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ALGEBRA DE MATRIZES
Profª Lígia – Cálculo I FATEC-SBC " " " "MATRIZES:]
Uma matriz A é uma tabela retangular de escalares e normalmente
representada da seguinte forma:
a11 a12 ... a1n
A = a21 a22 ... a2n
... ... ... ....
am1 am2 ... amn
Matriz de ordem m x n : Podemos considerar uma matriz como sendo uma tabela
retangular de números reais (ou complexos) dispostos em m linhas e n
colunas. Diz-se então que a matriz tem ordem m x n (lê-se: ordem m por n)
Exemplos:
A = ( 1 0 2 -4 5) Uma linha e cinco colunas ( matriz de ordem 1 por 5 ou
1 x 5)
B é uma matriz de quatro linhas e uma coluna, portanto de ordem 4 x 1.
Notas:
1) se m = n , então dizemos que a matriz é quadrada de ordem n.
Exemplo:
A matriz X é uma matriz quadrada de ordem 3x3 , dita simplesmente de ordem
3 .
2) Uma matriz A de ordem m x n , pode ser indicada como A = (aij )mxn ,
onde aij é um elemento da linha i e coluna j da matriz.
Assim , por exemplo , na matriz X do exemplo anterior , temos a23 = 2 , a31
= 4 , a33 = 3 , a3,2 = 5 , etc.
Operações com Matrizes
Definicão 1.1. A soma de duas matrizes de mesmo tamanho A = (aij)m_n e B =
(bij)m_n ´e definida como sendo a matriz m x n
C = A + B
obtida somando-se os elementos correspondentes de A e B, ou seja,cij = aij
+ bij ;
para i = 1; : : : ;m e j = 1; : : : ; n.
Escrevemos também [A + B]ij = aij + bij .
Exemplo. Considere as matrizes:
A = 1 2 -3 B = -2 1 5
3 4 0 0 3 -4
Se chamamos de C a soma das duas matrizes A e B, então
C = A + B = 1 + (-2) 2 + 1 -3 + 5 = -1 3 2
3 + 0 4 + 3 0 + (-4) 3
7 -4
O produto da matriz A pelo escalar k, denotado por k*A ou simplesmente kA,
é a matriz obtida multiplicando-se cada elemento de A por k. Isto é:
ka11 ka12 ... ka1n
kA = ka21 ka22 ... ka2n
... ... ... ....
kam1 kam2 ... kamn
Também definimos :
-A = (-1)A e A – B = A + (-B)
A matriz –A é chamada de oposto da matriz A e a matriz A-B é chamada de
diferença de A e B. A soma de matrizes de tamanho diferentes não é definida
Teorema: Considere quaisquer matrizes A, B e C ( de mesmo tamanho) e
quaisquer escalares k e k' . Então:
(i) (A + B) + C = A + (B + C) (v) k(A + B) = kA + kB
(ii) A + 0 = 0 + A = A (vi) (k + k')A = kA + k'A
(iii) A + (-A) =(-A) + A = 0 (vii) (kk') A = k( k' A)
(iv) A + B = B + A (viii) 1A =A
Observe que qualquer soma de matrizes A1+A2+...+Na não necessita de
parênteses e soma não depende da ordem das s matrizes. A+A=2A e A+A+A=3ª.
Exemplo: Sejam A= 1 -2 3 e B= 4 6 8
0 4 5 1 -3 -7
Calcule: a) A+B b) 3A c) 2A -3B
3) Matriz Identidade de ordem nxn : A matriz identidade nxn ou matriz
unitária, denotada por In, ou simplesmente I é a matriz com 1 na diagonal
principal e 0 em todas as outras entradas:
In = ( aij )n x n onde aij = 1 se i = j e aij = 0 se i j .
Assim a matriz identidade de 2ª ordem ou seja de ordem 2x2 ou simplesmente
de ordem 2 é:
A matriz identidade de 3ª ordem ou seja de ordem 3x3 ou simplesmente de
ordem 3 é:
4) Transposta de um matriz A : é a matriz At obtida de A permutando-se as
linhas pelas colunas e vice-versa.
Exemplo:
A matriz At é a matriz transposta da matriz A .
Notas:
4.1) se A = At , então dizemos que a matriz A é simétrica.
4.2) Se A = - At , dizemos que a matriz A é anti-simétrica.
É óbvio que as matrizes simétricas e anti-simétricas são quadradas .
4.3) sendo A uma matriz anti-simétrica , temos que A + At = 0 (matriz nula)
.
PRODUTO DE MATRIZES
Para que exista o produto de duas matrizes A e B , o número de colunas de A
, tem de ser igual ao número de linhas de B.
Amxn x Bnxq = Cmxq
Observe que se a matriz A tem ordem m x n e a matriz B tem ordem n x q , a
matriz produto C tem ordem m x q .
Vamos mostrar o produto de matrizes com um exemplo:
Onde L1C1 é o produto escalar dos elementos da linha 1 da 1ª matriz pelos
elementos da coluna1 da segunda matriz, obtido da seguinte forma:
L1C1 = 3.2 + 1.7 = 13. Analogamente, teríamos para os outros elementos:
L1C2 = 3.0 + 1.5 = 5
L1C3 = 3.3 + 1.8 = 17
L2C1 = 2.2 + 0.7 = 4
L2C2 = 2.0 + 0.5 = 0
L2C3 = 2.3 + 0.8 = 6
L3C1 = 4.2 + 6.7 = 50
L3C2 = 4.0 + 6.5 = 30
L3C3 = 4.3 + 6.8 = 60, e, portanto, a matriz produto será igual a:
Observe que o produto de uma matriz de ordem 3x2 por outra 2x3, resultou na
matriz produto P
de ordem 3x3.
Nota: O produto de matrizes é uma operação não comutativa, ou seja: A x B
B x A
Teorema: Sejam A, B e C matrizes. Então, sempre que os produtos e somas
forem definidos:
(i) (AB)C = A(BC) (associatividade)
(ii) A(B+C) = AB + AC (distributividade0
(iii) k(AB) = (kA)B = A(kB), onde k é um escalar.
Destacamos que 0A =0 e B0 =0 onde 0 é a matriz nula
MATRIZES QUADRADAS
Uma matriz quadrada é uma matriz com o mesmo número de linhas e colunas.
Uma matriz quadrada nxn é dita de ordem n e, às vezes, é chamada de n-
matriz quadrada.
A adição , multiplicação, multiplicação por escalar e transposição podem
sempre ser realizadas sobre matrizes nxn e o resultado é novamente uma
matriz nxn.
DIAGONAL E TRAÇO
Seja A = [ aij] uma matriz quadrada de ordem n. A diagonal ou diagonal
principal de A consiste nos elementos com o mesmo índices, isto é:
a11, a22, a33, ... , ann
O traço de A , denotado por tr(A) = a11 + a22 + a33+ ... + ann
Teorema: Sejam A = [ aij] e B = [bij] duas matrizes quadradas de ordem n e
k um escalar. Então:
(i) tr(A + B) = tr (A) + tr(B) (iii) tr(At ) = tr(A)
(ii) tr(kA) = k tr(A) (iv) tr(AB) = tr(BA)
POTÊNCIAS DE MATRIZES, POLINÔMIOS SOBRE MATRIZES
Seja A uma matriz quadrada definida sobre um corpo K. As potências de A são
definidas por:
A2 = AA, A3 = A2A, ... An+1 = An A, e A0 =I
Polinômios de uma matriz A também são definidos. Especificamente, para
qualquer polinômio
f(x) = a0 + a1 x + a2x2 + ... +anxn
Onde ai são escalares em K, f(A) é definido como sendo a seguinte matriz:
f(A) = a0 I + a1 A + a2A2 + ... +anAn
DETERMINANTES
Entenderemos por determinante , como sendo um número ou uma função,
associado a uma matriz quadrada , calculado de acordo com regras
específicas .
É importante observar, que só as matrizes quadradas possuem determinante .
Regra para o cálculo de um determinante de 2ª ordem
Dada a matriz quadrada de ordem 2 a seguir:
O determinante de A será indicado por det(A) e calculado da seguinte
forma :
det (A) = " A" = ad - bc
Exemplo:
Ora, senx.senx + cosx.cosx = sen2x + cos2x = 1 ( Relação Fundamental da
Trigonometria ) . Portanto, o determinante da matriz dada é igual à
unidade.
Regra para o cálculo de um determinante de 3ª ordem ( Regra de SARRUS).
SARRUS (pronuncia-se Sarrí), cujo nome completo é Pierre Frederic SARRUS
(1798 - 1861), foi professor na universidade francesa de Strasbourg. A
regra de SARRUS, foi provavelmente escrita no ano de 1833.
Nota: São escassas, e eu diria, inexistentes, as informações sobre o Prof.
SARRUS nos livros de Matemática do segundo grau, que apresentam (ou mais
simplesmente apenas citam) o nome do professor, na forma REGRA DE SARRUS,
para o cálculo dos determinantes de terceira ordem. Graças ao Prof. José
Porto da Silveira - da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, pudemos
disponibilizar a valiosa informação acima! O Prof. SARRUS, foi premiado
pela Academia Francesa de Ciências, pela autoria de um trabalho que versava
sobre as integrais múltiplas, assunto que vocês estudarão na disciplina
Cálculo III, quando chegarem à Universidade.
Para o cálculo de um determinante de 3ª ordem pela Regra de Sarrus, proceda
da seguinte maneira:
1 - Reescreva abaixo da 3ª linha do determinante, a 1ª e 2ª linhas do
determinante.
2 - Efetue os produtos em "diagonal" , atribuindo sinais negativos para os
resultados à esquerda e sinal positivo para os resultados à direita.
3 - Efetue a soma algébrica. O resultado encontrado será o determinante
associado à matriz dada.
Exemplo:
"." " " "3" " " "5"
"2" " " " " " " " "
"." " " "7" " " "4"
"1" " " " " " " " "
Portanto, o determinante procurado é o número real negativo .- 77.
Principais propriedades dos determinantes
P1) somente as matrizes quadradas possuem determinantes.
P2) o determinante de uma matriz e de sua transposta são iguais: det(A) =
det( At ).
P3) o determinante que tem todos os elementos de uma fila iguais a zero , é
nulo.
Obs: Chama-se FILA de um determinante, qualquer LINHA ou COLUNA.
P4) se trocarmos de posição duas filas paralelas de um determinante, ele
muda de sinal.
P5) o determinante que tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais, é
nulo.
P6) multiplicando-se (ou dividindo-se) os elementos de uma fila por um
número, o determinante fica multiplicado (ou dividido) por esse número.
P7) um determinante não se altera quando se substitui uma fila pela soma
desta com uma fila paralela, multiplicada por um número real qualquer.
P8) determinante da matriz inversa : det( A-1) = 1/det(A) .
Se A-1 é a matriz inversa de A , então A . A-1 = A-1 . A = In , onde In é a
matriz identidade de ordem n . Nestas condições , podemos afirmar que
det(A.A-1) = det(In) e portanto igual a 1.
Logo , podemos também escrever det(A) . det(A-1) = 1 ;
logo , concluímos que: det(A-1) = 1 / det(A).
Notas:
1) se det(A) = 0 , não existe a matriz inversa A-1. Dizemos então que a
matriz A é SINGULAR ou NÃO INVERSÍVEL .
2) 2) se det A 0 , então a matriz inversa A-1 existe e é única .
Dizemos então que a matriz A é INVERSÍVEL .
P9) Se todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal
de uma matriz quadrada de ordem n , forem nulos (matriz triangular), o
determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
P10) Se A é matriz quadrada de ordem n e k R então det(k.A) = kn . det A
Exemplos:
1) Qual o determinante associado à matriz?
Observe que a 4ª linha da matriz é proporcional à 1ª linha (cada elemento
da 4ª linha é obtido multiplicando os elementos da 1ª linha por 3).
Portanto, pela propriedade P5 , o determinante da matriz dada é NULO.
2) Calcule o determinante:
Observe que a 2ª coluna é composta por zeros; FILA NULA DETERMINANTE NULO
, conforme propriedade P3 acima. Logo, D = 0.
3) Calcule o determinante:
Ora, pela propriedade P9 acima, temos: D = 2.5.9 = 90
Exercícios propostos:
1) As matrizes A e B , quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At , onde
At é a matriz transposta de A. Se o determinante de B é igual a 40 , então
o determinante da matriz inversa de A é igual a:
*a) 1/5
b) 5
c) 1/40
d) 1/20
e) 20
2) Seja a matriz A de ordem n onde aij = 2 para i = j e aij = 0 para i j
.Se det (3A) = 1296 , então n é igual a:
Resp: n = 4
3) Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A = ( aij
)3 X 3 , onde
aij = i + j se i j ou aij = i - j se i < j. Qual o determinante de A?
Resp: soma dos elementos da diagonal principal = 12 e determinante = 82
4) Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i - j então
podemos afirmar que o determinante da matriz 5 A é igual a:
Resp: zero
