álgebra De Boole (l)

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Departamento Regional de São Paulo Matemática Álgebra de Boole Y = AB + AB Y = A ⊕B ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” CAI - CURSO DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL CAI - Curso de Aprendizagem Industrial Matemática - Álgebra de Boole  SENAI-SP, 2004 Trabalho organizado pela Escola SENAI “Almirante Tamandaré”, a partir dos conteúdos extraídos da Intranet do Departamento Regional do SENAI-SP. 1ª edição, 2004 Coordenação Geral Luiz Gonzaga de Sá Pinto Equipe Responsável Coordenação Estruturação Revisão Celso Guimarães Pereira Ilo da Silva Moreira Márcia Aparecida Perroni Silva SENAI - Serviço Nacional de Aprendizagem Industrial Departamento Regional de São Paulo Escola SENAI “Almirante Tamandaré” Av. Pereira Barreto, 456 CEP 09751-000 São Bernardo do Campo - SP Telefone: (011) 4122-5877 FAX: (011) 4122-5877 (ramal 230) E-mail: [email protected] Cód. 120.10.001 Sumário Página 4 Introdução 5 Operações booleanas 6 Funções lógicas 7 Tabela - verdade 9 Propriedades das funções lógicas booleanas 13 Portas lógicas 21 Circuitos Integrados (CIs) 24 Simplificação de circuitos lógicos 50 Problemas 55 Complementos: diagramas de subgrupo 61 Bibliografia Álgebra de Boole INTRODUÇÃO George Boole, matemático inglês do século XIX (1815-1864), desenvolveu a teoria da lógica binária com a intenção de explicar o funcionamento do pensamento humano. Julgava ele que a dinâmica do pensamento tinha, como base, três operações lógicas (produto, soma e inversão) que, combinando entre si, desencadeavam desde o mais simples até o mais complexo raciocínio. Essas três operações lógicas utilizam apenas dois símbolos aritméticos (0 e 1) que devem ser entendidos não como números, mas como estados lógicos antagônicos. Considerando, por exemplo, o símbolo 1 como representativo da ocorrência de um fato, o símbolo 0 será a negação dessa ocorrência, ou seja, a não ocorrência dele. A tabela abaixo apresenta outras situações às quais podemos atribuir os estados lógicos 0 e 1. Tabela Estados lógicos Situações 1 SIM VERDADEIRO 0 NÃO FALSO LIGADO ACESO DESLIGADO APAGADO ABERTO MOVIMENTO FECHADO REPOUSO Assim, partindo de apenas 3 operações lógicas e 2 símbolos, foi possível construir toda uma teoria algébrica composta de vários teoremas e tabelas que tiveram, posteriormente, grande aplicação na eletrônica e na computação. ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 4 Álgebra de Boole OPERAÇÕES BOOLEANAS São três as operações lógicas criadas por Boole: Operação Produto ( . ) Representada pelo operador E Define-se que: 0.0 = 0 (lê-se: zero e zero igual a zero) 0.1 = 0 1.0 = 0 1.1 = 1 Operação Soma ( + ) Representada pelo operador OU Define-se que: 0 + 0 = 0 (lê-se: zero ou zero igual a zero) 0+1=1 1+0=1 1+1=1 ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 5 Álgebra de Boole Operação Inversão ou Complemento ( - ) Representada pelo operador INVERSOR ou COMPLEMENTAR (traço horizontal acima do símbolo). Define-se que: 0 = 1 (lê-se: inversor / complementar de zero igual a um) 1 =0 Resumindo, temos: Produto Soma Inversão 0.0=0 0+0=0 0 =1 0.1=0 0+1=1 1 =0 1.0=0 1+0=1 1.1=1 1+1=1 FUNÇÕES LÓGICAS Tal qual as funções reais, as funções lógicas operam com variáveis independentes (elementos de entrada: 0 ou 1) e variáveis dependentes (elementos de saída: 0 ou 1). As variáveis lógicas independentes (entradas) são representadas por letras maiúsculas: A, B, C... etc. e a variável dependente (saída) é representada pela função Y. Portanto: Y = f (A, B, C,...) ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 6 Álgebra de Boole TABELA - VERDADE A tabela-verdade é um quadro que, devidamente preenchido, gera todos os estados lógicos assumidos pelas variáveis da função lógica. Construção Deve conter linhas e colunas suficientes para alojar todas as combinações possíveis de todos os estados lógicos das variáveis binárias independentes, incluindo os estados lógicos resultantes. Disposição O número de colunas deve incluir o número de variáveis binárias independentes, as operações lógicas intermediárias e uma saída relativa aos valores resultantes. Exemplo Função lógica: Y = A. ( B + C ) Variáveis independentes: A, B, C (n = 3) Variável dependente: Y Tabela-verdade nº de linhas = 2n + 1 (1ª) nº de colunas = 7 ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 7 Álgebra de Boole A B C B C B +C Y = A . (B + C ) 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 Exercícios Construa a tabela-verdade para as seguintes funções lógicas: 1. Y = (A + B) . C 2. Y = AB + AB + B C ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 8 Álgebra de Boole PROPRIEDADES DAS FUNÇÕES LÓGICAS BOOLEANAS P1: A+0=A P2: A+1=1 P3: A+A=A P4: A+ A=1 P5: A.0=0 P6: A.1=A P7: A.A=A P8: A. A=0 P9: A =A P10: A + B = B + A P11: ( A + B ) + C = A + ( B + C ) P12: A . B = B . A P13: ( A . B ) . C = A . ( B . C ) P14: A . ( B + C ) = A . B + A . C P15: ( A + C ) . ( B + C ) = A . B + C ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 9 Álgebra de Boole P16: A + A . B = A (absorção) P17: A + A . B = A + B (absorção do complemento) P18: A . ( A + B ) = A P19: A . ( A + B ) = A . B P20: ( A + B ) . ( A + B ) = A P21: A B + B C + A C = A B + B C + A C (translação do complemento) Observação O ponto (.), que indica a operação booleana E, foi omitido do P21. A omissão é sempre válida. Qualquer uma dessas propriedades ou teoremas pode ser demonstrada pela tabela-verdade. Como exemplo, vamos demonstrar o teorema da absorção (P16), pois trata-se de um excelente recurso para simplificação de expressões lógicas, como veremos mais adiante. Eis a sua demonstração pela tabela-verdade. A B AB A + AB 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 A + AB = A Comparando os resultados obtidos na 1a e última coluna, verificamos que são idênticos, o que demonstra o teorema. ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 10 Álgebra de Boole Isso justifica o nome de absorção, ou seja, a variável A aparecendo sozinha absorve qualquer termo que contenha A multiplicada por outra variável. Assim, uma expressão do tipo: Y = A + A C + ABD + ACD + BC Pode ser reduzida a Y = A + BC, pois todos os termos intermediários: A C , ABD e ACD são absorvidos por A. O teorema da translação do complemento (P21) também pode ser demonstrado pela tabelaverdade. Queremos provar que: AB + B C + C A = A B + B C + C A Chamaremos o 1° membro de Y1 e o 2° membro de Y2. Portanto, vamos construir duas tabelas-verdades e constatar que os resultados finais são iguais, isto é, Y1 = Y2. A B C A B C AB B C C A 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” Y1 = A B + B C + C A 11 Álgebra de Boole A B C A B C A B B C C A Y2 = A B + B C + C A 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 Exercícios Verificar que: 1. AB + A B + A B = A + B 2. AB + A B + A B + A B = 1 3. (A + B) . ( A + B ) = A B + A B 4. ABC + AB C + A B C = A (B + C) Teorema de De Morgan O inversor de uma função booleana é uma nova função obtida pela inversão de todas as variáveis da função original e pela substituição dos operadores E por OU e vice-versa. 10) A ⋅ B = A + B 20) A + B = A . B ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 12 Álgebra de Boole Y = A + B + C + ... ⇒ Y = A . B . C . ... Y = A . B . C . ... ⇒ Y = A + B + C + ... A demonstração deste teorema é feita também pela tabela-verdade. Exercícios Prove que: 1. A ⋅ B ≠ A . B 2. A + B ≠ A + B 3. A ⋅ B ⋅ C = A + B + C 4. A + B + C = A . B . C PORTAS LÓGICAS O estudante de Eletrônica lida com vários componentes: resistores, capacitores, diodos, transistores, indutores e circuitos integrados (CIs). Dentro dos CIs existem dispositivos especiais chamados portas lógicas. Cada porta lógica tem uma ou mais entradas e uma única saída. Matematicamente, as variáveis binárias independentes (A, B, C, ...) entram na porta lógica, são operadas segundo a sua função específica e a porta apresenta, na saída, a variável dependente Y (função lógica). Os sistemas digitais mais complexos, tais como os computadores de grande porte, são construídos a partir das portas lógicas básicas. Essas portas operam segundo a álgebra de BOOLE e serão estudadas a seguir. ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 13 Álgebra de Boole Todos os símbolos que representam as portas lógicas estão de acordo com as normas da ASA (American Standard Association). Porta E (Duas ou mais entradas e uma única saída) Função lógica: Y = A.B A B A.B Y A B 0 0 0 1 1 0 1 1 AB Porta OU (Duas ou mais entradas e uma única saída) Função lógica: Y=A+B A B A+B ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” Y A B 0 0 0 1 1 0 1 1 A+B 14 Álgebra de Boole Porta SIM (Uma única entrada e uma única saída) Função lógica: Y=A Y A A A 0 A 1 Porta NÃO (Uma única entrada e uma única saída) Função lógica: Y= A Y A A A A 0 1 Porta NÃO E (Duas ou mais entradas e uma única saída) Y Função lógica: A B Y = A ⋅B A ⋅B ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” A B 0 0 0 1 1 0 1 1 AB AB 15 Álgebra de Boole Porta NÃO OU Y (Duas ou mais entradas e uma única saída) Função lógica: Y = A +B A A +B B A B 0 0 0 1 1 0 1 1 A+B A +B Porta OU EXCLUSIVO (Duas entradas e uma única saída) Função lógica: Y Y = A B + AB = A ⊕ B A A B 0 0 0 1 1 0 1 1 A⊕B B A B A B AB A B + AB Porta EQUIVALÊNCIA (Duas entradas e uma única saída) Função lógica: A B Y = AB + A B = A ⊕ B A ⊕B ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” Y A B 0 0 0 1 1 0 1 1 A B AB AB AB + A B 16 Álgebra de Boole Combinação de portas lógicas Muitos problemas de lógica digital utilizam-se de portas lógicas. Essas portas podem combinar entre si formando estruturas mais complexas às quais chamaremos circuitos lógicos. Cada circuito lógico pode ser representado por uma expressão booleana e esquematizado por um diagrama lógico. Um circuito muito comum está esquematizado no diagrama abaixo. A B Entradas Y Saída C Diagrama lógico E-OU Expressão booleana correspondente: Y = Tabela-verdade: ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 17 Álgebra de Boole Exercícios 1. Escreva as expressões booleanas correspondentes aos circuitos lógicos conforme os diagramas abaixo. a) A B Y C Expressão booleana correspondente: Y= Tabela-verdade: ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 18 Álgebra de Boole b) A B C Y Expressão booleana correspondente: Y= Tabela-verdade: c) A B C Y ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 19 Álgebra de Boole Expressão booleana correspondente: Y= Tabela-verdade: d) A B C Y Expressão booleana correspondente: Y= Tabela-verdade: ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 20 Álgebra de Boole 2. Construir os diagramas lógicos correspondentes às expressões booleanas. a) Y = A + B C b) Y = ABCD + B C + A D c) Y = (A + B + C ) ( A + C) d) Y = AB + B C e) Y = (A + B) . ( A +B ) CIRCUITOS INTEGRADOS (CIs) As funções lógicas podem ser implementadas de diversas maneiras. Há algum tempo, essas funções eram executadas por circuitos com relés e válvulas a vácuo. Hoje em dia, utilizam-se pequeninos circuitos integrados que funcionam como portas lógicas. Eles contêm o equivalente de resistores, diodos e transistores miniaturizados. No processo de fabricação, são encapsulados em invólucros especiais constituindo unidades isoladas. Entre os vários tipos de CIs encontrados no mercado, a família TTL (Lógica Transistor Transistor) de circuitos lógicos é a mais conhecida. O CI -7408 está ilustrado a seguir. ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 21 Álgebra de Boole CI - 7408 Entalhe Pino 1 1 Vcc 14 2 13 3 12 4 11 5 10 6 9 7 GND 8 Este modelo de invólucro é denominado encapsulamento em linha dupla (dual-in-line package DIP). Observe que há 14 pinos (DIP de 14 terminais). Cada pino é numerado de 1 a 14 no sentido anti-horário, olhando o CI a partir do seu entalhe. Os pinos 7 e 14 são reservados às conexões de alimentação: GND (terra, 0V): pino 7 VCC (fonte, 5V): pino 14 Todos os outros pinos são as entradas e saídas de 4 portas E. Outros CIs tipo DIP da família TTL, mais utilizados, estão ilustrados a seguir. ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 22 Álgebra de Boole CI - 7432 CI - 7404 CI - 7400 1 Vcc 14 1 Vcc 14 1 Vcc 14 2 13 2 13 2 13 3 12 3 12 3 12 4 11 4 11 4 11 5 10 5 10 5 10 6 9 6 9 6 9 8 7 8 7 7 GND GND GND CI - 7410 CI - 7402 8 CI - 7451 1 Vcc 14 1 Vcc 14 1 Vcc 14 2 13 2 13 2 13 3 12 3 12 3 12 4 11 4 11 4 11 5 10 5 10 5 10 6 9 6 9 6 9 8 7 8 7 7 GND GND ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” GND 8 23 Álgebra de Boole SIMPLIFICAÇÃO DE CIRCUITOS LÓGICOS Consideremos a expressão booleana: Y = A. B + A .B + A.B O diagrama lógico desta expressão aparece abaixo. A B Y (I) Tabela-verdade: A B A B AB 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” A B AB Y 24 Álgebra de Boole Por outro lado, a função lógica OU apresenta a tabela-verdade: A B A+B 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 Y=A+B A Y B ( II ) Comparando as tabelas, verifica-se que o circuito lógico ( I ) e a porta OU ( II ) executam a mesma função. Obviamente, um projetista escolheria o circuito mais simples e menos dispendioso, já que as funções são idênticas. Dessa forma, pode-se dizer que o circuito lógico ( I ) é não simplificado, a expressão booleana Y = AB + A B + AB é não simplificada e podem, ambos, ser substituídos pelas formas simplificadas: porta OU e a expressão booleana Y = A + B. Quanto aos métodos de simplificação, vamos analisar: a) método algébrico; b) mapas de Karnaugh. Método Algébrico Consiste em aplicar as propriedades da álgebra booleana vistas anteriormente, o teorema de De Morgan e reduzir ao máximo a expressão lógica dada. Assim, a expressão Y = AB + A B + AB pode ser reduzida a: (P14): Y = AB + B ( A + A) (P4, P6): Y = AB + B ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 25 Álgebra de Boole (P10): Y = B + BA (P17): Y=B+A (P10): Y=A+B (porta OU) Vejamos outro exemplo: Y = (A + B) ( A + B ) (P14): Y = A A + AB + A B + BB Mas, pela propriedade P8 AA BB =0 =0 a expressão se reduz a: Y = AB + A B ou Y = A ⊕ B (porta OU-EXCLUSIVO) Exercícios Simplifique as expressões lógicas pelo método algébrico. 1. Y = AB + AB + A B + A B 2. Y = ABC + AB C + A B C 3. Y = AB C + A B C + A B C + ABC 4. Y = A B C D + A B CD + A B C D + A BCD + A BCD 5. Y = (A + C) (B + C) (D + C) ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 26 Álgebra de Boole 6. Y = (A + B + C) (A + B + C ) (A +B ) 7. Y = A B C D + A B C D + AB C D + AB C D 8. Y = (A + B + C) (A + B + D) (B + CD) 9. Y = A B C + A BC + AB C + AB C + AB C + ABC 10. Y = (A + B + C) (A + B + C) ( A + C) Projetos lógicos - Expressões booleanas elementares Ao iniciar um problema de projeto lógico, constrói-se primeiro uma tabela-verdade. Analisando os elementos de saída dessa tabela, podemos considerar duas situações: saída 1 e saída 0. É interessante observar que basta escolher apenas uma dessas duas saídas para obter a função lógica e, a partir dela, reconstruir toda a tabela. Estudaremos cada situação correspondente. Saída 1 (um) Consideremos, como exemplo, a tabela-verdade abaixo. Entradas Saída A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 27 Álgebra de Boole Nesse caso, vamos adotar que qualquer variável expressa por 1 será “normal” (A, B, C) e qualquer variável expressa por 0 será “barrada” ( A , B , C ). Observamos que somente duas combinações das variáveis geram a saída 1 (2a e 8a linhas). Da 2a linha, as entradas não A, não B e C vão gerar a saída 1. A expressão booleana correspondente é A B C. Da 8a linha, as entradas A, B e C vão gerar a outra saída 1. A expressão booleana correspondente é A B C. Estas duas combinações são submetidas a uma operação OU para formar a expressão booleana completa da tabela-verdade, isto é: Y = A BC + A B C Esta expressão booleana recebe o nome de Soma-de-Produtos ou Forma de Termos Mínimos. O diagrama lógico (padrão E-OU) equivalente a essa expressão é ilustrado abaixo. A B C ABC Y A BC Resumindo, o procedimento formal consiste em: 1°) construir a tabela-verdade do problema apresentado; ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 28 Álgebra de Boole 2°) identificar as linhas de saída 1 e escrever a expressão booleana Forma de Termos Mínimos (Soma-de-Produtos) correspondente; 3°) desenhar o diagrama lógico do circuito a partir da expressão booleana. Saída 0 (zero) Consideremos, também como exemplo, a tabela-verdade abaixo. Entradas Saída A B C Y 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Nesse caso, adotaremos que qualquer variável expressa por 0 será “normal” (A, B, C) e qualquer variável expressa por 1 será “barrada” ( A , B , C ). As 2a, 3a e 5a linhas apresentam saída 0. Podemos construir um outro tipo de expressão booleana chamada Forma de Termos Máximos ou Produto-de-Somas. Essa expressão consiste em adicionar as variáveis de entrada (invertendo as entradas 1) das linhas que tem saída 0 e depois submetê-las a um produto. Assim, da linha 2 da tabela-verdade a expressão booleana correspondente será: A + B + C ; da linha 3 a expressão A + B + C; e da linha 5 a expressão A + B + C. ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 29 Álgebra de Boole A expressão booleana final Produto-de-Somas será: Y = (A + B + C ) (A + B + C) ( A + B + C) O circuito lógico (padrão OU-E) equivalente a essa expressão é representado no diagrama abaixo. A+B+ C A B C A + B+ C Y A+B+C Tanto a expressão booleana Forma de Termos Mínimos como a Forma de Termos Máximos são amplamente utilizadas nos projetos lógicos. Há de se notar, ainda, que as duas expressões são equivalentes e que conduzem ao mesmo resultado final Y. Cabe ao projetista escolher a melhor, a mais conveniente entre ambas. Para confirmar essa idéia, analise como exercício a tabela-verdade abaixo, construa as duas expressões booleanas (Soma-de-Produtos e Produto-de-Somas) e verifique a equivalência entre elas. Entradas Saída A B Y 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 Expressão Soma-de-produtos: Y1 = Expressão Produto-de-somas: Y2 = ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 30 Álgebra de Boole Equivalência: Diagramas correspondentes Y1 Y2 Exercícios 1. Dada a tabela-verdade abaixo: Entradas Saída A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 31 Álgebra de Boole a) Escrever a expressão booleana forma de termos mínimos correspondente à lógica da tabela. Y1 = b) Desenhar o diagrama lógico que executará a função lógica expressa na fórmula Y1. c) Escrever a expressão booleana forma de termos máximos correspondente à lógica da tabela. Y2 = d) Desenhar o diagrama lógico que executará a função lógica expressa na fórmula Y2. e) Provar pelo método algébrico que Y1 e Y2 são equivalentes. ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 32 Álgebra de Boole f) Construir o diagrama simplificado de Y1 e Y2. 2. Dada a tabela abaixo: Entradas Saída A B C Y 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 a) Escrever a expressão booleana forma de termos mínimos correspondente à lógica da tabela. Y1 = b) Desenhar o diagrama lógico que executará a função expressa na fórmula Y1. ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 33 Álgebra de Boole c) Escrever a expressão booleana forma de termos máximos correspondente à lógica da tabela. Y2 = d) Desenhar o diagrama lógico que executará a função lógica expressa na fórmula Y2. e) Provar pelo método algébrico que Y1 e Y2 são equivalentes. f) Construir o diagrama simplificado de Y1 e Y2. ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 34 Álgebra de Boole Mapas de Karnaugh Os mapas de Karnaugh constituem outra técnica usada na simplificação de circuitos lógicos. Consiste num método gráfico de eliminação de variáveis baseado nos teoremas booleanos, conforme justificaremos adiante. Os mapas tomam diferentes formas de acordo com o número de variáveis lógicas envolvidas na expressão. Seguem dois tipos de mapas com as suas etapas descritas detalhadamente. Mapas de Karnaugh com expressões Forma de Termos Mínimos 1° Etapa: construir uma expressão booleana de Termos Mínimos a partir de uma tabelaverdade. Essa expressão será denominada expressão booleana não simplificada. 2° Etapa: construir o mapa cuja forma depende do número de variáveis. Alguns tipos de mapas estão esboçados abaixo. a) Duas variáveis: B B AB AB A A b) Três variáveis: AB AB C C ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 35 Álgebra de Boole Observação A distribuição dos termos horizontais no mapa não pode ser aleatória. Note que o primeiro termo A B está próximo do segundo A B porque ambos têm a variável B comum. O segundo termo AB está próximo do terceiro termo AB porque ambos têm variável A comum. O mesmo raciocínio se estende aos dois últimos termos AB e A B (B comum), e aos último e 10 termos, A B e A B ( A comum), respectivamente. O primeiro termo poderia ser qualquer um dos quatro, porém, escolhido o primeiro, os demais devem ser colocados no mapa segundo a regra: termos adjacentes devem ter uma variável comum. Se construirmos um mapa do tipo: AB AB AB AB C C fatalmente chegaremos a resultados errados (conforme veremos e justificaremos nas etapas seguintes), pois o 2° termo AB e o 3° termo A B não têm variáveis comuns e portanto não devem ser colocados em posições adjacentes. c) Quatro variáveis: AB AB AB AB CD CD CD CD ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 36 Álgebra de Boole Observe que termos adjacentes têm, sempre, variáveis comuns que servem de “ponte” entre um termo e outro, tanto na horizontal como na vertical. d) Cinco variáveis: AB C A BC ABC ABC A BC A BC A BC ABC DE DE DE DE Note que os termos horizontais (formados por três variáveis) têm duas variáveis comuns aos adjacentes. Seria incorreto colocar, por exemplo, A BC próximo de A B C pois somente A é comum. Tal procedimento também será justificado nas etapas seguintes. 3° Etapa: plotar números 1 no mapa para cada termo da expressão de termos mínimos construída na 1a Etapa. O mapa deve ter tantos números 1 quantos forem os produtos da expressão. Em seguida, devemos enlaçar o máximo de grupos adjacentes de 8, 4 ou 2 números 1 juntos, tomando cuidado quando enlaçar mais de duas linhas (ou colunas) adjacentes. Nesse caso, nem sempre o enlaçamento será permitido, sendo só possível quando não violar os teoremas booleanos já apresentados. 4° Etapa: consiste em eliminar variáveis, seguindo, para isso, a regra básica: quando uma variável e seu complemento estiverem dentro do mesmo laço, ambos serão eliminados. Quem garante a aplicação dessa regra é a propriedade P4: A + A = 1, isto é, a soma lógica de uma variável com o seu complemento é 1 e a propriedade P6: A . 1 = A que indica 1 ser o elemento neutro da operação produto. Em outras palavras, termos adjacentes quando são colocados no mapa, segundo as regras já expostas ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 37 Álgebra de Boole na 2° Etapa, e enlaçados permitem uma fatoração (P14) e a aplicação imediata das propriedades P4 e P6. 5° Etapa: consiste em submeter a uma operação OU as variáveis restantes e obter uma expressão booleana simplificada final. Exemplo Consideremos a tabela-verdade abaixo. Entradas Saída A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1a Etapa: Y = A B + A B + AB 2a e 3a Etapas: B B A 1 1 A 1 4a Etapa: eliminar variáveis. Na 1a linha aparecem B e B (enlaçados) que devem ser eliminados, restando A; na 1a coluna, aparecem A e A (enlaçados) que também são eliminados, restando B. 5ª Etapa: Y = A + B (uma simples porta OU de duas entradas). ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 38 Álgebra de Boole Outro exemplo Consideremos a tabela-verdade abaixo. Entradas Saída A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1° Etapa: Y = A BC + A B C + AB C + ABC (4 termos) 2a e 3a Etapas: C AB AB AB 1 1 1 C AB 1 4a Etapa: No 1° traço horizontal, eliminam-se A e A , sobram B e C (BC); No 2° traço horizontal, eliminam-se B e B , sobram A e C (AC); No laço vertical eliminam-se C e C , sobram A e B (AB). ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 39 Álgebra de Boole 5a Etapa: Y = AB + BC + CA Exercícios 1. Obter a mesma expressão booleana final, partindo da tabela-verdade e utilizando o método algébrico para expressão de termos mínimos (soma-de-produtos) e para expressão de termos máximos (produto-de-somas). 2. Utilizar o mapa de Karnaugh para obter a expressão booleana simplificada correspondente às tabelas-verdade abaixo. Entradas Saída Entradas Saída A B C Y A B C Y 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 3. Chegar ao mesmo resultado através do método algébrico pelas expressões de termos mínimos e/ou de termos máximos. ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 40 Álgebra de Boole 4. Traçar o mapa de Karnaugh para a tabela-verdade de 4 variáveis abaixo e escrever a expressão booleana simplificada correspondente. Entradas Saída A B C D Y 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 AB 1 0 0 0 0 AB 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 CD CD CD CD AB AB Y = 5. Chegar à mesma expressão pelo método algébrico. ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 41 Álgebra de Boole 6. Traçar o mapa de Karnaugh das tabelas-verdade abaixo e escrever as respectivas expressões booleanas de termos mínimos simplicados. Entradas Entradas Saída Saída A B C D Y A B C D Y 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 42 Álgebra de Boole Mapas de Karnaugh com expressões Forma de Termos Máximos O processo é análogo ao de termos mínimos. As suas etapas são as seguintes: 1a Etapa: escrever, a partir da tabela-verdade, uma expressão booleana de termos máximos não simplificada. 2a Etapa: construir o mapa correspondente. Na distribuição, cada grupo de variáveis é submetido a uma operação OU. 3a Etapa: plotar o número 1 no mapa para cada saída 0 da tabela-verdade, enlaçando a seguir os grupos adjacentes de 8, 4 ou 2 números 1 juntos. 4a Etapa: eliminar as variáveis enlaçadas que aparecem com seus complementos. (Justificativa: Teorema P20.) 5a Etapa: submeter a uma operação E os grupos de variáveis restantes e formar a expressão de termos máximos simplificada. Exemplo Considere a tabela-verdade abaixo. Entradas Saída A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 43 Álgebra de Boole 1a Etapa: Y = (A + B + C) ( A + B + C) ( A + B + C) 2a e 3a Etapas: C A +B A +B A+B 1 1 1 A+ B C 4a Etapa: 10 laço: eliminam-se B e B , sobrando A + C 20 laço: eliminam-se A e A , sobrando B + C 5a Etapa: Y = ( A + C) (B + C) Considerações finais sobre os mapas de Karnaugh Embora sejam de grande utilidade no processo de simplificação de expressões lógicas, os mapas de Karnaugh podem gerar expressões finais simplificadas incompletas, diferentes daquelas obtidas pelo métodos algébrico. Talvez o esquecimento de um laço ou um laço colocado desnecessariamente ou mesmo a distribuição dos termos no mapa sejam os responsáveis por essas incoerências. Mesmo aquelas expressões lógicas muito extensas que no processo de simplificação pelo método algébrico levem a dois resultados aparentemente diferentes, após uma análise da tabelaverdade dessas situações, terão o mesmo resultado. ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 44 Álgebra de Boole Exemplo Suponhamos que dois matemáticos façam a simplificação de uma mesma expressão lógica por métodos diferentes: o primeiro comece pelo método algébrico e chegue à seguinte expressão: Y1 = C + A B D e o segundo, pelo mapa de Karnaugh, chegue à expressão: Y2 = A C + BC +DC + A B D Ora, admitindo que não tenham cometido erros nos processos de simplificação, ambas as expressões devem ser equivalentes. Pela álgebra tradicional bastaria provar que o primeiro termo de Y1, C, é igual à soma dos três primeiros termos de Y2, A C + BC + DC, já que o último termo das duas expressões, A B D , é o mesmo. Porém, na álgebra booleana C não é equivalente a A C + BC + DC (basta construir a tabelaverdade para essa situação). Tal raciocínio pode induzir os matemáticos a concluir que Y1 é diferente de Y2, ou então que um dos dois errou na simplificação. No entanto, para a álgebra de Boole tal procedimento é incorreto e pode ser resolvido por outro caminho. Retomemos Y2 = A C + BC + DC + A B D ; os três primeiros termos podem ser fatorados colocando C em evidência: Y2 = C ( A + B + D) + A B D ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 45 Álgebra de Boole Aplicando o Teorema de De Morgan à expressão entre parênteses, chegamos a: Y2 = C (ABD ) + AB D chamando A B D de X, temos: Y2 = C X + X Ora, pela propriedade P17: Y2 = C X + X = C + X = C + AB D Y1 Portanto: Y2 = Y1 e ambas as expressões são equivalentes, o que poderia ser facilmente constatado construindo duas tabelas-verdade: uma para Y1, outra para Y2 e analisando os elementos de saída. Ainda a respeito do mapa, deve-se observar que na distribuição horizontal e vertical das variáveis lógicas, algum número 1 pode ser plotado isoladamente dos demais, não tendo com quem se enlaçar. Neste caso, pode-se refazer o mapa com nova distribuição de variáveis lógicas, tentando aproximar este 1 isolado de outros adjacentes. Se ainda não for possível enlaçá-lo, significa que o termo referente a ele deve permanecer isolado e certamente aparecerá na expressão booleana simplificada. Por exemplo, no mapa a seguir, a expressão final será: ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 46 Álgebra de Boole AB AB CD 1 1 CD 1 1 AB AB Y = A C + A BC D já que o termo A B C D não tem 1 CD “companheiro” para enlaçamento CD Exercícios 1. Escrever a expressão booleana produto-de-somas simplificada para a tabela-verdade abaixo. Entradas Saída A B C D Y 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 47 Álgebra de Boole 2. Escrever a expressão booleana produto-de-somas simplificada para a tabela-verdade abaixo. Entradas Saída A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 3. Utilizar o processo algébrico e o mapa de Karnaugh para obter a mesma expressão. 4. Escrever a função lógica não simplificada correspondente a cada tabela-verdade abaixo. Em seguida, usando mapas de Karnaugh e o método algébrico, simplificar as expressões. Entradas Saída Entradas Saída Entradas Saída A B C Y A B C Y A B C Y 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 48 Álgebra de Boole Entradas Saída Entradas Saída Entradas Saída A B C D Y A B C D Y A B C D Y 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 Exercícios de revisão 1. Use o método dos mapas de Karnaugh e simplifique as expressões abaixo. a) A B + AB + A B + A B = b) AB C + A B C + A B C + ABC = c) A B C D + A B CD + A B C D + A BCD + A B C D = ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 49 Álgebra de Boole 2. Simplifique as expressões, usando o método algébrico. a) ABC + ABC = b) AB + A C + A = c) (A + A ) (AC + BC) (BC + B ) = d) A B CD + ABC D + A B C D + ABCD = 3. Aplique o teorema de De Morgan na função abaixo. F = (A + B) (C + D + E ) PROBLEMAS A seguir, são apresentados alguns problemas que podem ser equacionados pelas funções lógicas booleanas. O procedimento para resolver esses problemas é o seguinte: 1°) estabelecer a função lógica definindo seus dois estados lógicos (0 e 1); 2°) estabelecer as variáveis lógicas independentes, definindo também seus estados lógicos (0 e 1); 3°) construir a tabela-verdade; 4°) escrever a expressão lógica não simplificada (Soma-de-Produtos ou Produto-de-Somas); 5°) simplificá-la pelos métodos já estudados; 6°) construir o diagrama lógico correspondente. ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 50 Álgebra de Boole Exemplo Uma esteira rolante entra em funcionamento quando pelo menos um dos dois botões de comando é acionado e quando um sensor indica a presença de carga na esteira. Pergunta-se: a) Qual é a função lógica simplificada que responde a essa situação? b) Qual é o diagrama lógico correspondente à função encontrada? 1. Função lógica: Y Estado lógico 2. Esteira em funcionamento 1 Esteira não funcionando 0 Variáveis lógicas independentes: Estado lógico A: B: C: Botão (1) acionado 1 Botão (1) não-acionado 0 Botão (2) acionado 1 Botão (2) não-acionado 0 Presença de carga na esteira 1 Ausência de carga na esteira 0 ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 51 Álgebra de Boole 3. Tabela-verdade: Entradas Saída A B C Y 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 4. Expressão lógica não simplificada: Y = A BC + A B C + ABC (Expressão de termos mínimos) 5. Simplificação: Y = A BC + A B C + ABC Y = A BC + AC ( B + B) Y = A BC + AC Y = C ( A B + A) Y = C (A + B) Y = AC + BC ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 52 Álgebra de Boole 6. Diagrama lógico correspondente: A AB B C Y BC Problemas Você encontrará agora afirmações que representem situações nas quais se aplica a álgebra booleana. Analise cada enunciado e tente encontrar a função lógica correspondente. Em se tratando de situações da área eletroeletrônica, monte também o diagrama lógico de cada função encontrada. 1. Uma lâmpada acenderá sempre que estiver boa e o interruptor ligado. 2. Um processo de combustão somente se inicia com a presença do combustível do comburente e da chama deflagradora. 3. Uma célula fotoelétrica dispara uma campainha quando a luz não estiver acesa ou um obstáculo bloquear o contato entre os seus pólos. 4. Um elevador, controlado automaticamente, pára num andar se o comando de parada do andar for acionado ou o comando de parada instalado no painel do elevador for acionado. 5. A lâmpada do teto acende quando qualquer das duas portas do carro está aberta. 6. Uma bomba é acionada para transferir fluido do reservatório A para o reservatório B somente quando o indicador de nível do reservatório A indica nível máximo ou o indicador de nível do reservatório B indica nível mínimo. ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 53 Álgebra de Boole 7. Uma lâmpada ligada a dois interruptores acende quando um e somente um dos interruptores está ligado. 8. O alarme do controle do sistema de nível de óleo de dois tanques industriais entra em funcionamento quando ou o 10 ou o 20 tanque não contém óleo suficiente. 9. O acionamento do sistema de alarme para o bloqueio de um trem entra em funcionamento quando o sinaleiro A e o sinaleiro B, que indicam condição livre da linha A e da linha B, estão desligados. 10. Duas bombas transportam fluido de lugares diferentes para o mesmo tanque. As saídas das bombas estão ligadas à mesma linha de alimentação do tanque, de modo que o acionamento das bombas deve ser alternado e a alimentação do fluido, contínua. As duas bombas não devem ser acionadas simultâneamente, pois o aumento da pressão danificaria a tubulação. Um circuito eletrônico acoplado às bombas dispara um alarme, caso as duas bombas sejam ligadas ou desligadas ao mesmo tempo. 11. Numa linha de embalagem de frascos contendo sabão, o reparador automático é acionado se os sensores que “visualizam” o frasco detectam quantidade irregular dentro dos frascos ou ausência de rótulo. 12. O sistema de iluminação de uma sala é ligado a 4 interruptores e só funciona quando mais da metade desses estão ligados ao mesmo tempo. 13. Uma lâmpada é acesa num painel de operação do METRÔ cada vez que ocorre uma situação de emergência no funcionamento de 4 sistemas (A, B, C, D) importantes e dependentes entre si. As situações perigosas e que acendem a lâmpada são: a) os sistemas A e B estão defeituosos; b) os sistemas A, C e D estão defeituosos; c) os sistemas B e D estão defeituosos. ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 54 Álgebra de Boole 14. O sistema de segurança de um prédio, com uma entrada principal (A) e quatro entradas laterais (B, C, D, E), aciona um alarme quando a porta principal estiver aberta ao mesmo tempo que 2 ou mais portas laterais estiverem abertas. 15. O sistema de refrigeração de um prédio é automaticamente desligado quando ocorre uma situação de emergência no funcionamento dos 4 sub-sistemas (A, B, C, D) que compõem o sistema geral. As situações de emergência são: a) A e C defeituosos; b) A, B e D defeituosos; c) C e D defeituosos. COMPLEMENTOS: DIAGRAMAS DE SUBGRUPO Os diagramas de subgrupo constituem uma outra técnica de se demonstrar os teoremas booleanos e podem, eventualmente, ser utilizados com tal finalidade. Há uma relação entre os operadores da lógica booleana e a teoria dos conjuntos. A tabela abaixo ilustra essa relação. Operador booleano Teoria dos conjuntos E (produto) intersecção OU (soma) reunião INVERSOR ou COMPLEMENTAR complementar Assim, os diagramas de Venn utilizados na teoria dos conjuntos podem ser adaptados à álgebra de Boole formando os diagramas de subgrupo. Temos, como exemplo, os seguintes subgrupos: ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 55 Álgebra de Boole A B C A B C AB (A ∩ B) D 0 D 1 AB A + B (A ∪ B) CD CD ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 56 Álgebra de Boole Observando as figuras sombreadas da página anterior, podemos demonstrar todos os teoremas booleanos seguindo o mesmo procedimento: superposição dos diagramas hachurados. Assim, por exemplo, o teorema P17: A + A B = A + B pode ser demonstrado da seguinte forma: 1. Construir, primeiramente, uma figura representativa do 10 membro A + A B. 2. Essa figura seria construída pela superposição dos diagramas A e B obtendo-se o produto A B ( A ∩ B). 3. Em seguida, a figura A B assim formada seria superposta à figura A, construindo-se a soma A + A B (A ∪ A B). 4. A figura final expressa o 1° membro do teorema e deve ser comparada à figura representativa do 2° membro: A + B (A ∪ B) que, por sinal, se encontra no quadro de exemplos. Improvisação de portas NE e NOU Combinando-se portas NE e NOU convenientemente, podemos obter uma série de outras portas. Vejamos um exemplo: Vamos considerar uma porta NE de apenas uma entrada. Para isso, basta conectar as duas entradas numa só como mostram as figuras a seguir. (1) Entradas ( 3 ) Saída (NE com duas entradas) (2) ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 57 Álgebra de Boole (1) Entrada ( 3 ) Saída (NE com uma entrada) (2) Um sinal lógico A é colocado na entrada. A porta NE o recebe e o opera de acordo com a expressão abaixo. Entrada (1) A Entrada (2) A Porta NE: A .A = A Saída (3) A Conclusão A porta NE de uma entrada comporta-se como porta NÃO (ou inversora). Portanto: equivale a É evidente que para obtermos uma porta SIM, basta associar duas portas NE de uma entrada em série. ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 58 Álgebra de Boole O que aconteceria se construíssemos a seguinte associação? A (1) (3) (5) Y B (2) (4) É fácil verificar que a saída 5 vai apresentar a expressão A + B. Portanto, a associação funciona como se fosse uma porta OU. O que os projetistas tentam evitar é o uso desnecessário de muitas portas associadas, pois a energia vai sendo consumida ao longo do circuito e talvez não seja suficiente para alimentá-lo inteiramente. Entretanto, quando não se dispõe desta ou daquela porta, pode-se substituí-las por combinações de portas NE (ou NOU) como verificaremos nos exercícios seguintes. Exercícios 1. Construa uma porta NOU conectando as duas entradas numa só e verifique a saída. Que tipo de porta é obtido? 2. Analise o circuito abaixo e obtenha uma porta E. É possível? A Y B ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 59 Álgebra de Boole 3. Analise as situações abaixo e verifique os elementos de saída. A Y B A Y B ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 60 Álgebra de Boole BIBLIOGRAFIA Azevedo Jr., João Batista de. TTL/CMOS, Teoria e Aplicação em Circuitos Digitais. Editora Érica. Brandassi, Ademir Eder. Eletrônica Digital. Nobel/Siemens, 1993. Garve, Sérgio. Eletrônica Digital - Circuito e Tecnologia Hemus. Livraria Editora. Idoeta, Ivan V. e Capuano, Francisco G. Elementos de Eletrônica Digital. Editora Érica,1983. Cahill, S. J. Eletrônica Digital. Nobel/Siemens,1993. Taub, Herbert. Circuitos digitais e microprocessadores. McGraw-Hill, 1984. ESCOLA SENAI “ALMIRANTE TAMANDARÉ” 61