Algebra Abstrata

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´ CURSO DE ALGEBRA VOLUME II (Vers˜ao Preliminar) Abramo Hefez 12 de novembro de 2002 2 Sum´ ario ˆ 1 POLINOMIOS 1.1 S´eries de Potˆencias e Polinˆomios . . . . 1.2 Divis˜ao de Polinˆomios . . . . . . . . . 1.3 Polinˆomios com Coeficientes em Corpos 1.4 Polinˆomios sobre C e sobre R . . . . . 1.5 Polinˆomios em V´arias Indeterminadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 15 25 29 32 ˜ E MULTIPLICIDADE 2 DERIVAC ¸ AO 41 2.1 Derivada Primeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2 Divis˜ao por X − a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 ˆ 3 POLINOMIOS COM COEFICIENTES NUM DFU 3.1 Ra´ızes em K de polinˆomios em D[X] . . . . . . . . . 3.2 O Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 M´etodo de Kronecker para fatora¸c˜ao em Z[X] . . . . 3.4 Crit´erios de divisibilidade em Q[X] . . . . . . . . . . 3.5 A Resultante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 AS 4.1 4.2 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 57 62 66 69 73 ˜ EQUAC ¸ OES DE GRAU ≤ 4 81 A Equa¸c˜ao do Segundo Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 A Equa¸c˜ao do Terceiro Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 A Equa¸c˜ao do Quarto Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 ´ 5 O GRUPO SIMETRICO 95 5.1 Rela¸c˜oes Entre Coeficientes e Ra´ızes . . . . . . . . . . . . . . 95 5.2 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.2.1 A no¸c˜ao de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3 ´ SUMARIO 4 5.3 5.4 5.5 5.6 5.2.2 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Grupos C´ıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ Estrutura de Orbitas de uma Permuta¸c˜ao . . . . . . . . . . . 5.3.1 Decomposi¸c˜ao de uma permuta¸c˜ao em um produto de ciclos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O Grupo Alternante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fun¸c˜oes Sim´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conjuga¸c˜ao em Sn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 6 O METODO DE LAGRANGE . 105 . 109 . 114 . . . . 114 121 124 129 133 ˜ 7 EXTENSOES DE CORPOS 147 ´ 7.1 A Algebra Linear da Extens˜ao de Corpos . . . . . . . . . . . . 147 7.2 Constru¸c˜oes com R´egua e Compasso . . . . . . . . . . . . . . 156 ´ SUMARIO ˜ NOTAC ¸ OES Anel = Anel comutativo com unidade N = {1, 2, 3, . . .} = Conjunto dos n´ umeros naturais Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} = Anel dos n´ umeros inteiros Z+ = {0, 1, 2, 3, . . .} = Subconjunto dos n´ umeros inteiros n˜ao negativos Q = Corpo dos n´ umeros racionais R = Corpo dos n´ umeros reais C = Corpo dos n´ umeros complexos Y X = Conjunto da fun¸c˜oes de X em Y A∗ = Conjunto dos elementos invert´ıveis do anel A Kern ϕ = n` ucleo do homomorfismo ϕ 5 6 ´ SUMARIO Cap´ıtulo 1 ˆ POLINOMIOS Neste Cap´ıtulo iniciaremos o estudo das propriedades alg´ebricas b´asicas dos polinˆomios com coeficientes num anel comutativo com unidade. Nas disciplinas de C´alculo os polinˆomios s˜ao vistos como fun¸c˜oes particulares de vari´avel real e como tal s˜ao estudados. A necessidade de se distinguir os polinˆomios das fun¸c˜oes polinomiais surge pela considera¸c˜ao de polinˆomios com coeficientes em corpos finitos, de uso cada vez mais freq¨ uente por causa de suas in´ umeras aplica¸c˜oes pr´aticas. Muito do estudo das propriedades dos polinˆomios em uma indeterminada est´a relacionado com o desenvolvimento da Teoria das Equa¸c˜oes Alg´ebricas `a qual est˜ao associados os nomes de Tartaglia, Lagrange, Ruffini, Gauss, Abel, culminando com as contribui¸c˜oes fundamentais de Abel e Galois. As propriedades dos polinˆomios em v´arias indeterminadas foram pesquisadas inicialmente por suas conex˜oes com a Geometria Anal´ıtica, evoluindo no que hoje se chama Geometria Alg´ebrica. Atualmente os polinˆomios desempenham papel relevante em muitas partes da Matem´atica. 1.1 S´ eries de Potˆ encias e Polinˆ omios Seja A um anel, considerado, uma vez por todas, comutativo com unidade, e seja X uma indeterminada sobre A. Uma s´erie de potˆencias f (X) com coeficientes em A ´e uma soma formal infinita do tipo: f (X) = ∞ X i=0 ai X i = a0 X 0 + a1 X 1 + a2 X 2 + · · · 7 ˆ CAP´ITULO 1. POLINOMIOS 8 com ai ∈ A, para todo i ∈ Z+ . Os X i s˜ao provisoriamente vistos apenas como s´ımbolos indicadores de posi¸c˜ao. P∞ P i i ao conDuas s´eries de potˆencias f (X) = ∞ i=0 bi X s˜ i=0 ai X e g(X) = + sideradas iguais se ai = bi para todo i ∈ Z . Os elementos ai s˜ao chamados de coeficientes e a parcela ai X i de monˆomio de grau i. Convenciona-se omitir o monˆomio ai X i quando ai = 0 e costuma-se denotar a0 X 0 por a0 e a1 X 1 por a1 X. O conjunto de todas as s´eries de potˆencias com coeficientes em A ´e denotado por A[[X]] e nele definimos as seguintes opera¸c˜oes: Adi¸c˜ao: ∞ X i ai X + i=0 ∞ X i bi X = i=0 ∞ X (ai + bi )X i . i=0 Multiplica¸c˜ao: ∞ X ai X i i=0 ! · ∞ X bi X i i=0 ! = ∞ i X X i=0 j=0 aj bi−j ! X i. Note que com esta defini¸c˜ao de produto, temos que X i · X j = X i+j , para todo i e j, dando assim um sentido de potˆencia ao s´ımbolo X i . ˜ 1.1. O conjunto A[[X]] com as opera¸c˜oes acima definidas PROPOSIC ¸ AO ´e um anel. ˜ A associatividade e a comutatividade da adi¸c˜ao s˜ao DEMONSTRAC ¸ AO: P∞ i de verifica¸c˜oes imediatas. O elementoPneutro da adi¸c˜ao ´e 0 P = i=0 0X , ∞ ∞ enquanto que o sim´etrico de f (X) = i=0 ai X i ´e −f (X) = i=0 (−ai )X i. A comutatividade da multiplica¸c˜ao ´e imediata e a propriedade distributiva ´e f´acil de ser verificada. A u ´ nica propriedade que merece verifica¸c˜ao ´e a associatividade da multiplica¸c˜ao. Sejam f (X) = ∞ X i=0 i ai X , g(X) = ∞ X i=0 bi X i e h(X) = ∞ X i=0 ci X i . ´ ˆ ˆ 1.1. SERIES DE POTENCIAS E POLINOMIOS Temos que (f (X) · g(X)) · h(X) = onde di = k i X X aj bk−j j=0 k=0 ! ci−k = ∞ X 9 di X i , i=0 X aλ bµ cη . λ+µ+η=i Por outro lado, f (X) · (g(X) · h(X)) = onde ei = i X k=0 ak i−k X j=0 bj ci−k−j ! = ∞ X ei X i , i=0 X aλ bµ cη . λ+µ+η=i Portanto, di = ei , para todo i, provando assim a associatividade da multiplica¸c˜ao. ´ claro que A ⊂ A[[X]], pois todo elemento a ∈ A pode ser visto como E a0 + 0X + 0X 2 + · · · e portanto como elemento de A[[X]]. Al´em disso, se f (X) = a e g(X) = b, temos que f (X) + g(X) = a + b e f (X) · g(X) = a · b, onde as opera¸c˜oes nos primeiros membros s˜ao efetuadas em A[[X]] e as dos segundos membros o s˜ao em A. Vemos com isto que as opera¸c˜oes definidas em A[[X]] estendem as opera¸c˜oes definidas em A, fazendo com que A seja um subanel de A[[X]]. Um outro subanel de A[[X]] que se destaca ´e o anel A[X] dos polinˆomios em uma indeterminada com coeficientes em A. Como conjunto, este anel ´e descrito como  A[X] = a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · ∈ A[[X]] | ∃ n tal que ai = 0 se i > 0 Todo elemento de A[X] ´eP chamado de polinˆomio e pode ser representado como soma finita, p(X) = ni=0 ai X i , para algum n ∈ Z+ . ˆ CAP´ITULO 1. POLINOMIOS 10 ˜ 1.2. A[X] ´e um subanel de A[[X]]. PROPOSIC ¸ AO ˜ Basta, de acordo com I-7, Proposi¸c˜ao 1, mostrar que DEMONSTRAC ¸ AO: 1 ∈ A[X], o que ´e ´obvio; e que se p(X)q(X) ∈ A[X], ent˜ao p(X) − q(X) ∈ A[X] e p(X) · q(X) ∈ A[X]. P P De fato, se p(X) = ni=0 ai X i e q(X) = ni=0 bi X i , ent˜ao max{n,m} p(X) − q(X) = e p(X) · q(X) = X i=0 n+m X j=0 (ai − bi )X i ∈ A[X] cj X j ∈ A[X] onde cj = X i+k=j ai · bk . Dado um polinˆomio p(X) = a0 + a1 X + · · · an X n ∈ A[X] − {0}, define-se grau de p(X) como sendo o inteiro gr(p(X)) = max{i ∈ Z+ ; ai 6= 0}. Note que o polinˆomio nulo ´e o u ´ nico polinˆomio que n˜ao possui grau e que gr(p(X)) > 0 se, e somente se, p(X) ∈ A[X] − A. O coeficiente do tˆermo de grau igual ao gr(p(X)) ´e chamado de coeficiente l´ıder de p(X). Um polinˆomio cujo coeficiente l´ıder ´e igual a 1 ´e chamado de polinˆomio mˆonico. Um polinˆomio nulo ou de grau zero ser´a chamado de polinˆomio constante. Vejamos agora como a hip´otese sobre A de ser dom´ınio se reflete sobre A[X]. ˜ 1.3. Seja A um dom´ınio. Se p(X), q(X) ∈ A[X] − {0}, PROPOSIC ¸ AO ent˜ao p(X) · q(X) 6= 0 e gr(p(X) · q(X)) = gr(p(X)) + gr(q(X)). ˜ Considere os polinˆomios p(X), q(X) ∈ A[X] dados DEMONSTRAC ¸ AO: por p(X) = a0 + a1 X + · · · + an X n e q(X) = b0 + b1 X + · · · + bm X m onde an 6= 0 e bm 6= 0. Ent˜ao, p(X) · q(X) = a0 · b0 + (a0 · b1 + a1 · b0 )X + · · · + an · bm X n+m . Como A ´e dom´ınio, segue que an · bm 6= 0, logo p(X) · q(X) 6= 0 e gr(p(X) · q(X)) = n + m = gr(p(X) + q(X)). ´ ˆ ˆ 1.1. SERIES DE POTENCIAS E POLINOMIOS 11 ´ COROLARIO 1.1. Se A ´e um dom´ınio, ent˜ao A[X] ´e dom´ınio. Em particular, se K ´e um corpo ent˜ao K[X] ´e um dom´ınio. ´ COROLARIO 1.2. Seja A um dom´ınio. Se p(X), q(X) ∈ A[X] − {0} s˜ao tais que t(X) divide p(X), ent˜ao gr(t(X)) ≤ gr(p(X)). ˜ DEMONSTRAC ¸ AO: Existe por hip´otese, um polinˆomio n˜ao nulo q(X) em A[X] tal que t(X) · q(X) = p(X) . Logo pela Proposi¸c˜ao 3, segue que gr(p(X)) − gr(t(X)) = gr(q(X)) ≥ 0 . Da´ı segue a desigualdade desejada. ´ COROLARIO 1.3. Seja A um dom´ınio. Um elemento p(X) ∈ A[X] ´e invert´ıvel se, e somente se, p(X) ∈ A e ´e invert´ıvel em A. Em s´ımbolos, (A[X])∗ = A∗ . ˜ DEMONSTRAC ¸ AO: Se p(X) ∈ A[X] ´e invert´ıvel, ent˜ao p(X) 6= 0 e existe q(X) ∈ A[X] − {0} tal que p(X) · q(X) = 1. Tomando graus e usando a Proposi¸c˜ao 3 temos que gr(p(X)) + gr(q(X)) = 0 . Logo gr(p(X)) = gr(q(X)) = 0 e, portanto p(X), q(X) ∈ A e p(X) ´e invert´ıvel em A. A rec´ıproca ´e imediata. Um fato que merece ser evidenciado ´e a diferen¸caa existente entre polinˆomios e fun¸c˜oes polinomiais, dois conceitos que freq¨ uentemente s˜ao indevidamente confundidos. A um polinˆomio p(X) ∈ A[X] associa-se uma fun¸c˜ao p ∈ AA chamada fun¸cao polinomial, definida por p : A −→ A a 7−→ p(a) = a0 + a1 · a + · · · + an · an . ´ evidente que a O elemento p(a) de A ´e chamado de valor de p(X) em a. E dois polinˆomios iguais s˜ao associadas duas fun¸c˜oes polinomiais iguais. Em contrapartida, dois polinˆomios distintos podem dar origem a duas fun¸coes polinomiais iguais. Por exemplo, p(X) = X 2 − X e q(X) = 0, como polinˆomios de Z2 [X] s˜ao distintos, por´em, as fun¸c˜oes polinomiais a eles associadas s˜ao iguais. Mais geralmente, se p ´e um n´ umero primo positivo, decorre do Pequeno Teorema de Fermat (I-6, Problema 1.10) que os polinˆomios X p − X 12 ˆ CAP´ITULO 1. POLINOMIOS e ¯0 de Zp [X] determinam a mesma fun¸c˜ao polinomial. Veremos na pr´oxima se¸c˜ao 2, Corol´ario 4 do Teorema 1, que se A ´e infinito tal fato n˜ao ocorre. Uma t´ecnica muito u ´ til ao lidarmos com polinˆomios ´e o chamado m´etodo dos coeficientes a determinar que utiliza basicamente as defini¸c˜oes da igualdade e das opera¸c˜oes no anel de polinˆomios. Ilustraremos o m´etodo com alguns exemplos. EXEMPLO 1: Mostraremos neste exemplo que X 4 + 4 pode ser escrito como produto do dois polinˆomios de segundo grau com coeficientes inteiros. De fato, escreva, X 4 + 4 = (aX 2 + bX + c) · (a′ X 2 + b′ X + c′ ). Efetuando o produto, tem-se que X 4 +4 = a·a′ X 4 +(a·b′ +a′ ·b)X 3 +(a·c′ +b·b′ +c·a′ )X 2 +(b·c′ +c·b′ )X +c·c′. Pela igualdade de polinˆomios acima, obt´em-se o sistema de equa¸c˜oes:  a · a′ = 1      a · b′ + a′ · b = 0 a · c′ + b · b′ + c · a′ = 0   b · c′ + c · +c · b′ = 0    c · c′ = 4 Procuremos as solu¸c˜oes inteiras deste sistema de equa¸co˜es. Da primeira equa¸c˜ao, obt´em-se que a = a′ = ±1. Da segunda, segue que b + b′ e da quarta, b · (c′ − c) = 0, logo b = 0 ou c = c′ . Caso 1: b = 0. Da terceira equa¸c˜ao tem-se que c + c′ = 0, donde c′ = −c. Substituindo na quinta equa¸c˜ao tem-se c2 = −4, o que ´e imposs´ıvel. Caso 2: c = c′ . Da quinta equa¸c˜ao tem-se que c = c′ = ±2. Da segunda, segue que b + b′ = 0, logo da terceira obt´em-se b · b′ = −2a · c = −4 . Donde b = −b′ = ±2. Testando os valores obtidos temos que X 4 + 4 = (X 2 − 2X + 2) · (X 2 + 2X + 2) = (−X 2 + 2X − 2) · (−X 2 − 2X − 2). EXEMPLO 2 : Determinaremos a e b em Z7 de modo que X 4 + ¯4X 3 + aX 2 − ¯4X + b ∈ Z7 [X] seja o quadrado de um polinˆomio de Z7 [X] . Da igualdade, X 4 + ¯4X 3 + aX 2 − ¯4X + b = (X 2 + cX + d)2 = X 4 + ¯2cX 3 + (¯2d + c2 )X 2 + ¯2cdX + d2 ´ ˆ ˆ 1.1. SERIES DE POTENCIAS E POLINOMIOS obtemos o sistema: 13  2¯ · c = ¯4    ¯ 2 · d + c2 = a ¯2 · c · d = −¯4    2 d =b que resolvido, nos fornece c = ¯2, d = −¯1, b = ¯1 e a = ¯2. Portanto, X 4 + bar4X 3 + ¯2X 2 − ¯4X + ¯1 = (X 2 + ¯2X − ¯1)2 PROBLEMAS 1.1. 1. Um elemento a 6= 0 de um anel comutativo com unidade A ´e chamado regular ou n˜ao divisor de zero em A se a · b 6= 0, para todo b ∈ A − {0}. Em particular, todo elemento invert´ıvel de A ´e regular. (a) Se p(X), q(X) ∈ A[X], com coeficiente l´ıder de p(X) ou de q(X) regular, ent˜ao gr(p(X) · q(X)) = gr(p(X)) + gr(q(X)). (b) Se p(X), t(X) ∈ A[X], com coeficiente l´ıder de t(X) regular e se t(X) | p(X), ent˜ao gr(t(X)) ≤ gr(p(X)). ¯ 3 + ¯2X + ¯1 e q(X) = (c) Calcule gr(p(X) · q(X)) onde p(X) = 3X ¯2X 2 + ¯3X + 1 em Z6 [X]. (d) Mostre que (¯2X 2 + ¯2X + ¯1) | ¯3 em Z6 [X] . 2. Determine a ∈ Z tal que (a) O polinˆomio X 4 −aX 3 +8X 2 +a seja o quadrado de um polinˆomio de Z[X]. (b) O polinˆomio X 4 + X 3 + aX 2 + X + 1 seja o produto de dois polinˆomios do segundo grau em Z[X]. 3. Determine a, b ∈ Z7 tais que (a) O polinˆomio X 4 + ¯3X 3 + ¯5X 2 + aX + b seja o quadrado de um polinˆomio de Z7 [X]. (b) O polinˆomio X 3 + aX + 5¯ seja divis´ıvel por X 2 + ¯5X + ¯6 em Z7 [X]. ˆ CAP´ITULO 1. POLINOMIOS 14 4. Mostre que a fun¸c˜ao avalia¸c˜ao em a ∈ A: Ava : A[X] −→ A p(X) 7−→ p(a) ´e um homomorfismo de an´eis. 5. Seja p um n´ umero primo positivo e f (X) ∈ Zp [X]. Mostre que f (X) e f (X p ) determinam a mesma fun¸c˜ao polinomial. Sugest˜ ao: Use o Pequeno Teorema de Fermat. 6. Sejam p(X) ∈ C[X] e ξ uma raiz n-´esima primitiva da unidade em C . (a) Se gr(p(X)) < n, mostre que p(X) + p(ξX) + p(ξ 2 X) + · · · + p(ξ n−1 X) = n · p(0). (b) Deduza uma f´ ormula para esta soma se gr(p(X)) ≥ n . P∞ 7. Mostre que f (X) = i=0 ai X i ∈ A[[X]] ´e invert´ıvel em A[[X]] se, e somente se, a0 ´e invert´ıvel em A[X]. P∞ Sugest˜ ao: Seja g(X) = i=0 bi X i . Tem-se que f (X) · g(X) = 1 se, e somente se, Pi ao a a0 · b0 = 1 e j=0 aj bi−j = 0, para todo i ≥ 1. Mostre que se b0 = a−1 0 , ent˜ equa¸ca˜o acima determina bi em fun¸ca˜o dos a′j s e de b0 , b1 , . . . , bi−1 , determinando assim g(X) = (f (X))−1 . 8. Seja K um corpo. Mostre que 1 − X ´e invert´ıvel em K[[X]] e que (1 − X)−1 = ∞ X X i. i=0 Se a ∈ K − {0}, determine (a − X)−1 . P∞ 9. Seja f (X) = i=0 ai X i ∈ A[[X]] − {0}. Defina a ordem de f (X) com sendo ord(f (X)) = min{i | ai 6= 0}. Mostre que se A ´e um dom´ınio e se f (X), g(X) ∈ A[[X]] − {0}, ent˜ ao ord(f (X) · g(X)) = ord(f (X)) + ord(g(X)). Isto prova que se A ´e um dom´ınio, ent˜ ao A[[X]] tamb´em ´e um dom´ınio. 10. Seja K um corpo. (a) Dado f ∈ K[[X]] − K, mostre que existem m ∈ N e u invert´ıvel em K[[X]] tais que f = X m · u. ˜ DE POLINOMIOS ˆ 1.2. DIVISAO 15 (b) Mostre que K[[X]] ´e um dom´ınio principal. Conclua que K[[X]] ´e um dom´ınio de fatora¸ca˜o u ´ nica (DFU). Sugest˜ ao: Veja I-Teorema 2, Cap´ıtulo 4. (c) Descreva o corpo de fra¸co˜es de K[[X]]. P i 11. Sejam fi (X) ∈ A[[X]], i ∈ Z+ , tais que ord(fi (X)) ≥ i. Mostre que ∞ e i=0 fi X ´ bem definido como elemento de A[[X]]. Mostre que se f (X), g(X) ∈ A[[X]] com P∞ ao f (X) = i=0 ai X i , ent˜ ∞ X i=0 ai X i · g(X) = f (X) · g(X). 12. Suponha que B seja um subanel de A. Mostre que B[[X]] e B[X] s˜ ao respectivamente subaneis de A[[X]] e de A[X]. 1.2 Divis˜ ao de Polinˆ omios Mostraremos nesta se¸c˜ao que sob certas condi¸c˜oes, `a semelhan¸ca dos inteiros, ´e poss´ıvel efetuar a divis˜ao com resto ”pequeno”de um polinˆomio por outro. ˜ TEOREMA 1.1. (ALGOR´ITMO DA DIVISAO) Seja A um anel e sejam p(X) e t(X) polinˆomios em A[X]. Se t(X) 6= 0 possui coeficiente l´ıder invert´ıvel, ent˜ao existem q(X) e r(X) em A[X] tais que p(X) = t(X) · q(X) + r(X), com r(X) = 0 ou gr(r(X)) < gr(t(X)). Al´em disso, q(X) e r(X) s˜ao univocamente determinados por estas condi¸c˜oes. ˜ Sejam DEMONSTRAC ¸ AO: p(X) = a0 + a1 X + · · · + an X n e t(X) = b0 + b1 X + · · · + bm X m , com an 6= 0 e bm invert´ıvel. Existˆ encia: Se p(X) = 0 ou n < m, fa¸ca q(X) = 0 e r(X) = p(X). n−m Suponha agora p(X) 6= 0 e n ≥ m. Tomando q1 (X) = b−1 ∈ A[X] m an X tem-se que p(X) − q1 (X) · t(X) = r1 (X), (1.1) ˆ CAP´ITULO 1. POLINOMIOS 16 com r1 (X) = 0 ou gr(r1 (X)) < gr(p(X)). Se r1 (X) = 0 ou se gr(r1 (X)) < gr(t(X)), o problema fica resolvido n−m . tomando r(X) = r1 (X) e q(X) = b−1 m an X Se gr(r1 (X)) ≥ gr(t(X)), repete-se o procedimento acima com r1 (X) no lugar de p(X), obtendo r1 (X) − q2 (X) · t(X) = r2 (X), (1.2) com r2 (X) = 0 ou gr(r2 (X)) < gr(r1 (X)). Se r2 (X) = 0 ou se gr(r2 (X)) < gr(t(X)), o problema fica resolvido pois p(X) = (q1 (X) + q2 (X)) · t(X) + r2 (X). Se gr(r2 (X)) ≥ gr(t(X)), repete-se o procedimento acima com r2 (X) no lugar de r1 (X), obtendo r2 (X) − q3 (X) · t(X) = r3 (X), (1.3) com r3 (X) = 0 ou gr(r3 (X)) < gr(r2 (X)). E assim sucessivamente, obtendo r1 (X), r2 (X), r3 (X), . . . tais que gr(r1 (X)) > gr(r2 (X)) > gr(r3 (X)) > · · · Segue ent˜ao que para certo s ∈ N, tem-se rs (X) = 0 ou gr(rs (X)) < gr(t(X)). Levando em conta (1), (2), (3), . . . temos que p(X) = (q1 (X) + q2 (X) + · · · + qs (X)) · t(X) + rs (X) bastando ent˜ao tomar q(X) = q1 (X)) + q2(X) + · · ·+ qs (X)) e r(X) = rs (X). Unicidade: Suponha que t(X) · q(X) + r(X) = t(X) · q1 (X) + r1 (X) com r(X) = 0 ou gr(r(X)) < gr(t(X)) e r1 (X) = 0 ou gr(r1 (X)) < gr(t(X)). Da igualdade acima, obtemos que t(X)[q(X) − q1 (X)] = r1 (X) − r(X) Pelas condi¸c˜oes impostas a r(X) e r1 (X) temos que r1 (X) − r(X) = 0 ou gr(r1 (X)) < gr(t(X)). (1.4) ˜ DE POLINOMIOS ˆ 1.2. DIVISAO 17 Se r1 (X) − r(X) 6= 0, segue de (1.4) e do Problema 1.1 (b) que gr(r1 (X) − r(X)) ≥ gr(t(X)), o que ´e uma contradi¸c˜ao. Portanto r1 (X) = r(X) e conseq¨ uentemente de (1.4) temos que q1 (X) = q(X). ˜ 1: Seguindo os passos da demonstra¸c˜ao do Teorema, OBSERVAC ¸ AO obtemos o algoritmo da divis˜ao longa de dois polinˆomios: an X n + an−1 X n−1 + · · · · · · · · · + a0 n−1 n−m −an X n − b−1 − · · · − b−1 m bm−1 an X m b0 an X bm X m + · · · + b0 n−m b−1 +··· m an X r1 (X) .. . ˜ 2: Se A ´e um corpo ent˜ao ´e sempre poss´ıvel efetuar a OBSERVAC ¸ AO divis˜ao por qualquer polinˆomio t(X) 6= 0. ˜ 3: Suponha que p(X), t(X) ∈ B[X] onde B ´e um suOBSERVAC ¸ AO banel de A e o coeficiente l´ıder de t(X) ´e invert´ıvel em B. Ent˜ao q(X) e r(X) calculados pelo algoritmo da divis˜ao em A[X] ter˜ao necess`ariamente coeficientes em B. ˜ 4: Os polinˆomios p(X), t(X), q(X) e r(X) no algoritmo OBSERVAC ¸ AO da divis˜ao s˜ao chamados respectivamente de dividendo, divisor, quociente e resto. ´ poss´ıvel efetuar a divis˜ao de 3X 5 + 2X 3 + X 2 − 5X + 7 EXEMPLO 1 : E por 2X 3 + 3X + 1 em Q[X] mas n˜ao ´e poss´ıvel fazˆe-lo em Z[X] . ˆ CAP´ITULO 1. POLINOMIOS 18 3X 5 + 2X 3 + X 2 − 5X + 7 2X 3 + 3X + 1 −3X 5 − 92 X 3 − 23 X 2 3 X2 2 − 5 4 − 25 X 3 − 21 X 2 − 5X + 7 5 3 X 2 15 X 4 + + − 21 X 2 − 54 X + Neste caso q(X) = 32 X 2 − 5 4 5 4 33 4 e r(X) = − 21 X 2 − 45 X + 33 . 4 EXEMPLO 2 : O fato de bm n˜ao ser invert´ıvel n˜ao quer dizer que n˜ao se possa efetuar a divis˜ao. Por exemplo, sejam dados p(X) = 2X 3 − 3X 2 + 1 e t(X) = 2X + 1, temos em Z[X]: 2X 3 − 3X 2 + −2X 3 1 − X2 2X + 1 X 2 − 2X + 1 −4X 2 + 1 4X 2 + 2X 2X + 1 −2X − 1 0 Neste caso q(X) = X 2 − 2X + 1 e r(X) = 0. Damos a seguir alguns corol´arios do Teorema, cuja importˆancia ficar´a mais clara na pr´oxima sec¸c˜ao. ´ COROLARIO 1.4. Sejam a, b ∈ A com a
invert´ıvel e p(X) ∈ A[X]. O resto da divis˜ao de p(X) por aX + b ´e p − ab . ˜ DE POLINOMIOS ˆ 1.2. DIVISAO 19 ˜ DEMONSTRAC ¸ AO: Pelo Teorema 1, existem q(X), r(X) ∈ A[X] tais que p(X) = (aX + b) · q(X) + r(X) com r(X) = 0 ou gr(r(X)) < 1. Em qualquer caso r(X) ´e um polinˆomio constante, logo       b b b p − =0·q − +r − = r(X). a a a ´ COROLARIO 1.5. Sejam a, b ∈ A com a invert´ıvel e p(X)
∈ A[X]. O b polinˆomio p(X) ´e divis´ıvel por aX + b se, e somente se p − a = 0. ˜ 1.1. Se p(X) ∈ A[X] e α ∈ A s˜ao tais que p(α) = 0, dizemos DEFINIC ¸ AO que α ´e raiz do polinˆomio p(X). Segue do Corol´ario 2 que α ´e raiz de p(X) se e somente se (X − α) divide p(X). ´ COROLARIO 1.6. Seja A um dom´ınio. Se p(X) ∈ A[X] − {0} tem grau n, ent˜ao p(X) tem no m´aximo n ra´ızes distintas. ˜ DEMONSTRAC ¸ AO: Vamos provar isto por indu¸c˜ao em n. Se n = 0, ent˜ao p(X) ´e uma constante n˜ao nula e portanto tem zero ra´ızes, estabelecendo o resultado neste caso. Suponha agora o resultado v´alido para n e seja p(X) um polinˆomio de grau n + 1. Se p(X) n˜ao tem ra´ızes, nada temos a provar. Se p(X) tem uma raiz α, ent˜ao p(X) = (X − α) · q(X), com q(X) ∈ A[X] e gr(q(X)) = n. Pela hip´otese de indu¸c˜ao, q(X) tem no m´aximo n ra´ızes distintas e sendo A um dom´ınio, as ra´ızes de p(X) s˜ao as ra´ızes de q(X) e as ra´ızes de (X −α), logo p(X) tem no m´aximo n+1 ra´ızes. ´ COROLARIO 1.7. Seja A um dom´ınio infinito. Se p(X), q(X) ∈ A[X] s˜ao tais que p(a) = q(a) para todo a ∈ A (i.e. as fun¸c˜oes polinomiais s˜ao iguais), ent˜ao p(X) = q(X) (i.e. os polinˆomios s˜ao iguais). ˜ Suponha por absurdo que p(X) − q(X) 6= 0. Ent˜ao, DEMONSTRAC ¸ AO: pelo Corol´ario 3, p(X) −q(X) tem um n´ umero finito de ra´ızes. Isto contradiz a hip´otese p(a) = q(a) para todo a ∈ A pois A ´e infinito. Considere a aplica¸c˜ao ϕ : A[X] −→ AA p(X) 7−→ fun¸c˜ao polinomial associada a p(X) 20 ˆ CAP´ITULO 1. POLINOMIOS Usando o exerc´ıcio 1.4 ´e f´acil verificar que ϕ ´e um homomorfismo de an´eis. O Corol´ario 4 mostra que se A ´e um dom´ınio infinito, ent˜ao N(ϕ) = {0}. ˜ 1.2. Dizemos que um corpo K ´e algebricamente fechado DEFINIC ¸ AO se todo polinˆomio n˜ao constante de K[X] tem pelo menos uma raiz em K. ´ COROLARIO 1.8. Seja K um corpo algebricamente fechado e seja ainda p(X) ∈ K[X] um polinˆomio n˜ao constante. Se gr(p(X)) = n, ent˜ao existem elementos α1 , α2 , . . . , αn ∈ K e a ∈ K tais que p(X) = a · (X − α1 ) · (X − α2 ) · · · (X − αn ) ˜ A prova pode ser feita por indu¸c˜ao sobre n e a deiDEMONSTRAC ¸ AO: xamos a cargo do leitor. ˜ 1.4. Se K ´e um corpo algebricamente fechado, ent˜ao K ´e PROPOSIC ¸ AO infinito. ˜ DEMONSTRAC ¸ AO: Suponha por absurdo que K seja finito, digamos que K = {a0 , a1 , . . . , an−1 } onde a0 = 0 e a1 = 1. Considere o polinˆomio p(X) = (X − a0 ) · (X − a1 ) · · · · · · · (X − an−1 ) + a1 . Verifica-se diretamente que p(X) n˜ao tem ra´ızes em K o que ´e uma contradi¸c˜ao, pois p(X) ´e n˜ao constante e K ´e algebricamente fechado. Nem todo corpo ´e algebricamente fechado, por exemplo, se p ´e um n´ umero primo positivo, o corpo Zp n˜ao ´e algebricamente fechado por ser finito. O corpo R , apesar de infinito, n˜ao ´e algebricamente fechado pois o polinˆomio n˜ao constante X 2 + 1 ∈ R[X] n˜ao possui ra´ızes em R. ´ O famoso Teorema Fundamental da Algebra garante que C ´e algebricamente fechado. Este Teorema possui uma longa hist´oria e muitas demonstra¸c˜oes, nenhuma delas por´em se faz com m´etodos puramente alg´ebricos, devendo-se sempre usar m´etodos da an´alise. Vamos ao longo do texto admitir este resultado cuja demonstra¸c˜ao encontra-se no Apˆendice 1. ˜ DE POLINOMIOS ˆ 1.2. DIVISAO 21 EXEMPLO 3 : O polinˆomio p(X) = 2X 4 − 7X 3 − 2X 2 + 13X + 6 ´e divis´ıvel pelo polinˆomio X 2 − 5X + 6 em Z[X]. De fato, tem-se que X 2 −5X +6 = (X −2)·(X −3). Como p(2) = 0, temos que p(X) = (X − 2) · q(X) com q(X) ∈ Z[X]. Por outro lado, p(3) = 0, logo q(3) = 0 e portanto q(X) = (X − 3) · q1 (X) com q1 (X) ∈ Z[X]. Conclui-se que p(X) = (X − 2) · (X − 3) · q1 (X). Pede-se ao leitor generalizar a argumenta¸c˜ao acima mostrando que se A ´e um dom´ınio, p(X) ∈ A[X] e α1 , α2 , . . . , αn s˜ao elementos distintos de A tais que p(αi ) = 0, i = 1, 2, . . . , n, ent˜ao (X − α1 ) · (X − α2 ) · · · · · (X − αn ) divide p(X). EXEMPLO 4 : O polinˆomio p(X) = X 3k+2 +X 3m+1 +X 3n com n, m, k ∈ N ´e divis´ıvel por X 2 + X + 1 em Z[X]. De fato, podemos escrever X 2 + X + 1 = (X − w) · (X − w 2 ) em C[X] onde w ´e uma raiz c´ ubica primitiva de 1. Temos tamb´em que p(w) = w 3k+2 + w 3m+1 + w 3n = w 2 + w + 1 = 0 e p(w 2) = w 6k+4 + w 6m+2 + w 6n = w + w 2 + 1 = 0 Portanto pela argumenta¸c˜ao acima, temos que (X 2 + X + 1) | p(X) em C[X], logo p(X) = (X 2 +X +1)·q1(X) para algum q1 (X) ∈ C[X]. Pela Observa¸c˜ao 3 temos que q1 (X) ∈ Z[X], provando assim a nossa afirma¸c˜ao. EXEMPLO 5 : Seja ξ = cos 2π + i sen 2π . Vamos provar a identidade n n 1 + X + X 2 + · · · + X n−1 = (X − ξ) · (X − ξ 2) · · · · · (X − ξ n−1 ). De fato, sendo p(X) = 1+X +X 2 +· · ·+X n−1 e ξ uma raiz n-´esima primitiva da unidade, temos que ξ, ξ 2, . . . , ξ n−1 s˜ao distintos e p(ξ) = p(ξ 2 ) = · · · = p(ξ n−1) = 0. Logo p(X) ´e divis´ıvel por (X − ξ) · (X − ξ 2 ) · · · · · (X − ξ n−1). Por serem do mesmo grau p(X) e este u ´ ltimo polinˆomio, segue que existe a ∈ C − {0} tal que p(X) = a · (X − ξ) · (X − ξ 2 ) · · · · · (X − ξ n−1 ). ˆ CAP´ITULO 1. POLINOMIOS 22 Comparando os coeficientes dos termos de mais alto grau dos polinˆomios acima, conclui-se que a = 1, provando assim a identidade. ˜ 1.5. (POLINOMIO ˆ ˜ DE LAGRANGE). PROPOSIC ¸ AO DE INTERPOLAC ¸ AO Seja K um corpo. Sejam ai , bi ∈ K, i = 1, 2, . . . , n, com os ai dois a dois distintos e os bi n˜ ao todos nulos. Considere os polinˆ omios pi (X) = bi (X − a1 ) · · · (X − ai−1 ) · (X − ai+1 ) · · · (X − an ) , (ai − a1 ) · · · (ai − ai−1 ) · (ai − ai+1 ) · · · (ai − an ) para i = 1, 2, . . . , n. Ent˜ ao o polinˆ omio p(X) = n X pi (X) i=1 ´e o u ´nico polinˆ omio de grau menor do que n tal que p(ai ) = bi , para todos i = 1, 2, . . . , n. ˜ O polinˆomio p(X) ´e de grau menor do que n e ´e tal DEMONSTRAC ¸ AO: que p(ai ) = bi , ∀ i = 1, 2, . . . , n, pois  0 se i 6= j pi (aj ) = bj se i = j Agora s´o falta provar a unicidade de p(X). Suponha que q(X) seja um polinˆomio que satisfaz as mesmas condi¸c˜oes que p(X) satisfaz. Segue ent˜ao que p(X) − q(X) ´e um polinˆomio de grau menor do que n com n ra´ızes a1 , a2 , . . . , an , logo, pelo Corol´ario 3 do Teorema 1, tem-se que p(X) = q(X). O polinˆomio p(X) acima ´e chamado Polinˆomio de Interpola¸c˜ao de Lagrange e desempenha papel importante na apresenta¸c˜ao de Galois da sua Teoria das Equa¸c˜oes. PROBLEMAS 1.2. 1. Ache q(X) e r(X) nas seguintes situa¸c˜oes: (a) p(X) = 3X 2 + 5X + 7, t(X) = X 3 + 7X 2 + 9 em Z[X]. (b) p(X) = X 4 + X 3 + X 2 + X + 1, t(X) = X 4 − X 3 + X 2 − X + 1 em Z[X]. ˜ DE POLINOMIOS ˆ 1.2. DIVISAO 23 (c) p(X) = X 7 + 3X 6 − X 5 + 4X 2 + 1, t(X) = X 4 − X + 1 em Z[X]. (d) p(X) = X 10 + X 5 + 1, t(X) = X 2 + X + 1 em Z[X]. (e) p(X) = X 5 + 3X 4 + X 3 + X + 1, t(X) = 2X 2 + 3X + 1 em Z[X]. (f) p(X) = X 3 + ¯3X 2 + X + ¯3, t(X) = X 2 + ¯4X + ¯3 em Z5 [X]. 2. Ache os poss´ıveis valores de a para que o polinˆomio a2 · X 4 + 4X 3 + 4 · a · X + 7 seja divis´ıvel por X + 1 em Z[X]. 3. Sejam A um dom´ınio e a ∈ A − {0}. (a) Mostre que o polinˆomio X n − an ´e divis´ıvel por X − a em A[X]. (b) Sob que condi¸c˜oes X n + an ´e divis´ıvel por X + a em A[X] ? (c) Sob que condi¸c˜oes X n − an ´e divis´ıvel por X + a em A[X] ? 4. Sem efetuar a divis˜ao, mostre que (a) 2X 6 + 2X 5 + X 4 + 2X 3 + X 2 + 2 ´e divis´ıvel por X 2 + 1 em Z[X]. (b) X 6 + 4X 5 + 3X 4 + 2X 3 + X 2 + 1 ´e divis´ıvel por X 2 + X + 1 em Z[X]. (c) X 444 + X 333 + X 222 + X 111 + 1 ´e divis´ıvel por X 4 + X 3 + X 2 + X + 1 em Z[X]. (d) Para n ∈ N, (X + 1)2n − X 2n − 2X − 1 ´e divis´ıvel por X · (X + 1) · (2X + 1) em Q[X]. 5. Para quais valores de n ∈ N tem-se que (a) 1 + X 2 + X 4 + · · · + X 2n−2 ´e divis´ıvel por 1 + X + · · · + X n−1 ? (b) 1 + X 3 + X 6 + · · · + X 3n−3 ´e divis´ıvel por 1 + X + · · · + X n−1 ? (c) Generalize. 6. Sejam K um corpo e sejam p(X) ∈ K[X] e a, b ∈ K com a 6= b. Mostre que o resto da divis˜ao de p(X) por (X − a) · (X − b) ´e p(a) − p(b) ap(b) − bp(a) X+ . a−b a−b ˆ CAP´ITULO 1. POLINOMIOS 24 7. Determine o polinˆomio p(X) ∈ Q[X] de grau 7 tal que p(1) = p(2) = · · · = p(7) = 8 e p(0) = 1 8. (a) Resolva a equa¸c˜ao 20X 3 − 30X 2 + 12X − 1 = 0 sabendo-se que ´e uma de suas ra´ızes. 1 2 (b) Uma raiz da equa¸c˜ao X 3 − (2a + 1)X 2 + a(a + 2)X − a(a + 1) = 0 ´e a + 1, ache as outras duas. 9. Ache o polinˆomio de menor grau que tem ra´ızes 0, 1 + i, 1 − i e assume os valores 2 e −2 em −1 e 1 respectivamente. 10. Sejam os polinˆomios p1 (X), . . . , ps (X) ∈ K[X] onde K ´e um corpo. Sejam ainda r1 (X), . . . , rs (X) ∈ K[X] os respectivos restos das divis˜oes destes polinˆomios por t(X) 6= 0. Fixados osPelementos α1 , . . . , αs ∈ K, mostre que o restoP da divis˜ao de p(X) = si=1 αi pi (X) por t(X) ´e o polinˆomio r(X) = si=1 αi ri (X) . P 11. (a) Mostre que o resto P da divis˜ao do polinˆomio p(X) = ni=0 ai X i por X n − a ´e r(X) = ni=0 ai ri (X), onde ri (X) ´e o resto da divis˜ao de X i por X m − a. Sugest˜ ao: use o exerc´ıcio 2.10. (b) Se i = λi m + µi com 0 ≤ µ < m, mostre que ri (X) = aλi X µi . P (c) Conclua que r(X) = ni=0 aλi X µi , justificando a seguinte regra pr´atica para calcular r(X): ”Substitua em p(X) todos os X m que puder por a”. (d) Sob quais condi¸c˜oes X n − an ´e divis´ıvel por X m − am ? (e) Ache os restos da divis˜ao de X 60 − 1 e de X 100 − 1 por X 3 − 1. (f) Mostre que se a 6= 0, ent˜ao (X n − an , X m − am ) = X d − ad , onde d = (m, n) . 12. Considere a igualdade do Exemplo 5, 1 + X + X 2 + · · · + X n−1 = (X − ξ) · (X − ξ 2 ) · · · · · (X − ξ n−1), + i sen 2π . onde ξ = cos 2π n n ˆ 1.3. POLINOMIOS COM COEFICIENTES EM CORPOS 25 (a) Na igualdade acima, fazendo X = 1 e tomando os m´odulos em ambos os lados, mostre a seguinte identidade trigonom´etrica: sen π 2π (n − 1)π n · sen · · · · · sen = n−1 n n n 2 Sugest˜ ao: Use a identidade sen θ = 1−cos 2θ 2 . (b) Se p > 2 ´e um n´ umero primo, mostre que (X − 1) · (X 2 − 1) · · · · · (X p−1 − 1) − p ´e divis´ıvel por 1 + X + · · · + X p−1 . 1.3 Polinˆ omios com Coeficientes em Corpos No que segue estudaremos propriedades espec´ıficas do anel de polinˆomios com coeficientes num corpo K. Neste caso, o Teorema 1 nos garante que a divis˜ao com resto pode ser efetuada, tendo como dividendo um polinˆomio qualquer e como divisor um polinˆomio n˜ao nulo arbitr´ario. Note tamb´em que, neste caso, de acordo com o Corol´ario 3 da Proposi¸c˜ao 2, u(X) ∈ K[X] ´e invert´ıvel se, e somente se, u(X) ∈ K − {0}, ou seja gr(u(X)) = 0. Portanto, dois polinˆomios p(X) e q(X) s˜ao associados se, e somente se, existe c ∈ K − {0} = K ∗ tal que q(X) = cp(X). Segue disto que todo polinˆomio n˜ao nulo de K[X] ´e associado a um u ´ nico polinˆomio mˆonico. TEOREMA 1.2. Todo ideal I de K[X] ´e principal. Se I 6= 0 ent˜ao I ´e gerado por qualquer um dos seus elementos de menor grau. ˜ DEMONSTRAC ¸ AO: Se I = {0}, nada temos a provar. Suponha que I 6= {0} e seja p(X) 6= 0 um polinˆomio em I de grau m´ınimo. Como p(X) ∈ I segue que I(p(X)) ⊂ I. Por outro lado, se g(X) ∈ I, pelo algoritmo da divis˜ao, existem polinˆomios q(X) e r(X) em K[X] com r(X) = 0 ou gr(r(X)) < gr(p(X)) tais que g(X) = p(X) · q(X) + r(X). Segue da´ı que r(X) ∈ I e como p(X) tem grau m´ınimo em I, conclui-se que r(X) = 0 e portanto g(X) ∈ I(p(X)). Isto acaba de mostrar que I = I(p(X)). 26 ˆ CAP´ITULO 1. POLINOMIOS O fato que K[X] ´e um anel principal tem v´arios corol´arios que passamos a enunciar. ´ COROLARIO 1.9. Sejam dados os polinˆomios p1 (X), . . . , ps (X) ∈ K[X]. Ent˜ao existe um MDC destes elementos. Al´em disso, todo MDC deles ´e da forma p1 (X) · q1 (X) + · · · + ps (X) · qs (X) para elementos q1 (X), . . . , qs (X) ∈ K[X]. ˜ DEMONSTRAC ¸ AO: Isto decorre do Teorema 2 e de I-4, Corol´ario 1 da Proposi¸c˜ao 6. Como todo associado de um MDC de dados elementos ´e um MDC destes elementos (cf. I-4, Corol´ario da Proposi¸c˜ao 4), segue que dados elementos p1 (X), . . . , ps (X) ∈ K[X] n˜ao todos nulos, estes elementos possuem um u ´ nico MDC mˆonico que ser´a chamado de o MDC destes elementos e denotado por (p1 (X), . . . , ps (X)). Do fato de K[X] ser principal segue tamb´em que existe MMC de elementos quaisquer de K[X] (Veja I-4, Problema 2.8) ´ COROLARIO 1.10. Os polinˆomios p1 (X) e p2 (X) em K[X] s˜ao primos entre si, se e somente se, existem q1 (X), q2 (X) ∈ K[X], tais que p1 (X) · q1 (X) + p2 (X) · q2 (X) = 1. ˜ Como p1 (X) E p2 (X) s˜ao primos entre si, se, e soDEMONSTRAC ¸ AO: mente se, (p1 (X), p2(X)) = 1, a rela¸c˜ao entre p1 (X), p2 (X) e 1 segue do Corol´ario 1. ´ COROLARIO 1.11. Em K[X] um elemento ´e primo se e somente se ele ´e irredut´ıvel. ˜ Isto decorre do Teorema 2 e de I-4, Proposi¸c˜oes 8 e DEMONSTRAC ¸ AO: 9. ´ COROLARIO 1.12. K[X] ´e um dom´ınio de fatora¸c˜ao u ´nica. ˜ Isto decorre do Teorema 2 e de I-4, Teorema 2. DEMONSTRAC ¸ AO: ˆ 1.3. POLINOMIOS COM COEFICIENTES EM CORPOS 27 ´ COROLARIO 1.13. Todo elemento p(X) ∈ K[X] − K pode ser escrito de modo u ´nico, a menos da ordem dos fatores, sob a forma p(X) = c · (p1 (X))α1 · · · (pr (X))αr onde c ∈ K − {0} e p1 (X), . . . , pr (X) s˜ao polinˆomios mˆonicos irredut´ıveis distintos em K[X] e αi ∈ N, para i = 1, 2, . . . , r. Observe que o Corol´ario 5 n˜ao ´e construtivo, pois garante a existˆencia da fatora¸c˜ao de um polinˆomio em polinˆomios irredut´ıveis sem entretanto indicar como obtˆe-la. O problema de determinar algor´ıtmos r´apidos para fatorar polinˆomios ´e importante e atual. Tal como no caso dos inteiros, pelo fato de existir em K[X] um algoritmo para efetuar divis˜oes com resto pequeno, pode-se calcular efetivamente o MDC de dois polinˆomios usando o algoritmo de Euclides. EXEMPLO 1 : Determinaremos o MDC em Q[X] dos polinˆomios 2X 5 + 2X 4 + X 3 − 2X 2 − X − 4 e X 3 − 2X 2 + X − 2. Efetuando o algoritmo de Euclides, temos 2X 5 + 2X 4 + X 3 − 2X 2 − X − 4 = = (X 3 − 2X 2 + X − 2) · (2X 2 + 6X + 11) + 18X 2 + 18  
1 1 3 2 2 X − 2X + X − 2 = 18X + 18 · + 0. X− 18 9 Logo um MDC destes polinˆomios ´e 18X 2 + 18 e portanto
MDC 2X 5 + 2X 4 + X 3 − 2X 2 − X − 4, X 3 − 2X 2 + X − 2 = X 2 + 1 Sejam K e F corpos tais que K ´e um subcorpo de F . Sejam p1 (X), p2(X) em K[X]. Em princ´ıpio, o MDC destes elementos em F [X] tem coeficientes em F . Seguindo por´em, atrav´es do algoritmo de Euclides, o c´alculo do MDC destes elementos, ´e f´acil convencer-se que tal MDC est´a em K[X]. Segue desta observa¸c˜ao que dois polinˆomios de K[X] tˆem um fator comum n˜ao constante em F [X] se, e somente se, eles tˆem um fator comum n˜ao constante em K[X]. ˆ CAP´ITULO 1. POLINOMIOS 28 EXEMPLO 2 : Considere o homomorfismo de an´eis ϕ : A[X] −→ AA p(X) 7−→ fun¸c˜ao polinomial associada a p(X) definida no par´agrafo 2. Suponha que A = Zp onde p ´e um n´ umero primo p p positivo. Note que X − X ∈ N(ϕ). Note tamb´em que X − X tem grau m´ınimo em N(ϕ) pois qualquer polinˆomio n˜ao nulo de N(ϕ), em se anulando em todos os elementos de Zp , tem que ter grau maior ou igual a p. Segue ent˜ao do Teorema 2 que N(ϕ) = I(X p − X). PROBLEMAS 1.3. 1. Determine o MDC dos seguintes pares de polinˆomios de Q[X]: (a) X 5 + 4X 3 + 3X 2 + X + 1 e X 3 + X + 1. (b) X 5 + 10X 4 + 40X 3 + 80X 2 + 80X + 32 e X 3 + 6X 2 + 12X + 8. (c) X 4 + X 3 + 2X 2 + X + 1 e X 4 + 3X 3 + 5X 2 + 3X + 4. (d) X 3 − X 2 − X − 2 e X 3 − 3X − 2. 2. Seja F uma extens˜ao de um corpo K. Sejam p1 (X), p2 (X) ∈ K[X] e α ∈ F . Mostre que α ´e raiz comum de p1 (X) e p2 (X) se e somente se α ´e raiz de (p1 (X), p2(X)). Ache as ra´ızes comuns em C dos pares de polinˆomios do problema 3.1. 3. Resolva em Q[X] a seguinte equa¸c˜ao diofantina: (X 3 +3X 2 +3X +2)·u+(X 3 +2X 2 +2X +1)·v = X 4 +X 3 +2X 2 +X +1. 4. Seja K um corpo. (a) Mostre que todo polinˆomio de grau 1 ´e irredut´ıvel em K[X]. (b) Sejam a, b ∈ K com a 6= b. Mostre que para todos n, m ∈ N, os polinˆomios (X − a)n e (X − a)m s˜ao primos entre si. (c) Se K ´e algebricamente fechado, os u ´ nicos polinˆomios irredut´ıveis de K[X] s˜ao os de grau 1. ˆ 1.4. POLINOMIOS SOBRE C E SOBRE R 29 5. (a) Mostre que se um polinˆomio de grau maior do que 1 em K[X] tem uma raiz em K, ent˜ao ˆele ´e redut´ıvel em K[X]. Dˆe um exemplo mostrando que n˜ao vale a rec´ıproca. (b) Mostre que um polinˆomio de grau 2 ou 3 em K[X] ´e redut´ıvel se, e somente se, ele possui uma raiz em K. Este resultado vale para graus maiores do que 3 ? (c) Determine todos os polinˆomios irredut´ıveis de graus 2, 3 e 4 em Z5 [X]. 6. Mostre que aX 2 + bX + c ∈ R[X] ´e irredut´ıvel se, e somente se, tem-se ∆ < 0 onde ∆ = b2 − 4ac < 0. 7. Decomponha em C[X] e em R[X] os seguintes polinˆomios: a) X 4 − 1 b) X 4 + 1 c) X 6 − 1 d) X 6 + 1 8. Para que valores de p, q ∈ R X 4 + 1 ´e divis´ıvel por X 2 + pX + q em R[X] ? Sugest˜ ao: Decomponha X 4 + 1 em C[X] ). 9. Mostre que em K[X] h´a infinitos polinˆomios irredut´ıveis dois a dois n˜ao associados. Sugest˜ ao: Fa¸ca uma reprodu¸ca˜o a demonstra¸ca˜o de Euclides da existˆencia de infinitos n´ umeros primos (cf. I-5, Teorema 1). 10. Sejam p(X), q(X) ∈ K[X] com p(X) irredut´ıvel. Suponha que existe α numa extens˜ao de K tal que p(α) = q(α) = 0. Mostre que q(X) ´e m´ ultiplo de p(X). Se q(X) ´e tamb´em irredut´ıvel, ent˜ao p(X) e q(X) s˜ao associados. 1.4 Polinˆ omios sobre C e sobre R Pelo fato de C ser algebricamente fechado (Teorema Fundamental da ´ Algebra, Apˆendice 1) e pelo Corol´ario 5 do Teorema 1, segue que todo polinˆomio p(X) ∈ C[X] se escreve de modo u ´ nico na forma, p(X) = a(X − α1 )n1 · · · (X − αr )nr com a, α1 , . . . , αr ∈ C, αi 6= αj se i 6= j e n1 , . . . , nr ∈ N. (1.5) ˆ CAP´ITULO 1. POLINOMIOS 30 As ra´ızes de p(X) s˜ao os α1 , . . . , αr e o inteiro ni , i = 1, . . . , r, ´e chamado de multiplicidade da raiz αi . Como gr(p(X)) = n1 + · · · + nr , segue que todo polinˆomio em C[X] de grau n tem exatamente n ra´ızes, desde que contadas com suas multiplicidades. Seja p(X) = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ C[X]. Define-se o polinˆomio conjugado de p(X) como sendo p¯(X) = a ¯0 + a ¯1 X + · · · a¯n X n ∈ C[X] onde a ¯i ´e o conjugado de ai , i = 0, 1, . . . , n. A conjuga¸c˜ao de polinˆomios goza das seguintes propriedades, cujas verifica¸c˜oes deixamos a cargo do leitor. 1. Se p(X) = p1 (X) + p2 (X) ent˜ao p¯(X) = p1 (X) + p2 (X). 2. Se p(X) = p1 (X) · p2 (X) ent˜ao p¯(X) = p1 (X) · p2 (X). 3. p¯(X) = p(X) se, e somente se, p(X) ∈ R[X]. 4. Se a ∈ C[X] ent˜ao p¯(¯ a) = p(a) Da propriedade (4) acima deduz-se facilmente que α ´e raiz p(X) se, e somente se, α ¯ ´e raiz de p¯(X). ˜ 1.6. Seja p(X) ∈ R[X]. Se α ∈ C ´e raiz de multiplicidade PROPOSIC ¸ AO m de p(X). ent˜ao, α ¯ ´e raiz de multiplicidade m de p(X). ˜ Se α ∈ C ´e raiz de multiplicidade m de p(X) ent˜ao DEMONSTRAC ¸ AO: p(X) = (X − α)m · q(X), com q(X) ∈ C[X] e q(α) 6= 0. Como p(X) ∈ R[X], temos que p(X) = p¯(X) = (X − α) ¯ m · q¯(X). Note agora que q¯(α) ¯ = q(α) 6= 0 e portanto α ¯ ´e raiz de multiplicidade m de p(X). ´ COROLARIO 1.14. Todo polinˆomio de grau ´ımpar com coeficientes reais tem pelo menos uma raiz real. ˜ DEMONSTRAC ¸ AO: As ra´ızes complexas aparecem aos pares e como o polinˆomio ´e de grau ´ımpar, o resultado segue. ˆ 1.4. POLINOMIOS SOBRE C E SOBRE R 31 ˜ 1.7. i) aX + b com a, b ∈ R e a 6= 0 ´e irredut´ıvel em R[X]. PROPOSIC ¸ AO 2 ii) aX + bX + c com a, b, c ∈ R e a 6= 0 ´e irredut´ıvel em R[X] se, e somente se, ∆ = b2 − 4ac < 0. iii) Todo polinˆomio de grau maior do que 2 ´e redut´ıvel em R[X]. ˜ i) E ´ evidente e vale em qualquer corpo. DEMONSTRAC ¸ AO: ii) aX 2 + bX + c ´e irredut´ıvel se, e somente se, n˜ao possui fatores do 10 grau em R[X] e isto equivale a dizer que aX 2 + bX + c n˜ao possui ra´ızes em R que por sua vez ´e equivalente ao fato que ∆ < 0. iii) Seja p(X) um polinˆomio em R[X] de grau maior do que 2. Seja α ∈ C uma raiz de p(X). Se α ∈ R, ent˜ao p(X) ´e divis´ıvel em R[X] por (X −α), portanto ele ´e redut´ıvel. Se α ∈ C−R, ent˜ao α ¯ ´e raiz de p(X), logo (X −α)·(X − α) ¯ = X 2 − 2Re(α)X + |α|2 est´a em R[X] e divide p(X) em R[X] com quociente n˜ao constante, portanto p(X) ´e redut´ıvel. ´ COROLARIO 1.15. Todo polinˆomio p(X) ∈ R[X] − {0} se escreve de modo u ´nico, a menos da ordem dos fatores como p(X) = a(X − α1 ) · · · (X − αr )(X 2 + b1 X + c1 ) · · · (X 2 + bs X + cs ) com a, α1 , . . . , αr , b1 , . . . , bs , c1 , . . . , cs reais e bi 2 − 4ci < 0, i = 1, . . . , s. PROBLEMAS 1.4. 1. Sejam p(X) = a0 + a1 X + · · · + an X n e q(X) = b0 + b1 X + · · · + bn X n polinˆomios em C[X]. Suponha que eles tenham mesmas ra´ızes com mesmas multiplicidades. Prove que existe a ∈ C − {0} tal que aj = a · bj , j = 1, . . . , n. 2. Uma raiz de X 4 + 3X 3 − 30X 2 + 366X − 340 ´e 3 + 5i, ache as demais ra´ızes. 3. 1 + i ´e raiz m´ ultipla de X 6 − 3X 5 + 5X 4 − 4X 3 + 4X 2 − 4X + 4 = 0. Ache a multiplicidade desta raiz e as demais ra´ızes. 4. Fatore em R[X] os seguintes polinˆomios a) c) X 4 + 4X 2 + 3 X4 − X2 + 1 b) d) X 4 + 4X 2 + 4 X 4 + pX 2 + q com p, q ∈ R ˆ CAP´ITULO 1. POLINOMIOS 32 5. Mostre que se n ∈ N, ent˜ao
Qn−1 (a) X 2n − 1 = (X − 1)(X + 1) · k=1 X 2 − 2X cos kπ +1 . n
Qn−1 2kπ X 2 − 2X cos 2n+1 (b) X 2n+1 − 1 = (X − 1) · k=1 +1 . 6. Fatore em R[X] os seguintes polinˆomios a) X 24 − 1 b) X 12 − 1 1.5 c) X 13 − 1. Polinˆ omios em V´ arias Indeterminadas Seja A[X1 ] o anel dos polinˆomios a coeficientes em A na indeterminada X1 . Se X2 ´e uma indeterminada sobre o anel A[X1 ], define-se: A[X1 , X2 ] = (A[X1 ]) [X2 ]. Pode-se ent˜ao definir recorrentemente, A[X1 , X2 , . . . , Xn ] = (A[X1 , X2 , . . . , Xn−1 ]) [Xn ]. Se A ´e um dom´ınio de integridade, pelo Corol´ario 1 da Proposi¸c˜ao 3, temos que A[X1 ] tamb´em ´e um dom´ınio de integridade. Usando o mesmo argumento iteradamente, conclui-se que A[X1 , X2 , . . . , Xn ] ´e um dom´ınio de integridade. Todo elemento p(X1 , . . . , Xn ) ∈ A[X1 , . . . , Xn ] pode ser escrito na forma P p(X1 , . . . , Xn ) = ai1 ...in X1i1 · · · Xnin , 0≤i1 ≤r1 .. . 0≤in ≤rn + onde r1 , . . . , rn ∈ Z e ai1 ,...,in ∈ A e ´e chamado polinˆomio em n indeterminadas. Cada termo da forma ai1 ,...,in X1i1 · · · Xnin ´e chamado monˆomio e o seu grau ´e definido como sendo i1 + i2 + · · · + in . Dois monˆomios s˜ao semelhantes se eles tˆem o mesmo grau. O grau de um polinˆomio em n indeterminadas ´e o maior dos graus de seus monˆomios n˜ao nulos. Um polinˆomio ´e chamado ˆ ´ 1.5. POLINOMIOS EM VARIAS INDETERMINADAS 33 homogˆeneo de grau m se todos os seus monˆomios tˆem grau m. Dado um polinˆomio em A[X1 , . . . , Xn ], a soma dos seus monˆomios de grau m ´e um polinˆomio homogˆeneo de grau m chamado componente homogˆeneo de grau m do polinˆomio. Ent˜ao todo polinˆomio ´e soma de polinˆomios homogˆeneos de graus dois a dois distintos, pois ele ´e a soma das suas componentes homogˆeneas. O grau de um polinˆomio p(X1 , . . . , Xn ) ´e simbolizado por gr(p(X1 , . . . Xn )). Exemplo 1 : Seja p(X1 , X2 , X3 ) = 3 + 5X1 + 3X2 + X1 X2 + X3 2 + X2 3 X3 + 7X1 5 . Este polinˆomio ´e de grau 5, suas componentes homogˆeneas s˜ao: • de grau zero: 3; • de grau um: 5X1 + 3X2 ; • de grau dois: X1 X2 + X3 2 ; • de grau trˆes: n˜ao tem; • de grau quatro: X2 3 X3 ; • de grau cinco: 7X1 5 . ˜ 1.8. PROPOSIC ¸ AO P 0≤i1 ≤r1 ai1 ...in X1i1 · · · Xnin = 0 .. . 0≤in ≤rn se, e somente se, ai1 ...,in = 0 para cada 0 ≤ i1 ≤ r1 , . . . , 0 ≤ in ≤ rn . ˜ DEMONSTRAC ¸ AO: Em uma dire¸c˜ao vamos provar por indu¸c˜ao em n. Se n = 1, a asser¸c˜ao ´e verdadeira pela defini¸c˜ao da igualdade de polinˆomios em uma indeterminada. Vamos supor a asser¸c˜ao v´alida para n − 1. Seja P ai1 ...in X1i1 · · · Xnin = 0, 0≤i1 ≤r1 .. . 0≤in ≤rn ˆ CAP´ITULO 1. POLINOMIOS 34 podemos escrever, 0 P = ai1 ...in X1i1 · · · Xnin 0≤i1 ≤r1 = .. . 0≤in ≤rn P = 0≤in ≤rn P 0≤i1 ≤r1 i n−1 )Xnin . (ai1 ...in X1i1 · · · Xn−1 .. . 0≤in−1 ≤rn−1 Pela defini¸c˜ao da igualdade em (A[X1 , . . . , Xn−1 ])[Xn ], segue que P 0≤i1 ≤r1 i n−1 = ai1 ...in X1i1 · · · Xn−1 0 .. . 0≤in ≤rn para todo in , 0 ≤ in ≤ rn . Pela hip´otese de indu¸c˜ao, segue que ai1 ,...,in = 0 para cada 0 ≤ i1 ≤ r1 , . . . , 0 ≤ in ≤ rn . A rec´ıproca ´e imediata. Seja A um dom´ınio de integridade. Pode-se verificar facilmente que para p(X1 , . . . , Xn ), q(X1 , . . . , Xn ) ∈ A[X1 , . . . , Xn ], tem-se gr(p(X1 , . . . , Xn ) · q(X1 , . . . , Xn )) = gr(p(X1 , . . . , Xn )) + gr(q(X1 , . . . , Xn )). Portanto ´e imediato se checar que o polinˆomio p(X1 , . . . , Xn ) ´e invert´ıvel em A[X1 , . . . , Xn ] se, e somente se, p(X1 , . . . , Xn ) ∈ A e ´e um elemento ´ claro que os polinˆomios X1 , . . . , Xn s˜ao irredut´ıveis em invert´ıvel de A. E K[X1 , . . . , Xn ], onde K ´e um corpo. ˆ ´ 1.5. POLINOMIOS EM VARIAS INDETERMINADAS 35 Seja A um dom´ınio de integridade. O corpo de fra¸c˜oes (cf. I-2) do dom´ınio A[X1 , . . . , Xn ] ´e o corpo   p(X1 , . . . , Xn ) p(X1 , . . . , Xn ), q(X1 , . . . , Xn ) ∈ A(X1 , . . . , Xn ) = | q(X1 , . . . , Xn ) A[X1 , . . . , Xn ] e q(X1 , . . . , Xn ) 6= 0 ´ f´acil ver que se K ´e o corpo de fra¸c˜oes de A, ent˜ao E A(X1 , . . . , Xn ) = K(X1 , . . . , Xn ). Dado um polinˆomio p(X1 , . . . , Xn ) P = ai1 ...in X1i1 · · · Xnin 0≤i1 ≤r1 ∈ A[X1 , . . . , Xn ], .. . 0≤in ≤rn podemos definir a fun¸c˜ao polinomial: p: An −→ (α1 , . . . , αn ) 7−→ A P 0≤i1 ≤r1 ai1 ,...,in α1i1 · · · αnin = p(α1 , . . . αn ). .. . 0≤in ≤rn Dois polinˆomios iguais determinam a mesma fun¸c˜ao polinomial, mas dois polinˆomios distintos podem definir a mesma fun¸c˜ao polinomial. Isto novamente n˜ao ocorre se A ´e um dom´ınio infinito, como veremos adiante. ˜ 1.9. Sejam A ´e um dom´ınio infinito e p(X1 , . . . Xn ) um PROPOSIC ¸ AO polinˆomio em A[X1 , . . . , Xn ]−{0}. Ent˜ao existem infinitos (α1 , . . . , αn ) ∈ An tais que p(α1 , . . . , αn ) 6= 0. ˜ Vamos provar por indu¸c˜ao em n. Se n = 1, o resulDEMONSTRAC ¸ AO: tado segue do Corol´ario 3 do Teorema 1. Suponha o resultado v´alido para n − 1 e seja P p(X1 , . . . , Xn ) = ai1 ...in X1i1 · · · Xnin = 0≤i1 ≤r1 .. . 0≤in ≤rn ˆ CAP´ITULO 1. POLINOMIOS 36 P = 0≤in ≤rn P 0≤i1 ≤r1 i n−1 )Xn in . (ai1 ...in X1i1 · · · Xn−1 .. . 0≤in−1 ≤rn−1 Como p(X1 , . . . , Xn ) 6= 0, para algum in temos que, P in−1 6= 0, ai1 ...in X1i1 · · · Xn−1 0≤i1 ≤r1 .. . 0≤in−1 ≤rn−1 logo, pela hip´otese de indu¸c˜ao, existem α1 , . . . αn−1 ∈ A tais que, P in−1 6= 0, ai1 ...in α1i1 · · · αn−1 0≤i1 ≤r1 .. . 0≤in−1 ≤rn−1 logo o polinˆomio p(α1 , . . . , αn−1 , Xn ) =   P P in−1 Xnin ∈ A[Xn ] ai1 ...in α1i1 · · · αn−1 = 0≤in ≤rn 0≤i1 ≤r1 .. . 0≤in ≤rn ´e n˜ao nulo e logo possui um n´ umero finito de ra´ızes. Para infinitos valores de αn ∈ A (os elementos de A que n˜ao s˜ao ra´ızes de p(α1 , . . . , αn−1 , Xn )) temos que p(α1 , . . . , αn ) 6= 0, o que prova o resultado. ´ COROLARIO 1.16. Seja A um dom´ınio infinito. Sejam ainda os polinˆomios p(X1 , . . . , Xn ) e q(X1 , . . . , Xn ) em A[X1 , . . . Xn ] tais que p(α1 , . . . , αn ) = q(α1 , . . . , αn ) Ent˜ao p(X1 , . . . , Xn ) = q(X1 , . . . , Xn ). ∀ (α1 , . . . , αn ) ∈ An . ˆ ´ 1.5. POLINOMIOS EM VARIAS INDETERMINADAS 37 ˜ Suponha por absurdo que DEMONSTRAC ¸ AO: p(X1 , . . . , Xn ) − q(X1 , . . . , Xn ) 6= 0, logo pela proposi¸c˜ao 9, existem (α1 , . . . , αn ) ∈ An tais que p(α1 , . . . , αn ) − q(α1 , . . . , αn ) 6= 0. Mas, pela proposi¸c˜ao, existem α1 , . . . , αn ∈ A tais que p1 (α1 , . . . , αn ) − p2 (α1 , . . . , αn ) 6= 0, o que ´e uma contradi¸c˜ao. ˜ 1.10. Seja K um corpo algebricamente fechado e seja PROPOSIC ¸ AO f (X1 , . . . , Xn ) ∈ K[X1 , . . . , Xn ] − K com n ≥ 2. Ent˜ao o conjunto VK (f ) = {(α1 , . . . , αn ) ∈ K n | f (α1 , . . . , αn ) = 0} ´e infinito. ˜ DEMONSTRAC ¸ AO: Como f (X1 , . . . , Xn ) n˜ao est´a em K, ent˜ao pelo menos uma das indeterminadas figura em f (X1 , . . . , Xn ). Sem perda de generalidade, podemos supor que seja Xn . Escrevemos f (X1 , . . . , Xn ) = f0 (X1 , . . . , Xn−1 ) + f1 (X1 , . . . , Xn−1 )Xn + · · · + fd (X1 , . . . , Xn−1)Xnd como polinˆomio em (K[X1 , . . . , Xn−1 ])[Xn ], com fd (X1 , . . . , Xn−1 ) 6= 0 e d ≥ 1. Pela Proposi¸c˜ao 9, existem infinitos elementos (α1 , . . . , αn ) ∈ K n−1 tais que fd (α1 , . . . , αn−1 ) 6= 0 e para cada escolha de tais (α1 , . . . , αn−1 ) existe αn ∈ K n−1 raiz da equa¸c˜ao f (α1 , . . . , αn−1 , Xn ) = 0, pois K ´e algebricamente fechado, o que prova a asser¸c˜ao. ˆ CAP´ITULO 1. POLINOMIOS 38 PROBLEMAS 1.5. 1. Sejam A um dom´ınio de integridade e p, q ∈ A[X1 , . . . , Xn ]. Mostre que, (a) gr(p · q) = gr(p) + gr(q). (b) Se p e q s˜ao homogˆeneos, ent˜ao p · q ´e homogˆeneo. (c) Se p ´e homogˆeneo e p = p1 · p2 em A[X1 , . . . , Xn ], ent˜ao p1 e p2 s˜ao homogˆeneos. 2. Seja K um corpo. Se Fm , Fm+1 ∈ K[X1 , . . . , Xn ] s˜ao homogˆeneos de graus respectivamente m e m + 1, sem fatores n˜ao constantes em comum, mostre que Fm + Fm+1 ´e irredut´ıvel em K[X1 , . . . , Xn ]. 3. Seja K um corpo. Mostre que Y 2 + p(X1 , . . . , Xn ) ∈ K[X1 , . . . , Xn , Y ], onde p(X1 , . . . , Xn ) ∈ K[X1 , . . . , Xn ], ´e irredut´ıvel se, e somente se, p(X1 , . . . , Xn ) n˜ao ´e o quadrado de um polinˆomio em K[X1 , . . . , Xn ]. Em particular, mostre que Y 2 − X(X − 1)(X − λ), com λ ∈ K, ´e irredut´ıvel em K[X, Y ] . 4. Seja K um corpo algebricamente fechado. Seja p(X1 , X2 ) ∈ K[X1 , X2 ] um polinˆomio homogˆeneo de grau m ≥ 1. Mostre que existem αi , βi ∈ K, i = 1, . . . , m tais que, p(X1 , X2 ) = (α1 X1 + β1 X2 ) · (α2 X1 + β2 X2 ) · · · (αm X1 + βm X2 ). 5. (a) Seja A um anel. Sejam p(X1 , . . . , Xn ) ∈ A[X1 , . . . , Xn ] e Y uma indeterminada sobre A[X1 , . . . , Xn ]. Mostre que p(X1 , . . . , Xn ) ´e um polinˆomio homogˆeneo de grau m se, e somente se, p(Y X1 , . . . , Y Xn ) = Y m p(X1 , . . . , Xn ) (Como polinˆomio em A[X1 , . . . , Xn ]). (b) Seja p(X1 , X2 , X3 ) ∈ R[X1 , X2 , X3 ]. Mostre que V R (p) ´e um cone com v´ertice na origem de R3 se, e somente se, p(X1 , X2 , X3 ) ´e um polinˆomio homogˆeneo. 6. O polinˆomio f (X1 , X2 ) = X12 + X22 ´e irredut´ıvel em R[X1 , X2 ] ? Determine V R (f ). Responda `as mesmas perguntas em C[X1 , X2 ]. ˆ ´ 1.5. POLINOMIOS EM VARIAS INDETERMINADAS 39 7. Seja K um corpo algebricamente fechado e f (X1 , . . . , Xn ) um polinˆomio em K[X1 , . . . , Xn ]. Mostre que VK (f ) ´e n˜ao vazio se, e somente se, f (X1 , . . . , Xn ) ∈ K ∗ . Dˆe um exemplo onde n˜ao vale o resultado se K = R. 40 ˆ CAP´ITULO 1. POLINOMIOS Cap´ıtulo 2 ˜ E DERIVAC ¸ AO MULTIPLICIDADE 2.1 Derivada Primeira 1 Seja K um corpo. Define-se o operador DX 1 em K[[X]] (i.e. DX ´e uma aplica¸c˜ao de K[[X]] em si pr´oprio) como segue 1 DX : K[[X]] f (X) = P∞ i=0 −→ K[[X]] 1 ai X i 7−→ DX f (X) = P∞ i=0 iai X i−1 Este ´e chamado operador de deriva¸c˜ao de ordem 1 e tem propriedades 1 not´aveis que o tornam muito u ´ til. A s´erie de potˆencias DX ´e chamada derivada primeira ou simplesmente derivada de f (X). Usa-se tamb´em a nota¸c˜ao 1 1 DX = f ′ (X). Segue claramente da defini¸c˜ao que DX (K[X]) ⊂ k[X]. ˜ 2.1. Sejam f (X), g(X) ∈ K[X], a ∈ K e m ∈ N. Temos PROPOSIC ¸ AO que 1 1. DX (f (X) + ag(X)) = f ′ (X) + ag ′ (X). 1 2. DX (f (X) · g(X)) = f ′ (X) · g(X) + f (X) · g ′(X). 1 3. DX ((f (X))m = m(f (X))m−1 · f ′ (X) . Demonstra¸c˜ao: 41 ˜ E MULTIPLICIDADE CAP´ITULO 2. DERIVAC ¸ AO 42 1. A demonstra¸c˜ao deste item segue diretamente da defini¸c˜ao. 2. Em virtude do Problema 1.4 do Cap´ıtulo 1, basta a f´ormula P∞ provar i n para produtos da forma X g(X). Seja g(X) = i=0 bi X , temos que ! ∞ ∞ X X 1 n 1 n+i = (n + i)bi X n+i−1 = bi X DX (X g(X)) = DX i=0 = nX n−1 ∞ X i=0 bi X i + X n ∞ X i=0 i=0
1 1 ibi X i = DX X n g(X) + X n DX g(X) 3. A demonstra¸c˜ao pode ser feita por indu¸c˜ao sobre m e a deixamos a cargo do leitor. O pr´oximo resultado vai caracterizar aquelas s´eries de potˆencias que tˆem derivada nula. 1 ˜ 2.2. PROPOSIC ¸ AO 1. Se car(K) = 0 ent˜ao, DX f (X) = 0 se, e somente se, f (X) ∈ K. 1 2. Suponha car(K) = p > 0. Ent˜ao DX f (X) = 0 se, e somente se, f (X) = b0 + b1 X p + b2 X 2p + · · · , com bi ∈ K, ∀i ∈ Z+ P i 1 Demonstra¸c˜ao: Seja f (X) = ∞ i=0 ai X ∈ K[[X]]. DX f (X) = 0 se, e somente se, iai = 0 para todo i ∈ Z+ . Por I-7, Problema 3.1, esta u ´ ltima condi¸c˜ao ´e equivalente a i ≡ 0 mod car(K) ou ai = 0. 1. Se car (K) = 0, isto ´e equivalente a 0 = a1 = a2 = · · · , isto ´e, f (X) = a0 ∈ K. 2. Se car (K) = p > 0, isto ´e equivalente a i ≡ 0 mod p se ai 6= 0. Assim, 1 DX f (X) = 0 se, e somente se, f (X) = a0 + ap X p + a2p X 2p + · · · . O resultado segue definindo bj = ajp , ∀ j ∈ Z+ . Se um polinˆomio p(X) ´e divis´ıvel por (X − α)m , onde α ∈ K e m ∈ N, e n˜ao ´e divis´ıvel por (X − α)m+1 , dizemos que α ´e raiz de multiplicidade m de p(X). Se m ≥ 2, dizemos que α ´e raiz m´ ultipla de p(X). Note que l se (X−α) divide p(X), ent˜ao α ´e raiz de multiplicidade pelo menos l de p(X). Damos a seguir uma caracteriza¸c˜ao daqueles polinˆomios que tˆem ra´ızes m´ ultiplas em termos de derivadas. 2.1. DERIVADA PRIMEIRA 43 ˜ 2.3. Um elemento α ∈ K ´e raiz m´ PROPOSIC ¸ AO ultipla de p(X) ∈ K[X] ′ se, e somente se, p(α) = p (α) = 0. Demonstra¸c˜ao: Por um lado, suponha que p(X) = (X − α)m · q(X) com m ≥ 2. Logo, pela Proposi¸c˜ao 1, (2) e (3) temos que p′ (X) = (x − α)m · q ′ (X) + m(X − α)m−1 · q(X). Como m ≥ 2 ´e claro que p(α) = p′ (α) = 0. Reciprocamente, Como p(α) = 0, temos que p(X) = (X −α)·q(X). Derivando ambos os lados desta igualdade, temos p′ (X) = q(X) + (X − α) · q1 (X). Desta igualdade e de p′ (α) = 0 segue que q(α) = 0 e da´ı que q(X) = (X − α) · q1 (X) para algum q1 (X) ∈ K[X]. Conseq¨ uentemente p(X) = (X − α)2 · q1 (X) e portanto α ´e uma raiz m´ ultipla de p(X). ´ COROLARIO 2.1. Seja K um corpo algebricamente fechado. p(X) ∈ K[X] n˜ao tem ra´ızes m´ ultiplas em K se, e somente se, (p(X), p′(X)) = 1. Demonstra¸c˜ao: Sendo K um corpo algebricamente fechado, os polinˆomios p(X) e p′ (X) tˆem raiz comum se, e somente se, eles tˆem um fator n˜ao constante comum. O resultado segue ent˜ao da Proposi¸c˜ao 3. ´ COROLARIO 2.2. Se car (K) = 0 e se p(X) ∈ K[X] ´e irredut´ıvel, ent˜ao p(X) n˜ao pode ter raiz m´ ultipla em nenhuma extens˜ao F de K. Demonstra¸c˜ao: Note inicialmente que se car (K) = 0 e p(X) ´e irredut´ıvel ent˜ao p′ (X) 6= 0 e (p(X), p′(X)) = 1. A primeira destas asser¸c˜oes segue da Proposi¸c˜ao 2. Para a segunda, suponha por absurdo que (p(X), p′ (X)) 6= 1, logo p(X) e p′ (X) tˆem um fator n˜ao constante em comum e como p(X) ´e irredut´ıvel este fator comum ´e um associado de p(X), o que ´e imposs´ıvel pois gr(p′ (X)) < gr(p(X)). Como (p(X), p′(X)) = 1 em K[X], o mesmo ocorre em F [X], logo pelo Corol´ario 1, p(X) n˜ao tem ra´ızes m´ ultiplas em F . ˜ 2.4. Seja p(X ∈ K[X]) com car(K) = 0. Ent˜ao α ´e raiz PROPOSIC ¸ AO de multiplicidade m ≥ 1 de p(X) se, e somente se, α ´e raiz de p(X) e raiz de multiplicidade m − 1 de p′ (X). 44 ˜ E MULTIPLICIDADE CAP´ITULO 2. DERIVAC ¸ AO Demonstra¸c˜ao: Por um lado, suponha que α seja uma raiz de multiplicidade m de p(X). Temos ent˜ao que p(X) = (X − α)m q(X), com q(X) ∈ K[X] e q(α) 6= 0. Segue ent˜ao que p′ (X) = m(X −α)m−1 q(X)+(X −α)m q ′ (X), portanto temos claramente que (X − α)m−1 | p′ (X). Vamos provar que (X − α)m n˜ao divide p′ (X). De fato, se (X − α)m | p′ (X), ent˜ao (X − α)m | m(X − α)m−1 q(X), logo (X − α) | mq(X) e portanto mq(α) = 0. Como car(K) = 0, segue que q(α) = 0 o que ´e uma contradi¸c˜ao. Reciprocamente, suponha que p(α) = 0 e que α ´e raiz de multiplicidade m − 1 de p′ (X). Seja r a multiplicidade da raiz α de p(X), logo r ≥ 1 e pela primeira parte da demonstra¸c˜ao, α ´e raiz de multiplicidade r − 1 de p′ (X) e portanto r − 1 = m − 1 e portanto r = m. Dado um polinˆomio p(X) ∈ K[X] podemos definir as suas derivadas iteradas do seguinte modo: 1 1 (p(X)), (DX p′′ (X) ´e a derivada de p′ (X), ou seja p′′ (X) = DX 1 1 1 p′′′ (X) ´e a derivada de p′′ (X), ou seja p′′′ (X) = DX (DX (DX (p(X))), .. . .. . .. . (n−1) 1 p(n) (X) ´e a derivada de p(n−1) (X), ou seja p(n) (X) = DX (DX (p(X)). ´ COROLARIO 2.3. Seja car (K) = 0 e p(X ∈ K[X]). Um elemento α ∈ K ´e raiz de multiplicidade m ≥ 2 de p(X) se, e somente se, p(α) = p′ (α) = · · · = p(m−1) (α) = 0 e p(m) (α) 6= 0. Demonstra¸c˜ao: Por um lado, se α ´e raiz de multiplicidade m de p(X), ent˜ao α ´e raiz de multiplicidade m − 1 de p′ (X), logo raiz de multiplicidade (m − 2) de p′′ (X), etc. at´e concluirmos que α ´e raiz de multiplicidade 1 de p(m−1) (X) e portanto p(m) 6= 0. Segue ent˜ao que p(α) = p′ (α) = · · · = p(m−1) (α) = 0 e p(m) (α) 6= 0. Reciprocamente, sendo p(m−1) (α) = 0 e p(m) (α) 6= 0 tem-se que α ´e raiz de multiplicidade 1 de p(m−1) (X) e portanto de multiplicidade 2 de p(m−1) (X) 45 2.1. DERIVADA PRIMEIRA e assim sucessivamente at´e concluirmos que α ´e raiz de multiplicidade m de p(X). Exemplo 1 : A deriva¸c˜ao permite obter algumas f´ormulas interessantes. Por exemplo, derivando ambos os membros a identidade:         n n n n n−1 n n , X+ X +···+ X + (X + 1) = n n−1 1 0 e fazendo X = 1 obtemos a igualdade       n n n n−1 . +···+ + (n − 1) n·2 =n n−1 1 0 Exemplo 2 : Na Proposi¸c˜ao 5, Cap´ıtulo 1, demos a f´ormula de interpola¸c˜ao de Lagrange. Recordando, ´e o u ´ nico polinˆomio de grau menor do que n que assume o valor bi quando avaliado em ai onde os ai ′ s s˜ao dois a dois distintos e os b′i s n˜ao s˜ao todos nulos, i = 1, . . . , n ´e o polinˆomio n X (X − a1 ) . . . (X − ai−1 ) · (X − ai+1 ) · · · (X − an ) p(X) = bi (ai − a1 ) · · · (ai − ai−1 ) · (ai − ai+1 ) · · · (ai − an ) i=1 Podemos reescrever esta f´ormula, usando derivadas, do seguinte modo mais sint´etico: n X bi f (X) · ′ , p(X) = (X − ai ) f (ai ) i=1 onde f (X) = (X − a1 ) · · · (X − an ). PROBLEMAS 2.1. 1. Ache a multiplicidade da raiz 1 do polinˆomio X 5 − 3X 4 + 5X 3 − 7X 2 + 6X − 2. Determine as demais ra´ızes. √ √ √ 2. Ache as ra´ızes da equa¸c˜ao X 3 −(3+ 2)X 2 +(1+2 2)X +(1+ 2) = 0, sabendo-se que esta tem uma raiz dupla. ˜ E MULTIPLICIDADE CAP´ITULO 2. DERIVAC ¸ AO 46 3. Mostre que o polinˆomio X(X n−1 − nan−1 ) + an (n − 1) ´e divis´ıvel por (X − a)2 , mas n˜ao ´e divis´ıvel por (X − a)3 , onde a 6= 0 e n ≥ 2. 4. Mostre que se n ≥ 3, ent˜ao (1 − X)3 divide o polinˆomio (1 − X n )(1 + X) − 2nX n (1 − X) − n2 X n (1 − X)2 5. Determine os poss´ıveis valores de m, p e q em C de modo que o polinˆomio X 6 + mX 4 + 10X 3 + pX + q tenha uma raiz qu´adrupla em C. Determine, neste caso, as ra´ızes do polinˆomio. 6. Seja ξ 6= 1 uma raiz n-´esima da unidade e seja p(X) = X n−1 + X n−2 + · · · + X + 1. Mostre que: (a) p′ (ξ) = n . ξ(ξ−1) (b) ξ + 2ξ 2 + · · · + (n − 1)ξ n−1 = n . ξ−1 7. (a) Mostre que o resto da divis˜ao de um polinˆomio p(X) ∈ K[X] por t((X) = (X − x1 ) · (X − xn ), onde x1 , . . . , xn ∈ K s˜ao dois a dois distintos, ´e n X t(X) p(xi ) i=1 (X − xi ) t′ (xi ) (Sugest˜ ao: Use a f´ormula do Exemplo 2) (b) Ache o resto da divis˜ao de X 9 +3X 7 +4X 6 +X 4 −X 3 +2X 2 −X +1 por X(X + 1)(X − 1) 8. Dˆe um contraexemplo para o Corol´ario 1 quando K = R. 9. Dˆe um contraexemplo para a Proposi¸c˜ao 4 quando car(K) > 0. 10. (a) Mostre que i (n) (X ) =  0, se i < n i−n i(i − 1) · · · (i − n + 1)X , se i ≥ n. (b) Mostre que se n ≥ car(K), ent˜ao (p(X))(n) = 0 ∀ p(X) ∈ K[X]. (c) Conclua que se car(K) = 2, ent˜ao (p(X))(n) = 0 ∀ p(X) ∈ K[X], ∀ n ≥ 2. ˜ POR X − A 2.2. DIVISAO 2.2 47 Divis˜ ao por X − a Freq¨ uentemente dividiremos polinˆomios por X − a, por isso desenvolvemos um m´etodo pr´atico para efetuar tais divis˜oes. Seja p(X) = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ A[X], vamos usar o m´etodo dos coeficientes a determinar para achar q(X) = b) +b1 X +· · ·+bn−1 X n−1 ∈ A[X] e r ∈ A tais que p(X) = (X − a) · (b0 + b1 X + · · · + bn−1 X n−1 ) + r = bn−1 X n + (bn−2 − a · bn−1 )X n−1 + (bn−3 − a · bn−2 )X n−2 + · · · + + (b0 − a · b1 )X + r − a · b0 Igualando os coeficientes correspondentes, obt´em-se bn−1 = an bn−2 = an−1 + a · bn−1 bn−3 = an−2 + a · bn−2 .. . b0 r = a1 + a · b1 = a0 + a · b0 Destas igualdades, deduz-se o seguinte dispositivo pr´atico: a an an an−1 an−1 + a · bn−1 an−2 an−2 + a · bn−2 ↓ ↓ ↓ bn−1 bn−2 bn−3 ··· ··· ··· a1 a1 + a · b1 a0 a0 + a · b0 ↓ ↓ b0 r = p(a) Exemplo 1 : Dividamos p(X) = 8X 6 − 7X 5 + 4X 4 + X 3 − 3X 2 + 1 por X +2 −2 8 −7 4 1 −3 0 1 8 −23 50 −99 195 −390 781 ˜ E MULTIPLICIDADE CAP´ITULO 2. DERIVAC ¸ AO 48 Portanto q(X) = 8X 5 −23X 4 +50X 3 −99X 2 +195X −390 e r = p(−2) = 781. Exemplo 2 : Dividamos p(X) = X 5 + 4X 4 + 2X 2 + X + 1 por 2X + 1 1 2 1 4 0 2 1 1 1 9 2 9 4 25 8 41 16 73 32 Portanto p(X) =  1 X− 2    9 3 9 2 25 73 41 4 · X + X + X + X+ + , 2 4 8 16 32 segue da´ı que p(X) = (2X − 1) ·  41 1 4 9 3 9 2 25 X + X + X + X+ 2 4 8 16 32  + 73 , 32 logo 1 9 9 25 41 q(X) = X 4 + X 3 + X 2 + X + 2 4 8 16 32   73 1 + . e r=p 2 32 Exemplo 3 : Dividamos p(X) = X n − an por X − a a 1 0 0 1 a a2 ··· ··· 0 an−1 −an 0 Portanto q(X) = X n−1 + a · X n−2 + a2 · X n−3 + · · · + an−1 e r = p(a) = 0. Sejam p(X) ∈ A[X] um polinˆomio de grau n e a ∈ A. Considere as seguintes igualdades: p(X) q1 (X) q2 (X) .. . = (X − a) · q1 (X) + r0 = (X − a) · q2 (X) + r1 = (X − a) · q3 (X) + r2 = qn−1 (X) = (X − a) · qn (X) + rn−1 ˜ POR X − A 2.2. DIVISAO 49 Por considera¸c˜ao de graus, temos que qn (X) ∈ A. Pondo rn = qn (X) e substituindo uma equa¸c˜ao na outra, no sistema acima, obtemos p(X) = r0 + r1 · (X − a) + r2 · (X − a)2 + · · · rn−1 · (X − a)n−1 + rn · (X − a)n . Esta ´e a express˜ao de p(X) em potˆencias crescentes de (X − a). As divis˜oes sucessivas por (X − a) nos fornecem um algoritmo pr´atico para determinar tal express˜ao. Seja p(X) = a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · + an X n . Obtemos r0 , r1 , r2 , . . . , rn como segue an a a .. . a a an−1 ··· a1 −an a0 Coeficientes de q1 (X) Coeficientes de q2 (X) r0 r1 ··· Coeficientes de qn (X) rn rn−1 ··· Exemplo 4 : Vamos expandir X 5 − 1 em potˆencias crescentes de X − 1. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 5 0 1 3 6 10 0 1 4 10 0 1 5 −1 0 Assim, X 5 −1 = 5(X −1)+10(X −1)2 +10(X −1)3 +5(X −1)4 +(X −1)5 . Exemplo 5 : Vamos expandir p(X) = X 6 +4X 5 +7X 4 −3X 3 +X 2 −2X +1 em potˆencias crescentes de X + 2. ˜ E MULTIPLICIDADE CAP´ITULO 2. DERIVAC ¸ AO 50 −2 −2 −2 −2 −2 −2 1 1 1 1 1 1 1 1 4 2 0 −2 −4 −6 −8 7 3 3 7 15 27 −3 −9 −15 −29 10 1 17 47 105 −2 −36 −130 1 73 Assim, p(X) = 73 − 130(X + 2) + 105(X + 2)2 − 59(X + 2)3 + +27(X + 2)4 − (X + 2)5 + (X + 2)6 . Sejam K um corpo, p(X) ∈ K[X] e a ∈ K. Derivando sucessivamente a igualdade p(X) = r0 + r1 · (X − a) + r2 · (X − a)2 + · · · rn−1 · (X − a)n−1 + rn · (X − a)n . temos que, p′ (X) p′′ (X) = r1 + 2r2 (X − a) + 3r3 (X − a)2 + · · · + nrn−1 (X − a)n−1 = 2r2 + 3 · 2r3 (X − a) + 4 · 3r4 (X − a)2 + · · · .. . pi (X) = i! ri + (i + 1) · i! ri+1 (X − a) + · · · .. . p(n) (X) = n! rn Avaliando este polinˆomios em a, obtemos que r0 = p(a), r1 = p′ (a), r2 = 2!1 p′′ (a), .. . ri = .. . 1 (i) p (a), i! rn = 1 (n) p (a). n! Portanto se car(K) = 0 ou car(K) > n, temos a f´ormula de Taylor, ˜ POR X − A 2.2. DIVISAO p(X) = p(a) + p′ (a) · (X − a) + 51 p′′ (a) p(n) (a) · (X − a)2 + · · · + (X − a)n . 2! n! Observe tamb´em que as derivadas sucessivas p(a), p′ (a), . . . , p(n) (a) podem ser calculadas a partir de r0 , r1 , . . . , rn mediante divis˜oes sucessivas por (X − a). Exemplo 6 : Seja p(X) = X 6 + 4X 5 + 7X 4 − 3X 3 + X 2 − 2X + 1 ∈ Q[X]. Pela discuss˜ao acima e pelos c´alculos do Exemplo 5, temos que p(−2) p′′ (−2) p(4) (−2) p(6) (−2) = 73, , = 2!1 · 105 105 2 1 9 = 4! · 27 = 8 , 1 . = 6!1 = 720 p′ (−2) = −130, p′′′ (−2) = 3!1 · (−59) = − 59 , 6 1 −1 (5) p (−2) = 5! · (−8) = 15 PROBLEMAS 2.2. 1. Divida: (a) −X 4 + 7X 3 − 4X 2 por X + 3, (b) X 4 + 5X 3 + 7X − 1 por X − 3, (c) 10X 3 − 2X 2 + 3X − 1 por 2X − 3, (d) X 4 + X 3 − X 2 + 1 por 3X + 2. 2. Seja n ∈ N. Ache o quociente e o resto da divis˜ao de (a) nX n+1 − (n + 1)X n + 1 por (X − 1)2 , (b) nX n+2 − (n + 2)X n+1 + (n + 2)X − n por (X − 1)3 . 3. Resolva a equa¸c˜ao 2X 3 + 3X 2 − 4X − 6 = 0, sabendo-se que ela tem uma raiz α = − 23 . 4. Resolva a equa¸c˜ao 2X 4 + 5X 3 + 5X 2 − 2 = 0 sabendo-se que ela tem uma α = −1 e outra raiz β = 21 . 5. Seja p(X) = X 7 + ¯2X 6 + X 5 + ¯3X 4 − X 3 + ¯4X 2 − ¯2X + ¯5 ∈ Z13 [X]. Desenvolva p(X) segundo as potˆencias crescentes de X − ¯1. Calcule p(i) (¯1) para i = 0, 1, 2, . . . , 7. ˜ E MULTIPLICIDADE CAP´ITULO 2. DERIVAC ¸ AO 52 2.3 Derivadas de ordem superior Seja K um corpo e seja f (X) ∈ K[[X]]. Se Y ´e uma indeterminada sobre K[[X]], podemos considerar f (X + Y ) como elemento de K[[X]][[Y ]] e como tal tem uma express˜ao u ´ nica da forma f (X + Y ) = f0 (X) + f1 (X)Y + f2 (X)Y 2 + · · · + fm (X)Y m + · · · , com f0 (X), f1 (X), f2 (X), . . . , ∈ K[[X]]. Definimos uma fam´ılia infinita de operadores em K[[X]] como segue, ∀ m ∈ Z+ : m DX : K[[X]] −→ K[[X]] m f (X) 7−→ DX f (X) = fm (X)   n ˜ 2.5. D m X n = X n−m ∀ m, n ∈ Z+ . PROPOSIC ¸ AO X m P P m i i m a o DX f (X) = ∞ Se f (X) = ∞ i=0 ai DX X . i=0 ai X ∈ K[[X]], ent˜ Demonstra¸c˜ao: Pela f´ormula do binˆomio de Newton temos que  n  X n X n−m Y m , (X + Y ) = m n m=0 de onde segue a primeira afirma¸c˜ao. A segunda c˜ao segue da obPafirma¸ ∞ m serva¸c˜ao que o coeficiente de Y em f (X + Y ) = i=0 ai (X + Y )i ´e a soma, ∀ i ∈ Z+ , dos coeficientes de Y m em ai (X + Y )i (que ´e igual a ai vezes o coeficiente de Y m em (X + Y )i ). m Segue imediatamente da Proposi¸c˜ao 5 que DX (K[X]) ⊂ K[X] ∀ m ∈ Z+ . TEOREMA 2.1. Sejam f (X), g(X) ∈ K[[X]] e c ∈ K. A fam´ılia de m operadores (DX )m∈Z+ possui as seguintes propriedades: 0 1 m 1. DX = Id; DX = deriva¸c˜ao de ordem 1; DX c=0 ∀ m ∈ N. m m m 2. DX (f (X) + cg(X)) = DX f (X) + cDX g(X) ∀ m ∈ Z+ . P m−i m i + 3. DX (f (X) · cg(X)) = m i=0 DX f (X) · DX g(X) ∀ m ∈ Z . 53 2.3. DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR 4. m DX ◦ n DX =  m+n n  m+n DX ∀ m ∈ Z+ . Demonstra¸c˜ao: 0 1 1. Da Proposi¸c˜ao 5 temos que DX X n = X n e DX X n = nX n−1 . Da 0 segunda afirma¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 5 temos que DX f (X) = f (X) e 1 m DX f (X) = f ′ (X). A igualdade DX c = 0 ∀ m ∈ N segue diretamente da defini¸c˜ao. 2. Segue facilmente da Proposi¸c˜ao 5. 3. Denotando por (f · g)(X + Y ) a s´erie de potˆencias em K[[X]][[Y ]] correspondente a f (X)·g(X) onde se substitui X por X +Y , o resultado segue da seguinte igualdade em K[[X]][[Y ]]: (f · g)(X + Y ) = f (X + Y ) · g(X + Y ). m 4. Pela Proposi¸c˜ao 5, DX f (X) ´e calcul´avel por linearidade a partir dos m i valores de DX X , i ∈ Z+ . Portanto para provar (4) basta verificar que vale a igualdade quando os dois operadores s˜ao aplicados a X i , para todo i ∈ Z+ . De fato,       i i i i−n m n i m · X = DX ◦ D X X = D X m+n n n e  m+n n  m+n i DX X =  m+n n   · i m+n  X i−(m+n) Uma verifica¸c˜ao direta mostra que         i m+n i−n i , · = · m+n n m n o que prova o resultado. m Os operadores DX permitem generalizar para cacater´ıstica positiva alguns dos resultados da Se¸c˜ao 1 provados para car(K) = 0. Usaremos a seguinte nota¸c˜ao, se α ∈ K, f (X) ∈ K[X] e m ∈ Z, m n DX f (α) = Avα (DX f (X)) 54 ˜ E MULTIPLICIDADE CAP´ITULO 2. DERIVAC ¸ AO onde Avα ´e a fun¸c˜ao avalia¸c˜ao introdizida no Cap´ıtulo 1, Problema 1.8. O pr´oximo resultado ´e uma generaliza¸c˜ao do Corol´ario da Proposi¸c˜ao 4. ˜ 2.6. Seja p(X) ∈ K[X]. Um elemento α ∈ K ´e raiz de PROPOSIC ¸ AO multiplicidade m ≥ 2 de p(X) se, e somente se, 1 m−1 p(α) = DX p(α) = · · · DX p(α) = 0 m e DX p(α) 6= 0. Demonstra¸c˜ao: Na express˜ao 1 m f (X)Y m + · · · , f (X + Y ) = f (X) + DX f (X)Y + · · · + DX substituindo X por α e Y por (X − α), temos que 1 m f (X) = f (α) + DX f (α)(X − α) + · · · + DX f (α)(X − α)m + · · · . O resultado segue imediatamente da express˜ao acima. Do Teorema 1 (4) e por indu¸c˜ao, segue facilmente que 1 m 1 1 1 m (DX ) = DX ◦ DX ◦ · · · ◦ DX = m! DX . 1 m 1 m Portanto, se car(K) = 0, temos que DX = m! (DX ) , ∀ m ∈ Z+ e conm 1 seq¨ uentemente, os operadores DX s˜ao todos determinados por DX atrav´es de itera¸c˜oes. Se car(K) = p > 0, o quadro ´e bem diferente. Por exemplo, se p < m, 1 m m 1 ent˜ao (DX ) = 0, sem que DX seja nulo. Portanto as itera¸c˜oes de DX n˜ao m s˜ao suficientes para determinar todos os operadores DX . Afim de esclarecer a situa¸c˜ao temos o seguinte resultado: TEOREMA 2.2. Seja K um corpo de caracter´ ıstica p > 0 e seja m ∈ Z. P Considere a expans˜ao p-´adica de m, isto ´e, m = si=0 mi pi , com 0 ≤ mi < p. Tem-se que 1 ps ms m 1 m0 DX = (DX ) ◦ · · · ◦ (DX ) . m0 ! · · · ms ! 55 2.3. DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR r r lp p l . Isto l! DX Demonstra¸c˜ao: Se 0 ≤ 1 < p e r ∈ Z, temos que (D X) = s ip ≡ i mod p segue do Teorema 1 (4), indu¸c˜ao sobre l e a congruˆencia ps (cf. I-6, Problema 1.16). Agora usando argumentos semelhantes temos que m +m1 p+···+mi−1 pi−1 i mi p DX ◦ DX 0  = Da´ı segue que = m0 + · · · mi pi m0 + · · · + mi−1 pi−1  m +···+mi−1 pi−1 DX 0 s p ms ms p 1 m0 (DX ) ◦ · · · ◦ (DX ) = m0 ! · · · ms ! DX s +···+m 0 i m0 +···+mi p = DX . m = m0 ! · · · ms !DX , o que prova o resultado. m O Teorema 2 em particular nos mostra que os operadores DX s˜ao gerados 2 s p p p 1 por composi¸c˜oes dos operadores DX , DX , DX , . . . , DX , . . . No c´alculo diferencial em caracter´ıstica p ´e fundamental compararmos os desenvolvimentos p-´adicos de dois inteiros. Sejam e m = m0 + m1 p1 + · · · + ms ps , 0 ≤ mi < p, i = 0, 1, . . . , s n = n0 + n1 p1 + · · · + ns ps , 0 ≤ ni < p, i = 0, 1, . . . , s Dizemos que n ´e p-adicamente maior ou igual do que m , escrevendo, n≥p m, se, e somente se, ni ≥ mi , ∀ i = 0, 1, . . . , s. Da congruˆencia fundamental (I-6, Problema 1.16) sabemos que       n n0 ns ≡ ··· mod p, m m0 ms e, portanto,  n m  6= 0 mod p ⇔ n≥p m. m Os operadores DX foram introduzidos por H. Hasse em 1936, sendo fundamentais no desenvolvimento da Geometria Alg´ebrica em caracter´ıstica positiva. Estes operadores, nesta mesma d´ecada, foram extensivamente usados por F. K. Schmidt na sua teoria de pontos de Weierstrass para curvas alg´ebricas definidas sobre corpos de caracter´ıstica positiva e por isto s˜ao usualemnte chamados de operadores diferenciais de Hasse-Schmidt. Fato curioso 56 ˜ E MULTIPLICIDADE CAP´ITULO 2. DERIVAC ¸ AO ´e que estes operadores tenham sido independentemente redescobertos entre 1948 e 1950 por J. Dieudonn´e que os chamou de semi-deriva¸co˜es. PROBLEMAS 2.3. m n 1. Sejam m, n ∈ Z+ . Mostre que DX X 6= 0 ⇔ n≥p m. 2. Sejam f (X) ∈ K[X] com car(K) = p > 0 e m, n ∈ Z+ . Mostre que se n m m≥p n e DX f (X) = 0 ent˜ao DX f (X) = 0. 3. Seja car(K) = p e seja s ∈ Z+ , determine ps ps f (X) = 0}. ) = {f (X) ∈ K[X] | DX Ker (DX 4. Seja f (X) ∈ K[T ] com car(K) = p > 0 e seja q uma potˆencia de p. Mostre que  j se n = jq  (DT f (T )(X q )), n DX f (X q ) =  0, se n 6= 0 mod q onde (DTj f (T ))(X q ) ´e o polinˆomio que se obt´em substuindo T por X q no polinˆomio DTj f (T ). Cap´ıtulo 3 ˆ POLINOMIOS COM COEFICIENTES NUM DFU Decidir se um polinˆomio ´e irredut´ıvel ou n˜ao em Q[X] ´e bem mais complicado do que decidir se ´e ou n˜ao irredut´ıvel em C[X] ou em R[X]. Mostraremos ainda neste cap´ıtulo que existem polinˆomios irredut´ıveis de todos os graus em Q[X]. Um primeiro passo no sentido de estudar a irredutibilidade de um polinˆomio em Q[X] ser´a de tentar determinar as suas ra´ızes em Q. Como esta teoria se desenvolve naturalmente em situa¸c˜ao mais geral, ´e neste contexto que nos colocamos. Em todo este cap´ıtulo D ser´a um D.F.U. e K o seu corpo de fra¸c˜oes. 3.1 Ra´ızes em K de polinˆ omios em D[X] TEOREMA 3.1. Sejam D um D.F.U. e K o seu corpo de fra¸c˜oes. Sejam ainda p(X) = a0 + a1 X + · · · an X n ∈ D[X] e r, s ∈ D primos entre si com s 6= 0. Se rs ´e uma raiz de p(X), ent˜ao r | a0 e s | an . Demonstra¸c˜ao: Sendo r s raiz de p(X), tem-se que r n−1 rn r a0 + a1 + · · · + an−1 n−1 + an n = 0. s s s Multiplicando ambos os membros desta igualdade por sn segue que sn a0 + sn−1 ra1 + · · · sr n−1 an−1 + r n an = 0. 57 58 ˆ CAP´ITULO 3. POLINOMIOS COM COEFICIENTES NUM DFU Esta u ´ ltima igualdade pode ser reescrita nas duas formas seguintes: s(sn−1 a0 + sn−2 ra1 + · · · + r n−1an−1 ) = −r n an (3.1) r(r n−1an + sr n−2an−1 + · · · + sn−1 a1 ) = −sn a0 (3.2) e Como r e s s˜ao primos entre si, o mesmo ocorre com r e sn e para sn e r n . Como de (5) e (6) temos que s | r n an e r | sn a0 , segue que s | an e r | a0 (veja I-4, Problema 3.2 (i)). ´ COROLARIO 3.1. Se p(X) ∈ D[X] ´e mˆonico, ent˜ao toda raiz de p(X) em K, encontra-se em D e divide a0 = p(0). Exemplo 1 : Determinaremos todas as ra´ızes racionais do polinˆomio seguinte: p(X) = 4X 3 + 11X 2 + 45X − 12 ∈ Z[X]. De acordo com o Teorema 1 toda raiz racional rs de p(X) com r, s ∈ Z[X] e primos entre si ´e tal que r | 12 e s | 4. Portanto as possibilidades s˜ao as seguintes: r = ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 e supondo sem perda de generalidade s > 0, s = 1, 2, 4. Em princ´ıpio ter´ıamos 36 valores poss´ıveis para rs a serem testados. Eliminando as repeti¸c˜oes, ficamos reduzidos a 20 possibilidades:   1 3 1 3 r . ∈ ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12, ± , ± , ± , ± s 2 2 4 4 Ap´os algumas tentativas, podendo ser numerosas, chega-se `a conclus˜ao que p(X) possui uma u ´ nica raiz racional que ´e 41 . O Exemplo acima nos sugere que pode ser muito trabalhoso determinar as ra´ızes racionais de um polinˆomio. Existem v´arios crit´erios para excluir valores que n˜ao s˜ao ra´ızes. O m´etodo que descreveremos a seguir ´e particularmente simples e bastante eficiente. ˆ 3.1. RA´IZES EM K DE POLINOMIOS EM D[X] Seja p(X) = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ D[X]. Pondo X = p   Y an 59 Y an obt´em-se, n = a0 + a1 aYn + · · · + an Yan = n 1 (a0 ann−1 + a1 · ann−2 Y + · · · + Y n ) = = an−1 n 1 = an−1 q(Y ). n As ra´ızes em K (logo em D) do polinˆomio mˆonico q(Y ) ∈ D[Y ], quando divididas por an nos fornecem as ra´ızes em K de p(X). Podemos ent˜ao nos limitar aos polinˆomios mˆonicos com coeficientes em D. Sejam q(Y ) ∈ D[X], α ∈ D uma raiz de q(Y ) e c ∈ D um elemento qualquer. Como q(Y ) = (Y − α) · t(Y ) com t(Y ) ∈ D[Y ], temos que q(c) = (c − α) · t(c), e portanto (c − α) | q(c). Esta observa¸c˜ao nos fornece o seguinte m´etodo de exclus˜ao: Para achar as ra´ızes em K de um polinˆomio p(X) ∈ D[X], basta achar as ra´ızes em D do polinˆomio mˆonico q(Y ) ∈ D[Y ] e divid´ı-las por an . Pelo corol´ario do Teorema 1, os candidatos a ra´ızes em K (e portanto em D) de q(Y ) s˜ao o divisores do coeficiente do seu termo independente a0 ann−1 . Escolhe-se um candidato c a raiz em D de q(Y ) e calcula-se q(c) usando o m´etodo pr´atico de divis˜ao de q(Y ) por Y −c. Dois casos podem se apresentar: 1. Um sucesso, isto ´e, q(c) = 0. Tem-se ent˜ao uma raiz c de q(Y ) e a procura das outras ra´ızes de q(Y ) se reduz `a procura das ra´ızes do polinˆomio mˆonico. 2. Um insucesso, isto ´e, q(c) 6= 0. Deve-se excluir c dentre os candidatos a ra´ızes de q(Y ). Pela observa¸c˜ao feita acima, devem ser exclu´ıdos dentre os candidatos a raiz em D os elementos α tais que c − α n˜ao divide q(c). Isto transforma o fracasso em algo extremamente u ´ til. Daremos a seguir um exemplo da aplica¸c˜ao deste m´etodo. Exemplo 2 : Seja p(X) = X 4 −X 3 −13X 2 +16X −48. Procuremos as ra´ızes racionais deste polinˆomio. Como o polinˆomio j´a ´e mˆonico n˜ao necessitamos efetuar nenhuma transforma¸c˜ao nele. As ra´ızes racionais de p(X) devem ser procuradas entre os inteiros que dividem −48 que s˜ao: 60 ˆ CAP´ITULO 3. POLINOMIOS COM COEFICIENTES NUM DFU ±1, ±2, ±4, ±8, ±16, ±3, ±6, ±12, ±24, ±48. Calculemos p(1) e p(−1): 1 −1 −13 16 −48 1 1 0 −13 3 −45 = p(1) −1 1 −2 −11 27 −75 = p(−1) ±1 devem ser exclu´ıdos pois n˜ao s˜ao ra´ızes. Se α fosse raiz, dever´ıamos ter (1 − α) | p(1) e (−1 − α) | p(1). Isto nos permite excluir os seguintes valores: ±8, ±16, ±3, ±6, ±12, ±24, ±48. Resta somente testar os seguintes candidatos: ±2, ±4. Calculemos os valores p(2) e p(−2): 1 −1 −13 16 −48 2 1 2 −11 −6 −60 = p(2) −2 1 −3 −7 30 −108 = p(−2) ±2 devem ser exclu´ıdos pois n˜ao s˜ao ra´ızes. Se α fosse raiz, dever´ıamos ter (2 − α) | p(2) e (−2 − α) | p(2). Isto n˜ao nos permite excluir nenhum outro candidato. Resta ent˜ao verificar se ±4 s˜ao ra´ızes de p(X). De fato, 1 −1 −13 16 −48 4 1 3 −1 12 0 −4 1 −1 3 0 Portanto 4 e −4 s˜ao ra´ızes de p(X). Temos que p(X) = (X − 4)(X + 4)(X 2 − X + 3). Isto nos permite achar todas as ra´ızes de p(X) que s˜ao √ √ 11 11 1 1 i e − i. 4, −4, + 2 2 2 2 ˆ 3.1. RA´IZES EM K DE POLINOMIOS EM D[X] 61 Exemplo 3 : Sejam an ∈ N tais que a n˜ao ´e potˆencia n-´esima de um √ n n´ umero natural.√Vamos mostrar que a n˜ao ´e um n´ umero racional. De n n fato, pondo b = a, temos que b ´e raiz do polinˆomio X − a. Se b fosse racional, pelo Corol´ario do Teorema 1, b seria inteiro e portanto a seria potˆencia n-´esima do n´ umero natural b, o que ´e uma contradi¸c˜ao. Exemplo 4 : Seja p(X) = X 5 + 4X 4 + 2X 3 − 13X 2 − 19X − 5. Vamos determinar, se existirem, as ra´ızes em Z[i]. Pelo Teorema 1, tais ra´ızes s˜ao divisores de 5 em Z[i], que s˜ao ±1, ±(1 ± 2i) e ±(1 ± 2i). Dentre estes elementos basta verificar se s˜ao ra´ızes os n´ umeros ±1, 1 + 2i, −1 − 2i, −2 + i e 2 − i pois os outros s˜ao conjugados destes (lembre-se que p(α) = 0 se, e somente se p(α) ¯ = 0). Testando estes valores, verifica-se que: p(±1) 6= 0, p(1 + 2i) 6= 0, p(−1 − 2i) 6= 0, p(−2 + i) = 0 e p(2 − i) = 0. Logo as ra´ızes de p(X) em Z[i] s˜ao −2 + i e −2 − i. PROBLEMAS 3.1. 1. Ache as ra´ızes racionais dos seguintes polinˆomios: a) X 4 − X 3 − X 2 + 19X − 42 b) X 3 − 9X 2 + 22X − 24 3 2 c) 2X − X + 1 d) 10X 3 + 19X 2 − 30X + 9 e) 6X 5 + X 4 − 14X 3 + 4X 2 + 5X − 2 2. Determine se ´e redut´ıvel ou n˜ao em Q[X] cada polinˆomio abaixo: a) 2X 2 − 3X + 1 c) X 2 + X + 1 e) X 3 + 5X 2 + 4X + 1 b) X 2 − 2 d) 4X 3 + 3X 2 + 3X − 1 f ) X 3 + 6X 2 + 8X − 1 √ √ 3. (a) Mostre que α = 2 + 3 ´e raiz do polinˆomio X 4 − 10X 2 + 1 e prove que α ´e irracional. √ √ (b) Mostre que 5 + 7 ´e irracional. √ √ (c) Mostre que 3 2 − 3 ´e irracional. 4. (a) Mostre que cos20◦ satisfaz a equa¸c˜ao 8X 3 − 6X − 1 = 0. (Sugest˜ ao: Veja I-9, Problema 3.5). ˆ CAP´ITULO 3. POLINOMIOS COM COEFICIENTES NUM DFU 62 (b) Prove que cos20◦ ´e irracional. 5. Determine os inteiros t para os quais a equa¸c˜ao X 4 − 3X 3 + tX 2 − 4X + t − 1 = 0 tenha uma raiz racional. 6. (a) Seja p(X) ∈ Z[X], a, b ∈ Z e m ∈ N. Mostre que se a ≡ b mod m ent˜ao p(a) ≡ p(b) mod m. (b) Seja {r1 , r2 , . . . , rm } um sistema completo de res´ıduos m´odulo m. Mostre que, se p(X) tem uma raiz em Z, ent˜ao pelo menos um dos seguintes n´ umeros ´e divis´ıvel por m: p(r1 ), p(r2), . . . , p(rm ). (c) Prove que se p(X) ∈ Z[X] e se p(0) e p(1) s˜ao ´ımpares, ent˜ao p(X) n˜ao tem ra´ızes inteiras. (d) Mostre que se p(X) ∈ Z[X] e se nenhum dos n´ umeros inteiros p(−1), p(0) e p(1) ´e divis´ıvel por 3, ent˜ao p(X) n˜ao tem ra´ızes inteiras. 3.2 O Teorema de Gauss Seja D um dom´ınio de fatora¸c˜ao u ´ nica e seja X uma indeterminada sobre D. Seja p(X) ∈ D[X]. Um conte´ udo de p(X) ´e um m´aximo divisor comum dos seus coeficientes. O polinˆomio p(X) ∈ D[X] ser´a chamado primitivo se os seus coeficientes s˜ao primos entre si, ou seja, se ele possui um conte´ udo invert´ıvel. LEMA 3.1. Seja D um D.F.U. e K o seu corpo de fra¸c˜oes. Dado um polinˆomio p(X) ∈ D[X], existem a ∈ K − {0} e q(X) ∈ D[X] primitivo, u ´nicos, a menos de fatores invert´ıveis em D, tais que p(X) = aq(X). Demonstra¸c˜ao: Multiplicando p(X) por um elemento d ∈ D − {0} conveniente, de modo a eliminar os denominadores dos seus coeficientes, temos que d · p(X) ∈ D[X] − {0}. Pondo em evidˆencia um m´aximo divisor comum c dos coeficientes de c · p(X), obtemos p(X) = 1 c · d · p(X) = · q(X), d d 63 3.2. O TEOREMA DE GAUSS com c d ∈ K − {0} e q(X) ∈ D[X] um polinˆomio primitivo. Provaremos agora a unicidade. Suponha que c2 c1 q1 (X) = q2 (X) d1 d2 (3.3) onde c1 , c2 , d1 , d2 ∈ D − {0} e q1 (X), q2 (X) ∈ D[X] s˜ao primitivos. Ent˜ao temos que c1 d2 q1 (X) = c2 d1 q2 (X), e como q1 (X) e q2 (X) s˜ao primitivos, temos que c1 · d2 ´e um conte´ udo de c1 d2 q1 (X) e c2 · d1 ´e um conte´ udo de c2 d1 q2 (X). Como estes polinˆomios s˜ao iguais, segue que c1 · d2 e c2 · d1 s˜ao associados em D, isto ´e, existe u ∈ D invert´ıvel tal que c1 d2 = uc2 d1 , ou seja c1 c2 =u (3.4) d1 d2 Substituindo (7) em (8) obtemos que q2 (X) = uq1 (X), o que termina a prova do Lema. Observe no Lema anterior que se p(X) ∈ D[X] − {0}, ent˜ao a ∈ D − {0}. LEMA 3.2 (Gauss). Se f (X), g(X) ∈ D[X] s˜ao primitivos ent˜ao f (X) · g(X) ´e primitivo. Demonstra¸c˜ao: Escrevamos f (X) = a0 + a1 X + · · · + an X n e g(X) = b0 + b1 X + · · · + bm X m . Suponha, por contradi¸c˜ao, que f (X) · g(X) = c0 + c1 X + c2 X 2 + · · · + cn+m−1 X n+m−1 + cn+m X n+m n˜ao seja primitivo e seja d um divisor primo de c0 , c1 , c2 , . . . , cn+m−1 , cn+m . Como f (X) e g(X) s˜ao primitivos temos que e A = {i ∈ N | 0 ≤ i ≤ n e d n˜ao divide ai } = 6 Φ B = {j ∈ N | 0 ≤ j ≤ m e d n˜ao divide bj } = 6 Φ. Sejam r = min A, s = min B e cr+s = ar+s b0 + · · · ar+1 bs−1 + ar bs + ar−1 bs+1 + · · · + a0 br+s . Como por defini¸c˜ao de r e s temos que d | cr+s , segue da igualdade acima que d | ar bs . Como d ´e primo, segue que d | ar ou d | bs , o que ´e uma contradi¸c˜ao com a defini¸c˜ao de r e s. 64 ˆ CAP´ITULO 3. POLINOMIOS COM COEFICIENTES NUM DFU ´ COROLARIO 3.2. Sejam f (X), g(X) ∈ D[X]. Ent˜ao todo conte´ udo de f (X)·g(X) ´e associado ao produto de um conte´ udo de f (X) por um conte´ udo de g(X). Demonstra¸c˜ao: Escrevamos f (X) = a1 q1 (X) e g(X) = a2 q2 (X), onde q1 (X), q2 (X) ∈ D[X] e a1 , a2 ∈ D s˜ao os conte´ udos de f (X) e g(X) respectivamente. Temos ent˜ao que f (X) · g(X) = a1 a2 q1 (X)q2 (X). Por outro lado, podemos escrever f (X)·g(X) = aq(X), onde a ´e um conte´ udo de f (X)·g(X) e q(X) ´e primitivo e portanto, pelo Lema 1, temos que a e a1 a2 s˜ao associados em D, o que prova o resultado. LEMA 3.3. Seja p(X) ∈ D[X] primitivo e seja K o corpo de fra¸c˜oes de D. Ent˜ao p(X) ´e redut´ıvel em D[X] se, e somente se, ele ´e redut´ıvel em K[X]. Demonstra¸c˜ao: Suponha que p(X) seja irredut´ıvel em D[X]. Se p(X) ´e redut´ıvel em K[X], temos que p(X) = p1 (X) · p2 (X), com p1 (X), p2 (X) ∈ K[X] − {K}. Pelo Lema 1, existem a1 , a2 ∈ K e q1 (X), q2 (X) ∈ D[X] primitivos tais que p1 (X) = a1 q1 (X) e p2 (X) = a2 q2 (X). Portanto, p(X) = a1 a2 q1 (X)q2 (X) (3.5) onde a1 , a2 ∈ K e q1 (X) · q( X) ´e primitivo (Lema 2). Como p(X) ´e primitivo, pelo Lema 1, temos que a1 a2 ´e associado de 1 em D e portanto est´a em D. Temos ent˜ao de (9) que p(X) ´e redut´ıvel em D[X] o que ´e uma contradi¸c˜ao. Reciprocamente, Suponha que p(X) seja irredut´ıvel em K[X]. Se p(X) ´e redut´ıvel em D[X], existiriam p1 (X), p2 (X) ∈ D[X] tais que p(X) = p1 (X)p2 (X) com p1 (X), p2 (X) n˜ao invert´ıveis em D[X]. Temos que p1 (X), p2 (X) ∈ / D[X], pois caso contr´ario, pelo menos um deles teria conte´ udo n˜ao invert´ıvel e portanto um conte´ udo de p(X) seria n˜ao invert´ıvel, o que contradiria o fato de p(X) ser primitivo. TEOREMA 3.2 (Gauss). Sejam D um D.F.U. e X uma indeterminada sobre D. Ent˜ao D[X] ´e um D.F.U. Demonstra¸c˜ao: Seja p(X) ∈ D[X]{D}. Podemos escrever p(X) = a·q(X) com a ∈ D{0} e q(X) ∈ D[X] primitivo. Seja a = a1 · · · ar uma decomposi¸c˜ao de a em fatores irredut´ıveis em D. Seja K o corpo de fra¸c˜oes de 3.2. O TEOREMA DE GAUSS 65 D. Como K[X] ´e um D.F.U. (Corol´ario 2 do Teorema 2, Cap´ıtulo 1), podemos escrever q(X) = t1 (X) · · · ts (X), onde t1 (X), . . . , ts (X) s˜ao irredut´ıveis em K[X]. Pelo Lema 1, podemos escrever q(X) = b1 · · · bs · q1 (X) · · · qs (X) onde b1 , . . . , bs ∈ K − {0} e q1 (X), . . . , qs (X) ∈ D[X] − D s˜ao primitivos (Lema 2), logo irredut´ıveis (Lema 3). Como q(X) ∈ D[X] ´e primitivo, e q1 (X) · · · qs (X) ´e primitivo (Lema 2), ent˜ao da igualdade acima e da unicidade garantida pelo Lema 1, segue que b1 , . . . , bs ∈ D ∗ . Temos ent˜ao que p(X) = a1 · · · ar · (b1 · · · bs ) · q1 (X) · · · qs (X) ´e uma decomposi¸c˜ao de p(X) em fatores irredut´ıveis em D[X]. Vamos agora demonstrar a unicidade de tal fatora¸c˜ao. Suponha que a1 · · · ar · q1 (X) · · · qs (X) = c1 · · · cl · g1 (X) · · · gm (X) onde os elementos de a1 , . . . , ar , c1 , . . . , cl de D s˜ao irredut´ıveis em D e os polinˆomios q1 (X), . . . , qs (X), g1(X), . . . , gm (X) s˜ao irredut´ıveis em D[X] (portanto primitivos). Usando o Lema 1, temos que a1 · · · ar e c1 · · · cl s˜ao associados, e como D ´e um D.F.U., temos que r = l e cada ai ´e associado a um cj e reciprocamente. Por outro lado, pela unicidade da fatora¸c˜ao em K[X], sabe-se que cada qµ (X) ´e associado em K[X] a um qλ (X) e reciprocamente. Como estes polinˆomios s˜ao primitivos eles diferem por um elemento invert´ıvel de D. Da´ı segue a unicidade da fatora¸c˜ao em D[X]. ´ COROLARIO 3.3. Z[X] ´e um D.F.U. ´ COROLARIO 3.4. Se D ´e um D.F.U. e X1 , . . . Xn s˜ao indeterminadas sobre D, ent˜ao D[X1 , . . . Xn ] ´e um D.F.U. Demonstra¸c˜ao: Pelo Teorema, D[X1 ] ´e um D.F.U. , logo novamente pelo Teorema, D[X1 , X2 ] = (D[X1 ])[X2 ] ´e um D.F.U. etc. ´ COROLARIO 3.5. Se K ´e um corpo e X1 , . . . , Xn s˜ao indeterminadas sobre K, ent˜ao K[X1 , . . . , Xn ] ´e um D.F.U. PROBLEMAS 3.2. 1. Quais dos seguintes polinˆomios em Z[X] s˜ao primitivos? ˆ CAP´ITULO 3. POLINOMIOS COM COEFICIENTES NUM DFU 66 (a) 2 + 3X + p(X) onde p(X) ∈ Z[X], gr(p(X)) > 1. (b) (3 + 5X + 7X 2 + 5X 3 )54 . (c) 2 + 4X + 6X 2 + 14X 3 . 2. Quais dos seguintes polinˆomios de Z[X] s˜ao irredut´ıveis? a) 2 + 2X b) X 3 + X 2 + X + 1 c) X 3 − 2 d) X 4 + 6X 2 + 9 3. Seja D um D.F.U. com corpo de fra¸c˜oes K. Mostre que se p(X) ∈ D[X] tem uma raiz em K ent˜ao p(X) ´e redut´ıvel em D[x]. 4. Determine um M.D.C. em Z[X] para cada par de polinˆomios abaixo (a) 2X + 4 e 6X 2 + 4X + 2 (b) 4X + 12 e 2X 4 + 12X 2 + 18 (c) 3X 3 − 3 e 2X 2 + 2X + 2 3.3 M´ etodo de Kronecker para fatora¸ c˜ ao em Z[X] Na se¸c˜ao anterior vimos que Z[X] ´e um D.F.U. Nada por´em dissemos sobre fatorar um polinˆomio p(X) em Z[X] nos seus fatores irredut´ıveis. Descreveremos abaixo um m´etodo devido a Kronecker para realizar esta tarefa. Tal m´etodo apesar de conceitualmente simples, na pr´atica ´e muito trabalhoso e, portanto nada eficiente. Existe atualmente um algoritmo muito eficiente, mas n˜ao totalmente determin´ıstico envolvendo uma parte probabil´ıstica. Seja um polinˆomio com coeficientes inteiros. Para decompor p(X) em fatores irredut´ıveis basta supor p(X) primitivo e determinar um divisor seu de menor grau, em seguida aplica-se o m´etodo ao polinˆomio quociente de p(X) por tal divisor. a) Procura dos divisores do primeiro grau. Suponha que aX + b ∈ Z[X] seja um fator de p(X). Portanto existe q(X) ∈ Z[X] tal que p(X) = (aX + b)q(X) (3.6) ´ ˜ EM Z[X] 3.3. METODO DE KRONECKER PARA FATORAC ¸ AO 67 Seja α um n´ umero inteiro qualquer. Ent˜ao p(α) = (aα + b) · q(α) (3.7) e portanto (aα + b) | p(α). O problema ´e determinar a e b de modo que (10) seja verificado. Portanto basta procurar a e b entre os inteiros para os quais aα + b divide p(α) para α arbitrariamente escolhido em Z. Pode-se ent˜ao determinar poss´ıveis valores de a e b escolhendo dois inteiros α e β com α 6= β, tais que p(α) 6= 0 e p(β) 6= 0 e em seguida resolvendo todos os sistemas de equa¸c˜oes  aα + b = d1 aβ + b = d2 variando d1 (respectivamente d2 ) dentre os divisores de p(α) (respectivemente de p(β)). Assim obtemos todos os poss´ıveis candidatos a divisores lineares aX + b de p(X). A escolha de α e β acima deve ser feita com certa ast´ ucia pois quanto menores forem os n´ umeros dos divisores de p(α) e de p(β), menor ser´a o n´ umero de sistemas de equa¸c˜oes que teremos que resolver. b) Procura dos divisores do segundo grau. Para determinar os divisores quadr´aticos aX 2 + bX + c de p(X) em Z[X], escolha trˆes inteiros α, β e γ, dois a dois distintos, e tais que nenhum deles seja raiz de p(X). Se aX 2 + bX + c ´e um divisor de p(X) em Z[X], devemos ter,   aα2 + bα + c = d1 aβ 2 + bβ + c = d2  aγ 2 + bγ + c = d3 onde d1 ´e um divisor de p(α), d2 ´e um divisor de p(β) e d3 ´e um divisor de p(γ). A resolu¸c˜ao deste n´ umero finito de sistemas de trˆes equa¸c˜oes lineares nas trˆes inc´ognitas a, b e c, nos fornecem os poss´ıveis candidatos a divisores quadr´aticos aX 2 + bX + c de p(X). Aqui tamb´em vale a recomenda¸c˜ao da escolha astuciosa de α, β e γ. c) Para a determina¸c˜ao dos divisores de grau maior do que 2 procede-se de modo inteiramente an´alogo ao que foi feito nos casos a) e b). 68 ˆ CAP´ITULO 3. POLINOMIOS COM COEFICIENTES NUM DFU Exemplo: Vamos fatorar o polinˆomio p(X) = X 4 + 2X 3 + X 2 − 1 pelo m´etodo de Kronecker. A procura dos fatores lineares de p(X) se reduz `a ´ f´acil ver que este polinˆomio n˜ao procura das ra´ızes racionais de p(X). E admite ra´ızes racionais. Resta-nos agora determinar os fatores quadr´aticos de p(X). Tomemos α = 0, β = 1 e γ = −1, temos ent˜ao os sistemas:   a · 0 + b · 0 + c = d1 a + b + c = d2  a − b + c = d3 onde d1 = ± 1, d2 = ± 1, ±3 e d3 = ± 1. Isto nos fornece 16 sistemas lineares de trˆes equa¸c˜oes nas trˆes inc´ognitas a, b e c, cujas solu¸c˜oes apresentamos na seguinte tabela: 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 16 d1 1 1 1 1 1 1 1 −1 −1 −1 −1 11 −1 −1 −1 d2 1 1 −1 −1 3 3 −3 1 1 −1 −1 3 3 −3 −3 d3 1 −1 1 −1 1 − 1 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 a 0 −1 −1 −2 1 0 −2 0 1 1 0 3 2 0 −1 b 0 1 −1 0 1 −2 −2 −2 1 −1 0 1 2 −2 −1 c 1 1 1 1 1 1 1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 Como p(X) ´e mˆonico devemos ter a = ± 1, donde os valores das linhas 1, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14 e 15 devem ser exclu´ıdos. Restam as possibilidades correspondentes `as linhas 2, 3, 5, 10, 11 e 16. A menos de um sinal, a linha 2 fornece o mesmo resultado que a linha 11, a linha 3 fornece o mesmo resultado que a linha 10 e a linha 5 fornece o mesmo resultado que a linha 16. Temos ent˜ao somente os trˆes seguintes casos a analisar: X 2 + X + 1, X 2 − X − 1 e X 2 + X − 1 . ´ 3.4. CRITERIOS DE DIVISIBILIDADE EM Q[X] 69 Experimentando estes trˆes polinˆomios, achamos que X 2 +X +1, e X 2 +X −1 dividem p(X) e portanto p(X) = (X 2 + X + 1)(X 2 + X − 1). PROBLEMAS 3.3. 1. Decomponha em fatores irredut´ıveis em Z[X] os seguintes polinˆomios: a) 2X 5 + 3X 4 + 3X 3 − 2X 2 − 1 3.4 b) X 5 + X 3 + X 2 + 1. Crit´ erios de divisibilidade em Q[X] TEOREMA 3.3 (Crit´ erio de Einsenstein). Seja q(X) = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ Z[X]. Suponha que para algum n´ umero inteiro primo p, se tenha • p | a0 , p | a1 , . . . , p | an−1 , • p n˜ao divide an • p2 n˜ao divide a0 . Ent˜ao q(X) ´e irredut´ıvel em Q[X]. Demonstra¸c˜ao: Podemos supor sem perda de generalidade que q(X) seja primitivo. Suponha que exista um n´ umero primo p cumprindo as exigˆencias das hip´oteses do Teorema. Suponha, por contradi¸c˜ao, que q(X) seja redut´ıvel em Q[X]. Logo podemos supor que q(x) = q1 (X) · q2 (X), com q1 (X) = b0 + b1 X + · · · + br X r e q2 (X) = c0 + c1 X + · · · + cs X s polinˆomios primitivos (Lema 4, se¸c˜ao 3). Como a0 = b0 · c0 e p | a0 mas p2 n˜ao divide a0 , segue que p | b0 ou p | c0 e divide somente um dos dois. Suponhamos que p | b0 e p n˜ao divide c0 (o 70 ˆ CAP´ITULO 3. POLINOMIOS COM COEFICIENTES NUM DFU outro caso ´e an´alogo). Como p | a1 , a1 = c1 · b0 + c0 · b1 e p | b0 , segue que p | c0 · b1 mas p n˜ao divide c0 , logo p | b1 . Como p | a2 , a2 = c2 · b0 + c1 · b1 + c0 · b2 , p | b0 e p | b1 , segue que p | c0 · b2 mas p n˜ao divide c0 , logo p | b2 . Assim sucessivamente, at´e chegarmos `a conclus˜ao que p | bi para cada i = 0, . . . , r. Isto ´e uma contradi¸c˜ao pois q1 (X) ´e primitivo, logo q(X) ´e irredut´ıvel em Q[X]. Exemplo 1 : X 4 + 4X 2 + 8X − 2 ´e irredut´ıvel em Q[X] pois 2 | (−2), 2 | 8, 2 | 4, 2 | 0 , 2 n˜ao divide 1 e 4 = 22 n˜ao divide (−2). Exemplo 2 : O polinˆomio X n − p, onde p ´e um n´ umero inteiro primo, ´e irredut´ıvel em Q[X] pois p | (−p), p n˜ao divide 1 e p2 n˜ao divide (−p). Este exemplo nos mostra que em Q[X] h´a polinˆomios irredut´ıveis de todos os graus. Algumas vezes o crit´erio de Einsenstein n˜ao se aplica diretamente, por exemplo, se q(X) = X 4 + X 3 + X 2 + X + 1 , n˜ao exite nenhum primo p que satisfa¸ca as hip´oteses do Teorema. No entanto, considere o polinˆomio q(X+1) = (X+1)4 +(X+1)3+(X+1)2 +(X+1)+1 = X 4 +5X 3 +10X 2 +5X+5 Trata-se de um polinˆomio irredut´ıvel. Para concluir que q(X) ´e irredut´ıvel nos baseamos na seguinte observa¸c˜ao cuja demonstra¸c˜ao deixamos a cargo do leitor. Observa¸c˜ao: Sejam q(X) ∈ Z[X] e a ∈ Z. Tem-se que q(X) ´e irredut´ıvel em Z[X] se, e somente se, q(X + a) ´e irredut´ıvel em Z[X]. Exemplo 3 : Se p ´e um n´ umero primo, ent˜ao o polinˆomio q(X) = X p−1 + X p−2 + · · · + X + 1 ´e irredut´ıvel. ´ 3.4. CRITERIOS DE DIVISIBILIDADE EM Q[X] De fato, temos que q(X) = q(X + 1) = (X+1)p −1 X  = X p−1 + p 1 X p −1 , X−1  X p−2 71 logo +···+  p p−2  X+  p p−1  .  p para todo i = 1, . . . , p−1 (Veja Sendo p primo, ´e f´acil ver que p divide i Cap 3 - Problema...). Logo o crit´erio de Einsenstein nos mostra que q(X + 1) ´e irredut´ıvel e pela observa¸c˜ao acima podemos concluir que q(X) ´e irredut´ıvel.  Al´em do crit´erio de Einsenstein temos um outro crit´erio de irredutibilidade para polinˆomios em Z[X]. Este crit´erio faz uso das classes residuais m´odulo um n´ umero primo p. Seja q(X) = a0 +a1 X +· · ·+an X n . Considere o polinˆomio, q¯(X) = a¯0 + a ¯1 X + · · · + a ¯n X n ∈ Zp [X] onde a ¯i ´e a classe residual m´odulo p de ai , i = 0, . . . , n. Esta passagem de um polinˆomio q(X) ∈ Z[X] ao polinˆomio q¯(X) ∈ Zp [X] goza das seguintes propriedades f´aceis de serem verificadas: a) Se q(X) = q1 (X) + q2 (X) ent˜ao q¯(X) = q¯1 (X) + q¯2 (X). b) Se q(X) = q1 (X) · q2 (X) ent˜ao q¯(X) = q¯1 (X) · q¯2 (X). TEOREMA 3.4. Sejam q(X) = a0 +a1 X +· · ·+an X n ∈ Z[X] e um n´ umero primo p que n˜ao divide an . Se q¯(X) ´e irredut´ıvel em Zp [X], ent˜ao q(X) ´e irredut´ıvel em Q[X]. Demonstra¸c˜ao: Podemos supor sem perda de generalidade que q(X) ´e um polinˆomio primitivo. Suponha, por contradi¸c˜ao, que q(X) seja redut´ıvel em Q[X], logo existem dois polinˆomios q1 (X) = b0 + b1 X + · · · + br X r e q2 (X) = c0 + c1 X + · · · + cs X s em Z[X] tais que q(X) = q1 (X) · q2 (X). Passando esta igualdade m´odulo p obtemos q¯(X) = q¯1 (X) · q¯2 (X) e como an = br · cs e p n˜ao divide an , segue que p n˜ao divide br e p n˜ao divide cs , conseq¨ uentemente ¯br 6= 0 e c¯s 6= 0 e portanto q¯(X) ´e redut´ıvel em Zp [X], o que contradiz a hip´otese. Exemplo 4 : Seja q¯(X) = X 4 + X 3 + 3X 2 + 18X + 2. Reduzindo q(X) m´odulo 3 temos q¯(X) = X 4 + X 3 + ¯2. Observe que ¯q[X] n˜ao se anula em Z3 [X] e portanto n˜ao possui fatores lineares em Z3 [X]. Vamos verificar que q¯(X) tamb´em n˜ao possui fatores quadr´aticos. 72 ˆ CAP´ITULO 3. POLINOMIOS COM COEFICIENTES NUM DFU Suponha q¯(X) = (X 2 + aX + b)(X 2 + cX + d) com a, b, c, d ∈ Z3 . Ent˜ao ter´ıamos:  a + c = ¯1    b + d + a · c = ¯0 a · d + b · c = ¯0    b · d = ¯2 Da primeira e da quarta equa¸c˜oes acima, obter´ıamos os seguintes poss´ıveis valores para a, b, c, d que organizamos na tabela abaixo: b d a c ¯1 ¯1 ¯1 ¯0 ¯1 ¯1 ¯0 ¯1 ¯1 ¯1 ¯2 ¯2 ¯2 ¯2 ¯1 ¯0 ¯2 ¯2 ¯0 ¯1 ¯2 ¯2 ¯2 ¯2 Nenhum desses valores acima ´e compat´ıvel com as demais equa¸c˜oes. Conclu´ımos assim que q¯(X) ´e irredut´ıvel em Z3 [X] e conseq¨ uentemente q(X) ´e irredut´ıvel em Q[X]. PROBLEMAS 3.4. 1. Mostre que os seguintes polinˆomios s˜ao irredut´ıveis em Q[X] : a) X 2 − 2X + 6 c) X n − 12, n ∈ N b) X 4 − 2X 3 + 6X 2 + 8X − 14 d) X 3 + 9X 2 + 3X + 9 2. Mostre que para todo n ∈ Z, os seguintes polinˆomios s˜ao irredut´ıveis em Q[X]: a) X 4 + 4n + 1 b) X 4 + 4nX + 1 73 3.5. A RESULTANTE 3. Sejam m, n ∈ N com m ≤ n. Mostre que o polinˆomio X n + (1 + X)m + (1 − X)m ´e irredut´ıvel em Q[X]. 4. Seja p > 2 um n´ umero primo. Mostre que X p + pX + 1 ´e irredut´ıvel em Q[X]. 5. Mostre que se p ´e um n´ umero primo, ent˜ao o polinˆomio 1+X + X2 Xp +···+ 2! p! ´e irredut´ıvel em Q[X]. 6. Seja q(X) = a0 + a1 X + · · · + an X n ∈ Z[X]. Suponha que existe um primo p tal que • p | an , p | an−1 , . . ., p | a1 , • p n˜ao divide a0 • p2 n˜ao divide an . Mostre que q(X) ´e irredut´ıvel. Aplique este crit´erio para o polinˆomio 2X 4 + 6X 3 − 4X + 1 . ¯ + ¯1 ´e irredut´ıvel em Z3 [X]. Conclua que todo 7. Mostre que X 3 + 2X polinˆomio da forma X 3 +3αX 2 −X +3β +1, onde α, β ∈ Z, ´e irredut´ıvel em Z[X] e em Q[X]. 8. Mostre que X 4 + X 2 + ¯2 ´e irredut´ıvel em Z3 [X]. Conclua que todo polinˆomio da forma X 4 + 3λX 3 + X 2 + 3µX − 1, com λ, µ ∈ Z, ´e irredut´ıvel em Z[X]. 3.5 A Resultante Nesta se¸c˜ao damos um crit´erio num´erico para decidir quando dois polinˆomios tˆem, ou n˜ao, fatores n˜ao constantes em comum. Este crit´erio consiste em transformar a quest˜ao em um problema de sistemas lineares homogˆeneos e reduzindo assim, em u ´ ltima an´alise, `a quest˜ao de anulamento, ou n˜ao, de um certo determinante. 74 ˆ CAP´ITULO 3. POLINOMIOS COM COEFICIENTES NUM DFU ˜ 3.1. Sejam K um corpo e p(X), q(X) ∈ K[X] de graus n PROPOSIC ¸ AO e m respectivamente. S˜ao equivalentes: 1. p(X) e q(X) tˆem um fator n˜ao constante em comum. 2. Existem polinˆomios ϕ(X) e ψ(X) de graus n e m respectivamente tais que ψ(X) · p(X) = ϕ(X) · q(X). Demonstra¸c˜ao: Suponha que p(X) e q(X) tenham um fator n˜ao constante em comum h(X). Ent˜ao existem ϕ(X) e ψ(X) em K[X] tais que p(X) = h(X) · ϕ(X) e q(X) = h(X) · ψ(X). Observe que, sendo h(X) n˜ao constante, ent˜ao gr(ϕ(X)) < gr(p(X)) = n e gr(ψ(X)) < gr(q(X)) = m e, al´em disso, ψ(X) · p(X) = h(X) · ψ(X) · ϕ(X) = q(X) · ϕ(X). Reciprocamente, suponha que ψ(X) · p(X) = ϕ(X) · q(X) para algum par de polinˆomios ϕ(X) e ψ(X) em K[X] tal que gr(ϕ(X)) < gr(p(X)) = n e gr(ψ(X)) < gr(q(X)) = m. Seja h(X) = M. D. C.(q(X)), ψ(X). Temos que ψ1 (X)·p(X) = ϕ(X)·q1 (X), onde ψ(X) q(X) ψ1 (X) = e q1 (X) = . h(X) h(X) Como por hip´otese, gr(ψ(X)) < gr(q(X)) e como h(X) divide ψ(X), segue que gr(h(X)) < gr(q(X)) e, conseq¨ uentemente gr(q1 (X)) ≥ 1. Por outro lado, sendo M. D. C.(q1 (X), ψ1 (X)) = 1 da rela¸c˜ao ψ1 (X) · p(X) = ϕ(X) · q1 (X), temos que q1 (X) divide ψ1 (X)·p(X), e da´ı segue que q1 (X) divide p(X). Mas q1 (X) divide q(X), logo p(X) e q(X) tˆem o fator comum n˜ao constante q1 (X). ´ COROLARIO 3.6. Sejam p(X), q(X) ∈ K[X] de graus n e m respectivamente. Ent˜ao estes polinˆomios tˆem um fator comum n˜ao constante se, e somente se, existem polinˆomios ϕ(X) e ψ(X) de graus menores do que n e m respectivamente, tais que ψ(X) · p(X) + ϕ(X) · q(X) = 0. TEOREMA 3.5. Sejam p(X) = an X n +an−1 X n−1 +· · ·+a0 e q(X) = bm X m +bm−1 X m−1 +· · ·+b0 75 3.5. A RESULTANTE com an 6= 0 e bm 6= 0. Ent˜ao p(X) e q(X) tˆem um fator comum n˜ao constante se, e somente se, ´e nulo o determinante seguinte: R = an 0 an−1 an .. . ··· ··· a2 a1 a2 .. . a0 a1 .. . 0 0 bn 0 0 ··· ... ··· 0 0 an 0 b2 .. . .. . an−1 an b1 ··· ··· bm bm−1 bm ··· bm−1 bm−1 0 bm .. . 0 0 0 0 ··· b2 .. . 0 a0 0 0 ··· ··· an−1 b0 ··· 0 ··· 0 b1 b0 0 b1 ··· 0 0 .. . .. . ··· ··· 0 0 .. . .. . a0 0 ··· .. . 0 .. . b0 b1 0 b0 Demonstra¸c˜ao: Pelo corol´ario da proposi¸c˜ao 1, p(X) e q(X) tˆem um fator n˜ao constante em comum se, e somente se, existem ϕ(X) = u1 + u2 X + · · · + un X n−1 e ψ(X) = v1 + v2 X + · · · + vm X m−1 , com pelo menos algum ui 6= 0 e algum vj 6= 0, tais que ψ(X) · p(X) + ϕ(X) · q(X) = 0 Igualando a zero os coeficientes do polinˆomio do lado lado esquerdo da igualdade acima, obtemos o seguinte sistema:   an vm    an−1 vm + an vm−1 + ..  .    a0 v1 +bm un = +bm−1 un + bm un−1 = .. . +b0 u1 = 0 0 0 A existˆencia de ϕ(X) e ψ(X) n˜ao nulos ´e equivalente ao fato de que o sistema das n + m equa¸c˜oes lineares homogˆeneas acima nas n + m vari´aveis vm , . . . , v1 , un , . . . , u1 tem uma solu¸c˜ao n˜ao trivial. Isto por sua vez ´e equivalente ao fato que o determinante da matriz associada ao sistema ´e nulo, logo ˆ CAP´ITULO 3. POLINOMIOS COM COEFICIENTES NUM DFU 76 equivalente a R = 0 (a matriz acima ´e a transposta da matriz associada ao sistema e, portanto possui o mesmo determinante). ˜ 3.1. O determinante R que aparece no teorema 1 ´e chamado DEFINIC ¸ AO resultante dos polinˆomios p(X) e q(X). A resultante de p(X) e p′ (X) ´e chamada discriminante de p(X). ´ COROLARIO 3.7. Seja K um corpo algebricamente fechado. Os polinˆomios p(X), q(X) ∈ K[X] tˆem raizes comuns em K se, e somente se, a resultante de p(X) e q(X) ´e nula. Demonstra¸c˜ao: p(X) e q(X) tˆem ra´ızes comuns em K se, e somente se, p(X) e q(X) tˆem um fator comum n˜ao constante em K[X] se, e somente se, a resultante de p(X) e q(X) ´e nula. ´ COROLARIO 3.8. Seja K um corpo algebricamente fechado. p(X) ∈ K[X] tem ra´ızes m´ ultiplas em K se , e somente se, o discriminante de p(X) ´e nulo. Demonstra¸c˜ao: p(X) tem ra´ızes m´ ultiplas se, esomente se, p(X) e p′ (X) tˆem fator comum n˜ao constante se, e somente se, o discriminante de p(X) ´e nulo. Exemplo 1 : Seja p(X) = aX 2 + bX + c. Ent˜ao p′ (X) = 2aX + b e o discriminante de p(X) ´e D = a 2a 0 b c b 0 2a b = −a(b2 − 4ac) Note que D = −a∆, onde ∆ = b2 − 4ac, e portanto o discriminante n˜ao ´e mais ∆ = b2 − 4ac. Exemplo 2 : Seja p(X) = X 3 +aX 2 +bX +c. Ent˜ao p′ (X) = 3X 2 +2aX +b e o discriminante de p(X) ´e D = 1 a 0 1 3 2a 0 3 0 0 b a b 2a 3 c 0 b c 0 0 b 0 2a b = − (18abc − 4a3 c + a2 b2 − 4b3 − 27c2 ) 77 3.5. A RESULTANTE Exemplo 3 : Seja f (X) = X 3 + pX + q. Ent˜ao f ′ (X) = 3X 2 + p e o discriminante de f (X) ´e D = 1 0 0 1 p q 0 p 0 q 3 0 0 3 0 0 p 0 0 p 3 0 0 0 p = 108  q2 4 + p3 27  Exemplo 4 : Os resultados que obtivemos sobre resultantes nos permitem tamb´em resolver certos problemas de geometria anal´ıtica como por exemplo, achar os pontos de intersec¸c˜ao de duas curvas alg´ebricas planas. Suponha que se queira achar os pontos de intersec¸c˜ao das curvas X 2 +Y 2 +4X −2Y +3 = 0 e X 2 −Y 2 + 4XY + 10Y −9 = 0. Considerando X como parˆametro, as nossas equa¸c˜oes, vistas como equa¸c˜oes na indeterminada Y , se tornam: Y 2 − 2Y + (X 2 + 4X + 3) = 0 e − Y 2 + (4X + 10)Y + +(X 2 − 9) = 0. Para achar os pontos de intersec¸c˜ao das duas curvas, determinamos inicialmente os valores de X, para os quais as equa¸c˜oes acima tenham ra´ızes comuns como polinˆomios em Y . Consideremos a resultante destes dois polinˆomios: R = = 1 −2 (X + 1)(X + 3) 0 1 −2 −1 4X + 10 (X + 3)(X − 3) 0 −1 4X + 10 1 −2 0 1 0 4X + 8 0 −1 (X + 1)(X + 3) −2 (X + 3)(2X − 2) 4X + 10 0 (X + 1)(X + 3) = 0 (X + 3)(X − 3) 0 (X + 1)(X + 3) = 0 (X + 3)(X − 3) = 2(X + 3)2 (X − 1)(X − 3) + 8(X + 2)(2X + 5)(X + 1)(X + 3) + + 2(X + 32 )(X + 1)(X − 1) + 8(X + 2)(X + 3)(X − 3) = = 4(X + 3)(5X 3 + 25X 2 + 31X + 11) = 4(X + 3)(X + 1)(5X 2 + 20X + 11). 78 ˆ CAP´ITULO 3. POLINOMIOS COM COEFICIENTES NUM DFU Os dois polinˆomios ter˜ao ra´ızes comuns se, e somente se R = 4(X + 3)(X + 1)(5X 2 + 20X + 11) = 0 e isto ocorre se, e somente se, X ´e um dos seguintes valores: √ √ 3 5 3 5 −3, −1, −2 + , −2 − 5 5 Para determinar os pontos de intersec¸c˜ao das curvas devemos resolver os seguintes quatro sistemas de equa¸c˜oes: 1. Se X = −3, temos  Y 2 − 2Y −Y 2 − 2Y = 0 = 0 de onde temos que Y = 0, portanto (−3, 0) ´e um ponto de intersec¸c˜ao das duas curvas. 2. Se X = −1, temos  Y 2 − 2Y = 0 −Y 2 + 6Y − 8 = 0 de onde Y = 2, portanto (−1, 2) ´e um ponto de intersec¸c˜ao das curvas. 3. Se X = −2 + √ 3 5 , 5    temos Y2 −    −Y 2 + 2 + donde Y = 1+ √ 5 , 5 √ 2Y √  12 5 Y 5  portanto −2 + 4 5 + donde Y = 1 − sec¸c˜ao. √ 5 , 5 √ 16+12 5 5 − √ 3 5 ,1 5 4. Se X = −2 − 3 5 5 , temos  2 − 2Y −   Y  √    −Y 2 + 2 − 12 5 Y − 5  portanto −2 − = 0 + √  5 5 = 0 ´e ponto de intersec¸c˜ao. 4 5 = 0 √ −16+12 5 5 √ 3 5 , −1 5 − = 0 √  5 5 ´e ponto de inter- 79 3.5. A RESULTANTE PROBLEMAS 3.5. 1. Ache o discriminante de g(X) = aX 4 + bX 2 + c. 2. Ache a resultante de p1 (X) = a1 X 2 + b1 X + c1 e p2 (X) = a2 X 2 + b2 X + c2 . 3. Ache o(s) valor(es) de t para o(s) qual(is) as equa¸c˜oes tX 2 + (−t − 1)X + 1 = 0 e X 2 + (t2 − t)X − 1 = 0 tenham uma raiz comum. Ache a ra´ız comum em cada caso. 4. Ache o(s) valor(es) de t para o(s) qual(is) as equa¸c˜oes X 3 − t = 0 e X 2 + tX + 1 = 0 tenham uma raiz comum. Ache a ra´ız comum em cada caso. 5. Encontre a(s) solu¸c˜ao(˜oes) comum(ns) das equa¸c˜oes: (a) X(Y − X)2 − Y 5 = 0 e X 4 + Y 3 − X 2 = 0 (b) (X 2 + Y 2 )2 − (X 2 − Y 2 ) e X 2 + Y 2 − X + 4 = 0 80 ˆ CAP´ITULO 3. POLINOMIOS COM COEFICIENTES NUM DFU Cap´ıtulo 4 ˜ AS EQUAC ¸ OES DE GRAU ≤ 4 Neste cap´ıtulo iniciaremos o estudo das equa¸c˜oes alg´ebricas propriamente ditas. A resolu¸c˜ao das equa¸c˜oes do primeiro grau se confunde com a divis˜ao e era conhecida desde a antig¨ uidade. Os babilˆonios sabiam extrair algumas ra´ızes quadradas e, portanto sabiam resolver algumas equa¸c˜oes particulares do segundo grau. A f´ormula resolvente da equa¸c˜ao do segundo grau j´a era conhecida pelos matem´aticos hindus do s´eculo 2. Passaram-se muitos s´eculos at´e que se conseguissem resolver as equa¸c˜oes do terceiro e do quarto grau, o que foi realizado pelos matem´aticos de Bolonha - It´alia, no s´eculo 16. O problema da resolubilidade das equa¸c˜oes de grau maior ou igual a cinco se constituiu desde ent˜ao num dos problemas centrais da Matem´atica at´e ser totalmente elucidado pela Teoria de Galois na primeira metade do s´eculo 19. Neste Cap´ıtulo discutiremos apenas a resolubilidade das equa¸c˜oes de grau at´e quatro, deixando o restante da discuss˜ao para os pr´oximos cap´ıtulos. 4.1 A Equa¸c˜ ao do Segundo Grau Considere a equa¸c˜ao aX 2 + bX + c = 0 com coeficientes em C e a 6= 0 . A f´ormula que fornece as ra´ızes desta equa¸c˜ao em fun¸c˜ao dos seus coeficientes 81 ˜ CAP´ITULO 4. AS EQUAC ¸ OES DE GRAU ≤ 4 82 costuma ser deduzida completando quadrados como segue: 
b aX 2 + bX + c = a X 2 + ab X + c = a X 2 + 2 2a X+
2 2 b b = a X + 2a + c − 4a b2 4a2  +c− b2 4a Portanto, α ´e raiz da equa¸c˜ao se, e somente se, 2  b2 b +c− = 0, a X+ 2a 4a o que nos fornece por extra¸c˜ao de raiz quadrada √ −b ± b2 − 4ac α= , 2a √ onde b2 − 4ac ´e uma das ra´ızes quadradas do n´ umero complexo 2 ∆ = b − 4ac, chamado discriminante da equa¸c˜ao. Observe que este discriminante difere do discriminante D do polinˆomio aX 2 + bX + c como foi definido no Cap´ıtulo 3, se¸c˜ao 5. A rela¸c˜ao existente entre D e ∆ ´e dada da seguinte forma: a D = 2a 0 b b 2a c 0 b = −a(b2 − 4ac) = −a∆ O anulamento de ∆ (ou o que ´e o mesmo de D) nos fornece portanto a condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que a equa¸c˜ao do segundo grau tenha b ). uma raiz dupla (igual a − 2a Observe tamb´em que todo o desenvolvimento vale num corpo K algebricamente fechado com carK 6= 2 no lugar de C Se os coeficientes a, b e c da equa¸c˜ao aX 2 + bX + c = 0 s˜ao reais, ent˜ao pela f´ormula resolvente temos o seguinte resultado: 1. ∆ > 0 se, e somente se, a equa¸c˜ao tem duas ra´ızes reais distintas. 2. ∆ = 0 se, e somente se, a equa¸c˜ao tem duas ra´ızes reais iguais. ˜ DO TERCEIRO GRAU 4.2. A EQUAC ¸ AO 83 3. ∆ < 0 se, e somente se, a equa¸c˜ao tem duas ra´ızes complexas distintas conjugadas. PROBLEMAS 4.1. 1. Sejam x1 e x2 as ra´ızes da equa¸c˜ao aX 2 + bX + c = 0. Mostre que x1 + x2 = − ab e x1 · x2 = ac 2. Forme as equa¸c˜oes mˆonicas do segundo grau cujas ra´ızes s˜ao a) 1 e − 1 b) 2 e − 3 c) 5 e 7 3. Dada a equa¸c˜ao aX 2 + bX + c = 0, se x1 e x2 s˜ao as suas ra´ızes, sem resolvˆe-la calcule as express˜oes: a) x21 + x22 , b) x31 + x32 , c) (x1 − x2 )2 . 4. Sejam x1 e x2 as ra´ızes do polinˆomio aX 2 + bX + c e seja D o seu discriminante. Mostre que D = −a3 (x1 − x2 )2 . 5. Dada a equa¸c˜ao aX 2 + bX + c = 0, efetue nela a mudan¸ca de vari´avel x = y + d com d escolhido de modo que a nova equa¸c˜ao na vari´avel y n˜ao tenha termo do primeiro grau. Resolva esta equa¸c˜ao e retorne `a equa¸c˜ao original na vari´avel x e determine as suas solu¸c˜oes 4.2 A Equa¸c˜ ao do Terceiro Grau Nesta se¸c˜ao consideraremos a equa¸c˜ao geral do terceiro grau com coeficientes complexos, que sem perda de generalidade podemos supor que esteja na forma: X 3 + a2 X 2 + a1 X + a0 = 0 (4.1) Por meio de uma mudan¸ca de vari´avel vamos coloc´a-la numa forma onde n˜ao figure o termo do segundo grau. Redu¸c˜ao: Substituindo X por Y + b na equa¸c˜ao (12) temos 0 = (Y + b)3 + a2 (Y + b)2 + a1 (Y + b) + a0 = Y 3 + (3b + a2 )Y 2 + (3b2 + 2ba2 + a1 )Y + (b3 + b2 a2 + ba1 + a0 ). ˜ CAP´ITULO 4. AS EQUAC ¸ OES DE GRAU ≤ 4 84 Pondo b = − a32 , temos que X 3 + a2 X 2 + a1 X + a0 = Y 3 + pY + q, onde X=Y − a2 , 3 p = a1 − a2 2 3 e q= 2a2 3 a1 a2 − + a0 27 3 (4.2) Portanto, para achar as ra´ızes da equa¸c˜ao (12), basta achar as ra´ızes da equa¸c˜ao Y 3 + pY + q = 0 e delas subtrair a32 . Exemplo 1 : Vamos eliminar o termo do segundo grau do polinˆomio p(X) = X 3 + X 2 + X + 1. Fazendo a substitui¸c˜ao X = Y − 13 , o polinˆomio 20 se transforma em Y 3 + 23 Y + 27 Resolu¸c˜ao: Vamos agora concentrar a nossa aten¸c˜ao na resolu¸c˜ao das equa¸c˜oes do tipo Y 3 + pY + q = 0. (4.3) Fa¸camos em (14) a seguinte mudan¸ca de vari´aveis: Y = U + V , onde U e V s˜ao duas vari´aveis que relacionaremos entre si de acordo com a nossa conveniˆencia. Obtemos ent˜ao 0 = (U + V )3 + p(U + V ) + q = (U 3 + V 3 + q) + (U + V )(p + 3UV ). (4.4) Segue ent˜ao que cada solu¸c˜ao do sistema  3 U + V 3 = −q U · V = − 3p nos fornece uma solu¸c˜ao (u, v) de (15) e portanto uma solu¸c˜ao y = u + v de (14). Elevando ao cubo a segunda equa¸c˜ao de do sistema acima segue que u3 e v 3 s˜ao solu¸c˜oes da seguinte equa¸c˜ao do segundo grau: p3 Z + qZ − = 0. 27 2 2 3 Fixando uma das ra´ızes quadradas de q4 + p27 e a denotando por temos que as ra´ızes de (16) s˜ao r r q 2 p3 q 2 p3 q q + e z2 = − − + z1 = − + 2 4 27 2 4 27 (4.5) q q2 4 + p3 , 27 ˜ DO TERCEIRO GRAU 4.2. A EQUAC ¸ AO 85 Podemos ent˜ao escrever u3 = z1 e v 3 = z2 . √ Escolhendo uma das ra´ızes c´ ubicas de z1 e denotando-a por 3 z1 , segue √ √ √ √ que as solu¸c˜oes de u3 = z1 s˜ao 3 z1 , w · 3 z1 , e w 2 · 3 z1 , onde w = −1+i2 3 √ ´e uma raiz c´ ubica da unidade. Denotando por 3 z2 a raiz c´ ubica de z2 tal √ √ que tal que 3 z1 · 3 z2 = − 3p , (cf. a segunda equa¸c˜ao do sistema acima), o referido sistema admite as seguintes solu¸c˜oes: √ v1 = 3 z2 √ v2 = w 2 · 3 z2 √ v3 = w · 3 z2 √ u1 = 3 z1 , √ u2 = w · 3 z1 , √ u3 = w 2 · 3 z1 , Segue ent˜ao que a equa¸c˜ao (14) possui as seguintes solu¸c˜oes: y1 = u1 + v1 = r 3 y2 = u2 + v2 = w · 2 − 2q r y3 = u3 + v3 = w · 3 + − 2q r 3 q + − 2q q2 4 + q q2 4 + q p3 27 + q2 4 + p3 27 + r 3 − 2q 2 +w · p3 27 +w· − r 3 r 3 q − 2q − 2q q2 4 + p3 , 27 − q q2 4 + p3 27 q2 4 + p3 27 − q e chamadas f´ormulas de Cardan. As f´ormulas resolventes da equa¸c˜ao (12) podem ser obtidas pelas f´ormulas de Cardan mediante as substitui¸c˜oes em (13). Observe que o m´etodo que utilizamos ´e v´alido em qualquer corpo algebricamente fechado K tal que carK 6= 2, 3. Exemplo 2 : Resolvamos a equa¸c˜ao X 3 − 3X + 1 = 0 . Esta equa¸c˜ao j´a ´e desprovida do seu termo do segundo grau, logo podemos usar diretamente ˜ CAP´ITULO 4. AS EQUAC ¸ OES DE GRAU ≤ 4 86 as f´ormulas de Cardan. Temos ent˜ao que x1 = q 3 − 21 + x2 = w · √ 3 2 q 3 − 12 + x3 = w 2 · q 3 i + √ − 12 + 3 2 √ q 3 − 21 − i + w2 · 3 2 i+w· √ 3 2 q 3 − 12 − q 3 − 12 − i, √ 3 2 √ 3 2 i e i. q √ √ − 12 + 23 i = 3 w pode ser escolhido como sendo cos 2π + i sen 2π , 9 9 q √ √ portanto, 3 − 12 − 23 i = 3 w¯ deve ser escolhido como sendo cos 2π − i sen 2π 9 9 √ √ 2π + i sin , segue que pois devemos ter 3 w · 3 w¯ = − 3p = 1. Como w = cos 2π 3 3 Note que x1 = 3

cos 2π + i sen 2π + cos 2π + i sen 2π = 2 cos 2π , 9 9 9 9 3

2π 2π 2π x2 = w · cos 2π + i sen + + i sen = 2 cos 8π , w · cos 9 9 9 9 9 e

2π 2π 2π x3 = w · cos 2π + i sen + + i sen = 2 cos 4π . w · cos 9 9 9 9 9 No exemplo acima temos que os coeficientes da equa¸c˜ao e as ra´ızes s˜ao n´ umeros reais. As f´ormulas de Cardan nos expressam as ra´ızes sob forma alg´ebrica, por´em envolvendo n´ umeros complexos. Muitas tentativas foram feitas para exprimir as ra´ızes de tais equa¸c˜oes em termos de radicais reais, todas fracassando. As equa¸c˜oes do do terceiro grau com coeficientes racionais, irredut´ıveis em Q[X] e possuindo todas as ra´ızes reais, s˜ao chamadas de caso irredut´ıvel. Foi somente no s´eculo 19 que tal mist´erio foi esclarecido, demonstrando-se atrav´es da Teoria de Galois que no caso irredut´ıvel ´e imposs´ıvel exprimir as ra´ızes da equa¸c˜ao em termos de radicais reais apenas. Voltaremos a este assunto no u ´ ltimo Cap´ıtulo. Exemplo 3 : Resolvamos a equa¸c˜ao X 3 + 3X − 4 = 0. Pelas f´ormulas de ˜ DO TERCEIRO GRAU 4.2. A EQUAC ¸ AO 87 Cardan, esta equa¸c˜ao possui as seguintes ra´ızes: p p √ √ 3 3 x1 = 2+ 5 + 2 − 5, x2 = − 12 x3 = − 21 p 3 p 3 2+ √ 2+ √ p √  3 5+ 2− 5 + p √  3 5+ 2− 5 − √ i 3 2 √ i 3 2 p 3 2+ √ 5− p 3 √  2− 5 e p p √ √  3 3 2+ 5− 2− 5 A equa¸c˜ao tem portanto uma raiz real e duas ra´ızes complexas (conjugadas). Por inspe¸c˜ao vˆe-sep que 1 ´e raizpda equa¸c˜ao, da´ı extra´ımos a seguinte igual√ √ 3 3 dade curiosa: 1 = 2 + 5 + 2 − 5. Exemplo 4 : Resolvamos a equa¸c˜ao X 3 − 6X 2 + 21X − 18 = 0. Para eliminar o termo do segundo grau, efetuuamos a substitui¸c˜ao X = Y + 2 e obtemos a equa¸c˜ao Y 3 + 9Y + 8 = 0, cujas ra´ızes s˜ao: p p √ √ 3 3 −4 − 43, −4 + 43 + y1 = y2 = w · p p √ √ 3 3 −4 + 43 + w 2 · −4 − 43 e y3 = w 2 · p 3 −4 + √ 43 + w · Portanto, as ra´ızes da equa¸c˜ao original s˜ao: x1 = y1 + 2, x2 = y2 + 2 p 3 e −4 − √ 43 x3 = y3 + 2. Observa¸c˜ao 1: O polinˆomio X 3 + a2 X 2 + a1 X + a0 tem discriminante D = 1 0 3 0 0 a2 1 2a2 3 0 a1 a2 a1 2a2 3 a0 a1 0 a1 2a2 0 a0 0 0 a1 = −18a2 a1 a0 + 4a32 a0 − a22 + 4a31 + 27a20 . Este polinˆomio desembara¸cado do seu termo do segundo grau ´e Y 3 + pY + q, a2 2a3 com X = Y − a32 , p = a1 − 32 e q = 272 − a13a2 + a0 . O discriminante deste ˜ CAP´ITULO 4. AS EQUAC ¸ OES DE GRAU ≤ 4 88 u ´ ltimo polinˆomio ´e ′ D = 1 0 3 0 0 0 1 0 3 0 p 0 p 0 3 q p 0 p 0 0 q 0 0 p  2  3 = 108 · q + p . 4 27 Uma verifica¸c˜ao direta (leitor fa¸ca-a) nos mostra que D = D ′ ˜ 4.1. Seja D o discriminante do polinˆomio X 3 + a2 X 2 + PROPOSIC ¸ AO a1 X + a0 , cujas ra´ızes s˜ao x1 , x2 e x3 . Tem-se a seguinte igualdade: D = − [(x3 − x1 )(x3 − x2 )(x2 − x1 )]2 . Demonstra¸c˜ao: Seja Y 3 +pY +q o polinˆomio desembara¸cado do seu termo do segundo grau. Sejam s s r r 3 3 q q 2 p3 q 2 p3 q u1 = − + + e v1 = − − + 2 4 27 2 4 27 Sabemos que x1 = u1 +v1 − a32 , x2 = w·u1 +w 2 ·v1 − a32 e x3 = w 2 ·u1 +w·v1 − a32 , logo (x2 − x1 ) = (w − 1)(u1 − w 2 · v1 ) (x3 − x1 ) = (w 2 − 1)(u1 − w · v1 ) (x3 − x2 ) = (w 2 − w)(u1 − v1 ). Usando as igualdades: e w − 1 = w 2 − 1 = (w√− 1)(w¯ − 1) = |w − 1|2 w 2 − w = w¯ − w = − 3 i, obtemos que √ (x3 − x2 )(x3 − x1 )(x2 − x1 ) = −3√3 i (u1 − w 2 · v1 )(u1 − w · v1 )(u1 − v1 ) = −3 3 i (u31 − v13 )  q √ p3 q2 = −3 3 i · 2 · 4 + 27 q √ 2 p3 = −6 3 i · q4 + 27 ˜ DO TERCEIRO GRAU 4.2. A EQUAC ¸ AO 89 Elevando ao quadrado a igualdade acima, obtemos:  2  q p3 (x3 − x2 )(x3 − x1 )(x2 − x1 ) = −108 = −D. + 4 27 A igualdade agora segue da rela¸c˜ao D ′ = D, que obtivemos na Observa¸c˜ao 1. O resultado da Proposi¸c˜ao 1 se generaliza como segue. Se x1 , x2 , . . . , xn e D s˜ao respectivamente as ra´ızes e o discriminante do polinˆomio an X n + · · · + a1 X + a0 , ent˜ao vale a rela¸c˜ao: 1 D = (−1) 2 n(n−1) an2n−1 · Y i 0 se, e somente se, a equa¸c˜ao tem pelo menos uma raiz n˜ao real. Neste caso, uma raiz ´e real e duas s˜ao complexas conjugadas. 3. D < 0 se, e somente se, a equa¸c˜ao tem as ra´ızes reais e distintas. Demonstra¸c˜ao: Pela Proposi¸c˜ao 1 temos D = −(x3 − x2 )2 (x3 − x1 )2 (x2 − x1 )2 . ´ claro que D = 0 se e somente se a equa¸c˜ao tem pelo menos duas (1) E ra´ızes iguais. Neste caso, a equa¸c˜ao n˜ao pode ter ra´ız complexa n˜ao real pois 90 ˜ CAP´ITULO 4. AS EQUAC ¸ OES DE GRAU ≤ 4 caso contr´ario, deveria ter a conjugada com mesma multiplicidade. (2) Se D > 0, como −D ´e um quadrado, alguma das diferen¸cas (xj − xi ) deve ser n˜ao real. Logo pelo menos uma raiz ´e n˜ao real. Neste caso, s´o poderemos ter duas ra´ızes complexas conjugadas e a outra real. Reciprocamente, se uma das ra´ızes ´e α ∈ C − R, ent˜ao as outras ra´ızes s˜ao α ¯ 2 2 2 e β com β ∈ R. Tem-se que: D = −(α − α ¯ ) (α − β) (α ¯ − β) . Como 2 2 (α ¯ − β) ´e o conjugado de (α − β) , tem-se que o produto (α − β)2 (α ¯ − β)2 ´e um n´ umero real positivo. Portanto o sinal de D ´e o mesmo sinal de −(α − α ¯ )2 = (2 i Im(α))2 = 4(Im(α))2 que ´e positivo. (3) Este caso decorre dos anteriores por exclus˜ao. A hist´oria da resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao do terceiro grau apresenta alguns lances pitorescos. Conta-se que foi Scipio Del Ferro quem primeiro resolveu a equa¸c˜ao do terceiro grau sem nunca publicar o seu resultado, limitando-se apenas a contar o seu feito a alguns amigos. Em 1535, Tartaglia redescobriu a resolu¸c˜ao destas equa¸c˜oes, mantendo o seu m´etodo em segredo para com ele ´ coroar um tratado de Algebra de sua autoria. Tartaglia revelou o seu segredo a Jerˆonimo Cardan sob juramento de n˜ao divulg´a-lo. Cardan, n˜ao honrando o seu compromisso, publicou em 1545 o livro Ars Magna contendo o m´etodo de resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao do terceiro grau dando, entretanto o devido cr´edito ao seu autor. Por terem sido publicadas pela primeira vez por Cardan, estas f´ormulas levam o seu nome. O livro de Cardan cont´em tamb´em a resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao do quarto grau devida ao seu disc´ıpulo Ludovico Ferrari e que ser´a o assunto da pr´oxima se¸c˜ao. O m´etodo que utilizamos para deduzir as f´ormulas de Cardan ´e devido a Hudde e data de 1658. As f´ormulas de Cardan tˆem mais interesse te´orico e hist´orico do que pr´atico. Para calcular boas aproxima¸c˜oes de ra´ızes de equa¸c˜oes alg´ebricas disp˜oe-se de m´etodos muito mais eficientes. ˜ DO TERCEIRO GRAU 4.2. A EQUAC ¸ AO 91 PROBLEMAS 4.2. 1. Usando as f´ormulas de Cardan, resolva as seguintes equa¸c˜oes: a) c) e) g) X 3 + 9X − 6 = 0 X 3 − 3X + 2 = 0 X 3 − 5X + 2 = 0 X 3 + 12X − 30 = 0 b) d) f) h) X 3 − 9X − 12 = 0 X 3 − 9X 2 − 9X − 15 = 0 X 3 − 6X 2 − 6X − 14 = 0 X 3 − 3X + i−3 =0 2 2. Mostre que a) b) c) p p √ √ 3 3 7 + 50 + 7 − 50 = 2 p √ 3 p √ 3 108 + 10 − 243 + √ p √ 3 242 − 108 − 10 = 2 p √ 3 243 − √ √ 242 = 2 2 3. Discuta, sem resolver, as ra´ızes das seguintes equa¸c˜oes: a) X 3 − 1 = 0 c) X 3 − 10X + 1 = 0 e) X 3 − 3X + 2 = 0 b) 2X 3 − 5X + 7 = 0 d) 2X 3 + 3X 2 + 6X −√ 12
= 0 √ 3 2 f ) X − 3X + 3 1 + 3 2 X − 3 · 3 2 4. Em cada caso abaixo, construa e determine as outras ra´ızes de uma equa¸c˜ao do 30 grau com coeficientes racionais tendo o n´ umero indicado como raiz. q q √ √ √ √ 3 3 3 3 b) 2 + 3 + 2 − 3 a) 3 − 9 5. Mostre que a par´abola Y = X 2 e a hip´erbole XY + 8X + 4Y + 3 = 0 possuem somente um ponto de intersec¸c˜ao com ambas as coordenadas reais. 6. Seja f (X) = X 3 + 3aX + 2 ∈ R[X]. (a) Determine os valores reais de a para os quais a fun¸c˜ao polinomial real y = f (X) tenha tres ra´ızes reais distintas. (b) Determine o valor real de a para o qual esta fun¸c˜ao tenha uma raiz m´ ultipla e encontre, neste caso, as suas ra´ızes. ˜ CAP´ITULO 4. AS EQUAC ¸ OES DE GRAU ≤ 4 92 (c) Determine os valores reais de a para os quais esta fun¸c˜ao tenha duas ra´ızes complexas (conjugadas). (d) Esboce o gr´afico em cada caso um dos casos (a), (b) e (c). 7. Considere o poliˆomio p(X) = X 3 + a2 X 2 + a1 X + a0 , com a2 , a1 , a0 n´ umeros reais. Discuta o sinal de p(X) para valores reais de X segundo o sinal de D e da posi¸c˜ao de X relativamente `as ra´ızes reais. 8. Considere a igualdade a3 X 3 + a2 X 2 + a1 X + a0 = a3 (X − x1 )(X − x2 )(X − x3 ) onde x1 , x2 e x3 s˜ao as ra´ızes do polinˆomio do lado esquerdo da igualdade. Usando o m´etodo dos coeficientes a determinar, mostre que a) b) c) x1 + x2 + x3 = − aa23 x1 · x2 + x1 · x3 + x2 · x3 = x1 · x2 · x3 = − aa03 a1 a3 9. Sejam y1 , y2 e y3 as ra´ızes da equa¸c˜ao Y 3 + pY + q = 0. Observando que a f´ormulas de Cardan se expressam como y1 = u1 + v1 , y2 = wu1 + w 2 v1 , e y3 = w 2 u1 + wv1 . Mostre que y1 + wy2 + w 2 y3 = 3v1 , y1 + wy3 + w 2 y2 = 3u1 . Conclua que valem as seguintes rela¸c˜oes: (y1 + wy2 + w 2 y3 ) · (y1 + wy3 + w 2 y2 = −3p (y1 + wy2 + w 2 y3 )3 + (y1 + wy3 + w 2 y2 )3 = −27q 10. Sejam x1 , x2 e x3 as ra´ızes da equa¸c˜ao X 3 + a2 X 2 + a1 X + a0 = 0. Mostre que valem as igualdades (x1 + wx2 + w 2 x3 ) · (x1 + wx3 + w 2 x2 = −3a1 + a22 (x1 + wx2 + w 2 x3 )3 + (x1 + wx3 + w 2 x2 )3 = −2a32 + 9a1 a2 − 27a0 . (Sugest˜ao: Use o Problema 2.8 e as rela¸c˜oes entre x1 , x2 , x3 , a0 , a1 , a2 e y1 , y2, y3 , p, q). ˜ DO QUARTO GRAU 4.3. A EQUAC ¸ AO 4.3 93 A Equa¸c˜ ao do Quarto Grau Apresentamos nesta se¸c˜ao o m´etodo de Ferrari para resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao do quarto grau. Considere a equa¸c˜ao: X 4 + a3 X 3 + a2 X 2 + a1 X + a0 = 0 (4.6) Temos que X 4 + a3 X 3 = −(a2 X 2 + a1 X + a0 ). Completanto o quadrado no primeiro membro desta equa¸c˜ao e comparando com o segundo membro, temos  2   1 1 2 2 X + a3 X = a3 − a2 X 2 − a1 X − a0 (4.7) 2 4 Se o segundo membro desta equa¸c˜ao fosse um quadrado perfeito, a resolu¸c˜ao da equa¸c˜ao recairia na resolu¸c˜ao de duas equa¸c˜oes do segundo grau. O nosso objetivo ser´a agora transformar o seguno membro de (18) em um quadrado perfeito, sem destruir o quadrado perfeito do primeiro membro.
Somando a ambos os membros de (18) a express˜ao Y 2 +2Y · X 2 + 21 a3 X , obtemos,  2    1 2 1 2 X + a3 X + Y = 2Y + a3 − a2 X 2 + (Y a3 − a1 )X + (Y 2 − a0 ) 2 4 (4.8) Vamos agora determinar os valores de Y que transformar˜ao o segundo membro de (19) em um quadrado perfeito. Para que isto ocorra devemos ter o discriminante do segundo membro de (19), como trinˆomio do segundo grau em X, nulo. ou seja,   1 2 2 (Y a3 − a1 ) − 4 · 2Y + a3 − a2 · (Y 2 − a0 ) = 0 4 Da´ı segue que, 8Y 3 − 4a2 Y 2 + (2a1 a3 − 8a0 )Y + (4a0 a2 − a0 a23 − a21 ) = 0 (4.9) Escolhendo Y como sendo uma das ra´ızes da equa¸c˜ao (4), a equa¸c˜ao (3) nos fornece   2 1 2 X + a3 X + Y = (αX + β)2 (4.10) 2 ˜ CAP´ITULO 4. AS EQUAC ¸ OES DE GRAU ≤ 4 94 com α e β convenientes. Esta equa¸c˜ao se resolve mediante a resolu¸c˜ao das duas equa¸c˜oes do segundo grau:     1 1 2 2 X + a3 X + Y = (αX + β) e X + a3 X + Y = −(αX + β) 2 2 Como a equa¸c˜ao (17) ´e equivalente `a equa¸c˜ao (21), temos que a resolu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao do quarto grau pode ser reduzida `a resolu¸c˜ao de equa¸c˜oes do terceiro e do segundo graus. Exemplo: Resolvamos a equa¸c˜ao X 4 − 2X 3 + 4X 2 − 2X + 3 = 0. Determinemos Y satisfazendo a equa¸c˜ao (20) que no nosso caso toma a ´ f´acil verificar que y = 2 ´e solu¸c˜ao desta forma: Y 3 − 2Y 2 − 2Y + 4 = 0. E equa¸c˜ao. Para este valor de Y a equa¸c˜ao (19) passa a ser (X 2 − X + 2)2 = X 2 − 2X + 1 = (X − 1)2 . Obtemos assim as seguintes equa¸c˜oes do segundo grau: X 2 − X + 2 = X − 1 e X 2 − X + 2 = −(X − 1), cujas ra´ızes s˜a√o as ra´ızes√da equa¸c˜ao proposta. Assim, a nossa equa¸c˜ao tem as ra´ızes 1 + 2 i , 1 − 2 i , i e −i. PROBLEMAS 4.3. 1. Resolva as equa¸c˜oes: a) X 4 − 12X 2 + 24X − 5 = 0 c) X 4 − 15X 2 − 12X − 2 = 0 e) X 4 + 8X 2 + 16X + 20 = 0 b) X 4 − 24X 2 + 60X + 11 = 0 d) X 4 − 9X 2 − 6X + 4 = 0 f ) X 4 + 2X 2 − 4X + 8 = 0 Cap´ıtulo 5 ´ O GRUPO SIMETRICO Num trabalho publicado em 1771 cˆerca de dois s´eculos ap´os os trabalhos dos algebristas bolonheses que estudamos no Cap´ıtulo 4, Joseph Louis Lagrange (ou Giuseppe Luigi Lagrangia como reivindicam os italianos), aprofundou o estudo das rela¸c˜oes entre coeficientes e as ra´ızes de um polinˆomio, mediante a introdu¸c˜ao dos grupos sim´etricos e de suas propriedades. Este estudo conduziu-o a achar um m´etodo unificado para atacar a resolu¸c˜ao das equa¸c˜oes alg´ebricas de qualquer grau. O m´etodo funcionou maravilhosamente no caso das equa¸c˜oes do terceiro e quarto graus, como veremos no pr´oximo cap´ıtulo, mas apresentou dificuldades na tentativa de resolver a equa¸c˜ao do quinto grau. Apesar de Lagrange n˜ao ter conseguido resolver os problemas da Teoria das Equa¸c˜oes Alg´ebricas, os seus trabalhos criaram instrumentos para que P. Ruffini e N. H. Abel, numa s´erie de trabalhos realizados entre 1799 e 1824, demonstrassem a impossibilidade de resolver a equa¸c˜ao geral do quinto grau. Posteriormente, Evariste Galois, retornando `as id´eias de Lagrange, escreveu uma das mais belas e importantes p´aginas da Matem´atica, a Teoria de Galois. 5.1 Rela¸ c˜ oes Entre Coeficientes e Ra´ızes O nosso objetivo nesta se¸c˜ao ´e determinar as rela¸c˜oes existentes entre os coeficientes e as ra´ızes das equa¸c˜oes alg´ebricas. 95 ´ CAP´ITULO 5. O GRUPO SIMETRICO 96 Seja K um corpo e X1 , X2 , . . . , Xn indeterminadas sobre K. Considere o polinˆomio: (X + X 1 )(X + X 2 ) · · · (X + X n ) ∈ K[X, X1 , X2 , . . . , Xn ]. Queremos escrever este polinˆomio como elemento de K[X1 , . . . , Xn ][X]. Para este efeito, introduziremos os seguintes polinˆomios de K[X1 , . . . , Xn ] : X s1 (X1 , . . . , Xn ) = Xi = X 1 + · · · + X n i s2 (X1 , . . . , Xn ) = X Xi1 Xi2 i1 0 n=0 n<0 Na nota¸c˜ao aditiva escrevemos  (n parcelas), se n > 0  a + a + · · · + a, 0, se n = 0 na =  (−a) + (−a) + · · · + (−a) (|n| parcelas), se n < 0 Temos as seguintes propriedades, para todos a, b ∈ G e todos m, n ∈ Z. 1) 2) 3) an · am = am+n (an )m = an·m se a · b = b · a ent˜ao (a · b)n = an · bn 1′ ) na + ma = (n + m)a 2′ ) m(na) = (mn)a 3′ ) n(a + b) = na + mb. 108 ´ CAP´ITULO 5. O GRUPO SIMETRICO O pr´oximo resultado nos mostrar´a que ´e mais f´acil verificar se um subconjunto finito de um grupo ´e ou n˜ao um subgrupo. ˜ 5.6. Seja G um grupo e H um subconjunto finito de G. PROPOSIC ¸ AO Se H ´e fechado em rela¸c˜ao `a opera¸c˜ao de G, ent˜ao H ´e um subgrupo de G. Demonstra¸c˜ao: Basta mostrar que o elemento neutro e de G est´a em H e que o inverso de um elemento de H est´a em H. Seja a ∈ H, ent˜ao a2 , a3 , . . . , ∈ H pois H ´e fechado em rela¸c˜ao `a opera¸c˜ao de G. Como H ´e finito, existem dois n´ umeros naturais distintos n e m tais que an = am . Suponha, sem perda de generalidade, que n > m, multiplicando por a−m ambos os membros da igualdade acima, obtemos que e = an−m ∈ H. Observe que se n − m = 1, temos que a = e e o seu inverso ´e ele pr´oprio, logo est´a em H. Se n−m > 1, ent˜ao a−1 = an−m−1 ∈ H e o resultado est´a provado. Exemplo 13 : Vamos determinar todos os subgrupos de S3 . Pela Proposi¸c˜ao 6 para verificar que um subconjunto de S3 ´e um subgrupo, basta mostrar que ´e fechado em rela¸c˜ao `a opera¸c˜ao de S3 . Pelo Teorema de Lagrange, Para que H ⊆ S3 seja um subgrupo ´e necess´ario que |H| divida 6. Portanto temos quatro casos a considerar: 1. |H| = 1. Neste caso temos uma u ´ nica possibilidade que ´e H = {e}. 2. |H| = 2. As possibilidades s˜ao os conjuntos da forma {e, σi } e {e, τi }, i = 1, 2, 3. Dentre estes, somente os conjuntos {e, τ1 } , {e, τ2 } e {e, τ3 } s˜ao fechados em rela¸c˜ao `a opera¸c˜ao de S3 . 3. |H| = 3. H´a somente as seguintes possibilidades: H = {e, τi , a}, i = 1, 2, 3, a 6= e, a 6= τi ou H = {e, σ2 , σ3 }. A primeira possibilidade deve ser exclu´ıda pois, caso contr´ario ter´ıamos que {e, τi } seria um subgrupo de H e pelo Teorema de Lagrange, 2 teria que dividir 3 o que ´e um absurdo. Resta a possibilidade H = {e, σ2 , σ3 }, que ´e um subconjunto fechado em rela¸c˜ao `a opera¸c˜ao de S3 . 4. |H| = 6. Neste caso H = S3 . Assim, os subgrupos de S3 s˜ao {e}, {e, τ1 } , {e, τ2 } e {e, τ3 }, {e, σ2 , σ3 } e S3 . 109 5.2. GRUPOS Exemplo 14 : Vamos determinar todos os subgrupos de Z. Se H ´e um subgrupo de Z, ent˜ao (i) (ii) (iii) H 6= Φ a + b ∈ H, ∀ a, b ∈ H na ∈ H, ∀ n ∈ Z, ∀ a ∈ H. Portanto todo subgrupo de Z ´e um ideal de Z e consequentemente da forma H = I(d) = {nd | n ∈ Z} para algum d ∈ Z (cf. I-4, Teorema 1). A determina¸c˜ao dos subgrupos de um grupo ´e algo bastante complexo e est´a longe de ter sido resolvida em geral. Voltaremos no Cap´ıtulo 9 `a quest˜ao da existˆencia de certos subgrupos de um grupo finito. 5.2.3 Grupos C´ıclicos Sejam G um grupo e a ∈ G. Vamos definir na nota¸c˜ao multiplicativa hai = {an | n ∈ Z} ou na nota¸c˜ao aditiva hai = {na | n ∈ Z} ´ claro que hai ´e um subgrupo de G pois ´e fechado em rela¸c˜ao `a opera¸c˜ao E de G, e = a0 ∈ hai (ou 0 = 0 · a ∈ hai ) e cada an ∈ hai ou ( na ∈ hai ) tem um inverso a−n ∈ hai (ou (−n)a ∈ hai ). Este subgrupo ser´a chamado de subgrupo gerado por a. Para simplificar os enunciados, vamos usar apenas a nota¸c˜ao multiplicativa, deixando para o leitor o exerc´ıcio de formular os resultados na nota¸c˜ao aditiva. TEOREMA 5.2. (i) hai ´e finito se, e somente se, existe m ∈ Z tal que am = e (ii) Em tal caso, def inindo o(a) = min{n ∈ N | an = e}, temos que hai = {e, a, . . . , ao(a)−1 }, com ai 6= aj se, i 6= j, i, j = 0, . . . , o(a) − 1. 110 ´ CAP´ITULO 5. O GRUPO SIMETRICO Demonstra¸c˜ao: (i) Suponha que hai seja finito, logo na lista de elementos a, a , a3 , . . . devem ocorrer repeti¸c˜oes e portanto existem r, s ∈ N com r < s tais que ar = as e portanto pondo m = s − r, temos que am = e. Reciprocamente, se existe m tal que am = e, vamos provar que hai = {e, a, . . . , am−1 }. De fato, a inclus˜ao {e, a, . . . , am−1 } ⊆ hai ´e ´obvia. Por outro lado, Seja b ∈ hai, logo b = as para algum s ∈ Z. Pelo algor´ıtmo da divis˜ao de inteiros temos que s = mq + r, com 0 ≤ r < m. Temos portanto que as = amq+r = (am )q ·ar = e·ar = ar e consequentemente as ∈ {e, a, . . . , am−1 }, provando assim a inclus˜ao hai ⊆ {e, a, . . . , am−1 }. 2 (ii) Por defini¸c˜ao de o()a tem-se que ao(a) = e e portanto a mesma demonstra¸c˜ao feita acima nos mostra que hai = {e, a, . . . , ao(a)−1 }. S´o nos resta provar que ai 6= aj se i 6= j com i, j = 0, 1, . . . , o(a) − 1. De fato se ai = aj com j > i, ent˜ao aj−i = e com 0 < j − i < o(a), o que ´e uma contradi¸c˜ao em vista da minimalidade de o(a). Se hai ´e finito, o inteiro o(a) acima definido ´e chamado a ordem de a, e diremos que a tem ordem finita. Caso contr´ario, isto ´e, se hai ´e infinito, diremos que a tem ordem infinita. ˜ 5.7. Sejam G um grupo e a ∈ G. Ent˜ao am = e se, e PROPOSIC ¸ AO somente se, o(a) | m. ´ f´acil Demonstra¸c˜ao: Considere o conjunto I = {m ∈ Z | am = e} ⊆ Z. E verificar que I ´e um ideal de Z, portanto por I-4, Teorema 1, e pela defini¸c˜ao de o(a), temos que I = I(o(a)), de onde segue o resultado. ´ COROLARIO 5.1. Seja G um grupo finito e seja a ∈ G, ent˜ao a|G| = e. Demonstra¸c˜ao: Pelo Teorema de Lagrange temos que | hai | = o(a) divide |G| e, portanto pela Proposi¸c˜ao 7 temos que a|G| = e. ´ COROLARIO 5.2 (Pequeno Teorema de Fermat). Seja p ∈ Z um Z n´ umero primo positivo. Ent˜ao para todo a ∈ pZ = Zp , tem-se que ap−1 ≡ 1 mod p. 5.2. GRUPOS 111 Demonstra¸c˜ao: Considere o grupo (Zp ∗ , ·) que tem p − 1 elementos, logo para todo a ∈ Z, temos que (¯ a)p−1 = ¯1, onde a ¯ ´e a classe residual m´odulo p de a, de onde segue o resultado. ´ COROLARIO 5.3 (Teorema de Euler). Seja Φ a fun¸c˜ao de Euler e seja n um inteiro natural. Ent˜ao para todo a ∈ Z com (a, n) = 1, tem-se que aΦ(n) ≡ 1 mod n. Demonstra¸c˜ao: Considere o grupo (Zn ∗ , ·) que tem Φ(n) elementos. Agora o resultado segue usando a mesma argumenta¸c˜ao usada no Corol´ario 2. Defini¸c˜ao: Um grupo G ´e chamado grupo c´ıclico se existir a ∈ G tal que G = hai. Exemplo 15 : Todo grupo c´ıclico ´e abeliano. De fato, se G = hai ent˜ao dois elementos quaisquer de G podem ser escritos sob a forma ai e aj com i, j ∈ Z. Logo ai ∗ aj = ai+j = aj+i = aj ∗ ai . Exemplo 16 : Z ´e c´ıclico pois Z = h1i. Os grupos Zn s˜ao c´ıclicos pois Zn = h1i. Outros exemplos de grupos c´ıclicos s˜ao os (Un , ·), onde Un ´e o conjunto das ra´ızes n-´esimas da unidade em C e a opera¸c˜ao ´e o produto de n´ umeros complexos. Um gerador de Un ´e uma raiz n-´esima primitiva da unidade. Exemplo 17 : Todo grupo de ordem prima ´e c´ıclico. De fato, se G ´e um grupo de ordem prima p, escolha a ∈ G − {e}. Temos que o(a) 6= 1 e pelo Teorema de Lagrange temos que o(a) | p e portanto o(a) = p. Segue ent˜ao que | hai | = |G| e portanto G = hai. ˜ PROPOSIC ¸ AO 5.8. Seja G um grupo e seja a um elemento de ordem o(a) finita de G. Se r ∈ Z, ent˜ao o(ar ) = (o(a),r) . Demonstra¸c˜ao: Temos que o(ar ) ´e o menor inteiro positivo n tal que (a ) = e, ou seja, pela Proposi¸c˜ao 7, tal que o(a) | rn. Portanto rn ´e o menor m´ ultiplo comum de o(a) e de r, ou seja rn = [o(a), r]. Por I-4, Problema o(a)·r 3.10, temos que [o(a), r] = (o(a),r) . Juntando estas duas igualdades temos o resultado. r n ´ CAP´ITULO 5. O GRUPO SIMETRICO 112 LEMA 5.2. Sejam G = haium grupo c´ıclico de ordem n e, s um inteiro positivo. Ent˜ao has i = a(n,s) . Em particular, has i = hai se, e somente se, (n, s) = 1.  ´ f´acil verificar que has i ⊆ a(n,s) . Por outro lado, como Demonstra¸c˜ao: E (n, s) = λs + µn para inteiros convenientes λ e µ, temos que a(n,s) = aλs+µn = (as )λ (an )µ ∈ has i ,  consequentemente a(n,s) ⊆ has i o que prova o resultado. ˜ 5.9. Seja G um grupo c´ıclico de ordem n gerado por a. Se PROPOSIC ¸ AO H ´e um subgrupo de G de ordem m ent˜ao H tamb´em ´e c´ıclico e ´e gerado por n a( m ) . Demonstra¸c˜ao: Seja I(oH (a)) = {n ∈ Z | an ∈ H}. Claramente I(oH (a)) ´ f´acil ´e um ideal de Z que cont´em I(o(a)). Seja r um gerador de I(oH (a)). E r verificar que H = ha i. Al´em disso, pela Proposi¸c˜ao 8, m = |H| = o(ar ) = Assim, (n, r) = n . m o(a) n = . (o(a), r) (n, r) Pelo Lema 1, (n,r)  D ( n ) E H = ha i = a = a m . r Exemplo 18 : (Determina¸c˜ao dos subgrupos de um grupo c´ıclico) Seja G um grupo c´ıclico finito de ordem n gerado por a. Seja H um subgrupo de G de ordem m. Pelo Teorema de Lagrange, m ´e um divisor de n. Pela Pron posi¸c˜ao 9, H ´e gerado por a( m ) . Isto mostra que H ´e o u ´ nico subgrupo de G de ordem m. Por outro lado, se m ´e um divisor de n, digamos, n = mr, ent˜ao H = har i ´e um subgrupo de G de ordem m. Isto nos fornece uma descri¸c ˜ao completa dos subgrupos de G, a saber, os subgrupos de G s˜ao da forma ad onde d ´e um divisor de n. 113 5.2. GRUPOS PROBLEMAS 5.2. 1. Mostre que se a, b e c s˜ao elementos de um grupo G, valem as seguintes rela¸c˜oes: (a) Cancelamento `a direita: a ∗ c = b ∗ c (b) Cancelamento ´a esquerda: c ∗ a = c ∗ b ⇒ a = b. ⇒ (c) (a−1 )−1 = a. a = b. (d) (a ∗ b)−1 = b−1 ∗ a−1 .     1 2 3 4 1 2 3 4 . Determine e τ= 2. Sejam σ = 2 1 4 3 3 1 4 2 σ ◦ τ , τ ◦ σ, σ 3 ◦ τ 2 , σ −1 , τ −3 , σ ◦ τ ◦ σ −1 , σ 527 e τ 1001 . 3. Seja G um grupo tal que g 2 = e para todo g ∈ G. Mostre que G ´e abeliano. 4. Mostre que num grupo finito o produto de todos os elementos ´e igual ao produto dos elementos de ordem 2. Aplique isto a (Zp ∗ , ·) onde p ´e um n´ umero primo positivo, para mostrar o Teorema de Wilson: (p − 1)! ≡ (−1) mod p. 5. Sejam G um grupo, H1 e H2 subgrupos de G. Mostre que H1 ∩H2 ´e um subgrupo de G. Generalize para um n´ umero arbitr´ario de subgrupos de G . 6. Sejam G um grupo, H ⊆ G um subgrupo e a ∈ G. Mostre que aHa−1 = {aha−1 | h ∈ H} ´e um subgrupo de G. 7. (a) Mostre que S 1 = {z ∈ C | |z| = 1} ´e um subgrupo de (C∗ , ·). (b) Se θ ∈ R, mostre que o conjunto Sθ = {(cos θ + i sen θ)n | n ∈ Z} ´e um subgrupo de S 1 . (c) Mostre que Sθ ´e finito se, e somente se, θ π ∈ Q. 8. Sejam G um grupo, K ⊆ H ⊆ G tais que K ´e um subgrupo de H e H ´e um subgrupo de G. Mostre que (a) [G : H] = 1 se, e somente se, H = G e [G : H] = |G| se, e somente se, H = {e}. ´ CAP´ITULO 5. O GRUPO SIMETRICO 114 (b) [G : H] = [G : k] · [H : K], mesmo que um destes n´ umeros seja infinito. (Note que se K = {e} obt´em-se o Teorema de Lagrange). (c) Se [G : K] ´e um primo, ent˜ao n˜ao existe H 6= G tal que K ⊂ H e K 6= H. 5.3 ´ Estrutura de Orbitas de uma Permuta¸ c˜ ao 5.3.1 Decomposi¸c˜ ao de uma permuta¸c˜ ao em um produto de ciclos Nesta se¸c˜ao, seguindo o estudo realizado por Cauchy, mostraremos que toda permuta¸c˜ao pode ser decomposta num produto de permuta¸c˜oes de um tipo bem simples chamados de ciclos e que tal decomposi¸c˜ao ´e u ´ nica. O grupo Sn age sobre o conjunto {1, 2, . . . , n} , isto ´e, existe uma fun¸c˜ao Sn : {1, 2, . . . , n} −→ {1, 2, . . . , n} (σ, x) 7−→ σx = σ(x) tal que (i) ex = x ∀ x ∈ {1, 2, . . . , n}, (ii) σ1 (σ2 (x)) = (σ1 ◦ σ2 )(x), ∀ σ1 , σ2 ∈ Sn , x ∈ {1, 2, . . . , n}. Se H ´e um subgrupo de Sn e x ∈ {1, 2, . . . , n}, define-se a ´orbita de x segundo H como sendo o conjunto Orb(x) = {σ(x) | σ ∈ H} ⊆ {1, 2, . . . , n}. Em particular, se H = hσi para algum σ ∈ Sn , ent˜ao Orbhσi (x) = {σ n (x) | n ∈ Z}. ˜ 5.10. Sejam H um subgrupo de Sn e x, y ∈ {1, 2, . . . , n}. PROPOSIC ¸ AO Temos que (i) S Se OrbH (x) ∩ OrbH (y) 6= Φ ent˜ao OrbH (x) = OrbH (y). (ii) x∈Sn OrbH (x) = {1, 2, . . . , n}. Demonstra¸c˜ao: (i) Suponha que OrbH (x) ∩ OrbH (y) 6= Φ e seja z um elemento deste conjunto. Logo existem h, h′ ∈ H tais que z = h(x) = h′ (y) (5.1) ´ ˜ 5.3. ESTRUTURA DE ORBITAS DE UMA PERMUTAC ¸ AO 115 Seja u ∈ OrbH (x), logo u = h′′ com h′′ ∈ H. Mas de (1) temos que x = h−1 ◦ h′ (y) e portanto u = h′′ ◦ h−1 ◦ h′ (y) com h′′ ◦ h−1 ◦ h′ ∈ H e consequentemente u ∈ OrbH (y). Com isto fica provado a inclus˜ao OrbH (x) ⊆ OrbH (y). A inclus˜ao rec´ıproca obt´em-se de modo an´alogo. (ii) Observe que x ∈ OrbH (x) pois e ∈ H e ex = x. Logo [ OrbH (x) ⊆ {1, 2, . . . , n}, {1, 2, . . . , n} ⊆ x∈Sn o que fornece a igualdade dos dois conjuntos. Observe que dado um elemento σ ∈ Sn , temos que σ ord(σ) = e, logo se x ∈ {1, 2, . . . , n}, o conjunto {m ∈ N | σ m (x) = x} ´e n˜ao vazio. ˜ 5.11. Seja r = min {m ∈ N | σ m (x) = x}. Temos que PROPOSIC ¸ AO (i) (ii) r | ord(σ). Orbhσi (x) = {x, σ(x), . . . , σ r−1(x)}. Demonstra¸c˜ao: (i) O conjunto I(x) = {m ∈ Z | σ m (x) = x} ´e obviamente um ideal de Z e cont´em o ideal I(ord(σ)) = {m ∈ Z | σ m = e}, de onde segue que r | ord(σ). (ii) Para provar a igualdade, basta provar a inclus˜ao Orbhσi (x) ⊆ {x, σ(x), . . . , σ r−1(x)}, uma vez que a outra inclus˜ao ´e ´obvia. Seja z ∈ Orbhσi (x), logo existe m ∈ Z tal que z = σ m ()x. Pelo algoritmo da divis˜ao de inteiros, podemos escrever: m = rq + t com 0 ≤ t ≤ r − 1, logo como σ r (x) = x, segue que σ qr (x) = x, e portanto z = σ m (x) = σ rq+t (x) = σ t (σ qr (x)) = σ t (x) ∈ {x, σ(x), . . . , σ r−1 (x)}. De acordo com as Proposi¸c˜oes 10 e 11 temos que, dada uma permuta¸c˜ao σ ∈ Sn , existem elementos x1 , . . . , xs ∈ {1, 2, . . . , n} tais que Orbhσi (xl ) ∩ Orbhσi (xk ) = Φ se 1 ≤ l, k ≤ s e l 6= k, ´ CAP´ITULO 5. O GRUPO SIMETRICO 116 e Orbhσi (xl ) = {xl , σ(xl ), . . . , σ ri −1 (xl )}, onde rl = min{m ∈ N|σ m (xl ) = xl }, 1 ≤ l ≤ s. Temos ent˜ao que o conjunto 1, 2, . . . , n est´a particionado pelos conjuntos Orbhσi (xl ), 1 ≤ l ≤ s.   1 2 3 4 5 6 ∈ S6 , ent˜ao Exemplo 1 : Se σ = 2 3 1 6 5 4 Orbhσi (1) = Orbhσi (2) = Orbhσi (3) = {1, 2, 3}, Orbhσi (4) = Orbhσi (6) = {4, 6} e Orbhσi (5) = {5}. ´ claro que O tipo de ´orbita mais simples poss´ıvel ´e Orbhσi (x) = {x}. E Orbhσi (x) = {x} ⇔ σ(x) = x, e, neste caso, temos que σ m (x) = x ∀ m ∈ Z. Neste caso dizemos que σ deixa fixo o elemento x, ou que x ´e um elemento fixo para σ. A permuta¸c˜ao mais simples do ponto de vista da estrutura das ´orbitas ´e aquela em que cada ´orbita se reduz a um elemento, isto ´e Orbhσi (x) = ´ ´obvio que esta permuta¸c˜ao ´e a identidade. O {x} ∀ x ∈ {1, 2, . . . , n}. E segundo tipo mais simples de ´orbita ´e Orbhσi (x) = {x, y}, x 6= y. Uma permuta¸c˜ao σ ∈ Sn tal que existem x, y ∈ {1, 2, . . . , n} com x 6= y tal que Orbhσi (x) = {x, y} e Orbhσi (z) = {z} ∀ z ∈ {1, 2, . . . , n} , ´e chamada de transposi¸c˜ao. Seja r ≥ 2, um r-ciclo ou um ciclo de comprimento r ´e uma permuta¸c˜ao com um ´orbita com r elementos e as demais com apenas um elemento. Uma transposi¸c˜ao ´e portanto um 2-ciclo. Um r-ciclo pode ser representado por (a − 1, a − 2, . . . , ar ), significando σ(a1 ) = a2 , . . . , σ(ar−1 ) = ar , σ(ar ) = a1 e σ(z) = z para todo z ∈ {1, 2, . . . , n} − {a1 , . . . , ar }. Exemplo 2 :    1 2 3 4 1 3 2 4 1 2 3 4 2 3 1 4 1 2 3 4 2 4 3 1    = (2 3), = (1 2 3),  1 2 3 4 2 3 4 1   1 2 3 4 2 1 4 3 = (1 3 4)(3 1 2). = (1 2 3 4),  = (1 2)(3 4), ´ ˜ 5.3. ESTRUTURA DE ORBITAS DE UMA PERMUTAC ¸ AO 117 Sejam σ ∈ Sn e x ∈ {1, 2, . . . , n}. Dizemos que σ move x ou que x ´e movido por σ se σ(x) 6= x. Usaremos a nota¸c˜ao M(σ) = {x | x ´e movido por σ}. Dizemos que duas permuta¸c˜oes σ e τ de Sn s˜ao disjuntas se M(σ)∩M(τ ) = Φ.     1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 s˜ao e Exemplo 3 : 1 2 3 5 4 6 2 3 1 4 5 6     1 2 3 1 2 3 n˜ao s˜ao disjuntas. e disjuntas, mas 1 3 2 2 1 3 LEMA 5.3. Sejam σ e τ duas permuta¸c˜oes disjuntas. Se σ(x) 6= x, ent˜ao τ (σ(x)) = σ()x. Demonstra¸c˜ao: Observe que se σ(x) 6= x, ent˜ao Orbhσi (x) ⊆ M(σ) e portanto σ(x) ∈ M(σ). Como M(σ) ∩ M(τ ) = Φ, segue que σ(x) ∈ / M(τ ) e portanto τ (σ(x)) = σ(x). ˜ 5.12. Duas permuta¸c˜oes disjuntas em Sn comutam. PROPOSIC ¸ AO Demonstra¸c˜ao: Seja x ∈ 1, 2, . . . , n, devemos provar que σ(τ (x)) = τ (σ(x)). Caso 1: τ move x. Trocando σ com τ no Lema 2 temos que σ(τ (x)) = τ (x). Por outro lado, sendo σ e τ disjuntas, temos que σ(x) = x, logo τ (σ(x)) = τ (x). Juntando estas rela¸c˜oes obtemos a igualdade σ(τ (x)) = τ (σ(x)). Caso 2: τ deixa x fixo. Como τ (x) = x, segue que σ(τ (x)) = x. Por outro lado, pelo Lema 2 temos que  σ(x), se σ move x τ (σ(x)) = τ (x) = σ(x), se σ deixa x fixo Juntando estas u ´ ltimas rala¸c˜oes obtemos que τ (σ(x)) = σ(τ (x)). Portanto σ e τ comutam. ´ CAP´ITULO 5. O GRUPO SIMETRICO 118 LEMA 5.4. Sejam σ e τ ciclos em Sn . Se existe x0 ∈ {1, 2, . . . , n} tal que (i) σ e τ movem x0 (ii) σ t x0 = τ t x0 ∀ t ∈ Z, ent˜ao σ = τ . Demonstra¸c˜ao: Pelas hip´oteses temos que Orbhσi (x0 ) = Orbhτ i (x0 ) 6= {x0 }. Seja x tal que x ∈ / Orbhσi (x0 )(= Orbhτ i (x0 )). Temos que σ(x) = τ (x) = x. Seja agora x tal que x ∈ Orbhσi (x0 )(= Orbhτ i (x0 )). Logo por (ii) existe l ∈ Z tal que x = σ l (x0 ) = τ l (x0 ) . Portanto, σ(x) = σ(σ l (x0 )) = σ l+1 (x0 ) = τ (τ l+1 (x0 )) = τ (x). Isto acaba de provar que σ(x) = τ (x) para todo x ∈ {1, 2, . . . n} e portanto que σ = τ . TEOREMA 5.3 (Cauchy). Toda permuta¸c˜ao diferente da identidade ´e produto de ciclos disjuntos. Esta fatora¸c˜ao ´e u ´nica a menos da ordem na qual os ciclos s˜ao escritos. Demonstra¸c˜ao: Existˆencia da decomposi¸c˜ao: Seja σ ∈ Sn . Escreva {1, 2, . . . , n} = Orbhσi (x1 ) ∪ · · · ∪ Orbhσi (xs ) ∪ Orbhσi (xs+1 1) ∪ · · · onde para cada σ ∈ Sn , Orbhσi (xl ) = {xl , σxl , . . . , σ rl −1 xl }, l = 1, 2, . . . , rl = min{m ∈ N | σ m xl = xl } e estas ´orbitas s˜ao duas a duas disjuntas. Suponha que os xi foram ordenados de modo que rl > 1 se l = 1, 2, . . . , s e rl = 1 se l = s + 1, . . .. Se definimos σ1 = (x1 σx1 · · · σ r1 −1 x1 ), . . . , σs = (xs σxs · · · σ rs −1 xs ), temos que σ1 , . . . , σs s˜ao ciclos disjuntos (veja Problema 3.2) e claramente σ = σ1 · · · σs . Unicidade: Suponha que σ = σ1 · · · σs = τ1 · · · τm , onde σ1 , . . . σs s˜ao dois a dois disjuntos, o mesmo ocorrendo com τ1 , . . . , τm . Seja x ∈ {1, 2, . . . , n} um elemento movido por σ (existe pois σ 6= e. Temos ent˜ao que algum σi e algum τj movem x, e como pela Proposi¸c˜ao 12 ciclos disjuntos ´ ˜ 5.3. ESTRUTURA DE ORBITAS DE UMA PERMUTAC ¸ AO 119 comutam, podemos supor que estes sejam σ1 e τ1 . Temos tamb´em pela hip´otese que os ciclos s˜ao disjuntos que, σ2 x = · · · = σs x = τ2 x = · · · = τm x = x, e portanto σx = σ1 x = τ1 x. Novamente pela comutatividade dos ciclos t envolvidos temos para todo z ∈ Z, que σ t = σ1t · · · σst = τ1t · · · τm e como t σ2t x = · · · = σst x = τ2t x = · · · = τm x = x, segue que σ t x = σ1t x = τ1t x, ∀t t ∈ Z, portanto pelo Lema 3 temos que σ1 = τ1 e consequentemente σ2 · · · σs = τ2 · · · τm . Repetindo o mesmo argumento, pode-se mostrar que σ2 = τ2 , etc. O resultado segue repetindo este argumento sucessivamente se tiv´essemos s = m. Mas este ´e efetivamente o caso pois caso contr´ario, por exemplo se m > s, ter´ıamos e = τs+1 · · · τm , o que ´e imposs´ıvel pois τs+1 , . . . , τm s˜ao ciclos disjuntos. ´ COROLARIO 5.4. Toda permuta¸c˜ao ´e um produto de transposi¸c˜oes. Demonstra¸c˜ao: Pelo teorema basta mostrar que todo ciclo ´e produto de transposi¸c˜oes. O resultado segue observando que (a1 a2 · · · ar ) = (a1 ar )(a1 ar−1 ) · · · (a1 a3 )(a1 a2 )   1 2 3 4 5 6 = (1 2 3)(4 5) = (1 3)(1 2)(4 5) Exemplo 4 : 2 3 1 5 4 6   1 2 3 4 5 6 = (1 3 4)(2 5 6) = (1 4)(1 3)(2 6)(2 5) 3 5 4 1 6 2 No Corol´ario acima n˜ao se pode exigir que as transposi¸c˜oes sejam disjuntas nem se pode garantir que a escrita seja u ´ nica. Por exemplo temos (1 2 3) = (2 1)(2 3) = (1 3)(1 2) = (3 2)(1 3) = (2 1)(1 3)(2 3)(1 2). Na pr´oxima se¸c˜ao determinaremos um invariante da escrita de uma permuta¸c˜ao como produto de transposi¸c˜oes. ´ CAP´ITULO 5. O GRUPO SIMETRICO 120 PROBLEMAS 5.3. 1. Sejam σ, τ ∈ Sn e t ∈ Z. (a) Mostre que M(σ t ) ⊆ M(σ). (b) Mostre que se σ e τ s˜ao disjuntas, ent˜ao σ t e τ s s˜ao disjuntas 2. Mostre que dois ciclos (a1 · · · ar ) e (b1 · · · bs ) s˜ao disjuntos se e somente se {a1 , . . . , ar } ∩ {b1 , . . . bs } = Φ. 3. Mostre que (a1 · · · ar )−1 = (ar · · · a1 ). 4. (a) Mostre (a1 · · · ar ) = (b1 · · · br ) se, e somente se, a1 , a2 , . . . , ar e b1 , b2 , . . . , br s˜ao iguais como permuta¸c˜oes circulares. (b) De quantos modos se pode escrever como r-ciclo o ciclo (a1 · · · ar )? (c) Quantos r-ciclos distintos existem em Sn ? 5. Decomponha as seguintes permuta¸c˜oes em produtos de ciclos disjuntos e em seguida as escreva como produto de transposi¸c˜oes       1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 , , , 2 1 3 5 4 3 2 4 5 1 5 4 1 2 3  1 2 3 4 5 4 3 2 5 1  ,  1 2 3 4 5 2 3 5 1 4  ,  1 2 3 4 5 5 4 3 2 1  . 6. Sejam σ uma permuta¸c˜ao e τ uma transposi¸c˜ao em Sn . Suponha que σ seja o produto de l ciclos disjuntos. Com quantos ciclos disjuntos se escreve o produto τ · σ ? (Sugest˜ ao: Fa¸ca uma an´ alise de casos segundo τ e σ sejam disjuntos, ou τ tenha apenas um elemento em comum com um ciclo de σ, ou dois elementos em comum, ou cada elemento de τ seja comum a um ciclo distinto de σ). 7. Uma permuta¸c˜ao σ ∈ Sn chama-se regular se ´e a identidade ou se n˜ao tem elementos fixos e ´e o produto de ciclos disjuntos de mesmo comprimento. Prove que σ ´e regular se, e somente se, σ ´e a potˆencia de um n-ciclo. (Sugest˜ ao: Note que se l = n r, tem-se que (i1 i2 · · · ir )(j1 j2 · · · jr ) · · · (m1 m2 · · · mr ) = = (i1 j1 · · · m1 i2 j2 · · · m2 · · · ir jr · · · mr )l , 121 5.4. O GRUPO ALTERNANTE onde o comprimento de cada uma das sequˆencias iα , jα , . . . , mα no segundo membro da igualdade acima vale l). 8. Seja σ = σ1 · · · σr a decomposi¸c˜ao de σ em ciclos disjuntos. Mostre que o(σ) = [o(σ1 ), . . . , o(σr )]. Ache a ordem das permuta¸c˜oes do Problema 3.5. 9. Seja σ ∈ Sn um n-ciclo e seja k ∈ Z. Mostre que (a) σ k = e se, e somente se, k ´e m´ ultiplo de n. (b) Se (k, n) = 1 ent˜ao σ k ´e um n-ciclo e o(σ k ) = n (c) Se d | n, pondo ld = n ent˜ao (i11 i12 · · · i1l )(i21 i22 · · · i2l ) · · · (id1 id2 · · · idl ) = = (i11 i21 · · · id1 i12 i22 · · · id2 · · · i1l i2l · · · idl )d , (d) Mostre que σ k ´e um produto de (n, k) ciclos disjuntos cada um de comprimento (n,nk) 10. Seja G um grupo e S ⊆ G um subconjunto qualquer. O subgrupo gerado por S ´e definido por \ hSi = H. H ´e subgrupo de G que cont´em S (a) Mostre que hSi = {a1 · · · ar | ai ∈ S ou a−1 i ∈ S}. (b) Mostre que Sn ´e gerado pelas transposi¸c˜oes (1 2), (2 3), . . . , (n − 1, n). (Sugest˜ao: (i j) = (i i + 1) · · · (j − 2 j − 1)(j − 1 j) · · · (i + 1 i + 2)(i i + 1) com 5.4 i < j. ) O Grupo Alternante Seja A um dom´ınio e sejam X1 , . . . , Xn indeterminadas sobre A. A a¸c˜ao de Sn sobre {1, 2, , . . . , n} que definimos na se¸c˜ao anteior induz uma a¸c˜ao de ´ CAP´ITULO 5. O GRUPO SIMETRICO 122 Sn sobre A[X1 , . . . , Xn ] como segue ρ : Sn × A[X1 , . . . , Xn ] −→ A[X1 , . . . , Xn ] (σ , p(X1 , . . . , Xn )) 7−→ σ(p(X1 , . . . , Xn )) = p(Xσ(1) , . . . , Xσ(n) ) Esta aplica¸c˜ao tem as seguintes propriedades: (i) e p(X1 , . . . , Xn ) = p(X1 , . . . , Xn ). (ii) σ1 (σ2 (p(X1 , . . . , Xn ))) = (σ1 ◦ σ2 )(p(X1 , . . . , Xn )). (iii) σ(p(X1 , . . . , Xn ) + q(X1 , . . . , Xn )) = = σ(p(X1 , . . . , Xn )) + σ(q(X1 , . . . , Xn )). (iv) σ(p(X1 , . . . , Xn ) · q(X1 , . . . , Xn )) = = σ(p(X1 , . . . , Xn )) · σ(q(X1 , . . . , Xn )). As duas primeiras propriedades s˜ao caracter´ısticas de a¸c˜oes de grupo sobre conjuntos, enquanto que as quatro propriedades caracterizam a a¸c˜ao de grupos sobre an´eis. Seja p(X1 , . . . , Xn ) ∈ A[X1 , . . . , Xn ]. Considere o subconjunto de Sn G(p(X1 , . . . , Xn )) = {σ ∈ Sn | σ(p(X1 , . . . , Xn )) = p(X1 , . . . Xn )} ⊆ Sn . ´ claro que este conjunto ´e finito e ´e fechado em rela¸c˜ao ao produto de Sn , E logo pela Proposi¸c˜ao 6, ´e um subgrupo de Sn , chamado de grupo de isotropia de p(X1 , . . . , Xn ). O grupo de isotropia de Y g(X1, . . . , Xn ) = (Xi − Xj ) ik 123 5.4. O GRUPO ALTERNANTE · Y (Xl − Xi ) · kl (Xi − Xl ) · p(X), onde p ´e um polinˆomio que n˜ao cont´em nem Xk nem Xl . Temos ent˜ao que Y Y Y τ g(X1 , . . . , Xn ) = (Xl − Xi ) · (Xi − Xl )(Xk − Xl ) · (Xk − Xi )· il i>k (Xi − Xk ) · p(X), Comparando as express˜oes acima obtemos que τ g(X1 , . . . , Xn ) = (−1)l−k−1 · (−1)l−k−1 g(X1, . . . , Xn ) = −g(X1 , . . . , Xn ). ´ COROLARIO 5.5. Se σ ´e uma permuta¸c˜ao qualquer de Sn , ent˜ao σg(X1 , . . . , Xn ) = ± g(X1, . . . , Xn ) Demonstra¸c˜ao: Isto decorre da Proposi¸c˜ao e do fato que toda permuta¸c˜ao ´e um produto de transposi¸c˜oes. Diremos que uma permuta¸c˜ao σ ∈ Sn ´e par se σg(X1 , . . . , Xn ) = g(X1 , . . . , Xn ) e ´e ´ımpar se σg(X1, . . . , Xn ) = − g(X1 , . . . , Xn ). Assim temos que toda transposi¸c˜ao ´e ´ımpar, a identidade ´e par, σ e σ −1 tˆem a mesma paridade, σ1 · σ2 ´e par se, e somente se, σ1 e σ2 tˆem a mesma paridade e An = G(g(X1, . . . , Xn )) = {σ ∈ Sn | σ ´e par }. ´ COROLARIO 5.6. Uma permuta¸c˜ao ´e par se e somente se ela ´e o produto de um n´ umero par de transposi¸c˜oes. Demonstra¸c˜ao: Seja σ ∈ Sn e suponha que σ = τ1 · · · τr onde cada τi ´e uma transposi¸c˜ao. Temos que σg(X1, . . . , Xn ) = (τ1 · · · τr )g(X1 , . . . , Xn ) = (−1)r g(X1, . . . , Xn ). Da´ı segue que σ ´e par se e somente se r ´e par. Assim, determinamos a propriedade que permanece invariante na escrita de uma permuta¸c˜ao como produto de transposi¸c˜oes. ´ CAP´ITULO 5. O GRUPO SIMETRICO 124 ´ COROLARIO 5.7. O n´ umero de transposi¸c˜oes em qualquer escrita de uma permuta¸c˜ao como produto de transposi¸c˜oes tem sempre a mesma paridade. Vamos agora determinar a ordem e o ´ındice de An em Sn . Se σ ∈ An , ent˜ao σ An = e An = An , portanto as permuta¸coes pares determinam todas a mesma classe lateral. Suponha agora que σ1 e σ2 sejam permuta¸c˜oes ´ımpares, logo σ1−1 ·σ2 ´e par e portanto σ1−1 ·σ2 ∈ An , conseq¨ uentemente, pela Proposi¸c˜ao 5 (i), σ2 An = σ1 An . Isto acarreta que An possui apenas duas classes laterais `a esquerda distintas, conseq¨ uentemente, [Sn : An ] = 2 e portanto, pelo Teorema de Lagrange temos, |Sn | = [Sn : An ] · |An | = 2 |An |. Finalmente temos que |An | = |S2n | = n!2 . 5.5 Fun¸c˜ oes Sim´ etricas Inversamente ao que fizemos acima, vamos associar a todo subgrupo de Sn um subconjunto de A[X1 , . . . , Xn ]. Seja H um subgrupo de Sn , o conjunto dos elementos p(X1 , . . . , Xn ) ∈ A[X1 , . . . , Xn ] que s˜ao invariantes pela a¸c˜ao dos elementos de H, isto ´e, σ(p(X1 , . . . , Xn )) = p(X1 , . . . , Xn ) ∀ σ ∈ H ´e um subanel de A[X1 , . . . , Xn (leitor verifique!) que chameremos de anel fixo de H em A[X1 , . . . , Xn e denotaremos por Fix[H, A[X1 , . . . , Xn ]] ou A[X1 , . . . , Xn ]H Um caso particular importante ´e quando H = Sn . Neste caso, temos que Fix[H, A[X1 , . . . , Xn ]] ´e o subanel de A[X1 , . . . , Xn ] dos polinˆomios que s˜ao invariantes pela a¸c˜ao de Sn . Estes polinˆomios s˜ao chamados de polinˆomios sim´etricos. Como exemplo de polinˆomios sim´etricos temos os chamados polinˆomios sim´etricos elementares que introduzimos na se¸c˜ao 1, ou seja X s1 (X1 , . . . , Xn ) = Xi = X 1 + · · · + X n i s2 (X1 , . . . , Xn ) = X i1 2, mostre que todo elemento de Sn ´e produto de um certo n´ umero de 3-ciclos. [Sugest˜ao: (i j)(j k) = (i j k), (i j)(k t) = (k j i)(k t i)]. ˜ EM SN 5.6. CONJUGAC ¸ AO 129 8. Mostre que se H e G s˜ao subgrupos de Sn tais que H ⊆ G, ent˜ao Fix[G] ⊆ Fix[H]. 9. (Newton - 1707): Seja p(X) = a0 + a1 X + · · · + an X n com n ra´ızes x1 , . . . , xn ∈ K. Damos a seguir o m´etodo de Newton para calcular as somas s(k) = xk1 +· · ·+xkn com k = 1, 2, 3, . . . em fun¸c˜ao dos coeficientes a0 , a1 , . . . , an sem resolver a equa¸c˜ao. (a) Mostre que p′ (X) = a1 +2a2 X +· · ·+nan Xn−1 = p(X) p(X) +· · ·+ X−x . X−x1 n (b) Usando o algoritmo da divis˜ao de p(X) por (X − a) para calcular a express˜ao no u ´ ltimo membro da igualdade acima e comparando isto com a express˜ao do meio, prove que an s(1) + an−1 = 0 an s + an−1 s(1) + 2an−2 = 0 an s(3) + an−1 s(2) + an−2 s(1) + 3an−3 = 0 .. . (2) an s(n−1) + an−1 s(n−2) + · · · + a3 s(2) + a2 s(1) + (n − 1)a1 = 0 Este sistema de equa¸c˜oes permite calcular de modo recorrente os valores de s(1) , s(2) , . . . , s(n−1) em fun¸c˜ao dos coeficientes do polinˆomio a0 , a1 , . . . , an . (c) Para obter as express˜oes de s(n+k) para k ≥ 0, observe que somando membro a membro as igualdades xk1 p(x1 ) = 0, xk2 p(x2 ) = 0, . . . , xkn p(xn ) = 0, tem-se que an s(n+k) + an−1 s(n+k−1) + · · · + a0 s(k) = 0. Ao variar k, obt´em-se um sistema de equa¸c˜oes que permite calcular de modo recorrente os valores de s(n) , s(n+1) , . . . (d) Aplique o m´etodo de Newton para calcular s2 , s3 , s4 , s5 e s6 no caso do polinˆomio X 5 + 7X 4 + 3X 3 − 2X 2 + X − 1 ∈ C[X]. 5.6 Conjuga¸ c˜ ao em Sn Defini¸c˜ao: Sejam σ, τ ∈ Sn . Dizemos que σ ´e uma conjugada de τ se existe µ ∈ Sn tal que µσµ−1 = τ . ´ f´acil verificar que E 130 ´ CAP´ITULO 5. O GRUPO SIMETRICO 1. σ ´e um conjugado de σ para todo σ ∈ Sn . 2. Se σ ´e um conjugado de τ ent˜ao τ ´e um conjugado de σ. 3. Se σ ´e um conjugado de τ e τ ´e um conjugado de µ ent˜ao σ ´e um conjugado de µ. Portanto a rela¸c˜ao de conjuga¸c˜ao ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em Sn . Queremos determinar um crit´erio que nos permita verificar facilmente se duas permuta¸c˜oes dadas s˜ao conjugadas uma da outra. Isto ser´a obtido ap´os alguns lemas. LEMA 5.5. Sejam σ = (i1 · · · ir ) um r-ciclo de Sn e µ ∈ Sn . Ent˜ao µσµ−1 ´e o r-ciclo (µ(i1 ) · · · µ(ir )). Demonstra¸c˜ao: Coloque τ = (µ(i1 ) · · · µ(ir )). Queremos verificar que µσµ−1(u) = τ (u) ∀ u ∈ {1, 2, . . . , n}. Seja ent˜ao dado u ∈ {1, 2, . . . , n}. Tome x ∈ {1, 2, . . . , n} tal que µ(x) = u. Temos que µσµ−1 (u) = µσ(x) τ (u) = τ µ(x). (5.7) (5.8) Temos dois casos a serem considerados: Caso 1: x ∈ / {i1 , . . . , ir }. Neste caso temos que µ(x) ∈ / {µ(i1 ), . . . , µ(ir )} e, portanto, σ(x) = x e τ (µ(x)) = µ(x). Logo, µσµ−1(u) = τ σ(x) = µ(x) = τ (µ(x)) = τ (u), e neste caso temos o que queremos. Caso 2: x ∈ {i1 , . . . , ir }. Neste caso, por (5), (6) e pela defini¸c˜ao de τ , temos τ (u) = τ (µ(x)) = µ(σ(x)) = µσµ−1 (u), o que tamb´em prova o resultado nesta situa¸c˜ao. Note que todo conjugado de um r-ciclo ´e tamb´em um r-ciclo.   1 2 3 4 5 e σ = (3 5 2). Ent˜ao Exemplo: Sejam µ = 3 1 4 5 2 µσµ−1 = (µ(1) µ(4) µ(5)) = (3 4 5). ˜ EM SN 5.6. CONJUGAC ¸ AO 131 LEMA 5.6. Sejam σ1 σ2 · · · σl a decomposi¸c˜ao de σ em produto de ciclos disjuntos e µ ∈ Sn . Ent˜ao (µσ1 µ−1 )(µσ2 µ−1 ) · · · (µσl µ−1 ) ´e a decomposi¸c˜ao de µσµ−1 em produto de ciclos disjuntos. Demonstra¸c˜ao: Pelo Lema 1, cada µσi µ−1 ´e um ciclo de comprimento ´ claro que vale a igualdade do enunciado, igual ao comprimento de σi . E portanto s´o falta mostrar que os ciclos µσi µ−1 s˜ao dois a dois disjuntos. De fato, se (i1 · · · ir ) e (j1 · · · is ) s˜ao ciclos disjuntos, ent˜ao µ(i1 · · · ir )µ−1 = (µ(i1 ) · · · µ(ir )) e µ(j1 · · · js )µ−1 = (µ(j1 ) · · · µ(js )) s˜ao ciclos disjuntos pois µ ´e uma bije¸c˜ao. Defini¸c˜ao: Duas permuta¸c˜oes σ e τ s˜ao ditas semelhantes se elas possuem a mesma estrutura de ´orbita. Isto ´e, σ e τ podem ser escritas na forma: σ = σ1 σ2 · · · σl com os σi sendo ciclos disjuntos e ord(σi ) = ri e τ = τ1 τ2 · · · τl com os τi sendo ciclos disjuntos e ord(τi ) = ri Exemplo: As permuta¸c˜oes   1 2 3 4 5 τ= 2 3 1 5 4 e σ=  1 2 3 4 5 2 1 4 5 3  s˜ao semelhantes pois τ (1 2 3)(4 5) e σ = (3 4 5)(1 2). J´a as permuta¸c˜oes     1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 τ= e σ= 2 1 4 5 3 2 1 3 5 4 n˜ao s˜ao semelhantes pois τ = (3 4 5)(1 2) e σ = (4 5)(1 2). ˜ 5.14. Duas permuta¸c˜oes s˜ao conjugadas se, e somente se, PROPOSIC ¸ AO s˜ao semelhantes. Demonstra¸c˜ao: Se duas permuta¸c˜oes s˜ao conjugadas elas s˜ao semelhantes devido ao Lema 2 e `a defini¸c˜ao de permuta¸c˜oes semelhantes. Reciprocamente, Suponha que as permuta¸c˜oes σ e τ sejam semelhantes, digamos, σ = (i1 · · · ir )(j1 · · · js ) · · · (k1 · · · kt ) e τ = (i′1 · · · i′r )(j1′ · · · js′ ) · · · (k1′ · · · kt′ ). Defina   i1 · · · ir j1 · · · js · · · k1 · · · kt µ= i′1 · · · i′r j1′ · · · js′ · · · k1′ · · · kt′ ´ CAP´ITULO 5. O GRUPO SIMETRICO 132 e para x ∈ / {i1 , . . . , ir , j1 , . . . , js , . . . , k1 , . . . , kt } defina µ(x) de forma que µ seja uma bije¸c˜ao. Agora ´e claro que µσµ−1 = σ. PROBLEMAS 5.5. 1. Determine todos os elementos de S3 conjugados de (1 2 3)(4 5). 2. Encontre µ que realiza a conjuga¸c˜ao entre σ = (1 2 3)(4 5) e τ = (1 3 4)(2 5). 3. Mostre que em S5 temos: 01 10 20 30 24 15 20 permuta¸c˜ao semelhante a e permuta¸c˜oes semelhantes a (1 2) permuta¸c˜oes semelhantes a (1 2 3) permuta¸c˜oes semelhantes a (1 2 3 4) permuta¸c˜oes semelhantes a (1 2 3 4 5) permuta¸c˜oes semelhantes a (1 2)(3 4) permuta¸c˜oes semelhantes a (1 2 3)(4 5) Cap´ıtulo 6 ´ O METODO DE LAGRANGE Nesta se¸c˜ao estudaremos o m´etodo de Lagrange para a resolu¸c˜ao das equa¸c˜oes de terceiro e quarto graus e a tentativa frustrada de resolver a equa¸c˜ao do quinto grau. O m´etodo se baseia num Teorema publicado por Lagrange em 1771 e que ser´a o resultado central desta se¸c˜ao. Antes de passarmos ao Teorema faremos alguns preparativos. Seja A um dom´ınio de integridade e k o seu corpo de fra¸c˜oes. Sejam X1 , . . . , Xn indeterminadas sobre k. A a¸c˜ao de Sn sobre A[X1 , . . . , Xn ] , conforme j´a foi visto, se estende a k(X1 , . . . , Xn ) (= corpo de fra¸c˜oes de A[X1 , . . . , Xn ]). Dado um subgrupo H de Sn , define-se Fix(H) = {ϕ ∈ k(X1 , . . . , Xn ) | σ(ϕ) = ϕ ∀ σ ∈ H}. ´ f´acil verificar que Fix(H) ´e um subcorpo de k(X1 , . . . , Xn ) chamado corpo E ´ claro que Fix[H] = {p ∈ A[X1 , . . . , Xn ] | σ(p) = p ∀ σ ∈ H} fixo de H. E est´a contido em Fix(H) . Temos a seguinte proposi¸c˜ao: ˜ 6.1. Fix(H) ´e o corpo de fra¸c˜oes de Fix[H]. PROPOSIC ¸ AO ´ claro que o corpo de fra¸c˜oes de Fix[H] est´a contido Demonstra¸c˜ao: E em Fix(H). Reciprocamente, seja ϕ ∈ Fix(H). Podemos escrever ϕ = pq com p, q ∈ k[X1 , . . . , Xn ], q 6= 0 e p e q primos entre si (lembre-se que   p p k[X1 , . . . , Xn ] ´e um D.F.U.). Se σ ∈ H, temos que σ(ϕ) = σ q = q , logo 133 134 ´ CAP´ITULO 6. O METODO DE LAGRANGE (σ(p)) · q = (σ(q)) · p. Sendo p e q primos entre si ´e f´acil verificar que σp e σq s˜ao primos entre si, logo da u ´ ltima igualdade acima segue que σp ´e associado a p e que σq ´e associado a q. Existe ent˜ao λσ ∈ k tal que σp = λσ p e σ(q) = λσ q. Sendo H finito, existe N ∈ N tal que σ N = e para todo σ ∈ H, N logo p = σ N p = λN σ p e portanto λσ = 1 para todo σ ∈ H. Tome a ∈ A um m´ ultiplo dos denominadores dos coeficientes de p e de q. N−1 Logo ap e aq est˜ao em A[X1 , . . . , Xn ]. Temos ent˜ao que ϕ = pq = ap·(aq) (aq N ) com ap · (aq)N −1 e (aq)N em A[X1 , . . . , Xn ] s˜ao tais que σap · (aq)N −1 = aλσ p · (aλσ q)N −1 = ap · (aq)N −1 e σ(aq)N = (aλσ )N = (aq)N . Portanto ϕ pertence ao corpo de fra¸c˜oes de Fix[H]. ´ COROLARIO 6.1. Fix(Sn ) = k(s1 , . . . , sn ). Dado ϕ ∈ k(X1 , . . . , Xn ), o conjunto G(ϕ) = {σ ∈ Sn | σ(ϕ) = ϕ} ´e um subgrupo de Sn . G(ϕ) ´e o grupo das permuta¸c˜oes de Sn que deixam ϕ fixo. A importˆancia da no¸c˜ao de classe lateral fica refor¸cada com o seguinte Lema. LEMA 6.1. Sejam ϕ ∈ k(X1 , . . . , Xn ) e σ, τ ∈ Sn . σ(ϕ) = τ (ϕ) se, e somente se, σG(ϕ) = τ G(ϕ). − Demonstra¸c˜ao: σ(ϕ) = τ (ϕ) se, e somente se, (τ 1 σ)(ϕ) = ϕ se, e somente se, τ −1 σ ∈ G(ϕ) se, e somente se, σG(ϕ) = τ G(ϕ). Se σ1 G(ϕ), . . . σl G(ϕ), onde l = [Sn : G(ϕ)], s˜ao as classes laterais distintas em Sn relativamente ao subgrupo G(ϕ), tem-se que ao variar σ em Sn , σ(ϕ) assume os valores σ1 (ϕ), . . . , σl (ϕ) dois a dois distintos. Estas nota¸c˜oes s˜ao mantidas no Lema seguinte LEMA 6.2. Sejam ϕ ∈ k(X1 , . . . , Xn ) e σ1 (ϕ), . . . , σl (ϕ) os valores de ϕ 135 pela a¸c˜ao de Sn . (i) Se σ ∈ Sn , ent˜ao {σσ1 (ϕ), . . . , σσl (ϕ)} = {σ1 (ϕ), . . . , σl (ϕ)}. (ii) Seja ψ ∈ Fix(G(ϕ)). Se σσi (ϕ) = σj (ϕ), ent˜ao σσi (ψ) = σj (ψ) (iii) Sejam f (X) ∈ k(X1 , . . . , Xn )[X] e H um subgrupo de Sn . Se σf (X) = f (X) ∀ σ ∈ H, ent˜ao f (X) ∈ Fix(H)[X] (iv) F (X) = (X − σ1 (ϕ))(X − σ2 (ϕ)) · · · (X − σl (ϕ)) ∈ Fix(Sn )[X] Demonstra¸c˜ao: (i) Seja σ ∈ Sn . Considere as classes laterais σσ1 G(ϕ), . . . , σσl G(ϕ). Estas s˜ao duas a duas distintas pois se σσi G(ϕ) = σσj G(ϕ) com i 6= j, ter´ıamos σj−1 σi = σj−1 σ −1 σσi = (σσj )−1 (σσi ) ∈ G(ϕ), logo σi G(ϕ) = σj G(ϕ), o que ´e uma contradi¸c˜ao. Portanto, σσ1 G(ϕ), . . . , σσl G(ϕ) s˜ao as classes laterais `a esquerda relativamente a G(ϕ). Pelo Lema 1, segue que os valores que ϕ assume sob a a¸c˜ao de Sn s˜ao precisamente σσ1 (ϕ), . . . , σσl (ϕ). (ii) Seja ψ ∈ Fix(G(ϕ)). Suponha que se tenha σσi (ϕ) = σj (ϕ), logo −1 σj σσi (ϕ) = ϕ e, portanto, σj−1 σσi ∈ G(ϕ). Como ψ ∈ Fix(G(ϕ)), segue que σj−1 σσi (ψ) = ψ e conseq¨ uentemente σσi (ψ) = σj (ψ). (iii) Seja f (X) = a0 + a1 X + · · · + am X m com ai ∈ k(X1 , . . . , Xn ) para i = 0, 1, . . . , m. Suponha que para todo σ ∈ Sn se tenha σf (X) = σa0 + (σa1 )X + · · · + (σam )X m = f (X). Identificando os coeficientes, obtemos a0 = σ(a0 ), . . . , am = σ(am ) para todo σ ∈ Sn . Logo ai ∈ Fix(H) ∀ i = 0, 1, . . . , m e conseq¨ uentemente f (X) ∈ Fix(H)[X]. (iv) Pelo item (iii) basta mostrar que σf (X) = f (X) para todo σ ∈ Sn . Seja σ ∈ Sn . Temos que σf (X) = (X −σσ1 (ϕ))(X −σσ2 (ϕ)) · · · (X −σσl (ϕ)), logo pelo item (i) segue que σf (X) = f (X). TEOREMA 6.1 (Lagrange). Seja k um corpo e X1 , . . . , Xn indeterminadas sobre k. Se ϕ ∈ k(X1 , . . . , Xn ) ent˜ao Fix(G(ϕ)) = Fix(Sn )(ϕ). ´ CAP´ITULO 6. O METODO DE LAGRANGE 136 ´ f´acil observar que Fix(Sn )(ϕ)) ⊆ Fix(G(ϕ)), pois se Demonstra¸c˜ao: E r 1 ϕ+···+ar ϕ ψ ∈ Fix(Sn )(ϕ) tem-se que ψ = ab00+a com os ai e bj em Fix(Sn ). +b1 ϕ+···+bs ϕs Portanto para todo σ ∈ G(ϕ), tem-se que σ(ψ) = a0 + a1 σ(ϕ) + · · · + ar (σ(ϕ))r a0 + a1 ϕ + · · · + ar ϕr = = ψ. b0 + b1 σ(ϕ) + · · · + bs (σ(ϕ))s b0 + b1 ϕ + · · · + bs ϕs Consequentemente ψ ∈ Fix(G(ϕ)). Reciprocamente, Seja ψ ∈ Fix(G(ϕ)). Para provar que ψ ∈ Fix(Sn )(ϕ), construiremos um polinˆomio f (X) ∈ Fix(Sn )[X] tal que ψ = f (ϕ). Vejamos a propriedade que caracteriza o polinˆomio f (X). Sejam σ1 G(ϕ), . . . σl G(ϕ) as classes laterais relativamente a G(ϕ). Se f (X) ∈ Fix(Sn )[X] e ψ = f (ϕ), ent˜ao σi (ψ) = σi (f (ϕ)) = f (σi (ϕ)), portanto f (X) ´e o polinˆomio que assume o valor σi (ψ) para x = σi (ϕ), onde ´ f´acil ent˜ao construir o polinˆomio f (X) que pela f´ormula de i = 1, . . . , l. E interpola¸c˜ao de Lagrange se escreve: f (X) = F (X) σ1 ψ (X−σ1 ϕ) F ′ (σ1 ϕ) + F (X) σ2 ψ (X−σ2 ϕ) F ′ (σ2 ϕ) +···+ F (X) σl ψ (X−σl ϕ) F ′ (σl ϕ) onde F (X) = (X − σ1 (ϕ))(X − σ2 (ϕ)) · · · (X − σl 1(ϕ)). Por constru¸c˜ao, f (X) ´e um polinˆomio tal que ψ = f (ψ) e se σ ∈ Sn , ent˜ao pelo Lema 2 (iv), σF (X) = F (X). Logo σf (X) = F (X) σσ1 ψ (X−σσ1 ϕ) F ′ (σσ1 ϕ) + F (X) σσ2 ψ (X−σσ2 ϕ) F ′ (σσ2 ϕ) +···+ F (X) σσl ψ (X−σσl ϕ) F ′ (σσl ϕ) Pelo Lema 2 (i) e (ii), segue que σf (X) = f (X) e por (iii) segue ent˜ao que f (X) ∈ Fix(Sn )[X]. A demonstra¸c˜ao acima nos mostra que ψ ∈ Fix(G(ϕ)) se escreve como polinˆomio em ϕ com coeficientes em Fix(Sn ) de grau menor do que l = [Sn : G(ϕ)] e nos fornece um modo pr´atico, por meio do polinˆomio de interpola¸c˜ao de Lagrange de calcular a express˜ao de ψ como polinˆomio em ϕ. A fim de desfrutar do Teorema de Lagrange com toda a sua for¸ca, estabelecemos o seguinte TEOREMA 6.2. Seja A um dom´ınio de integridade e X1 , . . . , Xn indeterminadas sobre A. Se H ´e um subgrupo de Sn , ent˜ao existe ϕ ∈ A[X1 , . . . , Xn ] tal que H = G(ϕ). 137 Demonstra¸c˜ao: Primeiramente vamos mostrar que existe um polinˆomio ξ ∈ A[X1 , . . . , Xn ] que assume n! valores distintos sob a a¸c˜ao de Sn . Observe que se A ´e infinito, basta tomar ξ = a1 X1 + a2 X2 + · · · + an Xn com os ai ∈ A e dois a dois distintos. Se A ´e finito, ´e poss´ıvel que n˜ao se disponha de suficientes elementos de A para formar somas nas condi¸c˜oes acima. Para compensar isto, precisaremos tomar ξ de grau maior. Sejam σ1 , σ2 , . . . , σr , σr+1 , . . . , σn! os elementos de Sn ordenados de modo que σ1 = e e H = {σ1 , σ2 , . . . , σr }. Para cada σi com i 6= j, seja ji um inteiro . Certamente, σi (ξ) 6= ξ movido por σi . Tomemos ξ = Xj2 + Xj23 + · · · + Xjn!−1 n! para todo σi ∈ Sn − {e}, logo σi (ξ) 6= σj (ξ) se σi 6= σj (verifique!). Considere agora o polinˆomio g(T ) = (T − σ1 (ξ))(T − σ2 (ξ)) · · · (T − σr (ξ)) ∈ A[X1 , . . . , Xn ][T ] Seja σ ∈ H. Tem-se que σg(T ) = (T − σσ1 (ξ))(T − σσ2 (ξ)) · · · (T − σσr (ξ)) = g(T ), onde esta u ´ ltima igualdade segue do fato que se σ ∈ H, σσi assume todos os valores de H ao variar σi em H. Portanto, g(T ) ∈ Fix[H][T ]. Por outro lado, σr+i g(T ) = (T − σr+i σ1 (ξ))(T − σr+i σ2 (ξ)) · · · (T − σr+i σr (ξ)), e como cada σr+i σj ∈ / H para j = 1, . . . , r, tem-se que {σr+i σ1 (ξ), σr+iσ2 (ξ), . . . , σr+i σr (ξ)} ∩ {σ1 (ξ), σ2 (ξ), . . . , σr (ξ)} = Φ. Portanto σr+i g(T ) 6= g(T ) para todo i = 1, . . . n! − r. Considere os polinˆomios n˜ao identicamente nulos Gi (T ) = g(T ) − σr+i g(T ) ∈ A[X1 , . . . , Xn ][T ] Sendo A[X1 , . . . , Xn ] um dom´ınio de integridade, cada Gi (T ) tem no m´aximo um n´ umero finito de ra´ızes em A[X1 , . . . , Xn ]. Como Fix[Sn ] ´e infinito, excluindo os eventuais zeros de algum dos polinˆomios Gi (T ), podemos escolher ψ ∈ Fix[Sn ] tal que Gi (ψ) 6= 0 para todo i = 1, . . . , n! − r. Logo g(ψ) ´e tal que σg(ψ) = g(ψ) para todo σ ∈ H e σg(ψ) = g(ψ) para todo σ ∈ / H. Consequentemente H = G(ϕ) onde ϕ = g(ψ). ´ CAP´ITULO 6. O METODO DE LAGRANGE 138 Se H = An , existe uma fun¸c˜ao ϕ padr˜ao tal que An = G(ϕ), a saber ϕ= Y (Xj − Xi ). i