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claudio adriano vieira
base e tranformação linear
Trabalho de graduação apresentado à
disciplina de Álgebra linear – do curso
de Matemática da UFPR.
Turma: C
Professor (a): Eduardo Outeiral Correa
Hoefel
Curitiba
outubro de 2007
Problema 1. Defina o conceito de base de uma espaço vetorial.
O subconjunto BE, será uma base do espaço vetorial E se B for
L.I. e B gerar E. Ou seja, quando qualquer vetor uE puder ser escrito
como combinação linear dos elementos da base, e quando os elementos da base
não forem combinações lineares um do outro.
Problema 2. Defina o conceito de transformação linear entre espaços
vetoriais.
Transformação linear é uma função cujo domínio está em um espaço
linear e cujos resultados estão em outro espaço linear. Considerando A o
espaço do domínio e B o espaço dos valores, temos a representação simbólica
de uma transformação T:
A transformação T para ser linear tem que satisfazer as seguintes
propriedades:
Problema 3. Encontre uma base para cada um dos espaços abaixo e determine
sua dimensão. Prove que o conjunto dado como resposta é realmente uma base
do espaço.
a) E = ;
Uma base para é a base canônica;
B = {,, ... ,}
com;
= (1,0,...,0), = (0,1,...,0), ... , = (0,0,...,1)
O subconjunto BE, será uma base do espaço vetorial E, se B gera E e B
for L.I.
Primeiro vamos provar que B gera E:
Para B gerar E, qualquer vetor uE será combinação linear dos vetores
da base.
Logo;
Sendo u = (,,...,)
(,,...,) = + + ... +
(,,...,) = (1,0,...,0) + (0,1,...,0) + ... +
(0,0,...,1)
(,,...,) = (,0,...,0) + (0,,...,0) + ... +
(0,0,...,)
logo;
(,,...,) = (,,...,)
Portanto B gera E.
Vamos provar que B é L.I.
+ + ... + =
(1,0,...,0) + (0,1,...,0) + ... +(0,0,...,1) =
(,0,...,0) + (0,,...,0) + ... + (0,0,...,) =
(,,...,) =
Temos então que;
= = ... = = 0
logo B é L.I.
Portanto B é base para o espaço E, e a dimensão de E é n.
b) F = {polinômios pares de grau 10};
Uma base para o espaço F é;
B = {}
Provando que B é base de F.
B tem que gerar F;
De fato;
Sendo uF;
u = ()
=
logo;
, , , , e
Portanto B gera F.
B tem que ser L.I;
Fazendo;
=
logo;
Portanto B é L.I.
Com isto B é base para F e a dimensão de F é 6.
c) G = {polinômios impares de grau 10};
Uma base para G é;
B = {}
Provando que B é base de G.
B tem que gerar G;
De fato;
Sendo uG;
u = ()
=
logo;
, , , e
portanto B gera G.
B tem que ser L.I.;
De fato;
Fazendo;
=
logo;
Portanto B é L.I.
Com isto provamos que B é uma base para G e a dimensão de G é 5.
d) H = {}
Fazendo;
Vamos provar que B é uma base de H.
Para o subconjunto , ser uma base, é necessário que B gere h e B
seja L.I.
Primeiro vamos mostrar que B gera H.
Sendo o vetor .
Para B gerar H, A terá que ser combinação linear de todos os vetores da
base.
De fato;
A=
Logo;
Portanto B gera H.
Agora vamos mostrar que B é L.I.
De fato;
Sendo;
o vetor nulo.
Temos;
logo temos que
Portanto B é L.I.
Logo B é uma base para o espaço H. A dimensão de H será igual ao numero
de elementos da base, portanto DimH=12.
e) J = {matrizes 4x4 cuja segunda linha é igual à terceira coluna};
Fazendo;
Vamos mostrar que B gera E;
Seja ;
Fazendo;
Logo;
Portanto B gera J.
Agora vamos mostrar que B é L.I.
Sendo;
o vetor nulo.
Fazendo;
Logo;
Portanto B é L.I.
Logo B é uma base para J e a dimensão de J é igual ao numero de elementos
da base;
DimJ=12
OBS: Os espaços vetoriais H e J são isomorfos, pois possuem a mesma
dimensão.
Problema 4. Encontre uma expressão para a transformação linear em cada um
dos casos abaixo:
i) leva a base canônica de nos vetores (0,1), (1,2), (2,3) e
(3,0).
Sendo B a base canônica de :
B= {(1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1)}
Aplicando uma transformação linear em cada vetor da base, temos os vetores
(0,1), (1,2), (2,3) e (3,0).
Ou seja;
T(1,0,0,0) = (0,1)
T(0,1,0,0) = (1,2)
T(0,0,1,0) = (2,3)
T(0,0,0,1) = (3,0)
Como qualquer vetor pertencente ao espaço vetorial pode ser escrito
como combinação linear dos elementos da base, temos que;
T(x,y,z,t) = T{x(1,0,0,0) + y(0,1,0,0) + z(0,0,1,0) + t(0,0,0,1)}
Aplicando as propriedades da transformação linear;
T(x,y,z,t) = T[x(1,0,0,0)] + T[y(0,1,0,0)] + T[z(0,0,1,0)] + T[t(0,0,0,1)]
T(x,y,z,t) = xT(1,0,0,0) + yT(0,1,0,0) + zT(0,0,1,0) + tT(0,0,0,1)
Substituindo as transformações da base;
T(x,y,z,t) = x(0,1) + y(1,2) + z(2,3) + t(3,0)
T(x,y,z,t) = (0,x) + (y,2y) + (2z,3z) + (3t,0)
Fazendo a soma dos vetores;
T(x,y,z,t) = (y + 2z + 3t, x + 2y + 3z)
Portanto a transformação linear que leva os vetores da base canônica de
nos vetores (0,1), (1,2), (2,3) e (3,0) é;
T(x,y,z,t) = (y + 2z + 3t, x + 2y + 3z).
ii)tendo como núcleo o plano e como imagem a reta .
Tendo que,
e N(T)
e Im(T)
e que u, v e w são L.I.
Logo;
T(3,0,-1) = (0,0,0)
T(-2,1,0) = (0,0,0)
T(1,1,1) = (1,1,1)
Vamos encontrar a transformação na base canônica de . Para isto vamos
escrever a base canônica em função de u,v e w.
Temos então o sistema;
Logo;
, e
Temos então;
Aplicando as propriedades da transformação linear;
Substituindo as transformações;
Somando os vetores temos que;
Temos então o sistema;
Logo;
, e
Temos então;
Aplicando as propriedades da transformação linear;
Substituindo as transformações;
Somando os vetores temos que;
Temos então o sistema;
Logo;
, e
Temos então;
Aplicando as propriedades da transformação linear;
Substituindo as transformações;
Somando os vetores temos que;
Como;
Temos;
Logo concluímos que;
iii) leva os vetores (1,-2) e (-2,1) nos vetores (1,3) e (2,4).
Temos que;
Encontrando a transformação dos vetores da base canônica de .
Temos então o sistema;
Logo;
e
Temos então;
Temos então o sistema;
Logo;
e
Temos então;
Como;
Temos então;
Somando os vetores concluímos que;
Problema 5. Encontre a matriz, em relação à base canônica de , da
transformação linear que leva a base {(1,0,0), (1,2,0), (1,2,3)} na
base {(1,2,1), (2,1,2), (2,2,1)}.
A transformação linear que leva os vetores (1,0,0), (1,2,0), (1,2,3) nos
vetores (1,2,1), (2,1,2), (2,2,1) é;
Aplicando a transformação nos vetores da base canônica;
Escrevendo em função dos vetores da base canônica;
Logo;
Portanto a matriz em relação à base canônica é;
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