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Algebra Fund. Web

Ciclo Basico

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Notas de Aulas ´ Introdu¸ca˜o a` Algebra Profa Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Prof. Frederico Sercio Feitosa (colaborador) 2009 ii i ´ Introdu¸ca˜o a` Algebra (MAT128) Introdu¸ca˜o a` Teoria dos N´umeros (MAT143) 1. Ementa (a) Os Princ´ıpios de Indu¸c˜ ao Matem´atica e da Boa Ordena¸c˜ao (b) Divisibilidade (c) N´ umeros Primos e o Teorema Fundamental da Aritm´etica (d) Equa¸c˜ oes Diofantinas Lineares (e) Congruˆencias (f) Sistema de Congruˆencias Lineares (g) Criptografia B´ asica (MAT128) 2. Bibliografia ´ (a) Fernandes, A. M. V. et al. Fundamentos de Algebra. Belo Horizonte: UFMG, 2005. (b) Coutinho, S. C. N´ umeros Inteiros e Criptografia RSA. S´erie de Computa¸c˜ao e Matem´ atica. Rio de Janeiro: IMPA, 1997. ´ (c) Hefez, A. Curso de Algebra. Vol. 1. Cole¸c˜ao Matem´atica Universit´aria. Rio de Janeiro: IMPA, 1993. (d) Elementos de Aritm´etica. Cole¸c˜ao Textos Universit´arios. Rio de Janeiro: SBM, 2005. (e) Alencar Filho, E. Teoria Elementar dos N´ umeros. S˜ao Paulo: Nobel, 1985. (f) Milies, F. C. P. N´ umeros: Uma Introdu¸c˜ ao ` a Matem´ atica. S˜ao Paulo: EDUSP, 2003. (g) Rosen, K. H. Elementary Number Theory and its Applications. New York: Addison-Wesley, 1984. (h) Koblitz, N. A Cource in Number Theory and Cryptography. New York: Springer-Verlag, 1987. 3. Hor´ario de Atendimento 4. Provas ´Indice 1 Os 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Princ´ıpios de Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e da Boa Ordena¸ c˜ ao Introdu¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dedu¸c˜ ao e Indu¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Princ´ıpio de Indu¸c˜ ao Matem´ atica - PIM - 1a forma . . . . . . . Princ´ıpio de Indu¸c˜ ao Matem´ atica - PIM - 2a forma . . . . . . . Princ´ıpio da Boa Ordena¸c˜ ao (PBO) . . . . . . . . . . . . . . . Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 2 5 7 9 2 Divisibilidade 2.1 Rela¸c˜ ao de divisibilidade em Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Conjunto dos divisores de um inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Divisores comuns de dois inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Algoritmo da Divis˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Representa¸c˜ ao de um n´ umero em uma base qualquer . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Alguns crit´erios de divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 M´aximo Divisor Comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 M´ aximo divisor comum de dois inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Inteiros primos entre si . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.3 Caracteriza¸c˜ ao do m´ aximo divisor comum de dois inteiros . . . . . . . . . 2.7.4 M´ aximo divisor comum de v´arios inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.6 Algoritmo de Euclides (m´etodo para encontrar o m´aximo divisor comum) 2.7.7 Algoritmo euclidiano estendido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 M´ınimo m´ ultiplo comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.1 M´ ultiplos comuns de dois inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.2 M´ınimo m´ ultiplo comum de dois inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.3 Rela¸c˜ ao entre mdc e mmc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11 13 13 14 14 15 16 18 18 19 19 19 21 22 23 23 24 26 28 28 29 29 30 3 N´ umeros primos e o Teorema Fundamental da Aritm´ etica 3.1 N´ umeros primos e compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Crivo de Erat´ osthenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Teorema Fundamental da Aritm´etica . . . . . . . . . . . . . . 3.4 A procura de n´ umeros primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 32 33 36 37 37 ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´INDICE iii 4 Equa¸ c˜ oes Diofantinas Lineares 4.1 Generalidades . . . . . . . . . . . . . 4.2 Condi¸c˜ ao de existˆencia de solu¸ca˜o . . 4.3 Solu¸c˜ oes da equa¸c˜ ao diofantina linear 4.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ax + by = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Congruˆ encias 5.1 Inteiros congruentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Caracteriza¸c˜ ao de inteiros congruentes . . . . . . . . . . . . 5.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Sistema completo de restos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Classes residuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.1 Revis˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.2 Defini¸c˜ ao e propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.3 O conjunto das classes residuais . . . . . . . . . . . . 5.6.4 Adi¸c˜ ao e Multiplica¸c˜ ao em Zm . . . . . . . . . . . . 5.6.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Congruˆencias lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7.1 Defini¸c˜ ao e condi¸c˜ ao de existˆencia . . . . . . . . . . 5.7.2 Solu¸c˜ oes da congruˆencia linear ax ≡ b (mod m) . . . 5.8 Resolu¸c˜ ao de equa¸c˜ oes diofantinas lineares por congruˆencia 5.9 Inverso de um inteiro m´ odulo m . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10 Teoremas de Fermat e de Wilson . . . . . . . . . . . . . . . 5.11 Crit´erios de divisibilidade usando congruˆencias . . . . . . . 5.12 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.13 A fun¸c˜ ao ϕ de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.14 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Sistemas de congruˆ encias lineares 6.1 Introdu¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . 6.2 Teorema Chinˆes do Resto . . . . 6.3 Representa¸c˜ ao Gr´ afica (tabela) . 6.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 39 39 40 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 42 43 43 45 46 47 47 47 48 49 51 51 51 52 53 53 54 55 56 57 59 . . . . 60 60 61 62 64 Cap´ıtulo 1 Os Princ´ıpios de Indu¸ c˜ ao Matem´ atica e da Boa Ordena¸ c˜ ao 1.1 Introdu¸ c˜ ao Em 1742, o matem´ atico Christian Goldbach afirmou que todo inteiro par maior que 4 pode ser escrito como a soma de dois primos ´ımpares. Certamente Goldbach intuiu este resultado depois de observar que ele era verdadeiro para alguns n´ umeros, como por exemplo, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5, etc. J´ a foi erificada esta afirmativa para todo inteiro par entre 6 e 108 , entretanto n˜ao podemos consider´a-la verdadeira a partir deste fato j´ a que 108 ´e um n´ umero insignificante comparado com a ”maior parte”dos inteiros. Muitos matem´ aticos tˆem procurado demonstrar ou refutar esta conjectura, mas nada foi conseguido at´e hoje. Em uma teoria matem´ atica, muitas vezes, resultados s˜ao enunciados a partir de considera¸c˜ oes de casos particulares, como por exemplo acima, mas eles s´o s˜ao tidos como verdadeiros se puderem ser demonstrados, isto ´e, deduzidos de proposi¸c˜oes que n˜ao s˜ao demonstradas e nos quais est´a fundamentada a teoria. Trataremos aqui dos n´ umeros naturais, N = {1, 2, 3, ...}, a partir de um dos postulados que os caracterizam, a saber, o Princ´ıpio de Indu¸c˜ao Matem´atica. Veremos como utiliz´a-lo na demonstra¸c˜ ao de afirma¸c˜oes a respeito dos n´ umeros naturais, como por exemplo, o Princ´ıpio da Boa Ordena¸c˜ao. 1.2 Dedu¸ c˜ ao e Indu¸ c˜ ao Consideremos os seguintes exemplos: Exemplo 1.1 (1) Todo mineiro ´e brasileiro. (2) Paulo ´e mineiro. (3) Logo, Paulo ´e brasileiro. Exemplo 1.2 (1) O trinˆ omio n2 + n + 41 ´e um n´ umero primo para n = 1 ou n = 2. (2) Logo, para todo n ∈ N, o trinˆ omio n2 + n + 41 ´e um n´ umero primo. No exemplo 1.1, a afirma¸c˜ ao (1) ´e geral e com o aux´ılio da afirma¸c˜ao particular (2) obtemos a afirma¸c˜ ao particular (3). No exemplo 1.2, a afirma¸c˜ ao (1) ´e particular e estamos tentando generaliz´a-la atrav´es da afirma¸c˜ ao (2). 1 ˜ MATEMATICA ´ ˜ CAP´ITULO 1. OS PRINC´IPIOS DE INDUC ¸ AO E DA BOA ORDENAC ¸ AO 2 ˜ (exemplo Defini¸ c˜ ao 1.1 A passagem de uma afirma¸c˜ ao geral para uma particular ´e chamada DEDUC ¸ AO 1.1). A tentativa de generaliza¸c˜ ao de uma afirma¸c˜ ao particular, isto ´e, a passagem de uma afirma¸c˜ ao ˜ (exemplo 1.2). particular para uma geral, ´e chamada INDUC ¸ AO Observa¸ c˜ ao 1.1 Note que a conclus˜ ao do exemplo 1.2 ´e falsa (fa¸ca n = 40, por exemplo). Temos ent˜ ao a seguinte quest˜ ao que ser´ a resolvida aqui: Como poder´ıamos usar indu¸c˜ ao em matem´ atica de forma a obter somente conclus˜ oes verdadeiras ? 1.3 Princ´ıpio de Indu¸ c˜ ao Matem´ atica - PIM - 1a forma Suponhamos que para cada natural n se tenha uma afirmativa P (n) que satisfa¸ca `as seguintes propriedades: (i) P (1) ´e verdadeira; (ii) Sempre que a afirmativa ´e v´ alida para um n´ umero natural arbitr´ario n = k, ela ´e v´alida para seu sucessor n = k + 1 (isto ´e, P (k) verdadeira implica P (k + 1) verdadeira). Ent˜ao, P (n) ´e verdadeira para todo natural n > 1. Observa¸ c˜ ao 1.2 Uma prova baseada no PIM ´e chamada uma prova pelo m´etodo da indu¸c˜ ao matem´ atica. Tal prova deve consistir da demonstra¸c˜ ao de dois fatos independentes: Fato 1 a afirma¸c˜ ao ´e v´ alida para n = 1. Fato 2 a afirma¸c˜ ao ´e v´ alida para n = k + 1 se ela ´e v´ alida para n = k, onde k ´e um n´ umero natural arbitr´ ario. Se ambos estes fatos s˜ ao provados ent˜ ao, com base no PIM, a afirma¸c˜ ao ´e v´ alida para todo n´ umero natural n. Observa¸ c˜ ao 1.3 Note que o fato 2 cont´em uma implica¸c˜ ao, portanto possui uma hip´ otese (P (k) ´e verdadeira) e uma tese (P (k + 1) ´e verdadeira). Provar o fato 2 significa provar que a hip´ otese acarreta a tese. A hip´ otese do fato 2 ´e chamada Hip´ otese de Indu¸c˜ ao (HI). Exemplo 1.3 Calcular a soma Sn = 1 1 1 1 + + + ... + . 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) Temos que: S1 = S2 = S3 = 1 , 2 1 + 2 1 + 2 1 2 = , 6 3 1 1 3 + = , etc. 6 12 4 Usando o m´etodo de indu¸c˜ ao matem´ atica tentaremos provar que Sn = Fato 1: Para n = 1 a afirma¸c˜ ao ´e verdadeira pois S1 = 1 1 = . 2 1+1 n , para todo natural n > 1. n+1 ˜ MATEMATICA ´ ˜ CAP´ITULO 1. OS PRINC´IPIOS DE INDUC ¸ AO E DA BOA ORDENAC ¸ AO 3 1 1 1 Fato 2: Suponhamos que a afirma¸c˜ ao seja verdadeira para n = k, isto ´e, Sk = + + + 1.2 2.3 3.4 1 k ... + = e vamos provar que a afirma¸c˜ ao ´e verdadeira para n = k + 1, ou seja, Sk+1 = k(k + 1) k+1 k+1 k+1 = . k+1+1 k+2 De fato, Sk+1 = = HI = = = = 1 1 1 1 1 + + + ... + + 1.2 2.3 3.4 k(k + 1) (k + 1)(k + 2) 1 Sk + (k + 1)(k + 2) k 1 + k + 1 (k + 1)(k + 2) k 2 + 2k + 1 (k + 1)(k + 2) (k + 1)2 (k + 1)(k + 2) k+1 k+2 Portanto, com base no PIM, podemos afirmar que Sn = n , para todo natural n > 1. n+1 Exemplo 1.4 Vimos, pelo exemplo 1.2, como uma atitude negligente para com o fato 2 pode nos levar a resultados falsos. O exemplo seguinte mostra que t˜ ao pouco podemos omitir o fato 1. 1 Seja Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n e consideremos a conjectura Sn = (2n + 1)2 . 8 1 Fato 2: Supponhamos a afirmativa v´ alida paraq n = k, isto ´e, Sk = (2k + 1)2 . 8 Assim temos: Sk+1 = 1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = Sk + (k + 1) 1 (2k + 1)2 + (k + 1) 8 1 (4k 2 + 4k + 1) + (k + 1) 8 1 (4k 2 + 12k + 9) 8 1 (2(k + 1) + 1)2 8 HI = = = = Logo, o fato 2 se verifica. Entretanto, ´e f´ acil ver que esta conjectura n˜ ao ´e verdadeira para todo n´ umero natural n. 1 De fato, S1 = 1 6= (2 + 1)2 . 8 Observa¸ c˜ ao 1.4 O fato 1 cria a base para se fazer a indu¸c˜ ao. O fato 2 nos d´ a o direito de passar de um n´ umero natural para o seu sucessor (de k para k + 1), ou seja, o direito de uma extens˜ ao ilimitada desta base. Se o fato 1 n˜ ao foi provado mas o fato 2 sim, ent˜ ao a base para se iniciar a indu¸c˜ ao n˜ ao foi criada e n˜ ao faz sentido aplicar o fato 2, j´ a que n˜ ao existe nada para ser estendido. Se o fato 2 n˜ ao foi provado mas o fato 1 sim, ent˜ ao temos a base para se come¸car a indu¸c˜ ao, mas n˜ ao temos argumentos que nos possibilitem estendˆe-la. ˜ MATEMATICA ´ ˜ CAP´ITULO 1. OS PRINC´IPIOS DE INDUC ¸ AO E DA BOA ORDENAC ¸ AO 4 Observa¸ c˜ ao 1.5 Se fizermos uma afirmativa incorreta n˜ ao conseguiremos demonstr´ a-la pelo m´etodo de indu¸c˜ ao. Por exemplo, examinando a soma Sn = 1 1 1 1 + + + ... + 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) 1 para alguns valores de n, obtivemos S1 = , S2 = 2 a hip´ otese de que, para todo natural n > 1, Sn = 2 3 , S3 = , ... e estes resultados particulares sugeriram 3 4 n , o que foi provado no exemplo 1.3. n+1 n+1 Poder´ıamos ter feito a seguinte conjectura: Sn = . Esta f´ ormula ´e verdadeira para n = 1, pois 3n + 1 k+1 1 e tentaremos provar que ela S1 = . Suponhamos que ela seja verdadeira para n = k, isto ´e, Sk = 2 3k + 1 k+2 . tamb´em ´e verdadeira para n = k + 1, isto ´e, que Sk+1 = 3k + 4 Mas, Sk+1 = HI = = 1 (k + 1)(k + 2) k+1 1 + 3k + 1 (k + 1)(k + 2) k 3 + 4k 2 + 8k + 3 (k + 1)(k + 2)(3k + 1) Sk + o que n˜ ao confirma a nossa conjectura. O fato de se come¸car a indu¸c˜ ao em n = 1 n˜ao ´e importante. Podemos re-escrever o PIM da seguinte forma: Proposi¸ c˜ ao 1.1 Seja a ∈ N. Suponhamos que para cada natural n > a se tenha uma afirmativa P (n) que satisfa¸ca ` as seguintes propriedades: (i) P (a) ´e verdadeira; (ii) Sempre que a afirmativa ´e v´ alida para um n´ umero natural arbitr´ ario n = k > a, ela ´e v´ alida para seu sucessor n = k + 1 (isto ´e, P (k) verdadeira implica P (k + 1) verdadeira). Ent˜ ao, P (n) ´e verdadeira para todo natural n > a. Prova: O processo de indu¸c˜ ao matem´ atica se baseia no fato de que depois de cada n´ umero natural k existe um sucessor (k + 1) e que cada n´ umero natural n pode ser alcan¸cado mediante um n´ umero finito de passos, a partir do 1. Portanto ´e, muitas vezes, mais conveniente enunci´a-lo do seguinte modo: ˜ MATEMATICA ´ ˜ CAP´ITULO 1. OS PRINC´IPIOS DE INDUC ¸ AO E DA BOA ORDENAC ¸ AO 5 Proposi¸ c˜ ao 1.2 Se S ⊂ N ´e um subconjunto tal que: (i) 1 ∈ S; (ii) Sempre que k ∈ S tem-se que (k + 1) tamb´em pertence a S. Ent˜ ao podemos afirmar que S = N. Prova: Observa¸ c˜ ao 1.6 Para mostrar que 1 1 1 n 1 + + + ... + = para todo n > 1 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) n+1 poder´ıamos ter considerado o conjunto 1 1 1 1 n S= n∈N: + + + ... + = 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) n+1 e ent˜ ao pelos mesmos argumentos utilizados no exemplo 1.3, concluir´ıamos que: (i) 1 ∈ S; (ii) Se k ∈ S ent˜ ao (k + 1) ∈ S. Logo, ter´ıamos que S = N, ou seja, a f´ ormula 1 1 1 1 n + + + ... + = 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) n+1 ´e v´ alida para todo n > 1. 1.4 Princ´ıpio de Indu¸ c˜ ao Matem´ atica - PIM - 2a forma Seja a ∈ N. Suponhamos que para cada natural n > a se tenha uma afirmativa P (n) que satisfa¸ca ` as seguintes propriedades: (i) P (a) ´e verdadeira; (ii) P (m) verdadeira para todo natural m com a 6 m 6 k implica P (k + 1) verdadeira. Ent˜ao P (n) ´e verdadeira para todo natural n > a. ˜ MATEMATICA ´ ˜ CAP´ITULO 1. OS PRINC´IPIOS DE INDUC ¸ AO E DA BOA ORDENAC ¸ AO 6 Observa¸ c˜ ao 1.7 Note que aqui tamb´em a condi¸c˜ ao (ii) consiste em uma implica¸c˜ ao. Sua hip´ otese ´e tamb´em chamada de hip´ otese de indu¸c˜ ao (HI). A diferen¸ca entre as duas formas est´ a exatamente na hip´ otese de indu¸ca ˜o: na primeira sup˜ oe-se que P (k) seja verdadeira e na segunda sup˜ oe-se que P (k), P (k− 1), P (k − 2), ..., P (a) sejam todas verdadeiras. Observa¸ c˜ ao 1.8 Esta forma ´e u ´til nos casos em que a validade de P (k+1) n˜ ao puder ser obtida facilmente da validade de P (k) mas sim, da validade de algum P (m), onde a 6 m 6 k. Exemplo 1.5 Considere a sequˆencia de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... onde cada elemento, a partir do terceiro, ´e a soma dos dois anteriores. Se denotarmos por F (n) o n-´esimo termo desta sequˆencia, poderemos defini-la por: F (1) = 1 F (2) = 1 F (n) = F (n − 2) + F (n − 1), se n > 3. n 7 Mostre que F (n) < , para todo natural n > 1. 4 Usando a primeira forma do PIM n 7 Seja P (n) a afirmativa: F (n) < , n ∈ {1, 2, 3, ...}. 4 2 7 7 . Temos que P (1) e P (2) s˜ ao verdadeiras pois F (1) = 1 < e F (2) = 1 < 4 4 k 7 Seja k > 2 e suponhamos que P (k) seja v´ alida, isto ´e, F (k) < . 4 (k+1) 7 Devemos mostrar que F (k + 1) < . 4 Como k + 1 > 3 ent˜ ao F (k + 1) = F (k − 1) + F (k) e n˜ ao fica claro como obter a desigualdade desejada a partir da hip´ otese de indu¸ca ˜o. Observe que F (k − 1) 6 F (k) e ent˜ ao F (k + 1) = F (k − 1) + F (k) 6 F (k) + F (k) k 7 < 2 4 k+1 8 7 = . 7 4 que ´e uma cota maior do que a desejada. Vamos, ent˜ ao usar a segunda forma do PIM: Usando a segunda forma do PIM J´ a vimos que P (1) e P (2) s˜ ao verdadeiras. Seja k 6 2 e suponhamos P (m) verdadeira para todo ˜ MATEMATICA ´ ˜ CAP´ITULO 1. OS PRINC´IPIOS DE INDUC ¸ AO E DA BOA ORDENAC ¸ AO 7 k+1 7 natural m, 1 6 m 6 k. Precisamos mostrar que P (k + 1) ´e verdadeira, ou seja, F (k + 1) < . 4 k k−1 7 7 Como F (k + 1) = F (k − 1) + F (k) e, por HI, F (k) < e F (k − 1) < , ent˜ ao 4 4 F (k + 1) = F (k − 1) + F (k) k−1 k 7 7 < + 4 4 k k 4 7 7 = . + 7 4 4 k 7 4 +1 . = 7 4 k 11 7 = . 7 4 k 7 7 < . 4 4 k+1 7 = 4 Teorema 1.1 (Segunda forma do PIM) Seja a ∈ N. Suponha que para cada n´ umero natural n se tenha uma afirmativa P (n) que satisfa¸ca ` as seguintes propriedades: (i) P (a) ´e verdadeira; (ii) Sempre que P (a), P (a + 1), ..., P (k), onde k > a, s˜ ao verdadeiras tem-se que P (k + 1) tamb´em ´e verdadeira. Ent˜ ao P (n) ´e verdadeira para todo natural n > a. Prova: Vamos usar a primeira forma do PIM. Seja S = {n ∈ N : n > a e P (a), P (a + 1), ..., P (n) s˜ ao verdadeiras }. Queremos mostrar que S = {n ∈ N : n > a}. Pela condi¸c˜ ao (i) temos que P (a) ´e verdadeira, ou seja, a ∈ S. Seja k > a tal que k ∈ S(HI); logo, pela defini¸ca ˜o de S, P (a), P (a + 1), ..., P (k) s˜ ao verdadeiras e, pela condi¸ca ˜o (ii) P (k + 1) ´e tamb´em verdadeira. Assim (k + 1) ∈ S. Portanto pela primeira forma do PIM temos que todos naturais n tais que n > a pertencem a S, isto ´e, S = {n ∈ N : n > a}, donde P (n) ´e verdadeira para todo n > a. 1.5 Princ´ıpio da Boa Ordena¸c˜ ao (PBO) “Todo subconjunto n˜ ao vazio S ⊂ N possui um nemor elemento, isto ´e, existe a ∈ S tal que a 6 x, para todo x ∈ S.” Prova: Vamos usar a segunda forma do PIM. ˜ MATEMATICA ´ ˜ CAP´ITULO 1. OS PRINC´IPIOS DE INDUC ¸ AO E DA BOA ORDENAC ¸ AO 8 Suponhamos que exista um conjunto S ⊂ N que n˜ao possua menor elemento. Vamos mostrar que S = ∅. Temos ent˜ao que 1 ∈ / S, pois, do contr´ario, 1 seria o menor elemento de S. Suponhamos que 1, 2, ..., k n˜ao perten¸cam a S(HI) e vamos mostrar que (k + 1) ∈ / S. De fato, se (k + 1) ∈ S ent˜ao (k + 1) seria o menor elemento de S, pois todos os naturais menores do que (k + 1) n˜ao est˜ao em S, o que seria uma contradi¸c˜ao. Logo (k + 1) ∈ / S. Portanto, pela segunda forma do PIM, nenhum elemento de N est´a em S. Como S ⊂ N temos que S = ∅. Assim podemos afirmar que se S ⊂ N, S 6= ∅, ent˜ao S possui menor elemento. Observa¸ c˜ ao 1.9 O Princ´ıpio da Boa Ordena¸c˜ ao tamb´em ´e conhecido como Princ´ıpio do Menor Inteiro. Exemplo 1.6 No conjunto {21, 23, 25, 27, ...} dos n´ umeros impares maiores que 19, temos que 21 ´e o menor elemento. Exemplo 1.7 O conjunto dos n´ umeros inteiros Z = {0, ±1, ±2, ...} n˜ ao possui menor elemento, pois se x ∈ Z ent˜ ao (x − 1) ∈ Z, ou seja, Z n˜ ao ´e limitado inferiormente. Exemplo 1.8 Considere o conjunto dos n´ umeros racionais positivos: nm o Q∗+ = : m, n ∈ N n Note que 0 ´e menor do que todos os elementos de Q∗+ , donde Q∗+ ´e limitado inferiormente. Como ao possui menor elemento. ao ´e o menor elemento de Q∗+ . Vamos mostrar que Q∗+ n˜ 0∈ / Q∗+ , 0 n˜ ∗ ´ claro que a ∈ Q∗ e como Suponhamos, por absurdo, que a ∈ Q+ seja o menor elemento de Q∗+ . E + 2 a < a, chegamos a uma contradi¸ca ˜o. 2 Exemplo 1.9 Usando o PBO mostre que Sn = n > 1. 1 1 1 1 n + + + ... + = para todo natural 1.2 2.3 3.4 n(n + 1) n+1 n . Desejamos mostrar que F = ∅. Vamos supor que F 6= ∅. Assim, n+1 a pelo PBO, existe a ∈ F tal que a ´e o menor elemento de F . Como a ∈ F temos que Sa 6= e a > 1, a+1 1 1 pois S1 = = , o que implica 1 ∈ / F . Sendo a o menor elemento de F ent˜ ao (a − 1) ∈ / F , isto ´e, 2 1+1 Seja F = n ∈ N : Sn 6= Sa−1 = 1 1 a−1 1 + + ... + = 1.2 2.3 (a − 1)a a . Assim, temos: Sa = Sa−1 + 1 a−1 1 (a − 1)(a + 1) + 1 a = + = = . a(a + 1) a a(a + 1) a(a + 1) a+1 a n Mas isso contradiz Sa 6= . Portanto F = ∅ e conclu´ımos que n˜ ao existe n ∈ N tal que Sn 6= , a+1 n+1 n ou seja, Sn = , para todo natural n > 1. n+1 ˜ MATEMATICA ´ ˜ CAP´ITULO 1. OS PRINC´IPIOS DE INDUC ¸ AO E DA BOA ORDENAC ¸ AO 1.6 9 Exerc´ıcios 1. Verifique, por indu¸c˜ ao, as seguintes f´ormulas para n > 1: n(n + 1) 2 (b) 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n2 (a) 1 + 2 + 3 + ... + n = (c) 5 + 9 + 13 + ... + (4n + 1) = n(2n + 3) 1 (d) 1 + 4 + 9 + ... + n2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 1 (e) 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) 3 n(n + 1) 2 3 3 3 (f) 1 + 2 + 3 + ... + n = 2 (g) (1 + 2. Seja A = 25 35 + 1 1 . 0 1 + ... + n5 ) + (1 + 27 + 37 + ... + n7 ) n(n + 1) =2 2 4 (a) Calcule A2 e A3 para determinar uma poss´ıvel f´ormula para An , n ∈ {1, 2, 3, ...}. (b) Demonstre o resultado obtido acima por indu¸c˜ao. 3. Considere a progress˜ ao aritm´etica (P.A.) de raz˜ao r e primeiro termo a1 . (a) Estabele¸ca uma f´ ormula para an , o n-´esimo termo, e demonstre-a por indu¸c˜ao. (b) Mostre que a soma Sn dos n primeiros termos desta progress˜ao ´e dada por Sn = (a1 + an )n . 2 4. Considere a progress˜ ao geom´etrica (P.G.) de raz˜ao q 6= 1 e primeiro termo a1 . (a) Estabele¸ca uma f´ ormula para an , o n-´esimo termo, e demonstre-a por indu¸c˜ao. (b) Mostre que a soma Sn dos n primeiros termos desta progress˜ao ´e dada por Sn = an q − a1 . q−1 5. Encontre a lei geral augerida e em seguida demonstre-a por indu¸c˜ao. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =2− , 1+ + =2− , 1+ + + =2− 2 2 2 4 4 2 4 8 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (b) 1 − = , 1 − 1− = , 1− 1− 1− = 2 2 2 3 3 2 3 4 4 (a) 1 + 6. Mostre por indu¸c˜ ao que: (a) 1 + n 6 2n , para todo n ∈ {0, 1, 2, ...}. (b) 2n < n!, para todo n > 4, n ∈ N. (c) Para todo a ∈ R, a < 0 temos a2n > 0 e a2n−1 < 0, ∀n ∈ N. (d) Seja x ∈ R, x > 0. Ent˜ ao (1 + x)2n > 1 + 2nx para todo n ∈ N. (e) Se a > 0 e x > 0 s˜ ao n´ umeros reais ent˜ao (a + x)n > an + nxan−1 , ∀n ∈ N. 7. Use o Princ´ıpio da Boa Ordena¸c˜ ao para provar que qualquer subconjunto dos inteiros n˜ ao vazio e limitado superiormente tem um maior elemento. ˜ MATEMATICA ´ ˜ CAP´ITULO 1. OS PRINC´IPIOS DE INDUC ¸ AO E DA BOA ORDENAC ¸ AO 10 8. Prove que n˜ ao existe inteiro m tal que 0 < m < 1. 9. Se a e b s˜ ao dois inteiros positivos quaisquer, prove que existe um inteiro positivo n tal que na > b. (Use o PBO). 10. A equivalˆencia dos Princ´ıpios de Indu¸c˜ao e da Boa Ordena¸c˜ao. (a) Prove que a primeira forma do PIM ´e equivalente ao PBO. (b) Conclua que: i. a segunda forma do PIM ´e equivalente ao PBO. ii. as duas formas do PIM s˜ ao equivalentes. Cap´ıtulo 2 Divisibilidade 2.1 Rela¸ c˜ ao de divisibilidade em Z Defini¸ c˜ ao 2.1 Dados dois inteiros a e b, dizemos que b divide a se, e somente se, existe um inteiro q tal que a = bq. Observa¸ c˜ ao 2.1 Se b divide a tamb´em dizemos que: • b ´e um divisor de a. • a ´e um m´ ultiplo de b. • b ´e um fator de a. • a ´e divis´ıvel por b. Nota¸ c˜ ao: b | a (b divide a) b - a (b n˜ ao divide a) Observa¸ c˜ ao 2.2 1. A nota¸c˜ ao b | a n˜ ao deve ser confundida com a fra¸c˜ ao b . a 2. A rela¸c˜ ao R, no conjunto Z dos n´ umeros inteiros, definida por: b R a ⇔ b | a, denomina-se rela¸ c˜ ao de divisibilidade em Z. Exemplo 2.1 1. 2 | 6, pois, 6 = 2.3; 2. −4 | 12, pois, 12 = (−4).(−3); 3. 5 | −10, pois, −10 = 5.(−2); 4. −7 | −21, pois, −21 = (−7).3; 5. 3 - 7, pois n˜ ao existe inteiro q tal que 7 = 3q; 6. 0 | 0, pois, 0 = 0.q para todo inteiro q. Proposi¸ c˜ ao 2.1 Sejam a, b, c e d inteiros quaisquer. Podemos afirmar que: 1. Se b 6= 0, ent˜ ao o inteiro q nas condi¸c˜ oes da defini¸c˜ ao ´e u ´nico. 2. a | 0, 1 | a e a | a. 11 CAP´ITULO 2. DIVISIBILIDADE 3. 0 | a se, e somente se, a = 0. 4. Se b | a e a 6= 0, ent˜ ao |b| 6 |a|. 5. Os u ´nicos divisores de 1 s˜ ao 1 e −1. 6. Se a | b e b | a, ent˜ ao a = ±b. 7. Se b | a, ent˜ ao (−b) | a, b | (−a) e (−b) | (−a). 8. Se a | b e b | c, ent˜ ao a | c. 9. Se a | b e c | d, ent˜ ao ac | bd. 10. Se a | b e a | c, ent˜ ao a | (bx + cy), para todo inteiro x e y. Prova: 12 CAP´ITULO 2. DIVISIBILIDADE 13 Observa¸ c˜ ao 2.3 1. A propriedade 10 pode ser generalizada: Se a | bk , para k = 1, 2, ..., n, ent˜ ao a | (b1 x1 + b2 x2 + ... + bn xn ) para todo inteiro x1 , x2 , ..., xn . 2. De acordo com as propriedades 2 e 8 temos que a rela¸c˜ ao de divisibilidade em Z ´e reflexiva e transitiva, por´em n˜ ao ´e sim´etrica, pois 2 | 4 e 4 - 2, e nem anti-sim´etrica pois 2 | (−2), (−2) | 2 e 2 6= (−2). 2.2 Conjunto dos divisores de um inteiro Defini¸ c˜ ao 2.2 O conjunto de todos os divisores de um inteiro a, denominado D(a), ´e o conjunto D(a) = {x ∈ Z : x | a}. Exemplo 2.2 1. D(0) = {x ∈ Z : x | 0} = Z 2. D(1) = {x ∈ Z : x | 1} = {−1, 1} 3. D(2) = {x ∈ Z : x | 2} = {±1, ±2} 4. D(−8) = {x ∈ Z : x | 8} = {±1, ±2, ±4, ±8} Observa¸ c˜ ao 2.4 ´ claro que D(a) = D(−a). 1. E 2. Como a = a.1 = (−a).(−1) temos que 1, −1, a, −a s˜ ao divisores de a, denominados divisores triviais de a. Em particular, o inteiro 1 (ou −1) s´ o admite divisores triviais. 3. Qualquer que seja o inteiro a 6= 0, se x | a, ent˜ ao x 6= 0 e |x| 6 |a| o que implica −|a| 6 x 6 |a| e, portanto, D(a) ⊂ [−|a|, |a|] ∩ Z. Isto significa que qualquer inteiro a 6= 0 tem um n´ umero finito de divisores. 2.3 Divisores comuns de dois inteiros Defini¸ c˜ ao 2.3 Chama-se divisor comum de dois inteiros a e b todo inteiro c tal que c | a e c | b, isto ´e, c ∈ D(a) ∩ D(b). Indica-se por D(a, b) = D(a) ∩ D(b). Exemplo 2.3 D(12) = {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12} D(−15) = {±1, ±3, ±5, ±15} D(12, −15) = D(12) ∩ D(−15) = {±1, ±3} Observa¸ c˜ ao 2.5 1. D(a, b) = D(b, a) 2. D(a, b) 6= ∅, pois 1 ∈ D(a) ∩ D(b) = D(a, b) CAP´ITULO 2. DIVISIBILIDADE 2.3.1 14 Exerc´ıcios 1. Decida se as afirma¸c˜ oes abaixo s˜ ao verdadeiras ou falsas, dando a demonstra¸c˜ao ou um contraexemplo. Sejam a, b e c inteiros. (a) Se a | b, ent˜ ao (a + c) | (b + c). (b) Se a | b, ent˜ ao ac | bc. (c) Se ac | bc, ent˜ ao a | b. (d) Se a | b, ent˜ ao a | bx, para todo x ∈ Z. (e) Se a | (b + c), ent˜ ao a | b ou a | c. (f) Se a | bc, ent˜ ao a | b ou a | c. (g) Se a | c e b | c, ent˜ ao ab | c. (h) Se a | c e b | c, ent˜ ao (a + b) | c. 2. Sejam a e b inteiros. Mostre que se a | b e b | a, ent˜ao |a| = |b|. 2.4 Algoritmo da Divis˜ ao Lema 2.1 (Lema da divis˜ ao de Euclides) Sejam a e b inteiros com a > 0 e b > 0. Ent˜ ao existem u ´nicos inteiros q e r tais que a = bq + r, onde q > 0 e 0 6 r < b. Prova: Existˆ encia: Faremos a demonstra¸c˜ ao por indu¸c˜ ao sobre a. Se a = 0 escolhemos q = 0 e r = 0 obtendo 0 = d.0 + 0. Se a > 0, suponhamos por hip´ otese de indu¸c˜ao (HI) que o resultado seja v´alido para (a − 1), ou seja, 0 0 existem inteiros q e r tais que a − 1 = bq 0 + r0 , onde q 0 > 0 e 0 6 r0 < b. Logo a = bq 0 + r0 + 1 e 1 6 r0 + 1 6 b. Se r0 + 1 < b, tomamos q = q 0 e r = r0 + 1 o que mostra o resultado. Se r0 + 1 = b temos que a = bq 0 + b = b(q 0 + 1) e basta tomar neste caso q = q 0 + 1 e r = 0. Unicidade: Vamos supor que (q, r) e (q 0 , r0 ) sejam dois pares de inteiros tais que a = bq + r, a = bq 0 + r0 com q, q 0 > 0, 0 6 r, r0 q 0 . Da´ı segue que b(q − q 0 ) = r0 − r e como q − q 0 > 0 ´e um inteiro, ent˜ ao q − q 0 > 1 e, portanto, b(q − q 0 ) > b. Logo ter´ıamos r0 − r > b o que ´e um absurdo j´a que 0 6 r q 0 . Analogamente n˜ao podemos ter q 0 > q e, portanto, q = q 0 . Finalmente segue que r = a − bq = a − bq 0 = r0 . Teorema 2.1 (Algoritmo da Divis˜ ao) Sejam a e b inteiros com b 6= 0. Ent˜ ao existem u ´nicos inteiros q e r que satisfazem as condi¸c˜ oes a = bq + r e 0 6 r < |b|. Prova: Temos quatro casos a considerar: o 1 ) a > 0 e b > 0; 2o ) a > 0 e b < 0; 3o ) a < 0 e b > 0; 4o ) a < 0 e b < 0. 1o caso: a > 0 e b > 0 ´ E o lema da divis˜ ao de Euclides mostrado anteriormente. o 2 caso: a > 0 e b < 0 Como b < 0, ent˜ ao −b > 0 e |b| = −b. Pelo lema da divis˜ao de Euclides aplicado aos inteiros a > 0 e −b > 0, existem u ´nicos inteiros q 0 e r0 tais que a = (−b)q 0 + r0 , com 0 6 r0 < −b. Assim a = b(−q 0 ) + r0 , CAP´ITULO 2. DIVISIBILIDADE 15 com 0 6 r0 < |b|. Logo, neste caso, tomamos q = −q 0 e r = r0 . 3o caso: a < 0 e b > 0 Como a < 0, ent˜ ao −a > 0 e |b| = b. Pelo lema da divis˜ao de Euclides aplicado aos inteiros −a > 0 e b > 0, existem u ´nicos inteiros q 0 e r0 tais que −a = bq 0 + r0 , com 0 6 r0 < b. Assim a = b(−q 0 ) − r0 , com 0 6 r0 < b. Se r0 = 0 temos a = b(−q 0 ) e, neste caso, tomamos q = −q 0 e r = 0. Se r0 > 0 temos a = b(−q 0 )−r0 +b−b = b(−q 0 −1)+(b−r0 ), com 0 < b−r0 < b, e, neste caso, tomamos q = −q 0 −1 e r = b−r0 . 4o caso: a < 0 e b < 0 Como a < 0 e b < 0, ent˜ ao −a > 0, −b > 0 e |b| = −b. Pelo lema da divis˜ao de Euclides aplicado aos inteiros −a > 0 e −b > 0, existem u ´nicos inteiros q 0 e r0 tais que −a = (−b)q 0 + r0 , com 0 6 r0 < −b. Assim a = bq 0 − r0 , com 0 6 r0 < −b. Se r0 = 0 temos a = bq 0 e, neste caso, tomamos q = q 0 e r = 0. Se r0 > 0 temos a = bq 0 − r0 + b − b = b(q 0 + 1) + (−b − r0 ), com 0 < −b − r0 < −b = |b|, e, neste caso, tomamos q = q 0 + 1 e r = −b − r0 . Observa¸ c˜ ao 2.6 1. Os inteiros q e r s˜ ao denominados, respectivamente, o quociente e o resto da divis˜ ao de a por b. 2. b ´e divisor de a (b | a) se, e somente se, r = 0. Neste caso a = bq e o quociente q na divis˜ ao exata de a por b indica-se por ab ou a/b. 3. Na divis˜ ao de um inteiro qualquer a por 2 os poss´ıveis restos s˜ ao r = 0 ou r = 1. Se r = 0, ent˜ ao a = 2q ´e denominado par; se r = 1 ent˜ ao a = 2q + 1 ´e denominado ´ımpar. 2.4.1 Exerc´ıcios 1. Encontre q e r na divis˜ ao de a = 59 por b = −14 que satisfa¸cam as condi¸c˜oes do algoritmo da divis˜ao. 2. Idem para a = −79 e b = 11. 3. Idem para a = −59 e b = −7. 4. Mostre que o quadrado de um inteiro qualquer ´e da forma 3k ou 3k + 1, com k ∈ Z. 5. Mostre que todo inteiro ´ımpar ´e da forma 4k + 1 ou 4k + 3, com k ∈ Z. 6. Mostre que o quadrado de qualquer inteiro ´ımpar ´e da forma 8k + 1, com k ∈ Z. 7. Seja a um inteiro. Prove que um dos inteiros a, a + 2, a + 4 ´e divis´ıvel por 3. 8. Sendo a um inteiro qualquer, mostre que: (a) 2 | a(a + 1) (b) 3 | a(a + 1)(a + 2) 9. Prove que, de n n´ umeros consecutivos, um ´e m´ ultiplo de n. 10. Prove que todo inteiro da forma 6k + 5 ´e tamb´em da forma 3k + 2, mas n˜ao vale a rec´ıproca. 11. Mostre que o cubo de um inteiro qualquer ´e de uma das formas: 9k, 9k + 1 ou 9k + 8. 12. Mostre que, se a | (2x − 3y) e a | (4x − 5y), ent˜ao a | y, onde a, x e y s˜ao inteiros. 13. Determine os inteiros positivos que divididos por 17 deixam um resto igual ao quadrado do quociente. 14. Para todo inteiro a, prove que 4 | (a2 + 2). CAP´ITULO 2. DIVISIBILIDADE 16 15. Prove que, se a e b s˜ ao inteiros com b > 0, ent˜ao existem u ´nicos inteiros q e r tais que a = bq + r, com 2b 6 r < 3b. 16. Mostre que se a e b s˜ ao inteiros ´ımpares, ent˜ao a2 − b2 ´e divis´ıvel por 8. 17. Na divis˜ao de dois inteiros positivos o quociente ´e 16 e o resto ´e o maior poss´ıvel. Encontre os dois inteiros, sabendo que a sua soma ´e 341. 18. Mostre que o produto de dois inteiros ´ımpares ´e um inteiro ´ımpar. 19. Sendo a um inteiro, mostre que a2 deixa resto 0, 1 ou 4 quando dividido por 8. 20. Mostre que todo inteiro ´ımpar pode ser escrito como diferen¸ca de dois quadrados. 21. Sejam a, b, m ∈ Z, com m 6= 0. Mostre que se m | b − a, ent˜ao a e b deixam o mesmo resto quando divididos por m. 22. Prove que: (a) A soma dos quadrados de dois inteiros ´ımpares n˜ao pode ser um quadrado perfeito. (b) A diferen¸ca de dois cubos de inteiros consecutivos n˜ao ´e divis´ıvel por 2. 23. (a) Demonstre que todo quadrado perfeito ´e da forma 5k ou 5k ± 1. (b) Como aplica¸c˜ ao, indique em quais algarismos pode terminar um quadrado perfeito. (c) Demonstre que, se trˆes inteiros positivos a, b, c verificam a condi¸c˜ao a2 = b2 + c2 , ent˜ ao, entre eles h´ a um m´ ultiplo de 5 e um m´ ultiplo de 2. 2.5 Representa¸ c˜ ao de um n´ umero em uma base qualquer Teorema 2.2 (Representa¸ c˜ ao em uma base) Dado um inteiro qualquer b > 2, todo inteiro positivo n admite uma u ´nica representa¸c˜ ao da forma: n = am bm + am−1 bm−1 + ... + a2 b2 + a1 b + a0 (∗) onde ai ∈ Z e 0 6 ai < b, para todo i = 0, 1, 2, ..., m. Prova: Pelo algoritmo da divis˜ ao aplicados aos inteiros n e b, existem inteiros q0 e a0 tais que n = bq0 + a0 com q0 > 0, 0 6 a0 bq0 > q0 . Agora, aplicando o algoritmo da divis˜ ao aos inteiros q0 e b, existem inteiros q1 e a1 tais que q0 = bq1 + a1 com q1 > 0, 0 6 a1 q1 (1) Continuando a aplicar o algoritmo da divis˜ao aos quocientes qi0 s e ao inteiro b, temos: q1 = bq2 + a2 com q2 > 0, 0 6 a2 q2 (2) q2 = bq3 + a3 com q3 > 0, 0 6 a3 q3 (3) e assim por diante. Como n > q0 > q1 > q2 > .... e qi > 0 para todo i, esta sequˆencia decrescente ´e finita, isto ´e, existe um ´ındice m tal que: qm−2 = bqm−1 + am−1 com qm−1 > 0, 0 6 am−1 < b (m-1) qm−1 = bqm + am com qm = 0, 0 6 am < b (m) Multiplicando a equa¸c˜ ao (1) por b, a equa¸c˜ao (2) por b2 , a equa¸c˜ao (3) por b3 , ..., e a equa¸c˜ ao (m-1) m−1 por b , obtemos o seguinte conjunto de igualdades: CAP´ITULO 2. DIVISIBILIDADE 17 n = bq0 + a0 , 0 6 a0 < b bq0 = b2 q1 + a1 b, 2 3 2 0 6 a1 < b b q1 = b q2 + a 2 b , 0 6 a2 < b b3 q2 = b4 q3 + a3 b3 , 0 6 a3 < b ............... bm−1 qm−2 = bm am + am−1 bm−1 , 0 6 am−1 < b Somando membro a membro essas m igualdades obtemos: n + bq0 + b2 q1 + b3 q2 + ... + bm−1 qm−2 = bq0 + b2 q1 + b3 q2 + ... + bm−1 qm−2 + bm am + a0 + a1 b + a2 b2 + a3 b3 + ... + am−1 bm−1 ou seja, n = am bm + am−1 bm−1 + ... + a3 b3 + a2 b2 + a1 b + a0 onde ai ∈ Z, para todo i ∈ {0, 1, ..., m}, 0 < am < b; 0 6 ai < b, para todo i ∈ {0, 1, ..., m − 1}. A unicidade desta representa¸c˜ ao ´e uma consequˆencia imediata da unicidade do algoritmo da divis˜ ao. Formalmente, usando a segunda forma do PIM, temos a seguinte demonstra¸c˜ao: Para n = 1 o resultado ´e trivialmente verdadeiro. Para n > 1 suponha, por hip´ otese de indu¸c˜ao (HI), que para todo inteiro c, com 1 6 c < n, o resultado seja verdadeiro, isto ´e, c pode ser escrito de maneira u ´nica como c = am bm + ... + a1 b + a0 , onde 0 6 ai 0 e 0 6 r 0, como b > 2, temos que n = bq + r > 2q + r > 2q > q. Logo, pela hip´otese de indu¸c˜ao aplicada a q, podemos escrever: q = am dm + am−1 bm−1 + ... + a1 b + a0 , onde 0 6 ai < b e, portanto, n = bq + r = am bm+1 + am−1 bm + ... + a1 b2 + a0 b + r com 0 6 r < b Obtivemos, ent˜ ao, uma representa¸c˜ ao de n na forma (*) e sua unicidade segue da unicidade de q e r pelo algoritmo da divis˜ ao e da unicidade da representa¸c˜ao de q pela hip´otese de indu¸c˜ao. Observa¸ c˜ ao 2.7 1. Pelo teorema anterior, dado um inteiro qualquer b > 2, todo inteiro positivo n pode ser representado por um polinˆ omio inteiro em b de grau m (pois am 6= 0) ordenado segundo as potˆencias decrescentes de b e cujos coeficientes ai s˜ ao inteiros que satisfazem 0 6 ai < b (i = 0, 1, 2, ..., m), sendo am 6= 0. 2. Nota¸c˜ ao: n = (am am−1 ...a2 a1 a0 )b . 3. O inteiro b chama-se base. Convencionamos n˜ ao escrever o subscrito b quando estamos utilizando a base usual 10. 4. Se n = (am am−1 ...a2 a1 a0 )b dizemos que n est´ a escrito no sistema de base b. CAP´ITULO 2. DIVISIBILIDADE 2.5.1 18 Exerc´ıcios 1. Escreva 105 no sistema de base 2. 2. Escreva (100111)2 no sistema de base 10. 3. Escreva 31415 no sistema de base 8. 4. Escreva (3531)6 no sistema de base 10. 5. Escreva (6165)7 no sistema de base 12. 6. Prove que as adivinha¸c˜ oes abaixo est˜ao corretas: (a) Pe¸ca a algu´em para pensar em um n´ umero com dois d´ıgitos, a, depois pe¸ca para multiplicar o algarismo das dezenas de a por 5, somar 7, dobr´a-lo e somar ao algarismo das unidades de a. Pe¸ca-lhe que diga o resultado obtido, b. Agora vocˆe pode descobrir o n´ umero pensado afirmando que a = b − 14. (b) Pense em um n´ umero com trˆes algarismos, a. Agora multiplique o algarismo das centanas por 2, some 3, multiplique por 5, some 7, some o algarismo das dezenas de a, multiplique por 2, some 3, multiplique por 5, some o algarismo das unidades e diga o resultado, b. Se vocˆe subtrair 235 de b, vocˆe obter´ a o n´ umero pensado a. 7. Prove que todo n´ umero com trˆes algarismos iguais ´e divis´ıvel por 37. 8. Escreva (7645)8 no sistema de base 5 e (a3b)12 no sistema de base 7. 9. Resolva a seguinte equa¸c˜ ao: (123)x = (1002)4 . 10. Determine a base b do sistema no qual 73 se escreve (243)b . 2.6 Alguns crit´ erios de divisibilidade Proposi¸ c˜ ao 2.2 (Crit´ erio de divisibilidade por 2) Um inteiro positivo n ´e divis´ıvel por 2 se, e somente se, o algarismo das unidades for divis´ıvel por 2. Prova: Seja n = am am−1 ...a2 a1 a0 a representa¸c˜ao de n na base 10. Ent˜ao n = a0 + 10a1 + 102 a2 + ... + 10m am , onde os a0i s tomam valores de 0 a 9. Colocando o n´ umero 10 em evidˆencia a partir da segunda parcela m−1 temos: n = a0 + 10(a1 + 10a2 + ... + 10 am ) = a0 + 10a, onde a = a1 + 10a2 + ... + 10m−1 am ´e um n´ umero inteiro Se n ´e divis´ıvel por 2, isto ´e, 2 | n e como n = a0 + 10a e 10 = 2.5, temos que 2 | a0 . Reciprocamente, se o algarismo das unidades ´e divis´ıvel por 2, isto ´e, 2 | a0 e como n = a0 + 10a temos que 2 | n. Proposi¸ c˜ ao 2.3 (Crit´ erio de divisibilidade por 9) Um inteiro positivo n ´e divis´ıvel por 9 se, e somente se, a soma de seus algarismos ´e divis´ıvel por 9. Prova: Seja n = am am−1 ...a2 a1 a0 a representa¸c˜ao de n na base 10. Ent˜ao n = a0 + 10a1 + 102 a2 + ... + 10m am , onde 0 6 ai 6 9. Como para todo inteiro j > 1, 10j = 9bj + 1 onde bj ´e um inteiro positivo (prove usando indu¸c˜ao), temos que n = a0 + a1 (9b1 + 1) + a2 (9b2 + 1) + ... + am (9bm + 1) = (a0 + a1 + ... + am ) + 9(a1 b1 + ... + am bm ). Sendo c = a1 b1 + ... + am bm um inteiro temos n = (a0 + a1 + ... + am ) + 9c. Portanto, se 9 | n temos que 9 | (a0 + a1 + ... + am ). Reciprocamente, se 9 | (a0 + a1 + ... + am ) ent˜ao 9 | n. CAP´ITULO 2. DIVISIBILIDADE 19 Proposi¸ c˜ ao 2.4 (Crit´ erio de divisibilidade por 7) Um inteiro n = 10k + i onde i ´e o seu algarismo das unidades, ´e divis´ıvel por 7 se, e somente se, k − 2i ´e divis´ıvel por 7. Prova: (⇒) Se 10k + i ´e divis´ıvel por 7, ent˜ ao existe um inteiro m tal que 10k + i = 7m e, portanto, k − 2i = k − 2(7m − 10k) = k − 14m + 20k = 21k − 14m = 7(3k − 2m) o que implica k − 2i ser divis´ıvel por 7. (⇐) Se k − 2i ´e divis´ıvel por 7, ent˜ ao existe um inteiro n tal que k − 2i = 7n e, portanto, 10k + i = 10(7n + 2i) + i = 70n + 20i + i = 70n + 21i = 7(10n + 3i) o que implica 10k + i ser divis´ıvel por 7. Observa¸ c˜ ao 2.8 Para descrever melhor o crit´erio de divisibilidade por 7, vejamos um exemplo. Seja n = 59325. Separamos o d´ıgito 5 das unidades e, do n´ umero restante 5932, subtra´ımos o dobro deste d´ıgito, isto ´e, 5932 − 10 = 5922. Em seguida repetimos este procedimento at´e a obten¸c˜ ao de um n´ umero suficientemente pequeno que possamos reconhecer, facilmente, se ´e ou n˜ ao divis´ıvel por 7, como segue: 592 − 4 = 588; 58 − 16 = 42. Como 42 ´e divis´ıvel por 7 ent˜ ao 588 tamb´em ´e. Como 588 ´e divis´ıvel por 7 ent˜ ao 5922 tamb´em ´e, o que implica 59325 ser divis´ıvel por 7. 2.6.1 Exerc´ıcios 1. Prove os seguintes crit´erios de divisibilidade: (a) Crit´erio de divisibilidade por 3: Um inteiro positivo n ´e divis´ıvel por 3 se, e somente se, a soma de seus algarismos ´e divis´ıvel por 3. (b) Crit´erio de divisibilidade por 4: Um inteiro positivo n ´e divis´ıvel por 4 se, e somente se, o n´ umero formado pelos dois u ´ltimos algarismos de n ´e divis´ıvel por 4. (c) Crit´erio de divisibilidade por 5: Um inteiro positivo n ´e divis´ıvel por 5 se o algarismo das unidades for 0 ou 5. (d) Crit´erio de divisibilidade por 11: Um inteiro positivo n = am am−1 ...a2 a1 a0 ´e divis´ıvel por 11 se, e somente se, a soma alternada T dos seus algarismos, T = a0 − a1 + a2 − ... + (−1)m am , ´e divis´ıvel por 11. (Sugest˜ ao: Mostre por indu¸c˜ ao que, para todo j > 1, 10j = 11cj + (−1)j , onde cj ´e um inteiro.) 2. Enuncie e demonstre um crit´erio de divisibilidade por 8. 3. Usando o crit´erio de divisibilidade por 9 e por 11, determine se os inteiros 176521221 e 349235678 s˜ao divis´ıveis por 9 ou por 11. 2.7 2.7.1 M´ aximo Divisor Comum M´ aximo divisor comum de dois inteiros Defini¸ c˜ ao 2.4 Sejam a e b dois inteiros n˜ ao simultaneamente nulos, isto ´e, a 6= 0 ou b 6= 0. Chama-se m´ aximo divisor comum de a e b o inteiro positivo d que satisfaz as condi¸c˜ oes: 1. d | a e d | b; (d ´e um divisor comum de a e b) 2. Se c ´e um inteiro tal que c | a e c | b, ent˜ ao c ≤ d. (d ´e o maior dos divisores comuns de a e b) Nota¸ c˜ ao: d = mdc(a, b) ou, simplesmente, d = (a, b) Observa¸ c˜ ao 2.9 Sejam a e b inteiros n˜ ao simultaneamente nulos. CAP´ITULO 2. DIVISIBILIDADE 20 1. O conjunto D(a, b) de todos os divisores comuns de a e b ´e n˜ ao vazio, pois 1 ∈ D(a, b), e limitado superiormente, pois se a 6= 0 ou b 6= 0, ent˜ ao, para todo elemento c ∈ D(a, b), temos c ≤ |a| ou c ≤ |b|. Consequentemente, D(a, b) possui maior elemento e mdc(a, b) sempre existe e ´e u ´nico. 2. Na defini¸ca ˜o de m´ aximo divisor comum exigimos a e b n˜ ao simultaneamente nulos porque, caso contr´ ario, qualquer inteiro c seria divisor comum de a e b, o que tornaria imposs´ıvel tomar o maior desses n´ umeros. 3. mdc(a, b) = mdc(b, a). 4. mdc(a, 1) = 1. 5. a 6= 0 ⇒ mdc(a, 0) = |a|. 6. a | b e a 6= 0 ⇒ mdc(a, b) = |a|. 7. mdc(a, b) = mdc(|a|, |b|). Exemplo 2.4 Calcular mdc(24, −18). D(24) = {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24} D(−18) = {±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18} D(24, −18) = {±1, ±2, ±3, ±6} mdc(24, −18) = 6 Teorema 2.3 (Teorema de B` ezout) Sejam a e b inteiros n˜ ao simultaneamente nulos e d = mdc(a, b). Ent˜ ao existem inteiros x e y tais que d = ax + by, isto ´e, o m´ aximo divisor comum de a e b ´e uma combina¸c˜ ao linear de a e b. Prova: Seja S = {au + bv : u, v ∈ Z e au + bv > 0}. Supondo a 6= 0 temos que um dos inteiros a = a.1 + b.0 ou −a = a.(−1) + b.0 ´e positivo e, portanto, pertence a S. Supondo b 6= 0 temos que um dos inteiros b = a.0 + b.1 ou −b = a.0 + b.(−1) ´e positivo e, portanto, pertence a S. Logo S 6= ∅ e, pelo PBO, S admite menor elemento s. Assim, existem inteiros x e y tais que s = ax + by. Vamos mostrar que s | a e s | b. Pelo algoritmo da divis˜ ao de a por s, existem inteiros q e r tais que a = sq + r, com 0 ≤ r < s. Assim, r = a − sq = a − (ax + by)q = a − axq − byq = a(1 − xq) + b(−yq). Supondo r > 0 temos que r ∈ S, mas isto ´e um absurdo pois r < s e s ´e o menor elemento de S. Logo, r = 0 e a = sq, isto ´e, s | a. Analogamente conclui-se que s | b. Como s | a, s | b e d = mdc(a, b), ent˜ ao s ≤ d. Al´em disso, como d | a e d | b temos que d | ax + by, ou seja, d | s. Sendo d > 0 e s > 0 obtemos d = |d| ≤ |s| = s, isto ´e, d ≤ s. De s ≤ d e d ≤ s concluimos que d = s = ax + by. Observa¸ c˜ ao 2.10 1. A demonstra¸c˜ ao do teorema anterior mostra que d = mdc(a, b) ´e o menor inteiro positivo da forma ax + by, isto ´e, que pode ser expresso como combina¸c˜ ao linear de a e b. Mas esta representa¸c˜ ao do m´ aximo divisor de a e b como combina¸ca ˜o linear de a e b n˜ ao ´e u ´nica, pois mdc(a, b) = d = ax + by = ax + abt − abt + by = a(x + bt) + b(y − at) para todo t ∈ Z. 2. Se d = ar + bs, para algum par de inteiros r e s, ent˜ ao d n˜ ao ´e necessariamente o m´ aximo divisor comum de a e b. Por exemplo, 4 = 6.2 + 4.(−2) e 4 6= mdc(6, 4). CAP´ITULO 2. DIVISIBILIDADE 2.7.2 21 Inteiros primos entre si Defini¸ c˜ ao 2.5 Sejam a e b inteiros n˜ ao simultaneamente nulos. Dizemos que a e b s˜ ao inteiros primos entre si ou relativamente primos se, e somente se, mdc(a, b) = 1. Exemplo 2.5 2 e 5 s˜ ao inteiros primos entre si. 9 e −16 s˜ ao inteiros relativamente primos. Observa¸ c˜ ao 2.11 Dois inteiros a e b primos entre si admitem como u ´nicos divisores comuns 1 e −1. Teorema 2.4 Dois inteiros a e b n˜ ao simultaneamente nulos s˜ ao primos entre si se, e somente se, existem inteiros x e y tais que ax + by = 1. Prova: Corol´ ario 2.1 Se mdc(a, b) = d, ent˜ ao mdc Prova: a b , d d =1 CAP´ITULO 2. DIVISIBILIDADE 22 Corol´ ario 2.2 Se a | c, b | c e mdc(a, b) = 1, ent˜ ao ab | c. Prova: Corol´ ario 2.3 (Teorema de Euclides) Se a | bc e mdc(a, b) = 1, ent˜ ao a | c Prova: 2.7.3 Caracteriza¸c˜ ao do m´ aximo divisor comum de dois inteiros Teorema 2.5 Sejam a e b inteiros n˜ ao simultaneamente nulos. Um inteiro positivo d ´e o m´ aximo divisor comum de a e b se, e somente se, satisfaz as seguintes condi¸c˜ oes: (i) d | a e d | b; (ii) Se c ´e um inteiro tal que c | a e c | b, ent˜ ao c | d. Prova: (⇒) Seja d = mdc(a, b). Ent˜ ao, obviamente, d satisfaz a condi¸c˜ao (i). Al´em disso, existem inteiros x e y tais que d = ax + by. Se c | a e c | b ent˜ ao c | ax + by e, portanto, c | d, isto ´e, a condi¸c˜ao (ii) tamb´em ´e satisfeita. (⇐) Seja d um inteiro positivo satisfazendo (i) e (ii). Desejamos mostrar que d = mdc(a, b), ou seja: (1) d | a e d | b; (2) Se c ´e um inteiro tal que c | a e c | b ent˜ao c ≤ d. A condi¸c˜ao (1) ´e satisfeita por (i). Se c | a e c | b, net˜ ao c | d por (ii) e, como d > 0, temos c ≤ |c| ≤ |d| = d, desta forma a condi¸c˜ ao (2) tamb´em ´e satisfeita. Logo, d = mdc(a, b). CAP´ITULO 2. DIVISIBILIDADE 2.7.4 23 M´ aximo divisor comum de v´ arios inteiros O conceito de m´ aximo divisor comum definido para dois inteiros a e b estende-se de maneira natural a mais de dois inteiros. Por exemplo: Sejam a, b e c inteiros n˜ ao todos nulos. O m´aximo divisor comum de a, b e c, denotado por mdc(a, b, c), ´e o inteiro positivo d que satisfaz as seguintes condi¸c˜oes: (1) d | a, d | b e d | c; (2) Se e ´e um inteiro tal que e | a, e | b e e | c, ent˜ao e ≤ d. Observa¸ c˜ ao 2.12 Trˆes inteiros a, b e c podem ser primos entre si, isto ´e, mdc(a, b, c) = 1, sem que sejam primos entre si dois a dois. Por exemplo: mdc(6, 10, 15) = 1, mdc(6, 10) = 2, mdc(6, 15) = 3 e mdc(10, 15) = 5. Teorema 2.6 Sejam a, b e c inteiros com a 6= 0. Ent˜ ao mdc(a, b, c) = mdc(mdc(a, b), c). Prova: Sejam d = mdc(a, b, c) e e = mdc(a, b). Desejamos mostrar que d = mdc(e, c). Temos que d | a, d | b e d | c, ent˜ ao, pelo teorema (2.5), d | e. Logo d | e e d | c. Se f ´e um inteiro tal que f | e e f | c ent˜ao, como e | a e e | b, temos f | a, f | b e f | c. Logo f ≤ d, e, portanto, d = mdc(e, c). Exemplo 2.6 mdc(10, 15, 30) = mdc(mdc(10, 15), 30) = mdc(5, 30) = 5. 2.7.5 Exerc´ıcios 1. Sejam a, b e c inteiros com a 6= 0. Verifique se as afirma¸c˜oes abaixo s˜ao verdadeiras ou falsas, dando a demonstra¸c˜ ao ou um contra-exemplo: (a) mdc(mdc(a, b), c) = mdc(b, mdc(a, c)) (b) mdc(a, b + c) = mdc(a, b) + mdc(a, c) (c) mdc(a, bc) = mdc(a, b).mdc(a, c) (d) mdc(a, a) = |a| (e) mdc(a, bc) = b.mdc(a, c) 2. Mostre que se a ´e um inteiro ´ımpar, ent˜ao 24 | a(a2 − 1). 3. Demonstre que 30 | (n5 − n), para todo inteiro n. 4. Sabendo que mdc(a, 0) = 13, encontre os valores do inteiro a. 5. Encontre o menor inteiro positivo c da forma c = 22x + 55y, onde x e y s˜ao inteiros. 6. Sendo n um inteiro qualquer, calcule mdc(n, n + 1). 7. Calcule: (a) mdc(n, n + 2), sendo n um inteiro par; (b) mdc(n, n + 2), sendo n um inteiro ´ımpar. 8. Sendo n um inteiro, encontre os poss´ıveis valores de mdc(n, n + 10). 9. Sendo n um inteiro, calcule mdc(n − 1, n2 + n + 1). CAP´ITULO 2. DIVISIBILIDADE 24 10. Calcule mdc(a + b, a − b), sabendo que a e b s˜ao inteiros primos entre si. 11. O m´aximo divisor comum de dois inteiros positivos ´e 10 e o maior deles ´e 120. Determine o outro inteiro. 12. Determine os inteiros positivos a e b sabendo que: (a) a + b = 63 e mdc(a, b) = 9; (b) ab = 756 e mdc(a, b) = 6. 13. Sejam a e b inteiros n˜ ao simultaneamente nulos, d = mdc(a, b) e k um inteiro n˜ao nulo. Prove que: (a) mdc(ka, kb) = |k|.d; (b) Se k | a e k | b, ent˜ ao mdc a b , k k = d . |k| 14. Sejam a, b e c inteiros. Prove que: (a) Se a | b e mdc(b, c) = 1, ent˜ ao mdc(a, c) = 1. (b) mdc(a, b) = 1 = mdc(a, c) se, e somente se, mdc(a, bc) = 1. 15. Sejam a, b e c inteiros. Prove que: (a) Se mdc(a, b) = 1, ent˜ ao mdc(ac, b) = mdc(b, c). (b) Se mdc(a, b) = 1 e se c | a + b, ent˜ao mdc(a, c) = 1 = mdc(b, c). (c) Se b | c, ent˜ ao mdc(a, b) = mdc(a + c, b). (d) Se mdc(a, b) = 1, ent˜ ao mdc(am , bn ) = 1 onde m e n s˜ao inteiros positivos. 16. Se mdc(a, 4) = 2 = mdc(b, 4), mostre que mdc(a + b, 4) = 4. 17. Se mdc(n, 6) = 1, mostre que 12 | n2 − 1. 18. Sabendo que mdc(a, b) = 1, demonstre que: (a) mdc(2a + b, a + 2b) = 1 ou 3; (b) mdc(a + b, a2 + b2 ) = 1 ou 2; (c) mdc(a + b, a2 − ab + b2 ) = 1 ou 3. 19. Sejam a e b inteiros n˜ ao simultaneamente nulos e d = mdc(a, b). Dado um inteiro c tal que a | c e ab | c. b | c, prove que d 2.7.6 Algoritmo de Euclides (m´ etodo para encontrar o m´ aximo divisor comum) Lema 2.2 Sejam a e b inteiros com b 6= 0 e sejam q e r o quociente e o resto da divis˜ ao de a por b, respectiamente, ou seja, a = bq + r. Ent˜ ao mdc(a, b) = mdc(b, r). Prova: Seja d = mdc(a, b). Ent˜ ao d | a e d | b, o que implica d | a − bq, isto ´e, d | r. Logo, d | b e d | r. Se c ´e um inteiro tal que c | b e c | r, ent˜ ao c | bq + r, ou seja, c | a. Assim c | b e c | a, o que implica c ≤ d, pois d = mdc(a, b). Portanto, d = mdc(b, r). CAP´ITULO 2. DIVISIBILIDADE 25 Sejam a e b inteiros n˜ ao simultaneamente nulos. Desejamos determinar o m´ aximo divisor comum de a e b. ´ imediato: E 1. Se a 6= 0, ent˜ ao mdc(a, 0) = |a|. 2. Se a 6= 0, ent˜ ao mdc(a, a) = |a|. 3. Se b | a e b 6= 0, ent˜ ao mdc(a, b) = |b|. Al´em disso, como mdc(a, b) = mdc(|a|, |b|) = mdc(b, a) a determina¸c˜ao do m´aximo divisor comum de reduz ao caso a > b > 0 e b - a. Nestas condi¸c˜oes, a aplica¸c˜ao repetida do algoritmo da divis˜ao nos d´ a as seguintes igualdades: a = bq1 + r1 , 0 < r1 r1 > r2 > r3 > r4 > ... e existem apenas b − 1 inteiros positios menores do que b, ent˜ao necessariamente se chega a uma divis˜ ao cujo resto rn+1 = 0, para algum n ∈ N, isto ´e: rn−2 = rn−1 qn + rn , 0 < rn < rn−1 rn−1 = rn qn+1 + rn+1 , rn+1 = 0 Ou ´ltimo resto rn 6= 0 que aparece nesta sequˆencia de divis˜oes ´e o m´aximo divisor comum de a e b, pois, pelo lema anterior, temos: mdc(a, b) = mdc(b, r1 ) = mdc(r1 , r2 ) = ... = mdc(rn−2 , rn−1 ) = mdc(rn−1 , rn ) = rn pois rn | rn−1 Dispositivo pr´ atico para o Algoritmo de Euclides: a r1 q1 b r2 q2 r1 r3 q3 r2 r4 r3 ... rn−2 rn qn rn−1 0 qn+1 rn Tabela 2.1: a > b > 0 e b - a ⇒ mdc(a, b) = rn Observa¸ c˜ ao 2.13 1. O Algoritmo de Euclides ´e tamb´em denominado de Processo das Divis˜ oes Sucessivas. 2. O Algoritmo de Euclides tamb´em pode ser usado para encontrar uma express˜ ao do mdc(a, b) = rn como combina¸c˜ ao linear de a e b. Basta eliminar sucessivamente os restos rn−1 , rn−2 , ..., r3 , r2 , r1 entre as n primeiras igualdades anteriores. CAP´ITULO 2. DIVISIBILIDADE 26 Exemplo 2.7 (a) Encontre o mdc(726, −275) pelo algoritmo de Euclides e sua express˜ ao como combina¸c˜ ao linear de 726 e −275. (b) O m´ aximo divisor comum de dois inteiros positivos a e b ´e 74 e na sua determina¸c˜ ao pelo algoritmo de Euclides os quocientes obtidos foram 1, 2, 2, 5, 1 e 3. Calcule a e b. 2.7.7 Algoritmo euclidiano estendido Se d = mdc(a, b), como encontrar x e y inteiros tais que d = ax + by de uma maneira mais simples? Calculando o m´ aximo divisor comum entre a e b, obtemos a sequˆencia de divis˜oes, que vamos re-escrever na forma: a = bq1 + r1 e r1 = ax1 + by1 b = r1 q2 + r2 e r2 = ax2 + by2 r1 = r2 q3 + r3 e r3 = ax3 + by3 r2 = r3 q4 + r4 e r4 = ax4 + by4 .................... rn−2 = rn−1 qn + rn e rn = axn + byn rn−1 = rn qn+1 e rn+1 = 0 Os n´ umeros x1 , x2 , ..., xn e y1 , y2 , ..., yn s˜ao inteiros a determinar. Vamos condensar a informa¸c˜ ao acima em uma tabela: CAP´ITULO 2. DIVISIBILIDADE restos a b r1 r2 r3 ... rj−2 rj−1 rj ... rn−2 rn−1 rn 27 quocientes ∗ ∗ q1 q2 q3 ... qj−2 qj−1 qj ... qn−2 qn−1 qn x x−1 x0 x1 x2 x3 ... xj−2 xj−1 xj ... xn−2 xn−1 xn y y−1 y0 y1 y2 y3 ... yj−2 yj−1 yj ... yn−2 yn−1 yn Tabela 2.2: Algoritmo euclidiano estendido Observa¸ c˜ ao 2.14 1. As duas primeiras linhas da tabela, denominadas linha −1 e linha 0, ”legalmente”n˜ ao deveriam existir, pois nem a nem b s˜ ao restos. 2. Preenchimento das colunas x e y: Vamos supor que j´ a recebemos a tabela preenchida at´e a (j −1)-´esima linha. Come¸camos a preencher a j-´esima linha dividindo rj−2 por rj−1 para encontrar rj e qj , de forma que rj−2 = rj−1 qj + rj e 0 ≤ rj < rj−1 . Assim rj = rj−2 − rj−1 qj . (I) 3. Lendo nas linhas (j − 1) e (j − 2) os valores de xj−2 , xj−1 , yj−2 e yj−1 , podemos escrever rj−2 = axj−2 + byj−2 e rj−1 = axj−1 + byj−1 . Substituindo estes valores em (I), obtemos: rj = (axj−2 + byj−2 ) − (axj−1 + byj−1 )qj = a(xj−2 − qj xj−1 ) + b(yj−2 − qj yj−1 ) Portanto, xj = xj−2 − qj xj−1 e yj = yj−2 − qj yj−1 . 4. Para calcular xj e yj , usamos apenas valores contidos nas duas linhas imediatamente anteriores ` a linha j, al´em do quociente qj . 5. Concluindo: sabemos preencher qualquer linha da tabela, desde que as duas que a precedem sejam conhecidas. 6. Para preencher as linhas −1 e 0 usamos o mesmo procedimento. Devemos ter a = ax−1 + by−1 e b = ax0 + by0 o que nos sugere escolher x−1 = 1, y−1 = 0, x0 = 0 e y0 = 1, o que nos possibilita come¸car o processo recursivo para determinar a tabela acima. 7. Finalizado o preenchimento da tabela e descoberto o mdc entre a e b, obtemos, tamb´em, d = rn = axn + byn , ou seja, x = xn e y = yn s˜ ao os inteiros procurados. CAP´ITULO 2. DIVISIBILIDADE 28 Exemplo 2.8 Encontre uma express˜ ao do mdc(726, −275) como combina¸c˜ ao linear de 726 e −275, usando o algoritmo euclidiano estendido. 2.8 2.8.1 M´ınimo m´ ultiplo comum M´ ultiplos comuns de dois inteiros O conjunto de todos os m´ ultiplos de um inteiro qualquer a indica-se por M (a) = {x ∈ Z : a | x} = {aq : q ∈ Z}. Exemplo 2.9 M (1) = Z M (0) = {0} M (−5) = {−5q : q ∈ Z} = {0, ±5, ±10, ±15, ...} M (a) = M (−a), ∀a ∈ Z Defini¸ c˜ ao 2.6 Chama-se m´ ultiplo comum dos inteiros a e b, todo inteiro x tal que a | x e b | x. Em outras palavras, m´ ultiplo comum de a e b ´e todo inteiro que pertence simultaneamente aos conjuntos M (a) e M (b). O conjunto de todos os m´ ultiplos comuns de a e b indica-se por M (a, b), isto ´e, M (a, b) = {x ∈ Z : a | x e b | x} = {x ∈ Z : x ∈ M (a) e x ∈ M (b)} = M (a) ∩ M (b) Observa¸ c˜ ao 2.15 1. M (a, b) = M (b, a) 2. M (a, b) 6= ∅, pois 0 ∈ M (a) ∩ M (b) = M (a, b) Exemplo 2.10 M (6) = {0, ±6, ±12, ±18, ±24, ±30, ±36, ±48, ...} M (−8) = {0, ±8, ±16, ±32, ±40, ±48, ...} M (6, −8) = M (6) ∩ M (−8) = {o, ±24, ±48, ...} CAP´ITULO 2. DIVISIBILIDADE 2.8.2 29 M´ınimo m´ ultiplo comum de dois inteiros Defini¸ c˜ ao 2.7 Sejam a e b inteiros n˜ ao nulos. Um inteiro positivo m ´e m´ınimo m´ ultiplo comum de a e b se, e somente se, satisfaz as seguintes condi¸c˜ oes: 1. a | m e b | m; (m ´e m´ ultiplo comum de a e b) 2. Se c ´e um inteiro positivo tal que a | c e b | c, ent˜ ao m ≤ c. (m ´e o menor m´ ultiplo comum positivo de a e b) Nota¸ c˜ ao: m = mmc(a, b) Observa¸ c˜ ao 2.16 Sejam a e b inteiros n˜ ao nulos. 1. Oconjunto M+∗ (a, b) dos m´ ultiplos comuns positivos de a e b ´e n˜ ao vazio, pois |ab| ∈ M+∗ (a, b). Assim, pelo PBO, M+∗ (a, b) possui menor elemento e, portanto, o m´ınimo m´ ultiplo comum de a e b sempre existe e ´e u ´nico. 2. mmc(a, b) ≤ |ab|, pois |ab| ∈ M+∗ (a, b). 3. mmc(a, b) = mmc(b, a). 4. mmc(a, b) = mmc(|a|, |b|). 5. Se a | b, ent]ao mmc(a, b) = |b|. Exemplo 2.11 M (12) = {0, ±12, ±24, ±36, ±48, ±60, ±72, ...} M (−18) = {0, ±18, ±36, ±54, ±72, ±90, ...} M (12, −18) = {0, ±36, ±72, ...} mmc(12, −18) = 36 2.8.3 Rela¸c˜ ao entre mdc e mmc Lema 2.3 Sejam a e b inteiros n˜ ao nulos e mmc(a, b) = m. Ent˜ ao M (m) = M (a, b). Prova: Seja x ∈ M (m). Ent˜ ao m | x. Como m = mmc(a, b) temos a | m e b | m e, como m | x, obtemos a | x e b | x. Logo x ∈ M (a, b) e, portanto, M (m) ⊂ M (a, b). Seja x ∈ M (a, b). Ent˜ ao a | x e b | x. Pelo algoritmo da divis˜ao de x por m, existem inteiros q e r tais que x = mq + r, com 0 ≤ r < m. Como a | x, b | x, a | m e b | m, ent˜ao a | x − mq e b | x − mq, isto ´e, a | r e b | r. Supondo r > 0 temos que m ≤ r, pois m = mmc(a, b), o que ´e um absurdo j´a que r < m. Logo r = 0 e x = mq, ou seja, x ∈ M (m). Portanto M (a, b) ⊂ M (m). Teorema 2.7 Se a e b s˜ ao inteiros n˜ ao nulos, ent˜ ao mdc(a, b).mmc(a, b) = |ab|. Prova: Sejam d = mdc(a, b) e m = mmc(a, b). Temos: b a ab |ab| |ab| a | a. e b | b. ⇒ ∈ M (a, b) ⇒ ∈ M (a, b) = M (m) ⇒ ∃k ∈ Z tal que = k.m. d d d d d Como |ab| > 0, d > 0 e m > 0, ent˜ ao k > 0. |a| m |b| m |a| |b| |a| |b| Temos tamb´em: = .k e = .k, o que implica k ∈ D ∩D . Mas mdc , = d |b| d |a| d d d d a b mdc , = 1. Assim k ´e um inteiro tal que 0 < k ≤ 1, ou seja, k = 1. d d |ab| Logo, = k.m = 1.m = m e, portanto, |ab| = d.m, isto ´e, |ab| = mdc(a, b).mmc(a, b). d CAP´ITULO 2. DIVISIBILIDADE 30 Exemplo 2.12 Determinar mmc(726, −275). Pelo algoritmo de Euclides temos que mdc(726, −275) = 11 726 × 275 Logo mmc(726, −275) = = 18.150 11 Corol´ ario 2.4 Para todo par de inteiros positivos a e b, mmc(a, b) = ab se, e somente se, mdc(a, b) = 1. Prova: Aplica¸c˜ ao direta do teorema anterior. Teorema 2.8 (Teorema de caracteriza¸ c˜ ao do mmc) Sejam a e b inteiros n˜ ao nulos. O inteiro positivo m ´e mmc(a, b) se, e somente se, m satisfaz as seguintes condi¸c˜ oes: (i) a | m e b | m; (ii) Se c ´e um inteiro tal que a | c e b | c, ent˜ ao m | c. Prova: (⇒) Seja m = mmc(a, b). Ent˜ ao m satisfaz a condi¸c˜ao (i). Se c ´e um inteiro tal que a | c e b | c, ent˜ao c ∈ M (a, b) = M (m), pelo lema. Logo m | c e, portanto, a condi¸c˜ao (ii) tamb´em ´e satisfeita. (⇐) Seja m um inteiro positivo satisfazendo (i) e (ii). Desejamos mostrar que m = mmc(a, b), ou seja: (1) a | m e b | m; (2) Se c ´e um inteiro positivo tal que a | c e b | c, ent˜ao m ≤ c. A condi¸c˜ao (1) ´e satisfeita por (i). Se c ´e um inteiro positivo tal que a | c e b | c, ent˜ao m | c por (ii) e, obtemos m = |m| ≤ |c| = c. Logo, m = mmc(a, b). Observa¸ c˜ ao 2.17 O conceito de m´ınimo m´ ultiplo comum definido para dois inteiros a e b n˜ ao nulos estende-se de maneira natural a mais de dois inteiros. Por exemplo, para a, b e c inteiros n˜ ao nulos, o m´ınimo m´ ultiplo comum de a, b e c, denotado por mmc(a, b, c), ´e o inteiro positivo m que satisfaz as seguintes condi¸c˜ oes: 1. a | m, b | m e c | m; 2. Se e ´e um inteiro positivo tal que a | e, b | e e c | e, ent˜ ao m ≤ e. 2.8.4 Exerc´ıcios 1. Encontre o m´ aximo divisor comum dos seguintes inteiros e sua express˜ao como combina¸c˜ ao linear desses inteiros pelo Algoritmo de Euclides: (a) 232 e 136; (b) −187 e −221. 2. Usando a rela¸c˜ ao existente entre mdc e mmc, calcule o m´ınimo m´ ultiplo comum dos pares de inteiros do exerc´ıcio anterior. 3. Sendo a e b inteiros n˜ ao nulos, mostre que mdc(a, b) divide mmc(a, b). 4. Mostre que se a e b s˜ ao inteiros positivos tais que mdc(a, b) = mmc(a, b), ent˜ao a = b. CAP´ITULO 2. DIVISIBILIDADE 5. Determine os inteiros positivos a e b sabendo que: (a) ab = 4.032 e mmc(a, b) = 336 (b) mdc(a, b) = 8 e mmc(a, b) = 560 mmc(a, b) (c) a + b = 589 e = 84 mdc(a, b) 6. Para todo n ∈ Z, n 6= 0, −1, calcule: (a) mmc(n, n + 1) (b) mmc(2n − 1, 2n + 1) (c) mmc(2n, 2n + 2) 7. Dados os inteiros n˜ ao nulos a e b, prove que: (a) mdc(a, b) = mmc(a, b) se, e somente se, |a| = |b|. (b) Para todo k ∈ Z, k 6= 0, mmc(ka, kb) = |k|.mmc(a, b). mmc(a, b) a b = (c) Se k | a e k | b, ent˜ ao mmc , . k k |k| 31 Cap´ıtulo 3 N´ umeros primos e o Teorema Fundamental da Aritm´ etica 3.1 N´ umeros primos e compostos Defini¸ c˜ ao 3.1 Seja n ∈ N, com n > 1. Dizemos que n ´e um n´ umero primo se seus u ´nicos divisores positivos s˜ ao a unidade e ele mesmo. Caso contr´ ario, dizemos que n ´e composto. Em outras palavras, um n´ umero natural n > 1 ´e primo se sempre que escrevermos n = a.b, com a, b ∈ N, temos necessariamente a = 1, b = n ou a = n, b = 1. Consequentemente um n´ umero natural n > 1 ´e composto se existem a, b ∈ N, com 1 < a < n e 1 0, ent˜ ao ou a ´e primo, ou a ´e composto, ou a = 1. 3. O n´ umero 2 ´e o u ´nico natural par que ´e primo. (Verifique isto!) 4. De acordo com a defini¸c˜ ao acima, para decidir se um dado n´ umero n ´e primo ´e necess´ ario verificar a divisibilidade dele por todos os n´ umeros naturais menores que ele, o que fica extremamente trabalhoso ` a medida que avan¸camos na sequˆencia dos n´ umeros naturais. Os resultados a seguir nos garantem que ´e suficiente testar a divisibilidade de n pelos primos menores que a sua raiz quadrada. Proposi¸ c˜ ao 3.1 Seja n ∈ N, com n > 2. Ent˜ ao n admite pelo menos um divisor primo. Prova: Seja S = {x ∈ N : x > 2 e x | n}. Temos que S ⊂ N e S 6= ∅, pois n ∈ S. Logo, pelo PBO, S admite menor elemento p. Vamos mostrar que p ´e primo. De fato, se p n˜ ao fosse primo e como p > 2, existiriam naturais a e b tais que p = ab, onde 1 < a 2. Logo a ∈ S, contrariando a minimalidade de p, pois a < p. Portanto, p ´e primo. 32 ´ ´ CAP´ITULO 3. NUMEROS PRIMOS E O TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMETICA 33 Proposi¸ c˜ ao 3.2 Seja n ∈ N, com n > 2. Se n ´e composto, ent˜ ao n admite pelo menos um fator primo √ p 6 n. Prova: Como n ´e composto ent˜ ao existem a e b tais que n = a.b, onde 1 < a < n e 1 < b < n. √ Supondo a 6 b temos a2 6 a.b = n, isto ´e, a 6 n. Pela proposi¸c˜ao anterior existe p primo tal que p | a. √ Como p | a e a | n, ent˜ ao p | n e temos tamb´em que p 6 a 6 n. √ Logo, n possui um divisor primo p 6 n. Observa¸ c˜ ao 3.2 1. A proposi¸c˜ ao anterior fornece um processo que permite reconhecer se um dado natural n > 1 ´e primo √ ou ´e composto. Basta dividir n sucessivamente pelos primos menores do que n; se a divis˜ ao for √ exata para algum primo menor do que n, ent˜ ao n ´e composto, caso contr´ ario n ´e primo. Exemplo 3.2 Determine se n = 1969 ´e primo. ´ conveniente ent˜ 2. E ao termos ` a nossa disposi¸c˜ ao uma lista de primos. V´ arias tabelas de n´ umeros primos, at´e certo limite, j´ a foram calculadas. O c´ alculo destas tabelas baseia-se num algoritmo ou crivo, desenvolvido por Erat´ osthenes (276-194 A.C.), que consiste no seguinte: 3.2 Crivo de Erat´ osthenes Escrevem-se na ordem natural todos os n´ umeros naturais a partir de 2 at´e n e, em seguida, eliminam-se √ todos os inteiros compostos que s˜ ao m´ ultiplos dos primos p tais que p 6 n, isto ´e, 2p, 3p, 4p, ..., at´e n. Os n´ umeros que sobrarem na tabela s˜ ao todos os primos entre 2 e n. Exemplo 3.3 Contrua a tabela de todos os primos menores do que 100. 11 21 31 41 51 61 71 81 91 2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 9 10 19 20 29 30 39 40 49 50 59 60 69 70 79 80 89 90 99 100 ´ ´ CAP´ITULO 3. NUMEROS PRIMOS E O TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMETICA 34 Teorema 3.1 Se um n´ umero primo p n˜ ao divide um inteiro a, ent˜ ao a e p s˜ ao inteiros primos entre si. Prova: Corol´ ario 3.1 (Caracteriza¸ c˜ ao dos n´ umeros primos) Se p ´e um n´ umero primo tal que p | ab, onde a, b ∈ Z, ent˜ ao p | a ou p | b. Prova: Corol´ ario 3.2 Se p ´e um n´ umero primo tal que p | a1 .a2 .....an , onde ai ∈ Z, para todo i ∈ {1, 2, 3, ..., n}, ent˜ ao p | ak para algum k ∈ {1, 2, 3, ..., n}. Prova: Corol´ ario 3.3 Se os inteiros p, q1 , q2 , ..., qn s˜ ao todos n´ umeros primos e se p | q1 .q2 ....qn , ent˜ ao p = qk para algum k ∈ {1, 2, 3, ..., n}. Prova: ´ ´ CAP´ITULO 3. NUMEROS PRIMOS E O TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMETICA 35 Teorema 3.2 (Euclides) Existem infinitos n´ umeros primos. Prova: Proposi¸ c˜ ao 3.3 Dado um n´ umero natural n > 2, existem n n´ umeros compostos consecutivos. Prova: Observa¸ c˜ ao 3.3 Sabendo-se que existem infinitos n´ umeros primos coloca-se a quest˜ ao da distribui¸c˜ ao deles na sequˆencia dos n´ umeros naturais e a proposi¸c˜ ao anterior parece indicar que os n´ umeros primos n˜ ao est˜ ao distribu´ıdos de maneira regular e que eles s˜ ao cada vez mais raros a medida que se avan¸ca na sequˆencia num´erica. Por outro lado, dizemos que dois primos s˜ ao gˆemeos se eles s˜ ao n´ umeros ´ımpares consecutivos, como por exemplo, 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13, 239 e 241 e um antigo problema que at´e hoje n˜ ao foi resolvido ´e se existe ou n˜ ao um n´ umero infinito de primos gˆemeos. Um resultado importante sobre a distribui¸c˜ ao dos n´ umeros primos diz respeito ` a fun¸c˜ ao Π : N → N o definida por Π(n) = n de primos positivos menores ou iguais a n. O Teorema de Euclides (teorema 3.2) nos diz que lim Π(n) = ∞. Gauss (1777-1855) conjecturou empiricamente que, para valores grandes de n→∞ n n, Π(n) era aproximadamente e este resultado foi demonstrado em 1896 pelos franceses Jacques Haln n damard e Charles Jean de la Vall´ee-Poussin, chamado de Teorema dos N´ umeros Primos. Posteriormente uma prova mais elementar foi dada pelos matem´ aticos Atle Selberg e Paul Erd¨ os. A tabela seguinte compara os valores de Π(x) com as aproxima¸c˜ oes x/lnx. x 10 103 105 107 109 1011 1013 1015 Π(x) 4 168 9.592 664.579 50.847.534 4.118.054.813 346.065.536.839 29.844.570.422.669 Π(x) − x/ ln x (0,3) 23 906 44.158 2.592.592 169.923.159 11.992.858.452 891.604.962.452 Π(x)/(x/ ln x) 0,921 1,161 1,104 1,071 1,054 1,043 1,034 1,031 ´ ´ CAP´ITULO 3. NUMEROS PRIMOS E O TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMETICA 3.3 36 Teorema Fundamental da Aritm´ etica Teorema 3.3 (Fundamental da Aritm´ etica) Um n´ umero natural n > 2 ou ´e primo ou pode ser escrito de maneira u ´nica, a menos da ordem dos fatores, como um produto de n´ umeros primos. Prova: Existˆ encia: (Por indu¸c˜ ao sobre n) Seja P (n) a afirmativa: n ´e um n´ umero primo ou pode ser escrito como um produto de n´ umeros primos. P (2) ´e verdadeira, pois 2 ´e primo. Suponhamos a afirmativa verdadeira para todo natural m com 2 6 m 6 k e provemos que P (k + 1) ´e verdadeira. Se k + 1 ´e primo , ent˜ ao P (k + 1) ´e verdadeira. Se k + 1 n˜ ao ´e primo, ent˜ ao k + 1 pode ser escrito como k + 1 = a.b, onde a, b ∈ N, 2 6 a 6 k e 2 6 b 6 k. Pela hip´ otese de indu¸c˜ ao, a e b s˜ao primos ou podem ser escritos como produto de primos. Logo, k + 1 = a.b ´e tamb´em um produto de n´ umeros primos, ou seja, P (k + 1) ´e verdadeira. Unicidade: Seja S = {n ∈ N : n tem duas decomposi¸c˜oes distintas como produto de primos} e suponhamos, por absurdo, que S 6= ∅. Logo, pelo PBO, S tem menor elemento m. Assim, m = p1 p2 ...pr = q1 q2 ...qs , onde pi , qj s˜ao primos para i = 1, 2, ..., r e j = 1, 2, ..., s e ainda p1 6 p2 6 ... 6 pr e q1 6 q2 6 ... 6 qs . Da´ı segue que: p1 | m ⇒ p1 | q1 q2 ...qs ⇒ p1 = qk , para algum k ∈ {1, 2, ..., s} ⇒ p1 > q1 q1 | m ⇒ q1 | p1 p2 ...pr ⇒ q1 = ph , para algum h ∈ {1, 2, ..., r} ⇒ q1 > p1 Segue que p1 = q1 e, portanto, p2 p3 ...pr = q2 q3 ...qs representando duas decomposi¸c˜oes diferentes como produto de primos para um natural menor do que m, contrariando, assim, o fato de m ser o elemento m´ınimo de S. Portanto S = ∅. Corol´ ario 3.4 Todo n´ umero inteiro n˜ ao nulo diferente de ±1 pode ser escrito como ±1 vezes um n´ umero primo ou um produto de n´ umeros primos. Esta express˜ ao ´e u ´nica exceto pela ordem na qual os fatores primos aparecem. Observa¸ c˜ ao 3.4 1. Um n´ umero negativo q cujo sim´etrico −q ´e um n´ umero natural primo ´e chamado de primo negativo. Por exemplo, 2, 3, 5 s˜ ao n´ umeros primos enquanto −2, −3, −5 s˜ ao primos negativos. 2. Na fatora¸c˜ ao de um n´ umero natural a > 1, o mesmo primo p pode aparecer v´ arias vezes e, ent˜ ao, agrupando estes primos, podemos escrever a decomposi¸ca ˜o de a em fatores primos como: a = pr11 pr22 ...prnn onde para cada i = 1, 2, ..., n, ri ´e um inteiro positivo e pi ´e um primo com p1 < p2 < ... < pn . Esta decomposi¸c˜ ao ´e denominada decomposi¸ c˜ ao canˆ onica do natural a > 1. 3 2 Exemplo: 360 = 2 .3 .5 3. Conhecidas as decomposi¸c˜ oes canˆ onicas de dois naturais a > 1 e b > 1, o mdc(a, b) ´e o produto dos fatores primos comuns ` as duas decomposi¸c˜ oes canˆ onicas tomados cada um com o menor expoente e o mmc(a, b) ´e o produto dos fatores primos comuns e n˜ ao comuns ` as duas decomposi¸co ˜es canˆ onicas tomados cada um com o maior expoente. (exerc´ıcio 12) Exemplo: 588 = 22 .3.72 e 936 = 23 .32 .13 ´ ´ CAP´ITULO 3. NUMEROS PRIMOS E O TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMETICA 3.4 37 A procura de n´ umeros primos Um dos problemas mais antigos de que se tem not´ıcia ´e a procura de um polinˆomio que gerasse todos os n´ umeros primos ou cujos valores fossem somente n´ umeros primos. Alguns matem´aticos da Idade M´edia acreditavam, por exemplo, que o polinˆ omio p(x) = x2 + x + 41 assumisse valores primos para qualquer n´ umero inteiro x > 0. Como j´ a foi visto, este resultado ´e verdadeiro para x = 0, 1, ..., 39 mas p(40) ´e composto. Nas diversas tentativas de se obter uma f´ormula que gerasse primos, a maioria das afirma¸c˜ oes feitas neste sentido revelaram-se erradas, mas esta procura contribuiu de maneira significativa para o desenvolvimento da Teoria dos N´ umeros. n Fermat observou que para n = 0, 1, 2, 3 e 4 os n´ umeros Fn = 22 + 1 eram primos e, a partir da´ı, conjecturou, em 1640, que para qualquer n ∈ N, Fn era um n´ umero primo. Mas, em 1739, Euler mostrou que F5 era divis´ıvel por 641. Desde ent˜ ao tentou-se descobrir outros n´ umeros primos de Fermat (nome dado hoje aos n´ umeros da forma acima) al´em dos cinco primeiros. Hoje j´a se sabe que Fn n˜ao ´e primo para 5 6 n 6 16, mas ainda n˜ ao foi provado se o n´ umero de primos de Fermat ´e finito ou n˜ao. Um processo para determinar n´ umeros primos grandes ´e atrav´es dos n´ umeros da forma Mk = 2k − 1 que s˜ao chamados n´ umeros primos de Mersenne (1588-1648). N˜ao ´e dif´ıcil provar que se Mk ´e um n´ umero primo, ent˜ao k ´e tamb´em primo. Em 1644, Mersenne afirmou o seguinte: “Todo n´ umero Mp ´e primo para p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 31, 67, 127 e 257 e ´e composto para os outros primos p tais que 2 < p < 257”. Observe que M2 = 3, M3 = 7, M5 = 31, M7 = 127, M13 = 8.191, M1 7 = 131.071, M19 = 524.287, M31 = 2.147.483.647 e mesmo naquela ´epoca tinham d´ uvidas em rela¸c˜ ao a esta afirma¸c˜ao pois n˜ao existiam processos pr´aticos para verificar, por exemplo, se M31 era primo ou n˜ ao. De fato, para isto necessitava-se de uma t´abua de n´ umeros primos at´e 46.340 e, no entanto, a maior t´ abua conhecida por Mersenne s´o continha primos menores do que 750. Sua conjectura n˜ ao era correta; ele errou ao incluir os n´ umeros 67 e 257 e ao excluir os primos 19, 61, 89 e 107. O maior primo conhecido at´e Julho de 2009 ´e M43112609 que possui 12.978.189 (quase 13 milh˜ oes) de d´ıgitos!! (fonte: http://primes.utm.edu e http://www.mersenne.org - acessados em 21/07/2009) Em 1639, Pierre de Fermat enunciou a seguinte conjectura: “Um n´ umero natural n > 1 ´e primo se, e somente se, 2n − 2 ´e divis´ıvel por n”. Em 1819, Pierre Fr´ed´eric Sarrus, matem´atica francˆes, descobriu que 341 satisfaz as condi¸c˜ oes da conjectura e nˆao ´e um n´ umero primo. Mais tarde, outros n´ umeros, como 15 e 91, foram descobertos. Entretanto uma parte da conjectura ´e verdadeira e o teorema de Fermat, o qual demonstraremos no Cap´ıtulo 6, ´e uma generaliza¸c˜ao deste fato: “Se p ´e primo e a ∈ N, a > 1, ent˜ ao p a − a ´e divis´ıvel por p”. 3.5 Exerc´ıcios 1. Ache todos os pares de primos p e q tais que p − q = 3. 2. Ache todos os primos que s˜ ao iguais a um quadrado perfeito menos 1. 3. Ache todos os primos que s˜ ao iguais a um cubo perfeito menos 1. 4. Determine todos os primos p tais que 3p + 1 ´e um quadrado perfeito. 5. Determine todos os inteiros positivos n tais que n, n + 2 e n + 4 s˜ao todos primos. 6. Mostre que a soma de dois inteiros positivos ´ımpares e consecutivos ´e sempre um inteiro composto. 7. Ache o menor inteiro positivo n pelo qual se deve dividir 3.720 para se obter um quadrado perfeito. 8. Ache todos os primos que s˜ ao divisores de 50!. 9. Mostre que se n ∈ Z, n 6= ±1, n2 + 2 ´e primo, ent˜ao 3 | n. ´ ´ CAP´ITULO 3. NUMEROS PRIMOS E O TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMETICA 38 10. Mostre que se p > 1 divide (p − 1)! + 1, ent˜ao p ´e primo. 11. Mostre que: √ (a) 2 ´e irracional. (b) Se p ´e primo, ent˜ ao √ p ´e irracional. 12. Sejam a e b inteiros positivos tais que a = pr11 pr22 ...prkk e b = ps11 ps22 ...pskk onde pi ´e primo, ri , si ∈ Z, ri > 0, si > 0 para i = 1, 2, ..., k e pi 6= pj se i 6= j. Mostre que mdc(a, b) = pt11 pt22 ...ptkk e mmc(a, b) = pu1 1 pu2 2 ...puk k onde ti = min{ri , si } e ui = max{ri , si }, para i = 1, 2, ..., k. 13. Demonstre que todo primo, exceto 2 e 3, ´e da forma 6k − 1 ou 6k + 1 onde k ´e um inteiro positivo. 14. Mostre que todo inteiro da forma n4 + 4, com n > 1, ´e composto. 15. Mostre que todo inteiro da forma 8n + 1, com n > 1, ´e composto. 16. Mostre que, se n > 4 ´e composto, ent˜ao n divide (n − 1)!. (Sugest˜ao: fa¸ca n = ab e estude separadamente os casos a 6= b e a = b. Se a = b, mostre que 2 6 2a < n) 17. Mostre que existem infinitos primos da forma 6n + 5. Cap´ıtulo 4 Equa¸ c˜ oes Diofantinas Lineares 4.1 Generalidades Estamos interessados em procurar solu¸c˜oes inteiras de equa¸c˜oes lineares com duas inc´ognitas, x e y, do tipo ax + by = c, onde a, b e c s˜ ao inteiros dados com ab 6= 0. Em R temos infinitas solu¸c˜ oes, pois ax + by = c representa uma reta, da´ı o nome linear. Equa¸c˜oes onde olhamos para suas solu¸c˜oes em uma classe restrita de n´ umeros, como os n´ umeros inteiros, inteiros positivos, inteiros negativos, racionais, etc., s˜ao chamadas equa¸c˜oes diofantinas. Este nome ´e devido ao matem´ atico grego Diofanto (±300 d. C.) por causa do seu interesse em resolver problemas cujas solu¸c˜oes fossem n´ umeros inteiros ou racionais. Outros tipos de equa¸c˜ oes diofantinas: x2 + y 2 = z 2 , x2 + 2y 2 = 1, x4 − y 4 = z 4 Defini¸ c˜ ao 4.1 Uma equa¸c˜ ao diofantina linear ´e uma express˜ ao da forma ax + by = c, na qual a, b e c s˜ ao inteiros com ab 6= 0 e cujas solu¸c˜ oes est˜ ao restritas aos n´ umeros inteiros. Uma solu¸c˜ ao dessa equa¸c˜ ao ´e um par de inteiros (x0 , y0 ) tal que ax0 + by0 = c. Exemplo 4.1 a) 2x + 3y = 5 Como 2.1 + 3.1 = 5 e 2.4 + 3.(−1) = 5 ent˜ ao os pares de inteiros (1, 1) e (4, −1) s˜ ao solu¸c˜ oes da equa¸c˜ ao 2x + 3y = 5. b) 4x − 2y = 7 Tal equa¸c˜ ao diofantina linear n˜ ao tem solu¸c˜ ao, pois 4x − 2y ´e par, para quaisquer inteiros x e y, e 7 ´e ´ımpar. 4.2 Condi¸ c˜ ao de existˆ encia de solu¸c˜ ao Teorema 4.1 A equa¸ca ˜o diofantina linear ax + by = c tem solu¸c˜ ao se, e somente se, d | c, sendo d = mdc(a, b). Prova: 39 ˜ CAP´ITULO 4. EQUAC ¸ OES DIOFANTINAS LINEARES 40 Observa¸ c˜ ao 4.1 No exemplo da letra b) temos mdc(4, −2) = 2 e 2 - 7; logo 4x − 2y = 7 n˜ ao tem solu¸c˜ ao inteira. 4.3 Solu¸ c˜ oes da equa¸ c˜ ao diofantina linear ax + by = c Teorema 4.2 Se d | c, sendo d = mdc(a, b), e se o par de inteiros (x0 , y0 ) ´e uma solu¸c˜ ao particular da equa¸c˜ ao diofantina linear ax + by = c, ent˜ ao todas as solu¸c˜ oes deta equa¸c˜ ao s˜ ao dadas pelas f´ ormulas: b x = x0 + t d a y = y0 − t d onde t ´e um inteiro arbitr´ ario. Prova: ˜ CAP´ITULO 4. EQUAC ¸ OES DIOFANTINAS LINEARES 41 Observa¸ c˜ ao 4.2 1. Podemos concluir que se d = mdc(a, b) e d | c ent˜ ao a equa¸c˜ ao diofantina linear ax + by = c admite um n´ umero infinito de solu¸c˜ oes, uma para cada valor do inteiro arbitr´ ario t. 2. Se mdc(a, b) = 1 e se (x0 , y0 ) ´e uma solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao diofantina linear ax + by = c, ent˜ ao todas as solu¸c˜ oes desta equa¸c˜ ao s˜ ao dadas pelas f´ ormulas: x = x0 + b.t y = y0 − a.t onde t ´e um inteiro arbitr´ ario. 3. Uma solu¸ca ˜o particular da equa¸c˜ ao diofantina linear ´e obtida por tentativas ou pelo algoritmo de Euclides e a solu¸c˜ ao geral ´e obtida pelo teorema anterior. 4.4 Exerc´ıcios 1. Determine todas as solu¸c˜ oes inteiras da equa¸c˜ao diofantina linear 172x + 20y = 1000. 2. Determine todas as solu¸c˜ oes inteiras e positivas da equa¸c˜ao diofantina linear 18x + 5y = 48. 3. Resolva a equa¸c˜ ao diofantina linear 39x + 26y = 105. 4. Resolva a equa¸c˜ ao diofantina linear 14x + 22y = 50. 5. Encontre a solu¸c˜ ao geral, caso exista, das seguintes equa¸c˜oes diofantinas: (a) 56x + 72y = 40 (b) 84x − 438y = 156 (c) 57x − 99y = 77 (d) 17x + 54y = 8 6. Encontre as solu¸c˜ oes inteiras e positivas de: (a) 5x − 11y = 29 (b) 32x + 55y = 771 (c) 62x + 11y = 788 (d) 158x − 57y = 7 7. Encontre as solu¸c˜ oes inteiras e negativas de: (a) 6x − 15y = 51 (b) 6x + 15y = 51 8. Determine o menor inteiro positivo que dividido por 8 e por 15 deixa restos 6 e 13, respectivamente. 9. Exprima 100 como soma de dois inteiros positivos de modo que o primeiro seja divis´ıvel por 7 e o segundo seja divis´ıvel por 11. 10. Determine as duas menores fra¸c˜ oes positivas que tenham 13 e 17 para denominadores e cuja soma 305 seja igual a . 221 11. Demonstre que, se a e b s˜ ao inteiros positivos primos entre si, ent˜ao a equa¸c˜ao diofantina linear ax − by = c tem um n´ umero infinito de solu¸c˜oes inteiras e positivas. Cap´ıtulo 5 Congruˆ encias 5.1 Inteiros congruentes Defini¸ c˜ ao 5.1 Sejam a e b inteiros quaisquer e seja m um inteiro fixo n˜ ao nulo. Dizemos que a ´e congruente a b m´ odulo m se, e somente se, m | a − b. Nota¸ c˜ ao: a ≡ b (mod m) Observa¸ c˜ ao 5.1 1. a ≡ b (mod m) ⇔ m | a − b ⇔ ∃k ∈ Z tal que a − b = km 2. a ≡ b (mod 1), para quaisquer inteiros a e b. 3. a ≡ 0 (mod m) ⇔ m | a. 4. a ≡ b (mod m) ⇔ a ≡ b (mod − m) Em vista desta observa¸c˜ ao, podemos, daqui para frente, considerar sempre m > 0. 5. Se m - a − b, dizemos que a ´e incongruente a b m´ odulo m, ou a n˜ ao ´e congruente a b m´ odulo m e denotamos a 6≡ b (mod m). Exemplo 5.1 1. 15 ≡ 3 (mod 4), pois 15 − 3 = 3.4 2. −4 ≡ 2 (mod 3), pois 3 | (−4 − 2). 3. −30 6≡ 4 (mod 5), pois 5 - (−30 − 4). 4. Mostre que se n | 7 (mod 12), ent˜ ao n ≡ 3 (mod 4), ∀n ∈ Z. 5. Mostre que se n ∈ Z, ent˜ ao n2 ≡ 0 (mod 4) ou n2 ≡ 1 (mod 4). 42 ˆ CAP´ITULO 5. CONGRUENCIAS 5.2 43 Caracteriza¸ c˜ ao de inteiros congruentes Proposi¸ c˜ ao 5.1 Dois inteiros a e b s˜ ao congruentes m´ odulo m se, e somente se, a e b deixam o mesmo resto quando divididos por m Prova: Exemplo 5.2 1. −56 = 9(−7) + 7 e −11 = 9(−2) + 7; logo −56 ≡ −11 (mod 9). 2. −31 ≡ 11 (mod 7); logo −31 e 11 deixam o mesmo resto quando divididos por 7. Realmente: −31 = 7(−5) + 4 e 11 = 7(1) + 4. 5.3 Propriedades Proposi¸ c˜ ao 5.2 Seja m um inteiro positivo fixo (m > 0) e sejam a, b, c, d e k inteiros quaisquer, com k > 0. Ent˜ ao temos: 1. a ≡ a (mod m) (Reflexiva) 2. a ≡ b (mod m) ⇒ b ≡ a (mod m) (Sim´etrica) 3. a ≡ b (mod m) e b ≡ c (mod m) ⇒ a ≡ c (mod m) (Transitiva) 4. a ≡ b (mod m) e k | m ⇒ a ≡ b (mod k) 5. a ≡ b (mod m) ⇒ ak ≡ bk (mod mk) 6. a ≡ b (mod m) e a, b, m s˜ ao divis´ıveis por k ⇒ a b m ≡ (mod ) k k k 7. a ≡ b (mod m) e c ≡ d (mod m) ⇒ a + c ≡ b + d (mod m) 8. a ≡ b (mod m) e c ≡ d (mod m) ⇒ ac ≡ bd (mod m) 9. a ≡ b (mod m) ⇒ a + c ≡ b + c (mod m) 10. a ≡ b (mod m) ⇒ ac ≡ bc (mod m) 11. a ≡ b (mod m) ⇒ an ≡ bn (mod m), ∀n ∈ {1, 2, 3, ...} ˆ CAP´ITULO 5. CONGRUENCIAS 44 Prova: Observa¸ c˜ ao 5.2 1. A rela¸c˜ ao R no conjunto Z definida por a R b ⇔ a ≡ b (mod m) ´e reflexiva, sim´etrica e transitiva, ou seja, R ´e uma rela¸c˜ ao de equivalˆencia em Z. Esta rela¸c˜ ao de equivalˆencia R em Z ´e denominada “congruˆencia m´ odulo m”. 2. A nota¸c˜ ao a ≡ b (mod m) introdzida por Gauss e convenientemente semelhante ` a igualdade, como vimos, satisfaz v´ arias regras da ´ algebra elementar. Uma regra que ´e v´ alida para a igualdade, mas que n˜ ao ´e v´ alida para a congruˆencia m´ odulo m ´e a do cancelamento: Se ac ≡ bc (mod m) e c 6= 0 n˜ ao ´e necessariamente verdade que a ≡ b (mod m). De fato, 4.3 ≡ 8.3 (mod 12) mas 4 6≡ 8 (mod 12). A proposi¸ca ˜o a seguir nos garante em que condi¸c˜ oes a lei do cancelamento pode ser utilizada. ˆ CAP´ITULO 5. CONGRUENCIAS 45 Proposi¸ c˜ ao 5.3 Se ac ≡ bc (mod m) e se mdc(c, m) = 1, ent˜ ao a ≡ b (mod m). Prova: Se ac ≡ bc (mod m), ent˜ ao m | (ac − bc) ⇔ m | (a − b)c. Como mdc(c.m) = 1, ent˜ao pelo teorema de Euclides, m | a − b, isto ´e, a ≡ b (mod m). Corol´ ario 5.1 Se ac ≡ bc (mod m) e se mdc(c, m) = d, ent˜ ao a ≡ b (mod m ). d Prova: Corol´ ario 5.2 Se ac ≡ bc (mod p), p primo, e se p - c, ent˜ ao a ≡ b (mod p). Prova: 5.4 Sistema completo de restos Defini¸ c˜ ao 5.2 Seja m um inteiro positivo fixo. Chama-se sistema completo de restos m´ odulo m (SCR mod m) todo conjunto S = {r1 , r2 , ..., rm } de m inteiros tal que um inteiro qualquer a ´e congruente m´ odulo m a um u ´nico elemento de S. Proposi¸ c˜ ao 5.4 O conjunto S = {0, 1, 2, ..., m − 1} ´e um sistema completo de restos m´ odulo m (ou SCR mod m) Prova: Queremos mostrar que todo inteiro a ´e congruente m´odulo m a exatamente um dos valores 0, 1, 2, ..., m − 1. Seja a ∈ Z. Pelo algoritmo da divis˜ ao de a por m, existem u ´nicos inteiros q e r tais que a = mq + r com 0 6 r 6 m − 1. Logo, a − r = mq e a ≡ r (mod m). Pela unicidade de r, obtemos o resultado. Corol´ ario 5.3 S 0 = {r1 , r2 , ..., rm } ⊂ Z ´e um SCR mod m se, e somente se, cada elemento de S 0 ´e congruente m´ odulo m a um u ´nico elemento de S = {0, 1, 2, ..., m − 1}. Prova: (⇒) Seja s ∈ S. Ent˜ ao s ≡ r (mod m) para um u ´nico r ∈ S 0 , pois S 0 ´e um SCR mod m por hip´ otese. (⇐) Seja a ∈ Z. Ent˜ ao a ≡ k (mod m) para um u ´nico k ∈ S, pois S ´e um SCR mod m pela proposi¸c˜ ao anterior. Por hip´ otese existe um u ´nico r ∈ S 0 tal que k ≡ r (mod m); logo existe um u ´nico r ∈ S 0 tal que a ≡ r (mod m). Portanto S 0 ´e um SCR mod m. ˆ CAP´ITULO 5. CONGRUENCIAS 46 Exemplo 5.3 S = {−12, −4, 11, 13, 22, 82, 91} ´e um SCR mod 7, pois 0 ≡ 91 (mod 7), 1 ≡ 22 (mod 7), 2 ≡ −12 (mod 7), 3 ≡ −4 (mod 7), 4 ≡ 11 (mod 7), 5 ≡ 82 (mod 7) e 6 ≡ 13 (mod 7). 5.5 Exerc´ıcios 1. Mostre que se a ≡ b (mod m), ent˜ ao −a ≡ −b (mod m). 2. Mostre que se a + b ≡ c (mod m), ent˜ao a ≡ c − b (mod m). 3. Sabendo que 1066 ≡ 1776 (mod m), ache todos os poss´ıveis valores de m. 4. Re-escreva a express˜ ao “n ´e ´ımpar” de trˆes outras maneiras. 5. Ache todos os inteiros x tais que 0 6 x 6 15 e 3x ≡ 6 (mod 15). 6. Ache todos os inteiros x tais que 1 6 x 6 100 e x ≡ 7 (mod 17). 7. Sabendo que k ≡ 1 (mod 4), mostre que 6k + 5 ≡ 3 (mod 4). 8. Mostre, mediante um exemplo, que a2 ≡ b2 (mod m) n˜ao implica a ≡ b (mod m). 9. Mostre que todo primo (exceto 2) ´e congruente m´odulo 4 a 1 ou 3. 10. Mostre que todo primo (exceto 2 e 3) ´e congruente m´odulo 6 a 1 ou 5. 11. Mostre que 1110 ≡ 1 (mod 100). 12. Mostre que 41 divide 220 − 1. 13. Ache os restos das divis˜ oes de 250 e 465 por 7. 14. Mostre: (a) 89 | (244 − 1) (b) 97 | (248 − 1) 15. Demonstre que se a ≡ b (mod m), ent˜ao mdc(a, m) = mdc(b, m). 16. Mostre, mediante um exemplo, que ak ≡ bk (mod m) e k ≡ j (mod m) n˜ao implica aj ≡ bj (mod m). 17. Demonstre as seguintes proposi¸c˜ oes: (a) Se a ´e um inteiro ´ımpar, ent˜ ao a2 ≡ 1 (mod 8) (b) Se a ´e um inteiro qualquer, ent˜ao a3 ´e congruente a 0 ou 1 ou 8 m´odulo 9. (c) Se a ´e um inteiro qualquer, ent˜ao a3 ≡ a (mod 6). 18. Mostre que se a ≡ b (mod r) e a ≡ b (mod s), ent˜ao a ≡ b (mod m), onde m = mmc(r, s). ˆ CAP´ITULO 5. CONGRUENCIAS 5.6 5.6.1 47 Classes residuais Revis˜ ao Sejam A e B dois conjuntos n˜ ao vazios. Uma rela¸c˜ao de A em B ´e qualquer subconjunto do produto cartesiano A × B. Uma rela¸c˜ao sobre A ´e uma rela¸c˜ ao de A em A. Uma rela¸c˜ao de equivalˆencia R sobre A ´e uma rela¸c˜ao sobre A que satisfaz as seguintes propriedades: 1. Reflexiva: (∀x ∈ A) (x R x) 2. Sim´etrica: (∀x ∈ A)(∀y ∈ A) (x R y → y R x) 3. Transitiva: (∀x ∈ A)(∀y ∈ A)(∀z ∈ A) (x R y e y R z → x R z) Se R ´e uma rela¸c˜ ao de equivalˆencia sobre A e a ∈ A definimos: Cl(a) = a = {x ∈ A : x R a} (classe de equivalˆencia de a ∈ A pela rela¸c˜ao de equivalˆencia R) A/R = {a : a ∈ A} (conjunto quociente de A pela rela¸c˜ao de equivalˆencia R) 5.6.2 Defini¸c˜ ao e propriedades Defini¸ c˜ ao 5.3 Seja m um inteiro positivo fixo. Se a ´e um inteiro qualquer ent˜ ao a classe residual m´ odulo m de a, denotada por a (ou [a]m ou am ), consiste do conjunto formado por todos os inteiros que s˜ ao congruentes ao inteiro a m´ odulo m, isto ´e, a = {x ∈ Z : x ≡ a (mod m)} = {x ∈ Z : m | x − a} = {a + km : k ∈ Z}. Observa¸ c˜ ao 5.3 1. A nota¸c˜ ao a deve ser usada somente quando ficar claro, pelo contexto, o valor do inteiro m utilizado, do contr´ ario a nota¸c˜ ao [a]m ´e a mais indicada. 2. A classe residual de um inteiro ´e a classe de equivalˆencia deste inteiro pela rela¸c˜ ao de congruˆencia (que ´e uma rela¸c˜ ao de equivalˆencia como visto anteriormente). 3. Se m = 1 e a ∈ Z temos a = {x ∈ Z : 1 | x − a} = Z. 4. As classes residuais m´ odulo m tamb´em s˜ ao denominadas inteiros m´ odulo m ou classes de restos m´ odulo m ou classes de congruˆencia m´ odulo m. 5. Se a ∈ Z, ent˜ ao a 6= ∅, pois como a ≡ a (mod m) temos que a ∈ a. Exemplo 5.4 Seja m = 12. Temos: • 3 = {x ∈ Z : x ≡ 3 (mod 12)} = {x ∈ Z : 12 | x − 3} = {x ∈ Z : x = 2k + 3, para algum k ∈ Z} = {..., −21, −9, 3, 15, ...} • 15 = {x ∈ Z : x ≡ 15 (mod 12)} Como 15 ≡ 3 (mod 12) ent˜ ao x ≡ 15 (mod 12) se, e somente se, x ≡ 3 (mod 12). Logo, 15 = {x ∈ Z : x ≡ 3 (mod 12)} = 3 ˆ CAP´ITULO 5. CONGRUENCIAS 48 Proposi¸ c˜ ao 5.5 Seja m um inteiro positivo fixo e sejam a e b as classes residuais m´ odulo m de dois inteiros quaisquer a e b. Ent˜ ao: 1. a = b ⇔ a ≡ b (mod m) 2. a ∩ b = ∅ ou a = b Prova: Observa¸ c˜ ao 5.4 A classe residual a diz-se determinada ou definida pelo inteiro a, o qual chama-se um representante de a. Dois inteiros s˜ ao representantes de uma mesma classe residual m´ odulo m (a = b) se, e somente se, s˜ ao congruentes m´ odulo m (a ≡ b (mod m)). 5.6.3 O conjunto das classes residuais O conjunto formado por todas as classes residuais m´odulo m, ou seja, {a : a ∈ Z} ´e indicado por Zm (ou Z/mZ). Observa¸ c˜ ao 5.5 1. A nota¸c˜ ao Zm , comumente usada no Brasil, ´e tamb´em utilizada para denotar o conjunto dos inteiros p-´ adicos estudados em Teoria Anal´ıtica dos N´ umeros. Como no nosso curso n˜ ao trataremos de inteiros p-´ adicos usaremos a nota¸c˜ ao acima para o conjunto das classes residuais m´ odulo m. 2. Se m = 1, ent˜ ao a = Z, ∀a ∈ Z; logo Z1 = {Z}. 3. Zm ´e o conjunto quociente de Z pela rela¸c˜ ao de equivalˆencia congruˆencia m´ odulo m. ˆ CAP´ITULO 5. CONGRUENCIAS 49 Proposi¸ c˜ ao 5.6 O conjunto Zm tem exatamente m elementos. Prova: Vamos mostrar que Zm = {0, 1, ..., m − 1} e que {0, 1, ..., m − 1} tem exatamente m elementos. ´ claro que {0, 1, ..., m − 1} ⊂ Zm . 1) E 2) Seja a ∈ Zm , onde a ∈ Z. Pelo algoritmo da divis˜ao de a por m, existem inteiros q e r tais que a = mq+r, 0 6 r 6 m−1. Assim a−r = mq ⇒ m | a−r. Logo a ≡ r (mod m) e, pela proposi¸c˜ao anterior, temos a = r. Como 0 6 r 6 m − 1 ent˜ ao a = r ∈ {0, 1, ..., m − 1}. Portanto, Zm ⊂ {0, 1, ..., m − 1}. De 1) e 2) conclu´ımos que Zm = {0, 1, ..., m − 1}. 3) Suponha que r = s, onde r, s ∈ Z tais que 0 6 r < s 6 m − 1. Pela proposi¸c˜ao anterior temos que r ≡ s (mod m). Assim s ≡ r (mod m) e m | s − r. Mas isto ´e um absurdo, pois 0 < s − r < m. Portanto {0, 1, ..., m − 1} tem exatamente m elementos. Observa¸ c˜ ao 5.6 1. Zm ´e um conjunto finito embora Z seja um conjunto infinito. 2. Para achar a classe residual m´ odulo m de um inteiro qualquer y, basta determinar o resto r da divis˜ ao de y por m, pois y = r com 0 6 r 6 m − 1 ao subconjuntos n˜ ao vazios de Z, 3. As classes residuais 0, 1, ..., m − 1 que formam o conjunto Zm s˜ disjuntos dois a dois e sua reuni˜ ao ´e o conjunto Z. Logo, Zm ´e uma parti¸c˜ ao de Z. 4. O conjunto de m representantes, um de cada uma das classes residuais 0, 1, ..., m − 1, ´e um sistema completo de restos m´ odulo m. 5. A imagem geom´etrica correspondente a Zm ´e de uma circunferˆencia onde est˜ ao marcados m pontos equidistantes. Cada ponto corresponde a uma das classes de equivalˆencia de Zm . (Enrolamos Z (na reta) em cima da circunferˆencia. Colamos o ponto m ao ponto 0. Como a reta ´e infinita, continuamos a enrol´ a-la na circunferˆencia) 5.6.4 Adi¸c˜ ao e Multiplica¸c˜ ao em Zm Seja m um inteiro positivo fixo. Vamos definir as opera¸c˜ oes de adi¸c˜ ao e multiplica¸c˜ao no conjunto Zm das classes residuais m´ odulo m. Sejam a, x, b, y ∈ Zm . Temos que se a = x e b = y, ent˜ ao a ≡ x (mod m) e b ≡ y (mod m); logo a + b ≡ x + y (mod m) e ab ≡ xy (mod m) e, consequentemente, a + b = x + y e ab = xy. Isto torna l´ıcitas as seguintes defini¸co˜es: ˆ CAP´ITULO 5. CONGRUENCIAS 50 Defini¸ c˜ ao 5.4 1. Dadas duas classes a, b ∈ Zm , chama-se soma a + b a classe a + b (que ´e u ´nica, independentemente do representante tomado para a ou para b). + : Zm × Zm −→ Zm (a, b) 7−→ a + b = a + b 2. Dadas duas classes a, b ∈ Zm , chama-se produto a.b a classe ab (que ´e u ´nica, independentemente do representante tomado para a ou para b). . : Zm × Zm −→ Zm 7−→ a.b = ab (a, b) Proposi¸ c˜ ao 5.7 Sejam a, b, c ∈ Zm . 1. Associatividade da soma: (a + b) + c = a + (b + c) 2. Comutatividade da soma: a + b = b + a 3. Elemento neutro para a soma: a + 0 = a 4. Elemento sim´ etrico para a soma: a + m − a = 0 5. Associatividade do produto: (a.b).c = a.(b.c) 6. Comutatividade do produto: a.b = b.a 7. Elemento neutro para o produto: a.1 = a 8. Distributividade da multiplica¸ c˜ ao em rela¸ c˜ ao ` a adi¸ c˜ ao: a.(b + c) = a.b + a.c Prova: ˆ CAP´ITULO 5. CONGRUENCIAS 51 Proposi¸ c˜ ao 5.8 a ∈ Zm ´e simetriz´ avel para a multiplica¸c˜ ao, isto ´e, admite inverso multiplicativo se, e somente se, mdc(a, m) = 1 Prova: (⇒) a ∈ Zm admite inverso multiplicativo ⇒ ∃b ∈ Zm tal que a.b = 1 ⇒ ab = 1 ⇒ ab ≡ 1 (mod m) ⇒ ⇒ m | ab − 1 ⇒ ∃q ∈ Z tal que ab − 1 = mq ⇒ ab − mq = 1 ⇒ ab + m(−q) = 1 ⇒ mdc(a, m) = 1. (⇐) mdc(a, m) = 1 ⇒ ∃x, y ∈ Z tal que ax + my = 1 ⇒ ax − 1 = m(−y) ⇒ m | ax − 1 ⇒ ⇒ ax ≡ 1 (mod m) ⇒ ax = 1 ⇒ a.x = 1 ⇒ a admite inverso multiplicativo. Observa¸ c˜ ao 5.7 O conjunto dos elementos de Zm que tˆem inverso multiplicativo ser´ a denotado por U(m), isto ´e, U(m) = {a ∈ Zm : mdc(a, m) = 1}. Exemplos: Para p primo temos U(p) = {a ∈ Zp : mdc(a, p) = 1} = Zp − {0} U(4) = {1, 3} U(8) = {1, 3, 5, 7} 5.6.5 Exerc´ıcios 1. Construa as tabelas de adi¸c˜ ao de Z4 e Z5 . 2. Construa as tabelas de multiplica¸ca˜o para Z4 e Z5 . 3. Determine todos os elementos invers´ıveis de Z9 e encontre os seus respectivos inversos multiplicativos. 5.7 5.7.1 Congruˆ encias lineares Defini¸c˜ ao e condi¸c˜ ao de existˆ encia Defini¸ c˜ ao 5.5 Chama-se congruˆencia linear toda equa¸c˜ ao da forma ax ≡ b (mod m), onde a, b, m ∈ Z, m > 0. Todo inteiro x0 tal que ax0 ≡ b (mod m) diz-se uma solu¸c˜ ao da congruˆencia linear ax ≡ b (mod m). Observa¸ c˜ ao 5.8 1. ax0 ≡ b (mod m) ⇔ m | (ax0 − b) ⇔ ∃y0 ∈ Z tal que ax0 − b = my0 ⇔ ax0 − my0 = b. Isto mostra que o problema de achar todos os inteiros que satisfa¸cam a congruˆencia linear ax ≡ b (mod m) reduz-se ao de obter todas as solu¸c˜ oes da equa¸c˜ ao diofantina linear ax − my = b. 2. Se x0 ´e solu¸c˜ ao de ax ≡ b (mod m) ent˜ ao todos os inteiros da forma x0 +km, com k ∈ Z, s˜ ao tamb´em solu¸c˜ oes desta congruˆencia linear. Note que tais solu¸c˜ oes s˜ ao mutuamente congruentes m´ odulo m. Por exemplo, na congruˆencia linear 3x ≡ 9 (mod 12) temos que x0 = 3 ´e solu¸c˜ ao pois 3.3 ≡ 9 (mod 12); assim todos os inteiros da forma 3 + 12k, com k ∈ Z, s˜ ao solu¸c˜ oes de 3x ≡ 9 (mod 12). 3. Duas solu¸c˜ oes quaisquer, x0 e x1 , de ax ≡ b (mod m) que s˜ ao congruentes m´ odulo m ( x0 ≡ x1 (mod m) ) n˜ ao s˜ ao consideradas solu¸c˜ oes distintas, isto ´e, o n´ umero de solu¸c˜ oes de ax ≡ b (mod m) ´e dado pelo n´ umero de solu¸c˜ oes mutuamente n˜ ao congruentes m´ odulo m que a satisfazem. Por exemplo, 3 e −9 s˜ ao solu¸c˜ oes de 3x ≡ 9 (mod 12), por´em, como 3 ≡ −9 (mod 12), estas n˜ ao s˜ ao consideradas solu¸c˜ oes diferentes para a congruˆencia linear 3x ≡ 9 (mod 12). Teorema 5.1 A congruˆencia linear ax ≡ b (mod m) tem solu¸c˜ ao se, e somente se, d | b, onde d = mdc(a, m). Prova: Temos: ax ≡ b (mod m) tem solu¸c˜ ao ⇔ existe x0 ∈ Z tal que ax0 ≡ b (mod m) ⇔ existe x0 ∈ Z tal que m | ax0 − b ⇔ existem x0 , y0 ∈ Z tais que ax0 − my0 = b ⇔ ax − my = b tem solu¸c˜ao ⇔ d | b, onde d = mdc(a, m). ˆ CAP´ITULO 5. CONGRUENCIAS 5.7.2 52 Solu¸c˜ oes da congruˆ encia linear ax ≡ b (mod m) Teorema 5.2 Se d | b, onde d = mdc(a, m), ent˜ ao a congruˆencia linear ax ≡ b (mod m) tem exatamente d solu¸c˜ oes mutuamente n˜ ao congruentes m´ odulo m. Prova: Sabemos que a congruˆencia linear ax ≡ b (mod m) (I) ´e equivalente `a equa¸c˜ao diofantina ax − my = b (II). Se d | b, ent˜ ao ax ≡ b (mod m) tem uma solu¸c˜ao x0 ∈ Z. Assim existe y0 ∈ Z tal que (x0 , y0 ) ´e uma solu¸c˜ao particular da equa¸c˜ ao diofantina (II) e todas as suas solu¸c˜oes s˜ao dadas pelas f´ormulas: x = x0 + . Em x = x0 + de (I): m t d e a y = y0 − t, d t∈Z m t, t ∈ Z, atribua a t os valores 0, 1, 2, ..., d − 1, isto ´e, considere as seguintes d solu¸c˜ oes d m m m , x0 + 2 , ..., x0 + (d − 1) d d d Vamos mostrar que estas d solu¸c˜ oes de (I) s˜ao mutuamente n˜ao congruentes m´odulo m e que qualquer outra solu¸c˜ao de (I) ´e congruente m´ odulo m a algum desses d inteiros. m m m m Suponhamos que x0 + t1 ≡ x0 + t2 (mod m), onde 0 ≤ t1 < t2 ≤ d−1. Ent˜ao t1 ≡ t2 (mod m) d d d d m m e como mdc ,m = temos que t1 ≡ t2 (mod m). Isto significa que d | t2 − t1 e 0 < t2 − t1 < d, o d d que ´e um absurdo. Portanto as d solu¸c˜ oes de (I), enumeradas acima, s˜ao mutuamente n˜ao congruentes m´odulo m. m Seja x1 ∈ Z, solu¸c˜ ao de (I). Ent˜ ao ∃y1 ∈ Z tal que (x1 , y1 ) ´e solu¸c˜ao de ax−my = b. Logo x1 = x0 + t, d para algum t ∈ Z. Pelo algoritmo da divis˜ao de t por d, existem inteiros q e r tais que t = dq + r, onde 0 ≤ r ≤ d − 1. Assim temos: x0 , x 0 + x1 = x0 + donde segue que: sendo x0 + m m m t = x0 + (dq + r) = x0 + mq = r d d d m m x1 − x0 + r = mq ⇒ x1 ≡ x0 + r (mod m) d d m r um dos d inteiros enumerados acima. d Observa¸ c˜ ao 5.9 Pela demonstra¸c˜ ao do teorema anterior conclu´ımos que se x0 ´e uma solu¸c˜ ao qualquer de ax ≡ b (mod m), ent˜ ao as suas d = mdc(a, m) solu¸c˜ oes mutuamente n˜ ao congruentes m´ odulo m s˜ ao os inteiros: m m m x0 , x0 + , x0 + 2 , ..., x0 + (d − 1) d d d Corol´ ario 5.4 Se mdc(a, m) = 1, ent˜ ao a congruˆencia linear ax ≡ b (mod m) tem uma ”´ unica” solu¸c˜ ao. Exemplo 5.5 Resolver as seguintes congruˆencias lineares: (a) 18x ≡ 30 (mod 42) (b) 11x ≡ 2 (mod 317) (c) 35x ≡ 5 (mod 14) (d) 64x ≡ 16 (mod 84) ˆ CAP´ITULO 5. CONGRUENCIAS 5.8 53 Resolu¸ c˜ ao de equa¸ co ˜es diofantinas lineares por congruˆ encia Sabemos que a equa¸c˜ ao diofantina linear ax + by = c (I) tem solu¸c˜ao se, e somente se, d | c, onde d = mdc(a, b). Se (x0 , y0 ) ´e uma solu¸c˜ ao particular desta equa¸c˜ao, ent˜ao ax0 + by0 = c, o que ´e equivalente a ax0 ≡ c (mod b). Portanto para obter uma solu¸c˜ ao particular de (I) basta determinar uma solu¸c˜ao x0 da congruˆencia linear ax ≡ c (mod b) e substituir este valor x0 de x em (I), a fim de encontrar o valor correspondente y0 de y, isto ´e, ax0 + by0 = c. Observa¸ c˜ ao 5.10 Do mesmo modo pode-se obter uma solu¸c˜ ao particular de (I) determinando uma solu¸c˜ ao qualquer y0 da congruˆencia linear by ≡ c (mod a). Exemplo 5.6 Resolver as seguintes equa¸c˜ oes diofantinas por congruˆencia: (a) 48x + 7y = 17 (b) 9x + 16y = 35 5.9 Inverso de um inteiro m´ odulo m Seja a ∈ Z. Chama-se inverso de a m´ odulo m todo inteiro a∗ tal que a.a∗ ≡ 1 (mod m). Observa¸ c˜ ao 5.11 1. Nem todo inteiro tem inverso m´ odulo m. 2x ≡ 1 (mod 4) n˜ ao tem solu¸c˜ ao. Por exemplo, 2 n˜ ao tem inverso m´ odulo 4, pois 2. Se a∗ ∈ Z ´e inverso de a m´ odulo m, ent˜ ao a0 ∈ Z tal que a0 ≡ a∗ (mod m) ´e tamb´em inverso de a m´ odulo m e na contagem ´e considerado como um inverso apenas. 3. a ∈ Z tem inverso m´ odulo m se, e somente se, mdc(a.m) = 1. 4. Se mdc(a, m) = 1, ent˜ ao a tem um ”´ unico” inverso m´ odulo m. Exemplo 5.7 1. Ache o inverso de 5 m´ odulo 8. 2. Ache o inverso de 2 m´ odulo 5. ˆ CAP´ITULO 5. CONGRUENCIAS 5.10 54 Teoremas de Fermat e de Wilson Teorema 5.3 (”pequeno teorema de Fermat”) Se p ´e um n´ umero primo e p - a, ent˜ ao ap−1 ≡ 1 (mod p). Prova: Considere os seguintes p − 1 m´ ultiplos de a: a, 2a, 3a, ..., (p − 1)a. Afirma¸ c˜ ao 1: p - ra, ∀r ∈ {1, 2, 3, ..., p − 1}. De fato, se p | ra para algum r ∈ {1, 2, 3, ..., p − 1}, ent˜ao p | r ou p | a, pois p ´e primo. Mas p - r, pois 0 < r < p, e p - a por hip´ otese. Assim p - ra, ∀r ∈ {1, 2, 3, ..., p − 1}, e ra ≡ 6 0 (mod p), ∀r ∈ {1, 2, 3, ..., p − 1}. Afirma¸ c˜ ao 2: ra 6≡ sa (mod p), para r, s ∈ {1, 2, ..., p − 1} e r 6= s. Com efeito, suponha que ra ≡ sa (mod p), 1 ≤ r < s ≤ p−1. Ent˜ao r ≡ s (mod p), pois mdc(a, p) = 1. Assim s ≡ r (mod p) e segue que s − r ´e um m´ ultiplo de p. Mas isto ´e um absurdo pois 0 < s − r < p. Das afirma¸c˜ oes anteriores conclu´ımos que cada um dos inteiros a, 2a, 3a, ..., (p − 1)a ´e congruente m´odulo p a um u ´nico inteiro da sequˆencia 1, 2, 3, ..., p − 1 considerados numa certa ordem. Assim, temos: a.2a.3a...(p − 1)a ≡ 1.2.3...(p − 1) (mod p) ou seja, ap−1 (p − 1)! ≡ (p − 1)! (mod p) ⇒ ap−1 ≡ 1 (mod p) pois mdc(p, (p − 1)!) = 1. Observa¸ c˜ ao 5.12 Se p ´e primo e p | a n˜ ao ´e necessariamente verdade que ap−1 ≡ 1 (mod p). Por exemplo, fazendo p = 2 e a = 4, ´e f´ acil ver que 2 | 4 e 42−1 6≡ 1 (mod 2). Corol´ ario 5.5 Se p ´e um n´ umero primo, ent˜ ao ap ≡ a (mod p), qualquer que seja o inteiro a. Prova: Seja a ∈ Z. Se p | a temos a ≡ 0 (mod p) e, assim, ap ≡ 0 (mod p). Logo, pelas propriedades sim´etrica e transitiva, obtemos ap ≡ a (mod p). Se p - a, ent˜ ao, pelo Teorema de Fermat, ap−1 ≡ 1 (mod p). Portanto, a.ap−1 ≡ a.1 (mod p), isto ´e, p a ≡ a (mod p). Teorema 5.4 Seja a ∈ Z. Se p e q s˜ ao primos distintos tais que ap ≡ a (mod q) e aq ≡ a (mod p), ent˜ ao pq a ≡ a (mod pq). Prova: Pelo corol´ario anterior temos (aq )p ≡ aq (mod p) e (ap )q ≡ ap (mod q). Por hip´otese temos aq ≡ a (mod p) e ap ≡ a (mod q). Logo, obtemos: apq ≡ a (mod p) e apq ≡ a (mod q) ⇒ p | apq − a e q | apq − a ⇒ pq | apq − a pois mdc(p, q) = 1. Portanto, apq ≡ a (mod pq) ˆ CAP´ITULO 5. CONGRUENCIAS 55 Lema 5.1 Seja p um n´ umero primo. Ent˜ ao a2 ≡ 1 (mod p) implica a ≡ 1 (mod p) ou a ≡ p − 1 (mod p). Ou seja, os u ´nicos elementos de Zp que s˜ ao iguais ao seu inverso s˜ ao 1 e p − 1. Prova: Temos que: Se a2 ≡ 1 (mod p), segue que p | a2 − 1, isto ´e, p | (a − 1)(a + 1). Como p ´e primo, devemos ter p | (a + 1) ou p | (a − 1). No primeiro caso temos a ≡ −1 (mod p) ⇒ a ≡ p − 1 (mod p). No segundo caso temos a ≡ 1 (mod p). Mas, como 1 ≤ a ≤ p − 1 segue que a = 1 ou a = p − 1. Teorema 5.5 (Wilson) Se p ´e um n´ umero primo, ent˜ ao (p − 1)! ≡ −1 (mod p). Prova: O teorema ´e verdadeira para p = 2 e p = 3, pois: (2 − 1)! = 1! = 1 ≡ −1 (mod 2) (3 − 1)! = 2! = 2 ≡ −1 (mod 3) de modo que vamos supor p ≥ 5. Pelo lema anterior os u ´nicos elementos que s˜ao iguais ao seu inverso s˜ao 1 e p − 1 e como em Zp todos os elementos n˜ ao nulos s˜ ao invers´ıveis temos que: 2.3...(p − 2) ≡ 1 (mod p) Desta forma temos: 2.3...(p − 2)(p − 1) ≡ (p − 1) (mod p) e, portanto, (p − 1)! ≡ −1 (mod p) Teorema 5.6 (Rec´ıproco do teorema de Wilson) Seja n ∈ Z, n > 1. Se (n − 1)! ≡ −1 (mod n), ent˜ ao n ´e primo. Prova: Suponha que n seja composto. Ent˜ ao n tem um divisor d tal que 1 < d < n. Como 1 < d ≤ n − 1, ent˜ao d ´e um dos fatores de (n − 1)! e, portanto, d | (n − 1)!. Por hip´otese n | (n − 1)! + 1 e como d | n temos d | (n − 1)! + 1. Como d | (n − 1)! + 1 e d | (n − 1)!, ent˜ao d | 1. Logo d = ±1, o que contradiz o fato de d > 1. Portanto n ´e primo. Observa¸ c˜ ao 5.13 O teorema de Wilson e seu rec´ıproco d˜ ao um crit´erio para reconhecer se um dado inteiro ´e primo: “Um inteiro n > 1 ´e primo se, e somente se, (n − 1)! ≡ −1 (mod n).” Note que para inteiros grandes este crit´erio ´e impratic´ avel. 5.11 Crit´ erios de divisibilidade usando congruˆ encias Lema 5.2 Se a ≡ b (mod m) e se P (x) = n X ck xk = c0 + c1 x + c2 x2 + ... + cn xn ´e um polinˆ omio em x k=0 com coeficientes ck inteiros, ent˜ ao P (a) ≡ P (b) (mod m). Prova: Temos: a ≡ b (mod m) ⇒ ak ≡ bk (mod m), ∀k ∈ {0, 1, 2, ..., n} ⇒ ck ak ≡ ck bk (mod m), n n X X k ∀k ∈ {0, 1, 2, ..., n} ⇒ ck a ≡ ck bk (mod m) ⇒ P (a) ≡ P (b) (mod m). k=0 k=0 ˆ CAP´ITULO 5. CONGRUENCIAS 56 Proposi¸ c˜ ao 5.9 (Crit´ erio de divisibilidade por 2) Um inteiro positivo n ´e divis´ıvel por 2 se, e somente se, o algarismo das unidades for divis´ıvel por 2 Prova: Seja n = am am−1 ...a1 a0 a representa¸c˜ao de n na base 10 e considere o polinˆomio na vari´avel x com m X coeficientes inteiros: P (x) = ak xk . k=0 Como 10 ≡ 0 (mod 2) temos, pelo lema anterior, P (10) ≡ P (0) (mod 2). Mas P (10) = n e P (0) = a0 ; logo n ≡ a0 (mod 2). Assim, n ≡ 0 (mod 2) se, e somente se, o algarismo das unidades de n for divis´ıvel por 2. Proposi¸ c˜ ao 5.10 (Crit´ erio de divisibilidade por 3) Um inteiro positivo n ´e divis´ıvel por 3 se, e somente se, a soma de seus algarismos ´e divis´ıvel por 3. Prova: Seja n = am am−1 ...a1 a0 a representa¸c˜ao de n na base 10 e considere o polinˆomio na vari´avel x com m X coeficientes inteiros: P (x) = ak xk . k=0 Como 10 ≡ 1 (mod 3) temos, pelo lema anterior, P (10) ≡ P (1) (mod 3). Sendo S = a0 + a1 + ... + am temos P (1) = S e como P (10) ≡ P (1) (mod 3), ent˜ao n ≡ S (mod 3). Assim, n ≡ 0 (mod 3) se, e somente se, S ≡ 0 (mod 3), isto ´e, n ´e divis´ıvel por 3 se, e somente se, a soma de seus algarismos ´e divis´ıvel por 3. 5.12 Exerc´ıcios 1. Resolva as seguintes congruˆencias lineares: (a) 2x ≡ 1 (mod 17) (b) 3x ≡ 6 (mod 18) (c) 5x ≡ 2 (mod 26) (d) 36x ≡ 8 (mod 102) (e) 8x ≡ 16 (mod 12) 2. Resolva, por congruˆencias, as seguintes equa¸c˜oes diofantinas: (a) 4x + 51y = 9 (b) 5x − 53y = 17 (c) 11x + 27y = 4 (d) 39x + 26y = 104 (e) 65x + 77y = 200 3. Verifique o teorema de Fermat para: (a) a = 3 e p = 7 (b) a = 3 e p = 17 4. Mostre que 538 ≡ 4 (mod 11). 5. Mostre que 2340 ≡ 1 (mod 341) 6. Verifique o teorema de Wilson para p = 7. ˆ CAP´ITULO 5. CONGRUENCIAS 57 7. Verifique se o inteiro 11 ´e primo. 8. Qual ´e o resto da divis˜ ao de 18! por 19? 9. Ache o resto da divis˜ ao de 15! por 17. 10. Mostre que a13 ≡ a (mod 7) para todo inteiro a. 11. Mostre que, se o mdc(a, 35) = 1, ent˜ao a12 ≡ 1 (mod 35). 12. Demonstre que, para todo inteiro a, se tem: (a) a37 ≡ a (mod 13) (b) a21 ≡ a (mod 15) (c) a7 ≡ a (mod 42) 13. Mostre que 18! + 1 ≡ 0 (mod 437). 14. Mostre que: (a) 561 | 2561 − 2 (b) 561 | 3561 − 3 15. Ache o algarismo das unidades de 3100 . 7 9 16. Ache o algarismo das unidades de 77 e 99 . 17. Ache o algarismo das unidades de 222333 + 333222 1000 18. Ache os dois u ´ltimos algarismos de 77 . 19. Enuncie e prove, usando congruˆencias, os crit´erios de divisibilidade por 5, 9 e 11. 5.13 A fun¸ c˜ ao ϕ de Euler Defini¸ c˜ ao 5.6 A fun¸c˜ ao ϕ (fi) de Euler ´e a fun¸c˜ ao ϕ : N → N onde ϕ(n) ´e o n´ umero de inteiros positivos menores do que ou iguais a n que s˜ ao relativamente primos com n, ou seja, ϕ(n) = #{t ∈ Z : 1 ≤ t ≤ n e mdc(t, n) = 1} Observa¸ c˜ ao 5.14 A fun¸c˜ ao acima ´e uma fun¸c˜ ao aritm´etica. Exemplo 5.8 Calcule ϕ(1), ϕ(2) e ϕ(8). Defini¸ c˜ ao 5.7 Um sistema reduzido de res´ıduos m´ odulo m ´e um conjunto de ϕ(m) inteiros r1 , r2 , ..., rϕ(m) tais que cada elemento do conjunto ´e relativamente primo com m, e se i 6= j, ent˜ ao ri 6≡ rj (mod m) ˆ CAP´ITULO 5. CONGRUENCIAS 58 Exemplo 5.9 O conjunto {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ´e um SCR m´ odulo 8 e o conjunto {1, 3, 5, 7} ´e um sistema reduzido de res´ıduos m´ odulo 8 (SRR m´ odulo 8) Observa¸ c˜ ao 5.15 A fim de se obter um SRR de um SCR m´ odulo m, basta retirar os elementos do sistema completo que n˜ ao s˜ ao relativamente primos com m. Teorema 5.7 Se {r1 , r2 , ..., rm } ´e um SCR m´ odulo m e a, b inteiros tais que mdc(a, m) = 1, ent˜ ao {ar1 + b, ar2 + b, ..., arm + b} tamb´em ´e um SCR m´ odulo m. Teorema 5.8 Seja a um inteiro tal que mdc(a, m) = 1. Se {r1 , r2 , ..., rϕ(m) } ´e um SRR m´ odulo m, ent˜ ao {ar1 , ar2 , ..., arϕ(m) } ´e, tamb´em, um SRR m´ odulo m. Teorema 5.9 (Euler) Sejam a e m inteiros, com m > 0. Se mdc(a, m) = 1, ent˜ ao aϕ(m) ≡ 1 (mod m). Prova: Seja {r1 , r2 , ..., rϕ(m) } um SRR m´ odulo m. Como mdc(a, m) = 1 ent˜ao {ar1 , ar2 , ..., arϕ(m) } ´e, tamb´em, um SRR m´odulo m. Assim, cada elemento de {ar1 , ar2 , ..., arϕ(m) } deve ser congruente a um (e s´o um) elemento de {r1 , r2 , ..., rϕ(m) } (Por quˆe?). Logo, ar1 .ar2 ...arϕ(m) ≡ r1 .r2 ...rϕ(m) (mod m) ou seja, aϕ(m) (r1 .r2 ...rϕ(m) ) ≡ (r1 .r2 ...rϕ(m) ) (mod m) Como mdc(ri , m) = 1 para i ∈ {1, 2, ..., ϕ(m)}, conclui-se que aϕ(m) ≡ 1 (mod m). Observa¸ c˜ ao 5.16 Para p primo temos ϕ(p) = p − 1 e o Teorema de Euler ´e uma generaliza¸c˜ ao do Teorema de Fermat. Teorema 5.10 Para p primo e a um inteiro positivo temos ϕ(pa ) = pa − pa−1 . Prova: Pela defini¸c˜ ao de ϕ(n) temos que ϕ(pa ) ´e o n´ umero de inteiros positivos n˜ao superiores a pa e relativamente primos com pa . Mas os u ´nicos n´ umeros n˜ao relativamente primos com pa e menores do que ou a iguais a p s˜ao aqueles divis´ıveis por p. Como os m´ ultiplos de p n˜ao superiores a pa s˜ao: p, 2p, ..., pa−1 p, a a a−1 ent˜ao ϕ(p ) = p − p . Exemplo 5.10 Calcule ϕ(4) e ϕ(27). Teorema 5.11 A fun¸c˜ ao ϕ de Euler ´e multiplicativa, isto ´e, ϕ(m.n) = ϕ(m).ϕ(n) para inteiros positivos m e n primos entre si. ˆ CAP´ITULO 5. CONGRUENCIAS 59 ao canˆ onica do inteiro positivo n > 1, ent˜ ao Teorema 5.12 Se n = pa11 .pa22 ...par r ´e a decomposi¸c˜ a1 −1 a2 −1 a −1 r ϕ(n) = p1 .p2 ...pr .(p1 − 1).(p2 − 1)...(pr − 1). Prova: Por indu¸c˜ ao, podemos generalizar o teorema anterior, isto ´e, se mdc(mi , mj ) = 1 para i 6= j, ent˜ao ϕ(m1 .m2 ...mr ) = ϕ(m1 ).ϕ(m2 )...ϕ(mr ). Assim, ϕ(n) = ϕ(pa11 .pa22 ...par r ) = ϕ(pa11 ).ϕ(pa22 )...ϕ(par r ) = (pa11 − pa11 −1 ).(pa22 − pa22 −1 )...(par r − prar −1 ) = pa11 −1 .pa22 −1 ...par r −1 .(p1 − 1).(p2 − 1)...(pr − 1). Exemplo 5.11 Calcule ϕ(7865) 5.14 Exerc´ıcios 1. Calcule a forma reduzida de 79876 m´odulo 60. 2. Mostre que ϕ(m) ´e par se m > 2. 3. Mostre que se m e n s˜ ao inteiros positivos tais que m | n, ent˜ao ϕ(m) | ϕ(n). 4. Mostre que existem infinitos inteiros m para os quais ϕ(m) ´e um quadrado perfeito. 5. Mostre que existem infinitos inteiros m para os quais 10 | ϕ(m). ϕ(n) se 6. Mostre que se n ´e um inteiro positivo, ent˜ao ϕ(2n) = 2ϕ(n) se n ´e ´ımpar n ´e par 7. Mostre que para a e b inteiros positivos primos entre si, temos aϕ(b) + bϕ(a) ≡ 1 (mod ab). Cap´ıtulo 6 Sistemas de congruˆ encias lineares 6.1 Introdu¸ c˜ ao Defini¸ c˜ ao ao de congruˆencias lineares. Por 6.1 Um sistema de congruˆencias lineares ´e uma cole¸c˜ x ≡ 1 (mod 3)  x ≡ 2 (mod 5) ´e um sistema de congruˆencias lineares. exemplo,  x ≡ 3 (mod 7) Uma solu¸c˜ ao do sistema de congruˆencias lineares ´e um inteiro x0 que satisfaz a cada uma das congruˆencias lineares do sistema. Observa¸ c˜ ao 6.1 Um sistema de congruˆencias lineares n˜ ao tem necessariamente solu¸ca ˜o, mesmo que cada uma das congruˆencias do sistema, isoladamente, tenha solu¸c˜ ao. Por exemplo, n˜ ao existe inteiro x0 que verifique simultaneamente as congruˆencias lineares x ≡ 1 (mod 2) e x ≡ 0 (mod 4), embora cada uma delas, isoladamente, tenha solu¸c˜ ao. ´ claro que se alguma das congruˆencias do sistema n˜ E ao tem solu¸c˜ ao ent˜ ao o sistema tamb´em n˜ ao tem solu¸c˜ ao.   x ≡ 1 (mod 3) x ≡ 2 (mod 5) . Exemplo 6.1 Resolva o sistema de congruˆencias lineares  x ≡ 3 (mod 7) A primeira congruˆencia nos d´ a x = 1 + 3t, onde t ∈ Z. Substituindo este valor de x na segunda congruˆencia, obtemos: 1 + 3t ≡ 2 (mod 5) ⇒ 3t ≡ 1 (mod 5) ⇒ 6t ≡ 2 (mod 5) ⇒ t ≡ 2 (mod 5) pois 6 ≡ 1 (mod 5). Logo, t = 2 + 5u, com u ∈ Z e, x = 1 + 3t = 1 + 3(2 + 5u) = 7 + 15u. Note que qualquer inteiro da forma 7 + 15u satisfaz as duas primeiras congruˆencias do sistema. Substituindo este valor de x na terceira congruˆencia obtemos: 7 + 15u ≡ 3 (mod 7) ⇒ 15u ≡ 3 (mod 7) ⇒ u ≡ 3 (mod 7) pois 15 ≡ 1 (mod 7). Portanto, u = 3 + 7v, onde v ∈ Z e, x = 7 + 15u = 7 + 15(3 + 7v) = 52 + 105v. Isto significa que todo inteiro x ≡ 52 (mod 105) ´e solu¸c˜ ao do sistema de congruˆencias lineares dado. Observa¸ c˜ ao 6.2 Note que dividimos a solu¸c˜ ao deste sistema de trˆes congruˆencias lineares, de modo a resolver dois sistemas de duas congruˆencias lineares. De fato, resolvendo as duas primeiras congruˆencias obtivemos x = 7 + 15u. Isto corresponde a uma nova congruˆencia linear, x ≡ 7 (mod 15). Para obter o x ≡ 7 (mod 15) . valor final de x, resolvemos o sistema x ≡ 3 (mod 7) Observe tamb´em que os m´ odulos 3, 5 e 7 s˜ ao dois a dois primos entre si e que mmc(3, 5, 7) = 105. 60 ˆ CAP´ITULO 6. SISTEMAS DE CONGRUENCIAS LINEARES 6.2 61 Teorema Chinˆ es do Resto Teorema 6.1 (Teorema Chinˆ es do Resto) Sejam m1 , m2 , ..., mr inteiros positivos dois a dois primos x ≡ a1 (mod m1 )    x ≡ a2 (mod m2 ) entre si, isto ´e, mdc(mi , mj ) = 1 se i 6= j. Ent˜ ao o sistema possui uma u ´nica ...    x ≡ ar (mod mr ) solu¸c˜ ao m´ odulo M = m1 .m2 ...mr , ou seja, o sistema possui uma u ´nica solu¸c˜ ao em ZM . Prova: M Para cada k = 1, 2, ..., r, seja nk = = m1 .m2 ...mk−1 .mk+1 ...mr . mk Temos que mdc(nk , mk ) = 1, pois, por hip´otese, mdc(mi , mj ) = 1 se i 6= j; logo a congruˆencia linear nk x ≡ 1 (mod mk ) tem uma u ´nica solu¸ca˜o xk . Vamos mostrar que o inteiro X0 = a1 n1 x1 + a2 n2 x2 + ... + ar nr xr satisfaz cada uma das congruˆencias lineares do sistema considerado, ou seja, X0 ´e uma solu¸c˜ao deste sistema. De fato, se i 6= k ent˜ ao mk | ni e ni ≡ 0 (mod mk ), o que implica X0 = a1 n1 x1 + a2 n2 x2 + ... + ar nr xr ≡ ak nk xk (mod mk ) Como xk ´e uma solu¸c˜ ao da congruˆencia nk x ≡ 1 (mod mk ), temos nk xk ≡ 1 (mod mk ); logo X0 ≡ ak (mod mk ), k = 1, 2, ..., r, e isto prova que X0 ´e uma solu¸c˜ao do sistema de congruˆencias lineares considerado. Suponhamos agora que X1 ´e outra solu¸c˜ao do sistema. Ent˜ao X0 ≡ ak ≡ X1 (mod mk ), k = 1, 2, ..., r, de modo que mk | X0 − X1 , para cada valor de k. Como mdc(mi , mj ) = 1 se i 6= j, segue que m1 .m2 ...mr | X0 − X1 , isto ´e, M | X0 − X1 e X0 ≡ X1 (mod M ).  x ≡ 8 (mod 5)    x ≡ 5 (mod 3) Exemplo 6.2 Resolva o sistema de congruˆencias lineares x ≡ 11 (mod 7)    x ≡ 2 (mod 4) ˆ CAP´ITULO 6. SISTEMAS DE CONGRUENCIAS LINEARES 62 Teorema 6.2 Sejam m1 , m2 , ..., mr inteiros positivos dois a dois primos entre si, isto ´e, mdc(mi , mj ) = 1 se ao o sistema  i 6= j e sejam a1 , a2 , ..., ar inteiros tais que mdc(ak , mk ) = 1 para k = 1, 2, ..., r. Ent˜ a x ≡ b (mod m )  1 1 1   a2 x ≡ b2 (mod m2 ) possui uma u ´nica solu¸c˜ ao m´ odulo M = m1 .m2 ...mr . ...    ar x ≡ br (mod mr ) Prova: Como mdc(ak , mk ) = 1 a congruˆencia linear ak x ≡ 1 (mod mk ) possui uma u ´nica solu¸c˜ao a∗k m´ odulo ∗ mk , de modo que ak ak ≡ 1 (mod mk ). Logo a congruˆencia ak x ≡ bk (mod mk ) ´e equivalente a ` congruˆ encia  ∗ x ≡ b1 a1 (mod m1 )    x ≡ b2 a∗2 (mod m2 ) x ≡ bk a∗k (mod mk ) e, por conseguinte, o sistema dado ´e equivalente ao sistema , ...    x ≡ br a∗r (mod mr ) o qual possui, pelo teorema chinˆes do resto, uma u ´nica solu¸c˜ao m´odulo M .   2x ≡ 1 (mod 5) 3x ≡ 2 (mod 7) . Exemplo 6.3 Resolva o sistema de congruˆencias lineares  4x ≡ 3 (mod 11) 6.3 Representa¸ c˜ ao Gr´ afica (tabela) Em geral, a solu¸c˜ ao de um sistema de muitas congruˆencias lineares pode ser obtida atrav´es da solu¸c˜ ao de v´arios sistemas de duas congruˆencias, como foi feito no exemplo (6.1). Assim, udo do teorema chinˆes do resto para um sistema de duas congruˆencias vamos interpretar o cnte´ x ≡ a (mod m) lineares (*), onde mdc(m, n) = 1, atrav´es de uma tabela com m.n casas. x ≡ b (mod n) No alto da tabela, ao longo da horizontal, escrevemos os elementos de Zm e `a esquerda, ao longo da vertical, escrevemos os elementos de Zn . A casa da tabela que fica no encontro da coluna indexada por a ∈ Zm com a linha indexada por b ∈ Zn ser´a ocupada pelo inteiro x tal que: 1. 0 ≤ x ≤ mn − 1; 2. x ≡ a (mod m) e x ≡ b (mod n). Diremos, neste caso, que x tem coordenadas (a, b) na tabela. ˆ CAP´ITULO 6. SISTEMAS DE CONGRUENCIAS LINEARES 63 Como mdc(m, n) = 1, o teorema chinˆes do resto afirma que toda casa da tabela ´e preenchida por algum inteiro no intervalo entre 0 e mn − 1, porque todos os sistemas do tipo (*) tˆem uma u ´nica solu¸c˜ ao em Zmn . Al´em disso, duas casas com coordenadas distintas s˜ao preenchidas por elementos distintos de Zmn . A tabela corresponde ao produto cartesiano Zm × Zn . Para preencher a tabela n˜ ao ´e necess´ario resolver m.n sistemas de congruˆencias lineares. Basta lembrar que temos uma interpreta¸c˜ ao geom´etrica de Zm : suas classes est˜ao dispostas ao longo de uma circunferˆencia. E o mesmo vale para Zn . Assim a tabela ´e como um mapa. Colando o lado esquerdo e o direito da tabela temos um cilindro. Colando as cinrcunferˆencias que formam as extremidades do cilindro obtemos uma superf´ıcie parecida com uma cˆamara de ar cheia, chamada de toro. Logo a verdadeira tabela Zm × Zn s´o pode ser representada sobre a superf´ıcie de um toro e entendemos o resultado sobre um plano. Para fixar as ideias, vamos construir a tabela quando m = 3 e n = 5: 0 1 2 0 0 10 5 1 6 1 11 2 12 7 2 3 3 13 8 4 9 4 14 ´ f´acil achar as casas correspondentes a 0, 1 e 2. Elas aparecem ao longo da “diagonal” da tabela, E que s˜ao as casas com coordenadas iguais. As outras casas s˜ao preenchidas, continuando a “diagonal”, x ≡ 1 (mod 3) ´e x ≡ 7 (mod 15). observando a superf´ıcie do toro. Por exemplo, a solu¸c˜ao do sistema x ≡ 2 (mod 5) Quando o mdc dos m´ odulos ´e diferente de 1, nem todos os sistemas de congruˆencias lineares que podemos escrever tem solu¸c˜ ao. Se pensarmos em termos da representa¸c˜ao gr´afica (tabela), isto significa que nem todas as casas da tabela ser˜ ao preenchidas. Mais uma vez n˜ao ´e necess´ario resolver nenhum sistema para preencher a tabela . Basta ir preenchendo a “diagonal” e lembrando que a tabela habita a superf´ıcie de um toro. Fazendo isto, quando os m´odulos n˜ao s˜ao primos entre si, voltamos ` a casa de ´ por isso que h´a casas que n˜ coordenadas (0, 0) antes de esgotar os n´ umeros de 0 a mn − 1. E ao s˜ ao preenchidas. A tabela no caso em que m = 4 e n = 6 ´e a seguinte: 0 1 2 3 0 0 6 1 1 7 2 8 2 3 9 3 4 4 10 5 5 11 ´ f´acil verificar que se mdc(m, n) 6= 1 e se o sistema E ´e u ´nica modulo o mmc entre m e n. x ≡ a (mod m) tem solu¸c˜ao ent˜ao esta solu¸c˜ ao x ≡ b (mod n) ˆ CAP´ITULO 6. SISTEMAS DE CONGRUENCIAS LINEARES 6.4 64 Exerc´ıcios 1. Trˆes sat´elites passar˜ ao sobre o Rio esta noite. O primeiro `a 1 horas da madrugada, o segundo ` as 4 horas e o terceiro ` as 8 horas da manh˜a. Cada sat´elite tem um per´ıodo diferente. O primeiro leva 13 horas para completar uma volta em torno da Terra, o segundo 15 horas e o terceiro 19 horas. Determine quantas horas decorrer˜ ao, a partir da meia-noite, at´e que os trˆes sat´elites passem ao mesmo tempo sobre o Rio. 2. Qual ´e o resto da divis˜ ao de 26754 por 1155? (Aplicar o Teorema chinˆes do resto)   x ≡ 1 (mod 2) x ≡ 2 (mod 5) . 3. Resolva o sistema  x ≡ 5 (mod 12) 4. Determine o menor inteiro positivo que deixa resto 2 na divis˜ao por 5, resto 4 na divis˜ao por 7 e resto 5 na divis˜ ao por 11. 5. Resolva a equa¸c˜ ao x2 + 42x + 21 ≡ 0 (mod 105).

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