‡B# b‡B$ b‡B% œâ Üâ Em vez de )8 aB" ß B# ß á ß B8" ß B8 b, usaremos a notação B" ‡B# ‡â‡B8" ‡B8 ou, mais 8
abreviadamente,
‡ B5 : 5œ"
8
‡ B5 œ B" ‡B# ‡â‡B8" ‡B8 œ aaaB" ‡B# b‡B$ b‡â‡B8" b‡B8 à em que 8 " 5œ" As expressões aB.1.2b significam que, em B" ‡B# ‡B$ ‡â‡B8" ‡B8 ou
aB.1.2b
8
‡ B5 , as sucessivas 5œ"
operações ‡ se consideram efectuadas da esquerda para a direita: por outras palavras, B" ‡B# ‡B$ ‡â‡B8" ‡B8 é sinónimo de aaaB" ‡B# b‡B$ b‡â‡B8" b‡B8 . 8
Em notação aditiva, usam-se as expressões já conhecidas B" B# â B8 ou ! B5 e, em 5œ"
8
notação multiplicativa, escrevemos B" B# âB8 ou # B5 . 5œ"
Quando B" œ B# œ â œ B8 œ B,
8
‡ B5 5œ"
diz-se a potência de expoente 8 − e base B em
8
relação à operação ‡ e representamo-la por ‡B. De aB.1.1b obtém-se Ú Ý" ‡B œ B; (potência de expoente " e base B) Û 8 Ý ‡B œ Š8" ‡ B‹‡B; 8 "; (potência de expoente 8 e base B) Ü
aB.2.1b
A definição recorrente anterior resulta na expressão familiar 8
‡B œ ðóóóóóñóóóóóò B‡B‡B‡â‡B‡B œ aaaB‡Bb‡Bb‡â‡Bb‡Bà em que 8 "
aB.2.2b
8 operandos
Em notação aditiva, a potência de expoente 8 de B representa-se por 8B (diz-se que 8B é um múltiplo de B) e, em notação multiplicativa, representa-se por B8 (diz-se que B8 é uma potência de B): 8B œ ðóóóóóóóóñóóóóóóóóò B B B â B œ aaaB Bb Bb â Bb B 8
8 parcelas
B œ ðóóóóóñóóóóóò B † B † B † â † B œ aaaB † Bb † Bb † â † Bb † B
à em que 8 "
8 factores
A tabela seguinte contém as correspondências entre as linguagens genérica, aditiva e multiplicativa atrás referidas:
8
Estruturas algébricas [Apêndice B Linguagens Abstracta (genérica) Aditiva Lei de composição interna Adição ‡ß ˜ ß Š ß Œ ß ß ‰ , etc 1º operando 1ª parcela 2º operando 2ª parcela Resultado Soma 8
‡ B5 5œ" 8
‡B B.3
Multiplicativa Multiplicação ‚ß † 1º factor 2º factor Produto
8
! B5
5œ"
8B
8
# B5
5œ"
B8
Subconjuntos fechados. Subgrupóides
Seja agora aà ‡b um grupóide e § um subconjunto de . Considerando a restrição ‡w (ver apêndice A) da operação ‡ ao domínio # , será que aà ‡w b é ainda um grupóide? Em geral, a resposta é não, tudo dependendo do conjunto e da operação ‡: o que será necessário (e também suficiente) é que a referida restrição ‡w – obviamente uma aplicação de # em – seja também uma aplicação de # em , ou por outras palavras, que seja fechado (estável) para a operação ‡: a aB − • C − Ê B‡C − b
BßC
aB.3b
Quando aà ‡w b for ainda um grupóide, diremos que ele é um subgrupóide de aà ‡b e que a operação do grupóide aà ‡w b foi induzida em pela operação ‡ pré-existente em ; nestas condições, é costume designar a restrição ‡w ainda por ‡: Definição B.4 – Subgrupóide – Dado um grupóide aà ‡b e um subconjunto § , diz-se que aà ‡b é um subgrupóide do grupóide aà ‡b sse for fechado em relação à operação ‡, isto é, a condição aB.3b tem lugar. Por exemplo, no grupóide a‘à † b o subconjunto ‘ ! § ‘ dos reais não positivos não é fechado para a multiplicação (observe que, para B Ÿ !, apenas os produtos ! † B ou B † ! pertencem a ‘ ! ) e, portanto, a‘! à † b não é subgrupóide de a‘à † b. Pelo contrário, a‘! à † b, a‘ à † b, a‘‡ à † b, ae"ß "fà † b, ac"ß "dà † b e ac0ß "dà † b são subgrupóides de a‘à † b; também o conjunto Y dos complexos unitários é um subgrupóide multiplicativo de a‚à † b; também o conjunto dos inteiros pares (isto é, da forma #8, com 8 − ™a7b ) é subgrupóide aditivo e multiplicativo de a™à b e de a™à † b respectivamente. Os exemplos seguintes mostram vários grupóides (e subgrupóides destes, nalguns casos). Exemplo B.2 São grupóides os pares aà b, aà ‚ b, a™à b, a™à ‚ b, aà b, a‘à ‚ b, a‘ à ‚ b, a‘‡ à ‚ b, a‚à b, etc.
7
A letra ™ com que se designa o conjunto dos inteiros é a inicial da palavra “Zahl”, que em alemão significa “número”.
Sec. B.3] Subconjuntos fechados. Subgrupóides
9
Exemplo B.3 No conjunto dos pontos do plano, a expressão T ‡U œ ponto médio do segmento T U define uma lei de composição interna ‡ em . Exemplo B.4 Para cada número real - !, consideremos o intervalo aberto ˆ œ Ð-ß -Ñ. A expressão ?Š@œ
?@ " ?@ -#
aB.4b
define uma lei de composição interna Š (“lei de adição de velocidades” da teoria da relatividade) no intervalo ˆ, visto que, como mostraremos a seguir, se tem ? Š @ − ˆ sempre que ?ß @ − ˆ; por outras palavras, as desigualdades ?# -# e @# -# implicam a? Š @b# -# : ?# -# • @# -# Ê ?# -# ! • -# @# ! Ê ˆ?# -# ‰ˆ-# @# ‰ ! Ê -# ?# -# @# ?# @# -% ! Ê -# ?# -# @# -% ?# @# # Ê -# ˆ?# @# ‰ #-# ?@ -% ?# @# #-# ?@ Ê -# a? @b# ˆ-# ?@‰ #
?@ # ?@ # # # Ê - a? @b - Š" # ‹ Ê Œ ?@ - Ê a? Š @b " -# #
#
4
Exemplo B.5 A operação À ‘# ‚ ‘# Ä ‘# definida por a+ß ,b a-ß . b œ a+-ß +. ,b
aB.5b
é uma lei de composição interna em ‘# . Exemplo B.6 As operações Š À ‘# ‚ ‘# Ä ‘# e Œ À ‘# ‚ ‘# Ä ‘# definidas em ‘# por a+ß ,b Š a-ß . b œ a+ -ß , . b a+ß ,b Œ a-ß . b œ a+- ,.ß +. ,-b
aB.6b
constituem leis de composição interna em ‘# , obtendo-se a estrutura algébrica a‘# à Š ß Œ b. Exemplo B.7 A tabela que se mostra a seguir (uma das '$' possíveis) define uma lei de composição interna ‡ no conjunto œ e"ß #ß $ß %ß &ß 'f dos ' primeiros números naturais ‡ " # $ % & '
" " " " " " "
# " # " # " #
$ " " $ " " $
% " # " % " #
& " " " " & "
' " # $ # " '
Pode o leitor verificar que se trata da operação +‡, œ mdca+ß ,b, onde +ß , − .
10
Estruturas algébricas [Apêndice B
Exemplo B.8 As duas tabelas seguintes definem leis de composição interna no conjunto ™& œ e0ß "ß #ß $ß %f Š ! " # $ %
! ! " # $ %
" " # $ % !
# # $ % ! "
$ $ % ! " #
% % ! " # $
Π! " # $ %
! ! ! ! ! !
" ! " # $ %
# ! # % " $
$ ! $ " % #
% ! % $ # "
Neste caso, trata-se das operações definidas pora8b + Š , œ a+ ,b mod & à +ß , − ™& + Œ , œ a+,b mod &
aB.7b
Observe que estas são apenas duas das &#& leis de composição interna possíveis em ™& . As operações Š e Œ definem a estrutura algébrica a™& à Š ß Œ b. Exemplo B.9 As operações binárias definidas em ™# por a+ß ,b Š a-ß . b œ a+ -ß , . b a+ß ,b Œ a-ß . b œ a+- #,.ß +. ,-b
aB.8b
são leis de composição interna em ™# , visto que + -ß , .ß +- #,. e +. ,- são inteiros sempre que +ß ,ß - e . o forem. Com as operações anteriores, obtemos uma estrutura algébrica a™# à Š ß Œ b.
Exemplo B.10 Usando as mesmas definições do exemplo anterior, as operações binárias definidas em # por a+ß ,b Š a-ß . b œ a+ -ß , . b a+ß ,b Œ a-ß . b œ a+- #,.ß +. ,-b
aB.9b
são igualmente leis de composição interna em # , visto que + -ß , .ß +- #,. e +. ,são racionais sempre que +ß ,ß - e . o forem. Obtém-se assim a estrutura a# à Š ß Œ b, com o suporte # . Exemplo B.11 No conjunto dos números racionais, vamos definir uma “adição” Š do seguinte modo: para dois racionais quaisquer representados por fracções irredutíveis +Î, e -Î. (+ß - − ™ e ,ß . − ), poremos + +Š œ , . ,. Trata-se uma operação binária em (soma de Fareya9b ), visto que a soma + - de inteiros é um inteiro e a soma , . de inteiros naturais é natural e portanto +,. − . 8 9
A notação B mod C designa o resto da divisão inteira de B por C. Farey, John: geólogo e matemático inglês (Woburn 1766 – Londres 1826).
Sec. B.3] Subconjuntos fechados. Subgrupóides
1 11 1
Exemplo B.12 Dado um conjunto E, o conjunto EE das funções de E em E munido da composição ‰ de funções (ver apêndice A) constitui um grupóide ˆEE à ‰ ‰, porque a composição de funções de E em E resulta sempre noutra função de E em E. O conjunto ÆE das funções bijectivas de E sobre E (também chamadas permutações de E) é um subgrupóide do grupóide anterior, porque a composição de duas bijecções de E sobre E resulta sempre noutra bijecção de E sobre E. Quando E œ e"ß #ß á ß 8f, o conjunto EE será também finito, sendo #ˆEE ‰ œ 88 . Neste caso, #aÆE b œ 8x, que é portanto o número de permutações de ordem 8 (ver capítulo 4) e, neste caso, costuma usar-se a notação Æ8 em vez de ÆE . A
A
A
Fig. B.2 – Composição de funções de E em E .
Exemplo B.13 Uma função 0 À ‘ Ä ‘ diz-se uma afinidade ou função afim sse existem dois números reais +ß , tais que 0 aBb œ +B , Portanto, o gráfico de 0 é uma recta (não vertical) cujo declive é + e cuja ordenada na origem é igual a ,, isto é, tem-se , œ 0 a!b e + œ 0 a"b 0 a!b. Seja agora o conjunto de todas as afinidades de ‘ em ‘ e considere a operação de composição ‰ de funções (ver apêndice A): esta é uma lei de composição interna em , visto que a função composta de duas afinidades é ainda uma afinidade, como se prova a seguir 0 −•1 −Ê
b
+ß,ß-ß.−‘
0 aBb œ +B , • 1aBb œ -B . Ê
a0 ‰ 1baBb œ 0 a1aBbb œ +a-B . b , œ a+-bB a+. ,b Ê 0 ‰ 1 − É agora claro que 0 ‰ 1 é ainda uma afinidade cujo declive é +- e cuja ordenada na origem é +. , e aà ‰ b constitui um grupóide, que é subgrupóide de a‘‘ à ‰ b. Exemplo B.14 Seja Y um conjunto (o universo) e PaY b o conjunto de todas as partes de Y PaY b œ eEÀ E § Y f É claro que g e Y pertencem a PaY b e este conjunto é finito se Y o for, tendo-sea10b : #aPaY bb œ ##Y
10
Se #Y œ 8, o conjunto PaY b é constituído por todos os conjuntos com !ß "ß #ß á ß 8 elementos de Y ; recorrendo ao binómio de Newton, o total de subconjuntos de Y será: 8
8 " Š ‹ œ a" "b8 œ #8 5 5œ!
12
Estruturas algébricas [Apêndice B
Como a reunião e a intersecção de partes de Y é ainda uma parte de Y , as operações de reunião e de intersecção em PaY b são leis de composição interna neste conjunto, obtendo-se a estrutura algébrica aPaY bà ß b. Também a função E È Ec que associa a cada E § Y o respectivo complementar Ec œ Y Ï E é operação unária em PaY b. Exemplo B.15 Sendo aß ‡b um grupóide e \ um conjunto qualquer, podemos definir no conjunto \ das funções de \ em uma operação binária que designaremos por ™ pondo, para qualquer B − \ e quaisquer funções 0ß 1À \ Ä , a0 ™ 1baBb œ 0 aBb‡1aBbà B − \ Trata-se de uma lei de composição interna em \ , porque 0 ™ 1 é ainda uma função de \ em . Em particular, se for 8 − e \ œ e"ß #ß á ß 8f, \ é o conjunto 8 das sequências a+" ß +# ß á ß +8 b de 8 elementos de e a operação ™ é uma lei de composição interna em 8 : a+" ß +# ß á ß +8 b ™ a," ß ,# ß á ß ,8 b œ a+" ‡," ß +# ‡,# ß á ß +8 ‡,8 b
B.4
Associatividade e comutatividade. Semigrupos
Vimos na secção B.2 que podemos estender uma lei de composição interna ‡ definida num conjunto a um número de operandos 8 " finito, pondo B" ‡B# ‡B$ ‡â‡B8" ‡B8 œ aaaB" ‡B# b‡B$ b‡â‡B8" b‡B8 e que a operação aB" ß B# ß B$ ß á ß B8" ß B8 b È aaaB" ‡B# b‡B$ b‡â‡B8" b‡B8 de 8 em é uma das várias operações 8-árias induzidas por ‡ em possíveis. Vamos a seguir investigar as condições para que todas estas operações 8-árias em sejam iguais. Definição B.5 – Associatividade. Semigrupo – Um grupóide aà ‡b (ou a sua lei de composição interna) diz-se associativo ou que constitui um semigrupo sse, para quaisquer elementos Bß Cß D − for aB‡Cb‡D œ B‡aC‡D b, ou seja, aà ‡b é um Grupóide Associativo ou Semigrupo Í
a aB‡Cb‡D œ B‡aC‡D b
BßCßD−
aB.10b
Observações: ç A igualdade aB‡Cb‡D œ B‡aC‡D b, para todo os Bß Cß D − , significa que as duas operações ternárias aBß Cß D b È aB‡Cb‡D e aBß Cß D b È B‡aC‡D b definidas em são iguais. ç O que está em causa na associatividade é a ordem por que se realizam as duas operações ‡ sucessivas. ç Quando a operação ‡ é associativa, a notação B‡C‡D – que, como vimos em aB.1.2b, se entende como aB‡Cb‡D – designa igualmente a expressão B‡aC‡D b, tornando assim inútil o uso de parêntesis. ç As expressões aB‡Cb‡D e B‡aC‡D b revelam a desvantagem da notação infixa tradicional em relação às outras duas mencionadas no início da secção B.2: é que, na ausência de associatividade ou da convenção de que as operações se executam da esquerda para a direita e não usando parêntesis, a expressão B‡C‡D torna-se ambígua, pois designa qualquer dos elementos eventualmente distintos aB‡Cb‡D e B‡aC‡D b (ver exemplo B.1). Pelo contrário,
Sec. B.4] Associatividade e comutatividade. Semigrupos
1 13 3
usando notação posfixa (resp. prefixa), não existe qualquer ambiguidade visto que os dois membros de aB.10b se escrevem BC‡D‡ e BCD‡‡ (resp. ‡‡BCD e ‡B‡CD ), não havendo qualquer necessidade do uso de parêntesisa11b . ç A figura seguinte ilustra a propriedade associativa: x y z
∗
x∗y ∗
x y z
∗
∗
(x ∗ y) ∗ z
x ∗ (y ∗ z)
y∗ z
Fig. B.3 – A associatividade.
Por indução, pode provar-se que, se ‡ é associativa então, para qualquer " Ÿ : 8, tem-se B" ‡B# ‡â‡B: ‡B:" ‡â‡B8 œ ÐB" ‡B# ‡â‡B: чÐB:" ‡â‡B8 Ñ
aB.11b
que é conhecida por associatividade generalizada (o resultado de B" ‡B# ‡â‡B8 não depende do modo como se associam os operandos B" ß B# ß á ß B8 , mantendo todavia a sua ordem). Isto significa que as várias operações 8-árias baseadas em ‡ são iguais: no exemplo B.1, a operação Š não era associativa e, por isso, as operações quaternárias a)%3 b"Ÿ3Ÿ& eram todas distintas e o mesmo acontecia com as duas operações ternárias )$" e )$# . A adição e a multiplicação de números naturais, inteiros, racionais, reais e complexos são associativas; nos exemplos B.16 a B.30 é analisada a associatividade das operações aí mencionadas. Vamos agora definir e analisar a permutabilidade ou comutatividade:
Definição B.6 – Elementos permutáveis. Comutatividade – Dado um grupóide aà ‡b e dois elementos Bß C − , diz-se que B e C são permutáveis (ou comutáveis) ou ainda que o par aBß Cb é permutável sse B‡C œ C‡B
aB.12b
Por outro lado, diz-se que a operação ‡ é comutativa (ou que o grupóide aà ‡b o é) sse todos os elementos de forem permutáveis; mais rigorosamente, O grupóide aà ‡b é comutativo Í a B‡C œ C‡B BßC−
aB.13b
É claro que todo o elemento B − permuta com si próprio: B‡B œ B‡B. Quando o conjunto é finito e a operação está definida por uma tabela, a comutatividade equivale à simetria da tabela em relação à sua diagonal principal (a que vai do canto superior esquerdo para o canto
11
O que justifica a ausência das usuais teclas de parêntesis nas máquinas de calcular que usam o sistema RPN, por oposição aos modelos mais divulgados que utilizam notação algébrica tradicional (infixa).
14
Estruturas algébricas [Apêndice B
inferior direito). Por outro lado, se Bß C e D são dois a dois permutáveis e ‡ é associativa, então: aB‡Cb‡D œ B‡C‡D œ aC‡Bb‡D œ C‡B‡D œ B‡aC‡D b œ B‡aD‡Cb œ aB‡D b‡C œ B‡D‡C œ C‡aB‡D b œ C‡aD‡Bb œ aC‡D b‡B œ C‡D‡B œ aD‡Cb‡B œ D‡C‡B œ D‡aC‡Bb œ D‡aB‡Cb œ aD‡Bb‡C œ D‡B‡C Vemos que, portanto, para qualquer das $x œ ' formas de ordenar os operandos Bß C e D , o resultado da operação ternária aBß Cß D b È B‡C‡D œ aB‡Cb‡D não se altera; este resultado é generalizável, o que é exposto na seguinte Proposição B.1 Seja aà ‡b um grupóide associativo (semigrupo) e B" ß á ß B8 − uma lista de 8 elementos tais que qualquer deles permuta com os restantes da lista (isto é, B3 ‡B4 œ B4 ‡B3 , para quaisquer " Ÿ 3ß 4 Ÿ 8). Então, para qualquer das 8x permutações 5 dos 8 índices, tem-se B5" ‡B5# ‡â‡B58 œ B" ‡B# ‡â‡B8
(comutatividade generalizada)
aB.14b
A igualdade anterior dá-se, em particular, se o grupóide aà ‡b for associativo e comutativo.
Convém realçar aqui que, para a validade da comutatividade generalizada aB.14b, não é suficiente a permutabilidade dos operandos (em particular, não é suficiente a comutatividade da operação ‡), sendo igualmente necessária a sua associatividade, como se mostra no primeiro dos exemplos seguintes: Exemplo B.16 Considere-se o conjunto ‘ algebrizado com a lei de composição interna Š definida por BŠCœ
BC #
Esta operação é obviamente comutativa, mas não é associativa. Neste caso, não vale a comutatividade generalizada, como se prova no contra-exemplo seguinte: & "$ Š%œ # % & "$ $ Š # Š % œ a$ Š #b Š % œ Š % œ # % ( "" $ Š % Š # œ a$ Š %b Š # œ Š # œ # % ( "" % Š $ Š # œ a% Š $b Š # œ Š # œ # % % Š # Š $ œ a% Š #b Š $ œ $ Š $ œ $ # Š % Š $ œ a# Š %b Š $ œ $ Š $ œ $ # Š $ Š % œ a# Š $b Š % œ
Vemos que as $x œ ' permutações dos operandos conduzem-nos a $ resultados diferentes e isto acontece porque a operação não é associativa.
Sec. B.4] Associatividade e comutatividade. Semigrupos
1 15 5
Exemplo B.17 São associativos e comutativos os grupóides aà b, aà ‚ b, a™à b, a™à ‚ b, aà b, aà ‚ b, a‘à b, a‘à ‚ b, a‚à b, a‚à ‚ b, etc., o que significa que estas operações são compatíveis com a associatividade e a comutatividade generalizadas. Exemplo B.18 Não são associativos os grupóides a™à b, a‘à b e a‘‡ à ƒ b, como se pode inferir respectivamente dos seguintes contra-exemplos: ˆ% È# ‰ " œ $ È# % ˆÈ# "‰ œ & È#
a% #b " œ # " œ " % a# "b œ % " œ $
% $ "' ) ƒ a$ ƒ #b œ $ a) ƒ $b ƒ # œ
Também não são comutativos, como mostram os contra-exemplos que se seguem: ) $ $ $ƒ)œ ) )ƒ$œ
%#œ# # % œ #
Exemplo B.19 O grupóide aà Š b definido por B Š C œ B C# não é comutativo (" Š # œ & e # Š " œ $) nem associativo: a" Š #b Š $ œ "% e " Š a# Š $b œ "## Observe que, mesmo com os operandos todos iguais – caso das potências – tem-se por exemplo: $
#
Š # œ Š Š #‹ Š # œ a# Š #b Š # œ "! #
# Š Š Š #‹ œ # Š a# Š #b œ $) o que mostra que a potência de expoente $ e base # para a operação Š é diferente de $
#
#
# Š a# Š #b, ou seja, Š # œ Š Š #‹ Š # Á # Š Š Š #‹. Exemplo B.20 O grupóide aà ‡b do exemplo B.3 não é associativo. Para o verificar, atente na figura seguinte Q P ∗Q P
N
Q ∗R M
M= (P∗ Q)∗R N = P∗ (Q∗R)
R
Fig. B.4 – A operação do exemplo B.3 não é associativa.
16
Estruturas algébricas [Apêndice B No entanto, para quaisquer pontos T ß U − , temos: T ‡U œ ponto médio do segmento T U œ ponto médio do segmento UT œ U‡T ,
o que significa que o grupóide é comutativo. Exemplo B.21 O grupóide aˆà Š b referido no exemplo B.4 é associativo, o que se prova a seguir: ?@ A " ?@ -# a? @ Ab ?@A -# a? Š @b Š A œ œ ?@ A -# ?@ ?A @A " ?@ -# " -# @A ? " @A -# a? @ Ab ?@A -# ? Š a@ Š Ab œ œ @A ? " -# ?@ ?A @A @A -# " -# Em consequência das comutatividades da adição e da multiplicação em ‘, este grupóide é também comutativo, visto que para quaisquer números reais ?ß @ − ˆ, ?Š@œ
?@ @? œ@Š? ?@ œ " -# " @? # -
Exemplo B.22 O grupóide a‘# à b do exemplo B.5 é associativo, o que se prova a seguir: para quaisquer a+ß ,bß a-ß . bß a/ß 0 b − ‘# , temos sucessivamente ˆa+ß ,b a-ß . b‰ a/ß 0 b œ a+-ß +. ,b a/ß 0 b œ a+-/ß +-0 a+. ,bb œ a+-/ß +-0 +. ,b a+ß ,b ˆa-ß . b a/ß 0 b‰ œ a+ß ,b a-/ß -0 . b œ a+-/ß +a-0 . b ,b œ a+-/ß +-0 +. ,b
Porém, este grupóide não é comutativo, porque por exemplo os elementos a#ß $b e a$ß #b não são permutáveis: a#ß $b a$ß #b œ a'ß "b • a$ß #b a#ß $b œ a'ß (b Observe que também existem em ‘# elementos permutáveis, como por exemplo, a#ß $b a"ß !b œ a"ß !b a#ß $b œ a#ß $b a"ß "b a"ß "b œ a"ß "b a"ß "b œ a"ß !b " " " " a#ß "b Œ ß œ Œ ß a#ß "b œ a"ß !b # # # # Exemplo B.23 As operações definidas em ‘# pelas equações aB.6b são ambas associativas, pois que para quaisquer a+ß ,bß a-ß . bß a/ß 0 b − ‘# , se tem: ì Para a primeira operação Š : ˆa+ß ,b Š a-ß . b‰ Š a/ß 0 b œ a+ -ß , . b Š a/ß 0 b œ aa+ -b /ß a, . b 0 b œ a+ a- /bß , a. 0 bb œ a+ß ,b Š a- /ß . 0 b œ a+ß ,b Š ˆa-ß . b Š a/ß 0 b‰
Sec. B.4] Associatividade e comutatividade. Semigrupos
1 17 7
ì Quanto à operação Œ , virá: ˆa+ß ,b Œ a-ß . b‰ Œ a/ß 0 b œ a+- ,.ß +. ,-b Œ a/ß 0 b œ ˆa+- ,. b/ a+. ,-b0 ß a+- ,. b0 a+. ,-b/‰ œ a+-/ ,./ +.0 ,-0ß +-0 ,.0 +./ ,-/b œ ˆ+a-/ .0 b ,a-0 ./bß +a-0 ./b ,a-/ .0 b‰ œ a+ß ,b Œ a-/ .0ß -0 ./b œ a+ß ,b Œ ˆa-ß . b Œ a/ß 0 b‰ São também ambas comutativas, pois que para quaisquer a+ß ,bß a-ß . b − ‘# : a+ß ,b Š a-ß . b œ a+ -ß , . b œ a- +ß . ,b œ a-ß . b Š a+ß ,b a+ß ,b Œ a-ß . b œ a+- ,.ß +. ,-b œ a-+ .,ß -, .+b œ a-ß . b Œ a+ß ,b Trata-se, como facilmente se reconhece, da adição e da multiplicação de números complexos a+ß ,b œ + ,3 e a-ß . b œ - .3, usadas no apêndice C sobre números complexos. Exemplo B.24 A operação ‡ definida no exemplo B.7 é associativa, por ser, com +ß ,ß - − e"ß #ß $ß %ß &ß 'f, a+‡,b‡- œ mdcamdca+ß ,bß -b œ mdca+ß mdca,ß -bb œ +‡a,‡-b Esta operação é também comutativa, como se deduz imediatamente da simetria da tabela em relação à diagonal principal ou ainda por ser, com +ß , − e"ß #ß $ß %ß &ß 'f, +‡, œ mdca+ß ,b œ mdca,ß +b œ ,‡+ Exemplo B.25 As duas operações definidas pelo par de igualdades aB.7b no conjunto ™& œ e0ß "ß #ß $ß %f são associativas (verifique). Elas são ainda comutativas, o que resulta da simetria das tabelas apresentadas em relação à diagonal principal ou ainda da comutatividade da adição e da multiplicação em ™: + Š , œ a+ ,b mod & œ a, +b mod & œ , Š + + Œ , œ a+,b mod & œ a,+b mod & œ , Œ + Exemplo B.26 As duas operações do exemplo B.9 definidas pelo par de igualdades aB.8b no conjunto ™# são associativas, o que resulta das propriedades da adição e do produto em ™: ì Para a primeira operação Š : ˆa+ß ,b Š a-ß . b‰ Š a/ß 0 b œ a+ -ß , . b Š a/ß 0 b œ aa+ -b /ß a, . b 0 b œ a+ a- /bß , a. 0 bb œ a+ß ,b Š a- /ß . 0 b œ a+ß ,b Š ˆa-ß . b Š a/ß 0 b‰
18
Estruturas algébricas [Apêndice B ì Quanto à operação Œ , virá: ˆa+ß ,b Œ a-ß . b‰ Œ a/ß 0 b œ a+- #,.ß +. ,-b Œ a/ß 0 b œ ˆa+- #,. b/ #a+. ,-b0ß a+- #,. b0 a+. ,-b/‰ œ a+-/ #,./ #+.0 #,-0ß +-0 #,.0 +./ ,-/b œ ˆ+a-/ #.0 b #,a-0 ./bß +a-0 ./b ,a-/ #.0 b‰ œ a+ß ,b Œ a-/ #.0ß -0 ./b œ a+ß ,b Œ ˆa-ß . b Œ a/ß 0 b‰ São também comutativas, o que resulta da comutatividade da adição e do produto em ™: a+ß ,b Š a-ß . b œ a+ -ß , . b œ a- +ß . ,b œ a-ß . b a+ß ,b a+ß ,b Œ a-ß . b œ a+- #,.ß +. ,-b œ a-+ #.,ß -, .+b œ a-ß . b Œ a+ß ,b
Exemplo B.27 As duas operações do exemplo B.10 definidas pelo par de igualdades aB.9b no conjunto # são associativas e também comutativas, o que resulta das propriedades da adição e do produto em . As demonstrações decorrem de forma semelhante às do exemplo anterior. Exemplo B.28 A composição de funções de E em E citada no exemplo B.12, é associativa, mas não é comutativa: ì Quanto à associatividade, tem-se para todo o B − A, aa0 ‰ 1b ‰ 2baBb œ a0 ‰ 1ba2aBbb œ 0 a1a2aBbbb a0 ‰ a1 ‰ 2bbaBb œ 0 aa1 ‰ 2baBbb œ 0 a1a2aBbbb ì Para ver que a composição não é comutativa, basta atentar no contra-exemplo seguinte envolvendo as duas funções 0 e 1 de ‘ em ‘ definidas a seguir: 0 aBb œ sinaBb 1aBb œ B# a0 ‰ 1baBb œ 0 a1aBbb œ sinˆB# ‰ a1 ‰ 0 baBb œ 1a0 aBbb œ asinaBbb#
1
0
-1 -π /2
0
π /2
Fig. B.5 – Gráficos das funções 0 ‰ 1 e 1 ‰ 0 .
Sec. B.4] Associatividade e comutatividade. Semigrupos
1 19 9
Exemplo B.29 A composição de funções afins do exemplo B.13 é associativa: considerem-se três afinidades 0 ß 1ß 2À ‘ Ä ‘ definidas por 0 aBb œ +B ,à +ß , − ‘ 1aBb œ -B .à -ß . − ‘ 2aBb œ /B 0 à /ß 0 − ‘ e verifiquemos que ˆa0 ‰ 1b ‰ 2‰ œ ˆ0 ‰ a1 ‰ 2b‰: ˆa0 ‰ 1b ‰ 2‰aBb œ +-a/B 0 b +. , œ +-/B +-0 +. , ˆ0 ‰ a1 ‰ 2b‰aBb œ +a-/B -0 . b , œ +-/B +-0 +. , Todavia, não é comutativa; para o provar, basta atentar no contra-exemplo seguinte 0 aBb œ #B $ 1aBb œ $B # Neste caso, temos a0 ‰ 1baBb œ 0 a1aBbb œ #a$B #b $ œ 'B " a1 ‰ 0 baBb œ 1a0 aBbb œ $a#B $b # œ 'B ( Existem, no entanto, afinidades permutáveis (dê exemplos!). Exemplo B.30 A potenciação • definida em ‘ por B • C œ /C lnB à Bß C − ‘ constitui uma lei de composição interna em ‘ , a qual não é comutativa ($ • # Á # • $) nem associativa, como mostra o contra-exemplo a# • #b • $ œ % • $ œ '% e # • a# • $b œ # • ) œ #&' Observe, no entanto, que para quaisquer Bß C − ‘ , a" • Bb • C œ "à " • aB • Cb œ "à
aB • Cb • " œ B • C B • aC • "b œ B • C
A potência de um elemento B de expoente 8 para a operação ‡ definida por aB.2.1b goza das propriedades seguintes: Proposição B.2 – Propriedades das potências – Seja aà ‡b um grupóide associativo (semigrupo). Então: i)
Para qualquer B − e quaisquer expoentes naturais 7 e 8, tem-se 7
8
Š‡B‹‡Š‡B‹ œ
78
‡
B
20
Estruturas algébricas [Apêndice B iiÑ Para qualquer B − e quaisquer expoentes naturais 7 e 8, tem-se 8
7
78
‡Š‡B‹ œ ‡ B iiiÑ Se Bß C − são permutáveis, o mesmo sucede com B e natural 8, isto é: 8
8
‡C, para qualquer expoente
8
B‡Š‡C‹ œ Š‡C‹‡B ivÑ Para quaisquer Bß C − permutáveis e qualquer expoente natural 8, tem-se 8
8
8
Š‡B‹‡Š‡C‹ œ ‡aB‡Cb Demonstração: i)
Para 7ß 8 − , teremos por indução em 8:
ñ
Para 8 œ ", tem-se
ñ
Para 8 ", se for
7"
‡
78
‡
7a8"b
‡
7
7
"
B œ Š‡B‹‡B œ Š‡B‹‡Š‡B‹. 7
8
B œ Š‡B‹‡Š‡B‹, então
Bœ
a78b"
‡
BœŠ
7
78
‡
7
8
B‹‡B œ ŠŠ‡B‹‡Š‡B‹‹‡B
8
7
œ Š‡B‹‡ŠŠ‡B‹‡B‹ œ Š‡B‹‡Š
8"
‡ B‹
ii) Para 7ß 8 − , usamos o método de indução em 8: "
7
7
ñ
Para 8 œ ", tem-se ‡Š‡B‹ œ ‡B œ
ñ
Para 8 ", se for ‡Š‡B‹ œ
8
8" 7
8
7
7
7"
‡ B.
78
‡ B e usarmos o resultado da alínea anterior, obtém-se 7
78
7
787
‡ Š‡B‹ œ Š‡Š‡B‹‹‡Š‡B‹ œ Š ‡ B‹‡Š‡B‹ œ ‡
Bœ
7a8"b
‡
B
iii) Usaremos novamente o método de indução finita: ñ
"
"
Para 8 œ ", a igualdade é imediata, visto que B‡Š‡C‹ œ B‡C œ C‡B œ Š‡C‹‡B.
Sec. B.4] Associatividade e comutatividade. Semigrupos ñ
8
2 21 1
8
Se admitirmos que B‡Š‡C‹ œ Š‡C‹‡B, então para 8 " teremos, atendendo à
associatividade, à hipótese de indução e a que B e C são permutáveis: 8"
B‡Š
8
8
8
8
‡ C‹ œ B‡ŠŠ‡C‹‡C‹ œ ŠB‡Š‡C‹‹‡C œ ŠŠ‡C‹‡B‹‡C œ Š‡C‹‡aB‡Cb 8
8
œ Š‡C‹‡aC‡Bb œ ŠŠ‡C‹‡C‹‡B œ Š
8"
‡ C‹‡B
iv) Usando o método de indução em 8, vem: "
"
"
ñ
Para 8 œ ", a igualdade é imediata, visto que Š‡B‹‡Š‡C‹ œ B‡C œ ‡aB‡Cb.
ñ
Admitamos a hipótese de indução de que 8
8
8
Š‡B‹‡Š‡C‹ œ ‡aB‡Cb e atendamos à alínea anterior e à associatividade: deste modo, para 8 " teremos: 8"
Š
8"
8
8
8
8
‡ B‹‡Š ‡ C‹ œ ŠŠ‡B‹‡B‹‡ŠŠ‡C‹‡C‹ œ Š‡B‹‡ŠB‡ŠŠ‡C‹‡C‹‹ 8
8
8
8
œ Š‡B‹‡ŠŠB‡Š‡C‹‹‡C‹ œ Š‡B‹‡ŠŠŠ‡C‹‡B‹‡C‹ 8
8
8
8
œ Š‡B‹‡ŠŠ‡C‹‡aB‡Cb‹ œ ŠŠ‡B‹‡Š‡C‹‹‡aB‡Cb 8
œ Š‡aB‡Cb‹‡aB‡Cb œ
8"
‡ aB‡Cb
Observações: ç Convém aqui observar a importância da associatividade na validade de todas as alíneas da proposição anterior. Para o mostrar, basta atender à operação aBß Cb È B C# que designaremos por Š definida $
#
$#
&
em que não é associativa e teremos Š Š #‹ Š Š Š #‹ Á Š # œ Š #: $
#
Š Š #‹ Š Š Š #‹ œ aa# Š #b Š #b Š a# Š #b œ a' Š #b Š ' œ "! Š ' œ %' $#
&
Š # œ Š # œ aaa# Š #b Š #b Š #b Š # œ aa' Š #b Š #b Š # œ a"! Š #b Š # œ "% Š # œ ")
22
Estruturas algébricas [Apêndice B #
$
#†$
'
ç Do mesmo modo, tem-se Š Š Š #‹ Á Š # œ Š #: #
$
$
$
Š Š Š #‹ œ Š Š #‹ Š Š Š #‹ œ "! Š "! œ ""! '
&
Š # œ Š Š #‹ Š # œ ") Š # œ ##
8
8
8
ç Também a propriedade Š Š B‹ Š Š Š C‹ œ Š aB Š Cb não tem lugar (neste caso, além da não associatividade, os elementos # e $ não são permutáveis): #
#
Š Š #‹ Š Š Š $‹ œ ' Š "# œ "&! #
#
Š a# Š $b œ Š "" œ "" Š "" œ "$#
B.5
Elementos absorventes e idempotentes. Distributividade
Façamos agora referência ao conceito de elemento absorvente: Definição B.7 – Elementos absorventes – Num grupóide aà ‡b, diz-se que + − é um elemento absorvente da operação ‡ (ou do grupóide) à esquerda (resp. à direita) sse, para todo o B − , for +‡B œ + (resp. B‡+ œ +) + − é elemento absorvente de aà ‡b à esquerda Í a +‡B œ + B−
+ − é elemento absorvente de aà ‡b à direita Í a B‡+ œ +
aB.15b
B−
Se + é absorvente à esquerda e à direita, diremos simplesmente que é um elemento absorvente (bilateral).
Exemplo B.31 O real ! é absorvente (bilateral) para a multiplicação em ! ß ™ß ß ‘ e ‚, pois que !B œ B! œ !, para qualquer elemento B naqueles conjuntos; o grupóide aditivo a‘à b não possui elemento absorvente. Exemplo B.32 Em PaY b, o conjunto vazio g (resp. o conjunto universal Y ) é absorvente para a intersecção (resp. reunião): EgœgE œg EY œY E œY Exemplo B.33 No semigrupo comutativo aà ‡b do exemplo B.7, o elemento " é absorvente. Para qualquer B − , mdca"ß Bb œ mdcaBß "b œ "
Sec. B.5] Elementos absorventes e idempotentes. Distributividade
2 23 3
Exemplo B.34 A potenciação • em ‘ (não comutativa) definida no exemplo B.30 satisfaz " • B œ ", para todo o número real B !, o que mostra ser " um elemento absorvente à esquerda (mas não à direita).
Observações: ç É evidente que, se a operação ‡ é comutativa, + é absorvente à esquerda se e só se for absorvente à direita. ç Se num grupóide existem os dois elementos absorventes, então estes são necessariamente iguais: de facto, se + é absorvente à esquerda e +w é absorvente à direita, então temos +‡+w œ + e +‡+w œ +w , o que implica ser + œ +w . Por outro lado, se existem dois elementos absorventes à esquerda +" e +# e se +w é um elemento absorvente à direita, teremos como acabámos de ver +" œ +w e +# œ +w e portanto +" œ +# . Provámos assim a unicidade (não a existência!) do elemento absorvente à esquerda quando também existe elemento absorvente à direita. De forma semelhante se provaria a unicidade do elemento absorvente à direita, caso exista algum elemento absorvente à esquerda; portanto, o elemento absorvente (bilateral) + satisfará as igualdades +‡B œ B‡+ œ +, para qualquer B − , e será único. ç Podem existir vários elementos absorventes à esquerda (resp. à direita), desde que não exista nenhum à direita (resp. à esquerda). O exemplo seguinte mostra a existência de dois elementos absorventes à direita no grupóide ae+ß ,ß -fà ‡b algebrizado pela operação definida pela tabela: ‡ + , -
+ + + +
, , +
-
Os elementos + e - são ambos absorventes à direita (B‡+ œ + e B‡- œ -, para B œ +ß ,ß -), não havendo elemento absorvente à esquerda. ç Seja aâb uma qualquer expressão algébrica arbitrariamente complexa e + um elemento absorvente à esquerda (resp. à direita) para uma operação binária ‡; isso significa que o resultado de +‡aâb (resp. aâb‡+) é conhecido e igual a + assim que se toma conhecimento de que o primeiro (resp. segundo) operando de ‡ é igual a +, poupando-nos assim ao cálculo da referida expressão. Este facto é, por vezes, levado em conta em programação, em termos de optimização do código: neste contexto, o facto de não se calcular a subexpressão aâb é conhecido por lazy evaluation. A proposição seguinte dá conta do resultado obtido na 2ª observação anterior: Proposição B.3 Em qualquer grupóide aà ‡b existe, quando muito, um elemento absorvente (bilateral).
24
Estruturas algébricas [Apêndice B Referiremos, agora, a propriedade chamada idempotência:
Definição B.8 – Idempotência – Um elemento + de um grupóide aà ‡b diz-se idempotente (para a operação ‡) se e só se for +‡+ œ +. Se todos os elementos de forem idempotentes, dizemos que a operação ‡ (ou o grupóide) é idempotente. Tem-se pois: + − é idempotente Í +‡+ œ + aà ‡b é idempotente Í a B‡B œ B
aB.16b
B−
Por exemplo, a operação aBß Cb È aB CbÎ# definida em ‘ é idempotente, visto que aB BbÎ# œ B e é igualmente idempotente o grupóide do exemplo B.3 (reconhece alguma semelhança entre estes dois casos?). Exemplo B.35 Em aPaY bà ß b, ambas as operações são idempotentes, pois E E œ E e E E œ E, para qualquer E § Y . Uma importante propriedade que traduz um certo tipo de “compatibilidade” entre duas operações binárias definidas num mesmo suporte é a distributividade, cuja definição vamos ver a seguir: Definição B.9 – Distributividade – Num conjunto , suponhamos definidas duas leis de composição interna Š e Œ , isto é a estrutura algébrica aà Š ß Œ b. ñ Diz-se que a operação Œ é distributiva à esquerda em relação à operação Š , se para quaisquer Bß Cß D − , se tem B Œ aC Š D b œ aB Œ Cb Š aB Œ D b
aB.16.1b
ñ Diz-se que a operação Œ é distributiva à direita em relação à operação Š , se para quaisquer Bß Cß D − , se tem aB Š Cb Œ D œ aB Œ D b Š aC Œ D b
aB.16.2b
Observações: ç Se usarmos notação aditiva para Š e notação multiplicativa para Œ , as expressões anteriores escrevem-sea12b : BaC D b œ BC BD aB CbD œ BD CD ç Se a operação Œ é comutativa, as duas propriedades anteriores são equivalentes: por exemplo, se vigora a distributividade à esquerda, então: aB Š Cb Œ D œ D Œ aB Š Cb œ aD Œ Bb Š aD Œ Cb œ aB Œ D b Š aC Œ D b o que mostra que se verifica também a distributividade de Œ em relação a Š à direita. Como exercício, prove a recíproca.
12
Nos segundos membros, seguimos a convenção usual de que as multiplicações têm prioridade sobre a adição.
Sec. B.6] Translações. Elementos regulares
2 25 5
Exemplo B.36 As multiplicações definidas nos conjuntos ß ™ß ß ‘ e ‚ são distributivas à esquerda e à direita em relação às adições igualmente definidas naqueles conjuntos. Exemplo B.37 Sendo Y um conjunto e PaY b o conjunto das partes de Y , a intersecção e a reunião são leis de composição interna em PaY b e são mutuamente distributivas, isto é, para quaisquer Eß Fß G § Y , valem a igualdades E aF G b œ aE F b aE G b e aE F b G œ aE G b aF G b E aF G b œ aE F b aE G b e aE F b G œ aE G b aF G b Exemplo B.38 No capítulo 2, definem-se a adição e a multiplicação matriciais, que são leis de composição interna no conjunto Š8ß8 das matrizes quadradas de ordem 8 sobre um corpo Š (ver secção B.11). Prova-se no referido capítulo que a multiplicação é distributiva relativamente à adição quer à esquerda quer à direita; neste caso, as duas propriedades são independentes visto que a multiplicação de matrizes não é comutativa. Exemplo B.39 No capítulo 3, definem-se para funções lineares a adição e a composição, que são leis de composição interna no conjunto EndaI b dos endomorfismos de um espaço vectorial I de dimensão finita. Prova-se no referido capítulo que a composição de funções lineares é distributiva relativamente à adição quer à esquerda quer à direita; também aqui, as duas propriedades são independentes, atendendo à não comutatividade da composição de endomorfismos. B.6
Translações. Elementos regulares
Consideraremos agora as noções de translação, de elemento regular e de elemento neutro num grupóide: Definição B.10 – Translações – Dado um grupóide aà ‡b e um elemento + − , chama-se translação à esquerda (resp. à direita) associada a + à aplicação B È +‡B (resp. B È B‡+) de em . Representaremos a translação à esquerda (resp. à direita) por 7+ (resp. 7+w ); temos então: 7+ aBb œ +‡B e
7+w aBb œ B‡+
aB.17b
Quando + for permutável com todos os elementos de , em particular quando ‡ for comutativa, as duas translações coincidem. Por exemplo, em ‘, as translações aditivas são as funções B È + B e as translações multiplicativas são as funções B È +B. Definição B.11 – Elementos regulares – Dado um grupóide aà ‡b, um elemento + − dizse regular à esquerda (resp. à direita) para a operação ‡ se e só se a correspondente translação à esquerda (resp. à direita) for injectiva. Se + for regular simultâneamente à esquerda e à direita, diremos simplesmente que + é regular. Se + não é regular à esquerda (resp. direita), diremos que ele é singular à esquerda (resp. direita) e quando não for regular, dizemos que é singular. Desta definição, resulta de imediato que + é regular à esquerda (resp. à direita) se e só se valer a lei do corte à esquerda (resp. à direita) para a operação ‡: +‡B œ +‡C Ê +‡B Î œ +‡C Î ÊBœC B‡+ œ C‡+ Ê B‡+Î œ C‡+ ÎÊBœC
26
Estruturas algébricas [Apêndice B
ou ainda se e só se, para todo o , − , a equação +‡B œ , (resp. B‡+ œ ,) tem, no máximo, uma solução. É ainda óbvio que, se ‡ for comutativa, + é regular à esquerda para a operação ‡ se e só se + é regular à direita para a mesma operação. ç Se + é absorvente à esquerda (resp. direita), a translação 7+ à esquerda (resp. 7+w à direita) é a função constante B È +, que não é injectiva se # ". Deste modo, se # ", um elemento absorvente à esquerda (resp. direita) não é certamente regular à esquerda (resp. direita). Nestas condições, não é lícito “cortar” o elemento absorvente numa igualdade +‡B Î œ +‡C Î ou B‡+Î œ C‡+ Î, para obter B œ C. (por exemplo, ! é absorvente na multiplicação em ‘ e tem-se ! † # œ ! † $ sendo, todavia, # Á $). ç Se + é idempotente, isso significa que as translações determinadas por + têm + como ponto fixo: 7+ a+b œ +‡+ œ + e 7+w a+b œ +‡+ œ +. Exemplo B.40 Em ™, todos os elementos são regulares para a adição e todo o inteiro diferente de ! é regular para a multiplicação. Exemplo B.41 Na estrutura algébrica aPaY bà ß b do exemplo B.14, apenas é regular para a intersecção o conjunto Y e, para a reunião, o conjunto vazio g (ambas as translações são a função identidade em PaY b). Exemplo B.42 Consideremos o conjunto EE do exemplo B.12, formado pelas funções de E em E algebrizado pela composição ‰ . Vamos ver que os elementos regulares à esquerda (resp. à direita) para a composição são as funções injectivas (resp. sobrejectivas): + é injectiva Í + é sobrejectiva Í
a + ‰ 0 œ + ‰ 1 Ê 0 œ 1 (+ é regular à esquerda)
0 ß1−EE
a 0 ‰ + œ 1 ‰ + Ê 0 œ 1 (+ é regular à direita)
0 ß1−EE
Se E é vazio ou singular, o resultado é trivial. Supondo #E ", temos: ñ + é injectiva Ê + é regular à esquerda: Se for0 Á 1, existe um B − E tal que 0 aBb Á 1aBb o que, sendo + injectiva, implica +a0 aBbb Á +a1aBbb, ou seja a+ ‰ 0 baBb Á a+ ‰ 1baBb e isto significa que + ‰ 0 Á + ‰ 1. ñ + não é injectiva Ê + não é regular à esquerda: Por outro lado, se + não é injectiva, existem pontos C Á Cw − E tais que +aCb œ +aCw b. É agora possível definir duas funções 0 ß 1À E Ä E pondo, para todo o B − E: 0 aB b œ C (observe que é 0 Á 1) 1aBb œ Cw Para estas funções, tem-se, para todo o B − E: +a0 aBbb œ +aCb œ +aCw b œ +a1aBbb Ê a+ ‰ 0 baBb œ a+ ‰ 1baBb e, portanto, tem-se + ‰ 0 œ + ‰ 1 • 0 Á 1. A existência das funções 0 e 1 mostra que + não é regular à esquerda.
Sec. B.7] Elemento neutro. Monóides. Elementos invertíveis
2 27 7
ñ + é sobrejectiva Ê + é regular à direita: Se for0 Á 1, existe um C − E tal que 0 aCb Á 1aCb e, sendo + sobrejectiva, existirá ainda B − E tal que C œ +aBb. Então será 0 a+aBbb œ 0 aCb Á 1aCb œ 1a+aBbb, ou seja, a0 ‰ +baBb Á a1 ‰ +baBb o que implica que 0 ‰ + Á 1 ‰ +. ñ + não é sobrejectiva Ê + não é regular à direita: Não sendo + sobrejectiva, o seu contradomínio +aEb será uma parte própria de E (isto é, E Ï +aEb não é vazio). Definam-se então duas funções 0ß 1À E Ä E pondo, por construção, 0 aCb œ 1aCb, para todo o C − +aEba13b e tais que, para algum C! − E Ï +aEb, seja 0 aC! b Á 1aC! b; deste modo, é 0 Á 1, por contrução. Para estas funções, tem-se para qualquer B − E e atendendo a que +aBb − +aEb: a 0 Šî +aBb ‹ œ 1Šî +aBb ‹ Ê a a0 ‰ +baBb œ a1 ‰ +baBb B−E
B−E
−+aEb
−+aEb
Temos, portanto, 0 ‰ + œ 1 ‰ + • 0 Á 1 e a existência destas funções garante que + não é regular à direita. B.7
Elemento neutro. Monóides. Elementos invertíveis
Definição B.12 – Elementos neutros – Num grupóide aà ‡b, diz-se que ? − é um elemento neutro da operação ‡ (ou do grupóide) à esquerda (resp. à direita) sse 7? œ I (resp. 7?w œ I ); temos então: ? é elemento neutro de aà ‡b à esquerda Í a ?‡B œ B B−
?w é elemento neutro de aà ‡b à direita Í a B‡?w œ B
aB.18b
B−
Se ? é simultâneamente elemento neutro da operação ‡ à direita e à esquerda, diremos simplesmente que ? é elemento neutro (bilateral) para a operação ‡, isto é, ? é elemento neutro de aà ‡b Í a ?‡B œ B‡? œ B B−
aB.19b
Proposição B.4 Seja aà ‡b um grupóide, ? um elemento neutro da operação ‡ à esquerda e ?w um elemento neutro à direita. Então, é ?w œ ?. Além disso, estes elementos são únicos e satisfazem aB.19b. Demonstração: Basta fazer B œ ?w na primeira equação aB.18b e B œ ? na segunda, para obter: Bœ?w
? é elemento neutro à esquerda Ê a ?‡B œ B Ö ?‡?w œ ?w B−
13
Por outras palavras, são iguais as restrições 0l+aEb e 1l+aEb de 0 e de 1 ao contradomínio da função + .
28
Estruturas algébricas [Apêndice B Bœ?
?w é elemento neutro à direita Ê a B‡?w œ B Ö ?‡?w œ ? B−
Das igualdades anteriores resulta de imediato ? œ ?w . Por outro lado, se existem dois elementos neutros à esquerda ?" e ?# e se ?w é um elemento neutro à direita, teremos como acabámos de ver ?" œ ?w e ?# œ ?w ; portanto, ?" œ ?# . Provámos assim a unicidade – mas não a existência! – do elemento neutro à esquerda quando também existe elemento neutro à direita. De forma semelhante se provaria a unicidade do elemento neutro à direita, caso exista algum elemento neutro à esquerda. Portanto, o elemento neutro bilateral ? é único e satisfaz a equação aB.19b. Corolário B.4.1 Em qualquer grupóide aà ‡b existe, quando muito, um elemento neutro (bilateral). Demonstração: Sejam ?" e ?# elementos neutros (bilaterais) do grupóide aà ‡b. Da proposição anterior resulta imediatamente ?" œ ?# .
A título de exercício pode o leitor investigar a existência de elemento neutro nos grupóides dos exemplos B.1 a B.15. Observações: ç A justificação para a designação de “neutro à esquerda” (resp. “neutro à direita”) é óbvia, visto que o resultado de operar com ? à esquerda (resp. com ?w à direita) produz um resultado igual ao outro operando. ç O elemento neutro à esquerda (resp. à direita) é regular à esquerda (resp. à direita), visto que a função identidade I é injectiva. ç Se ? (resp. ?w ) é um elemento neutro à esquerda (resp. direita), então ? (resp. ?w ) é idempotente. Em particular, o elemento neutro bilateral é idempotente, se existir. ç Facilmente se prova que, se ? (resp. ?w ) é um elemento neutro à esquerda (resp. direita) 8
8
para a operação ‡, então tem-se ‡? œ ? (resp. ‡?w œ ?w ), para 8 − . ç Observemos que a primeira exigência feita a um elemento neutro (bilateral) é a de ser permutável com todos os elementos de , o que pode acontecer mesmo que o grupóide não seja comutativo (ver exemplos adiante). Obviamente que o leitor reconhecerá imediatamente os casos de ? œ ! no grupóide a™à b e de ? œ " no grupóide a™à ‚ b. Adiante veremos outros exemplos. ç Se a operação ‡ é associativa e existe um elemento + − tal que ambas as translações 7+ e 7+w associadas a + são sobrejectivas, então existe elemento neutro: se 7+ é sobrejectiva, existe ?w − tal que +‡?w œ +; mas então esta igualdade é satisfeita por qualquer B − , visto que para cada B existirá C − tal que C‡+ œ B e será B‡?w œ aC‡+b‡?w œ C‡a+‡?w b œ C‡+ œ B
Sec. B.7] Elemento neutro. Monóides. Elementos invertíveis
2 29 9
o que mostra que ?w é elemento neutro à direita. Do mesmo modo, sendo 7+w sobrejectiva, existe ? − tal que ?‡+ œ + e esta igualdade é satisfeita por qualquer B − , visto que existirá para cada B um C − tal que +‡C œ B e será ?‡B œ ?‡a+‡Cb œ a?‡+b‡C œ +‡C œ B o que mostra ser ? elemento neutro à esquerda. Então, a proposição B.4 assegura que ?w œ ? e, portanto, B‡? œ ?‡B œ B, para todo o B − e ? é elemento neutro (bilateral). ç O elemento neutro de uma operação representada aditivamente representa-se por ! e chama-se zero ou elemento nulo; se a operação é representada em linguagem multiplicativa, o elemento neutro representa-se por " e chama-se elemento unidade ou identidade. Existem excepções a estas convenções: por exemplo, em cálculo matricial, a matriz nula de tipo 7 ‚ 8 é representada por S7ß8 e a matriz identidade de ordem 8 é representada por M8 . ç Os exemplos B.43 e B.44 mostram que pode uma operação binária – necessariamente não comutativa – ter vários elementos neutros à esquerda (e necessariamente nenhum à direita: porquê?) ou vários elementos neutros à direita (e necessariamente nenhum à esquerda: porquê?). Todavia, pelo corolário B.4.1, poderá haver, quando muito, um elemento neutro (bilateral).
Exemplo B.43 Seja 8 um inteiro natural. A operação binária Œ definida em ‚ por D Œ A œ D 8 Aà 8 − não é comutativa (para 8 ") e tem 8 elementos neutros ?5 à esquerda, a saber, as 8 raízes de índice 8 da unidade ?5 œ Š/3
#51 8
‹
5œ!ß"ßáß8"
; ?58 œ "
É óbvio que ?5 Œ A œ ?58 A œ "A œ A, para todo o A − ‚. Para 8 ", não pode existir elemento neutro ?w à direita pois que, se este existisse, todos os elementos neutros à esquerda deveriam ser iguais a ?w (ver proposição B.4) e, portanto iguais entre si. Do mesmo modo, a operação definida em ‚ por D A œ DA8 à 8 − não é comutativa (para 8 ") e tem 8 elementos neutros ?5w à direita que são as 8 raízes de índice 8 da unidade em ‚: ?5w œ Š/3
#51 8
‹
8
5œ!ß"ßáß8"
; a?5w b œ "
É óbvio que D ?5w œ D a?5w b8 œ D" œ D , para todo o D − ‚. Para 8 ", não pode existir qualquer elemento neutro ? à esquerda pois que, se este existisse, todos os elementos neutros à direita deveriam ser iguais a ? e, portanto iguais entre si. Se 8 œ ", as operações Œ e coincidem ambas com a multiplicação usual em ‚ e então existe elemento neutro (bilateral e único) que é ".
30
Estruturas algébricas [Apêndice B Exemplo B.44 No conjunto œ e+ß ,ß -f defina-se uma lei de composição mediante a tabela ‡ + , -
+ + +
, , , ,
+ -
A operação ‡ não é comutativa e tem + e - por elementos neutros à esquerda (+‡B œ -‡B œ B, para B œ +ß ,ß -); no entanto, não há qualquer elemento neutro à direita. Exemplo B.45 Em , a operação Š À aBß Cb È BC # do exemplo B.1 é comutativa mas não tem elemento neutro: se existisse um tal elemento ?, seria ? Š " œ ?" # œ " e também ?# ? Š # œ # œ #; isto implicaria ? œ " e ? œ # e portanto seria " œ #! Exemplo B.46 Em ! , os números ! e " são elementos neutros para a adição e para a multiplicação respectivamente. Exemplo B.47 Em aPaY bà ß b, g é elemento neutro para e Y é elemento neutro para , isto é, para qualquer E § Y , tem-se g E œ E g œ E e Y E œ E Y œ E. Exemplo B.48 No grupóide ˆEE à ‰ ‰, a função identidade IE é elemento neutro para a composição ‰ : IE ‰ 0 œ 0 ‰ IE , para todo o 0À E Ä E. Exemplo B.49 A potenciação • em ‘ (não comutativa) definida no exemplo B.30 satisfaz B • " œ B, para todo o número real B !, o que mostra ser " um elemento neutro à direita (mas não à esquerda). Exemplo B.50 No conjunto dos inteiros naturais, consideremos as leis de composição interna definidas por: BŠCœBC" B Œ C œ BC aB Cb # ñ A operação Š é associativa: aB Š Cb Š D œ aB C "b Š D œ B C " D " œ B aC D "b " œ B Š aC D "b œ B Š aC Š D b ñ A operação Œ é associativa: aB Œ Cb Œ D œ aBC aB Cb #b Œ D œ aBC aB Cb #bD aBC aB Cb # D b # œ C BaC "baD "b D CD B Œ aC Œ D b œ B Œ aCD aC D b #b œ BaCD aC D b #b aB CD aC D b #b # œ C BaC "baD "b D CD ñ A operação Š é comutativa: BŠCœBC"œCB"œCŠB
Sec. B.7] Elemento neutro. Monóides. Elementos invertíveis
3 31 1
ñ A operação Œ é comutativa: B Œ C œ BC aB Cb # œ CB aC Bb # œ C Œ B ñ A operação Š tem elemento neutro (bilateral) que é ": 1ŠBœBŠ"œ"B"œB ñ A operação Œ tem elemento neutro (bilateral) que é #: # Œ B œ B Œ # œ #B a# Bb # œ #B # B # œ B ñ A operação Š não tem elemento absorvente: se este existisse e fosse +, teria que ser, por exemplo, + Š # œ + ou seja + # " œ +, logo " œ !, o que é absurdo! ñ A operação Œ tem elemento absorvente (bilateral) que é 1, pois para qualquer B − : " Œ B œ B Œ " œ B a" Bb # œ B " B # œ " ñ A operação Œ é distributiva em relação a Š à esquerda: B Œ aC Š D b œ B Œ aC D "b œ BaC D "b aB C D "b # œ œ aBC aB Cb #b aBD aB D b #b " œ aB Œ Cb Š aB Œ D b ñ A operação Œ é distributiva à direita em relação a Š : é consequência da distributividade à esquerda e da comutatividade de Œ . 8
ñ Quanto à potência de base B e expoente 8 para Š , tem-se 9B œ 8aB "b ", o que pode ser verificado por indução: para 8 œ ", é óbvio (B œ B). Para 8 ", teremos 8"
8
:B œ :B Š B œ 8aB "b " aB "b œ a8 "baB "b " 8
ñ E para a operação Œ , a potência de base B e expoente 8 é 7B œ aB "b8 ". Podemos também provar esta igualdade por indução, sendo o caso 8 œ " trivial: 8"
8
8B œ 8B Œ B œ aaB "b8 "bB aaB "b8 " Bb # œ aB "b8 aB "b " œ aB "b8" "
É a um semigrupo com elemento neutro que chamaremos um monóide: Definição B.13 – Monóide – Um grupóide aà ‡b diz-se um monóide sse for associativo (um semigrupo) e tiver elemento neutro ? (único, como vimos). Podemos dizer que ˆEE à ‰ ‰, aà ‚ b, a™à b e a™à ‚ b são monóides, com elementos neutros IE , ", ! e " respectivamente. Já aà b não é um monóide, visto não ter elemento neutro.
32
Estruturas algébricas [Apêndice B Num monóide aà ‡b, costuma definir-se a operação nulária escolha do elemento neutro ? 8
(trata-se da generalização da expressão
‡ B5 a 8 œ ! operandos): 5œ"
!
‡ B5 œ 5−g ‡ B5 œ ? 5œ"
aB.20.1b
Nas linguagens aditiva e multiplicativa viria respectivamente: !
" B5 œ " B5 œ ! 5œ"
5−g
!
aB.20.2b
$ B5 œ $ B5 œ " 5œ"
5−g
Em qualquer monóide aà ‡b, podemos generalizar a noção de potência a um expoente nulo de forma semelhante a aB.20.1b, pondo: !
‡B œ ?
aB.21.1b
Esta expressão traduz-se nas linguagens aditiva e multiplicativa respectivamente por: !B œ ! B! œ "
aB.21.2b
Sabe o leitor que ! é elemento neutro de a™à b e que, neste caso, existe para cada inteiro B um outro inteiro C tal que B C œ C B œ ! e que esse inteiro C é designado o simétrico de B. Será também esse o caso em a™à ‚ b, onde o elemento neutro é "? Esta situação leva-nos a colocar a definição de elemento oposto ou inverso de um elemento num grupóide em que exista elemento neutro: Definição B.14 – Elemento oposto ou inverso e elementos invertíveis – Num grupóide aà ‡b com elemento neutro (bilateral) ?a14b , chama-se oposto ou inverso de um elemento B − à esquerda (resp. à direita) a qualquer elemento Bw/ − (resp. B.w − ) tal que Bw/ ‡B œ ? (resp. B‡B.w œ ?) Bw/ é um oposto ou inverso de B à esquerda Í B/w ‡B œ ? Bw. é um oposto ou inverso de B à direita Í B‡B.w œ ?
aB.22b
Um elemento B para o qual exista algum oposto à esquerda (resp. à direita) diz-se invertível à esquerda (resp. à direita) para a operação ‡, dizendo-se os restantes não invertíveis à esquerda (resp. à direita). Adiante veremos que, em grupóides associativos, se existirem os inversos de B à esquerda e à direita serão necessariamente iguais e únicos.
Como exemplos triviais, poderemos dizer que em a™à ‚ b apenas são invertíveis (à esquerda e à direita) os inteiros " e ", enquanto que no grupóide a‘à ‚ b apenas ! não é invertível à esquerda nem à direita. 14
Note que só faz sentido falarmos de inverso, nos grupóides com elemento neutro.
Sec. B.7] Elemento neutro. Monóides. Elementos invertíveis
3 33 3
Observações: ç Se a operação ‡ for comutativa, é óbvio que Bw é um inverso de B à esquerda se e só se o for à direita. ç É evidente que B é inverso de C à esquerda se e só se C é inverso de B à direita, porque se tem B‡C œ ?. ç O elemento neutro ? é sempre invertível à esquerda e à direita, visto que a sua própria definição implica ?‡? œ ? o que significa que ? é um inverso (bilateral) de si próprio. Exemplo B.51 Na ausência de associatividade, pode um elemento ter opostos à esquerda e à direita diferentes. Atente-se no grupóide não associativo ae?ß ,ß -ß . fà ‡b, no qual ? é o elemento neutro (visto ser ?‡B œ B‡? œ B, para B œ ?ß ,ß -ß . ) e onde ‡ é definido pela tabela seguinte ‡ ? , .
? ? , .
, , , ? -
. -
. . ? ? .
Este grupóide não é associativo, porque a,‡-b‡. œ . e ,‡a-‡. b œ ,. Tem-se ,‡. œ ?, donde . é oposto de , à direita; mas -‡, œ ? e, portanto, - é oposto de , à esquerda, sendo todavia - Á . . A tabela seguinte mostra os opostos de cada um dos quatro elementos neste grupóide (basta procurar na tabela anterior as posições onde figura o elemento neutro ?): ‡ ? , .
Oposto à esquerda ? — ,ß -
Oposto à direita ? . ,ß . —
Exemplo B.52 Em geral, um elemento pode ter vários opostos bilaterais. Por exemplo, o grupóide com três elementos ae?ß ,ß -fà ‡b definido pela tabela ‡ ? , -
? ? , -
, , ? ?
? ,
é comutativo (a tabela é simétrica em relação à sua diagonal principal) e tem ? como elemento neutro, visto ser ?‡B œ B‡? œ B, para B œ ?ß ,ß -. No entanto, a operação ‡ não é associativa, como mostra o contra-exemplo seguinte a,‡-b‡- œ ?‡- œ ,‡a-‡-b œ ,‡, œ ? Neste caso, o elemento neutro ? tem um só oposto que é ele próprio, porque ?‡? œ ?; o elemento , tem dois oposto bilaterais que são , e -, porque ,‡, œ ? e ,‡- œ -‡, œ ?; o
34
Estruturas algébricas [Apêndice B
elemento - tem um oposto bilateral apenas que é ,, visto que -‡, œ ,‡- œ ?. A tabela seguinte resume estes resultados: ‡ ? , -
Oposto à esquerda ? ,ß ,
Oposto à direita ? ,ß ,
Proposição B.5 Seja aà ‡b um monóide e ? o respectivo elemento neutro. Então, se Bw/ é um inverso de B à esquerda e Bw. é um inverso de B à direita, será necessariamente B/w œ B.w . Além disso, esses inversos serão únicos. Demonstração: Sejam Bw/ e B.w inversos de B à esquerda e à direita respectivamente: então, recorrendo à associatividade e à definição de elemento neutro, teremos imediatamente: Bw/ œ B/w ‡? œ B/w ‡aB‡B.w b œ aB/w ‡Bb‡B.w œ ?‡B.w œ B.w Daqui resulta imediatamente a unicidade dos inversos: por exemplo, se houvesse dois inversos B" e B# de B à esquerda e simultâneamente existisse um inverso C à direita para o mesmo elemento B, então pelo resultado acabado de provar, seria B" œ C e B# œ C pelo que se obteria imediatamente B" œ B# ; da mesma forma se provava a unicidade do inverso à direita.
Observações: ç Observe que num grupóide com elemento neutro a existência e não igualdade dos inversos laterais de um mesmo elemento só pode ocorrer se a operação não for associativa, como acontecia no exemplo B.51. ç Como mostra o exemplo B.53 que segue, num monóide, pode haver elementos para os quais existem vários (eventualmente infinitos) inversos à esquerda (e necessariamente nenhum à direita) ou vários inversos à direita (e, certamente, nenhum à esquerda). A unicidade só está garantida quando existirem ambos os inversos. Exemplo B.53 Consideremos o monóide não comutativo ˆEE à ‰ ‰ do exemplo B.12, cujo elemento neutro é a função identidade IE : dada uma função 0À E Ä E, vamos ver que 0 é invertível à esquerda (resp. direita) se e só se 0 for injectiva (resp. sobrejectiva). ñ Se 0 é injectiva, será inversa esquerda de 0 qualquer função 0/w À E Ä E definida do modo seguinte: se C − 0 aEb, existe um (e um só) B tal que 0 aBb œ C e será esse o valor de 0/w no ponto C; para os pontos de E Ï 0 aEb, o valor de 0/w será qualquer B arbitrário em E, 0/w aCb œ œ
B, tal que 0 aBb œ C ; se C − 0 aEb B − E arbitrário ; se C − E Ï 0 aEb
Para todo o B − E, teremos então 0/w a0 aBbb œ 0/w aCb œ B o que mostra ser 0/w ‰ 0 œ IE . Se 0 não for sobrejectiva, E Ï 0 aEb será não vazio e existirão várias funções inversas esquerdas de 0 , dada a arbitrariedade de 0/w aCb para C − E Ï 0 aEb.
Sec. B.7] Elemento neutro. Monóides. Elementos invertíveis
3 35 5
ñ Se 0 é sobrejectiva, para qualquer B − E existe pelo menos um C − E tal que 0 aCb œ B. Seleccionemos um desses C para imagem de B por 0.w , isto é, pomos 0.w aBb œ C, tal que 0 aCb œ B Para todo o B − E, teremos então 0 a0.w aBbb œ 0 aCb œ B o que mostra ser 0 ‰ 0.w œ IE . Se 0 não for injectiva, existem muitas escolhas possíveis de C tal que 0 aCb œ B (eventualmente infinitas) e haverá várias funções inversas direitas de 0 . Exemplo B.54 Concretizando o exemplo anterior, considere-se E œ c"ß "d. ñ Um caso em que existe uma infinidade de inversas esquerdas será, por exemplo, o da função 0À E Ä E injectiva e não sobrejectiva definida em E por: B 0 aBb œ ; B − c"ß "d " B# Entre infinitas outras, as funções 0/w e 0/ww definidas por #B È " " %B# 0/w aBb œ Û Ý Ý #B #B Ü kBk Ú Ý Ý
à se kBk Ÿ ; se
" #
Ú Ý Ý
" #
kBk Ÿ "
#B # È 0/ww aBb œ Û "B " %B Ý Ý Ü kBk
à se kBk Ÿ ; se
" #
" #
kBk Ÿ "
são inversas esquerdas de 0 porque atendendo a que 0 aEb œ c "# ß "# d e a que as duas inversas esquerdas coincidem neste intervalo, será para qualquer B − E, a0/w ‰ 0 baBb œ 0/w a0 aBbb œ a0/ww
‰ 0 baBb œ
0/ww a0 aBbb
B # "B # B ‰ " É" %ˆ "B #
#
œ B œ IE aBb
1
fe´
f
-1
œ B œ IE aBb
B ‰# " É" %ˆ "B #
1
1
-1
œ
B # "B #
1
-1 -1
fe´´
1
-1
-1
1
Fig. B.6 – Gráficos de 0 e de duas das suas inversas esquerdas.
ñ Uma função para a qual existem infinitas inversas direitas poderá ser a função 1À E Ä E sobrejectiva e não injectiva obtida pondo: 1aBb œ cosa1Bb ; B − c"ß "d
36
Estruturas algébricas [Apêndice B Entre infinitas funções inversas direitas, encontram-se as funções 1.w e 1.ww definidas por 1.w aBb œ
" arccosaBb 1
" 1.ww aBb œ arccosaBb 1
Como cos é uma função par, será para B − E, " a1 ‰ 1.w baBb œ 1a1.w aBbb œ cosŠ1 arccosaBb‹ œ cosaarccosaBbb œ B œ IE aBb 1 " ww ww a1 ‰ 1. baBb œ 1a1. aBbb œ cosŠ1ˆ arccosaBb‰‹ œ cosaarccosaBbb œ B œ IE aBb 1 1
1
g
1
g´d´ g´d
-1
-1
1
-1 -1
-1 1
-1
1
Fig. B.7 – Gráficos de 1 e de duas das suas inversas direitas.
A importância da noção de monóide provém do facto de que, neste tipo de estruturas, está garantida a unicidade do inverso bilateral (mas não a sua existência!), para cada elemento do suporte; além disso, os elementos invertíveis de um monóide formam sempre um subgrupóide desse monóide: Proposição B.6 Seja aà ‡b um monóide e ? o respectivo elemento neutro. Então: i)
Para cada + − existe, quando muito, um elemento +w tal que: +w ‡+ œ +‡+w œ ?
aB.23b
Tal elemento +w (único), se existir, é chamado o oposto ou o inverso (bilateral) de + e, nestas condições, diremos que + é invertível. ii) O elemento neutro ? é invertível e tem-se ?w œ ?
aB.24b
iii) Se + é invertível, o mesmo sucede com +w e tem-se: w
a+w b œ +
aB.25b
iv) Se + é invertível e permuta com ,, então +w também permuta com ,: +, œ ,+ Ê +w ‡, œ ,‡+w
aB.26b
Sec. B.7] Elemento neutro. Monóides. Elementos invertíveis v)
3 37 7
Se +ß , − são elementos invertíveis, o elemento +‡, será também invertível e o seu inverso será ,w ‡+w , onde +w e ,w são os inversos de + e de , respectivamente: a+‡,bw œ ,w ‡+w
aB.27b
Isto significa que o conjunto † dos elementos invertíveis dum monóide é fechado para a respectiva lei de composição, o que juntamente com ii) significa que eles constituem um submonóide de aà ‡b. Esta propriedade é extensível a um número finito de operandos: se +" ß +# ß á ß +8 − são elementos invertíveis, então +" ‡+# ‡á ‡+8 é invertível e tem-se: 8
Š
‡ +5 ‹
5œ"
w
œ
8
w ‡ +8"5
5œ"
ou a+" ‡+# ‡á ‡+8 bw œ +8w ‡â‡+#w ‡+"w
aB.28b
Em particular, se os +5 forem iguais a +, obtém-se: 8
w
8
Š‡+‹ œ ‡a+w bà 8 "
aB.29b
As igualdades aB.20.1b e aB.21.1b mostram que as expressões anteriores funcionam mesmo com 8 œ !, transformando-se ambas em aB.24b. vi) Se +ß , − são elementos permutáveis e invertíveis, então os inversos +w e ,w são também permutáveis. vii) Se + − é um elemento invertível à esquerda (resp. à direita), então + é regular à esquerda (resp. à direita) para a operação ‡, isto é a translação 7+ à esquerda (resp. 7+w à direita) é injectiva; por outras palavras, vale a “lei do corte” à esquerda (resp. à direita) para a operação ‡: +‡B œ +‡C Ê +‡B Î œ +‡C Î Ê B œ C (“lei do corte” à esquerda) B‡+ œ C‡+ Ê B‡+Î œ C‡+ Î Ê B œ C (“lei do corte” à direita)
aB.30b
viii) Se a translação 7+ à esquerda (resp. 7+w à direita) determinada por + − é sobrejectiva, então + é invertível à direita (resp. à esquerda). Portanto, se as translações determinadas por + forem ambas sobrejectivas, + será invertível e as referidas translações serão bijectivas (+ é regular). Demonstração: i) É um corolário da proposição B.5, pois que se fossem +w e +ww elementos satisfazendo a dupla igualdade aB.23b, +w seria um inverso de + à esquerda e +ww um inverso de + à direita e portanto +w œ +ww . Está, deste modo, provado não poder existir mais do que um elemento +w satisfazendo aB.23b. ii) É imediato, visto que ?‡? œ ?. iii) É resultado imediato das igualdades aB.23b.
38
Estruturas algébricas [Apêndice B
iv) Basta operar ambos os membros de +‡, œ ,‡+ à esquerda e à direita por +w e atender à associatividade e às definições de elemento neutro e de inverso: +‡, œ ,‡+ Ê +w ‡a+‡,b œ +w ‡a,‡+b Ê a+w ‡a+‡,bb‡+w œ a+w ‡a,‡+bb‡+w Ê aa+w ‡+b‡,b‡+w œ +w ‡aa,‡+b‡+w b Ê a?‡,b‡+w œ +w ‡a,‡a+‡+w bb Ê ,‡+w œ +w ‡a,‡?b Ê ,‡+w œ +w ‡, v) Sejam +w e ,w os inversos (únicos, como vimos anteriormente) de + e de , respectivamente. Tem-se, usando a associatividade e as definições de elemento neutro e de inverso, a+‡,b‡a,w ‡+w b œ aa+‡,b‡,w b‡+w œ a+‡a,‡,w bb‡+w œ a+‡?b‡+w œ +‡+w œ ? a,w ‡+w b‡a+‡,b œ ,w ‡a+w ‡a+‡,bb œ ,w ‡aa+w ‡+b‡,b œ ,w ‡a?‡,b œ ,w ‡, œ ? As igualdades anteriores significam que ,w ‡+w é um inverso de +‡, (e que será o único, como vimos na primeira alínea). Deste modo, o conjunto † dos elementos invertíveis de é fechado para a operação ‡ e a†à ‡b é um subgrupóide de aà ‡b; é ainda óbvio que a†à ‡b continua a ser um monóide, visto que ? − † e que a operação ‡ induzida em † é associativa. Por indução, podemos estender o resultado a 8 operandos, com 8 − ! : ñ
Se 8 œ !, obtém-se por aB.20.1b e aB.21.1b, ?w œ ?, o que já vimos ser verdadeiro.
ñ
Supondo o resultado válido para 8, teremos para 8 ": 8"
Š
‡ +5 ‹
5œ"
w
œ ŠŠ œ
8
‡ +5 ‹‡+8" ‹
5œ" 8 w Š +8#5 ‹‡+"w 5œ"
‡
w
w œ +8" ‡Š
œ
8
‡ +5 ‹
5œ"
w
w œ +8" ‡Š
8
w ‹ ‡ +8"5
5œ"
8"
w ‡ +8#5
5œ"
vi) Sejam +w e ,w os inversos dos elementos permutáveis + e ,; então, pela alínea anterior, +‡, e ,‡+ são invertíveis e +w ‡,w œ a,‡+bw œ a+‡,bw œ ,w ‡+w vii) Seja +w um inverso de + à esquerda. Então, atendendo à associatividade, +‡B œ +‡C Ê +w ‡a+‡Bb œ +w ‡a+‡Cb Ê a+w ‡+b‡B œ a+w ‡+b‡C Ê ?‡B œ ?‡C Ê B œ C Isto prova que a translação 7+ à esquerda determinada por + é injectiva e que + é regular à esquerda. Do mesmo modo, sendo +ww um inverso de + à direita, teremos B‡+ œ C‡+ Ê aB‡+b‡+ww œ aC‡+b‡+ww Ê B‡a+‡+ww b œ C‡a+‡+ww b Ê B‡? œ C‡? Ê B œ C o que prova que a translação 7+w à direita determinada por + é injectiva e que + é regular à direita. viii) Se 7+ (resp. 7+w ) é sobrejectiva, existe um elemento +w − (resp. +ww − ) tal que +‡+w œ ? (resp. +ww ‡+ œ ?), o que significa que +w (resp. +ww ) é um inverso de + à direita (resp. à esquerda). Se ambas as translações forem sobrejectivas, então existem ambos os inversos e a proposição B.5 garante que +w œ +ww ; será portanto: +‡+w œ +w ‡+ œ ? e +w é único. Assim, + é
Sec. B.8] Grupos
39
invertível com inverso +w . A alínea anterior garante, por fim, que 7+ e 7+w são injectivas e portanto bijectivas e que + é regular. Observações: ç Convém chamar a atenção para o facto de que num monóide comutativo são válidas as “leis do corte” mistas: + é regular Ê +‡B œ C‡+ Ê +‡B Î œ C‡+ ÎÊBœC (“leis do corte” mistas) + é regular Ê B‡+ œ +‡C Ê B‡+Î œ +‡C Î ÊBœC
aB.31b
ç Num monóide não comutativo, as “leis do corte” mistas anteriores não valem mesmo que + seja regular: por exemplo, no monóide multiplicativo não comutativo a‘#ß# à † b a matriz Eœ”
" #
# "•
" " # é regular (porque é invertível, com E" œ "$ ” ) e para \ œ ” " • # " # # % tem-se E † \ œ ] † E œ ” & apesar de ser \ Á ] . #• # B.8
! # e] œ”" • # #
! , "•
Grupos
Na quinta alínea da proposição B.6, vimos que o conjunto † de todos os elementos invertíveis de um monóide aà ‡b é ainda um monóide no qual, por construção, todos os elementos são invertíveis: é a um monóide como este, em que todos os elementos são invertíveis, que chamamos um grupo: Definição B.15 – Grupo e grupo abeliano – Chama-se grupo à estrutura algébrica constituída por um conjunto † (suporte do grupo) dotado de uma lei de composição interna ‡ em † associativa, com elemento neutro ? (necessariamente único) e em que todos os elementos de † são invertíveis, isto é, têm um inverso (também necessariamente único, pela proposição B.6.i). Se a operação for ainda comutativa, o grupo diz-se comutativo ou abelianoa15b . Portanto, num grupo existe a garantia de que todos os elementos têm inverso e de que este é único, possibilitando assim a definição de uma operação unária em † a inversão B È Bw que transforma cada elemento de † no seu inverso (bilateral). Podemos considerar um grupo como a estrutura constituída pelo suporte † e por uma operação binária ‡, uma operação nulária (a escolha do elemento neutro ?) e uma operação unária (a inversão B È Bw )Þ Como vimos antes, sempre que tenhamos um monóide aà ‡b, o conjunto † § dos seus elementos invertíveis (observe que † Á g, porque ? − †) constitui um grupo, para a operação induzida por ‡ em †. Por tudo o que atrás se viu, é ainda óbvio que as “leis do corte” à esquerda e à direita são válidas em qualquer grupo e que as “leis do corte” mistas são válidas nos grupos comutativos.
15
Abel, Niels Henrik: matemático norueguês (Ilha de Finnøy 1802 – Arendal 1829); aos 19 anos provou que uma equação algébrica de grau superior ao 4º não pode ser resolvida algebricamente.
40
Estruturas algébricas [Apêndice B
Exemplo B.55 A tabela seguinte mostra a situação em que se encontram alguns dos grupóides aditivos mencionados anteriormente no que diz respeito às várias noções algébricas anteriormente introduzidas:
!
™
™
‘
‘
Comutativo
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Associativo
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Elemento neutro
—
!
!
—
!
—
!
—
Elementos regulares
Todos
Todos
Todos
Todos
Todos
Todos
Todos
Todos
Elementos invertíveis
—
!
Todos
—
Todos
—
Todos
—
Elementos absorventes
—
—
—
—
—
—
—
—
Elementos idempotentes
—
!
!
—
!
—
!
—
Semigrupo
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Monóide
Não
Sim
Sim
Não
Sim
Não
Sim
Não
Grupo
Não
Não
Sim
Não
Sim
Não
Sim
Não
Grupo abeliano
Não
Não
Sim
Não
Sim
Não
Sim
Não
Exemplo B.56 Na seguinte tabela, mostra-se a situação relativa a alguns dos grupóides multiplicativos referidos até aqui no que diz respeito às propriedades algébricas definidas anteriormente: †
!
™
™‡
‡
‘
‘
‘‡
Comutativo
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Associativo
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Elemento neutro
"
"
"
"
"
"
"
Elementos regulares
Todos
™
‡
Todos
‡
‡
Todos
"
"
‘
‡
Todos
Todos
‡
Todos
Todos
Elementos invertíveis
"
"
„"
„"
Todos
‘
Elementos absorventes
—
!
!
—
!
—
!
—
—
Elementos Idempotentes
"
!ß "
!ß "
"
!ß "
"
!ß "
"
"
Semigrupo
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Monóide
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Sim
Grupo
Não
Não
Não
Não
Não
Sim
Não
Sim
Sim
Grupo abeliano
Não
Não
Não
Não
Não
Sim
Não
Sim
Sim
Exemplo B.57 O conjunto ÆE das permutações de E dotado da composição de funções ‰ constitui um grupo (não comutativo, desde que E tenha, pelo menos, três elementos) chamado grupo das permutações de E. O elemento neutro é a função IE identidade em E e o inverso de uma permutação 5 − ÆE é a respectiva permutação inversa 5" (que existe sempre, dada a bijectividade de 5) e que é tal que B œ 5" aCb Í C œ 5aBb. No capítulo 4 sobre determinantes, é importante o caso E œ e"ß #ß á ß 8f: a notação ÆE é substituída por Æ8 e à estrutura aÆ8 à ‰ b chama-se grupo simétrico de ordem 8, que é um grupo finito com 8x elementos chamados permutações de ordem 8 e designados por a5" ß 5# ß á ß 58 b, onde 5" Á 5# Á â Á 58 − E; por exemplo, será: Æ$ œ ea"ß #ß $bß a"ß $ß #bß a#ß "ß $bß a#ß $ß "bß a$ß "ß #bß a$ß #ß "bf
Sec. B.8] Grupos
41
Exemplo B.58 Sendo aß ‡b um grupóide, vimos no exemplo B.15 que o conjunto \ das funções de um conjunto \ em pode ser algebrizado de uma forma padrão definindo, para quaisquer funções 0 e 1 de \ em , uma nova função 0 ™ 1À \ Ä por a0 ™ 1baBb œ 0 aBb‡1aBbà B − \ Obtemos assim um novo grupóide a\ ß ™ b. Facilmente se mostra que este grupóide é associativo e comutativo, se outro tanto acontecer com o grupóide aß ‡b. Além disso: ñ Se ‡ tiver elemento neutro ? à esquerda (resp. ?w à direita), também ™ o terá e será a função constante ?À s \ Ä à B È ? (resp. ? sw À \ Ä à B È ?w ). Portanto, se ‡ tiver elemento neutro ?, também ™ o terá e será a função constante ?À s \ Ä à B È ? . ñ Se ‡ tiver elemento absorvente + à esquerda (resp. +w à direita), também ™ o terá e será a função constante s +À \ Ä à B È + (resp. s +w À \ Ä à B È +w ). Portanto, se ‡ tiver elemento absorvente +, também ™ o terá e será a função constante s +À \ Ä à B È +. ñ Uma função 0 será idempotente se e só se o forem todos os elementos do contradomínio 0 a\ b, em particular se o grupóide aß ‡b for idempotente. ñ Uma função 0 é regular à esquerda (resp. direita) para a operação ™ se e só se forem regulares à esquerda (resp. direita) para a operação ‡ todos os elementos do contradomínio 0 a\ b. Portanto, uma função 0 é regular para a operação ™ se e só se forem regulares para a operação ‡ todos os elementos do contradomínio 0 a\ b. ñ Uma função 0 é invertível à esquerda (resp. direita) para a operação ™ se e só se forem invertíveis à esquerda (resp. direita) para a operação ‡ todos os elementos do contradomínio 0 a\ b. Portanto, uma função 0 é invertível para a operação ™ se e só se forem invertíveis para a operação ‡ todos os elementos do contradomínio 0 a\ b. A inversa de 0 é a função 0 definida por: 0 aBb œ a0 aBbbw à B − \ ñ De tudo o que vimos antes se conclui que a\ ß ™ b é um grupo (abeliano) se aß ‡b o for. Exemplo B.59 Considere-se o conjunto ‡ formado pelas matrizes complexas de 2ª ordem da D A forma ” , onde Dß A − ‚: A D • ‡ œ œLÀ b L œ ” DßA−‚
D A § ‚#ß# A D •
O conjunto ‡‡ das matrizes de ‡ não nulas, dotado da multiplicação matricial, constitui um grupo não comutativo: ñ Comecemos por observar que detL œ DD AA œ kD k# kAk# . Portanto, L œ S# se e só se detL œ !.
42
Estruturas algébricas [Apêndice B ñ ‡ é fechado para a multiplicação: se L e L w estão em ‡, então Dw Aw D A DD w AAw œ •” • ” A D Aw D w AD w DAw DD w AAw DAw AD w œ– −‡ ŠDAw AD w ‹ DD w AAw —
LL w œ ”
DAw AD w • DD w AAw
O desenvolvimento anterior mostra que ‡ é fechado para a multiplicação. ñ Também ‡‡ é fechado para a multiplicação matricial, visto que: Lß L w − ‡‡ Ê Lß L w Á S# Ê detaLL w b œ detL detL w Á ! Ê LL w Á S# Ê LL w − ‡‡ ñ A multiplicação de matrizes de ‡‡ é, obviamente, associativa. ñ A matriz identidade M# pertence a ‡‡ (basta considerar D œ " e A œ !). ñ Geralmente, as matrizes de ‡‡ não são permutáveis. ñ Se L − ‡‡ , será L Á S# e fica detL œ kD k# kAk# !. Portanto, L é invertível e a inversa de L – que ainda pertence a ‡‡ – será: L " œ
" " D adjL œ # #”A detL kD k kAk
A − ‡‡ D •
De tudo o que se viu, conclui-se que ‡‡ é um grupo multiplicativo não comutativo. Devido à existência e unicidade de Bw (o inverso bilateral de B), num grupo a†à ‡b (abeliano ou não) podem sempre definir-se duas operações inversas: Definição B.16 – Operações inversas – Num grupo a†à ‡b, definem-se duas operações Ï e Î ditas respectivamente operações inversas esquerda e direita da operação ‡, pondo para quaisquer Bß C − †: BÏC œ Cw ‡Bà (operação inversa esquerda: oposto como operando esquerdo) BÎC œ B‡Cw à (operação inversa direita: oposto como operando direito)
aB.32b
Tem-se BÏC œ Cw ‡B œ aBw ‡Cbw œ aCÏBbw e BÎC œ B‡Cw œ aC‡Bw bw œ aCÎBbw , portanto: BÏC œ aCÏBbw BÎC œ aCÎBbw
aB.33b
Se B e Cw forem permutáveis, as duas divisões coincidem; em particular, se o grupo a†à ‡b for abeliano, será BÏC œ BÎC. Neste caso, é costume definir apenas a operação inversa direita e designá-la simplesmente operação inversa de ‡: BÎC œ B‡Cw
aB.34.1b
Sec. B.8] Grupos
43
Num grupo abeliano aditivo a†à b, a operação inversa da adição é chamada subtracção e designada pelo símbolo usual ; tem-se portanto: B C œ B aCbà Bß C − †
aB.34.2b
Na linguagem multiplicativa e supondo a comutatividade da multiplicação em a†à † b, a operação inversa é chamada divisão e usam-se as notações ƒ ou Î; B ƒ C œ BÎC œ B † C" à Bß C − †
aB.34.3b
Num grupo a†à ‡b não necessariamente comutativo e com elemento neutro ?, generalizamos a potência de expoente natural 8 " e base B − †, ao expoente ! pondo, tal como havíamos feito nos monóides: Ú Ý! ‡B œ ? Û 8 Ý ‡B œ Š8" ‡ B‹‡Bà 8 − Ü
aB.35b
Para 8 − , esta definição por recorrência coincide com aB.2.1b e mostra que, para qualquer 8 − , se tem 8
‡B œ ðóóñóóò B‡B‡â‡B
aB.36b
8 operandos
Para qualquer inteiro negativo 8 − ™ e qualquer B − † com inverso Bw , pomos, de acordo com a equação aB.29b da proposição B.6, 8
8
8
w
‡ B œ ‡aBw b œ ðóóóñóóóò Bw ‡Bw ‡â‡Bw œ Š‡B‹
aB.37b
8 operandos 8
Com a definição anterior, a potência ‡B passa a fazer sentido com qualquer expoente inteiro relativo 8 − ™. Observe-se de passagem que, em linguagem aditiva, as expressões aB.36b e aB.37b se escreveriam respectivamente 8B œ ðóóóóóñóóóóóò BBâB 8 parcelas
ˆB‰ ˆB‰ â ˆB‰ œ a8Bb a8bB œ 8ˆB‰ œ ðóóóóóóóóóóóóóñóóóóóóóóóóóóóò 8 parcelas
Em linguagem multiplicativa, vinha: B8 œ ðóóóñóóóò B†B†â†B 8 factores
8
B
8 œ ˆB" ‰ œ ðóóóóóóóñóóóóóóóò B" † B" † â † B" œ aB8 b" 8 factores
Com base nas definições anteriores, pode demonstrar-se que as regras da potenciação da proposição B.2 se generalizam aos expoentes nulo e negativos; usaremos aqui a notação multiplicativa:
44
Estruturas algébricas [Apêndice B Proposição B.7 Seja a†à † b um grupo (não necessariamente abeliano): i)
Se B e C são elementos permutáveis de †, então o mesmo sucede com B e C8 , para qualquer 8 − ™: B † C8 œ C8 † B
ii) Se B e C são elementos permutáveis de †, então, para qualquer 8 − ™, aB † Cb8 œ B8 † C8 iii) Para todo o B − † e qualquer 8 − ™, aB8 b" œ ˆB" ‰
8
iv) Para quaisquer B − † e 7ß 8 − ™, B78 œ B7 † B8 v)
Para quaisquer B − † e 7ß 8 − ™, aB7 b8 œ B78
Demonstração: i) Faremos a demonstração em duas partes: para 8 − ! e para 8 − ™ . No caso 8 − ! , usaremos o método de indução: ñ
Para 8 œ !, a igualdade é imediata, visto que B † C! œ B † " œ B œ " † B œ C! † B.
ñ Se admitirmos que B † C8 œ C8 † B, então para 8 " teremos, atendendo à associatividade, à hipótese de indução e a que B e C são permutáveis: B † C8" œ B † aC8 † Cb œ aB † C8 b † C œ aC8 † Bb † C œ C8 † aB † Cb œ C8 † aC † Bb œ aC8 † Cb † B œ C8" † B ñ Observemos que, se B e C são permutáveis, o mesmo acontece com B e C" , de acordo com a proposição B.6.iv). Para 8 − ™ (onde 8 − ), podemos aplicar os resultados anteriores aos elementos permutáveis B e C" : 8
8
B † C8 œ B † ˆC" ‰ œ ˆC" ‰ † B œ C8 † B ii) Faremos a demonstração como na alínea anterior: ñ
Para 8 œ !, a igualdade é imediata, visto que aB † Cb! œ " œ " † " œ B! † C! .
Sec. B.9] Subgrupos ñ
45
Admitamos a hipótese de indução de que aB † Cb8 œ B8 † C8 : para 8 " teremos aB † Cb8" œ aB † Cb8 † aB † Cb œ aB8 † C8 b † aB † Cb œ B8 † aC8 † aB † Cbb œ B8 † aaC8 † Bb † Cb œ B8 † aaB † C8 b † Cb œ B8 † aB † aC8 † Cbb œ aB8 † Bb † aC8 † Cb œ B8" † C8"
ñ Usando as alíneas v) e vi) da proposição B.6, comecemos por observar que, se B e C permutam, o mesmo sucede com os respectivos inversos B" e C" , tendo-se aC † Bb" œ B" † C" . Para 8 − ™ (onde 8 − ), podemos então usar o resultado anteriormente provado por indução aplicando-o aos inversos permutáveis B" e C" e ao expoente inteiro natural 8: 8 8 8 B8 † C8 œ ˆB" ‰ † ˆC" ‰ œ ˆB" † C" ‰ 8 œ ˆaC † Bb" ‰ œ aC † Bb8 œ aB † Cb8
iii) Como B e B" são permutáveis, podemos usar o resultado da alínea anterior, para 8 8 8 concluir que ˆB" ‰ † B8 œ aB" † Bb œ "8 œ ", o que mostra que ˆB" ‰ é o inverso de B8 (é claro que é "8 œ ", também para 8 !, visto que "" œ "). iv) Para 7 − ™ e 8 − ! , teremos por indução em 8: ñ
Para 8 œ !, tem-se B7! œ B7 œ B7 † " œ B7 † B! .
ñ
Para 8 !, se for B78 œ B7 † B8 então B7a8"b œ Ba78b" œ B78 † B œ aB7 † B8 b † B œ B7 † aB8 † Bb œ B7 † B8"
ñ Para 7 − ™ e 8 − ™ (onde 8 − ) chegamos ao resultado pretendido, considerando os casos 7 8ß 7 œ 8 ou 7 8. v)
Para 7 − ™ e 8 − ! , usamos o método de indução em 8:
ñ
Para 8 œ !, tem-se aB7 b! œ " œ B! œ B7! .
ñ
Para 8 !, se for aB7 b8 œ B78 e usarmos o resultado da alínea anterior, obtém-se aB7 b8" œ aB7 b8 † B7 œ B78 † B7 œ B787 œ B7a8"b
ñ
Para 8 − ™ Ð8 !Ñ, obtemos para qualquer 7 − ™: 8 7 8 78 aB7 b8 œ ˆaB7 b" ‰ œ ˆˆB" ‰ ‰ œ ˆB" ‰ œ Ba78b œ B7a8b
B.9
Subgrupos
Algumas partes de um grupo poderão, quando dotadas da operação induzida, constituir também um grupo: diremos que formam um subgrupo do grupo dado. A seguir, enunciamos a definição formal de subgrupo: Definição B.17 – Subgrupo – Considere-se um grupo a†à ‡b. Uma parte †w § † diz-se um subgrupo de † se e só se é fechada para a operação ‡ e ainda é um grupo para a operação induzida em †w por ‡.
46
Estruturas algébricas [Apêndice B
A proposição seguinte dá-nos condições necessárias e suficientes para que †w seja um subgrupo do grupo a†à ‡b: Proposição B.8 Seja †w § † uma parte do suporte de um grupo a†à ‡b com elemento neutro ?. As seguintes proposições são equivalentes: i)
†w é um subgrupo de †.
ii) O elemento neutro ? de † pertence a †w e †w é fechado em relação à operação inversa direita (ou esquerda) de ‡, isto é: ? − †w a a+ − †w • , − †w Ê +Î, − †w b
aB.38.1b
+ß,
iii) O elemento neutro ? de † pertence a †w e †w é fechado em relação à operação ‡ e também em relação à inversão, isto éa16b : w Ú Ý Ý? − † w a a+ − † • , − †w Ê +‡, − †w b Û +ß, Ý Ý aa+ − †w Ê +w − †w b Ü +
Demonstração: Mostraremos que i) Ê ii) e ii) Ê iii) e iii) Ê i): i) Ê ii) Sendo †w um subgrupo de †, o elemento neutro ?w de a†w à ‡b será igual ao de a†à ‡b: ? é elemento neutro de a†à ‡b Ê ?w ‡? œ ?w ‚w ‡?w œ ? ‚w ‡? Ê ?w œ ? Ê? ?w é elemento neutro de a†w à ‡b Ê ?w ‡?w œ ?w Para mostrar que †w é estável para a operação inversa direita, basta mostrar que é estável para a inversão: comecemos por mostrar que os inversos de qualquer + − †w em a†w à ‡b e em a†à ‡b são iguais: +w é inverso de + em a†à ‡b Ê +‡+w œ ? +‡+w œ +‡+ww Ê +w œ +ww Ê ww w ww + é inverso de + em a† à ‡b Ê +‡+ œ ? Portanto, o inverso de qualquer + − †w em a†à ‡b é também o inverso de + em a†w à ‡b, o que prova que †w é fechado para a inversão. Como †w é fechado para a operação ‡, será +Î, œ +‡,w − †w sempre que +ß , − †w . A demonstração decorre do mesmo modo para a operação inversa esquerda.
16
Observe que estas condições se podem enunciar simplesmente dizendo que †w é fechado para as três operações existentes em †: – Escolha do elemento neutro ? (nulária). – Operação ‡ (binária). – Inversão w (unária).
Sec. B.9] Subgrupos
47
ii) Ê iii) Suponha-se que ii) é verdadeira. Como †w é fechado para a operação inversa de ‡ e ? − †w , então, se + − †w , será ?Î+ œ ?‡+w œ +w − †w e, portanto, †w é fechado para a inversão. Mas então será também fechado para a operação ‡: w
+ß , − †w Ê +ß ,w − †w Ê +Î,w œ +‡a,w b œ +‡, − †w iii) Ê i) É consequência de ser †w fechado para a operação ‡ e de esta ser associativa, ter elemento neutro ? − †w (o mesmo de †) e todos os elementos de †w terem inverso (coincidente com o de †). Observações: ç Num grupo aditivo, as condições aB.38.1b traduzem-se por ! − †w a a+ − †w • , − †w Ê + , − †w b
aB.38.2b
+ß,
ç Num grupo multiplicativo, as condições aB.38.1b traduzem-se por " − †w a a+ − †w • , − †w Ê + ƒ , œ +Î, − †w b
aB.38.3b
+ß,
Exemplo B.60 O conjunto T dos inteiros pares são um subgrupo do grupo abeliano aditivo a™à b dos inteiros relativos, visto que ! − T e a diferença de dois números pares é ainda um número par. Outro tanto não acontece com o conjunto M dos números ímpares: por um lado, !  M e, por outro lado, a diferença de dois inteiros ímpares é um inteiro par. Exemplo B.61 ‘ é um subgrupo multiplicativo de ‘‡ , visto que " − ‘ e ‘ é fechado em relação à divisão: BÎC − ‘ desde que Bß C − ‘ ; o conjunto e"ß "f constitui outro subgrupo multiplicativo de ‘‡ , porque contém " e é fechado para a divisão. Também o conjunto Y œ eDÀ kD k œ "f dos complexos unitários é um subgrupo multiplicativo de a‚‡ à † b, porque w w w " − Y e se /3) e /3) pertencem a Y , então /3) Î/3) œ /3a)) b − Y . Exemplo B.62 Qualquer grupo a†à ‡b com elemento neutro ? admite dois subgrupos que são ae?fà ‡b e a†à ‡b. São, respectivamente, o menor e o maior dos subgrupos de † e são às vezes chamados subgrupos triviais de †. Exemplo B.63 Sendo a†à ‡b um grupo e + − †, o conjunto ™
8
†+ œ š‡+À 8 − ™› formado por todas as potências de expoente inteiro com base + é um subgrupo de a†à ‡b: !
™
ñ De facto, ? œ ‡+ − †+ . ™
7
8
ñ Se Bß C − †+ , então existem 7ß 8 − ™ tais que B œ ‡+ e C œ ‡+, donde: 7
8
w
7
8
7
8
B‡Cw œ Š‡+‹‡Š‡+‹ œ Š‡+‹‡Š‡+w ‹ œ Š‡+‹‡Š ‡ +‹ œ
78
‡
™
+ − †+
48
Estruturas algébricas [Apêndice B ™
Então, pela proposição B.8.ii), ˆ†+ à ‡‰ é um subgrupo de a†à ‡b. Exemplo B.64 A intersecção de uma família a†5 b5−L qualquer de subgrupos de um grupo a†à ‡b com elemento neutro ? é ainda um subgrupo de a†à ‡b; para o provar, basta provar que aB.38.1b se verifica: ñ Como ? − †5 , para todo o 5 − L , será ? − †5 . 5−L
ñ Se os †5 são fechados para a operação inversa de ‡, então: +ß , − †5 Ê a +ß , − †5 Ê a +Î, − †5 Ê +Î, − †5 5−L
5−L
5−L
5−L
Exemplo B.65 Seja a†à ‡b um grupo com elemento neutro ? e E § † um subconjunto de †. Em virtude do que se viu no exemplo anterior, a intersecção de todos os subgrupos de † contendo E (note que existe, pelo menos, o próprio † nestas condições) é ainda um subgrupo de † que contém E e que está contido em todos os subgrupos de † que contêm E: trata-se, portanto, do menor subgrupo de † que contém E. Chamamos-lhe o subgrupo de † gerado por E e designamo-lo por †‡ aEb. G G‘ S = G (A) *
a1
A
a2 ap
Fig. B.8 – Subgrupo gerado por uma parte E de um grupo † .
ñ Considerando E œ g, †‡ agb é a intersecção de todos os subgrupos de †: †‡ agb œ e?f ™
ñ Tomemos, agora, E œ e+f e vejamos que o subgrupo gerado por e+f é o conjunto †+ das potências de + mencionado no exemplo B.63: ™
†‡ ae+fb œ †+ ™
"
Vimos no exemplo B.63 que †+ é um subgrupo de † e contém e+f, visto que + œ ‡+. Por outro lado, se †w for um qualquer subgrupo de † tal que + − †w , †w será fechado para a 8
™
operação ‡ o que implica ‡+ − †w , para todo o 8 − ™ e isto significa que †+ § †w . Deste ™
modo, †+ é o menor subgrupo de † que contém e+f, logo é o subgrupo gerado por e+f.
Sec. B.9] Homomorfismos e isomorfismos
49
ñ Suponhamos, agora, que o grupo a†à ‡b é abeliano e que E é um subconjunto de † qualquer com pelo menos dois elementos. O subgrupo gerado por E é o seguinte conjunto W 8"
8:
8#
W œ œBÀ b B œ Š‡+" ‹‡Š‡+# ‹‡â‡Š‡+: ‹ + −E 5 85 −™
Portanto, os elementos de †‡ aEb são os resultados de operar entre potências de expoentes inteiros relativos 8" ß 8# ß á ß 8: de um número finito de elementos distintos +" ß +# ß á ß +: pertencentes a E. De facto, pode o leitor provar facilmente que: i)
W é um subgrupo de † (usar a proposição 8.ii ou iii).
ii) W contém E. iii) Se †w é um subgrupo de † que contém E, então W § †w (usar os factos de que E § †w e de ser †w um grupo). Portanto, W é o menor subgrupo de † que contém E, ou seja, W œ †‡ aEb. ñ Usando linguagem aditiva, diremos que o subgrupo gerado por uma parte E de um grupo abeliano aditivo é o conjunto das somas de múltiplos inteiros de um número finito de elementos de E distintos: :
†‡ aEb œ œBÀ b B œ " 85 +5 +5 −E 85 −™
5œ"
ñ Em linguagem multiplicativa, o subgrupo gerado por uma parte E de um grupo abeliano multiplicativo é o conjunto dos produtos de potências de expoentes inteiros de um número finito de elementos de E distintos: :
†‡ aEb œ œBÀ b B œ $ +585 +5 −E 85 −™
5œ"
50
Estruturas algébricas [Apêndice B
B.10 Homomorfismos e isomorfismos Abordaremos nesta secção os importantes conceitos de homomorfismo, mergulho e isomorfismo; em particular este último constituirá a noção de “igualdade” de estruturas algébricas: quando existir um isomorfismo entre duas estruturas, diremos que elas são iguais a menos de um isomorfismo ou isomorfas, querendo com isto afirmar que, se pusermos de lado a eventual diferença de natureza dos elementos dos conjuntos suporte envolvidos, as duas estruturas são iguais algebricamente, sendo absolutamente idênticas as regras que regem a manipulação algébrica de expressões nos dois sistemas. Comecemos pela definição de homomorfismo: Definição B.18 – Homomorfismo – Sejam aà ‡b e aà ˜ b dois grupóides. Um homomorfismo de aà ‡b em aà ˜ b é uma função 0À Ä que respeite a estrutura algébrica dos grupóides em questão, isto é, para quaisquer Bß C − , deverá ter-sea17b 0 aB‡Cb œ 0 aBb ˜ 0 aCb
aB.39b
A figura abaixo ilustra a noção de homomorfismo e mostra que a igualdade anterior equivale à seguinte igualdade funcional: 0 ‰ ‡ œ ˜ ‰ 0# A
B
A
B
Fig. B.9 – Homomorfismo de grupóides: tem-se 0 ‰ ‡ œ ˜ ‰ 0 # .
Por exemplo, a função expÀ ‘ Ä ‘ é um homomorfismo do grupo aditivo a‘à b no monóide comutativo multiplicativo a‘à † b, visto que expaB Cb œ expaBb † expaCbà Bß C − ‘ o qual “transforma” a adição na multiplicação. Definição B.19 – Mergulho e Isomorfismo – Sejam aà ‡b e aà ˜ b dois grupóides e 0 À Ä um homomorfismo de em . Se 0 for injectiva, diremos que se trata de um Mergulho de aà ‡b em aà ˜ b e, se for bijectiva, chamar-lhe-emos um isomorfismo de aà ‡b sobre aà ˜ b; em qualquer dos casos, para quaisquer Bß C − , ter-se-á sempre: 0 aB‡Cb œ 0 aBb ˜ 0 aCb
17
aB.39b
Diz-se, às vezes, que a função 0 transforma os elementos de nos de e que “transforma” a operação ‡ na operação ˜ .
Sec. B.10] Homomorfismos e isomorfismos
51
Existindo um isomorfismo de aà ‡b sobre aà ˜ b, diremos que os grupóides aà ‡b e aà ˜ b são isomorfos ou iguais a menos de um isomorfismo e escrevemos então: aà ‡ b í z aà ˜ b
aB.40b
leia-se “é isomorfo de”
A proposição seguinte, mostra-nos que o contradomínio 0 ab de um homomorfismo 0À Ä é um subgrupóide do grupóide aà ˜ b e que as propriedades formais (comutatividade, associatividade, existência de elemento neutro, etc.), com excepção da regularidade, são “transportadas” do grupóide aà ‡b para o grupóide a0 abà ˜ b. Proposição B.9 Sejam aà ‡b e aà ˜ b dois grupóides e 0À Ä um homomorfismo de aà ‡b em aà ˜ b. Então: i)
O contradomínio 0 ab § é um subgrupóide a0 abà ˜ b do grupóide aà ˜ b.
ii) Se B e C são elementos permutáveis de , então 0 aBb e 0 aCb serão elementos permutáveis de (e de 0 ab): B‡C œ C‡B Ê 0 aBb ˜ 0 aCb œ 0 aCb ˜ 0 aBb o que implica que, se aà ‡b é grupóide comutativo, o mesmo sucede com a0 abà ˜ b. iii) Se Bß Cß D são elementos de tais que aB‡Cb‡D œ B‡aC‡D b, então 0 aBbß 0 aCbß 0 aD b satisfazem idêntica condição, para a operação ˜ : aB‡Cb‡D œ B‡aC‡D b Ê a0 aBb ˜ 0 aCbb ˜ 0 aD b œ 0 aCb ˜ a0 aBb ˜ 0 aD bb e esta propriedade mostra que se aà ‡b é um semigrupo, o mesmo se passa com a0 abà ˜ b. iv) Se + − for elemento absorvente do grupóide aà ‡b, então 0 a+b será elemento absorvente do grupóide imagem a0 abà ˜ b. v)
Se aà ‡b tem elemento neutro ? − à esquerda (resp. direita), então também a0 abà ˜ b terá elemento neutro à esquerda (resp. direita) e este será 0 a?b. Isto implica imediatamente que a0 abà ˜ b será um monóide, sempre que aà ‡b o for.
vi) Se + − é um elemento regular à esquerda (resp. direita) para a operação ‡ e o homomorfismo 0 é injectivo (um mergulho), então 0 a+b é regular à esquerda (resp. direita) para a operação ˜ em 0ab. vii) Se B − é um elemento invertível à esquerda (resp. direita) no grupóide aà ‡b e Bw/ (resp. Bw. ) é um inverso de B à esquerda (resp. direita), então 0 aBb é também invertível à esquerda (resp. direita) em a0 abà ˜ b – e, claro está, também em aà ˜ b – constituindo 0 aBw/ b (resp. 0 aB.w b) um inverso de 0 aBb à esquerda (resp. direita). Esta propriedade mostra que a0 abà ˜ b é um grupo (respectivamente grupo abeliano) se o mesmo suceder com o grupóide aà ‡b. viii) Se B − é um elemento idempotente para a operação ‡, então 0 aBb é idempotente para a operação ˜ . Por consequência, se o grupóide aà ‡b for idempotente, o mesmo se passará com a0 abà ˜ b.
52
Estruturas algébricas [Apêndice B Demonstração: i)
Bastará provar que 0 ab é fechado em relação à operação ˜ :
Dß A − 0 ab Ê b D œ 0 aBb • A œ 0 aCb Ê D ˜ A œ 0 aBb ˜ 0 aCb Ê D ˜ A œ 0 aB‡Cb BßC−
A sequência de implicações anteriores mostram que D ˜ A é imagem de B‡C − por meio de 0 , logo D ˜ A − 0 ab, o que prova que 0 ab é fechado para a operação ˜ . ii) Bastará atender a que, se B‡C œ C‡B, 0 aBb ˜ 0 aCb œ 0 aB‡Cb œ 0 aC‡Bb œ 0 aCb ˜ 0 aBb iii) Se Bß Cß D são elementos de tais que aB‡Cb‡D œ B‡aC‡D b, então a0 aBb ˜ 0 aCbb ˜ 0 aD b œ 0 aB‡Cb ˜ 0 aD b œ 0 aaB‡Cb‡D b œ 0 aB‡aC‡D bb œ 0 aBb ˜ 0 aC‡D b œ 0 aBb ˜ a0 aCb ˜ 0 aD bb O resultado pretendido está, assim, demonstrado. iv) O elemento 0 a?b é elemento neutro à esquerda do grupóide a0 abà ˜ b, visto que para qualquer C − 0 ab, existirá um B − tal que C œ 0 aBb e teremos portanto: 0 a?b ˜ C œ 0 a?b ˜ 0 aBb œ 0 a?‡Bb œ 0 aBb œ C A demonstração é semelhante à direita. Portanto, se aà ‡b é um monóide, também o será a0 abà ˜ b, com elementos neutro ? e 0 a?b respectivamente. v)
Mostremos que 0 a+b é regular à esquerda para a operação ˜ :
Sejam D œ 0 aBbß A œ 0 aCb − 0 ab; então, se atendermos à injectividade de 0 e à hipótese de que + é regular à esquerda, obtemos sucessivamente: 0 a+b ˜ D œ 0 a+b ˜ A Ê 0 a+b ˜ 0 aBb œ 0 a+b ˜ 0 aCb Ê 0 a+‡Bb œ 0 a+‡Cb Ê +‡B Î œ +‡C Î Ê B œ C Ê 0 aBb œ 0 aCb Ê D œ A o que prova que vigora a “lei do corte” à esquerda em a0 abà ˜ b: —— 0 a+b ˜ D œ —— 0 a+ b ˜ A Ê D œ A vi) Seja B − um elemento invertível à esquerda no grupóide aà ‡b com elemento neutro ? e Bw/ um inverso de B à esquerda. Então 0 aB/w b é um inverso de 0 aBb à esquerda, como se mostra a seguir: 0 aBb ˜ 0 aBw/ b œ 0 aB‡B/w b œ 0 a?b Portanto, 0 aBb é invertível à esquerda para a operação ˜ . À direita, a demonstração é semelhante. Se todos os elementos de são simultâneamente invertíveis à esquerda e à direita, então o mesmo sucede com os de 0 ab. Portanto, se é um grupo, também 0 ab o é.
Sec. B.10] Homomorfismos e isomorfismos
53
vii) Basta atender às implicações seguintes, válidas para todo o C œ 0 aBb − 0 ab, e que mostram ser 0 a+b elemento absorvente no grupóide a0 abà ˜ b: C ˜ 0 a+b œ 0 aBb ˜ 0 a+b œ 0 aB‡+b œ 0 a+b 0 a+b ˜ C œ 0 a+b ˜ 0 aBb œ 0 a+‡Bb œ 0 a+b viii) Para todo o C œ 0 aBb − 0 ab, temos: C ˜ C œ 0 aBb ˜ 0 aBb œ 0 aB‡Bb œ 0 aBb œ C
Existindo um isomorfismo dos grupóides aà ‡b e aà ˜ b, estes são algebricamente indistinguíveis (ou seja, iguais se ignorarmos a diferença entre os seus suportes e ): toda a manipulação algébrica praticada entre os elementos de e envolvendo a operação ‡ tem a sua equivalente em envolvendo desta feita a operação ˜ e vice-versa. Do ponto de vista formal, é absolutamente igual o tratamento algébrico de expressões em ambos os grupóides e estes gozam exactamente da mesmas propriedades algébricas formais (comutatividade, associatividade, regularidade, etc). É ainda óbvio que, se 0 é um mergulho de aà ‡b em aà ˜ b, então 0 é um isomorfismo de aà ‡b sobre a0 abà ˜ b, os quais serão portanto isomorfos: aà ‡b z a0 abà ˜ b. Por vezes, identificam-se os elementos de com os de 0 ab – o que equivale a identificar os conjuntos e 0 ab – e escrevemos § em vez de 0 ab § . Exemplo B.66 Consideremos o grupo abeliano aditivo a‘à b e o grupóide multiplicativo a‘à † b. A função expÀ ‘ Ä ‘ satisfaz a igualdade seguinte, para quaisquer Bß C − ‘: expaB Cb œ expaBb † expaCbà Bß C − ‘ Esta igualdade mostra que a exponencial é um homomorfismo (injectivo) daqueles grupos (a exponencial “transforma” a adição de reais no produto de reais positivos) que aplica ! em " e B em "ÎexpaBb: expa!b œ "à
expaBb œ
" expaBb
Deste modo, o contradomínio ‘ é um grupo abeliano multiplicativo isomorfo do grupo aditivo a‘à b; o isomorfismo inverso é a função logarítmica lnÀ ‘ Ä ‘ que “transforma” a multiplicação de reais positivos na adição de reais: lnaB † Cb œ lnaBb lnaCbà Bß C − ‘ Este isomorfismo está a base da régua de cálculo, um instrumento de cálculo (tornado obsoleto pelas máquinas de calcular digitais) em que se usavam duas escalas logarítmicasa18b deslizantes e iguais, para levar a efeito a multiplicação, através da adição de segmentos dessas escalas com comprimentos iguais aos logaritmos dos números que se pretendiam multiplicar.
18
Escala logarítmica: escala onde se marcam os logaritmos dos números que nela estão assinalados.
54
Estruturas algébricas [Apêndice B
Fig. B.10 – Foto de uma régua de cálculo: para multiplicar # por $, justapõem-se (i. e., somam-se) dois segmentos medindo lna#b e lna$b, obtendo-se um segmento que mede lna#b lna$b œ lna'b.
Exemplo B.67 Consideremos a função 0À ‚ Ä ‘#ß# definida para todo o complexo D œ B 3C por 0 aD b œ 0 aB 3Cb œ ”
B C
C B•
Para quaisquer complexos D œ B 3C e A œ ? 3@, temos: B? C@ B C ? @ œ” ” œ 0 aD b 0 aAb • • aC @b B ? C B @ ? • B? C@ B@ C? B C ? @ 0 aDAb œ ” œ” œ 0 aD b0 aAb • •” aB@ C?b B? C@ C B @ ? • 0 aD Ab œ ”
As igualdades anteriores mostram que 0 é um homomorfismo de a‚à ß † b em a‘#ß# à ß † b e este homomorfismo é injectivo, visto que 0 aD b œ 0 aAb Ê D œ A: trata-se pois de um mergulho de a‚à ß † b em a‘#ß# à ß † b. Isto mostra que o sistema dos números complexos B 3C é B C algebricamente idêntico ao das matrizes reais da forma ” no que às operações de adição C B • e multiplicação diz respeito (isomorfismo de ‚ sobre 0 a‚b); identificando ‚ com 0 a‚b ou seja B C B 3C com ” , concluímos que cada número complexo pode ser concebido como uma C B • destas matrizes. Observe-se como 0 a!b œ S# e 0 a"b œ M# (existe correspondência entre os elementos neutros das quatro operações envolvidas); além disso, 0 aD b œ 0 aD b e " B C B C " " 0 aD b œ B# C# ” œ œ a0 aD bb" , onde D œ B 3C (correspondência entre C B • ” C B • D e 0 aD b por um lado e entre D " e a0 aD bb" por outro). Exemplo B.68 O grupóide a‘# à b do exemplo B.5 e o grupóide aà ‰ b das funções afins do exemplo B.13 são isomorfos, visto que a função bijectiva 0À ‘# Ä definida por 0 a+ß ,b œ aB È +B ,b é um isomorfismo de a‘# à b sobre aà ‰ b, como se mostra a seguir 0 aa+ß ,b a-ß . bb œ 0 a+-ß +. ,b œ ˆB È a+-bB a+. ,b‰ 0 a+ß ,b ‰ 0 a-ß . b œ aB È +B ,b ‰ aB È -B . b œ ˆB È a+-bB a+. ,b‰ Estes grupóides não são comutativos, mas são ambos monóides cujos elementos neutros são a"ß !b e 0 a"ß !b œ aB È Bb œ I‘ e em que os elementos não invertíveis são os pares da forma a!ß ,b − ‘# e as funções constantes B È ,; usando linguagem multiplicativa, os inversos são
Sec. B.10] Homomorfismos e isomorfismos
55
respectivamente, para + Á !, , a+ß ,b" œ Œ+" ß +
em a‘# à b
, aB È +B ,b" œ ŒB È +" B +
em aà ‰ b
;+Á!
Exemplo B.69 O grupóide a‘# à b do exemplo B.5 definido por a+ß ,b a-ß . b œ a+-ß +. ,b é um monóide não comutativo, cujo elemento neutro é a"ß !b e cujos elementos não invertíveis são os pares a!ß ,b e em que a+ß ,b" œ ˆ "+ ß +, ‰, com + Á !. Por outro lado, a‘#ß# à † b é igualmente um monóide não comutativo, cujo elemento neutro é a matriz identidade M# e em que os elementos invertíveis são as matrizes E − ‘#ß# para as quais detaEb Á !, tendo-se para estas: + ”-
"
, .•
œ”
. -
, à +. ,- Á ! + •
Definamos agora uma função 0 À ‘# Ä ‘#ß# mediante a igualdade 0 a+ß ,b œ ”
+ !
, à a+ß ,b − ‘# "•
A função 0 é injectiva e, para quaisquer a+ß ,bß a-ß . b − ‘# , tem-se: 0 aa+ß ,b a-ß . bb œ 0 a+-ß +. ,b œ ”
+!
+. , + œ” • " !
, " •” !
. œ 0 a+ß ,b0 a-ß . b "•
A igualdade 0 aa+ß ,b a-ß . bb œ 0 a+ß ,b0 a-ß . b mostra que 0 é um mergulho de a‘# à b em a‘#ß# à † b e, portanto, o contradomínio 0 a‘# b formado por todas as matrizes reais de 2ª ordem + , da forma ” é um monóide multiplicativo não comutativo isomorfo do monóide não ! "• comutativo a‘# à b e ainda isomorfo do monóide aà ‰ b das funções afins de ‘ em ‘ (ver exemplo B.68): ˆ‘# à ‰ z aà ‰ b z ˆ0 ˆ‘# ‰à † ‰ Exemplo B.70 Vimos já que o grupóide aˆà Š b do exemplo B.4 é comutativo e associativo e é óbvio que ! − ˆ é elemento neutro, visto que @ Š ! œ ! Š @ œ @, para qualquer @ − ˆ. Usando linguagem aditiva, diremos que todos os elementos de ˆ são simetrizáveis, sendo @ o simétrico de @: @ Š a@b œ a@b Š @ œ !, o que mostra que a simetrização em aˆà Š b é a restrição a ˆ da simetrização em a‘à b. Significa isto que aˆà Š b é um grupo abelianoa19b . Considere-se agora o grupo abeliano a‘à b e a função bijectiva 0À ‘ Ä ˆ cujo gráfico se mostra a seguir e definida 19
Este grupo abeliano é chamado Grupo da Adição de Velocidades da Teoria da Relatividade de Albert Einstein (Ulm 1879 – Princeton 1955), por ser esta a forma como se “adicionam” duas velocidades - ?ß @ naquela teoria e por oposição à mecânica clássica de Isaac Newton (Woolsthorpe 1642 – Kensington 1727) na qual as velocidades se adicionam “normalmente”, segundo o grupo abeliano a‘à b. A Lei de Adição de
56
Estruturas algébricas [Apêndice B
por 0 a?b œ - tanha?b c f I 0 f -c
-3
-1
-2
0
1
2
3
R
Fig. B.11 – Gráfico da função ? È -tanha?b.
Temos, pela fórmula da adição para a função tanh (ver secção C.9 do apêndice C, pág. 59): 0 a? @b œ -tanha? @b œ œ
0 a?b 0 a@b "
0 a?b0 a@b -#
tanha?b tanha@b -tanha?b -tanha@b œ -tanha?b-tanha@b " tanha?btanha@b " -#
œ 0 a?b Š 0 a@b
A igualdade 0 a? @b œ 0 a?b Š 0 a@b acima deduzida significa que 0 é um homomorfismo bijectivo do grupo abeliano a‘à b sobre o grupo abeliano aˆà Š b, os quais são por isso isomorfos. Exemplo B.71 Consideremos novamente o grupo aˆà Š b do exemplo anterior, (onde ˆ œ a-ß -b e - !) e o monóide não comutativo a‘#ß# à † b das matrizes reais quadradas de 2ª ordem, munido do produto matricial. Seja agora PÀ ˆ Ä ‘#ß# a função definida por: Pa@b œ
" É"
@# -#
" ” @
-#
@ , onde - @ -. " •
Para quaisquer ?ß @ − ˆ e atendendo à definição da operação Š apresentada no exemplo B.4, teremos: Ô " " Ö Pa? Š @b œ Ö " ?@ # ? @ " ?@ Ë" -# Œ " ?@ Õ -# " -# # -
?@ × " ?@ # - Ù Ù " Ø
Velocidades de Einstein é: ?Š@ œ
?@ à ?ß @ − ˆ œ a-ß - b, onde - é a velocidade da luz no vácuo ( ¸ 299.792.458 ms" ). " ?@ -#
Sec. B.10] Homomorfismos e isomorfismos
57
?@ Ô " " " ?@ Ö -# Pa? Š @b œ Ö " ? @ # # Ɉ" ?-# ‰ˆ" @-# ‰ Õ " " ?@ -# -# ?@ Ô " # a? @b × " Ö Ù œ ?@ ?@ # # ? @ " # Ø Éˆ" -# ‰ˆ" -# ‰ Õ # ?@ -#
œ
Î
"
Ï É"
" ” ? #
? -#
-#
? ÑÎ " " •ÒÏ É "
" ” @ #
@ -#
-#
× Ù Ù Ø
@ Ñ " •Ò
œ Pa?bPa@b O desenvolvimento anterior mostra que a função P transforma a operação Š definida em ˆ no produto matricial em ‘#ß# : trata-se, portanto, de um homomorfismo do grupo abeliano aˆà Š b no monóide multiplicativo não comutativo a‘#ß# à † b das matrizes reais quadradas de 2ª ordem. E é óbvio que este homomorfismo P é injectivo (mas não sobre ‘#ß# ). Deste modo, podemos assegurar que P é um mergulho de aˆà Š b em a‘#ß# à † b. Assim sendo, o contradomínio Paˆb § ‘#ß# , dotado da multiplicação matricial, constitui um grupo abeliano multiplicativo isomorfo do grupo abeliano aˆà Š b e chamado Grupo de Lorentza20b que ocorre na Teoria da Relatividade e que caracteriza a forma como se transformam as coordenadas espaço-tempo aBß >b de um ponto-evento em relação a dois referenciais que se desloquem com velocidade relativa @. Este exemplo e o exemplo B.70 permitem-nos escrever as seguintes relações de isomorfismo: a‘à b z aˆà Š b z aPaˆbà † b
Exemplo B.72 Considere-se a estrutura aPaY bà ß b já considerada em exemplos anteriores e a função complemento c À PaY b Ä PaY b (uma operação unária) definida por Ec œ Y Ï E
(Ec é o conjunto dos elementos que não pertencem a E)
O complemento satisfaz as igualdades seguintes, para quaisquer Eß F § Y (ver secção B.12): aE F bc œ Ec F c a21b ) c c c (Leis de De Morgan aE F b œ E F Portanto, trata-se de um homomorfismo que transforma a reunião na intersecção e vice-versa.
20
21
Lorentz, Hendrik Antoon: físico holandês (Arnhem 1853 – Haarlem 1928) detentor do prémio Nobel da Física de 1902 e cuja obra foi precursora do desenvolvimento da Teoria da Relatividade por Einstein, tendo leccionado na Universidade holandesa de Leiden. De Morgan, Augustus: matemático inglês (Madura, Índia 1806 – Londres 1871). Introduziu as leis de De Morgan e foi, juntamente com George Boole, um dos reformadores da lógica matemática.
58
Estruturas algébricas [Apêndice B
B.11 Anéis, anéis de integridade e corpos A noção de Anel contém sob a forma abstracta as analogias constatadas, por exemplo, na manipulação algébrica dos inteiros relativos e dos polinómios e é introduzida na seguinte Definição B.20 – Anel – Chama-se Anel à estrutura aà ß † b formada por um conjunto suporte , munido de duas leis de composição interna: aBß Cb È B C e aBß Cb È BC, chamadas adição e multiplicação respectivamente, tais que aà b é um grupo abeliano, aà † b é um semigrupo e a multiplicação é distributiva à esquerda e à direita relativamente à adição. Portanto: [A1] [A2] [A3] [A4] [M1] [AM1] [AM2]
a
BßCßD−
aB Cb D œ B aC D b
a BCœCB
BßC−
(associatividade) (comutatividade)
b a !BœB!œB
(! é o “zero” do anel)
a
(B é o “simétrico” de B)
!− B−
b B aBb œ aBb B œ !
B− B−
a
aBCbD œ BaCD b
(associatividade)
a
BaC D b œ BC BD
(distributividade à esquerda)
a
aB CbD œ BD CD
(distributividade à direita)
BßCßD− BßCßD− BßCßD−
Num anel, em expressões envolvendo adição e multiplicação, convenciona-se que a multiplicação tem prioridade sobre a adição. Se, adicionalmente, a multiplicação for comutativa, o anel diz-se comutativo e, se a mutiplicação tiver elemento neutro (designado por " e chamado unidade ou identidade do anel), diz-se que o anel tem unidade ou identidade. Quando o anel é comutativo, as distributividades resultam uma da outra: por exemplo, se valer a distributividade à esquerda D aB Cb œ DB DC, então aB CbD œ D aB Cb œ DB DC œ BD CD Ê aB CbD œ BD CD e a última igualdade constitui a distributividade à direita. Deste modo, bastará considerar apenas uma das distributividades [AM1] ou [AM2]. Todos os elementos de um anel são regulares para a adição (vigoram as “leis do corte” para a adição). Em virtude da distributividade, o zero do anel é absorvente para a multiplicação, visto que ‚ œ !B œ a! !bB œ !B !B ‚ Ê ! œ !B ! !B ‚ œ B! œ Ba! !b œ B! B! ‚ Ê ! œ B! ! B!
aB.41.1b
Sec. B.11] Anéis, anéis de integridade e corpos
59
Portanto, em qualquer anel (mesmo não comutativo), ! é um elemento singular na multiplicação e é válida a implicação aB œ ! ” C œ !b Ê BC œ !
aB.41.2b
Adiante veremos que existem anéis onde pode ter-se BC œ !, com B Á ! e C Á !. De aB.41.1b e da distributividade podemos concluir aBbC BC œ aaBb BbC œ !C œ ! Ê aBCb œ aBbC BaCb BC œ BaaCb Cb œ B! œ ! Ê aBCb œ BaCb aBbaCb œ aBaCbb œ aaBCbb œ BC Em resumo, aBCb œ aBbC œ BaCb aBbaCb œ BC
aB.42b
Num anel, a distributividade dá-nos a fórmula usual para o produto de duas somas (atenção à ordem dos factores, se o anel não for comutativo!): aB CbaD Ab œ BD BA CD CA Pode generalizar-se a igualdade anterior a mais de duas parcelas: 7
8
7
8
"B3 † "C4 œ " "aB3 C4 b 3œ"
4œ"
aB.43b
3œ" 4œ"
Se B e C forem elementos permutáveis do anel, em particular se o anel é comutativo, valem os chamados casos notáveis B# C# œ aB CbaB Cb aB Cb# œ B# #BC C#
aB.44b
Se B e C não forem permutáveis, as igualdades anteriores são substituídas respectivamente por B# BC CB C# œ aB CbaB Cb aB Cb# œ B# BC CB C#
aB.45b
A segunda igualdade aB.44b é um caso particular da igualdade conhecida por binómio de Newton:
Proposição B.10 Para quaisquer elementos B e C permutáveis num anel aà ß † b e qualquer expoente natural 8 − , tem-se i)
C8 B œ BC8
(B e C8 são permutáveis)
60
Estruturas algébricas [Apêndice B 8"
ii) aB Cb8 œ B8 ! ˆ 85 ‰B85 C5 C8 à 8 − 5œ"
(Binómio de Newton)a22b
aB.46.1b
Demonstração: i)
Por indução no expoente 8:
ñ
Para 8 œ ", o resultado é imediato, visto que B e C são permutáveis.
ñ
Supondo que C8 B œ BC8 , teremos para 8 ": C8" B œ aC8 CbB œ C8 aCBb œ C8 aBCb œ aC8 BbC œ aBC8 bC œ BaC8 Cb œ BC8"
ii) A demonstração decorre novamente por indução no expoente 8: ñ
Para 8 œ ", a fórmula de Newton é obviamente válida: aB Cb" œ B C B" C" œ B C
ñ Se a igualdade aB.46.1b é válida, então para 8 " e usando o resultado da alínea anterior, a distributividade e conhecidas propriedades do triângulo de Pascal (em particular, a ‰ œ ˆ 8 ‰ ˆ 8 ‰, para " Ÿ 5 Ÿ 8), teremos sucessivamente: igualdade ˆ 8" 5 5" 5 8" 8 aB Cb8" œ aB Cb8 aB Cb œ ŒB8 "Š ‹B85 C5 C8 aB Cb 5 5œ" 8"
œB
8" 8 8"5 5 8" 8 85 5" " B C Š ‹B C "Š ‹B C C8 B C8" 5 5 5œ" 5œ" 8
8" 8 8 8 ‹B8"5 C5 C8" œ B8" Œ "Š ‹B8"5 C5 BC8 ŒB8 C "Š 5 " 5 5œ" 5œ# 8 8 8 8 œ B8" "Š ‹B8"5 C5 "Š ‹B8"5 C5 C8" 5 5" 5œ" 5œ" 8"
œB
8 8 8 " ‹ Ba8"b5 C5 C8" ŒŠ ‹ Š 5 5" 5œ" ðóóóóóóóóñóóóóóóóóò ˆ 8" ‰ 8
œ B8" "Œ 5œ"
5
8 " a8"b5 5 C C8" B 5
É claro que, em particular, a fórmula do binómio de Newton será válida para quaisquer B e C num anel comutativo. Se o anel aà ß † b tiver unidade ", então e de acordo com a segunda igualdade aB.21.2b, temos B! œ " e a fórmula do binómio de Newton pode estender-se ao
22
Newton, Sir Isaac: físico, matemático e astrónomo inglês (Woolsthorpe 1642 – Kensington 1727).
Sec. B.11] Anéis, anéis de integridade e corpos
61
expoente nulo, podendo escrever-se, para 8 !: 8
8 aB Cb œ "Š ‹B85 C5 à 8 − ! 5 5œ! 8
(Binómio de Newton)
aB.46.2b
Recorda-se aqui o triângulo de Pascal, que mais não é do que uma tabela de valores dos coeficientes binomiais ˆ 85 ‰, para ! Ÿ 5 Ÿ 8 e 8 − ! : 5 ! " # 8 $ % & ' ã
! " " " " " " " ã
"
#
" # $ % & ' ã
" $ ' "! "& ã
$
%
&
'
â
" % " "! & " #! "& ' " ã ã ã ã ä 8" 8 8 Fig. B.12 - Triângulo de Pascal: Tem-se ˆ 5 ‰ œ ˆ 5" ‰ ˆ 5 ‰, para " Ÿ 5 Ÿ 8. Por exemplo, "& œ & "!.
Se todos os elementos do anel, excepto !, forem regulares para a multiplicação, diz-se que estamos perante um anel de integridade:
Definição B.21 – Anel de integridade – Chama-se Anel de integridade a um anel comutativo com unidade aà ß † b no qual todos os elemento à excepção de ! são regulares para a multiplicação. Num anel, um elemento B Á ! diz-se um divisor de ! se e só se existir um elemento C Á ! tal que BC œ ! e é óbvio que, se um tal elemento existir, a recíproca de aB.41.2b não é verdadeira. Se é um anel de integridade, então não existem divisores de !, isto é, vale a recíprocaa23b de aB.41.2b: BC œ ! • B Á ! Ê aBC Î œ B! Î • B é regular Ê C œ !b Reciprocamente, se BC œ ! Ê aB œ ! ” C œ !b é verdadeira, então qualquer elemento + do anel, com a única excepção de !, será regular: + Á ! • +B œ +C Ê + Á ! • +aB Cb œ ! Ê B C œ ! Ê B œ C Assim, podemos em alternativa à definição B.21 dizer que
23
Observe que a proposição + Ê a, ” - b é equivalente a a+ • c,b Ê - ; neste caso, BC œ ! Ê aB œ ! ” C œ !b é equivalente a aBC œ ! • B Á !b Ê C œ !.
62
Estruturas algébricas [Apêndice B
Definição B.22 Um Anel de integridade é um anel aà ß † b comutativo com unidade e sem divisores de !. Num anel de integridade vale portanto a propriedade de anulamento do produto BC œ ! Í aB œ ! ” C œ !b
aB.47b
Exemplo B.73 O conjunto ™ dos inteiros relativos, com a adição e multiplicação de inteiros constitui um anel comutativo com unidade, e as translações B È +B são injectivas se + Á !. Portanto, trata-se de um anel de integridade. Exemplo B.74 Para todo o : inteiro maior ou igual a #, o conjunto ™: œ e!ß "ß #ß á ß : "f dos “inteiros módulo :”, munido das operações Š e Œ definidas por B Š C œ aB Cb mod : B Œ C œ aBCb mod : é um anel comutativo com unidade chamado anel dos inteiros módulo :. Se : for primo, estes anéis são anéis de integridade. Por exemplo, para : œ & (ver exemplo B.8) tem-se Š ! " # $ %
! ! " # $ %
" " # $ % !
# # $ % ! "
$ $ % ! " #
% % ! " # $
Π! " # $ %
! ! ! ! ! !
" ! " # $ %
# ! # % " $
$ ! $ " % #
% ! % $ # "
A tabela da multiplicação mostra que BC œ ! só se for B œ ! ou C œ ! e a™& à Š ß Œ b é um anel de integridade. Todavia para : œ ', as tabelas das operações serão Š ! " # $ % &
! ! " # $ % &
" " # $ % & !
# # $ % & ! "
$ $ % & ! " #
% % & ! " # $
& & ! " # $ %
Π! " # $ % &
! ! ! ! ! ! !
" ! " # $ % &
# ! # % ! # %
$ ! $ ! $ ! $
% ! % # ! % #
& ! & % $ # "
Neste caso, a tabela da multiplicação mostra que # Œ $ œ $ Œ # œ $ Œ % œ % Œ $ œ !, pelo que #ß $ e % são divisores de !: o produto pode ser nulo sem que o seja qualquer dos factores e ™' não é um anel de integridade. Observe também que !ß #ß $ e % não têm inverso e que "" œ " e &" œ &. Exemplo B.75 O conjunto Pa‘b dos polinómios de coeficientes reais e qualquer grau !, munido da adição e multiplicação usual de polinómios é um anel comutativo com unidade, onde o zero é o polinómio nulo :aBb œ ! e cuja unidade é o polinómio constante :aBb œ ". Trata-se ainda de um anel de integridade, porque :aBb; aBb œ ! implica :aBb œ ! ou ; aBb œ !, isto é, não existem divisores de !.
Sec. B.11] Anéis, anéis de integridade e corpos
63
Exemplo B.76 Consideremos o conjunto ‘! das sucessões de números reais quase todos nulos (todos os termos são nulos, excepto um número finito), munido das leis de composição interna definidas para quaisquer sucessões +5 e ,5 por: a+ ,b5 œ +5 ,5 à 5 ! 5
a+,b5 œ " +3 ,53 œ +! ,5 +" ,5" â +5" ," +5 ,! à 5 ! 3œ!
Com as duas operações anteriores, ‘! é um anel comutativo com unidade, cujo zero é a sucessão nula a!ß !ß !ß á b, cuja unidade é a sucessão a"ß !ß !ß á b e onde a+! ß +" ß +# ß á b é o simétrico de a+! ß +" ß +# ß á b. Estamos, de novo, em presença de um anel de integridade e que é isomorfo do anel de integridade Pa‘b do exemplo anterior, porque a aplicação _
a+! ß +" ß +# ß á b È :aBb œ ! +5 B5 é um isomorfismo destas duas estruturas. 5œ!
Exemplo B.77 O conjunto ‘#ß# das matrizes reais de 2ª ordem, dotado da adição e da multiplicação matriciais, constitui um anel não comutativo com unidade; o zero deste anel é a matriz nula de 2ª ordem S# e a unidade é a matriz identidade de 2ª ordem M# ; todas as matrizes têm oposto aditivo (simétrico), tendo-se como é óbvio: ”
Porém, a matriz ”
+ -
, + œ . • ” -
, . •
" # Á S# é um divisor de S# , visto que # % • " # ' ” # % •” $
# ! œ” • " !
! œ S# !•
Este exemplo mostra que este anel não é um anel de integridade. Uma matriz é regular se e só se for invertível: ñ Se E é invertível com inversa E" , então E\ œ E] Ê E" aE\ b œ E" aE] b Ê ˆE" E‰\ œ ˆE" E‰] Ê M# \ œ M# ] Ê \ œ ] o que significa que E é regular à esquerda; de modo idêntico se provaria a regularidade à direita. ñ Se E œ S# , E não é invertível nem regular. Se E Á S# não é invertível, então será caEb # e o sistema homogéneo E\ œ S tem solução não nula \" ; sendo \# outra qualquer solução do referido sistema, consideremos a matriz \ œ c \" \# d Á S# . Para esta matriz, teremos E\ œ Ec \" \# d œ c E\" E\# d œ c S S d œ S# Portanto, E é um divisor de S# e E não será matriz regular (é E\ œ ES# , com \ Á S# e a translação esquerda \ È E\ determinada por E não é injectiva).
64
Estruturas algébricas [Apêndice B
Quanto ao elemento inverso, note-se que a matriz nula S# não é invertível e que existem + , outras matrizes nesta situação para além desta: serão não invertíveis todas as matrizes ” - .• " # tais que +. ,- œ !, por exemplo ” . Para as matrizes invertíveis, tem-se # % • + ”-
"
, .•
œ
" . ” +. ,-
, à +. ,- Á ! + •
Exemplo B.78 O conjunto ™# dos pares ordenados de inteiros relativos, dotado da adição e multiplicação definidas por a+ß ,b a-ß . b œ a+ -ß , . b a+ß ,ba-ß . b œ a+- ,.ß +. ,-b é um anel comutativo com unidade, no qual o zero é a!ß !b, a unidade é a"ß !b e onde o simétrico de a+ß ,b é a+ß ,b. Trata-se dum anel de integridade: para o verificarmos, basta mostrar que a+ß ,ba-ß . b œ a!ß !b implica a+ß ,b œ a!ß !b ou a-ß . b œ a!ß !b, o que equivale a a+ß ,ba-ß . b œ a!ß !b • a-ß . b Á a!ß !b Ê a+ß ,b œ a!ß !b Mas a condição a+ß ,ba-ß . b œ a!ß !b equivale a +- ,. œ ! œ +. ,- œ ! Multiplicando a 1ª equação por - e a 2ª por . e somando membro a membro, obtém-se +ˆðñò -# . # ‰ œ ! !
Sendo a-ß . b Á a!ß !b, tem-se -# . # ! e, portanto, será + œ !. Do mesmo modo, multiplicando a 1ª equação por . e a 2ª por - e subtraindo a 1ª da 2ª, obtemos ,ˆðñò -# . # ‰ œ ! !
Este resultado implica agora que , œ !, concluindo-se finalmente que a+ß ,b œ a!ß !b. Exemplo B.79 O conjunto ™# , munido das leis de composição interna definidas por a+ß ,b Š a-ß . b œ a+ -ß , . b a+ß ,b Œ a-ß . b œ a+- #,.ß +. ,-b, é um anel comutativo com unidade, cujo zero é a!ß !b e cuja unidade é a"ß !b e onde o simétrico de a+ß ,b é a+ß ,b. Este anel é também um anel de integridade, como passaremos a mostrar: tal como no exemplo anterior, bastará mostrar que a+ß ,b Œ a-ß . b œ a!ß !b implica
Sec. B.11] Anéis, anéis de integridade e corpos
65
a+ß ,b œ a!ß !b ou a-ß . b œ a!ß !b, o que uma vez mais equivale a a+ß ,b Œ a-ß . b œ a!ß !b • a-ß . b Á a!ß !b Ê a+ß ,b œ a!ß !b Mas a condição a+ß ,b Œ a-ß . b œ a!ß !b equivale a +- #,. œ ! œ +. ,- œ ! Multiplicando a 1ª equação por - e a 2ª por #. e subtraindo membro a membro, obtém-se +ˆðñò -# #. # ‰ œ ! Á!
Mas, para - e . inteiros, tem-se -# #. # Á !, por ser a-ß . b Á a!ß !ba24b . Daqui resulta + œ !. Do mesmo modo, multiplicando a 1ª equação por . e a 2ª por - e subtraindo membro a membro, vem ,ˆðñò -# #. # ‰ œ ! Á!
Daqui resulta agora , œ ! e, uma vez mais, a+ß ,b œ a!ß !b. Exemplo B.80 O conjunto # do exemplo B.10, munido das leis de composição interna definidas por a+ß ,b Š a-ß . b œ a+ -ß , . b a+ß ,b Œ a-ß . b œ a+- #,.ß +. ,-b, é um anel comutativo com unidade, cujo zero é a!ß !b e cuja unidade é a"ß !b e onde o simétrico de a+ß ,b é a+ß ,b. Este é também um anel de integridade, o que se prova de forma semelhante à que foi utilizada no exemplo anterior.
Em qualquer anel, todo o + − tem simétrico e, portanto, valem as leis do corte aditivas, para quaisquer +ß Bß C − : +Bœ+CÊ+ ÎBœ+ ÎCÊBœC B+ œC+ ÊB+ Î œC+ ÎÊBœC +BœC+ Ê+ ÎBœC+ ÎÊBœC B+ œ+CÊB+ Îœ+ ÎCÊBœC
24
aB.48b
i) Observe a este propósito que - # #. # é nulo se e só se - œ . œ !: se fosse - # #. # œ ! e . Á !, então # teríamos a-Î. b œ #, o que é absurdo visto -Î. − (ver alínea seguinte desta nota). Assim, será . œ !, o que substituído em - # #. # œ ! dá igualmente - œ !. ii) Não existe um racional B tal B# œ # (por outras palavras, È# é um número irracional), como se pode provar facilmente: suponha-se que é B œ 7Î8 a forma fraccionária irredutível de B (7ß 8 − ™) e que B# œ #. Esta igualdade equivale a 7# œ #8# , o que mostra que 7 é par (porque o é 7# ); portanto, será 7 œ #: , o que dá 8# œ #:# e 8 será igualmente par (porque 8# o é). Então, fica 8 œ #; e a fracção 7Î8 œ :Î; não é irredutível ao contrário do suposto!
66
Estruturas algébricas [Apêndice B E valem as seguintes leis do corte multiplicativas para os elementos regulares + é regular à esquerda • +B œ +C Ê +B Î œ +C Î ÊBœC + é regular à direita • B+ œ C+ Ê B+Î œ C+ ÎÊBœC
aB.49b
Se o anel for comutativo, valem igualmente as leis do corte multiplicativas mistas + é regular • +B œ C+ Ê +B Î œ C+ ÎÊBœC + é regular • B+ œ +C Ê B+Î œ +C Î ÊBœC
aB.50b
Um anel com unidade " Á !, onde todos os elementos são invertíveis para a multiplicação (com excepção de !, o qual é sempre singular em qualquer anel, por ser elemento absorvente: !B œ B! œ !) contitui a estrutura a que chamaremos um corpo: Definição B.22 – Corpo e corpo comutativo – Chama-se Corpo (ou Anel de divisão) à estrutura aŠà ß † b formada por um conjunto suporte Š, munido de duas leis de composição interna: aBß Cb È B C e aBß Cb È BC, chamadas adição e multiplicação respectivamente, tais que aŠà b é um grupo abeliano aditivo, aŠ‡ à † b é um grupo multiplicativo e a multiplicação é distributiva à esquerda e à direita relativamente à adição. Estas condições equivalem à satisfação simultânea dos seguintes nove axiomas, nos quais Š‡ designa o conjunto Š Ï e!f: [A1] [A2] [A3] [A4] [M1] [M2] [M3] [AM1] [AM2]
a
BßCßD−Š
aB Cb D œ B aC D b
(associatividade da adição)
a BCœCB
(comutatividade da adição)
b a !BœB!œB
(! é o “zero” do corpo)
a
(B é o “simétrico” de B)
BßC−Š
!−Š B−Š
b B aBb œ aBb B œ !
B−Š B−Š
a
BßCßD−Š‡
b
aBCbD œ BaCD b
a "B œ B" œ B
"−Š‡ B−Š‡
a
b
B−Š‡ B" −Š‡
BB" œ B" B œ "
(associatividade) (" Á ! é a “unidade” do corpo) (B" é o “inverso” de B Á !)
a
BaC D b œ BC BD
(distributividade à esquerda)
a
aB CbD œ BD CD
(distributividade à direita)
BßCßD−Š BßCßD−Š
Se a multiplicação é comutativa, o corpo diz-se também comutativo podemos substituir os axiomas [M‡] e [AM‡] por: [Mw 1] [Mw 2] 25
a
BßCßD−Š‡
a
BßC−Š‡
aBCbD œ BaCD b
BC œ CB
a25b
e, neste caso,
(associatividade da multiplicação) (comutatividade da multiplicação)
Alguns autores incluem a comutatividade da multiplicação na definição de corpo.
Sec. B.11] Anéis, anéis de integridade e corpos [Mw 3] [Mw 4] [AMw ]
b
a "B œ B
(" Á ! é a “unidade” do corpo)
"−Š‡ B−Š‡
a
b
B−Š‡ B" −Š‡
a
BßCßD−Š
67
B" B œ "
(B" é o “inverso” de B Á !)
BaC D b œ BC BD
(distributividade à esquerda)
A definição anterior de corpo pode ser enunciada dizendo que um corpo é a estrutura aŠà ß † b tal que aŠà b é um grupo abeliano, aŠ‡ ß † b é um grupo e a multiplicação é distributiva à esquerda e à direita em relação à adição ou ainda que se trata de um anel não reduzido a e!f, com unidade, no qual todos os elementos à excepção de ! são invertíveis (Anel de divisão). Observamos ainda que os axiomas [M1] e [M2] se estendem evidentemente ao !, visto que este é absorvente: [Mww 1] [Mww 2]
a
BßCßD−Š
b
aBCbD œ BaCD b
(associatividade)
a "B œ B" œ B
(" Á ! é a “unidade” do corpo)
"−Š‡ B−Š
Como a multiplicação é associativa, os elementos invertíveis são regulares e, portanto, todo o corpo comutativo é também um anel de integridade. Isto significa que, num corpo, é válida a propriedade de anulamento do produto: o produto de dois elementos B e C é nulo se e só se B œ ! ou C œ !: a aBC œ ! Í B œ ! ” C œ !b
BßC−Š
aB.51b
São corpos comutativos os conjuntos , ‘ e ‚ respectivamente dos números racionais, reais e complexos. De seguida, veremos mais alguns exemplos de anéis que são corpos (e também de alguns que o não são).
Exemplo B.81 O conjunto ™ dos inteiros relativos, com a adição e multiplicação de inteiros forma um anel de integridade, mas não um corpo, porque a™‡ à † b não é um grupo, visto que apenas " e " têm inverso (que são eles próprios).
Exemplo B.82 Para todos os números inteiros : maiores ou iguais a #, os conjuntos ™: œ e!ß "ß #ß á ß : "f dos “inteiros módulo :”, munidos das operações Š e Œ definidas por B Š C œ aB Cb mod : B Œ C œ aBCb mod : são anéis comutativos com unidade chamados anéis dos inteiros módulo :. Pode provar-se que para : primo, estes anéis são corpos finitos, o que acontece por exemplo com o corpo ™& do exemplo B.8. Reproduzem-se aqui as tabelas desse exemplo
68
Estruturas algébricas [Apêndice B Š ! " # $ %
! ! " # $ %
" " # $ % !
# # $ % ! "
$ $ % ! " #
% % ! " # $
Π! " # $ %
! ! ! ! ! !
" ! " # $ %
# ! # % " $
$ ! $ " % #
% ! % $ # "
Destas tabelas deduz-se que, neste corpo, se tem: ! œ !à " œ %à # œ $à $ œ #à % œ " "" œ "à #" œ $à $" œ #à %" œ % Exemplo B.83 O conjunto Pa‘b dos polinómios de coeficientes reais e qualquer grau !, munido da adição e multiplicação usual de polinómios é um anel de integridade, onde o zero é o polinómio nulo :aBb œ ! e cuja unidade é o polinómio constante :aBb œ ". Porém, este anel de integridade não é um corpo comutativo, visto que os únicos elementos invertíveis são os polinómios não nulos de grau !. Exemplo B.84 Consideremos o conjunto ‘! das sucessões de números reais quase todos nulos (todos os termos são nulos, excepto um número finito), munido das leis de composição interna definidas para quaisquer sucessões +5 e ,5 por: a+ ,b5 œ +5 ,5 à 5 ! 5
a+,b5 œ " +3 ,53 œ +! ,5 +" ,5" â +5" ," +5 ,! à 5 ! 3œ!
Com as duas operações anteriores ‘! é um anel de integridade, cujo zero é a sucessão nula a!ß !ß !ß á b, cuja unidade é a sucessão a"ß !ß !ß á b e onde a+! ß +" ß +# ß á b é o simétrico de a+! ß +" ß +# ß á b. Porém, este anel de integridade não é um corpo comutativo, porque só são regulares os elementos a+! ß !ß !ß á b com +! Á ! sendo a+! ß !ß !ß á b" œ Š
" ß !ß !ß á ‹ +!
Exemplo B.85 Vimos no exemplo B.77 que o conjunto ‘#ß# das matrizes reais de 2ª ordem, munido da adição e da multiplicação matriciais, constitui um anel não comutativo com unidade mas não um anel de integridade; o zero deste anel é a matriz nula de 2ª ordem S# e a unidade é a matriz identidade de 2ª ordem M# ; todas as matrizes têm simétrico, tendo-se como é óbvio: ”
+ -
, + œ” • . -
, . •
A matriz nula S# não é a única não invertível: serão não invertíveis todas as matrizes + , ” - . • tais que +. ,- œ ! (ou seja, com característica inferior à ordem), como acontece, # " por exemplo, com a matriz ” . Deste modo, ‘#ß# não é um corpo. % # •
Sec. B.11] Anéis, anéis de integridade e corpos
69
Exemplo B.86 O conjunto ™# dos pares ordenados de inteiros relativos, dotado da adição e multiplicação definidas por a+ß ,b a-ß . b œ a+ -ß , . b a+ß ,ba-ß . b œ a+- ,.ß +. ,-b é um anel de integridade (ver exemplo B.78), no qual o zero é a!ß !b, a unidade é a"ß !b e onde o simétrico de a+ß ,b é a+ß ,b. Mas este anel não é um corpo, porque apenas são invertíveis os elementos a „ "ß !b, e a!ß „ "b para os quais é a „ "ß !b" œ a „ "ß !b a!ß „ "b" œ a!ß … "b
Exemplo B.87 O conjunto ™# dos pares ordenados de inteiros relativos do exemplo B.79, dotado da adição e multiplicação definidas por a+ß ,b a-ß . b œ a+ -ß , . b a+ß ,ba-ß . b œ a+- #,.ß +. ,-b é um anel de integridade, no qual o zero é a!ß !b, a unidade é a"ß !b e onde o simétrico de a+ß ,b é a+ß ,b. Mas este não é um corpo, visto que existem elementos não invertíveis diferentes de a!ß !b como, por exemplo, a#ß !b. Todavia são invertíveis, entre outros, os elementos a „ "ß !b, a „ "ß „ "b, a „ $ß „ #b, a „ (ß „ &b e a „ "(ß „ "#b, cujos inversos são a „ "ß !b" œ a „ "ß !b a „ "ß „ "b" œ a … "ß „ "b a „ $ß „ #b" œ a „ $ß … #b a „ (ß „ &b" œ a … (ß „ &b a „ "(ß „ "#b œ a „ "(ß … "#b Exemplo B.88 Vimos já que o conjunto # do exemplo B.80, munido das leis de composição interna definidas por a+ß ,b Š a-ß . b œ a+ -ß , . b a+ß ,b Œ a-ß . b œ a+- #,.ß +. ,-b, é um anel de integridade, cujo zero é a!ß !b e cuja unidade é a"ß !b. Porém, neste anel todos os elementos, à excepção de a!ß !b, têm inverso, tendo-se a+ß ,b" œ Œ
+#
+ , ß # à a+ß ,b Á a!ß !b # #, + #,#
Observe que o denominador +# #,# só é nulo quando + œ , œ !: se fosse +# #,# œ ! e , Á !, então teríamos a+Î,b# œ #, o que é absurdo visto +Î, − . Assim, será , œ !, o que substituído em +# #,# œ ! dá igualmente + œ !. Portanto, estamos em presença de um corpo comutativo.
70
Estruturas algébricas [Apêndice B Exemplo B.89 Considere-se o conjunto ‡ do exemplo B.59 ‡ œ œLÀ b L œ ” DßA−‚
D A § ‚#ß# A D •
Este conjunto á fechado para a adição e multiplicação matriciais e facilmente se reconhece que é um grupo abeliano aditivo em que o zero é a matriz nula S# ; por outro lado, naquele exemplo concluímos que ‡‡ é um grupo multiplicativo não comutativo, com unidade M# e com a inversão definida por L " œ
" D #”A kD k kAk #
A D àLœ” • D A
A Á S# D•
Como a multiplicação matricial é distributiva à esquerda e à direita em relação à adição, concluímos que ‡ é um corpo não comutativo, designado por corpo dos quaterniões de Hamilton a26b . B.12 Anéis e álgebras de Boole Definição B.23 – Anel de Boole – Um anel de Boole é um anel aß ß † b comutativo com unidade " Á ! no qual a multiplicação é idempotente, isto é, B † B œ B# œ B, para todo o B − . Em tudo o que se segue, designaremos por BC o produto de B por C. Sendo a multiplicação idempotente, então aB BbaB Bb œ B B e a distributividade permite escrever BB BB BB BB œ B B e ainda B ÎB ÎBBœB ÎB Î !; a lei do corte para a adição dá então B B œ !: portanto, num anel de Boole, todo o elemento é simétrico de si próprio: BBœ!
aB.52b
Em qualquer anel de Boole, podemos definir duas operações binárias aBß Cb È B ” C e aBß Cb È B • C e uma unária B È cB, pondo: [AB1]
B ” C œ B C BC
[AB2]
B • C œ BC
[AB3]
cB œ " B
Proposição B.11 As operações definidas por [AB1], [AB2] e [AB3] num anel de Boole aß ß † b satisfazem as seguintes propriedades, para todos os Bß Cß D − a27b :
26 27
i)
B”CœC”B B•CœC•B
(comutatividade)
aB.53b
ii)
B”!œB B•"œB
(existência de elementos neutros)
aB.54b
Hamilton, sir William Rowan: matemático irlandês (Dublin 1805 – Dunsink 1865). Convencionaremos que o operador unário c (complemento) tem prioridade sobre ambos os operadores binários. É também usual considerar que a operação • tem prioridade sobre ” .
Sec. B.12] Anéis e álgebras de Boole
71
iii)
B • aC ” D b œ aB • Cb ” aB • D b B ” aC • D b œ aB ” Cb • aB ” D b
(distributividades à esquerda)
aB.55b
iv)
B ” cB œ " B • cB œ !
(existência de complemento)
aB.56b
Demonstração: i)
É consequência das comutatividades da adição e da multiplicação: B ” C œ B C BC œ C B CB œ C ” B B • C œ BC œ CB œ C • B
ii) É imediato: B ” ! œ B ! B! œ B ! ! œ B B • " œ B" œ B iii) Neste caso e atendendo à idempotência da multiplicação, é B • aC ” D b œ BaC D CD b œ BC BD BCD aB • Cb ” aB • D b œ BC BD aBCbaBD b œ BC BD B# CD œ BC BD BCD Por outro lado, atendendo à idempotência da multiplicação e a aB.52b, tem-se B ” aC • D b œ B CD BCD aB ” Cb • aB ” D b œ aB C BCbaB D BD b œ B# BD B# D BC CD BCD B# C BCD B# CD œ B ðñò BD BD ðñò BC BC CD BCD ðóóñóóò BCD BCD œ B CD BCD !
!
!
iv) Resulta da idempotência da multiplicação e de aB.52b: B ” cB œ B cB BacBb œ B Î"B Î Ba" Bb œ " B B# œ " B ÎB Îœ" # B • cB œ Ba" Bb œ B B œ B B œ !
É a uma estrutura algébrica aß ” ß • ß cß !ß "b constituída pelas operações binárias ” e • e pela operação unária c, satisfazendo aB.53b a aB.56b que chamamos uma álgebra de Boole: Definição B.24 – Álgebra de Boole – Uma álgebra de Boole é a estrutura aß ” ß • ß cß !ß "b composta por um conjunto (com pelo menos dois elementos distintos ! e "), dotado de duas leis de composição interna aBß Cb È B ” C e aBß Cb È B • C e de uma operação unária B È cB satisfazendo os axiomas seguintes, para todos os Bß Cß D − : [B1]
B”CœC”B B•CœC•B
[B2]
Existem ! Á " − tais que: B”!œB B•"œB
(comutatividade)
(existência de elementos neutros)
72
Estruturas algébricas [Apêndice B [B3]
B • aC ” D b œ aB • Cb ” aB • D b B ” aC • D b œ aB ” Cb • aB ” D b
[B4]
Para cada B − , existe um elemento cB − tal que:
(distributividades à esquerda)
B ” cB œ " B • cB œ !
(existência de complemento)
A proposição B.11 mostra que de todo o anel de Boole se pode obter uma álgebra de Boole através das definições [AB1], [AB2] e [AB3]. Reciprocamente, pode o leitor provar a título de exercício que, dada uma álgebra de Boole aß ” ß • ß cß !ß "b, podemos obter um anel de Boole aß ß † b, pondo: [AB1w ] B C œ aB • cCb ” aC • cBb [AB2w ] B † C œ B • C
As álgebras de Boole são do maior interesse nas ciências da computação e sistemas digitais. Exemplo B.90 Segundo [B2], o suporte de uma álgebra de Boole tem que conter, pelo menos, os dois elementos neutros ! e 1 (que são únicos, pelo corolário B.4.1) e, de facto, não são necessários mais elementos como se mostra no presente exemplo. O conjunto œ e!ß "f, com as operações definidas pelas tabelas ” ! "
! ! "
" " "
• ! "
! ! 0
" 0 "
c
! "
" !
aB.57b
constitui uma álgebra de Boole, como o leitor pode verificar facilmente.
Exemplo B.91 Sendo Y um conjunto qualquer e œ e!ß "f o conjunto do exemplo anterior, podemos definir uma álgebra de Boole no conjunto Y das funções de Y em (funções binárias definidas em Y ), pondo para todas as funções ;ß ;w À Y Ä e todo o B − Y : a; ” ;w baBb œ ;aBb ” ;w aBb a; • ;w baBb œ ;aBb • ;w aBb ac;baBb œ ca;aBbb
aB.58b
em que as operações dos segundos membros são as que estão definidas no exemplo anterior por meio das tabelas aB.57b. Nesta álgebra de Boole, os elementos neutros são as funções constantes !À B È ! e "À B È ". Construímos, assim, a álgebra de Boole aY ß ” ß • ß cß !ß "b. Se Y œ e"ß #ß á ß 8f, cada uma das funções ; é uma lista a+" ß +# ß á ß +8 b de 8 dígitos binários (bits) e, nas ciências da computação, estas listas são chamadas palavras de 8 bits dizendo-se ainda que as operações ” (or), • (and) e c(not) definidas por aB.58b se realizam bit a bit (bitwise): por exemplo, a"!""!"!!b ” a!""!""!"b œ a""""""!"b a"!""!"!!b • a!""!""!"b œ a!!"!!"!!b ca"!""!"!!b œ a!"!!"!""b
Sec. B.12] Anéis e álgebras de Boole
73
Exemplo B.92 Sendo Y um conjunto (universo), a estrutura aPaY bß ß ß c ß gß Y b das partes de um conjunto, com as operações de reunião, intersecção e complemento é uma álgebra de Boole, na qual ! œ g e " œ Y .
Exemplo B.93 Duas álgebras de Boole aß ” ß • ß cß !ß "b e aß ” ß • ß cß !ß "b são isomorfas se e só se existir um homomorfismo bijectivo de uma sobre a outra, isto é, uma bijecção 2À Ä tal que, para quaisquer Bß Bw − : 2aB ” Bw b œ 2aBb ” 2aBw b 2aB • Bw b œ 2aBb • 2aBw b 2acBb œ ca2aBbb Duas álgebras de Boole nestas circunstâncias são algebricamente indistinguíveis ou iguais a menos de um isomorfismo e, em particular, os respectivos suportes são equicardinais ( e têm igual número de elementos). As álgebras de Boole aY ß ” ß • ß cß !ß "b e aPaY bß ß ß c ß gß Y b referidas nos dois exemplos anteriores são isomorfas, visto que a função ;À PaY b Ä Y que a cada E § Y associa a função binária ;aEbÀ Y Ä (chamada função característica de E), definida para qualquer B − Y por ;aEbaBb œ œ
" !
se B − E se B − Y Ï E
aB.59b
é uma bijecção de PaY b sobre Y Ðdemonstre-o a título de exercício!Ñ e que transforma as operações com conjuntos em PaY b nas operações com funções binárias em Y , isto é, para quaisquer Eß F − PaY b: ;aE F b œ ;aEb ” ;aF b ;aE F b œ ;aEb • ;aF b ;aEc b œ ca;aEbb Em particular, PaY b e Y são equicardinais: #aPaY bb œ #aY b. Se Y for finito e #Y œ 8, então #aPaY bb œ #aY b œ ##Y œ #8 : obtivémos, deste modo, o resultado já anteriormente referido na nota de rodapé a10b.
O isomorfismo destas duas álgebras de Boole está na base da implementação usual das operações com conjuntos nos compiladores, em que cada subconjunto E de um determinado universo finito Y com 8 elementos é concebido como a função ;aEbÀ Y Ä , ou seja, E é concebido como um “mapa” de 8 bits em que 8 é o cardinal do universo Y : por exemplo, se o universo Y e os subconjuntos E e F forem Y œ e"ß #ß $ß %ß &ß 'ß (ß )f
E œ e"ß %ß 'ß )f § Y
F œ e"ß $ß 'ß (f § Y ,
os conjuntos E e F serão representados pelos seguintes “mapas” de ) bits cada um, onde se
74
Estruturas algébricas [Apêndice B
indica, para cada B − Y , se B pertence ou não a E, de acordo com aB.59b: " EÈ "
# !
$ !
% "
& !
' "
( !
) "
" FÈ "
# !
$ "
% !
& !
' "
( "
) !
Neste caso, teremos: " E F œ e"ß $ß %ß 'ß (ß )f È "
# !
$ "
% "
& !
' "
( "
) "
" E F œ e"ß 'f È "
# !
$ !
% !
& !
' "
( !
) !
" Ec œ e#ß $ß &ß (f È !
# "
$ "
% !
& "
' !
( "
) !
Exemplo B.94 Seja o conjunto dos divisores de $! œ e"ß #ß $ß &ß 'ß "!ß "&ß $!f Neste conjunto, podemos definir as operações B ” C œ mmcaBß Cb B • C œ mdcaBß Cb $! cB œ B Obtém-se uma álgebra de Boole, na qual o zero é 1 e a unidade é $!. As operações podem também expressar-se pelas tabelas seguintes: ” " # $ & ' "! "& $!
" " # $ & ' "! "& $!
# # # ' "! ' "! $! $!
$ $ ' $ "& ' $! "& $!
& & "! "& & $! "! "& $!
' ' ' ' $! ' $! $! $! c
"! "! "! $! "! $! "! $! $! " $!
"& "& $! "& "& $! $! "& $! # "&
$! $! $! $! $! $! $! $! $! $ "!
• " # $ & ' "! "& $! & '
' &
" " " " " " " " "
# " # " " # # " #
$ " " $ " $ " $ $
"! $
"& #
$! "
& " " " & " & & &
' " # $ " ' # $ '
"! " # " & # "! & "!
"& " " $ & $ & "& "&
$! " # $ & ' "! "& $!
A seguinte proposição resume as principais propriedades das álgebras de Boole: Proposição B.12 Numa álgebra de Boole aß ” ß • ß cß !ß "b valem as seguintes propriedades, para todos os elementos Bß Cß D − : i)
Vigora o princípio da dualidade: de toda a igualdade válida envolvendo as operações ” ß • ß !ß " se deduz outra igualmente válida (chamada a dual da primeira) trocando
Sec. B.12] Anéis e álgebras de Boole
75
entre si os símbolos ” e • e também ! e ". Em particular, os vários pares de igualdades das alíneas seguintes são duais, pelo que bastará demonstrar uma delas. ii)
aB ” Cb • D œ aB • D b ” aC • D b aB • Cb ” D œ aB ” D b • aC ” D b
(distributividades à direita)
iii)
B”BœB B•BœB
(idempotência)
iv)
B”"œ" B•!œ!
(elementos absorventes)
v)
B ” aB • Cb œ B B • aB ” Cb œ B
(absorção)
vi)
aB ” Cb ” D œ B ” aC ” D b aB • Cb • D œ B • aC • D b
(associatividade)
vii) O complemento de cada elemento B − é único: se Bw e xww são complementos de um mesmo elemento B, isto é, se for B ” Bw œ " B • Bw œ !
B ” Bww œ " B • Bww œ !
então, ter-se-á necessariamente Bw œ Bww . viii)
c! œ " c" œ !
(! e " são complementares entre si)
ix) cacBb œ B x)
(operador complemento é involutivo)
caB ” Cb œ cB • cC caB • Cb œ cB ” cC
(leis de De Morgan)
Demonstração: i) Este princípio resulta da própria dualidade dos axiomas [B1] a [B4]. Nas alíneas seguintes apresentam-se sempre duas expressões duais, pelo que basta provar uma delas. Por cima de cada igualdade, encontra-se o axioma ou propriedade anteriormente demonstrada que a justifica (H significa por hipótese): B1
B3
B1
ii) aB ” Cb • D œ D • aB ” Cb œ aD • Bb ” aD • Cb œ aB • D b ” aC • D b B2
B4
B2
B4
B3
B4
B2
iii) B ” B œ aB ” Bb • " œ aB ” Bb • aB ” cBb œ B ” aB • cBb œ B ” ! œ B B3
B2
B4
iv) B ” " œ aB ” "b • " œ aB ” "b • aB ” cBb œ B ” a" • cBb œ B ” cB œ " v)
B2
B3
B1
iv
B2
B ” aB • Cb œ aB • "b ” aB • Cb œ B • a" ” Cb œ B • aC ” "b œ B • " œ B
vi) Façamos + œ aB ” Cb ” D e , œ B ” aC ” D b e mostremos que + œ ,.
76
Estruturas algébricas [Apêndice B ñ
Comecemos por provar que B • + œ B • ,: v
B3
v
B • + œ B • aaB ” Cb ” D b œ aB • aB ” Cbb ” aB • D b œ B ” aB • D b œ B v
B • , œ B • aB ” aC ” D bb œ B ñ
Provemos agora que cB • + œ cB • ,: B3
cB • + œ cB • aaB ” Cb ” D b œ acB • aB ” Cbb ” acB • D b B3
B4
œ aacB • Bb ” acB • Cbb ” acB • D b œ a! ” acB • Cbb ” acB • D b
B2
B3
œ acB • Cb ” acB • D b œ cB • aC ” D b B3
cB • , œ cB • aB ” aC ” D bb œ acB • Bb ” acB • aC ” D bb B4
œ ! ” acB • aC ” D bb
B2
œ cB • aC ” D b
Das igualdades anteriores B • + œ B • , e cB • + œ cB • , obtemos, operando com ” membro a membro, ii
aB • +b ” acB • +b œ aB • ,b ” acB • ,b Ê aB ” cBb • + œ aB ” cBb • , B4
B1
B2
Ê"•+ œ"•,Ê+•"œ,•"Ê+ œ, Por dualidade, obtemos a outra associatividade aB • Cb • D œ B • aC • D b. B1ßH
vii) Bw œ Bw ” ! œ Bw ” aB • Bww b œ aBw ” Bb • aBw ” Bww b œ " • aBw ” Bww b œ Bw ” Bww B2
H
B3
B1ßH
B2
Bww œ Bww ” ! œ Bww ” aB • Bw b œ aBww ” Bb • aBww ” Bw b œ " • aBww ” Bw b œ Bww ” Bw B2
H
B3
B2
B1
Daqui se segue que Bw œ Bw ” Bww œ Bww ” Bw œ Bww .
viii) Por [B2], tem-se " ” ! œ " e ! • " œ !, mas [B1] permite escrever ! ” " œ 1 e ! • " œ !. Atendendo a estas igualdades, a alínea anterior assegura que " œ c!Þ Por dualidade, obtémse também ! œ c".
ix) Por [B1] e [B4], podemos escrever cB ” B œ " cB • B œ ! Devido à unicidade do complemento, as igualdades anteriores asseguram que B é o complemento de cB, ou seja, B œ cacBb como se pretendia.
Sec. B.12] Anéis e álgebras de Boole x) que
77
Pela unicidade do complemento, para provar que caB ” Cb œ cB • cC, bastará mostrar aB ” Cb ” acB • cCb œ " aB ” Cb • acB • cCb œ ! ñ
Quanto à primeira igualdade, temos: vi
B3
aB ” Cb ” acB • cCb œ B ” aC ” acB • cCbb œ B ” aaC ” cBb • aC ” cCbb B4
B2
œ B ” aaC ” cBb • "b œ B ” aC ” cBb vi
B1
vi
B4
œ aB ” Cb ” cB œ aC ” Bb ” cB iv
œ C ” aB ” cBb œ C ” " œ " ñ
Para a segunda igualdade, vem: vi
ii
B4
B2
aB ” Cb • acB • cCb œ aaB ” Cb • cBb • cC œ aaB • cBb ” aC • cBbb • cC œ a! ” aC • cBbb • cC œ aC • cBb • cC vi
B1
vi
B4
œ C • acB • cCb œ C • acC • cBb B1
iv
œ aC • cCb • cB œ ! • cB œ cB • ! œ !
Vamos agora ver que é sempre possível definir uma relação de ordem parcial em qualquer álgebra de Boole:
Proposição B.13 Seja aß ” ß • ß cß !ß "b uma álgebra de Boole. Então: i)
A relação binária £ definida em pondo, para quaisquer Bß C − , B£CÍB•CœB
aB.60b
é uma ordem parcial em . ii) Para a ordem aB.60b, o conjunto é limitado, tendo-se a !£B£"
aB.61b
minab œ ! e maxab œ "
aB.62b
B−
o que equivale a:
iii) Para qualquer subconjunto eBß Cf § , tem-se: inf eBß Cf œ B • C œ sup eBß Cf œ B ” C
aB.63b
78
Estruturas algébricas [Apêndice B Demonstração:
i) Teremos que mostrar que a relação £ definida por aB.60b é reflexiva, anti-simétrica e transitiva (ver definição A.6 do apêndice A): ñ
Reflexividade: A idempotência da operação • assegura que B • B œ B, o que significa que B £ B.
ñ
Anti-simetria:
Por aB.60b, as relações B £ C e C £ B asseguram que B • C œ B e C • B œ C e a comutatividade da operação • dá imediatamente B • C œ C • B, ou seja B œ C, como se pretendia. ñ
Transitividade:
As relações B £ C e C £ D equivalem, por aB.60b, a B • C œ B e C • D œ C. Operando ambos os membros destas igualdades respectivamente por D e por B, obtemos B•C•D œB•D eB•C•D œB•C Daqui se conclui que B • D œ B • C e, como B • C œ B, obtemos B • D œ B, o que equivale a B £ D, por aB.60b. ii) Seja B um elemento qualquer de . Como ! é absorvente para a operação • , tem-se ! • B œ ! e isto equivale a ! £ B: portanto, ! é mínimo de . Do mesmo modo, " é elemento neutro de • , ou seja, temos B • " œ B e isto equivale a dizer que B £ ": por outras palavras, " é máximo de . iii) Sejam B e C elementos de . ñ
Quanto à primeira igualdade aB.63b, temos: B1
12.vi
12.iii
B1
aB • Cb • B œ aC • Bb • B œ C • aB • Bb œ C • B œ B • C 12.vi
12.iii
aB • Cb • C œ B • aC • Cb œ B • C As igualdades aB • Cb • B œ B • C e aB • Cb • C œ B • C obtidas acima equivalem, por aB.60b, a B • C £ B e B • C £ C respectivamente e, portanto, B • C é um minorante de eBß Cf. Por outro lado, se D é um minorante qualquer de eBß Cf, será D £ B e D £ C, o que implica D £ B • C: assim, B • C é o maior dos minorantes de eBß Cf (será o ínfimo de eBß Cf), inf eBß Cf œ B • C. ñ
Em relação à segunda das igualdades aB.63b:
A proposição B.12.v assegura que B • aB ” Cb œ B, o que equivale a B £ B ” C. Por outro lado, B.12.v e a comutatividade [B1] mostram também que C • aB ” Cb œ C que é equivalente a C £ B ” C. Portanto, é B £ B ” C e C £ B ” C o que significa que B ” C é um majorante de eBß Cf. Por outro lado, se D é um majorante qualquer de eBß Cf então será B £ D e C £ D ; daqui se segue que B ” C £ D e, deste modo, B ” C é o menor majorante de eBß Cf, ou seja, o supremo de eBß Cf: sup eBß Cf œ B ” C.
Sec. B.12] Anéis e álgebras de Boole
79
Exemplo B.95 A relação definida por aB.60b em aPaY bß ß ß c ß gß Y b é a relação § de inclusão entre partes de Y : E §F ÍEF œE Exemplo B.96 A relação £ definida por aB.60b no conjunto œ e!ß "f do exemplo B.90 é composta pelos pares ! £ !ß " £ " e ! £ ".
C
Números complexos
Sec. C.2] Construção do corpo dos complexos C.1
3
Introdução
Neste apêndice, estudamos o corpo dos números complexos. Originalmente introduzidos como símbolos puramente formais destinados a dar conta das propriedades das equações algébricas, os números complexos tornaram-se de uso corrente no séc. XVIII, embora apenas no decorrer do séc. XIX tenham sido definidos e utilizados correctamente pelos matemáticos. Quando numerosos matemáticos (de entre os quais Viètea1b ) hesitavam ainda em usar os números negativos, os algebristas italianos do séc. XVI, Cardanoa2b e os seus pupilos, empenharam-se em introduzir nos seus cálculos símbolos puramente formais ÈBß B !, representando o resultado “impossível” da extracção da raíz quadrada do número negativo B; eles descreveram detalhadamente as regras de cálculo permitindo manipular estes novos “números”, a que chamavam “números impossíveis”. Inicialmente, tratava-se tão somente de dar raízes a todas as equações do segundo grau; os resultados obtidos no estudo da equação do terceiro grau iriam familiarizar os matemáticos com os novos símbolos e evidenciar o seu papel como intermediários cómodos de cálculo em numerosos casos. Através da fórmula dita de Cardano, Bombellia3b mostrou em 1572, que a raíz B œ % da equação B$ œ "&B % pode escrever-se na forma $ $ É # È"#" É# È"#" œ %
(ver exemplo C.20 na secção C.16 do presente apêndice) o que põe em evidência que certas quantidades reais podem ser representadas por expressões aparentemente imaginárias. Assim, a fórmula de Cardano permite representar raízes reais da equação do terceiro grau por intermédio de operações efectuadas sobre números “impossíveis” ou “imaginários”. Os números imaginários fornecem, portanto, métodos de cálculo de natureza certamente nebulosa, mas permitindo obter resultados “verdadeiros”. Por esta razão, sobretudo empírica, os matemáticos continuaram a utilizar com crescente confiança os números imaginários a partir do séc. XVII. Desde 1629 que Girarda4b suspeitava que toda a equação de grau 8 teria 8 raízes reais ou imaginárias, levando à convicção de que os números complexos constituiam o quadro natural para a teoria das equações algébricas. No fim do séc. XVIII, os complexos são de uso corrente, mas a sua “existência matemática” não havia ainda sido estabelecida. Foi aos matemáticos do séc. XIX que caberia construir os complexos a partir dos reais, dando-lhes assim uma “realidade matemática”: é esta construção que levaremos a cabo nos parágrafos que se seguem. C.2
Construção do corpo dos complexos
Tomamos como ponto de partida o corpo a‘ß ß ‚ b dos números reais. Definição C.1. – Número complexo – Chamaremos número complexo a um par aBß Cb de números reais. Trata-se, portanto, de um elemento de ‘# . 1 2 3
4
Viète, François: advogado e matemático francês (Fontenay-le-Comte 1540 – Paris 1603), autor de alguns dos mais antigos trabalhos ocidentais sobre Álgebra. Cardano, Girolamo: médico, astrólogo, poeta e matemático italiano (Pavia 1501 – Roma 1576). Bombelli, Raffael: matemático italiano (Bolonha 1526 – Roma 1572) autor da importante obra L'Algebra e que apresentou regras para a resolução das equações do 3º e 4º graus, bem como para a equação biquadrada e que foi dos primeiros a aceitar os números complexos como raízes dessas equações. Girard, Albert: matemático francês (St Mihiel 1595 – Leiden 1632).
4
Números complexos [Apêndice C
Definiremos a adição e o produto de números complexos, com base nas operações existentes em ‘ e pondo, para quaisquer complexos D œ aBß Cb e D w œ aBw ß Cw b, [A]
D D w œ aB Bw ß C Cw b
[P]
DD w œ aBBw CCw ß BCw CBw b
Munido das operações anteriores, o conjunto ‘# constitui um corpo, chamado corpo dos numeros complexos e que designaremos por a‚ß ß ‚ bÞ Na proposição seguinte, provamos esta afirmação:
Proposição C.1. O conjunto ‘# , munido das operações [A] e [P], é um corpo. Demonstração: ñ Quanto à adição, basta observar que ela coincide com a adição do espaço vectorial cartesiano ‘# e, portanto, a‘# ß b é um grupo abeliano, sendo a!ß !b o elemento neutro da adição e aBß Cb œ aBß Cb o simétrico de aBß Cb:
ñ
aBß Cb a!ß !b œ a!ß !b aBß Cb œ aBß Cb
aC.1b
aBß Cb aBß Cb œ aBß Cb aBß Cb œ a!ß !b
aC.2b
Relativamente ao produto [P] temos: 1 ç Comutatividade: para quaisquer D œ aBß Cb e D w œ aBw ß Cw b, DD w œ aBBw CCw ß BCw CBw b œ aBw B Cw Cß Bw C Cw Bb œ D w D 2 ç Associatividade: para quaisquer complexos D œ aBß Cbß D w œ aBw ß Cw b e D ww œ aBww ß Cww b, aDD w bD ww œ aBBw CCw ß BCw CBw baBww ß Cww b œ aaBBw CCw bBww aBCw CBw bCww ß aBBw CCw bCww aBCw CBw bBww b œ aBaBw Bww Cw Cww b CaBw Cww Cw Bww bß BaBw Cww Cw Bww b CaBw Bww Cw Cww bb œ aBß CbaBw Bww Cw Cww ß Bw Cww Cw Bww b œ D aD w D ww b 3 ç Existe elemento neutro a"ß !b, visto que a"ß !baBß Cb œ a"B !Cß "C !Bb œ aBß Cb œ aBß Cba"ß !b
aC.3b
4 ç Se for D œ a+ß ,b Á a!ß !b, analisemos a existência do inverso de D : trata-se do complexo aBß Cb œ a+ß ,b" tal que a+ß ,baBß Cb œ a"ß !b e, usando a definição [P], esta igualdade equivale ao sistema de equações lineares nas incógnitas reais Bß C +B ,C œ " œ ,B +C œ ! Multiplicando ambos os membros da primeira equação por + e da segunda por , e somandoas membro a membro, obtém-se ˆ+# ,# ‰B œ +
Sec. C.2] Construção do corpo dos complexos Sendo a+ß ,b Á a!ß !b ter-se-á +# ,# !, donde B œ no sistema anterior, obtém-se C œ +#, ,# . Portanto, D " œ a+ß ,b" œ Œ
+#
5 + +# ,# .
Identicamente e eliminando B
+ , ß # # , + ,#
aC.4b
o que mostra que todos os complexos, à excepção de a!ß !b são regulares (inversíveis). O inverso de D é também designado por "ÎD . 5 ç Distributividade da multiplicação em relação à adição à esquerda (e, em virtude da comutatividade do produto [P], também à direita): Para quaisquer complexos D œ aBß Cbß D w œ aBw ß Cw b e D ww œ aBww ß Cww b, temos: D aD w D ww b œ aBß CbaBw Bww ß Cw Cww b œ aBaBw Bww b CaCw Cww bß BaCw Cww b CaBw Bww bb œ aaBBw CCw b aBBww CCww bß aBCw CBw b aBCww CBww bb œ aBBw CCw ß BCw CBw b aBBww CCww ß BCww CBww b œ aBß CbaBw ß Cw b aBß CbaBww ß Cww b œ DD w DD ww
Como em qualquer corpo, define-se a subtracção e a divisão pondo, com Dß D w − ‚, D D w œ D aD w b D " œ D D w , onde D w Á a!ß !b w D
aC.5b
Fazendo D œ aBß Cb e D w œ aBw ß Cw b nas expressões anteriores e atendendo às definições [A] e [P], obtém-se: D D w œ aB Bw ß C Cw b D Bw Cw BBw CCw CBw BCw œ a Bß C b ß œ ß Œ w# Œ w# Dw B Cw # Bw # C w # B Cw # Bw # C w #
aC.6b
Os números complexos são passíveis de uma interpretação geométrica óbvia: num plano munido de um referencial ortonormado directo BSC, cada complexo D œ aBß Cb corresponde a um e um só ponto ^ dito imagem de D − ‚; por sua vez, o número complexo D é chamado o afixo do ponto ^ . O plano, enquanto interpretação geométrica dos números complexos, é designado por plano de Argand a5b ou plano complexo e um complexo D œ aBß Cb pode ser interpretado como Ò um ponto ^ do plano ou ainda como o segmento orientado S^ , como se mostra na figura C.1.
5
Argand, Jean Robert: matemático suíço (Genebra 1768 – Paris 1822) que foi um dos matemáticos a conceber os complexos como pontos dum plano, embora a ideia já tivesse sido sugerida em 1797 por Caspar Wessel (Vestby 1745 – Copenhaga 1818) e se encontrasse também nos trabalhos de John Wallis (Ashford 1616 – Oxford 1703).
6
Números complexos [Apêndice C iR x+iy
iy
i
1
x
R
Fig. C.1 – Interpretação geométrica dos números complexos.
A aplicação B È aBß !b de ‘ em ‚ é um homorfismo injectivo ou mergulho, identificando-se o contradomínio desta aplicação com o conjunto ‘ dos reais, isto é, identifica-se o real B com o complexo aBß !b, para qualquer B − ‘ e, em particular, ! œ a!ß !b e " œ a"ß !b. Isto faz aparecer ‘ como subcorpo de ‚ (diz-se que se “mergulhou” ‘ em ‚) e é neste sentido que escreveremos ‘ § ‚. Entre os números complexos, os números reais têm por imagem os pontos de coordenadas aBß !b do eixo SB, chamado por isso eixo real. Observemos que o produto de um real + œ a+ß !b por um complexo aBß Cb é o complexo a+Bß +Cb, o que coincide com a operação de produto do escalar real + pelo vector aBß Cb no espaço vectorial ‘# . O número complexo 3 œ a!ß "ba6b verifica, em virtude de [P], a igualdade 3# œ a!ß "ba!ß "b œ a"ß !b œ "
aC.7b
Deste modo, a equação B# " œ !, que não tinha solução em ‘, tem agora as soluções „ 3. O conjunto ‚ Ï e!f será designado por ‚‡ . C.3
Forma algébrica de um complexo. Conjugado e módulo
Qualquer complexo D œ aBß Cb pode, em virtude de [A], [P] e das identificações aBß !b œ B e aCß !b œ C, escrever-se na forma aBß Cb œ aBß !b a!ß Cb œ aBß !b a!ß "baCß !b œ B 3C
aC.8b
Esta forma B 3C é chamada a forma algébrica do complexo D , dizendo-se aBß Cb a sua forma cartesiana. Os reais B e C chamam-se respectivamente a parte real e a parte imaginária de D , para as quais se usa a notação daD b œ B e aD b œ C
aC.9b
As definições [A] e [P] vêm a equivaler à manipulação dos complexos na forma algébrica como se fossem polinómios do 1º grau na variável 3, substituindo-se 3# por ", sempre que 3# ocorrer, por exemplo, [A1] aB 3Cb aBw 3Cw b œ aB Bw b 3aC Cw b [P1] aB 3CbaBw 3Cw b œ BBw 3BCw 3CBw ì 3# CCw œ aBBw CCw b 3aBCw CBw b "
o que nos faz reencontrar as definições [A] e [P]. 6
Também designado, em electrónica e telecomunicações, por 4.
Sec. C.3] Forma algébrica de um complexo. Conjugado e módulo
7
Os números complexos da forma 3C œ a!ß Cb têm por quadrado o número real negativo C# œ aC# ß !b; por esta razão, chamamos-lhes imaginários (puros) e o eixo SC formado pelas imagens desses complexos é chamado o eixo imaginário. Para quaisquer subconjuntos E e F de ‚, adoptamos a notação E F para o conjunto dos complexos D A em que D − E e A − F : E F œ eD AÀ D − E • A − F fà Eß F § ‚
aC.10b
Se um dos conjuntos for singular, por exemplo E œ eD f, escreveremos D F em vez de eD f F . A notação DE será usada para o conjunto dos produtos do complexo D pelos elementos de E: DE œ eDAÀ A − Efà D − ‚ • E § ‚
aC.11b
Em particular, 3‘ designa o conjunto dos imaginários puros e, para quaisquer subconjuntos Eß F § ‘, E 3F será o conjunto dos complexos B 3C em que B − E e C − F (corresponde ao produto cartesiano E ‚ F em ‘# ): E 3F œ eB 3CÀ B − E • C − F fà Eß F § ‘
aC.12b
Chamamos conjugado do complexo D œ B 3C ao complexo D œ B 3C. A aplicação D È D é um automorfismo involutivo do corpo ‚, isto é, D Dw œ D Dw D Dw œ D Dw DœD
aC.13b
Daqui resulta que Dœ!ÍDœ! aD b œ aD b " " Œ œ àDÁ! D D
aC.14b
Geometricamente, a imagem ^ do conjugado de D é simétrica da imagem ^ do complexo D em relação ao eixo real. iR iy
x+iy
x R
-iy
_
x-iy
Fig. C.2 – Interpretação geométrica da conjugação de complexos.
8
Números complexos [Apêndice C Para todo o complexo D œ B 3C, tem-se D D œ #B œ #daD b D D œ #3C œ #3e aD b D D œ B# C# − ‘ !
aC.15b
e as igualdades anteriores mostram que " aD D b # " 3 e aD b œ aD D b œ aD D b #3 # daD b œ
aC.16b
Estas igualdades mostram que se podem caracterizar os números reais e os imaginários puros em termos do operador conjugação do modo seguinte: D − ‘ Í e aD b œ ! Í D œ D D − 3‘ Í daD b œ ! Í D œ D
aC.17b
A primeira das igualdades anteriores mostra que os números reais são os pontos fixos da aplicação D È D e facilmente se conclui também que daD b œ e a3D b e aD b œ da3D b œ da3D b
aC.18b
A 3ª das equações aC.15b evidencia o facto de que D D é um número real positivo e que representa o quadrado da distância da imagem ^ de D à origem S do referencial no plano de Ò Argand (o comprimento do segmento orientado S^ na figura C.1). Chamamos módulo de D ao número real não negativo kD k œ ÈD D œ ÈB# C#
aC.19b
A restrição da função D È kD k a ‘ coincide com a função módulo que conhecemos em ‘, pois que D − ‘ Ê C œ ! Ê kD k œ ÈB# !# œ ÈB# œ kBk As propriedades do módulo em ‚ são semelhantes às que já eram válidas em ‘: Proposição C.2. Para quaisquer complexos Dß D w tem-se i)
D D œ kD k#
ii) kD k ! e kD k œ ! Í D œ ! iii) Se D Á !, então
" D B C œ # œ # 3 # # D B C B C# kD k
iv) daD b Ÿ kdaD bk Ÿ kD k • e aD b Ÿ ke aD bk Ÿ kD k v)
kD D w k œ kD k kD w k
Sec. C.3] Forma algébrica de um complexo. Conjugado e módulo
9
vi) kD k œ kD k kD k œ kD k " " Se D Á !, então º º œ D kD k vii) ¹
D kD k ¹ œ , onde D w Á ! Dw kD w k
viii) kD D w k Ÿ kD k kD w k
(desigualdade triangular de Minkowski )
ix) kkD k kD w kk Ÿ kD D w ka7b x)
kD D w k# kD D w k# œ #kD k# #kD w k#
(lei do paralelogramo )a8b
Demonstração: i) Resulta imediatamente da igualdade aCÞ19bÞ ii) A desigualdade kD k ! resulta de aCÞ19b; por outro lado, se for D œ B 3C Á !, teremos B Á ! ou C Á ! e em ambos os casos será B# C# !, donde kD k !. iii) Dividimos ambos os membros da igualdade D D œ kD k# por kD k# , obtendo-se D que mostra que
D kDk#
é o inverso de D , o que confirma a igualdade aCÞ4b.
D kDk#
iv) Temos ! Ÿ C# Ê B# Ÿ B# C# Ê B Ÿ kBk Ÿ ÈB# C# Ê daD b Ÿ kdaD bk Ÿ kD k ! Ÿ B# Ê C# Ÿ B# C# Ê C Ÿ kCk Ÿ ÈB# C# Ê e aD b Ÿ ke aD bk Ÿ kD k v) Resulta de ser # # # kD D w k œ aD D w baD D w b œ aD D w bˆD D w ‰ œ aD D bˆD w D w ‰ œ kD k# kD w k œ akD k kD w kb
vi) Fazendo D w œ " em kD D w k œ kD k kD w k, vem kD k œ kD a"bk œ kD kk"k œ kD k" œ kD k. Por outro lado, aplicando o resultado da alínea i) a D , obtém-se: kD k# œ D D œ D D œ D D œ kD k# Ê kD k œ kD k Por último, sendo D Á ! e fazendo D w œ
" D
em kD D w k œ kD k kD w k, temos
" " " " kD kº º œ ºD º œ k"k œ " Ê º º œ D D D kD k
7 8
Num triângulo, qualquer lado é maior do que a diferença dos outros dois. Num paralelogramo, a soma dos quadrados das diagonais é igual à soma dos quadrados dos lados.
œ ", o
10
Números complexos [Apêndice C vii) Tem-se, para quaisquer D − ‚ e D w − ‚‡ , ¹
D " " " kD k ¹ œ ºD w º œ kD kº w º œ kD k w œ w w D D D kD k kD k
viii) A desigualdade triangular resulta de # kD D w k œ aD D w bˆD D w ‰ œ aD D w bˆD D w ‰ œ D D D D w D w D D w D w #
#
œ kD k# kD w k ˆD D w D D w ‰ œ kD k# kD w k #dˆD D w ‰ # # # Ÿ kD k# kD w k #¸D D w ¸ œ kD k# kD w k #kD k kD w k œ akD k kD w kb ix) Aplicando a desigualdade anterior à relação D œ aD D w b D w , obtemos D œ aD D w b D w Ê kD k Ÿ kD D w k kD w k Ê kD k kD w k Ÿ kD D w k Invertendo os papéis de D e de D w , podemos escrever kD w k kD k Ÿ kD w D k Ê kD w k kD k Ÿ kD D w k Ê kD k kD w k kD D w k Finalmente, a dupla desigualdade kD D w k Ÿ kD k kD w k Ÿ kD D w k equivale à desigualdade pretendida. x) A lei do paralelogramo resulta de # kD D w k œ aD D w bˆD D w ‰ œ aD D w bˆD D w ‰ #
œ D D D D w D w D D w D w œ kD k# kD w k D D w D w D Substituindo na igualdade anterior D w por D w , vem #
#
#
kD D w k œ kD k# kD w k D D w D w D œ kD k# kD w k D D w D w D Somando as igualdades anteriores membro a membro, obtém-se #
#
#
kD D w k kD D w k œ #kD k# #kD w k
Como vimos na introdução, os complexos apareceram muito cedo como o domínio natural para a teoria das equações algébricas: toda a equação algébrica pode ser resolvida em ‚. Mais precisamente, o resultado fundamental é o seguinte (Teorema fundamental da Álgebra, que não provaremos). Proposição C.3. – Teorema fundamental da Álgebra – Se : for um polinómio de grau 8 − com coeficientes complexos, existem 8 números complexos D" ß D# ß á ß D8 não necessariamente distintos, tais que :aD b œ +aD D" baD D# bâaD D8 b
aCÞ20b
onde + − ‚ é o coeficiente do termo de grau 8 do polinómio :. Portanto, qualquer polinómio : de coeficientes complexos e grau 8 " tem pelo menos uma raíz no corpo ‚ e, no máximo, 8 raízes distintas; pelo contrário, um polinómio de coeficientes
Sec. C.4] Argumentos de um complexo. Formas trigonométrica e exponencial
11
reais pode não ter qualquer raíz em ‘ (:aBb œ B# " é um caso evidente!), mas tê-las-á seguramente em ‚. C.4
Argumentos de um complexo. Formas trigonométrica e exponencial
Consideremos, agora, o conjunto ‚" formado pelos complexos (ditos unitários) cujo módulo é igual a " ‚" œ eAÀ A A œ "f œ eAÀ kAk œ "f § ‚
aCÞ21b
Geometricamente, trata-se dos complexos A cuja imagem pertence à circunferência de centro na origem e raio igual a " (o chamado círculo trigonométrico). Estes complexos formam um grupo comutativo para a multiplicação, pois ‚" é fechado em relação à divisão, visto que A − ‚" • Aw − ‚" Ê kAk œ " • kAw k œ " Ê ¹
i
A kAk A ¹ œ w œ " Ê w − ‚" w A kA k A
iR C1 w
iv r
θ0
R u
1
Fig. C.3 – O círculo trigonométrico e os complexos unitários.
Vejamos, agora, a Proposição C.4. – Argumentos de um complexo unitário – Se A œ ? 3@ − ‚" é um complexo unitário, então existe uma infinidade (numerável) de reais )5 tais que A œ cosa)5 b 3sina)5 b
aCÞ22b
Os reais )5 são dados por )5 œ )! #5 1à 5 − ™
aCÞ23b
em que )! é a solução particular de aC.22b dada pora9b )! œ œ
9
sgna@barccosa?b − Ó1ß 1Ò Ï e!f; se @ Á ! arccosasgna?bb − e!ß 1f à se ? Á ! • @ œ !
Nesta expressão, a função sgnÀ ‘ Ä ‘ é definida por @
sgna@b œ œ k@k !
, se @ Á ! , se @ œ !
aCÞ24b
12
Números complexos [Apêndice C
Os reais )5 são chamados argumentos do complexo A e, em particular, )! é o argumento principal de A designado por argaAb. Demonstração: Como A − ‚" , tem-se A œ ? 3@, com ?# @# œ ". Trata-se de determinar as soluções ) reais do sistema de equações cosa)b œ ? œ sina)b œ @
a1 b
Como as funções sin e cos são periódicas de período #1, é óbvio que, se o sistema tiver uma solução )! , terá também as soluções )5 œ )! #5 1, onde 5 − ™. Por outro lado, não existirão outras soluções, pois se ) − ‘ for qualquer outra solução do sistema, então cosa) )! b œ cosa)bcosa)! b sina)bsina)! b œ ?# @# œ " e de cosa) )! b œ " resulta que ) )! œ #5 1, com 5 − ™, ou seja, ) œ )! #5 1. Mostremos, agora, que o real )! dado por aC.24b é uma solução particular do sistema: Como a função cos é par, temos cosa)! b œ cosasgna@b arccosa?bb œ cosaarccosa?bb œ ? Portanto, )! satisfaz a 1ª equação do sistema a1b. Quanto à segunda equação, se @ œ !, temos )! œ ! ou )! œ 1 e em qualquer dos casos é sina)! b œ ! œ @. Se @ Á !, será k?k " Ê ! arccosa?b 1 e sinaarccosa?bb œ È" ?# œ k@k ! Atendendo agora a que a função sin é ímpar, obtém-se sina)! b œ sinˆsgna@b arccosa?b‰ œ sgna@bsinˆarccosa?b‰ œ sgna@bÈ" ?# œ sgna@bk@k œ @ Portanto, )! satisfaz também a 2ª equação do sistema a1b, o que completa a demonstração.
Acabámos de mostrar que um complexo unitário A se pode escrever na forma A œ cosa)b 3sina)b A expressão cos) 3sin) do 2º membro, é também designada por cisa)b, expa3)b ou /3) ; o símbolo “cis” designa, portanto, uma função de ‘ sobre ‚" cisÀ ‘ Ä ‚" à ) È cosa)b 3sina)b
aC.25b
A seguinte proposição resume as principais propriedades da função cis: Proposição C.5. – A função cisÀ ‘ Ä ‚" definida por cisa)b œ cosa)b 3sina)b
aCÞ26b
Sec. C.4] Argumentos de um complexo. Formas trigonométrica e exponencial
13
é periódica de período #1 e constitui um homomorfismo (não injectivo) do grupo abeliano a‘ß b sobre o grupo abeliano multiplicativo a‚" ß ‚ b, isto é, para quaisquer )ß )w − ‘, tem-se cisa) )w b œ cisa)b cisa)w b
aCÞ27b
Demonstração: É imediato que #1 é o período da função cis, visto que as funções componentes sin e cos têm esse mesmo período: para qualquer real ), vem cisa) #1b œ cosa) #1b 3sina) #1b œ cosa)b 3sina)b œ cisa)b A proposição C.4 mostra que ‚" é o contradomínio de cis e, portanto, cis é uma função sobre ‚" . Atendendo às fórmulas da adição para as funções sin e cos e a [P1], temos cisa) )w b œ cosa) )w b 3sina) )w b œ acosa)bcosa)w b sina)bsina)w bb 3acosa)bsina)w b sina)bcosa)w bb œ acosa)b 3sina)bbacosa)w b 3sina)w bb œ cisa)b cisa)w b Isto significa que cis é um homomorfismo de a‘ß b sobre a‚" ß ‚ b.
A igualdade /3) œ cosa)b 3sina)b
aC.26.1b
é chamada igualdade ou identidade de Eulera10b . É claro que k/3) k œ kcisa)bk œ "; por outro lado, a igualdade aC.27b tem as seguintes implicações imediatas cisa!b œ cisa#5 1b œ "à 5 − ™ " cisa)b œ œ cisa)b cisa)b cisa)b cisa) )w b œ cisa)w b Se for agora D œ B 3C − ‚‡ um complexo não nulo, o complexo A œ atendendo à proposição C.4, teremos designando por < ! o módulo de D , D œ cosa)b 3sina)b œ cisa)b <
aC.28b
D kDk
é unitário e,
em que ) é qualquer dos argumentos de A œ D< . A igualdade anterior implica D œ 1
C(1 / 3)
A Z
=1 / 3
=3
M B
O
C(3)
R
Fig. C.9 – Lugar geométrico dos pontos ^ tais que da^ß EbÎda^ß F b œ $ , para $ − e"Î$ß "ß $f.
Obtivemos uma equação do tipo aC.37b com Ú Ý ! œ " $# Û 5 œ ˆ$ # , +‰ œ $ # , + Ý Ü " œ k+k# $ # k,k# Tem-se k5 k# !" œ ˆ$ # , +‰ˆ$ # , +‰ ˆ" $ # ‰ˆk+k# $ # k,k# ‰ œ $ # k+ ,k# ! o que mostra que a equação anterior representa uma recta ou uma circunferência conforme for $ œ " ou $ − ‘ Ï e"f. No caso da circunferência obtida para um certo valor $ , o centro e o raio são Ú # Ý Ý -a$ b œ Š " ‹+ Š $ ‹, " $# " $# Û $ Ý Ý chamado coeficiente de reflexão e definido como a razão entre as tensões das ondas reflectida e incidente junto à carga >œ
Z< a6b œ Z3 a6b
MP #a6Bb # a^P ^! b/ MP #a6Bb » # a^P ^! b/ Bœ6
œ
^P ^! ^P ^ !
28
Números complexos [Apêndice C
Introduzindo a impedância normalizada D œ ^P Î^! œ < 4B, o coeficiente de reflexão na carga pode escrever-se como > œ >a D b œ
^P ^! D" # œ œ" à < œ d aD b ! ^P ^! D" D"
aC.49b
Vemos, portanto, que > é função homográfica não degenerada de D com pólo em D œ " e com > œ " como pólo da função inversa D œ >" a>b œ a" >bÎa" >b. Vamos começar por mostrar que a imagem geométrica de > está no círculo unitário, para qualquer D tal que < œ daD b !. # # # # % Œ" œ" D" D" D " D " kD "k# D"D" % DD œ"# # # œ "# kD "k kD "k kD "k# %< œ" Ÿ " Ê k>k Ÿ " kD "k#
k>k# œ >> œ Œ"
Assim, o semi-plano < œ daD b ! transforma-se por > no círculo unitário k>k Ÿ ": HD œ eDÀ daD b !fà >aHD b œ e>À k>k Ÿ " • > Á "f Para analisarmos as imagens das rectas verticais daD b œ < − ‘ ! e das rectas horizontais " e aD b œ B − ‘, vamos partir da função inversa > < 4B œ D œ >" a>b œ
a" >bˆ" >‰ "> " >> >> œ œ # "> a" >bˆ" >‰ ðñò k" >k k" >k# ðñò −‘
−4‘
Da igualdade anterior concluimos que, para > Á ", Ú " >> Ý Ý œ < Ê " >> œ bˆ" >‰ œ <ˆ" > > >>‰ Ý k" >k# Û Ý >> Ý Ý œ 4B Ê > > œ 4Ba" >bˆ" >‰ œ 4Bˆ" > > >>‰ Ü k" >k# Multiplicando ambos os membros por k" >k# , das equações anteriores obtém-se a< "b>> <> <> a< "b œ !à < − ‘ ! œ B>> a B 4b> a B 4b> B œ !à B − ‘
aC.50b
ñ De acordo com aC.37b e para qualquer < !, a primeira das equações anteriores representa uma circunferência; os parâmetros !, " e 5 presentes em aC.37b têm aqui os valores ! œ < "à " œ < "à 5 œ <
Sec. C.6] Os complexos e a geometria plana. Transformações do plano
29
Portanto, o centro - e o raio 3 das circunferências são, segundo aC.37b: Ú Ý Ý- œ 5 œ < œ " " ! <" <" Û " " È # " Ý Ý3 œ Ék5 k# !" œ < a<# "b œ Ü k! k <" <"
à < − ‘ !
As circunferências existem todas no círculo unitário k>k Ÿ ", encontrando-se os seus centros no eixo real entre ! e " e variando os seus raios respectivamente de " até !; todas passam pelo ponto > œ ". A figura C.17, conseguida no MATHEMATICA© (ver notebook na secção C.17), ilustra a família de circunferências definida pelas equações anteriores, para alguns valores de <:
r=
-1
0
r → +:
2
r=
1
r=
0.5
r=
0
1
1
-1
Fig. C.17 – Circunferências para < constante.
ñ Recorrendo novamente a aC.37b, concluimos que, quando B œ !, a segunda equação aC.50b representa uma recta passando pela origem (a recta e a>b œ !). Se B Á !, a equação representa uma circunferência em que os parâmetros !, " e 5 mencionados em aC.37b valem ! œ Bà " œ Bà 5 œ B 4
30
Números complexos [Apêndice C Daqui resulta que o centro - e o raio 3 são, atendendo a aC.37b: Ú Ý Ý- œ 5 œ B 4 œ " 4" ! B B Û " " Ý ÈB# " B# œ " Ý3 œ Ék5 k# !" œ Ü k! k kBk kBk
àB−‘
As circunferências têm os seus centros na recta vertical da>b œ ", passando todas pelo ponto > œ ". A figura C.18, realizada no MATHEMATICA© (ver notebook na secção C.17), mostra a família de circunferências definida pelas equações anteriores, para certos valores de B: 1
x=
x =
1
5 0.
x=2 x → +:
x= 0
1
0
0. 5
x =_2
x → -:
-1
x
=
x= _ 1
_
-1
Fig. C.18 – Circunferências para B constante.
A sobreposição das duas famílias de linhas anteriores constitui um diagrama a que se chama a carta ou diagrama de Smitha15b que permite calcular o coeficiente de reflexão para um dado valor D œ < 4B da impedância normalizada procurando o ponto de intersecção da circunferência relativa a < e da circunferência (ou recta) relativa a B. A figura seguinte mostra a sobreposição das duas imagens anteriores e na última página deste apêndice mostramos uma carta de Smith profissional. O interesse da carta de Smith é hoje limitado, dado o recurso fácil a computadores.
15
Smith, Philip: engenheiro da RCA citado como criador da carta de Smith, embora já antes o japonês Kurakawa tenha usado este método gráfico para evitar o cálculo numérico com complexos.
Sec. C.7] Potenciação. Expoentes inteiro, racional e real
31
r=
x
x=
0
1
5 0.
1
=
r=
2
r=
1
r=
0.5
x= 2
1
x =_ 2
x=0
_
x= _ 1
x=
0. 5
-1
-1
Fig. C.19 – Sobreposição das figuras anteriores, mostrando uma carta de Smith, realizada com recurso ao MATHEMATICA© .
C.7
Potenciação. Expoentes inteiro, racional e real
A partir desta secção, usaremos preferencialmente a notação exponencial 5 de D 8 , obtidas por 7
7
>5 œ < 8 /3 8 a)#5 1b à 5 − e!ß "ß á ß 8w "fß 8w œ
8 7 ; − mdca7ß 8b 8 7
aC.68b "
7 " Cabe aqui observar que, se mdca7ß 8b ", as expressões D 8 œ ˆD 8 ‰ e aD 7 b 8 não são equivalentes, pois a primeira conduz a mdca87ß8b valores enquanto que a segunda fornece-nos sempre 8 valores (as 8 raízes de índice 8 de D 7 ) entre os quais se encontram todos os valores de 7 D 8 . A expressão aC.68b mostra que a fórmula de Moivre resistiu, uma vez mais, à ampliação do domínio do expoente, desta feita para o corpo dos números racionais.
Para expoente irracional, usaremos directamente a fórmula de Moivre, pondo a seguinte Definição C.5. – Potência de expoente irracional – Para qualquer D œ 0
+
‘ 2
1=1 >0
R C
+
R ‘
Fig. C.70 – À esquerda: o conjunto ‚ de possíveis números complexos “positivos”. À direita: a relação entre complexos associada a ‚ . Aqui tem-se D A e D w Aw .
Facilmente se reconhece que ‚ está nas condições de O1 e O2; portanto, a relação aCÞ132b induzida por ‚ pondo, para quaisquer D œ B 3Cß A œ ? 3@ − ‚
Sec. C.15] Equação do 2º grau
111 D A Í A D − ‚
ou seja, B 3C ? 3@ Í a? Bb 3a@ Cb − ‚ Í ! ? B ” a? B œ ! • ! @ Cb Í B ? ” aB œ ? • C @b é uma ordem estrita total, chamada ordem lexicográfica, dada a sua identificação com a ordenação das palavras num dicionário (neste caso, com palavras de apenas duas “letras”á ). Com vista a fazermos a interpretação geométrica da relação anterior, sejam ^ e [ as imagens geométricas de D e de A respectivamente, no plano de Argand: a expressão B ? ” aB œ ? • C @b significa que D A se e só se ^ está para a esquerda da vertical que passa por [ ou se, estando ^ e [ na mesma vertical, ^ se encontra abaixo de [ (ver figura C.70, à direita). Porém, vamos ver que o conjunto ‚ de complexos “positivos” definido por aC.137b não satisfaz O3, visto que, por exemplo, 3 − ‚ mas 3 ‚ 3 œ 3# œ "  ‚ (ver figura C.70, à esquerda). O exemplo anterior mostra que é possível definir em ‚ relações de ordem estrita; porém, no caso de ‚, existe uma contradição insanável nos axiomas O1, O2 e O3 (mais especificamente, O1 e O3): vimos na proposição C.10.i que O1 e O3 implicam que, para qualquer D − ‚‡ , deverá ser D # !; em particular, fazendo D œ " e D œ 3, será " Á ! Ê "# œ " ! Ê " − ‚ œ 3 Á ! Ê 3# œ " ! Ê " − ‚ Das implicações anteriores se conclui que " − ‚ e " − ‚ , o que contraria O1! Isto significa que nenhum subconjunto ‚ § ‚ de complexos “positivos” poderá satisfazer em simultâneo O1ß O2 e O3, o que nos permite concluir em definitivo que ‚ não é um corpo ordenado. Por esta razão, opta-se por não definir em ‚ qualquer relação de ordem. Em consequência, não fazem sentido expressões como " #3 $, #/31Î% " 3 ou " 3 Ÿ $. C.15 Equação do 2º grau Recordamos aqui a conhecida fórmula resolvente da equação do 2º grau. Sejam +ß ,ß - − ‚, em que + Á !, e consideremos a equação do 2º grau na sua forma canónica onde D − ‚ é a incógnita +D # ,D - œ !à + Á !
aC.138b
Multiplicando ambos os membros por %+, obtém-se %+# D # %+,D %+- œ ! Por sua vez, recorrendo à fórmula do binómio de Newton, a equação anterior pode escreverse na forma a#+D ,b# ,# %+- œ ! Ê a#+D ,b# œ ,# %+-
112
Números complexos [Apêndice C
A escrita anterior da equação mostra que tudo se resume a calcular as duas raízes quadradas (simétricas) de ,# %+-. Portanto, vem #+D , œ „ È,# %+donde Dœ
, „ È,# %+#+
aC.139b
Se D" e D# são as raízes obtidas anteriormente, tem-se +D # ,D - œ +aD D" baD D# b œ +D # +aD" D# bD +D" D# œ W œ
, +
Da igualdade anterior conclui-se que a soma W e o produto T das raízes é Ú Ý W œ D D œ , " # + Û ÝT œ D D œ " # Ü +
aC.140b
As fórmulas obtidas para W e T mostram que dois números complexos cuja soma e cujo produto são conhecidos (respectivamente W e T ) podem ser calculados como as soluções da equação do 2º grau D # WD T œ !
aC.141b
Analisemos os resultados para a equação do 2º grau e de coeficientes +ß ,ß - reais: o tipo de soluções obtidas neste caso depende do discriminante ? œ ,# %+-: ñ Se ,# %+- !, então existem duas soluções reais e distintas, dadas por aC.139b. ñ Se ,# %+- œ !, existe uma solução real dupla igual a ,Îa#+b. ñ Se for ,# %+- !, existem duas soluções complexas conjugadas:
È%+- ,# , „3 #+ #+
C.16 Equação do 3º grau. Fórmulas de Cardano Nesta secção, vamos abordar a resolução algébrica da equação do 3º grau, através das fórmulas de Cardano. Sejam +ß ,ß -ß . − ‚, onde + Á !, e considere-se a forma canónica da equação do 3º grau na incógnita D − ‚: +D $ ,D # -D . œ !à + Á !
aC.142b
Sec. C.16] Equação do 3º grau. Fórmulas de Cardano
113
Dividindo ambos os membros por + Á !, pode escrever-se D $ FD # GD H œ !
aC.143b
Ú F œ ,Î+ − ‚ Û G œ -Î+ − ‚ Ü H œ .Î+ − ‚
aC.144b
onde
Vamos, agora, eliminar o termo do 2º grau: para tal, façamos a mudança de variável D œB2
aC.145b
onde 2 − ‚ será calculado, por forma a conseguir aquele objectivo. Substituindo aC.145b em aC.143b, obtém-se B$ ðóñóò a$2 F b B# ˆ$2# #F2 G ‰B ˆ2$ F2# G2 H‰ œ !
aC.146b
!
Para eliminar o termo em B# , fazemos $2 F œ !, donde resulta 2œ
F −‚ $
A substituição deste valor de 2 em aC.145b e em aC.146b conduz a Ú F Ý Ý Ý ÝD œ B $ $G F # *FG #(H #F $ Û $ B $ B # œ! Ý Ý * &% ðóñóò ðóóóóóóóóñóóóóóóóóò Ý Ý Ü U V
aC.147b
Ú # Ý Ý U œ $G F − ‚ * Û *FG #(H #F $ Ý ÝV œ −‚ Ü &%
aC.148b
Fazendo, então,
obtém-se, por fim, a desejada equação em B − ‚, sem termo do 2º grau B$ $UB #V œ !
aC.149b
Bœ?@
aC.150b
Para resolver aC.149b, façamos
Após substituir esta expressão em aC.149b, obtém-se ˆ?$ @$ #V ‰ $a?@ Uba? @b œ !
114
Números complexos [Apêndice C
A igualdade anterior será satisfeita se ?$ @$ #V œ ! œ ?@ U œ! o que equivale a ?$ @$ œ #V œ ?@ œ U
aC.151b
Elevando ambos os membros da 2ª equação ao cubo, vem ?$ @$ œ #V œ ? $ @$ œ U$ Conhecemos, pois, a soma e o produto de ?$ e @$ : segundo aC.141b, estes números serão as raízes da seguinte equação do 2º grau em = − ‚ =# #V= U$ œ ! Segundo a fórmula resolvente aC.139b as raízes da equação anterior são =œ
#V „ È%V # %U$ œ V „ ÈV # U$ #
e, em consequência, ?$ e @$ serão dados por ? $ œ V È V # U$ œ V È ? @$ œ V ÈV # U$ œ V È?
aC.152b
Sejam a?5 b!Ÿ5Ÿ# e a@5 b!Ÿ5Ÿ# as raízes cúbicas de ?$ e @$ respectivamente. A 2ª equação aC.151b mostra que só 3 das 9 somas possíveis aB55 w œ ?5 @5 w b !Ÿ5Ÿ# são w soluções da equação aC.149b, visto que os @5 terão que ser da forma @5 œ
!Ÿ5 Ÿ#
U , se ?5 Á ! ?5
ou os ?5 terão que ser da forma ?5 œ
U , se @5 Á ! @5
e é óbvio que os ?5 são todos nulos sse ?$ œ ! e idênticamente para os @5 . Assim, temos o seguinte quadro de discussão das soluções da equação em função dos valores de ?$ e de @$ : Ú Ý @$ œ ! Ê @5 œ ! Ê B5 œ ?5 @5 œ ! Ê D5 œ FÎ$ Ý Ý ?$ œ ! Ê ? 5 œ ! $ @ Á ! Ê @5 Á ! Ê B5 œ ?5 @5 œ ! @5 œ @5 Ê D5 œ FÎ$ @5 Û Ý Ý Ý ?$ Á ! Ê ?5 Á ! Ê B5 œ ?5 @5 œ ?5 U Ê D5 œ FÎ$ ?5 U Ü ?5 ?5
É claro que conclusões semelhantes se podem tirar invertendo os papéis de ?$ e @$ .
Sec. C.16] Equação do 3º grau. Fórmulas de Cardano
115
Com base na discussão anterior, mostraremos adiante uma implementação de uma função chamada Cardano programada em MATHEMATICA© e que determina as soluções de uma equação do 3º grau, dada a lista dos coeficientes (por ordem decrescente do grau). Vamos, agora fazer a discussão da equação do 3º grau com coeficientes reais: se +ß ,ß -ß . − ‘, as igualdades aC.144b e aC.148b mostram que o mesmo sucede com Fß Gß H e com U e V . Por outro lado, as equações aC.152b mostram que ?$ e @$ serão reais ou complexos conjugados conforme for V # U$ ! ou V # U$ !. A quantidade ? œ V # U$ é chamada o discriminante da equação aC.149b e desempenha um papel importante na discussão das soluções da equação do 3º grau com coeficientes reais. Sejam então ?ß @ − ‚ raízes cúbicas particulares de ?$ e @$ respectivamente e tais que aC.151b tenha lugar ?@ œ U − ‘ È
Sendo A œ /3 $ œ "# 3 #$ uma raíz da unidade, a totalidade a?5 b!Ÿ5Ÿ# ß a@5 b!Ÿ5Ÿ# das raízes cúbicas de ?$ e @$ será dada em função de ?ß @ e A por, #1
Ú Ý ?! œ ?A! œ ? ?5 œ ?A5 Û ?" œ ?A Ý Ü ?# œ ?A#
Ú Ý @! œ @A! œ @ @5 œ @A5 Û @" œ @A Ý Ü @# œ @A#
Devido à 2ª equação aC.151b e como já vimos anteriormente, das 9 somas possíveis , só serão soluções de aC.149b aquelas para as quais os produtos ?5 @5 w aB55 w œ ?5 @5 w b !Ÿ5Ÿ# w !Ÿ5 Ÿ#
sejam iguais a ?@ œ U, o que nos conduz às equivalências seguintes: w
w
w
#ˆ55w ‰1 $
?5 @5 w œ ?@ Í ?A5 @A5 œ ?@A55 œ ?@ Í A55 œ /3 #a5 5 w b1 Í b œ #:1 Í b 5 5 w œ $: :−™ :−™ $
œ " œ /3!
Ora ! Ÿ 5 5 w Ÿ % e, portanto, os únicos pares a5ß 5 w b satisfazendo a condição 5 5 w œ $: são os seguintes três: ñ Para : œ !, o par a!ß !b; ñ Para : œ ", os pares a"ß #b e a#ß "b; Calculando agora os aB5 b!Ÿ5Ÿ# , de acordo com as combinações admissíveis anteriores, vem Ú Ý Ý B! œ ?! @! œ ? @ È$ È$ È$ # " " " Û B" œ ?" @# œ ?A @A œ ?ˆ # 3 # ‰ @ˆ # 3 # ‰ œ # a? @b 3 # a? @b Ý Ý È$ È$ È$ Ü B# œ ?# @" œ ?A# @A œ ?ˆ "# 3 # ‰ @ˆ #" 3 # ‰ œ #" a? @b 3 # a? @b
116
Números complexos [Apêndice C
Finalmente, as soluções aD5 b!Ÿ5Ÿ# da equação do 3º grau e coeficientes reais aC.142b serão, atendendo à primeira igualdade aC.147b: Ú F Ý Ý D! œ ? @ Ý Ý $ Ý Ý È$ F " Û D" œ a? @b 3 a? @b Ý $ # # Ý Ý Ý È Ý Ý D œ F " a? @b 3 $ a? @b # Ü $ # #
aC.153b
As fórmulas anteriores são as referidas fórmulas de Cardano, para a resolução da equação do 3º grau e coeficientes reais. Com base nelas, podemos fazer a discussão das soluções de aC.142b em função do discriminante ? œ V # U$ : ñ Caso ? !: Neste caso, aC.152b mostra que ?ß @ − ‘ e ? Á @. Então, aC.153b permite concluir que D! é
real e que D" e D# são complexas (não reais) conjugadas.
ñ Caso ? œ !: Neste caso, aC.152b mostra que ? œ @ − ‘. Portanto, em aC.153b, anulam-se as partes imaginárias de D" e D# , ficando D" œ D# − ‘. Como D! é também real, concluímos que todas as raízes são reais, sendo que duas, pelo menos, são iguais: Ú Ý Ý D! œ F #? $ Û Ý Ý D" œ D# œ F ? Ü $
aC.154b
Se for ainda V œ !, (como é V # U$ œ !, deverá ser também U œ !), as igualdades aC.152b
mostram que ter-se-á ? œ @ œ ! e então vem D! œ D" œ D# œ
F $
Existe, pois, uma só raíz real tripla e, nesta situação, o primeiro membro de aC.142b é um cubo perfeito.
ñ Caso ? !: Observemos, antes de mais, que nesta situação, deverá ser também U !, caso contrário seria ? œ V # U$ !. As equações aC.152b mostram que ?$ e @$ são complexos (não reais) conjugados (imaginários puros, se V œ !) e que a escolha @ œ ? − ‚ Ï ‘ é coerente com o pressuposto de que ?@ œ ?? œ k?k# œ U !. Então ? @ œ ? ? œ #da?b œ ? @ œ ? ? œ 3#e a?b
Sec. C.16] Equação do 3º grau. Fórmulas de Cardano
117
Substituindo ? @ e ? @ em aC.153b, obtêm-se três raízes reais distintas: Ú F Ý Ý D! œ # da?b Ý Ý $ Ý F Û D" œ da?b È$ e a?b Ý $ Ý Ý Ý F Ý D œ da?b È$ e a?b Ü # $
aC.155b
Este é precisamente o caso em que se obtêm 3 raízes reais, após se ter passado, ao longo do processo, pelos complexos não reais ? e @.
Exemplo C.20. Vejamos o exemplo, citado por Bombelli em 1572, da obtenção da solução B œ % da equação B$ "&B % œ ! através da seguinte expressão, usando o número “impossível” È"#" $ $ $ $ É # È"#" É# È"#" œ È # ""3 È # ""3 œ a# 3b a# 3b œ %
A equação tem já a forma aC.149b, donde se conclui que Ú Ý ÝF œ ! U œ & Û Vœ# Ý Ý Ü ? œ V # U$ œ ## a&b$ œ % "#& œ "#" Então, as equações aC.152b escrevem-se ?$ œ # È"#" @$ œ # È"#" Portanto, Ú
$ $ ?œÉ # È"#" œ È # ""3 œ # 3
Û $ $ # ""3 œ # 3 œ ? Ü @ œ É# È"#" œ È Observe a propósito que ?@ œ ?? œ k?k# œ & œ U. Como da?b œ # e e a?b œ ", as equações aC.155b dão finalmente: Ú Ý D! œ # da?b œ % Û D" œ da?b È$ e a?b œ # È$ Ý Ü D# œ da?b È$ e a?b œ # È$
118
Números complexos [Apêndice C
C.17 Anexos: complexos e o MATHEMATICA©
MATHEMATICA©
O software MATHEMATICA© dispõe de um razoável número de funções para manipulação de números complexos. Entre as referidas funções salientamos: ç I É a unidade imaginária. ç Re[z] Devolve a parte real do complexo z. ç Im[z] Devolve a parte imaginária do complexo z. ç Abs[z] Devolve o módulo de z. ç Arg[z] Calcula o argumento principal de z, no intervalo Ð1ß 1Ó. ç Conjugate[z] Devolve a conjugado de z. ç Exp[z] É a função exponencial complexa /D . ç Log[z] Devolve o logaritmo principal de z. ç ComplexExpand[expressão] Faz a expansão da expressão, supondo que as variáveis nela presentes são reais. Usámos ainda neste apêndice a função ListPlot que permite representar listas de pontos no plano e que pode ter as duas sintaxes seguintes ç ListPlot[{y" ,y# ,...,y8 }] Faz a representação geométrica dos pontos cujas ordenadas y5 constituem a lista dada e com abcissas "ß #ß á ß 8. ç ListPlot[{{x" ,y" },{x# ,y# },...,{x8 ,y8 }}] Faz a representação geométrica dos pontos cujas coordenadas {x5 ,y5 } formam a lista dada.
Sec. C.17] Anexos: complexos e o MATHEMATICA
119
Fizemos igualmente uso da função ParametricPlot: ç ParametricPlot[{{x" [t],y" [t]},...,{x8 [t],y8 [t]}},{t,tmin,tmax}] Faz a representação gráfica das linhas cujas equações paramétricas são {x5 [t],y5 [t]}, para valores do parâmetro t entre tmin e tmax. De seguida, apresentamos o código do package LinearAlgebra`Complexos`, onde se implementam as funções ExpRacional e Cardano: a primeira devolve a lista de todas as determinações da potência de expoente racional de um complexo e a segunda usa as fórmulas de Cardano para calcular as raízes de uma equação do 3º grau e coeficientes complexos (ou reais em particular). ç ExpRacional[z, m/n] 7
Devolve a lista dos valores de D 8 ; em particular, ExpRacional[z,1/n] devolve a lista das raízes de índice 8 de D . ç Cardano[{a,b,c,d}] Devolve a lista formada pelas raízes da equação +D $ ,D # -D . œ !, com + Á !.
120
Números complexos [Apêndice C
(*Package by Carlos Ribeiro, Março 2009*) (*Contexto : ALGA`Complexos`*) (*Versão : 3.7*) (*Versão do MATHEMATICA© : 7.0*) BeginPackage["ALGA`Complexos`"] ExpRacional::usage = "ExpRacional[z, m/n] devolve a lista de todas as \ determinações da potência de expoente racional m/n do complexo z." Cardano::usage = "Cardano[listacoefs] determina as soluções da equação do \ 3º grau, cujos coefs são os membros da lista listacoefs \ (por ordem decrescente do grau)." Begin["`Private`"] (*Mensagens de erro*) ExpRacional::indet = "Resultado indeterminado."; Cardano::comperro = "O número de coeficientes não é 4."; Cardano::zerocoef = "O coeficiente do termo do 3º grau não pode ser 0."; ExpRacional[z_, e_]:= Module[{m = Numerator[e], n = Denominator[e]}, If[Abs[z] != 0, ComplexExpand[Table[Abs[z]^e Exp[I e (Arg[z] + 2 k Pi)], {k, 0, n-1}]], Which[m == 0, message[ExpRacional::indet], m < 0, Infinity, True, {0} ] ] ] Cardano[coefs_List] := Module[{b, c, d, q, r, delta, s, u03, v03, v0, u0, u}, Which[Length[coefs] != 4, Message[Cardano::comperro], coefs[[1]] == 0, Message[Cardano::zerocoef], True, b = coefs[[2]]/coefs[[1]]; c = coefs[[3]]/coefs[[1]]; d = coefs[[4]]/coefs[[1]]; q = c/3 - b^2/9; r = b c/6 - d/2 - b^3/27; delta = r^2 + q^3; s = Table[-b/3,{3}]; u03 = r + Sqrt[delta]; If[u03==0, v03 = r - Sqrt[delta]; If[v03 == 0, s, v0 = v03^(1/3); s + Table[v0 Exp[I 2 k Pi/3], {k, -1, 1}] ], u0 = u03^(1/3); u = Table[u0 Exp[I 2 k Pi/3], {k, -1, 1}]; s + u - q/u ] ] ] End[] EndPackage[]
Sec. C.17] Anexos: complexos e o MATHEMATICA
121
Nas páginas seguintes, mostramos um notebook que ilustra o uso de todas as funções do MATHEMATICA© mencionadas neste apêndice e utilizadas na manipulação algébrica dos números complexos entre as quais: ContourPlot ParametricPlot ALGA`Complexos`
Números complexos [Apêndice C
122
Complexos C17.1 Generalidades sobre Complexos
Funções complexas pré-definidas
Definição de dois complexos
z = 3 − 4 I; w = 1 + I;
Extracção da parte real de z
Re@zD
3
Extracção da parte imaginária de z
Im@zD
−4
Módulos dos complexos anteriores
8Abs@zD, Abs@wD<
Sec. C.17] Anexos: complexos e o MATHEMATICA
:5,
2 >
Argumentos principais
8Arg@zD, Arg@wD<
4 π :−ArcTanB F, > 4 3
% êê N 8−0.927295, 0.785398<
Conjugados dos complexos z e w
8Conjugate@zD, Conjugate@wD< 83 + 4 , 1 − <
Adição e subtracção dos complexos z e w
8z + w, z − w< 84 − 3 , 2 − 5 <
A soma de z e do seu conjugado é igual ao dobro da parte real de z; a diferença é i vezes o dobro da parte imaginária
123
Números complexos [Apêndice C
124
8z + Conjugate@zD
2 Re@zD, z − Conjugate@zD
8True, True<
Multiplicação dos complexos z e w
zw
7−
Divisão dos complexos z e w
zêw
−
1
−
7
2
2
Lista das potências de z, com expoentes inteiros entre -2 e 2
Table@z ^ k, 8k, −2, 2
Quadrado do Módulo de z = Produto de z e do seu conjugado
Abs@zD ^ 2 == z Conjugate@zD
I 2 Im@zD<
Sec. C.17] Anexos: complexos e o MATHEMATICA
125
True
Exponencial complexa de z e de w
8Exp@zD, Exp@wD< 9
3−4
,
1+
=
ComplexExpand@%D
9
3
Cos@4D −
3
Cos@1D +
Sin@4D,
Sin@1D=
% êê N 8−13.1288 + 15.2008 , 1.46869 + 2.28736 <
Lista dos logaritmos principais de w*(1- )^k, para k entre -2 e 2
ComplexExpand@Table@Log@w H1 − IL ^ kD, 8k, −2, 2
% êê N 8−0.346574 + 2.35619 , 0. + 1.5708 , 0.346574 + 0.785398 , 0.693147, 1.03972 − 0.785398 <
Números complexos [Apêndice C
126
A potência de expoente irracional de um complexo
Geração da lista de 60 valores da potência de base 1 e expoente irracional
2
r = Table@Through@8Re, Im<@Exp@I ∗ Sqrt@2D ∗ 2 ∗ k ∗ PiDDD, 8k, −29, 30
2
4 Jx2 + H−1 + yL N, 2
2
Visualização das figuras anteriores, para k entre -4 e 4
ContourPlotBEvaluate@gD, :x, −
5 2
,
9 2
3
2
1
0
-1
-2 -2
-1
0
1
2
Remover todos os símbolos do contexto "Global`"
3
4
>, 8y, −2, 3<, PlotPoints → 100F
Números complexos [Apêndice C
130
Remove@"Global`∗"D
Função exponencial
Imagem da região a transformar (obtida desta como imagem pela função identidade)
ParametricPlot@8x, y<, 8x, −2, 2<, 8y, −Pi, Pi<, PlotStyle → NoneD
Imagem da região anterior por z # ez
Sec. C.17] Anexos: complexos e o MATHEMATICA
ParametricPlot@Through@8Re, Im<@Exp@x + I ∗ yDDD, 8x, −2, 2<, 8y, −Pi, Pi<, PlotRange → 88−HExp@2D + 0.05L, Exp@2D + 0.05<, 8−HExp@2D + 0.05L, Exp@2D + 0.05<<, PlotStyle → NoneD
Função logarítmica
Imagem da região a transformar (obtida desta como imagem pela função identidade)
ParametricPlot@8x, y<, 8x, −3, 3<, 8y, 0, 5<, PlotStyle → NoneD
131
Números complexos [Apêndice C
132
Imagem da região anterior por z # ln(z)
ParametricPlot@Through@8Re, Im<@Log@x + I ∗ yDDD, 8x, −3, 3<, 8y, 0, 5<, PlotRange → 88−1, 1.8<, 80, Pi<<, PlotStyle → NoneD
Sec. C.17] Anexos: complexos e o MATHEMATICA
Inversão geométrica
Imagem da região a transformar (obtida desta como imagem pela função identidade)
ParametricPlot@8x, y<, 8x, −5, 5<, 8y, −5, 5<, PlotStyle → NoneD
Imagem da região anterior por z #
1 ¯ z
ParametricPlot@Through@8Re, Im<@1 ê Hx + I ∗ yLDD, 8x, −5, 5<, 8y, −5, 5<, PlotRange → 88−2, 2<, 8−2, 2<<, PlotPoints → 100, PlotStyle → NoneD
133
Números complexos [Apêndice C
134
Rotação de π/6 e centro na origem
Imagem da região a transformar (obtida desta como imagem pela função identidade)
ParametricPlot@8x, y<, 8x, −5, 5<, 8y, −5, 5<, PlotStyle → NoneD
Sec. C.17] Anexos: complexos e o MATHEMATICA
135
π
Imagem da região anterior por z # e
6
z
ParametricPlot@Through@8Re, Im<@Exp@I ∗ Pi ê 6D ∗ Hx + I ∗ yLDD, 8x, −5, 5<, 8y, −5, 5<, PlotStyle → NoneD
Transformação homográfica
Definição da transformação e cálculo dos polos da transformação e da sua inversa
8a, b, c, d< = 81, I, 1, −2<; h@z_D := Ha z + bL ê Hc z + dL; 8−d ê c, a ê c<;
Imagem da região a transformar (obtida desta como imagem pela função identidade)
ParametricPlot@8x, y<, 8x, 0, 4<, 8y, −2, 2<, PlotStyle → NoneD
Números complexos [Apêndice C
136
Imagem da região anterior por z#
z+ z-2
ParametricPlot@Through@8Re, Im<@h@x + I ∗ yDDD, 8x, 0, 4<, 8y, −2, 2<, PlotRange → 88−10, 12<, 8−11, 11<<, PlotPoints → 50, PlotStyle → NoneD
Sec. C.17] Anexos: complexos e o MATHEMATICA
Imagem da região a transformar (obtida desta como imagem pela função identidade)
ParametricPlot@Through@8Re, Im<@r Exp@I θDDD, 8r, 0, 4<, 8θ, −Pi, Pi<, PlotRange → 88−4.1, 4.1<, 8−4.1, 4.1<<, PlotStyle → NoneD
Imagem da região anterior por z#
z+ z-2
ParametricPlot@Through@8Re, Im<@h@r Exp@I θDDDD, 8r, 0, 4<, 8θ, −Pi, Pi<, PlotRange → 88−3.5, 5.5<, 8−4.5, 4<<, PlotPoints → 76, PlotStyle → NoneD
137
Números complexos [Apêndice C
138
Remover todos os símbolos do contexto "Global`"
Remove@"Global`∗"D
Carta de Smith
Definição da lista de valores de r a representar
s = 80.0, 0.2, 0.5, 1.0, 2.0, 5.0, 10, 50.0<; n = 84, 3, 5, 5, 4, 3, 3<;
u@k_D := Table@s@@kDD + Hi − 1L Hs@@k + 1DD − s@@kDDL ê n@@kDD, 8i, n@@kDD
3
− 2
Raízes cúbicas de
ExpRacional@I, 1 ê 3D
:
+ 2
3
3
−
, 2
2
2
,− >
Raízes quintas de (1- )^5
ExpRacional@H1 − IL ^ 5, 1 ê 5D
: −
3π 2 CosB 20
F+
π 2 CosB 20
% êê N
F+
3π 2 SinB 20 π 2 SinB 20
F, F, −
π 2 CosB 20
F−
3π 2 CosB 20
F−
π 2 SinB 20
F,
3π 2 SinB 20
F, 1 − >
Números complexos [Apêndice C
148
81.26007 + 0.64204 , −0.221232 + 1.3968 , −1.3968 + 0.221232 , −0.64204 − 1.26007 , 1. − 1. <
Potências de expoente 3/5 e base
ExpRacional@I, 3 ê 5D
:
5
−
8 1
5
+
5
−
+
4
8
4
1
+
4
5 8
5
5
,− ,−
4
+
8
5
1 ,
1
+
5
+
,
4
8
5
−
4
8
5
−
5
−
4
8
+
5 8
4 >
Potências de expoente 3/5 e base -3+4
ExpRacional@−3 + 4 I, 3 ê 5D
:53ê5 CosB 53ê5 CosB
4 π − ArcTanB F F + 3
3 5
3 π − ArcTanB F F + 3
3
4
5 −53ê5 CosB
3 5
53ê5 CosB
3 5
53ê5 CosB
3 5
4 ArcTanB FF + 3
9 π − ArcTanB F F + 3
4 π − ArcTanB F F, 3
3 5
53ê5 SinB
3 5
53ê5 SinB
4 7 π − ArcTanB F F + 3 4
53ê5 SinB
3 5
4 3 π − ArcTanB F F, 3
4 ArcTanB FF, 3
53ê5 SinB
3 5
53ê5 SinB
3 5
4 7 π − ArcTanB F F, 3 4 9 π − ArcTanB F F> 3
% êê N 80.629989 + 2.54986 , 0.989095 − 2.43317 , −2.23038 + 1.3871 , 2.61973 + 0.188793 , −2.00844 − 1.69258 <
Instruções sobre o uso da função Cardano
Sec. C.17] Anexos: complexos e o MATHEMATICA
? Cardano
Cardano@listacoefsD determina as soluções da equação do 3º grau,
cujos coefs são os membros da lista listacoefs Hpor ordem decrescente do grauL.
Exemplo de Bombelli (3 raízes reais distintas)
Uso da função Cardano com a equação de Bombelli x3 -15 x-4 = 0
Cardano@81, 0, −15, −4
Aproximação das raízes anteriores, com 6 dígitos
% êê N 8−0.267949, 4., −3.73205<
Equação com coeficientes reais (3 raízes reais, sendo uma dupla)
Geração de um polinómio de coeficientes reais
Expand@Hz − 2L ^ 2 ∗ Hz + 3LD
12 − 8 z − z2 + z3
149
Números complexos [Apêndice C
150
Uso da função Cardano para determinação dos zeros do polinómio anterior
Cardano@81, −1, −8, 12
Verificação do resultado
ComplexExpand@% ^ 3D
8−8, −8, −8<
Equação com coeficientes reais arbitrários (1 raíz real e 2 complexas conjugadas)
Sec. C.17] Anexos: complexos e o MATHEMATICA
153
Definição da lista dos coeficientes reais de um polinómio
a = 81, −2, 3, 5<;
Uso da função Cardano para determinação dos zeros do polinómio anterior x3 −2 x2 +3 x+5
z = Cardano@aD
1ê3
:
23 3
7 2
+ −
173
+
54
3
π
2
−
π
2 3
5
−
3
, 1ê3
6 23
7
9 −
173 54
+
3
6
1ê3
2
5
−
+ − 1ê3
3 173 54
+
54
+
2 ,
6
−
5
−
3
6
π
2 3
1ê3
3 23
7
9 −
173 54
Aproximação das raízes, com 6 dígitos
z êê N 81.44728 − 1.86942 , −0.894558, 1.44728 + 1.86942 <
Verificação do resultado
[email protected]@z ^ k, 8k, 3, 0, −1
Números complexos [Apêndice C
154
80, 0, 0<
Remove@zD
Equação com coeficientes complexos
Geração de um polinómio de coeficientes complexos
Expand@Hz − H1 + ILL Hz − H2 − ILL Hz − H1 − ILLD H−4 + 2 L + H6 − 2 L z − H4 − L z2 + z3
Uso da função Cardano para determinação dos zeros do polinómio anterior
Cardano@81, −4 + I, 6 − 2 I, −4 + 2 I0,Produto[Potencia[u,n-1],u],Potencia[Inverso[u],-n]]] ] ] (* Implementação da função QuatToMatrixC *) QuatToMatrixC[u_?VectorQ]:= Module[{z=u[[1]]+u[[2]]*I,w=u[[3]]+u[[4]]*I}, If[Length[u]!=4, Message[QuatToMatrixC::size4], {{z,w},{-Conjugate[w],Conjugate[z]}} ] ] (* Implementação da função QuatToMatrixR *) QuatToMatrixR[u_?VectorQ]:= Module[{a=u[[1]],b=u[[2]],c=u[[3]],d=u[[4]]}, If[Length[u]!=4, Message[QuatToMatrixR::size4], {u,{-b,a,-d,c},{-c,d,a,-b},{-d,-c,b,a}} ] ] (* Implementação da função MatrixCToQuat *) MatrixCToQuat[m_?MatrixQ]:= Module[{z=m[[1,1]],w=m[[1,2]]}, If[Dimensions[m]!={2,2}, Message[MatrixCToQuat::dim2], If[m[[2,2]]!=Conjugate[z]||m[[2,1]]!=-Conjugate[w], Message[MatrixCToQuat::wrongmatrix], {Re[z],Im[z],Re[w],Im[w]} ] ] ] (* Implementação da função MatrixRToQuat *) MatrixRToQuat[m_?MatrixQ]:= Module[{}, If[Dimensions[m]!={4,4}, Message[MatrixRToQuat::dim4], m[[1]] ] ] (* Implementação da função Sinal *) Sinal[u_?VectorQ]:= Module[{}, If[Length[u]!=4, Message[Sinal::size4], If[u==Nulo,u,u/Norma[u]] ] ]
Sec. D.8] Anexos: quaterniões e o MATHEMATICA
53
(* Implementação da função Argumento *) Argumento[u_?VectorQ]:=If[u==Nulo, 0,ArcCos[u[[1]]/Norma[u]]]
(* Implementação da função QuatToTrig *) QuatToTrig[u_?VectorQ]:={Norma[u],Argumento[u],Sinal[VectorToQuat[VectorPart[u]]]}
(* Implementação da função TrigToQuat *) TrigToQuat[u_List]:= Module[{}, If[Length[u]!=3,Message[TrigToQuat::size3], If[Length[u[[3]]]!=4, Message[TrigToQuat::size4], u[[1]]*(RealToQuat[Cos[u[[2]]]]+Sin[u[[2]]]*u[[3]]) ] ] ]
(* Forma trigonométrica *) (* Implementação da função PotenciaMoivre *) PotenciaMoivre[u_?VectorQ,n_Integer]:= Module[{m,a,s}, If[Length[u]!=4, Message[PotenciaMoivre::size4], {m,a,s}=QuatToTrig[u]; TrigToQuat[{m^n,n*a,s}]//Simplify ] ]
(* Implementação da função Raiz *) Raiz[u_?VectorQ,n_Integer,e_]:= Module[{m,),s,kmax}, If[Length[u]!=4, Message[Raiz::size4], If[n<=0,Message[Raiz::errindex], If[u==Nulo||n==1, {u}, m=Norma[u]; )=ArcCos[ScalarPart[u]/m]; If[VectorPart[u]=={0,0,0}, s=VectorToQuat[Array[e,3]]; If[OddQ[n],kmax=(n-1)/2,If[ScalarPart[u]>0,kmax=n/2,kmax=n/2-1]], s=Sinal[ImagPart[u]]; kmax=n-1 ]; Table[TrigToQuat[{m^(1/n),()+2*k*Pi)/n,s}]//Simplify,{k,0,kmax}] ] ] ] ]
54
Quaterniões e rotações 3D [Apêndice D (* Rotações 3D *) (* Implementação da função RotRodrigues *) RotRodrigues[x_?VectorQ,v_?VectorQ,)_]:= Module[{e}, If[Length[x]!=3||Length[v]!=3, Message[RotRodrigues::size3], If[v=={0,0,0}, Message[RotRodrigues::eixonulo], e=Normalize[v]; Cos[)]*x+Sin[)]*Cross[e,x]+(1-Cos[)])*(e.x)*e ] ] ]
(* Implementação da função RotQuaterniao *) RotQuaterniao[x_?VectorQ,v_?VectorQ,\[Theta]_]:= Module[{e,u}, If[Length[x]!=3||Length[v]!=3, Message[RotQuaterniao::size3], If[v=={0,0,0}, Message[RotQuaterniao::eixonulo], e=Normalize[v]; u=RealToQuat[Cos[\[Theta]/2]]+VectorToQuat[Sin[\[Theta]/2]*e]; VectorPart[Produto[Produto[u,VectorToQuat[x]],Conjugado[u]]]//N ] ] ]
(* Implementação da função MatrizRotacao *) MatrizRotacao[v_?VectorQ,)_]:=Transpose[{RotRodrigues[{1,0,0},v,)],\ RotRodrigues[{0,1,0},v,)],RotRodrigues[{0,0,1},v,)]}]//Simplify End[] EndPackage[]
O package ALGA`Quaternioes` deverá ser previamente carregado por meio de um dos comandos < 10 7 5
1 1 30 ∞ 0
0.1
0.01
0 0
1.1
0.1
0 1
0.99
0.9
CENTER 1
1.1
4
1.1
1.2
1.3 1.4
0.2
0.4
0.6 0.8
1.2
1.3 0.95
1.4
1.5
0.9
<— TOWARD GENERATOR 2 1
3 1.6 1
1.8 1.5
2 2
1.6 1.7 1.8 1.9 2 0.8
0.7
3
4
3
4
5 5
2.5 0.6
0.5
3 0.4
10
4 0.3
20
∞
10 15∞
6
0.2
10 ∞
5 0.1
SM
∞ 40 30
10
AN
R BS B] , P r I o d SW d S [ FF , E S E O O FF . L L. C OE TN RF . C FL R R
20
0.2
2
0.2
0
-4
4
0.2
1 -30
0.3
0.
0.2
6 0.4 4 0.0 0 -15 -80
0.2
-20
-85
8
0.
-10
0.48
0.6
∞10040
1
2
0.2
1.
0 1.
80
0.3
9
0.8
0.2
RE AC TA 75 NC EC OM PO NE NT
0.4
5
0.0
4
0.
4
0.
30
0.2
1
6
3
0.2
0.0
) /Yo (+jB
0.2 30
0.4
7
0.3
60
0.2
85
0.1
35
0.3
0.0 —> WAVELE 0.49 NGTHS TOW ARD 0.0 D <— 0.49 A O GEN L D WAR ERA O T 0.48 7 ± 180 HS TO T 0.4 G 17 R— 0 -170 EN L E > 0.4 AV 7 W 160 0 <— 6 -90 90 -1
4
40
R O ),
VE TI CI PA A C
6
0.3
2. 0
0
13
CE AN PT CE S SU
0.1
70
40
19 0. 31 0.
5 65 0.
43
0.
0.15 0.35
80
1.6
07
0.
0.6 60
0 12
0.14 0.36
90
1.4
2
0.37
0.7
0
0.4
0.13
0.38
0.9
110
1 0.4
0.12
100
0.4
9
0.0
.08
0.39
1.2
0.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
