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´ II Lista de Algebra Abstrata II Divisibilidade Quest˜ ao 1 Sejam a, b inteiros n˜ao nulos. Mostre que: a) a|a e a| − a b) a|0 c) Se a|b e b|c ent˜ao a|c d) Se a|c e b|d ent˜ao ab|cd Quest˜ ao 2 Mostre que a|b e b|a ⇒ a = b Quest˜ ao 3 Com quantos zeros termina o n´ umero 1000!? (Hefez, p. 34) Quest˜ ao 4 Prove por indu¸c˜ao que para todo natural n vale: a) 9|10n − 1 b) 8|32n − 1 c) Mostre que 6|n(n + 1)(2n + 1) para todo n ∈ N
Algoritmo da Divis˜ ao Quest˜ ao 5 Usando a divis˜ao euclidiana, mostre que todo n´ umero inteiro ´e da forma 2n ou 2n + 1, com n ∈ Z. Argumente, analogamente, que todo inteiro ´ımpar se escreve como 4n + 1 ou como 4n + 3. Quest˜ ao 6 Ache q e r na divis˜ao euclidiana quando: a) D = 25, d = 7. b) D = −25, d = 7. c) D = 25, d = −7. d) D = −25, d = −7. e) D = 8, d = 10. f ) D = −8, d = 10. g) D = 8, d = −10. h) D = −8, d = −10. Quest˜ ao 7 a) Mostre que a ´e par se e somente se a2 ´e par b) Prove que a ´e ´ımpar se e somente se a2 ´ımpar. c) Se a2 ´e divis´ıvel por 3, ent˜ao a ´e divis´ıvel por 3. d) Se n n˜ ao ´e divis´ıvel por 3 ent˜ao n2 deixa resto 1 na divis˜ ao por 3. e) Se n ´e ´ımpar ent˜ao n2 − 1 ´e divis´ıvel por 8 1
Quest˜ ao 8 Mostre que a) A soma de dois n´ umeros pares ´e par. b) A soma de dois n´ umeros ´ımpares ´e par. c) A soma de um n´ umero ´ımpar com um n´ umero par ´e impar. d) O produto de dos n´ umeros ´e par se e somente se um deles ´e par. e) O produto de dois n´ umeros ´ımpares ´e ´ımpar. f ) Dados dois n´ umeros consecutivos, um deles ´e par. g) Para quaisquer a e b inteiros, a2 ± b2 s˜ ao pares. h) Se a e b s˜ao ´ımpares ent˜ao a2 ± b2 s˜ ao pares. Quest˜ ao 9 Quantos m´ ultiplos de 9 existem entre 1 e 1000? Quantos existem cuja divis˜ ao por nove ´e 1? E resto 2? Quest˜ ao 10 Seja n um n´ umero natural. Prove que n2 nunca deixa resto 2 na divis˜ ao por 6. Quest˜ ao 11 O resto da divis˜ao de um inteiro n por 20 ´e 8. Qual ´e o resto da divis˜ ao de n por 20 ? Quest˜ ao 12 Ache o menor m´ ultiplo de 5 que deixa resto 2 quando dividido por 3 e por 4. Quest˜ ao 13 Prove que se n ´e um inteiro ´ımpar ent˜ ao a soma de n termos consecutivos de uma p.a ´e divis´ıvel por n. Sugest˜ oes. 1) Use a defini¸c˜ao de divisibilidade. 2) Escreva a defini¸c˜ao de a|b e de b|a, isto ´e b = a · k e a = b · m em que k, m ∈ Z, substitua uma das equa¸c˜oes na outra e tire suas conclus˜oes. 3) Conte os m´ ultiplos de 10 entre 0 e 1000 atrav´es da P.A. dos m´ ultiplos de 10, pois cada m´ ultiplo ir´a determinar um zero terminal em 1000! pois 1000! = 1000 · 999 · 998 · ... · 2 · 1 4) Use o roteiro de demonstra¸c˜ao por indu¸c˜ao. 5) Observe os restos da divis˜ao por 2 e por 4. 6) Procure pelos m´ ultiplos convenientes de d que est˜ao pr´oximos de D. 7) a) (⇒) Se a ´e par ent˜ao a = 2k para algum k inteiro. Veja o que acontece com a2 . (⇐) Suponha por absurdo que a ´e ´ımpar e veja o que acontece com a2 para obter uma contradi¸c˜ao. b) Inspire-se o item a). c) Suponha por absurdo, que a n˜ao ´e divis´ıvel por 3 ent˜ao a tem resto 1 ou 2. Veja o que ocorre com a2 para obter uma contradi¸c˜ao. d) Se n n˜ao ´e divis´ıvel por 3, o mesmo deixa resto 1 ou 2. Calcule n2 para concluir a demonstra¸c˜ao. e) Utilizando-se o racioc´ınio da Quest˜ao 5, todo inteiro ´ımpar n se escreve como n = 8k + r sendo r = 1, 3, 5, 7. Calcule n2 e conclua (Lembre-se que 9=8+1, 25=24+1, 49=48+1). 2
8) Fa¸ca m = 2k e n = 2k + 1 para pares e ´ımpares, respectivamente. Calcule o que se pede e conclua. 9) Observe que os inteiros com resto r na divis˜ao por 9 est˜ao em p.a. Use a formula do termo geral de cada p.a. para calcular as quantidades desejadas. 10) Escreva n = 6k + r, calcule n2 e conclua. 11) Temos que n = 20q + 8 = 5 · 4q + 8 e 8 = 5r + 3. 12) Observe que queremos um inteiro da forma 5k tal que 5k = 3p + 2 e 5k = 4q + 2. Ent˜ao 3p = 4q. Logo, encontre p e q m´ınimos, tal que a equa¸c˜ao 3p = 4q seja verdadeira. 13) Use a f´ormula da soma dos n primeiros termos de uma p.a.
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