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ALERTAS SOBRE TENSÕES DE CONTATO DE FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS E PROGRAMA DE CÁLCULO DE TENSÕES DE CONTATO
Prof. Élvio Mosci Piancastelli DEES - Escola de Engenharia da UFMG
1. ALERTAS SOBRE TENSÕES DE CONTATO DE FUNDAÇÕES DIRETAS Duas importantes alterações, relativas a fundações superficiais (sapatas e blocos de fundação), introduzidas pela versão de 2010 da NBR-6122, em relação à versão de 1996, têm conduzido, nos últimos tempos, a importantes erros em muitos, se não em quase todos, projetos deste tipo de fundação. Tais erros, por se tratarem, judicialmente, de grave infração à lei - pois Normas da ABNT têm força de lei - motivou-nos emitir os dois alertas a seguir descritos.
1.1. ALERTA PRIMEIRO
A grande maioria dos cálculos das tensões transmitidas ao solo pelas fundações superficiais (tensões de contato), principalmente quando solicitadas, simultaneamente, por cargas normais e momentos fletores, são executados por meio de programas computacionais. Todas as empresas especializadas em projetos industriais para as quais tenho prestado serviços de consultoria utilizam tais programas em seus projetos de fundações. Pude observar, entretanto, que significativa parte vem utilizando programas elaborados antes de 2010, ou seja, que consideram as premissas definidas pela norma ABNT NBR-6122 /1996 – “Projeto e execução de fundações”, hoje fora de vigor em função da . Com a entrada em vigor da versão de 2010 da mesma norma, foi alterado aspecto importante relativo às tensões de contato. Enquanto a versão de 1996 preconizava que, no mínimo, 50% da área da superfície de contato da fundação direta (área em contato com o solo) deveria estar comprimida, a versão de 2010 alterou este limite para 2/3 (≅ 67%). Pelo citado nos dois últimos parágrafos acima, pode-se deduzir que novos projetos estão sendo desenvolvidos sem a consideração do novo limite mínimo de área comprimida de fundações superficiais, ou seja, projetos que não estão obedecendo, na integra, a norma da ABNT relativa a projetos de fundações, que, é importante refrisar, tem força de lei perante a justiça.
1.1.1. EXPRESSÃO MATEMATICA DOS LIMITES DAS DUAS VERSÕES DA NBR-6122
Matematicamente, a garantia de que, no mínimo, 50% da superfície de contato das fundações diretas estaria comprimida, preconizada pela NBR-6112/1996, era expressa pela seguinte inequação:
2
2 ey ex 1 + ≤ 9 lx ly
Inequação 1
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Já para o novo limite preconizado pela NBR-6122/2010 a inequação que garante que, no mínimo 2/3 (≅ 67%) da superfície de contato de uma fundação rasa estará comprimida é: ex lx
2
ey 1 + ≤ 12,96 ly 2
Inequação 2
1.1.2. DIFERENÇA BÁSICA ENTRE OS LIMITES DAS DUAS NORMAS
Utilizando-se apenas o sinal de igualdade, a Inequação 1 se transforma na equação de uma elipse, cuja representação gráfica é mostrada na Figura 1.
Figura 1 - NBR-6122/1996 - Substituída pela de 2010
Analogamente, adotando-se apenas o sinal de igualdade, a Inequação 2 se transforma na equação de outra elipse, cuja representação gráfica é apresentada pela Figura 2.
Figura 2 - NBR-6122/2010 - Em Vigor Prof. Élvio Mosci Piancastelli - EE.UFMG - (31) 3409-1998 (31) 9907-4140
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Tanto na Figura 1, quanto na Figura 2, enquanto a carga normal cair no contorno ou no interior das elipses, ficarão atendidas as limitações relativas à área mínima comprimida (50% da antiga NBR-6122/1996 e 2/3 da nova NBR-6122/2010). Numa comparação entre as Figuras 1 e 2, verifica-se que a NBR-6122/2010 reduziu os valores máximos admitidos para as excentricidades da carga normal atuante em fundações superficiais, ou seja, reduziu os valores máximos para os momentos fletores atuantes.
1.1.3. PROGRAMAS COMPUTACIONAIS ELABORADAS À LUZ DA NBR-6122/1996
Apesar da alteração em pauta, os programas computacionais para cálculo de tensões de contato de sapatas desenvolvidos antes de 2010 podem, ainda, ser utilizados, desde que seja tomado o cuidado de se verificar, à parte, o atendimento da Inequação 2, ou seja: ex lx
2
ey 1 + ≤ l 12,96 y 2
Inequação 2
O ideal, todavia, visando evitar enganos, é utilizar programas novos que atendam ao novo limite da NBR-6122/2010. Outro ponto a se ressaltar com relação aos programas anteriores a 2010, refere-se ao fato deles fornecerem poucos dados de saída, normalmente, apenas a “tensão máxima de compressão” e o “alerta de se ter menos de 50% da sapata comprimida”. Tais dados, a nosso ver, são insuficientes para um bom projeto geométrico e, até mesmo, estrutural da fundação superficial, por não permitir a visualização da distribuição de tensões no solo sob toda a área da fundação e, o que é pior, impossibilitar a avaliação física expedita da ocorrência de resultados discrepantes, principalmente devidos a erros na entrada de dados. Portanto, o ideal é a elaboração de novos programas que contemplem, no mínimo, os seguintes dados de saída: ♦ Tensões nos quatro vértices da sapata ou bloco de fundação; ♦ Porcentagem da área comprimida da sapata ou bloco de fundação; ♦ Posição da reta correspondente à Linha Neutra (lugar geométrico dos pontos de tensão nula); ♦ Região de localização da carga normal. No item 2 deste trabalho, é apresentado programa para cálculo de tensões de contato contemplando as saídas acima recomendadas e considerando a NBR-6122/2010.
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1.2. ALERTA SEGUNDO
O segundo ponto a se chamar a atenção refere-se à modificação da condição de carregamento da fundação superficial em que se pode majorar (em até 30%) a tensão admissível do solo suporte, e que muitos projetistas de estruturas de fundações têm considerado de forma errada. A NBR 6122/1996 preconizava em seu item 5.5.3: “Quando forem levadas em consideração todas as combinações possíveis entre os diversos tipos de carregamento previstos pelas normas estruturais, inclusive a ação do vento, pode-se, na combinação mais desfavorável (grifos do autor), majorar em 30% os valores admissíveis das tensões no terreno e das cargas admissíveis em estacas e tubulões. Entretanto, estes valores admissíveis não podem ser ultrapassados, quando consideradas apenas as cargas permanentes e acidentais.” A NBR 6122/2010, de forma diferente, preconiza em seu item 6.3.1: “Quando a verificação das solicitações for feita considerando-se as ações nas quais o vento é a ação variável principal (grifo do autor), os valores de tensão admissível de sapatas e tubulões e cargas admissíveis em estacas podem ser majorados em até 30%. Neste caso deve ser feita a verificação estrutural do elemento de fundação.” Salienta-se que a modificação imposta pela NBR 6122/2010 é categórica, não deixando qualquer margem de defesa no caso da preconização ser desrespeitada.
2. PROGRAMA DE CÁLCULO DE TENSÕES DE CONTATO DE FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS SEGUNDO A NBR-6122/2010
Programa com as saídas recomendadas no item 1.1.3 e com a consideração da NBR-6122/2010 foi elaborado, sob a orientação do autor, pelo, então, aluno Dílio Rodrigues Júnior, em seu Trabalho Final de Graduação no Curso de Engenharia Civil da UFMG. Uma visão geral dos dados de entrada e de saída do programa é mostrada na Figura 3. O programa acima citado foi elaborado com base nas formulações [*] apresentadas no item 4 Tensões de Contato de Fundações Diretas Pela Teoria da Elasticidade – da apostila “Fundações Superficiais – Dimensionamentos Geométrico e Estrutural”, escrita pelo autor e publicada pelo Departamento de Engenharia de Estruturas da Escola de Engenharia da Universidade Federal de Minas Gerais - UFMG. [*] segundo Pires, Antônio Carlos Xavier “Dimensionamento Estrutural de Fundações”, UFRS, Escola de Engenharia, Depto. de Engenharia Civil, Porto Alegre, 1986, 79p.
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Figura 3 – Visão dos Dados de Entrada e Saída do programa EE-UFMG
O Item 4, acima citado, está transcrito no Anexo 1 deste trabalho.
O programa elaborado por Dílio, em Planilha Excel pode ser encontrado, no arquivo “tensoes-de-contato-Dilio-Elvio, em www.demc.ufmg.br/elvio.
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ANEXO - 1 (10 páginas)
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4. TENSÕES DE CONTATO DE FUNDAÇÕES SUPERFICIAIS RÍGIDAS PELA TEORIA DA ELASTICIDADE
Como citado, as tensões de contato de fundações superficiais rígidas podem ser calculadas utilizando-se as equações da resistência dos materiais, referentes às tensões normais e tensões normais na flexão. Condição necessária para a utilização daquelas equações é a de não haver deslocamentos relativos entre os pontos da superfície de contato, ou seja, que essa superfície permaneça plana (o que ocorre apenas nas fundações superficiais rígidas). A equação básica é: σ ( x, y ) =
onde:
My N Mx ± ⋅y± ⋅x A Ix Iy
(Equação 4-1)
σ( x ,y) = tensão de contato no ponto de coordenadas “x” e “y”;
N = carga normal aplicada no centro de gravidade da superfície de contato - compressão ( + ) ; A = área da base (base retangular ⇒ a x b - onde “a” é a maior dimensão); M x = momento fletor em relação ao eixo “x”, aplicado no centro de gravidade da superfície de contato; M y = momento fletor em relação ao eixo “y”, aplicado no centro de gravidade da superfície de contato; I x = momento de inércia da seção da base em relação ao eixo “x”; I y = momento de inércia da seção da base em relação ao eixo “y”; x ⋅ e ⋅ y = módulo das coordenadas do ponto estudado, em relação aos eixos
principais de inércia da seção da base. sinal ( + ou − ) = em função dos momentos provocarem, no ponto estudado, tensões de compressão ( + ) ou de tração ( − ) .
A Figura 4-1 ilustra o descrito. Nela, os pontos I, II, III e IV são aqueles onde as pressões são calculadas, visto serem locais onde ocorrerão os valores máximo e mínimo de tensões.
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Figura 4-1 - Parâmetros da Equação 4.1 Observa-se que os momentos “M x ” e “M y ”, podem também ser expressos em função da carga normal (N) com excentricidades “e y ” e “e x ”, respectivamente, conforme Figura 4-2.
Figura 4-2 - Momentos Expressos como Excentricidades da Carga Normal (N)
Antes de continuar com o estudo da equação 4-1, convém comentar sobre a origem das excentricidades da carga normal atuante na fundação, que são, como já visto, equivalentes a momentos fletores aplicados na fundação. As excentricidades podem ser classificadas como: • Excentricidades Geométricas: quando devidas a pilares, mesmo aqueles solicitados apenas por carga normal, cujo centro de carga não coincide com o centro de gravidade da superfície de contato (pilar excêntrico). • Excentricidades Estruturais:
quando o pilar, mesmo concêntrico com a superfície de contato, apresentar, pelo cálculo estrutural, reações horizontais ou reações momentos.
A Figura 4-3 ilustra os dois tipos de excentricidades. Prof. Élvio Mosci Piancastelli - EE.UFMG - (31) 3409-1998 (31) 9907-4140
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Figura 4-3 - Origem das Excentricidades da Carga Normal na Fundação
Voltando à equação 4-1, é importante observar que ela só pode ser aplicada quando as dimensões “l x ” e “l y ” e as excentricidades “e x ”e “e y ”, definidas na Figura 4-2, atenderem à inequação: ex lx
+
ey ly
≤
1 6
(Equação 4-2)
A restrição imposta pela equação 4-2 garante que, ao se calcular as tensões no solo pela equação 4-1, só sejam encontradas tensões de compressão, visto que é impossível existir tensões de tração entre a fundação e o solo. Em termos de geométricos, a equação 4-2 limita a excentricidade da carga normal ao paralelogramo indicado na Figura 4-4, denominado “núcleo central”.
Figura 4-4 - Campo de Validade da Equação 4-1 - Núcleo Central
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Em função da combinação de valores de carga normal e momentos, ou então, da posição da excentricidade dentro do núcleo central, podem ser obtidos, com a aplicação da equação 4-1, diagramas de tensões de contato com as configurações indicadas na Figura 4-5.
Figura 4-5 - Configurações do Diagrama de Tensões de Contato pela Equação 4-1
Quando as excentricidades não atenderem à equação 4-2, as tensões no solo devem ser calculadas conforme um dos dois subitens seguintes.
4.1. Excentricidade em Relação a Apenas um dos Eixos Principais de Inércia a) Quando e x ≠ 0 e e y = 0, o diagrama de tensões é o indicado na Figura 4-6.
Figura 4-6 - Diagrama de Tensões no Solo para e x ≠ 0 e e y = 0
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b) Quando e y ≠ 0 e e x = 0, o diagrama de tensões é o da Figura 4-7.
Figura 4-7 - Diagrama de Tensões no Solo para e y ≠ 0 e e x = 0 Observa-se que as limitações impostas para 3 e x ’ e 3 e y ’ (Figuras 4-6 e 4-7) garantem que a área comprimida da superfície de contato da sapata será maior do que a mínima permitida pela NBR-6122/2010. A NBR 6122/2010 (em vigor), passou a exigir que, no mínimo 2/3 área da sapata esteja comprimida (3e’ x ≥ 2l x /3 e 3e’ y ≥ 2l y /3). A exigência de que mais de 50% da área da sapata estivesse comprimida (3e’ x ≥ l x /2 e 3e’ y ≥ l y /2) era citada na versão de agosto/1984 da NBR-6122.
4.2. Excentricidades em Relação aos Dois Eixos Principais de Inércia A determinação do diagrama de pressões no solo é, neste caso, mais complexa. Quatro situações distintas podem ocorrer, dependendo da posição (região) onde se localizar a carga normal excêntrica. A Figura 4-8-A indica essas quatro regiões.
Para limite de 2/3 da sapata comprimida - NBR-6122/2010 (EM VIGOR) Prof. Élvio Mosci Piancastelli - EE.UFMG - (31) 3409-1998 (31) 9907-4140
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Curiosidade: Para limite de 50% da sapata comprimida (Válida Até 2010)
Figura 4-8 - As Quatro Regiões da Excentricidade Externas ao Núcleo Central
OBS.: caso a maior dimensão da sapata (“a”) esteja na direção do eixo “y”, trocar “a” por “b”, na Figura 4-8 e em todas as expressões a seguir.
Observa-se, pela Figura 4-8, que existem, além do núcleo central, quatro regiões 1, duas regiões 2 e duas regiões 3. Para cada região, os diagramas de tensão no solo podem ser obtidos como a seguir descrito (Pires, A.C.X. - UFRS, 1986, 79p).
4.2.1. Região 1 A Figura 4-9 mostra a posição da linha neutra (lugar geométrico dos pontos de tensão nula) para os casos em que a excentricidade da carga normal cai nessa região.
Figura 4-9 - Região 1 - Posição da Linha Neutra Prof. Élvio Mosci Piancastelli - EE.UFMG - (31) 3409-1998 (31) 9907-4140
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onde:
a a a2 + − 12 t= 2 12 e x ex
(Equação 4-3), e
b b b2 s= + − 12 2 12 e y ey
(Equação 4-4)
A tensão máxima é dada pela expressão: σ max =
onde:
N ⋅ η ⋅ [12 − 3,9(6η − 1)(1 − 2 η)(2,3 − 2 η)] a⋅b
(Equação 4-5)
ey e η= x + a b
As tensões nos pontos I e III podem ser obtidas através das relações: σ I σ III σ max = = d I d III d max
(Equação 4-6)
Obs.: deve-se lembrar de que as tensões no solo são proporcionais às distâncias dos pontos considerados à linha neutra (LN). As distâncias, d I , d III e d máx (ver Figura 4-9) podem ser obtidas, com suficiente precisão, através de desenho em escala.
Se desejado, maior precisão pode ser obtida pela geometria analítica, através das seguintes expressões: Equação da reta (a’x + b’y + c’ = 0) que passa por dois pontos P 1 (x 1 , y1 ) e P 2 (x 2 , y2 ): y − y1 y − y1 = 2 ( x − x1) x 2 − x1
(Equação 4-7)
Obs.: os pontos P 1 e P 2 a serem considerados, correspondem, na Figura 4-9, às extremidades do segmento que define a linha neutra, ou seja, P 1 (-a/2 ; -s) e P 2 (t ;b/2). Prof. Élvio Mosci Piancastelli - EE.UFMG - (31) 3409-1998 (31) 9907-4140
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Distância de um ponto, P (x p , yp ), à reta a’x + b’y + c’ = 0 :
d=
a ,x p + b ,y p + c ,
(a ) + ( b ) , 2
, 2
(Equação 4-8)
Obs.: O ponto P corresponde ao ponto no qual se quer calcular a tensão no solo.
4.2.2. Região 2 A Figura 4-10 mostra a posição da linha neutra para os casos em que a excentricidade da carga normal cai nessa região.
Figura 4-10 - Região 2 - Posição da Linha Neutra
onde:
a a a2 t= + − 12 2 12 e x ex
(Equação 4-3)
3 b − 2 ey α = tg −1 ⋅ 2 t + ex
(Equação 4.9)
A tensão máxima é dada pela expressão: σ max =
12 N a + 2t ⋅ 2 a ⋅ tgα a + 12 t 2
(Equação 4-10)
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A tensão no ponto I pode ser obtida através da relação: σ I σ max = dI d max
(Equação 4-11)
4.2.3. Região 3 A Figura 4-11 mostra a posição da linha neutra para os casos em que a excentricidade da carga normal cai nessa região.
Figura 4-11 - Região 3 - Posição da Linha Neutra
onde:
b b b2 + − 12 s= 2 12 e y ey
(Equação 4-4)
3 a − 2 ex β = tg −1 ⋅ 2 s + ey
(Equação 4-12)
A tensão máxima é dada pela expressão: σ max =
12 N b + 2s ⋅ 2 b ⋅ tgβ b + 12 s2
(Equação 4-13)
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A tensão no ponto III pode ser obtida através da relação: σ III σ max = d III d max
(Equação 4-14)
4.2.4. Região 4 Com a excentricidade nesta região, o cálculo das tensões conduziria a um diagrama de tensões com área comprimida inferior a 2/3 da área total da fundação, o que não é permitido pela NBR-6122/2010. Portanto, quando a excentricidade cair nessa região, as dimensões da fundação devem ser alteradas de forma que a carga normal excêntrica fique nas regiões 1, 2 ou 3, claro, no caso de ser inviável que ela seja posicionada dentro do núcleo central. Para que seja garantido que a carga normal excêntrica não cairá na região 4 (segundo a NBR-6122/2010), basta que as excentricidades “e x ” e “e y ” atendam à inequação:
ex lx
2
ey 1 + ≤ l 12,96 y 2
(Equação 4-15)
Como curiosidade, comenta-se que para o limite de 50% de área comprimida, preconizado na NBR-6122/1984, a equação 4-15 se transformaria em: 2
ey ex 1 + ≤ 9 lx ly 2
(Equação 4-16)
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