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Instituto Superior de Ciências do Trabalho e da Empresa Departamento de Ciências e Tecnologias da Informação
Exercícios
Arquitectura de Computadores - Arquitectura de Computadores I ETI – IGE - LEI
02
Álgebra de Boole e Mapas de Karnaugh 1. Funções Lógicas 1.1. Represente a tabela de verdade e o circuito, correspondente a cada uma das seguintes funções: a) z = x.y b) z = x+y c) z = x
1.2. Calcule a) b) c) d)
1+0, 1+1, 1.0+1, (1+0).(1+0), 0.(1+1), ~1+0, ~0+~0, ~(0+1). x.0 para todos os valores de x e simplifique. x+0 para todos os valores de x e simplifique. x.y.z para todos os valores possíveis de x, y e z.
1.3. Considere as seguintes definições: A1 - o tempo está miserável quando chove e faz frio; A2 - o tempo está mau se chover ou estiver frio; A3 - o tempo está mais ou menos se chover mas não fizer frio ou vice versa; A4 - o tempo está bom se não chover nem fizer frio; A5 - o tempo está seco se não chover; a) Traduza cada uma das afirmações anteriores na seguinte Tabela de Verdade (considerando que Verdade é representado por 1 e Falso por 0). chuva 0 0 1 1
Frio 0 1 0 1
A1 0
A2
A3
A4
A5
1
b) Represente algebricamente as mesmas afirmações (nomeando como C e F as variáveis que representam "chuva" e "frio"). c) Qual o contrário de "A2 - tempo mau"?
1.4. Escreva a tabela de verdade correspondente a cada uma das seguintes funções lógicas a) F = X + Y b) F = X + Y + Z c) F = X + Y + Z d) F = X(Y + Z) + XY e)
F = ( X + W) (X + Y)
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1.5. Demonstre, recorrendo a tabelas de verdade, que:
X+Y=XY
a)
b) X Y = X + Y
XYZ = X + Y + Z X(Y + Z) = XY + XZ
c) d)
e) X + YZ = (X + Y) .(X + Z)
X Y + YZ + X Z = X Y + YZ + XZ
f)
1.6. Considere as seguintes operações lógicas sobre dois operandos binários, A e B: −
ou-exclusivo (A⊕B)– operação lógica cujo resultado é Verdade quando um dos operandos é Verdade, e é Falso caso contrário. − equivalência (A⇔B) – operação lógica cujo resultado é Verdade quando ambos os operandos são iguais, e é Falso caso contrário. − implicação (A⇒B) – operação lógica cujo resultado é Falso se A for Verdadeiro e B for Falso, e é Verdade caso contrário. a) Elabore a tabela de verdade correspondente a cada uma destas operações. b) Verifique que a equivalência é o contrário de ou-exclusivo. c) Mostre, utilizando tabelas de verdade que "A é equivalente a B" se "A implica B e B implica A". (se a ⇒ b e b ⇒ a então a ⇔ b)
1.7. Sabendo que ~A . B = 0, A + B = 1 e ~A = B, quais serão os valores lógicos de A e B ?
2. Álgebra de Boole – Propriedades 2.1. Simplifique a) X(X+0) b) X+1+X
XY+1 (XY+1)Z
X+1 X+XY
2.2. Complete, indicando os passos intermédios a)
ABC + A = ... = A
b)
ABC + ABC = ... = AC
c)
X Y + YZ = ......... = Y + X.Z
d) X(Y + XZ) = ... = XY + XZ e)
X Y + Y Z = ... = X Y + YZ
2.3. Sabendo que “A implica B” é o mesmo que “~A + B”, e que “A é equivalente a B” é o mesmo que “AB + ~A~B”, verifique a relação do exercício c), utilizando desta vez as propriedades da álgebra de Boole. 2.4. Demonstre algebricamente que a) a.b + ab = a.b + a b b)
xy + xz + yz = xy + xz
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2.5. Utilizando manipulações algébricas, mostre que a)
A B + B C + AB + B C = 1
b)
Y + XZ + X Y = X + Y + Z
2.6. Utilizando manipulações algébricas e sabendo que AB=0 e A+B=1, mostre que
(
)
a)
A C + BC + BC + BC = C
b)
AC + AB + BC = B + C
2.7. Mostre que (X + Y)( X + Z)( Y + Z) = (X + Y)( X + Z) , a) Utilizando tabelas de verdade. b) Utilizando manipulações algébricas.
3. Forma Normalizada 3.1. Indique a Tabela de Verdade e o Circuito de cada uma das seguintes funções a) F = X YZ + X YZ + XYZ b) F = X YZ + X YZ + X Y Z + XYZ c)
F = W X Y Z + WXY Z + WX Y Z + WXYZ
3.2. Indique as expressões algébricas correspondentes às "somas de termos mínimos" a) F(A, B, C) = m0 + m2 + m4 b) F(X, Y, Z) = m1 + m2 + m3 + m7 c) F(A, B, C, D) = m1 + m13 + m15
3.3. a) b) c) d)
Quantos termos mínimos existem numa função com 3 variáveis? Quantos deles têm apenas um termo "negado"? Quais os termos mínimos correspondentes à expressão xz, numa função com 3 variáveis? Quais os termos mínimos correspondentes à expressão xz, numa função com 4 variáveis?
3.4. Indique a expressão algébrica correspondente a uma função de 3 variáveis que dá 1 para as entradas 000 010 111 (0 para todas as outras).
4. Álgebra de Boole – Circuitos 4.1. Desenhe os circuitos correspondentes às funções dadas pelo exercício 1.4.
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4.2. Considere o seguinte circuito: A B F
C
a) Indique a função lógica correspondente a F. b) Simplifique a função anterior recorrendo às propriedades da álgebra de Boole. c) Faça o esquema do circuito correspondente à simplificação da alínea anterior.
5. Mapas de Karnaugh 5.1. Indique os termos mínimos correspondentes aos "1's" do seguinte mapa de Karnaugh: CD AB
00
00 01
01
11
10
1 1
11 10
1 1
5.2. Para cada um dos seguintes mapas YZ
YZ
00 01 11 10
WX
00 01 11 10
1 1
YZ
00 01 11 10
WX
00 01 11 10
1 1
00 01 11 10
WX
1 1
00 01 11 10
1
1 1
a) Indique os termos mínimos correspondentes aos "1's" do mapa; b) Indique o/os "termo produto" correspondente à simplificação do Mapa; c) Obtenha o/os mesmo "termo produto" por simplificação algébrica;
5.3. Assinale num mapa de Karnaugh com 4 variáveis (X, Y, Z, W) a) Todos os termos mínimos contendo X b) Todos os termos mínimos contendo ZW
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5.4. Para cada um dos seguintes mapas YZ
a) b) c) d)
YZ
00 01 11 10 00 1 1 1 01 1 11 1 10 1 1 1
WX
YZ
00 01 11 10
WX
00 01 11 10
1 1
1 1 1
1
00 01 11 10 1 1 1 1 1 1 1
WX
00 01 11 10
1 1
Indique um implicante qualquer; Indique um implicante não primo Indique um implicante primo não essencial Indique um implicante primo essencial
5.5. Considere a seguinte função: F = ~xyz + ~xy~z + xz a) Simplifique a função usando mapas de Karnaugh. b) Obtenha o mesmo resultado algebricamente;
5.6. Obtenha as funções simplificadas a partir dos seguintes mapas de Karnaugh: ZW XY
00
00 01 11
1
01
11
10
1
1
1
1
1
1
CD AB 00
1
10
ZW XY
01
11
00
1
1
00
1
01
1
1
01
1
11
1
1
1
11
1
1
1
10
10
1
10
00
1
01
11
10 1
1
1
1
1
5.7. Obtenha as funções simplificadas a partir dos seguintes mapas de Karnaugh, onde “x” representa uma saída não especificada: CD AB 00
BC A
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00
01
11
0
x
1
1
x
1
10
x
01
11
10
00
x
1
01
x
1
x
11
1
1
1
10
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x
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5.8. Dado o seguinte mapa de Karnaugh: ZW XY
00
01
1
1
00
11
10
01
1
1
1
11
1
1
1
10
1
a) Indique dois implicantes não primos. b) Indique um implicante primo essencial. c) Indique um implicante primo não essencial.
5.9. Dadas as seguintes funções, expressas numa soma de termos mínimos, simplifique-as recorrendo a um mapa de Karnaugh: F(B 2 , B1 , B 0 ) =
∑ m(0,2,4,6,7) F(A, B, C, D ) = ∑ m (0, 2,4,6,8,10,11,12,14,15) F(X, Y, Z, W ) = ∑ m (0,1,5,8,9,10,11,13,15) , Com indiferenças em m
2e
m7
6. Projecto de circuitos combinatórios 6.1. Pretende-se projectar um circuito com o seguinte comportamento: − −
Saída a ‘1’ para as sequências XYZ contendo apenas um ‘1’ (ex: 100, 010) Saída a ‘0’ para as sequências XYZ contendo apenas um ‘0’ (ex: 110, 011) a) Projecte o circuito supondo que "nos restantes casos" a saída assume o valor ‘0’. b) Projecte o circuito supondo que "nos restantes casos" seja indiferente que a saída assuma o valor 0 ou 1.
6.2. Projecte um circuito com dois pares de entradas de 2 bits cada uma, representando dois números A e B. A saída do circuito deverá assinalar ‘1’ no caso do número A ser maior ou igual ao número B. 6.3. Projecte um circuito que dê saída a ‘1’ sempre que à entrada seja apresentada uma representação em binário de um múltiplo de 2 ou de 3. O número máximo que pode ser apresentado à entrada é o 15. 6.4. Elabore um circuito combinatório que calcule a soma de um par de números de 2 bits. Tenha em atenção que o resultado vem representado em 3 bits.
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