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PRÓ-CONCURSO DE PERNAMBUCO
Apostila de Raciocínio Lógico
Profº Weber Campos
[email protected] [email protected]
Pró-Concurso de Pernambuco Rua Corredor do Bispo, 85 – Boa Vista – Recife-PE
Fones: 3222.6231 / 3231.1064 www.proconcursope.com.br
Pró-Concurso de Pernambuco
Programas de Raciocínio Lógico de Concursos Públicos CONCURSOS DA FCC Æ TRT/PE 2006 Esta prova visa a avaliar a habilidade do candidato em entender a estrutura lógica de relações arbitrárias entre pessoas, lugares, objetos ou eventos fictícios; deduzir novas informações das relações fornecidas e avaliar as condições usadas para estabelecer a estrutura daquelas relações. Os estímulos visuais utilizados na prova, constituídos de elementos conhecidos e significativos, visam a analisar as habilidades dos candidatos para compreender e elaborar a lógica de uma situação, utilizando as funções intelectuais: raciocínio verbal, raciocínio matemático, raciocínio seqüencial, orientação espacial e temporal, formação de conceitos, discriminação de elementos. Em síntese, as questões da prova destinam-se a medir a capacidade de compreender o processo lógico que, a partir de um conjunto de hipóteses, conduz, de forma válida, a conclusões determinadas. Æ MPE-PE 2006 Æ ICMS-SP 2006 Æ TRT 24ª Região 2006 Æ BACEN 2006 Æ TCE SP 2005 Æ TRT 23ª Região 2004 Æ TRT 9ª Região 2004 Æ TRF 4ª Região 2004
CONCURSOS DO CESPE
CONCURSOS DA ESAF
TRT Maranhão – 2005 1. Estruturas lógicas. 2. Lógica de argumentação. 3. Diagramas lógicos. 4. Álgebra linear. 5. Probabilidades. 6. Combinações, Arranjos e Permutações. 7. Geometria básica
AFC/CGU – 2006 1. Estruturas lógicas. 2. Lógica de argumentação. 3. Diagramas lógicos. Auditor Fiscal MG – 2005 e MPU – 2004 1. Estruturas lógicas. 2. Lógica de argumentação. 3. Diagramas lógicos. 4. Álgebra linear. 5. Probabilidades. 6. Combinações, Arranjos e Permutações.
ATIA – TCE-PE – 2004 TCE Espírito Santo – 2004 Tribunal de Contas da União – 2004 1. Compreensão de estruturas lógicas. 2. Lógica de argumentação: analogias, inferências, deduções e conclusões. 3. Diagramas lógicos. 4. Fundamentos de matemática. 5. Princípios de contagem e probabilidade.
AFC STN – 2005 Fiscal do Trabalho – 2003 Analista de Plan. e Orçamento – MPOG – 2003 Analista de Controle Externo – TCU – 2002 1. Estruturas Lógicas. 2. Lógica de Argumentação. 3. Diagramas Lógicos. 4. Álgebra Linear. 5. Probabilidades. 6. Combinações, Arranjos e Permutação. 7. Geometria Básica. 8. Trigonometria.
Agente, Escrivão, Delegado e Perito – PF – 2004 1. Compreensão de estruturas lógicas. 2. Lógica de argumentação: analogias, inferências, deduções e conclusões. 3. Diagramas lógicos. 4. Princípios de contagem e probabilidade
Fiscal do Recife – 2003 1. Estruturas lógicas. 2. Lógica de argumentação. 3. Diagramas lógicos.
Raciocínio Lógico
Papiloscopista da Polícia Federal – 2004 1. Compreensão de estruturas lógicas. 2. Lógica de argumentação: analogias, inferências, deduções e conclusões. 3. Fundamentos de Matemática.
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Pró-Concurso de Pernambuco ÍNDICE CONCEITOS INICIAIS - Proposição: Simples e Composta - Conectivos Lógicos Conjunção: “A e B” Disjunção: “A ou B” Disjunção Exclusiva: “ou A ou B” Condicional: “Se A então B” Bicondicional: “A se e somente se B” Negação: “não A” - Representação das proposições em linguagem simbólica - Representação das proposições em linguagem idiomática - Determinação do Valor Lógico de uma Proposição Composta - Construção da Tabela-Verdade para uma Proposição Composta - Tautologia - Contradição - Contingência - Negação de Proposições Compostas - Proposições Logicamente Equivalentes DIAGRAMAS LÓGICOS - Proposições Categóricas - Representação das Proposições Categóricas por Diagramas de Conjuntos ARGUMENTO - Argumento Válido - Argumento Inválido - Métodos para testar a validade dos argumentos INTRODUÇÃO A TEORIA DOS CONJUNTOS INTRODUÇÃO A ANÁLISE COMBINATÓRIA (Princípio Fundamental da Contagem) EXERCÍCIOS PROPOSTOS - CONCEITOS DE LÓGICA, CONECTIVOS LÓGICOS E TABELAS-VERDADE - QUESTÕES QUE ENVOLVEM NEGAÇÃO - EQUIVALÊNCIA ENTRE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS - DIAGRAMAS LÓGICOS - ARGUMENTO - QUESTÕES DE ASSOCIAÇÃO - MENTIRAS E VERDADES - SEQUÊNCIAS LÓGICAS DE LETRAS - SEQUÊNCIAS LÓGICAS DE PALAVRAS - SEQUÊNCIAS LÓGICAS DE NÚMEROS - SEQUÊNCIAS LÓGICAS DE FIGURAS - QUESTÕES LÓGICAS QUE ENVOLVEM DADOS - QUESTÕES LÓGICAS QUE ENVOLVEM PALITOS - QUESTÕES LÓGICAS COM FIGURAS - QUESTÕES DE CONJUNTOS - PROBLEMAS LÓGICOS - PROBLEMAS ARITMÉTICOS - PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM - QUESTÕES LÓGICAS DE INTERPRETAÇÃO DE TEXTO GABARITO
Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco CONCEITOS INICIAIS # PROPOSIÇÃO Denomina-se proposição a toda sentença, expressa em palavras ou símbolos, que exprima um juízo ao qual se possa atribuir, dentro de certo contexto, somente um de dois valores lógicos possíveis: verdadeiro ou falso. São exemplos de proposições as seguintes sentenças declarativas: O número 6 é par. Existe um número ímpar menor que dois. Todos os homens são mortais. Nenhum porco espinho sabe ler. O cão late e o gato mia. 2 + 8 = 10 5>7 A Terra é o maior planeta do Sistema Solar. A polarização horizontal é indicada para ondas terrestres. Míriam quer um sapatinho novo ou uma boneca. Não são proposições as sentenças como as interrogativas, as exclamativas e as imperativas: Qual é o seu nome? Caramba! Preste atenção ao sinal. # PROPOSIÇÃO SIMPLES Uma proposição é dita proposição simples quando não contém qualquer outra proposição como sua componente. Não se pode subdividi-Ia em partes menores tais que alguma delas seja uma nova proposição. Exemplo: Fabíola foi ao cinema. Luciana é brasileira. # PROPOSIÇÃO COMPOSTA Uma proposição que contenha qualquer outra como sua parte componente é dita proposição composta. Isso quer dizer que uma proposição é composta quando se pode extrair como parte dela, uma nova proposição. Exemplo: A sentença "Cínthia é irmã de Maurício e de Júlio" é uma proposição composta pois é possível retirar-se dela duas outras proposições: "Cínthia é irmã de Maurício" e "Cínthia é irmã de Júlio". # CONECTIVOS LÓGICOS Existem alguns termos e expressões que estão freqüentemente presentes nas proposições compostas, tais como "não", "e", "ou", "se ... então" e "se e somente se" aos quais denominamos conectivos lógicos. Os conectivos lógicos agem sobre as proposições a que estão ligados de modo a criar novas proposições. Exemplo: A sentença "Se x não é maior que y, então x é igual a y ou x é menor que y" é uma proposição composta na qual se pode observar alguns conectivos lógicos ("não", "se ... então" e "ou") que estão agindo sobre as proposições simples "x é maior que y", "x é igual a y" e "x é menor que y". O valor lógico (verdadeiro ou falso) de uma proposição composta depende somente do valor lógico de cada uma de suas proposições componentes e da forma como estas sejam ligadas pelos conectivos lógicos utilizados. As proposições compostas podem receber denominações especiais, conforme o conectivo lógico usado para ligar as proposições componentes, como veremos a seguir. Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco São apresentados no quadro abaixo os conectivos lógicos, bem como seus significados e a estrutura lógica generalizada da proposição composta respectiva. Conectivos (linguagem idiomática)
Conectivos (Símbolo)
Estrutura lógica
Exemplo
e
∧
Conjunção: A ∧ B
João é ator e alagoano.
ou
∨
Disjunção: A ∨ B
Irei ao cinema ou à praia.
se ... então
→
Condicional: A → B
Se chove então faz frio.
se e somente se
↔
Bicondicional: A ↔ B
Vivo se e somente se sou feliz.
não
~
Negação: ~A
O número 2 não é ímpar
# CONJUNÇÃO: “A e B” Denominamos conjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo "e". A conjunção “A e B” pode ser representada simbolicamente como: A∧B Exemplo: Dadas as proposições simples: A: André é pianista. B: André é brasileiro. A conjunção “A e B” pode ser escrita como: André é pianista e brasileiro. Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a conjunção " A e B " corresponderá à interseção do conjunto A com o conjunto B, A∩B
A
B
Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da conjunção "A e B" para cada um dos valores que A e B podem assumir. A
B
AeB
V V F F
V F V F
V F F F
A conjunção "A e B" é verdadeira somente quando A é verdadeira e B é também verdadeira. Para que a conjunção "A e B" seja falsa basta que pelo menos uma de suas proposições componentes seja falsa.
# DISJUNÇÃO: “A ou B” Denominamos disjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo "ou". Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco A conjunção “A ou B” pode ser representada simbolicamente como: A∨B Exemplo: Dadas as proposições simples: A: Alberto fala espanhol. B: Alberto é universitário. A disjunção "A ou B" pode ser escrita como: Alberto fala espanhol ou é universitário. Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a disjunção "A ou B" corresponderá à união do conjunto A com o conjunto B, A∪B
A
B
Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da disjunção "A ou B" para cada um dos valores que A e B podem assumir. A
B
A ou B
V V F F
V F V F
V V V F
A disjunção "A ou B" é falsa somente quando A é falsa e B é também falsa. Para que a disjunção "A ou B" seja verdadeira basta que pelo menos uma de suas proposições componentes seja verdadeira. # DISJUNÇÃO EXCLUSIVA: “ou A ou B” Há um terceiro tipo de proposição composta, bem parecido com a disjunção que acabamos que ver, mas com uma pequena diferença. Comparemos as duas sentenças abaixo: 1ª) “Te darei uma bola ou te darei uma bicicleta” 2ª) “ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta” A diferença é sutil, mas importante. Reparemos que na primeira sentença vê-se facilmente que se a primeira parte for verdade (te darei uma bola), isso não impedirá que a segunda parte (te darei uma bicicleta) também o seja. Já na segunda proposição, se for verdade que “te darei uma bola”, então teremos que não será dada a bicicleta. E vice-versa, ou seja, se for verdade que “te darei uma bicicleta”, então teremos que não será dada a bola. Ou seja, a segunda estrutura apresenta duas situações mutuamente excludentes, de sorte que apenas uma delas pode ser verdadeira, e a restante será necessariamente falsa. Ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, verdadeiras; ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, falsas. Na segunda sentença acima, este tipo de construção é uma disjunção exclusiva, pela presença dos dois conectivos “ou”, que determina que uma sentença é necessariamente verdadeira, e a outra, necessariamente falsa. Daí, o nome completo desta proposição composta é disjunção exclusiva. E como fica a sua tabela-verdade? Ora, uma disjunção exclusiva só será verdadeira se houver uma das sentenças verdadeira e a outra falsa. Nos demais casos, a disjunção exclusiva será falsa. O símbolo que designa a disjunção exclusiva é o “v”. E a tabela-verdade será, pois, a seguinte: Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco A
B
ou A ou B
V V F F
V F V F
F V V F
Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos por meio de um diagrama, a disjunção exclusiva "ou p ou q" corresponderá à união do conjunto p com o conjunto q, excluindo apenas a parte relativa à intersecção.
p
q
# CONDICIONAL: “Se A então B” Denominamos condicional a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo "Se ... então" ou por uma de suas formas equivalentes. A proposição condicional "Se A, então B" pode ser representada simbolicamente como: A→B Exemplo: Dadas as proposições simples: A: José é alagoano. B: José é brasileiro. A condicional "Se A, então B" pode ser escrita como: A → B: Se José é alagoano, então José é brasileiro. As seguintes expressões podem se empregar como equivalentes de "Se A, então B": Se A, B. B, se A. Quando A, B. A implica B.
Todo A é B. A é condição suficiente para B. B é condição necessária para A. A somente se B.
Exemplo: Dada a condicional “Se chove, então faz frio”, são expressões equivalentes: Se chove, faz frio. Faz frio, se chove. Quando chove, faz frio. Chover implica fazer frio.
Toda vez que chove, faz frio. Chover é condição suficiente para fazer frio. Fazer frio é condição necessária para chover. Chove somente se faz frio.
Exemplo: Marque certo (C) ou errado (E). Se nasci em Recife, então sou pernambucano. Daí: ( ) Nascer em Recife é condição suficiente para ser pernambucano. ( ) Nascer em Recife é condição necessária para ser pernambucano. ( ) Ser pernambucano é condição suficiente para nascer em Recife. ( ) Ser pernambucano é condição necessária para nascer em Recife. ( ) Nasci em Recife somente se sou pernambucano. ( ) Sou pernambucano somente se nasci em Recife. ( ) Nascer em Recife é condição suficiente e necessária para ser pernambucano. Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a proposição condicional "Se A então B" corresponderá à inclusão do conjunto A no conjunto B (A está contido em B): A⊂B
B A Raciocínio Lógico
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Na tabela-verdade apresentada a seguir podemos observar os resultados da proposição condicional "Se A então B" para cada um dos valores que A e B podem assumir. A B A→B V V F F
V F V F
V F V V
Uma condicional "Se A então B" é falsa somente quando a condição A é verdadeira e a conclusão B é falsa, sendo verdadeira em todos os outros casos. Isto significa que numa proposição condicional, a única situação que não pode ocorrer é uma condição verdadeira implicar uma conclusão falsa. Alguns dos resultados da tabela anterior podem parecer absurdos à primeira vista. A fim de esclarecer o significado de cada um dos resultados possíveis numa sentença condicional, considere a seguinte situação: Numa tarde de domingo um casal está sentado no sofá da sala de seu apartamento assistindo a um filme quando a campainha toca. A mulher, que se diz sensitiva, fala: "Se for uma mulher, então ela estará trazendo um pacote nas mãos". O marido que não costuma dar muita importância às previsões da mulher resmunga: "Vamos ver se você está mesmo certa!" e vai abrir a porta. Em que conjunto de situações poderemos dizer que a previsão da mulher estava errada? Há quatro hipóteses a serem analisadas: 1ª - Quem tocou a campainha era realmente uma mulher que estava mesmo trazendo um pacote nas mãos. Nesse casos teremos que reconhecer que a previsão da mulher era correta (este caso corresponde ao que está descrito na primeira linha da tabela-verdade apresentada para a condicional). 2ª - Quem tocou a campainha era realmente uma mulher, porém ela não estava trazendo um pacote nas mãos. Nesse caso, podemos dizer que a previsão da mulher mostrou-se errada (este caso corresponde ao que está descrito na segunda linha da tabela-verdade apresentada para a condicional). 3ª - Quem tocou a campainha não era uma mulher embora estivesse mesmo trazendo um pacote nas mãos. Nesse caso, não podemos dizer que a previsão da mulher estava errada pois ela não disse que somente uma mulher poderia estar trazendo um pacote nas mãos. Acontece que toda proposição deve ser ou verdadeira ou falsa e esta não é falsa. Então é verdadeira! (este caso corresponde ao que está descrito na terceira linha da tabela-verdade apresentada para a condicional). 4ª - Quem tocou a campainha não era uma mulher e nem mesmo estava trazendo um pacote nas mãos. Nesse caso, também não podemos dizer que a previsão da mulher estava errada pois a previsão de que a pessoa traria um pacote nas mãos estava condicionada ao fato de que a pessoa fosse uma mulher. Não sendo uma mulher, não teria necessariamente que trazer um pacote nas mãos. Novamente, a proposição não é falsa. Logo é verdadeira. (este caso corresponde ao que está descrito na quarta linha da tabela-verdade apresentada para a condicional). IMPORTANTE: Usualmente, quando empregarmos uma sentença do tipo "se A então B" esperamos que exista entre A e B alguma forma de relacionamento ou que guardem entre si alguma relação de causa e efeito. No entanto, para a Lógica, não importa se existe ou não alguma relação entre A e B. Veja abaixo as seguintes proposições que são consideradas verdadeiras. "Se um quadrado tem sete lados então fala-se o português no Brasil". "Se um número inteiro termina com o algarismo 8 então este número é par". “Se um triângulo tem três lados então o número sete é primo" . # BICONDICIONAL: “A se e somente se B” Denominamos bicondicional a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo "se e somente se". Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco A proposição bicondicional "A se e somente se B" pode ser representada simbolicamente como: A↔B . Exemplo: Dadas as proposições simples: A: Mauro é criativo. B: Mauro é brasileiro. A proposição bicondicional "A se e somente se B" pode ser escrita como: A ↔ B: Mauro é criativo se e somente se Mauro é brasileiro. Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a proposição bicondicional "A se e somente se B" corresponderá à igualdade dos conjuntos A e B.
A=B
Uma proposição bicondicional "A se e somente se B" equivale à proposição composta: “se A então B e se B então A”, ou seja, “ A ↔ B “ é a mesma coisa que “ (A → B) e (B → A) “ Podem-se empregar também como equivalentes de "A se e somente se B" as seguintes expressões: A se e só se B. Se A então B e se B então A. A somente se B e B somente se A. A é condição suficiente para B e B é condição suficiente para A. B é condição necessária para A e A é condição necessária para B. Todo A é B e todo B é A. Todo A é B e reciprocamente. Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da proposição bicondicional "A se e somente se B" para cada um dos valores que A e B podem assumir. A
B
A↔B
V V F F
V F V F
V F F V
A proposição bicondicional "A se e somente se B" é verdadeira somente quando A e B têm o mesmo valor lógico (ambas são verdadeiras ou ambas são falsas), sendo falsa quando A e B têm valores lógicos contrários.
# NEGAÇÃO: “não A” Dada uma proposição qualquer A denominamos negação de A à proposição composta que se obtém a partir da proposição A acrescida do conectivo lógico "não" ou de outro equivalente. A negação "não A" pode ser representada simbolicamente como: ~A Daí as seguintes frases são equivalentes entre si. Lógica não é fácil. Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco Não é verdade que Lógica é fácil. É falso que Lógica é fácil. Uma proposição A e sua negação "não A" terão sempre valores lógicos opostos. Na tabela-verdade, apresentada a seguir, podemos observar os resultados da negação "não A" para cada um dos valores que A pode assumir. A não A V F
F V
Como se pode observar na tabela-verdade, uma proposição qualquer e sua negação nunca poderão ser simultaneamente verdadeiras ou simultaneamente falsas. Se a proposição A for representada como conjunto através de um diagrama, a negação "não A" corresponderá ao conjunto complementar de A (tudo que está fora de A), simbolizado por Ac .
A
AC
RESUMO: No quadro abaixo, revemos para cada estrutura lógica, as condições em que ela é verdadeira e em que é falsa. Estrutura lógica
É verdade quando
É falso quando
A∧B
A e B são, ambos, verdade
um dos dois for falso
A∨B
um dos dois for verdade
A e B, ambos, são falsos
A→ B
nos demais casos
A é verdade e B é falso
A↔ B
A e B tiverem valores lógicos iguais
A e B tiverem valores lógicos diferentes
~A
A é falso
A é verdade
# REPRESENTAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES EM LINGUAGEM SIMBÓLICA EXEMPLO 1: Encontre a representação usando conectivos lógicos para cada uma das sentenças apresentadas nos itens de “a” a “h”, considerando que as letras P, Q, R e T representam as seguintes proposições: P: Ana é artista Q: Carlos é carioca R: Jorge é juiz S: Breno é alto a) Jorge é juiz e Breno é alto resposta: R ∧ S Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco b) Carlos é carioca ou Breno é alto resposta: Q ∨ S c) Breno é alto e Ana não é artista resposta: S ∧ ~P d) Ana não é artista e Carlos não é carioca resposta: ~P ∧ ~Q e) Se Jorge é juiz, então Breno não é alto. resposta: R → ~S f) Se Ana é artista e Jorge não é juiz, então Breno é alto resposta: (P ∧ ¬R) → S g) Carlos é Carioca é condição necessária para que Ana seja artista. resposta: P → Q h) Jorge é juiz se e só se Ana não é artista. resposta: R ↔ ~P EXEMPLO 2: Sejam as proposições P: Carlos é rico , Q: Carlos é alto e R: Carlos fala alemão. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições: a) Carlos é rico, mas fala alemão resposta: P ∧ R b) Carlos não é alto ou rico, mas fala alemão resposta: (~Q ∨ P) ∧ R c) Carlos é rico ou não é rico, e fala alemão resposta: (P ∨ ~P) ∧ R d) Carlos é rico ou alto, mas não fala alemão resposta: (P ∨ Q) ∧ ~R e) Carlos é rico e alto, ou não fala alemão resposta: (P ∧ Q) ∨ ~R f) É falso que Carlos é rico mas que não fala alemão Aqui, note que a afirmação é “Carlos é rico mas não fala alemão”. Escrevendo em linguagem simbólica: P ∧ ~R Agora, dizer que essa afirmação é falsa, é dar falsidade a toda a expressão simbólica, assim: resposta: ~(P ∧ ~R) g) É falso que Carlos é alto ou fala alemão, mas que não é rico Da mesma forma que na questão anterior, a afirmação é “Carlos é alto ou fala alemão mas, não é rico”. E aí escrevemos: resposta: ~((Q ∨ R) ∧ ~P)
# REPRESENTAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES EM LINGUAGEM IDIOMÁTICA EXEMPLO 3: Dadas as proposições P: João é pobre e Q: Laura fala inglês, encontre a sentença relacionada com cada representação simbólica dada nos itens abaixo: a) ~P → Q resposta: Se João não é pobre, então Laura fala inglês b) ~~P ~(João não é pobre), daí resposta: João é pobre c) ~P ∧ Q → P resposta: Se João não é pobre e Laura fala inglês, então João é pobre Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco d) P ∨ ~Q resposta: João é pobre ou Laura não fala inglês e) Q → P resposta: Se Laura fala inglês, então João é pobre f) P ∨ Q resposta: João é pobre ou Laura fala inglês g) P → ~Q resposta: Se João é pobre, então Laura não fala inglês
# DETERMINAÇÃO DO VALOR LÓGICO DE UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA # Ordem de Precedência dos Conectivos: 1º) ~ (Negação) 2º) ∧ , ∨ (Conjunção , Disjunção) 3º) → (Condicional) 4º) ↔ (Bicondicional) # Determinação do Valor Lógico de algumas Proposições Compostas Básicas Considere que: P: uma proposição, que pode ter valor lógico V ou F. V: valor lógico verdadeiro F: valor lógico falso Agora, observe o valor lógico das seguintes sentenças: P ∧ ~P P∧F P ∨ ~P P∨V P→P P→V
é F é F é V é V é V é V
Exercícios: Æ Os valores lógicos de P e Q são V e F, respectivamente, determinar o valor lógico da proposição: 01) ~P ∧ Q → P
02) (P v Q) ∧ (P → Q)
03) (P ↔ ~Q) v P
04) ~(P ∨ Q) ↔ ~P ∧ ~Q
Æ Os valores lógicos de P e Q são F e F respectivamente, determinar o valor lógico da proposição: 05) (P → Q) → (P ↔ ~P ∧ Q) Raciocínio Lógico
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Æ Os valores lógicos de P, Q e R são V, V e F respectivamente, determinar o valor lógico da proposição: 06) ~((Q ∨ R) ∧ ~P)
07) (Q ↔ R → ~P) ∨ (~Q → P ↔ R)
Æ O valor lógico de Q é V, determinar o valor lógico da proposição: 08) P → ~R ∨ Q
09) (P → Q) → (~Q → ~P)
GABARITO: 1.V 2.F 3.V 4.V 5.V 6.V 7.V 8.V 9.V
Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco # CONSTRUÇÃO DA TABELA-VERDADE PARA UMA PROPOSIÇÃO COMPOSTA Æ Exemplo 01) ~( P ∧ ~Q) P V V F F
Q V F V F
P ∧ ~Q
~Q
~(P ∧ ~Q) V F V V
Æ Exemplo 02) ~(P ∧ Q) ∨ ~(Q ↔P) P V V F F
Q V F V F
(P ∧ Q)
(Q ↔ P)
~(P ∧ Q)
~(Q ↔ P)
~(P ∧ Q) ∨ ~(Q ↔ P) F V V V
Æ Exemplo 03) (P ∨ ~R) → (Q ∧ ~R ) P V V V V F F F F
Q V V F F V V F F
~R
R V F V F V F V F
P ∨ ~R
Q ∧ ~R
P ∨ ~R → Q ∧ ~R F V F F V V V F
Æ Exemplo 04) (P→Q) ∧ (Q→R) → (P→R) P V V V V F F F F
Q V V F F V V F F
R V F V F V F V F
(P→Q)
(Q→R)
(P→Q) ∧ (Q→R)
(P→R)
(P→Q) ∧ (Q→R) → (P→R) V V V V V V V V
Chegou o momento de passarmos a conhecer três outros conceitos: Tautologia, Contradição e Contingência. # TAUTOLOGIA: Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma Tautologia se ela for sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r, ... que a compõem. Em palavras mais simples: para saber se uma proposição composta é uma Tautologia, construiremos a sua tabela-verdade! Daí, se a última coluna da tabela-verdade só apresentar verdadeiro (e nenhum falso), então estaremos diante de uma Tautologia. Só isso! Exemplo: A proposição (p ∧ q) → (p ∨ q) é uma tautologia, pois é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos de p e de q, como se pode observar na tabela-verdade abaixo: Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco p
q
p∧q
p∨q
(p ∧ q) → (p ∨ q)
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
V
F
V
V
F
F
F
F
V
Observemos que o valor lógico da proposição composta (p ∧ q) → (p ∨ q), que aparece na última coluna, é sempre verdadeiro. Passemos a outro exemplo de Tautologia: [(p ∨ q) ∧ (p ∧ s)] → p . Construamos a sua tabela-verdade para demonstrarmos que se trata de uma tautologia: p
q
s
p∨q
p∧s
(p ∨ q) ∧ (p ∧ s)
[(p ∨ q) ∧ (p ∧ s)] → p
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F
F
V
V
F
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
V
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
F
V
F
F
V
F
F
F
V
F
F
F
F
F
F
V
Demonstrado! Observemos que o valor lógico da proposição composta [(p ∨ q) ∧ (p ∧ s)] → p, que aparece na última coluna, é sempre verdadeiro, independentemente dos valores lógicos que p, q e s assumem. # CONTRADIÇÃO: Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r, ... que a compõem. Ou seja, construindo a tabela-verdade de uma proposição composta, se todos os resultados da última coluna forem FALSO, então estaremos diante de uma contradição. Exemplo 1: A proposição "p ↔ ~p" (p se e somente se não p) é uma contradição, pois é sempre falsa, independentemente do valor lógico de p, como se pode observar na tabela-verdade abaixo: p V F
p ↔ ~p F F
~p F V
Exemplo 2: A proposição (p ↔ ~q) ∧ (p ∧ q) também é uma contradição, conforme verificaremos por meio da construção de sua da tabela-verdade. Vejamos:
Raciocínio Lógico
p
q
(p ↔ ~q)
(p ∧ q)
(p ↔ ~q) ∧ (p ∧ q)
V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
F
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Pró-Concurso de Pernambuco Observemos que o valor lógico da proposição composta (p ↔ ~q) ∧ (p ∧ q), que aparece na última coluna de sua tabela-verdade, é sempre Falso, independentemente dos valores lógicos que p e q assumem. # CONTINGÊNCIA: Uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for uma tautologia nem uma contradição. Somente isso! Você pegará a proposição composta e construirá a sua tabela-verdade. Se, ao final, você verificar que aquela proposição nem é uma tautologia (só resultados V), e nem é uma contradição (só resultados F), então, pela via de exceção, será dita uma contingência! Exemplo: A proposição "p ↔ (p ∧ q)" é uma contingência, pois o seu valor lógico depende dos valores lógicos de p e q, como se pode observar na tabela-verdade abaixo: p
q
(p ∧ q)
p ↔ (p ∧ q)
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
F
F
F
V
E por que essa proposição acima é uma contingência? Porque nem é uma tautologia e nem é uma contradição! # NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS Um problema de grande importância para a lógica é o da identificação de proposições equivalentes à negação de uma proposição dada. A negação de uma proposição deve ter sempre valor lógico oposto ao da proposição dada. Em outras palavras, a negação de uma proposição deve ser contraditória com a proposição dada. A tabela abaixo mostra as equivalências mais comuns para as negações de algumas proposições compostas: Negativas das Proposições Compostas: negação de (p e q)
é
~p ou ~q
negação de (p ou q)
é
~p e ~q
negação de (p → q)
é
p e ~q
# NEGAÇÃO DOS TERMOS TODO, NENHUM E ALGUM Os termos todo, algum e nenhum aparecem freqüentemente nas questões de concursos, e necessitaremos muitas vezes de efetuar as negações desses termos. O quadro abaixo mostra as negações para cada um deles. Proposição Algum ... Nenhum ... Todo ...
Negação da proposição Nenhum ... Algum ... Algum ... não ...
Resolveremos alguns exemplos para que fique bem claro como se faz essas negações. Exemplos: 1) Negação de: “Algum carro é veloz” Basta trocar o ALGUM por NENHUM! Resposta: “Nenhum carro é veloz”. Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco 2) Negação de: “Alguma arara não é amarela” Basta trocar o ALGUM por NENHUM! “Nenhuma arara não é amarela” (Resposta!) Podemos escrever a proposição: “Nenhuma arara não é amarela”, de outra forma equivalente (veja equivalência entre nenhum e todo na página 17): “Toda arara é amarela” (também é Resposta!) 3) Negação de: “Nenhuma música é triste” Basta trocar o NENHUM por ALGUM! “Alguma música é triste” (Resposta!) 4) Negação de: “Nenhum exercício não é difícil” Basta trocar o NENHUM por ALGUM! “Algum exercício não é difícil” (Resposta!) 5) Negação de: “Toda meditação é relaxante” Basta trocar o TODO por ALGUM...NÃO! “Alguma meditação não é relaxante”. 6) Negação de: “Todo o político não é rico” Faremos duas soluções: 1ª SOLUÇÃO: Basta trocar o TODO por ALGUM...NÃO! “Algum político não não é rico”. Apareceu na proposição acima uma dupla negação (veja dupla negação na página 18). Daí, os dois não se anulam, resultando na proposição seguinte: “Algum político é rico”.(Resposta!) 2ª SOLUÇÃO: Podemos transformar a proposição dada inicialmente: “Todo político não é rico” para a seguinte forma equivalente (veja equivalência entre nenhum e todo na página 17): “Nenhum político é rico” E agora faremos a negação pedida na questão. Basta trocar o NENHUM por ALGUM! “Algum político é rico”.(Chegamos à mesma resposta anterior!) Veja mais outros exemplos: 7) Negação de: “Alguém ganhou o bingo” Basta trocar o ALGUM por NENHUM! Resposta: “Ninguém ganhou o bingo”. 8) Negação de: “Algum dia ela me amará” Basta trocar o ALGUM por NENHUM! Resposta: “Nenhum dia ela me amará”, ou melhor: “Nunca ela me amará”. Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco # PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes (ou simplesmente que são equivalentes) quando são compostas pelas mesmas proposições simples e os resultados de suas tabelas-verdade são idênticos. Uma conseqüência prática da equivalência lógica é que ao trocar uma dada proposição por qualquer outra que lhe seja equivalente, estamos apenas mudando a maneira de dizê-la. A equivalência lógica entre duas proposições, p e q, pode ser representada simbolicamente como: p ⇔ q , ou simplesmente por p = q. Começaremos com a descrição de algumas equivalências lógicas básicas, as quais convém conhecermos bem, a fim de as utilizarmos nas soluções de diversas questões. ¾ Equivalências Básicas: 1ª) p e p = p Exemplo:
André é inocente e inocente = André é inocente
2ª) p ou p = p Exemplo:
Ana foi ao cinema ou ao cinema = Ana foi ao cinema
3ª) p e q = q e p Exemplo:
o cavalo é forte e veloz = o cavalo é veloz e forte
4ª) p ou q = q ou p Exemplo:
o carro é branco ou azul = o carro é azul ou branco
5ª) p ↔ q = q ↔ p Exemplo:
Amo se e somente se vivo = Vivo se e somente se amo
6ª) p ↔ q = (p Æ q) e (q Æ p) Exemplo:
Amo se e somente se vivo = Se amo então vivo, e se vivo então amo
¾ Equivalências da Condicional: As duas equivalências que se seguem são de fundamental importância. Veremos várias questões de concurso que são resolvidas através delas. Estas equivalências podem ser verificadas, ou seja, demonstradas, por meio da comparação entre as tabelas-verdade. Ficam como exercício para casa estas demonstrações. São as seguintes as equivalências da condicional: Æ 1ª) Se p, então q = Se não q, então não p. Na linguagem lógica, teremos que: p Æ q = ~q Æ ~p Observando a relação simbólica acima, percebemos que a forma equivalente para pÆq pode ser obtida pela seguinte regra: 1º) Trocam-se os termos da condicional de posição; 2º) Negam-se ambos os termos da condicional. Como exemplo, obteremos a proposição equivalente a condicional seguinte: Se chove, então me molho. Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco Usaremos a regra explicada acima. Primeiramente, escreveremos na linguagem lógica, teremos: chove Æ me molho. 1º) Trocam-se os termos da condicional de posição: me molho Æ chove 2º) Negam-se ambos os termos da condicional: não me molho Æ não chove Pronto! O resultado final é o seguinte: Æ “Se não me molho, então não chove”. Æ 2ª) Se p, então q = não p ou q. Na linguagem lógica, teremos que: p Æ q = ~p ou q Como vemos, a uma outra forma equivalente para uma proposição condicional. Agora, a sua forma equivalente não é uma outra condicional, mas sim, uma disjunção, pois o símbolo do implica é trocado pelo conectivo “ou”. Observando a relação simbólica acima, percebemos que essa outra forma equivalente para pÆq pode ser obtida pela seguinte regra: 1º) Nega-se o primeiro termo; 2º) Troca-se o símbolo do implica pelo “ou”; 3º) Mantém-se o segundo termo. Como exemplo, obteremos a proposição equivalente a condicional seguinte: Se chove, então me molho. Usaremos a regra explicada acima. Primeiramente, escreveremos na linguagem lógica, teremos: chove Æ me molho. 1º) Nega-se o primeiro termo: não chove; 2º) Troca-se o símbolo do implica pelo “ou”; 3º) Mantém-se o segundo termo: me molho. Pronto! O resultado final é o seguinte: Æ “Não chove ou me molho”. Desses resultados, concluímos que as três sentenças abaixo são equivalentes entre si. 1) Se chove, então me molho. 2) Se não me molho, então não chove. 3) Não chove ou me molho. Se precisarmos transformar uma disjunção numa condicional, podemos usar a mesma relação mostrada anteriormente, ou seja: ~p ou q = p Æ q A única coisa diferente entre as duas relações, é que nesta colocamos a disjunção no primeiro membro da igualdade e a condicional no segundo membro da igualdade. Só isso! A relação simbólica acima nos mostra que podemos transformar uma disjunção numa condicional equivalente, através da seguinte regra: 1º) Nega-se o primeiro termo; Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco 2º) Troca-se o “ou” pelo símbolo “Æ”; 3º) Mantém-se o segundo termo. É praticamente a mesma regra que vimos anteriormente para transformar uma condicional em uma disjunção. Como exemplo, obteremos a condicional que é equivalente à disjunção seguinte: O carro é branco ou a moto não é azul. Usaremos a regra explicada acima. 1º) Nega-se o primeiro termo: O carro não é branco; 2º) Troca-se o “ou” pelo símbolo “Æ”. 3º) Mantém-se o segundo termo: a moto não é azul. O resultado é o seguinte: “O carro não é branco Æ a moto não é azul”. Ou seja: “Se o carro não é branco, então a moto não é azul”. Colocando esses resultados numa tabela, para ajudar a memorização, teremos: p→q
=
~q → ~p
p→q
=
~p ou q
~p ou q
=
p→q
Importante: Para obtermos a proposição equivalente deveremos sempre usar as regras que foram apresentadas! As fórmulas da tabela acima são somente para nos ajudar a lembrar destas regras! ¾ Leis Associativas, Distributivas e da Dupla Negação: 1ª) Leis associativas: (p e q) e s
= p e (q e s)
(p ou q) ou s = p ou (q ou s) 2ª) Leis distributivas: p e (q ou s) = (p e q) ou (p e s) p ou (q e s) = (p ou q) e (p ou s) 3ª) Lei da dupla negação: ~(~p) = p Daí, concluiremos ainda que: S não é não P Todo S não é não P Algum S não é não P Nenhum S não é não P Exemplos: 1) 2) 3) 4)
= = = =
S é P Todo S é P Algum S é P Nenhum S é P
A bola de futebol não é não esférica = A bola de futebol é esférica Todo número inteiro não é não racional = Todo número inteiro é racional Algum número racional não é não natural = Algum número racional é natural Nenhum número negativo não é não natural = Nenhum número negativo é natural
Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco ¾ Equivalências com o símbolo da negação: ~(p e q)
= ~p ou ~q
~(p ou q) = ~p e ~q ~(p → q) = p e ~q ~(p ↔ q) = [(p e ~q) ou (~p e q)] Talvez alguma dúvida surja em relação à última linha da tabela acima. Porém, basta nos lembrarmos da forma equivalente da bicondicional: Æ
(p ↔ q) = (p Æ q) e (q Æ p)
(Obs.: é por isso que a bicondicional tem esse nome: porque equivale a duas condicionais!) Daí, para negar a bicondicional acima, teremos na verdade que negar a sua conjunção equivalente. E para negar uma conjunção, já sabemos, negam-se as duas partes e troca-se o E por um OU. ¾ Equivalência entre “nenhum” e “todo”: Aqui temos uma equivalência entre dois termos muito freqüentes em questões de prova. É uma equivalência simples, de fácil compreensão, e que nos será muito útil. Vejamos: 1ª) Todo A não é B = Nenhum A é B Exemplo: Todo médico não é louco = Nenhum médico é louco. 2ª) Nenhum A não é B = Todo A é B Exemplo: Nenhuma arte não é bela = Toda arte é bela. Colocando essas equivalências numa tabela, teremos:
Raciocínio Lógico
Todo A não é B
=
Nenhum A é B
Nenhum A não é B
=
Todo A é B
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Pró-Concurso de Pernambuco DIAGRAMAS LÓGICOS Consideramos que uma questão é de Diagramas Lógicos, quando ela traz diagramas ou quando temos que usar diagramas para chegarmos a solução da questão. Os diagramas geralmente são círculos, mas também podem ser outras figuras: quadrado, triângulo, ... . Os diagramas lógicos serão bastante usados nas soluções das questões que envolvem os termos: todo, algum e nenhum. # PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS As proposições formadas com os termos todo, algum e nenhum são chamadas de proposições categóricas, e são elas: Æ Todo A é B Æ Nenhum A é B Æ Algum A é B Æ Algum A não é B Æ Todo A é B Proposições do tipo Todo A é B afirmam que o conjunto A está contido no conjunto B, ou seja, todo elemento de A também é elemento de B. Atenção: dizer que Todo A é B não significa o mesmo que Todo B é A. Todo gaúcho é brasileiro ≠ Todo brasileiro é gaúcho
Æ Nenhum A é B Enunciados da forma Nenhum A é B afirmam que os conjuntos A e B são disjuntos, isto é, A e B não tem elementos em comum. Dizer que Nenhum A é B é logicamente equivalente a dizer que Nenhum B é A. Exemplo: Nenhum diplomata é analfabeto = Nenhum analfabeto é diplomata
Æ Algum A é B Por convenção universal em Lógica, proposições da forma Algum A é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B. Contudo, quando dizemos que Algum A é B, pressupomos que nem todo A é B. Entretanto, no sentido lógico de algum, está perfeitamente correto afirmar que “alguns alunos são ricos”, mesmo sabendo que “todos eles são ricos”. Dizer que Algum A é B é logicamente equivalente a dizer que Algum B é A. Exemplo: Algum médico é poeta = Algum poeta é médico Também, são equivalentes as expressões seguintes: Algum A é B = Pelo menos um A é B = Existe um A que é B Exemplo: Algum poeta é médico = Pelo menos um poeta é médico = Existe um poeta que é médico
Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco Æ Algum A não é B Proposições da forma Algum A não é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao conjunto B. Dizer que Algum A não é B é logicamente equivalente a dizer que Algum A é não B, e também é logicamente equivalente a dizer que Algum não B é A. Exemplo: Algum fiscal não é honesto = Algum fiscal é não honesto = Algum não honesto é fiscal Atenção: dizer que Algum A não é B não significa o mesmo que Algum B não é A. Exemplo: Algum animal não é mamífero ≠ Algum mamífero não é animal IMPORTANTE: Nas proposições categóricas, usam-se também as variações gramaticais dos verbos ser e estar, tais como é, são, está, foi, eram, ..., como elo de ligação entre A e B.
# Revisão Como mais adiante teremos várias questões envolvendo as palavras todo, algum e nenhum, resolvemos listar algumas regras que já foram vistas. Todo A não é B Nenhum A não é B A negação de Todo A é B
é equivalente a é equivalente a
Nenhum A é B Todo A é B
é Algum A não é B (e vice-versa)
A negação de Algum A é B é Nenhum A é B
(e vice-versa)
# REPRESENTAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS As proposições categóricas serão representadas por diagramas de conjuntos para a solução de diversas questões de concurso. Cada proposição categórica tem um significado em termos de conjunto, e isso é quem definirá o desenho do diagrama; e veremos adiante que uma proposição categórica pode possuir mais de um desenho. Relembremos os significados, em termos de conjunto, de cada uma das proposições categóricas: Todo A é B = todo elemento de A também é elemento de B. Nenhum A é B = A e B não tem elementos em comum. Algum A é B = o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B. Algum A não é B = o conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao conjunto B. Junto com as representações das proposições categóricas, analisaremos a partir da verdade de uma das proposições categóricas, a verdade ou a falsidade das outras.
1. Se a proposição “Todo A é B” é verdadeira, então temos duas representações possíveis: Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco a
O conjunto A dentro do conjunto B
b O conjunto A é igual ao conjunto B
B
A=B
A
Em ambas as representações acima, observe que todo elemento de A também é elemento de B. Daí as duas representações são válidas para a proposição “Todo A é B”. Æ Quando “Todo A é B” é verdadeira, os valores lógicos das outras proposições categóricas são os seguintes: é necessariamente falsa.
Nenhum A é B
é necessariamente verdadeira.
Algum A é B
é necessariamente falsa.
Algum A não é B
2. Se a proposição “Nenhum A é B” é verdadeira, então temos somente a representação:
a
Não há elementos em comum entre os dois conjuntos (Não há intersecção!)
A
B
Æ Quando “Nenhum A é B” é verdadeira, os valores lógicos das outras proposições categóricas são os seguintes: Todo A é B
é necessariamente falsa.
Algum A é B
é necessariamente falsa.
Algum A não é B
é necessariamente verdadeira.
3. Se a proposição “Algum A é B” é verdadeira, temos quatro representações possíveis:
a
Os dois conjuntos possuem uma parte dos elementos em comum.
b Todos os elementos de A estão em B. B
c
A
B
A
d
Todos os elementos de B estão em A.
A
A=B
B
Raciocínio Lógico
O conjunto A é igual ao conjunto B
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Pró-Concurso de Pernambuco Em todas as quatro representações acima, observe que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B. Daí, todas as quatro representações são corretas para a proposição “Algum A é B”. Æ Quando “Algum A é B” é verdadeira, os valores lógicos das outras proposições categóricas são os seguintes: Nenhum A é B
é necessariamente falsa.
Todo A é B
é indeterminada, pois pode ser verdadeira (em b e d) e pode ser falsa (em a e c).
Algum A não é B
é indeterminada, pois pode ser verdadeira (em a e b) e pode ser falsa (em c e d).
4. Se a proposição “Algum A não é B“ é verdadeira, temos três representações possíveis:
a
Os dois conjuntos possuem uma parte dos elementos em comum.
Todos os elementos de B estão em A.
A
B
A
c
b
B
Não há elementos em comum entre os dois conjuntos.
A
B
Em todas as três representações acima observe que o conjunto A tem pelo menos um elemento que não pertence ao conjunto B. Æ Os valores lógicos das outras proposições categóricas são os seguintes: Todo A é B
é necessariamente falsa.
Nenhum A é B
é indeterminada, pois pode ser verdadeira (em c) e pode ser falsa (em a e b).
Algum A é B
é indeterminada, pois pode ser verdadeira (em a e b) e pode ser falsa (em c).
Alguém vai perguntar: preciso decorar tudo isso? Na realidade, o melhor é buscar entender tudo isso! A rigor, conforme veremos pela resolução das questões abaixo, conseguiremos solucionar os problemas deste assunto praticamente mediante o desenho dos diagramas lógicos! Ou seja, a coisa é bem mais fácil do que aparenta. Passemos às resoluções! Exercício: (Especialista em Políticas Públicas Bahia 2004 FCC) Considerando “todo livro é instrutivo” como uma proposição verdadeira, é correto inferir que: a) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira. b) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira. c) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa. d) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa. e) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.
Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco Sol.: Temos que a proposição “todo livro é instrutivo” é verdadeira. Baseando-se nesta proposição, construiremos as representações dos conjuntos dos livros e das coisas instrutivas. Como vimos anteriormente há duas representações possíveis:
a
b instrutivo instrutivo = livro
livro
Pode haver questão mais fácil que esta? A opção A é descartada de pronto: “nenhum livro é instrutivo” implica a total dissociação entre os diagramas. E estamos com a situação inversa! A opção B é perfeitamente escorreita! Percebam que nos dois desenhos acima os conjuntos em vermelho e em azul possuem elementos em comum. Resta necessariamente perfeito que “algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira. Resposta: opção B. Já achamos a resposta correta, mas continuaremos a análise das outras opções. A opção C é incorreta! Pois a proposição “algum livro não é instrutivo” é necessariamente falsa. Isso pode ser constatado nos dois desenhos acima, vejam que não há um livro sequer que não seja instrutivo. A opção D é incorreta! Pois na análise da opção B já havíamos concluído que “algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira. A opção E é incorreta! Pois na análise da opção C já havíamos concluído que “algum livro não é instrutivo” é uma proposição necessariamente falsa.
Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco ARGUMENTO
Chama-se argumento a afirmação de que um grupo de proposições iniciais redunda em uma outra proposição final, que será conseqüência das primeiras! Dito de outra forma, argumento é a relação que associa um conjunto de proposições p1, p2, ... pn , chamadas premissas do argumento, a uma proposição c, chamada de conclusão do argumento. No lugar dos termos premissa e conclusão podem ser também usados os correspondentes hipótese e tese, respectivamente. Vejamos alguns exemplos de argumentos: Exemplo 1)
p1: Todos os cearenses são humoristas. p2: Todos os humoristas gostam de música. c : Todos os cearenses gostam de música.
Exemplo 2)
p1: Todos os elétrons são partículas negativas. p2: O neliun é uma partícula negativa. c : O neliun é um elétron.
O tipo de argumento ilustrado nos exemplos acima é chamado silogismo. Ou seja, silogismo é aquele argumento formado por duas premissas e a conclusão. Estaremos, em nosso estudo dos argumentos lógicos, interessados em verificar se eles são válidos ou inválidos! É isso o que interessa. Então, passemos a seguir a entender o que significa um argumento válido e um argumento inválido. # ARGUMENTO VÁLIDO: Dizemos que um argumento é válido (ou ainda legítimo ou bem construído), quando a sua conclusão é uma conseqüência obrigatória do seu conjunto de premissas. Veremos em alguns exemplos adiante que as premissas e a própria conclusão poderão ser visivelmente falsas (e até absurdas!), e o argumento, ainda assim, será considerado válido. Isto pode ocorrer porque, na Lógica, o estudo dos argumentos não leva em conta a verdade ou a falsidade das premissas que compõem o argumento, mas tão somente a validade deste. Exemplo 03: O silogismo... p1: Todos os homens são pássaros. p2: Nenhum pássaro é animal. c: Portanto, nenhum homem é animal. ... está perfeitamente bem construído, sendo, portanto, um argumento válido, muito embora a validade das premissas e da conclusão sejam totalmente questionáveis. Repetindo: o que vale é a construção, e não o seu conteúdo! Ficou claro? Se a construção está perfeita, então o argumento é válido, independentemente do conteúdo das premissas ou da conclusão! Agora a questão mais importante: como saber que um determinado argumento é mesmo válido? Uma forma simples e eficaz de comprovar a validade de um argumento é utilizando-se de diagramas de conjuntos. Trata-se de um método muito útil e que será usado com freqüência em questões que pedem a verificação da validade de um argumento qualquer. Vejamos como funciona, usando esse exemplo acima. Quando se afirma, na premissa p1, que “todos os homens são pássaros”, poderemos representar essa frase da seguinte maneira:
Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco Conjunto dos pássaros
Conjunto dos homens
Observem que todos os elementos do conjunto menor (homens) estão incluídos, ou seja, pertencem ao conjunto maior (dos pássaros). E será sempre essa a representação gráfica da frase “Todo A é B”. Dois círculos, um dentro do outro, estando o círculo menor a representar o grupo de quem se segue à palavra todo. Ficou claro? Pois bem! Façamos a representação gráfica da segunda premissa. Temos, agora, a seguinte frase: “Nenhum pássaro é animal”. Observemos que a palavra-chave desta sentença é nenhum. E a idéia que ela exprime é de uma total dissociação entre os dois conjuntos. Vejamos como fica sua representação gráfica:
Conjunto dos Pássaros
Conjunto dos Animais
Será sempre assim a representação gráfica de uma sentença “Nenhum A é B”: dois conjuntos separados, sem nenhum ponto em comum. Tomemos agora as representações gráficas das duas premissas vistas acima e as analisemos em conjunto. Teremos:
Pássaros
Animais Homens
Agora, comparemos a conclusão do nosso argumento – Nenhum homem é animal – com o desenho das premissas acima. E aí? Será que podemos dizer que esta conclusão é uma conseqüência necessária das premissas? Claro que sim! Observemos que o conjunto dos homens está totalmente separado (total dissociação!) do conjunto dos animais. Resultado: este é um argumento válido! Para testar a validade do argumento acima, consideramos as duas premissas como verdadeiras, mesmo sabendo que eram absurdas. Perceberam? Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco Num raciocínio dedutivo (lógico) não é possível estabelecer a verdade de sua conclusão se as premissas não forem consideradas todas verdadeiras. Determinar a verdade ou falsidade das premissas é tarefa que incube à ciência, em geral, pois as premissas podem referir-se a qualquer tema, como Astronomia, Energia Nuclear, Medicina, Química, Direito, etc., assuntos que talvez desconheçamos por completo! E ainda assim, teremos total condição de averiguar a validade do argumento! Ficou entendido? Agora, vejamos o conceito de argumento inválido. # ARGUMENTO INVÁLIDO: Dizemos que um argumento é inválido – também denominado ilegítimo, mal construído, falacioso ou sofisma – quando a verdade das premissas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão. Entenderemos melhor com um exemplo. Exemplo 04: p1: Todas as crianças gostam de chocolate. p2: Patrícia não é criança. c: Portanto, Patrícia não gosta de chocolate. Veremos a seguir que este é um argumento inválido, falacioso, mal construído, pois as premissas não garantem (não obrigam) a verdade da conclusão. Patrícia pode gostar de chocolate mesmo que não seja criança, pois a primeira premissa não afirmou que somente as crianças gostam de chocolate. Da mesma forma que utilizamos diagramas de conjuntos para provar a validade do argumento anterior, provaremos, utilizando-nos do mesmo artifício, que o argumento em análise é inválido. Vamos lá: Comecemos pela primeira premissa: “Todas as crianças gostam de chocolate”. Já aprendemos acima como se representa graficamente esse tipo de estrutura. Teremos:
Pessoas que gostam de chocolate
crianças
Analisemos agora o que diz a segunda premissa: “Patrícia não é criança”. O que temos que fazer aqui é pegar o diagrama acima (da primeira premissa) e nele indicar onde poderá estar localizada a Patrícia, obedecendo o que consta nesta segunda premissa. Vemos facilmente que a Patrícia só não pode estar dentro do círculo das crianças. É a única restrição que faz a segunda premissa. Isto posto, concluímos que a Patrícia pode estar em dois lugares distintos do diagrama: 1º) Fora do conjunto maior; 2º) Dentro do conjunto maior (sem tocar o círculo das crianças!). Vejamos:
Pessoas que gostam de chocolate
x Patrícia
x Patrícia
crianças
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Pró-Concurso de Pernambuco Finalmente, passemos à análise da conclusão: “Patrícia não gosta de chocolate”. Ora, o que nos resta para sabermos se este argumento é válido ou não, é justamente confirmar se esse resultado, ou seja, se esta conclusão, é necessariamente verdadeira! O que vocês dizem? É necessariamente verdadeiro que Patrícia não gosta de chocolate? Olhando para o desenho acima, respondemos que não! Pode ser que ela não goste de chocolate (caso esteja fora do círculo maior), mas também pode ser que goste (caso esteja dentro do círculo maior)! Enfim, o argumento é inválido, pois as premissas não garantiram a veracidade da conclusão!
# MÉTODOS PARA TESTAR A VALIDADE DOS ARGUMENTOS Os diferentes métodos utilizados para testar a validade de um argumento são mostrados a seguir: 1) Utilizando diagramas de conjuntos Esta forma é indicada quando nas premissas do argumento aparecem as palavras todo, algum e nenhum, ou os seus sinônimos: cada, existe um, .... Consiste na representação das premissas por diagramas de conjuntos, e posterior verificação da verdade da conclusão. 2) Construindo a tabela-verdade do argumento Esta forma é mais indicada quando não se puder resolver pelo método descrito acima, que ocorre quando nas premissas não aparecem as palavras todo, algum e nenhum, mas sim, os conectivos “ou” , “e”, “→” e “↔”. Baseia-se na construção da tabela verdade, destacando uma coluna para cada premissa e outra para a conclusão. Após a construção da tabela verdade, verificar quais são as linhas da tabela em que os valores lógicos das premissas têm valor V. Se em todas essas linhas, os valores lógicos relativos a coluna da conclusão, forem também V, o argumento é válido. Se ao menos uma daquelas linhas tiver na coluna da conclusão um valor F, então o argumento é inválido. Este método tem a desvantagem de ser mais trabalhoso, principalmente quando envolve várias proposições simples, mas através deste método podemos observar e entender, claramente, a validade do argumento. 3) Considerar premissas verdadeiras e verificar o valor lógico da conclusão Esta forma é bem fácil e rápida para mostrar a validade de um argumento, mas só devemos utilizála na impossibilidade do primeiro método. Este método inicia-se considerando as premissas como verdades, e através de operações lógicas com os conectivos, descobrir o valor lógico da conclusão, que deve resultar em verdade para que o argumento seja válido.
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Pró-Concurso de Pernambuco Na seqüência, um quadro que resume os quatro métodos, e quando se deve lançar mão de um ou de outro, em cada caso. Vejamos: Deve ser usado quando...
1º Método Utilização dos Diagramas (circunferências)
o argumento apresentar as palavras todo, nenhum, ou algum
2º Método Construção da TabelaVerdade do argumento
em qualquer caso, mas preferencialmente quando o argumento tiver no máximo duas proposições simples.
3º Método Considerando as premissas verdadeiras e verificando o valor lógico da conclusão
o 1º Método não puder ser empregado, e houver uma premissa... ...que seja uma proposição simples; ou ... que esteja na forma de uma conjunção (e).
Não deve ser usado quando...
O argumento é válido quando...
o argumento não apresentar tais palavras.
a partir dos diagramas verificarmos que a conclusão é uma conseqüência obrigatória das premissas.
o argumento apresentar mais de três proposições simples.
nenhuma premissa for uma proposição simples ou uma conjunção.
nas linhas da tabela em que os valores lógicos das premissas têm valor V, os valores lógicos relativos a coluna da conclusão forem também V.
o valor encontrado para a conclusão é obrigatoriamente verdadeiro.
Exercícios: Classifique os seguintes argumentos como válido ou inválido. 1. P ∨ Q ~P___ Q 2.
P→Q Q____ P
3.
P→Q ~P____ ~Q
4. P → Q R → ~Q R______ ~P e R 6. Se não trabalho, então não compro um carro. Trabalho ou serei aprovado em Matemática. Não trabalho.___________________________ Serei aprovado em Matemática e não compro o carro. Gabarito: 1.válido 2. inválido 3. inválido 4. válido 6. válido
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Pró-Concurso de Pernambuco INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS Agora relembraremos alguns tópicos da teoria dos conjuntos, para nos familiarizarmos com a linguagem e a simbologia. Relações de pertinência (relacionam elemento com conjunto): ∈ (pertence), ∉ (não pertence) Relações de inclusão (relacionam um conjunto com outro conjunto): ⊂ (está contido), ⊃ (contém), ⊄ (não está contido), ⊃ (não contém) Subconjunto: diz-se que A é subconjunto de B se todo elemento de A é também elemento de B. Conjunto das partes de um conjunto: chama-se conjunto das partes de um conjunto A, denotado por P(A), o conjunto cujos elementos são todos as partes de A, isto é: P(A) = {x | x ⊂ A}. O número de subconjuntos de um conjunto A é dado por 2n, em que n é o número de elementos de A. Operações com conjuntos: dados os conjuntos A, B e o conjunto-universo S, denomina-se: - União (∪): A ∪ B = {x / x∈A ou x∈B} - Interseção (∩): A ∩ B = {x / x∈A e x∈B} - Diferença ( - ) : A - B = {x / x∈A e x∉B} - Complementar (A'): A' = {x∈S | x∉A} Exemplo 1: Considere o diagrama acima onde o retângulo representa o conjunto-universo S e os círculos representam os conjuntos A e B.
S B
A a b c
m
f g h i
d e
n
j l Agora determine: a) o conjunto A b) o conjunto B c) o número de elementos de A
d) o número de elementos de B e) o número de subconjuntos de A f) o número de subconjuntos de B
Solução a) A = {a, b, c, d, e} d) n(B) = 6 g) A ∪ B = {a, b, c, d, e, f, g, h, i} j) B - A = {f, g, h, i}
b) B = {d, e, f, g, h, i} e) 2n = 25 = 32 h) A ∩ B = {d, e} l) A' = S - A = {f,g,h,i,j,l,m,n}
g) A ∪ B h) A ∩ B Ii) A – B
j) B - A l) A' m) B'
c) n(A) = 5 f) 2n = 26 = 64 i) A - B = {a, b, c} m) B' = S - B = {a,b,c,j,l,m,n}
Exemplo 2: Construa um diagrama representativo de três conjuntos A, B e C contidos no conjunto universo S, tais que: A ⊄ B , B ⊄ A , C ⊂ A e C ⊂ B
S
Solução:
A
B C
Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco INTRODUÇÃO À ANÁLISE COMBINATÓRIA Questões de análise combinatória serão aquelas que perguntarão de quantas formas pode ocorrer um determinado evento. Vejamos alguns exemplos: 1) De quantas formas diferentes cinco pessoas podem se sentar em cinco cadeiras de uma fila de cinema? 2) Quantos números de três algarismos podem ser formados, dispondo-se dos algarismos (1, 2, 3, 4, 5)? 3) Quantos tipos de saladas, feita de três tipos de frutas diferentes, podem ser formados com as seguintes frutas: banana, maçã, pêra, uva, laranja, mamão, melão? Enfim! Situações como essas acima serão resolvidas por meio de técnicas que conheceremos a partir de agora. Ou seja, a Análise Combinatória se presta ao seguinte: a descobrir o número de maneiras possíveis de se realizar um determinado evento, sem que seja necessário descrever todas essas maneiras! Um exemplo melhor, para esclarecer o que foi dito: suponhamos que eu tenho uma moeda na mão e vou lançá-la três vezes para o ar. A pergunta é: quantos são os resultados possíveis para esses três lançamentos da moeda? Ora, se fôssemos tentar descrever todas as possibilidades, poderíamos fazê-lo por intermédio de um desenho, chamado diagrama da árvore. Da seguinte forma: 1º Lançamento
2º Lançamento
3º Lançamento
Resultados
Cara ------Æ
C, C, C
Cara Coroa ------Æ C, C, K Cara Cara ------Æ
C, K, C
Coroa Coroa ------Æ C, K, K Cara ------Æ K, C, C Cara Coroa ------Æ K, C, K Coroa Cara -------Æ K, K, C Coroa Coroa ------Æ K, K, K Nos resultados, chamamos cara de C, e coroa de k. E assim, por meio do desenho acima, percebemos que há oito diferentes possíveis resultados para o lançamento de uma moeda três vezes! Ocorre que seria muito custoso termos que, a cada novo problema, fazer o tal do diagrama da árvore! Aí entra a Análise Combinatória! Usando técnicas simples, podemos chegar ao resultado procurado, sem precisar desenhar as resultados possíveis! # PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM: Chamaremos essa primeira técnica apenas de Princípio da Contagem. Ok? Consiste em quê? Consistem em dividirmos o nosso evento em etapas. E para cada uma dessas etapas, individualmente analisadas, descobriremos qual o seu número de resultados possíveis! Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco Tomemos o exemplo da moeda acima. O evento consiste em lançar uma moeda três vezes. Daí, fica bem fácil dividi-lo em etapas: cada etapa será um lançamento. Confere? Destarte, teremos: 1ª etapa) 1º lançamento da moeda; 2ª etapa) 2º lançamento da moeda; 3ª etapa) 3º lançamento da moeda. Pois bem! Conforme dissemos, temos que descobrir os resultados possíveis individuais de cada etapa. Ou seja, ao lançarmos a moeda a primeira vez, quantos serão os resultados possíveis para esse primeiro lançamento? Dois, obviamente! (Cara ou coroa!). O mesmo se dará com o segundo lançamento e com o terceiro. Daí, teremos: 1ª etapa) 1º lançamento da moeda Æ 2 resultados possíveis 2ª etapa) 2º lançamento da moeda Æ 2 resultados possíveis 3ª etapa) 3º lançamento da moeda Æ 2 resultados possíveis Finalmente, o Princípio da Contagem vem nos dizer: agora, basta multiplicar os resultados parciais (de cada etapa), e teremos o resultado total (para todo o evento)! Teremos: 2x2x2= 8 Æ A mesma resposta do diagrama da árvore! Sem precisarmos fazer desenho algum, concluímos que há oito possíveis resultados para o lançamento de uma moeda três vezes! Passemos a outro exemplo, igualmente simples: “Num hospital, existem 3 portas de entrada (P1, P2 e P3) que dão para um saguão, no qual existem 4 elevadores (E1, E2, E3 e E4). Um visitante deve dirigir-se ao 5º andar, utilizando um dos elevadores. De quantas maneiras diferentes poderá fazê-lo? Caso decidíssemos tentar desenhar uma resolução, mediante o diagrama da árvore, faríamos o seguinte: E1 Æ (P1, E1)
P1
.
P2
P3
E2
Æ (P1, E2)
E3
Æ (P1, E3)
E4
Æ (P1, E4)
E1
Æ (P2, E1)
E2
Æ (P2, E2)
E3
Æ (P2, E3)
E4
Æ (P2, E4)
E1
Æ (P3, E1)
E2
Æ (P3, E2)
E3
Æ (P3, E3)
E4
Æ (P3, E4)
Em azul, estão as doze possibilidades distintas de, usando uma das três portas e um dos quatro elevadores, chegarmos ao quinto andar! Ocorre que já aprendemos que o tal desenho acima é desnecessário! Mais rápido e eficaz será utilizar o princípio da contagem. Para tanto, dividiremos o evento (chegar ao 5º andar do hospital) em duas etapas: Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco 1ª etapa) a escolha de uma porta de entrada; 2ª etapa) a escolha de um elevador. Feito isso, descobriremos o número de resultados possíveis, individualmente, para cada etapa. Teremos: 1ª etapa) a escolha de uma porta de entrada Æ 3 resultados possíveis; 2ª etapa) a escolha de um elevador ----------Æ 4 resultados possíveis. Manda o princípio da contagem que multipliquemos os resultados parciais, e teremos: Æ 3x4=12 Æ A mesma resposta do diagrama da árvore! A partir dos dois exemplos que acabamos de ver, já é possível apresentar formalmente o princípio fundamental da contagem. Vejamos: Enunciado do Princípio da Contagem: Se um acontecimento pode ocorrer por várias etapas sucessivas e independentes de tal modo que: P1 é o número de possibilidades da 1ª etapa; P2 é o número de possibilidades da 2ª etapa; . . Pk é o número de possibilidades da “k-ésima” etapa, então: (P1 x P2 x ... x Pk) é o número total de possibilidades do acontecimento ocorrer! Seguiremos apresentando e resolvendo alguns outros exemplos que podem ser resolvidos empregando-se o princípio fundamental da contagem:
Æ Quatro atletas participam de uma corrida. Quantos resultados existem para o 1º, 2º e 3º lugares? Sol.: Quais serão as etapas desse evento? Ora, a definição do 1º colocado, a do 2º e a do 3º! Três etapas, portanto. Teremos: Æ 1ª etapa) Definição do 1º colocado Æ 4 resultados possíveis; Æ 2ª etapa) Definição do 2º colocado Æ 3 resultados possíveis; Æ 3ª etapa) Definição do 3º colocado Æ 2 resultados possíveis. Multiplicando-se os resultados parciais, teremos: Æ 4x3x2 = 24 Æ Resposta! Ou seja, podem ser formados 24 diferentes resultados de 1º, 2º e 3º colocados numa corrida, dispondo-se de 4 competidores. Æ De quantos modos três pessoas podem ficar em fila indiana? Sol.: Fila indiana, você sabe, é aquela em que uma pessoa fica atrás da outra. Daí, as etapas do evento serão: definir quem vai na cabeça da fila, quem vai no meio e quem vai no fim. Teremos: Æ 1ª etapa) definição do 1º da fila: 3 resultados possíveis; Æ 2ª etapa) definição do 2º da fila: 2 resultados possíveis; Æ 3ª etapa) definição do 3º da fila: 1 resultado possível. Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco Daí, multiplicando-se os resultados parciais, teremos: Æ 3x2x1 = 6 Æ Resposta! Podem ser formadas seis diferentes filas indianas, com três pessoas! Æ João vai a um restaurante disposto a comer um só prato de carne e uma só sobremesa. O cardápio oferece oito pratos distintos de carne e cinco pratos diferentes de sobremesa. De quantas formas pode o homem fazer sua refeição? Sol.: Qual é o evento? Ora, é fazer uma refeição! Pelos dados da questão, as etapas para a composição deste evento (e os resultados possíveis para cada uma delas) serão as seguintes: 1ª etapa) definição da carne
Æ 8 resultados possíveis;
2ª etapa) definição da sobremesa
Æ 5 resultados possíveis.
Multiplicando-se os resultados parciais, teremos: Æ 8x5 = 40 Æ Resposta! Podem ser compostas 40 distintas refeições, dispondo-se de oito tipos de carne e 5 tipos de sobremesa! Æ Numa festa existem 80 homens e 90 mulheres. Quantos casais diferentes podem ser formados? Sol.: O objetivo é formar um casal. Ora, um casal é composto de um homem e uma mulher! Logo, para cumprir esse objetivo, dividiremos o evento em duas etapas: 1ª etapa) escolha do homem Æ 80 resultados possíveis; 2ª etapa) escolha da mulher Æ 90 resultados possíveis. Pelo princípio da contagem, multiplicando-se os resultados parciais, teremos: Æ 80x90 = 7200 Æ Resposta! Æ O sistema telefônico de São Paulo utiliza sete dígitos para designar os diversos telefones. Supondo que o primeiro dígito seja sempre dois (2), e que o dígito zero (0) não seja utilizado para designar estações (2º e 3º dígitos), quantos números de telefones diferentes poderemos ter? Sol.: O evento agora é compor um número de telefone, observando as restrições previstas no enunciado! Como teremos 7 dígitos, trabalharemos também com 7 etapas! Cada etapa corresponde, naturalmente, à escolha do respectivo dígito. Este exemplo se diferencia dos anteriores, pois aqui teremos que redobrar nossa atenção, uma vez que o enunciado estabelece exigências específicas para algumas das etapas do evento. Por exemplo, é dito que o primeiro dígito será sempre 2. É dito também que na escolha do segundo e do terceiro dígitos não poderemos usar o algarismo zero! Essas restrições terão que ser observadas quando formos fazer o cálculo dos resultados parciais! Teremos: 1ª etapa) Definição do 1º dígito Æ 1 resultado possível (só pode ser “2”); 2ª etapa) Definição do 2º dígito Æ 9 resultados possíveis. Senão, vejamos: dispomos dos algarismos do sistema decimal, para escolher um deles que ocupará o 2º dígito. São eles: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9}. São dez algarismos! Ocorre que o enunciado amarra que o algarismo zero não pode ocupar essa segunda casa! Daí, restam nove resultados possíveis! Idêntico raciocínio se repetirá para a próxima etapa. 3ª etapa) Definição do 3º dígito Æ 9 resultados possíveis. 4ª etapa) Definição do 4º dígito Æ 10 resultados possíveis! Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco Aqui não há nenhuma exigência específica, e nenhuma restrição! Ou seja, pode ser usado qualquer algarismo do sistema decimal (e são 10!). O mesmo raciocínio se repetirá para as três últimas etapas. 5ª etapa) Definição do 5º dígito Æ 10 resultados possíveis. 6ª etapa) Definição do 6º dígito Æ 10 resultados possíveis. 7ª etapa) Definição do 7º dígito Æ 10 resultados possíveis. Finalmente, multiplicando-se os resultados parciais, teremos: Æ 1x9x9x10x10x10x10 = 810.000 Æ Resposta! Æ Um edifício tem 8 (oito) portas. De quantas formas uma pessoa poderá entrar no edifício e sair por uma porta diferente da que usou para entrar? Sol.: Iniciemos nossa análise. Qual é o objetivo da questão? Fazer com que uma pessoa entre e saia de um edifício. Para tanto, disporá a pessoa de um total de oito portas! Ocorre que o enunciado determina que a porta de saída deverá ser diferente da de entrada. Em suma: precisamos escolher uma porta para entrar e uma para sair, de um total de oito portas! Daí: Conjunto Universo: {Porta1, Porta2, Porta3, Porta4, Porta5, Porta6, Porta7, Porta8} Subgrupo:
Porta de entrada
Porta de saída
Daí, teremos: Æ 1ª etapa) Escolha da porta de entrada: 8 resultados possíveis; Æ 2ª etapa) Escolha da porta de saída: 7 resultados possíveis. Multiplicando-se os resultados individuais, teremos: Æ 8 x 7 = 56 Æ Resposta! Æ Uma linha ferroviária tem 16 estações. Quantos tipos de bilhetes devem ser impressos, se cada tipo deve assinalar a estação de partida e de chegada, respectivamente? Sol.: O conjunto universo é um grupo de 16 estações. O objetivo é formar um bilhete, que defina uma partida e uma chegada. Pelos dados da questão, as etapas para a composição deste evento (e os resultados possíveis para cada uma delas) serão as seguintes: 1ª etapa) bilhete de partida Æ 16 resultados possíveis; 2ª etapa) bilhete de entrada Estação de partida e estação de chegada podem ser iguais? Não! Tem que ser distintas! Daí, teremos: Æ 15 resultados possíveis. Multiplicando-se os resultados parciais, teremos: Æ 16x15 = 240 Æ Resposta!
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Pró-Concurso de Pernambuco EXERCÍCIOS DE RACIOCÍNIO LÓGICO # CONCEITOS DE LÓGICA, CONECTIVOS LÓGICOS E TABELAS-VERDADE 01. (ICMS/SP 2006 FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica. I. Que belo dia! II. Um excelente livro de raciocínio lógico. III. O jogo terminou empatado? IV. Existe vida em outros planetas do universo. V. Escreva uma poesia. A frase que não possui essa característica comum é a (A) I. (D) IV. (B) II. (E) V. (C) III. 02. (ICMS/SP 2006 FCC) Considere a proposição “Paula estuda, mas não passa no concurso”. Nessa proposição, o conectivo lógico é (A) disjunção inclusiva. (D) condicional. (B) conjunção. (E) bicondicional. (C) disjunção exclusiva. 03. (ICMS/SP 2006 FCC) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições. p q ? V V F V F V F V F F F F A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é (A) p ∧ q (D) p ↔ q (B) p → q (E) ~(p ∨ q) (C) ~(p → q) 04. (BACEN 2006 FCC) Sejam as proposições: p: atuação compradora de dólares por parte do Banco Central; q: fazer frente ao fluxo positivo. Se p implica em q, então (A) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição necessária para fazer frente ao fluxo positivo. (B) fazer frente ao fluxo positivo é condição suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central. (C) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central é condição suficiente para fazer frente ao fluxo positivo. (D) fazer frente ao fluxo positivo é condição necessária e suficiente para a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central. (E) a atuação compradora de dólares por parte do Banco Central não é condição suficiente e nem necessária para fazer frente ao fluxo positivo. 05. (TCE PIAUÍ 2005 FCC) O manual de garantia da qualidade de uma empresa diz que, se um cliente faz uma reclamação formal, então é aberto um processo interno e o departamento de qualidade é acionado. De acordo com essa afirmação é correto concluir que (A) a existência de uma reclamação formal de um cliente é uma condição necessária para que o departamento de qualidade seja acionado. (B) a existência de uma reclamação formal de um cliente é uma condição suficiente para que o departamento de qualidade seja acionado. (C) a abertura de um processo Interno é uma condição necessária e suficiente para que o departamento de qualidade seja acionado. (D) se um processo interno foi aberto, então um cliente fez uma reclamação formal (E) não existindo qualquer reclamação formal feita por um cliente, nenhum processo interno poderá ser aberto.
Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco 06. Encontre o valor lógico das proposições abaixo: a) 3+4=7 ou 2+2=4 b) 8<4 e 6>3 c) 6<0 ou 3=4 d) Se 2 é par, então 3 é ímpar. e) Se 5 é inteiro, então 3 é menor que 5. f) Se 8 é ímpar, então 7 é maior que 3. g) Se 13 é par, então 2 é ímpar. h) Se 10 é par, então 6 é maior que 20. i) 3 > 5 ∧ 8 > 6 j) 3 > 5 ∨ 8 > 6 k) 7 > 8 → ~(5 < 4) l) ~(5 > 17) → 9 < 4 07. (Téc Controle Interno RJ 99 FCC) Dadas as proposições I) ~( 1 + 1 = 2 ↔ 3 + 4 = 5 ) II) ~( 2 + 2 ≠ 4 ∧ 3 + 5 = 8 ) III) 43 ≠ 64 ↔ ( 3 + 3 = 7 ↔ 1 + 1 = 2 ) IV) (23 ≠ 8 ∨ 42 ≠ 43) V) 34 = 81 ↔ ~ ( 2 + 1 = 3 ∧ 5 x 0 = 0) A que tem valor lógico FALSO é a (A) IV (B) V (C) III
(D) II
(E) I
08. (Téc. Controle Interno RJ 99 FCC) Dadas as proposições compostas: I) 3+4=7 ↔ 53=125 II) 3+2=6 → 4+4=9 III)
3 >1 ∨ (π não é um número real)
IV) 2 >1 → 20=2 V) –2>0 ↔ π2<0 A que tem valor lógico FALSO é a (A) I (B) II (C) III
(D) V
(E) IV
09. (Téc. Controle Interno RJ 99 FCC) A função f não é injetora e também não é sobrejetora, logo, logicamente, é uma função (A) injetora e não-sobrejetora (C) injetora e sobrejetora (B) não-injetora e sobrejetora (D) não-injetora ou sobrejetora 10. (TRT 9ª Região 2004 FCC) Leia atentamente as proposições P e Q: P: o computador é uma máquina. Q: compete ao cargo de técnico judiciário a construção de computadores. Em relação às duas proposições, é correto afirmar que (A) a proposição composta “P ou Q" é verdadeira. (B) a proposição composta “P e Q” é verdadeira. (C) a negação de P é equivalente à negação de Q. (D) P é equivalente a Q. (E) P implica Q. 11. (TRT 9ª Região 2004 FCC) Leia atentamente as proposições simples P e Q: P: João foi aprovado no concurso do Tribunal. Q: João foi aprovado em um concurso. Do ponto de vista lógico, uma proposição condicional correta em relação a P e Q é: (A) Se não Q, então P. (D) Se Q, então P. (B) Se não P, então não Q. (E) Se P, então não Q. (C) Se P, então Q.
Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco 12. (Gestor Fazendário MG/2005/Esaf) Considere a afirmação P: P: “A ou B” Onde A e B, por sua vez, são as seguintes afirmações: A: “Carlos é dentista” B: “Se Enio é economista, então Juca é arquiteto”. Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo: a) Carlos não é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. b) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto. c) Carlos não é dentista; Enio é economista; Juca é arquiteto. d) Carlos é dentista; Enio não é economista; Juca não é arquiteto. e) Carlos é dentista; Enio é economista; Juca não é arquiteto. 13. (TCE-SP 2005 FCC) As afirmações de três funcionários de uma empresa são registradas a seguir: - Augusto: Beatriz e Carlos não faltaram ao serviço ontem. - Beatriz: Se Carlos faltou ao serviço ontem, então Augusto também faltou. - Carlos: Eu não faltei ao serviço ontem, mas Augusto ou Beatriz faltaram. Se as três afirmações são verdadeiras, é correto afirmar que, ontem, APENAS (A)Augusto faltou ao serviço. (D) Augusto e Beatriz faltaram ao serviço. (B) Beatriz faltou ao serviço. (E) Beatriz e Carlos faltaram ao serviço. (C) Carlos faltou ao serviço. 14. (Analista BACEN 2005 FCC) Aldo, Benê e Caio receberam uma proposta para executar um projeto. A seguir são registradas as declarações dadas pelos três, após a conclusão do projeto: - Aldo: Não é verdade que Benê e Caio executaram o projeto. - Benê: Se Aldo não executou o projeto, então Caio o executou. - Caio: Eu não executei o projeto, mas Aldo ou Benê o executaram. Se somente a afirmação de Benê é falsa, então o projeto foi executado APENAS por (A) Aldo. (D) Aldo e Benê. (B) Benê. (E) Aldo e Caio. (C) Caio. 15. (TRT-9R-2004-FCC) Considere a seguinte proposição: "na eleição para a prefeitura, o candidato A será eleito ou não será eleito”. Do ponto de vista lógico, a afirmação da proposição caracteriza (A) um silogismo. (D) uma contingência. (B) uma tautologia. (E) uma contradição. (C) uma equivalência. 16. (ICMS/SP 2006 FCC) Considere as afirmações abaixo. I. O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par. II. A proposição “(10 < 10 ) ↔ (8 - 3 = 6)” é falsa. III. Se p e q são proposições, então a proposição “(p → q) ∨ (~q)” é uma tautologia. É verdade o que se afirma APENAS em (A) I. (D) I e II. (B) II. (E) I e III. (C) III. 17. (ICMS/SP 2006 FCC) Seja a sentença ~{[ (p → q) ∨ r] ↔ [ q → (~p ∨ r)] }. Se considerarmos que p é falsa, então é verdade que (A) essa sentença é uma tautologia. (B) o valor lógico dessa sentença é sempre F. (C) nas linhas da Tabela-Verdade em que p é F, a sentença é V. (D) nas linhas da Tabela-Verdade em que p é F, a sentença é F. (E) faltou informar o valor lógico de q e de r.
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Pró-Concurso de Pernambuco 18. (Agente da Polícia Federal – 2004 – CESPE) Texto para os próximos sete itens. Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ¬, ∧, ∨ e → sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir. 1. Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (¬ P) ∨ (¬ Q) também é verdadeira. 2. Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R → (¬ T) é falsa. 3. Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P ∧ R) → (¬ Q) é verdadeira. 19. (TCU/2004 - CESPE) Suponha que P representa a proposição Hoje choveu, Q represente a proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi ao comércio. Com base nessas informações e no texto, julgue os itens a seguir: 1. A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia pode ser corretamente representada por ¬P Æ (¬R ∧ ¬Q) 2. A sentença Hoje choveu e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P ∧ ¬Q 3. Se a proposição Hoje não choveu for valorada como F e a proposição José foi à praia for valorada como V, então a sentença representada por ¬P Æ Q é falsa. 4. O número de linhas da tabela-verdade de (Q ∧ ¬R) Æ P é inferior a 9. # QUESTÕES QUE ENVOLVEM NEGAÇÃO 20. Assinale a assertiva incorreta. a) A negação de "2 é par e 3 é ímpar" é "2 não é par ou 3 não é ímpar" . b) A negação de "5 é primo ou 7 é par" é "5 não é primo e 7 não é par'. c) A negação de 2 ≥ 5 é 2 ≤ 5. d) A negação de "algum número primo par" é "todo número primo não é par". e) A negação de "nenhum número é inteiro" é "algum número é inteiro" . 21. Dê uma negação para cada uma das proposições abaixo. a) O tempo será frio e chuvoso. b) Ela estudou muito ou teve sorte na prova. c) Maria não é morena ou Regina é baixa. d) Se o tempo está chuvoso então está frio. e) Todos os corvos são negros. f) Nenhum triângulo é retângulo. g) Alguns sapos são bonitos. h) Algumas vidas não são importantes. 22. (TRT 9ª Região 2004 FCC) A correta negação da proposição "todos os cargos deste concurso são de analista judiciário. é: (A) alguns cargos deste concurso são de analista judiciário. (B) existem cargos deste concurso que não são de analista judiciário. (C) existem cargos deste concurso que são de analista judiciário. (D) nenhum dos cargos deste concurso não é de analista judiciário. (E) os cargos deste concurso são ou de analista, ou no judiciário. 23. (CVM 2000 ESAF) Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira: a) pelo menos um economista não é médico b) nenhum economista é médico c) nenhum médico é economista d) pelo menos um médico não é economista e) todos os não médicos são não economistas
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Pró-Concurso de Pernambuco 24. (SERPRO 96) Se não é verdade que “Alguma professora universitária não dá aulas interessantes”, então é verdade que: a) todas as professoras universitárias dão aulas interessantes; b) nenhuma professora universitária dá aulas interessantes; c) nenhuma aula interessante é dada por alguma professora universitária; d) nem todas as professoras universitárias dão aulas interessantes; e) todas as aulas não interessantes são dadas por professoras universitárias. 25. (AFC 2002 ESAF) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto. 26. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo o guardachuva" é: a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva 27. (TRT Paraná (cargo N13) 2004 FCC) Em uma declaração ao tribunal, o acusado de um crime diz: "No dia do crime, não fui a lugar nenhum. Quando ouvi a campainha e percebi que era o vendedor, eu disse a ele: - hoje não compro nada. Isso posto, não tenho nada a declarar sobre o crime.” Embora a dupla negação seja utilizada com certa freqüência na língua portuguesa como um reforço da negação, do ponto de vista puramente lógico, ela equivale a uma afirmação. Então, do ponto de vista lógico, o acusado afirmou, em relação ao dia do crime, que (A) não foi a lugar algum, não comprou coisa alguma do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime. (B) não foi a lugar algum, comprou alguma coisa do vendedor e tem coisas a declarar sobre o crime. (C) foi a algum lugar, comprou alguma coisa do vendedor e tem coisas a declarar sobre o crime. (D) foi a algum lugar, não comprou coisa alguma do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime. (E) foi a algum lugar, comprou alguma coisa do vendedor e não tem coisas a declarar sobre o crime. 28. (ICMS/SP 2006 FCC) Dentre as alternativas abaixo, assinale a correta. (A) As proposições ~(p ∧ q) e (~p ∨ ~q) não são logicamente equivalentes. (B) A negação da proposição “Ele faz caminhada se, e somente se, o tempo está bom”, é a proposição “Ele não faz caminhada se, e somente se, o tempo não está bom”. (C) A proposição ~[ p ∨ ~(p ∧ q)] é logicamente falsa. (D) A proposição “Se está quente, ele usa camiseta”, é logicamente equivalente à proposição “Não está quente e ele usa camiseta”. (E) A proposição “Se a Terra é quadrada, então a Lua é triangular” é falsa. 29. (TRT PARANÁ (cargo S17) 2004 FCC) Em um trecho da letra da música Sampa, Caetano Veloso se refere à cidade de São Paulo dizendo que ela é o avesso, do avesso, do avesso, do avesso. Admitindo que uma cidade represente algo bom. e que o seu avesso represente algo ruim, do ponto de vista lógico, o trecho da música de Caetano Veloso afirma que São Paulo é uma cidade (A) equivalente a seu avesso. (D) ruim. (B) similar a seu avesso. (E) boa. (C) ruim e boa. 30. (TRT PARANÁ (cargo 124) 2004 FCC) O avesso de uma blusa preta é branco. O avesso de uma calça preta é azul. O avesso de uma bermuda preta é branco.O avesso do avesso das três peças de roupa é (A) branco e azul. (D) azul. (B) branco ou azul. (E) preto. (C) branco.
Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco EQUIVALÊNCIA ENTRE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS 31. (ICMS/SP 2006 FCC) Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a p → q é (A) ~ q → ~ p (D) q → ~ p (B) ~ q→ p (E) ~ (q→ p) (C) ~ p→ ~ q 32. (SERPRO 96) Uma sentença logicamente equivalente a “Se Pedro é economista, então Luísa é solteira” é: a) Pedro é economista ou Luísa é solteira. b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira. c) Se Luísa é solteira,Pedro é economista; d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira; e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista. 33. (TRT 9ª Região 2004 FCC) Um economista deu a seguinte declaração em uma entrevista: "Se os juros bancários são altos, então a inflação é baixa'". Uma proposição logicamente equivalente à do economista é: (A) se a inflação não é baixa, então os juros bancários não são altos. (B) se a inflação é alta, então os juros bancários são altos. (C) se os juros bancários não são altos, então a inflação não é baixa. (D) os juros bancários são baixos e a inflação é baixa. (E) ou os juros bancários, ou a inflação é baixa. 34. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista 35. (MPOG 2001 ESAF) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente eqüivalente a dizer que: a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro 36. (ICMS/SP 2006 FCC) Dentre as alternativas abaixo, assinale a correta. (A) As proposições ~(p ∧ q) e (~p ∨ ~q) não são logicamente equivalentes. (B) A negação da proposição “Ele faz caminhada se, e somente se, o tempo está bom”, é a proposição “Ele não faz caminhada se, e somente se, o tempo não está bom”. (C) A proposição ~[ p ∨ ~(p ∧ q)] é logicamente falsa. (D) A proposição “Se está quente, ele usa camiseta”, é logicamente equivalente à proposição “Não está quente e ele usa camiseta”. (E) A proposição “Se a Terra é quadrada, então a Lua é triangular” é falsa. 37. (ICMS/SP 2006 FCC) Se p e q são proposições, então a proposição p ∧ (~q) é equivalente a (A) ~(p → ~q) (D) ~(q → ~p) (B) ~(p → q) (E) ~(p ∨ q) (C) ~q → ~p 38. (Analista Ambiental - Ministério do Meio Ambiente – 2004 – CESPE) Julgue o seguinte: ~(P → ~Q) é logicamente equivalente à (Q → ~P).
Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco # DIAGRAMAS LÓGICOS 39. (ICMS São Paulo 97) Todo A é B, e todo C não é B, portanto: a) algum A é C; d) algum B é C; b) nenhum A é C; e) nenhum B é A; c) nenhum A é B; 40. (AFCE TCU 99 ESAF) Se é verdade que "Alguns escritores são poetas" e que "Nenhum músico é poeta", então, também é necessariamente verdade que a) nenhum músico é escritor d) algum escritor não é músico b) algum escritor é músico e) nenhum escritor é músico c) algum músico é escritor 41. (Fiscal Trabalho 98 ESAF) Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, portanto, necessariamente que a) todo C é B c) algum A é C b) todo C é A e) algum A não é C 42. (BNB 2002 FCC) Considerando-se que todos os Gringles são Jirnes e que nenhum Jirnes é Trumps, a afirmação de que nenhum Trumps pode ser Gringles é: a) Necessariamente verdadeira. d) Falsa, mas não necessariamente. b) Verdadeira, mas não necessariamente. e) Indeterminada. c) Necessariamente falsa. 43. (IPEA 2004 FCC) Considerando “toda prova de Lógica é difícil" uma proposição verdadeira, é correto inferir que (A) “nenhuma prova de Lógica é difícil” é uma proposição necessariamente verdadeira. (B) “alguma prova de Lógica é difícil” é uma proposição necessariamente verdadeira. (E) “alguma prova de Lógica é difícil” é uma proposição verdadeira ou falsa. (D) “alguma prova de Lógica não é difícil” é uma proposição necessariamente verdadeira. (E) “alguma prova de Lógica não é difícil" é uma proposição verdadeira ou falsa. 44. (TRT Paraná (cargo N13) 2004 FCC) Sabe-se que existem pessoas desonestas e que existem corruptos. Admitindo-se verdadeira a frase "Todos os corruptos são desonestos”, é correto concluir que (A) quem não é corrupto é honesto. (B) existem corruptos honestos. (C) alguns honestos podem ser corruptos. (D) existem mais corruptos do que desonestos. (E) existem desonestos que são corruptos, 45. (MPE/PE técnico 2006 FCC) Considere verdadeiras todas as três afirmações: I. Todas as pessoas que estão no grupo de Alice são também as que estão no grupo de Benedito. II. Benedito não está no grupo de Celina. III. Dirceu está no grupo de Emília. Se Emília está no grupo de Celina, então (A) Alice está no grupo de Celina. (B) Dirceu não está no grupo de Celina. (C) Benedito está no grupo de Emília. (D) Dirceu não está no grupo de Alice. (E) Alice está no grupo de Emília.
Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco 46. (TCE PIAUÍ 2005 FCC) No diagrama abaixo, o retângulo maior representa o conjunto de todos os alunos do 1º ano de Direito de uma faculdade e as outras três figuras representam os conjuntos desses alunos que foram aprovados nas disciplinas de Direito 1, Direito 2 e Filosofia.
Direito 1 é pré-requisito para Direito 2, ou seja, um aluno só pode cursar Direito 2 se tiver sido aprovado em Direito 1. Além disso, sabe-se que nenhum aluno do 1ºano conseguiu ser aprovado ao mesmo tempo em Direito 2 e Filosofia. A tabela abaixo mostra a situação de três alunos nessas três disciplinas: Aluno Direito 1 Direito 2 Filosofia aprovado aprovado não aprovado Paulo aprovado Marcos não aprovado não aprovado aprovado não aprovado aprovado Jorge Associando cada um desses alunos à região do diagrama mais apropriada para representá-los, temos (A) Pau!o-V. Marcos-III, Jorge-I. (D) PauIo-IV. Marcos-II, Jorge-III. (B) PauIo-V. Marcos-II. Jorge-V (E) Paufo-IV.. Marcos-V, Jorge-III. (C) PauIo-IV. Marcos-V, Jorge-I. 47. (TRT PARANÁ (cargo S17) 2004 FCC) Denota-se respectivamente por A e B os conjuntos de todos atletas da delegação olímpica argentina e brasileira em Atenas, e por M o conjunto de todos os atletas que irão ganhar medalhas nessas Olimpíadas. O diagrama mais adequado para representar possibilidades de intersecção entre os três conjuntos é
B
A
B
A
M (a)
M
b)
B
A B
A
M c)
d)
M B
A
(e)
M
48. (TRT Paraná (cargo N13) 2004 FCC) Seja A o conjunto de todas as pessoas com mais de 1,80m de altura, B o conjunto de todas as pessoas com mais de 80 kg de massa, e C o conjunto de todas as pessoas com mais de 30 anos de idade. Tânia diz que Lucas tem menos de 1,80m e mais de 80 kg. Irene diz que Lucas tem mais de 80 kg e mais de 30 anos de idade. Sabendo que a afirmação de Tânia é verdadeira e a de Irene falsa, um diagrama cuja parte sombreada indica corretamente o conjunto ao qual Lucas pertence é:
Raciocínio Lógico
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A)
D)
B)
C)
E)
# ARGUMENTO 49. (TRT-9R-2004-FCC) Observe a construção de um argumento: Premissas: Todos os cachorros têm asas. Todos os animais de asas são aquáticos. Existem gatos que são cachorros. Conclusão: Existem gatos que são aquáticos. Sobre o argumento A, as premissas P e a conclusão C, é correto dizer que (A) A não é válido, P é falso e C é verdadeiro. (D) A é válido, P ou C são verdadeiros. (B) A não é válido, P e C são falsos. (E) A é válido se P é verdadeiro e C é falso. (C) A é válido, P e C são falsos. 50. (TCE-ES 2004 CESPE) A forma de uma argumentação lógica consiste de uma seqüência finita de premissas seguidas por uma conclusão. Há formas de argumentação lógica consideradas válidas e há formas consideradas inválidas. A respeito dessa classificação, julgue os itens seguintes. 1. A seguinte argumentação é inválida. Premissa 1: Todo funcionário que sabe lidar com orçamento conhece contabilidade. Premissa 2: João é funcionário e não conhece contabilidade. Conclusão: João não sabe lidar com orçamento. 2. A seguinte argumentação é válida. Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos devidos. Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos. Conclusão: Carlos é uma pessoa honesta. 51. (SERPRO 2004 – CESPE) Uma argumentação é uma seqüência finita de proposições. Uma argumentação é válida sempre que a veracidade (V) de suas (n - 1) premissas acarreta a veracidade de sua n-ésima — e última — proposição. Com relação a esses conceitos, julgue o item a seguir. 1. A argumentação • Se lógica é fácil, então Sócrates foi mico de circo. • Lógica não é fácil. • Sócrates não foi mico de circo. é válida e tem a forma • P→Q • ¬P • ¬Q
Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco 52. (ICMS/SP 2006 FCC) No argumento: “Se estudo, passo no concurso. Se não estudo, trabalho. Logo, se não passo no concurso, trabalho”, considere as proposições: P : “estudo", q : "passo no concurso", e r : "trabalho" . É verdade que (A) p, q, ~p e r são premissas e ~q → r é a conclusão. (B) a forma simbólica do argumento é (p → q) → (~ p→ r) | (~q→ r). (C) a validade do argumento é verificada por uma tabela- verdade com 16 linhas. (D) a validade do argumento depende dos valores lógicos e do conteúdo das proposições usadas no argumento. (E) a validade do argumento é verificada por uma tabela- verdade com 8 linhas. Atenção: Para responder as quatro próximas questões deve-se considerar que: Lógica é o estudo das relações entre afirmações, não da verdade dessas afirmações. Um argumento é um conjunto de fatos e opiniões (premissas) que dão suporte a uma conclusão. Isso não significa que as premissas ou a conclusão sejam necessariamente verdadeiras; entretanto, a análise dos argumentos permite que seja testada a nossa habilidade de pensar logicamente. 53. (Analista BACEN 2005 FCC) Um argumento é composto pelas seguintes premissas: - Se as metas de inflação não são reais, então a crise econômica não demorará a ser superada. - Se as metas de inflação são reais, então os superávits primários não serão fantasiosos. - Os superávits serão fantasiosos. Para que o argumento seja válido, a conclusão deve ser: (A)A crise econômica não demorará a ser superada. (B) As metas de inflação são irreais ou os superávits são fantasiosos. (C) As metas de inflação são irreais e os superávits são fantasiosos. (D) Os superávits econômicos serão fantasiosos. (E) As metas de inflação não são irreais e a crise econômica não demorará a ser superada. 54. (MPU Controle Interno 2004 ESAF) Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para a Sandra abraçar Sérgio. Assim, quando Sandra não abraça Sérgio, a) João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça Paulo. b) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo. c) João está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo. d) João não está feliz, e Maria não sorri, e Daniela não abraça Paulo. e) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela abraça Paulo. 55. (ANEEL 2004 ESAF) Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora, não velejo. Assim, a) estudo e fumo. d) estudo e não fumo. b) não fumo e surfo. e) fumo e surfo. c) não velejo e não fumo.
Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco # QUESTÕES DE ASSOCIAÇÃO 56. (TRT -Técnico Judiciário - MS 2006 FCC) Alice, Bruna e Carla, cujas profissões são, advogada, dentista e professora, não necessariamente nesta ordem, tiveram grandes oportunidades para progredir em sua carreira: uma delas, foi aprovada em um concurso público; outra, recebeu uma ótima oferta de emprego e a terceira, uma proposta para fazer um curso de especialização no exterior. Considerando que: −Carla é professora; −Alice recebeu a proposta para fazer o curso de especialização no exterior; −a advogada foi aprovada em um concurso público; é correto afirmar que (A) Alice é advogada. (D) Bruna recebeu a oferta de emprego. (B) Bruna é advogada. (E) Bruna é dentista. (C) Carla foi aprovada no concurso público. 57. (TRT PARANÁ (cargo 124) 2004 FCC) Com relação a três funcionários do Tribunal, sabe-se que L João é mais alto que o recepcionista; II . Mário é escrivão; III. Luís não é o mais baixo dos três; IV. um deles é escrivão, o outro recepcionista e o outro segurança. Sendo verdadeiras as quatro afirmações, é correto dizer que (A) João é mais baixo que Mário. (D) João é o mais alto dos três. (B) Luís é segurança. (E) Mário é mais alto que Luís. (C) Luís é o mais alto dos três. 58. (Técnico BACEN 2005 FCC) Três técnicos: Amanda, Beatriz e Cássio trabalham no banco – um deles no complexo computacional, outro na administração e outro na segurança do Sistema Financeiro, não respectivamente. A praça de lotação de cada um deles é: São Paulo, Rio de Janeiro ou Porto Alegre. Sabe-se que: - Cássio trabalha na segurança do Sistema Financeiro. - O que está lotado em São Paulo trabalha na administração. - Amanda não está lotada em Porto Alegre e não trabalha na administração. É verdade que, quem está lotado em São Paulo e quem trabalha no complexo computacional são, respectivamente, (A) Cássio e Beatriz. (D) Beatriz e Amanda. (B) Beatriz e Cássio. (E) Amanda e Cássio. (C) Cássio e Amanda. 59. (TCE-SP 2005 FCC) Cinco amigos, que estudaram juntos no colégio, estão reunidos num jantar. São eles: Almir, Branco, Caio, Danilo e Edílson. Atualmente, eles moram nas cidades de Atibaia, Batatais, Catanduva, Dracena e Embu, onde exercem as seguintes profissões: advogado, bibliotecário, contabilista, dentista e engenheiro. Considere que: - nenhum deles vive na cidade que tem a mesma letra inicial de seu nome, nem o nome de sua ocupação tem a mesma inicial de seu nome nem da cidade em que vive; - Almir não reside em Batatais e Edílson, que não é bibliotecário e nem dentista, tampouco aí vive; - Branco, que não é contabilista e nem dentista, não mora em Catanduva e nem em Dracena; - Danilo vive em Embu, não é bibliotecário e nem advogado; - o bibliotecário não mora em Catanduva. Nessas condições, é verdade que (A) Almir é contabilista e reside em Dracena. (B) Branco é advogado e reside em Atibaia. (C) Caio é dentista e reside em Catanduva.
(D) Danilo é dentista e reside em Embu. (E) Edílson é advogado e reside em Catanduva.
Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco 60. (Fiscal do Trabalho 2003 ESAF) Três amigas encontram-se em uma festa. O vestido de uma delas é azul, o de outra é preto, e o da outra é branco. Elas calçam pares de sapatos destas mesmas três cores, mas somente Ana está com vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os sapatos de Júlia são brancos. Marisa está com sapatos azuis. Desse modo, a) o vestido de Júlia é azul e o de Ana é preto. b) o vestido de Júlia é branco e seus sapatos são pretos. c) os sapatos de Júlia são pretos e os de Ana são brancos. d) os sapatos de Ana são pretos e o vestido de Marisa é branco. e) o vestido de Ana é preto e os sapatos de Marisa são azuis. 61. (ANEEL 2004 ESAF) Fátima, Beatriz, Gina, Sílvia e Carla são atrizes de teatro infantil, e vão participar de uma peça em que representarão, não necessariamente nesta ordem, os papéis de Fada, Bruxa, Rainha, Princesa e Governanta. Como todas são atrizes versáteis, o diretor da peça realizou um sorteio para determinar a qual delas caberia cada papel. Antes de anunciar o resultado, o diretor reuniu-as e pediu que cada uma desse seu palpite sobre qual havia sido o resultado do sorteio. Disse Fátima: “Acho que eu sou a Governanta, Beatriz é a Fada, Sílvia é a Bruxa e Carla é a Princesa”. Disse Beatriz: “Acho que Fátima é a Princesa ou a Bruxa”. Disse Gina: “Acho que Silvia é a Governanta ou a Rainha”. Disse Sílvia: “Acho que eu sou a Princesa”. Disse Carla: “Acho que a Bruxa sou eu ou Beatriz”. Neste ponto, o diretor falou: “Todos os palpites estão completamente errados; nenhuma de vocês acertou sequer um dos resultados do sorteio”! Um estudante de Lógica, que a tudo assistia, concluiu então, corretamente, que os papéis sorteados para Fátima, Beatriz, Gina e Sílvia foram, respectivamente, a) rainha, bruxa, princesa, fada. d) rainha, princesa, bruxa, fada. b) rainha, princesa, governanta, fada. e) fada, bruxa, rainha, princesa. c) fada, bruxa, governanta, princesa. # QUESTÕES DE MENTIRAS E VERDADES 62. (ICMS/SP 2006 FCC) Numa ilha dos mares do sul convivem três raças distintas de ilhéus: os zel(s) só mentem, os del(s) só falam a verdade e os mel(s) alternadamente falam verdades e mentiras − ou seja, uma verdade, uma mentira, uma verdade, uma mentira −, mas não se sabe se começaram falando uma ou outra. Nos encontramos com três nativos, Sr. A, Sr. B, Sr. C, um de cada uma das raças. Observe bem o diálogo que travamos com o Sr. C Nós: − Sr. C, o senhor é da raça zel, del ou mel? Sr. C: − Eu sou mel. (1ª resposta) Nós: − Sr. C, e o senhor A, de que raça é? Sr. C: − Ele é zel. (2ª resposta) Nós: − Mas então o Sr. B é del, não é isso, Sr. C? Sr. C: − Claro, senhor! (3ª resposta) Nessas condições, é verdade que os senhores A, B e C são, respectivamente, (A) del, zel, mel. (D) zel, del, mel. (B) del, mel, zel. (E) zel, mel, del. (C) mel, del, zel. 63. (AFTN 96 ESAF) Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a lado em um teatro. Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a verdade; Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda diz: "Tânia é quem está sentada no meio". A que está sentada no meio diz: "Eu sou Janete". Finalmente, a que está sentada à direita diz: "Angélica é quem está sentada no meio". A que está sentada à esquerda, a que está sentada no meio e a que está sentada à direita são, respectivamente: a) Janete, Tânia e Angélica d) Angélica, Tânia e Janete b) Janete, Angélica e Tânia e) Tânia, Angélica e Janete c) Angélica, Janete e Tânia
Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco 64. (TTN 1997 ESAF) Quatro amigos, André, Beto, Caio e Dênis, obtiveram os quatro primeiros lugares em um concurso de oratória julgado por uma comissão de três juízes. Ao comunicarem a classificação final, cada juiz anunciou duas colocações, sendo uma delas verdadeira e a outra falsa: Juiz 1: “André foi o primeiro; Beto foi o segundo” Juiz 2: “André foi o segundo; Dênis foi o terceiro” Juiz 3: “Caio foi o segundo; Dênis foi o quarto” Sabendo que não houve empates, o primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto colocados foram, respectivamente, a) André, Caio, Beto, Denis c) Beto, André, Dênis, Caio e) Caio, Beto, Dênis, André b) André, Caio, Dênis, Beto d) Beto, André, Caio, Dênis # SEQUÊNCIAS LÓGICAS DE LETRAS 65. (BACEN 1994) Complete a série: B D G L Q .... a) R
b) T
c) V
d) X
e) Z
66. Na sucessão de figuras seguintes as letras foram colocadas obedecendo a um determinado padrão.
Se a ordem alfabética adotada exclui as letras K, W e Y, então, completando-se corretamente a figura que tem os pontos de interrogação obtém-se
67. (MPE/PE técnico 2006 FCC) Considere que a seqüência de pares de letras (A, C), (F, D), (G, I), (M, J), ... obedece a uma lei de formação. Se o alfabeto oficial da Língua Portuguesa exclui as letras K, W e Y, o quinto par de letras da seqüência é (A) (P, N). (B) (N, P). (C) (O, Q). (D) (Q, O). (E) (R, P). 68. (TRT Auxiliar Judiciário MS 2006 FCC) Considerando que a ordem alfabética adotada é a oficial e exclui as letras K, W e Y, observe a relação existente entre o primeiro e o segundo grupos de letras mostrados no esquema seguinte: LMNL : PQRP :: GHIG : ? Se a mesma relação deve existir entre o terceiro grupo e o quarto, que está faltando, o grupo de letras que substituiria corretamente o ponto de interrogação é (A) HIGH (B) JLMJ (C)LMNL (D) NOPN (E) QRSQ 69. (CEAL ALAGOAS FCC) São dados três grupos de 4 letras cada um: (MNAB) : (MODC) :: (EFRS) : Se a ordem alfabética adotada exclui as letras K,W e Y, então o grupo de quatro letras que deve ser colocado à direita do terceiro grupo e que preserva a relação que o segundo tem com o primeiro é (A) (EHUV) (B) (EGUT) (C) (EGVU) (D) (EHUT) (E) (EHVU) 70. (BACEN 1994) A D F I : C F H .... a) I b) J
Raciocínio Lógico
c) L
d) N
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e) P
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Pró-Concurso de Pernambuco 71. (BACEN 1994) a) M S O Q b) J M O Q c) J Q P L
AGEC : GNLI D J H F ............ d) J Q O M e) G O M J
72. (BACEN 1994) BCFHMO
OFC
ACDFOR
ADGIQV
I D
DFHINO
CEHLRT
........
BDELST
a) T E C
b) E L T
c) T L
d) L E
E) T L E
73. (CEAL ALAGOAS FCC) Na figura abaixo se tem um triângulo composto por algumas letras do alfabeto e por alguns espaços vazios, nos quais algumas letras deixaram de ser colocadas.
Considerando que a ordem alfabética adotada exclui as letras K, W e Y, então, se as letras foram dispostas obedecendo a determinado critério, a letra que deveria estar no lugar do ponto de interrogação é (A) H (B) L (C) J (D) U (E) Z 74. (TCE-SP 2005 FCC) O triângulo abaixo é composto de letras do alfabeto dispostas segundo determinado critério.
Considerando que no alfabeto usado não entram as letras K, W e Y, então, segundo o critério utilizado na disposição das letras do triângulo a letra que deverá ser colocada no lugar do ponto de interrogação é (A) C (D)P (B) I (E) R (C) O 75. (Analista BACEN 2005 FCC) Na figura abaixo, as letras foram dispostas em forma de um triângulo segundo determinado critério.
Raciocínio Lógico
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Considerando que as letras K, W e Y não fazem parte do alfabeto oficial, então, de acordo com o critério estabelecido, a letra que deve substituir o ponto de interrogação é (A) P (D) S (B) Q (E)T (C) R 76. (Analista Judiciário TRT/MT 2004 FCC) Em relação a um código de cinco letras, sabe-se que: - TREVO e GLERO não têm letras em comum com ele; - PRELO tem uma letra em comum, que está na posição correta; - PARVO, CONTO e SENAL têm, cada um, duas letras comuns com o código, uma que se encontra na mesma posição, a outra não; - MUNCA tem com ele três letras comuns, que se encontram na mesma posição; - TIROL tem uma letra em comum, que está na posição correta. O código a que se refere o enunciado da questão é (A) MIECA. (B) PUNCI. (C) PINAI.
(D) PANCI.
(E) PINCA.
77. (Técnico Judiciário TRT/MT 2004 FCC) Comparando-se uma sigla de 3 letras com as siglas MÊS, SIM, BOI, BOL e ASO, sabe-se que: - MÊS não tem letras em comum com ela; - SIM tem uma letra em comum com ela, mas que não está na mesma posição; - BOI tem uma única letra em comum com ela, que está na mesma posição; - BOL tem uma letra em comum com ela, que não está na mesma posição; - ASO tem uma letra em comum com ela, que está na mesma posição. A sigla a que se refere o enunciado dessa questão é (A) BIL (B) ALI (C) LAS (D) OLI (E) ABI # SEQUÊNCIAS LÓGICAS DE PALAVRAS 78. (Técnico Judiciário TRT/MT 2004 FCC) Esta seqüência de palavras segue uma lógica: - Pá - Xale - Japeri Uma quarta palavra que daria continuidade lógica à seqüência poderia ser (A) Casa. (D) Café. (B) Anseio. (E) Sua. (C) Urubu. 79. (IPEA 2004 FCC) A sucessão seguinte de palavras obedece a uma ordem lógica. Escolha a alternativa que substitui “X" corretamente: RÃ, LUÍS, MEIO, PARABELO, “X". (A) Calçado. (C) Lógica. (E) Soteropolitano. (B) Pente. (D) Sibipiruna. 80. (IPEA 2004 FCC) Atente para os vocábulos que formam a sucessão lógica, escolhendo a alternativa que substitui “X" corretamente: LEIS, TEATRO, POIS, “X". (A) Camarão. (D) Zeugma. (B) Casa. (E) Eclipse. (C) Homero. Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco 81. (TCE-SP 2005 FCC) Observe que, no esquema abaixo, há uma relação entre as duas primeiras palavras: AUSÊNCIA – PRESENÇA :: GENEROSIDADE – ? A mesma relação deve existir entre a terceira palavra e a quarta, que está faltando. Essa quarta palavra é (A) bondade. (D) qualidade. (B) infinito. (E)mesquinhez. (C) largueza. 82. (TRT -Técnico Judiciário - MS 2006 FCC) Das seis palavras seguintes, cinco deverão ser agrupadas segundo uma característica comum. CARRETA – CANHADA – CAMADA – CREMADA – CANHOTO – CARRINHO A palavra a ser descartada é (A) CANHOTO. (B) CREMADA. (C) CAMADA.
(D) CANHADA. (E) CARRETA.
83. (TCE-SP 2005 FCC) Das cinco palavras seguintes, quatro estão ligadas por uma relação, ou seja, pertencem a uma mesma classe. MANIFESTO - LEI - DECRETO - CONSTITUIÇÃO – REGULAMENTO A palavra que NÃO pertence à mesma classe das demais é (A) REGULAMENTO (D) CONSTITUIÇÃO (B) LEI (E) MANIFESTO (C) DECRETO 84. (Analista BACEN 2005 FCC) Assinale a alternativa que completa corretamente a frase seguinte. O anuário está para o ano, assim como as efemérides estão para ... (A) a eternidade. (B) o mês. (C) a semana.
(D) o dia. (E) a quinzena.
# SEQUÊNCIAS LÓGICAS DE NÚMEROS 85. Determinar em cada seqüência abaixo o valor do termo indicado por x e por y. a) (2, 8, 32, 128, x) b) (2, 3, 5, 8, 12, x) c) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, x) d) (9876, 7654, 5432, x) e) (17, 20, 21, 24, 25, 28, x) f) (2, 3, 4, 5, 8, 7, x, y) g) (243, 424, 245, 426, 247, x) h)
12 36 30 48 63 , , , , 4 9 6 8 x
i) j)
(37, 26, 17, 10, 5, x) (2, 6, 12, 20, 30, x)
86. (TRT -Técnico Judiciário - MS 2006 FCC) Considere que, no interior do círculo abaixo os números foram colocados, sucessivamente e no sentido horário, obedecendo a um determinado critério.
Raciocínio Lógico
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Se o primeiro número colocado foi o 7, o número a ser colocado no lugar do ponto de interrogação está compreendido entre (A) 50 e 60. (B) 60 e 70. (C) 70 e 80. (D) 80 e 90. (E) 90 e 100. 87. (TRT -Técnico Judiciário - MS 2006 FCC) Considere a seqüência: (16, 18, 9, 12, 4, 8, 2, X) Se os termos dessa seqüência obedecem a uma lei de formação, o termo X deve ser igual a (A) 12 (C) 9 (E) 5 (B) 10 (D) 7 88. (TRT PARANÁ (cargo 124) 2004 FCC) Observe atentamente a tabela: um 2
dois 4
três 4
quatro 6
cinco 5
Seis 4
sete 4
oito 4
nove 4
dez
De acordo com o padrão estabelecido, o espaço em branco na última coluna da tabela deve ser preenchido com o número (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 89. (CEAL ALAGOAS FCC) Os termos da seqüência (77,74,37,34,17,14,...) são obtidos sucessivamente através de uma lei de formação. A soma do sétimo e oitavo termos dessa seqüência. obtidos segundo essa lei é (A) 21 (B) 19 (C) 16 (D) 13 (E) 11 90. (CEAL ALAGOAS FCC) Considere a seqüência de igualdades seguintes: 13 = 12 - 02 2 3 = 32 - 1 2 3 3 = 62 - 3 2 43 = 102 - 62 . . . É correto afirmar que a soma 13 + 23 + 33+ 43+ 53 + 63 + 73 + 83 é igual a (A) 482 (D) 382 2 (B) 46 (E) 362 2 (C) 42 91. (BACEN 1994) Complete:
3 6 24 ... a) 9 b) 36 c) 42
Raciocínio Lógico
12 96
d) 48 e) 64
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Pró-Concurso de Pernambuco 92. (BACEN 1994) 1 ; 16 ; 4 9 a) 82/90
25 ; 64 ; ...... 36 49
b) 81/100
c) 100/72
d) 99/72
e) 100/81
93. (BACEN 1994) 48
5 27
9
10
a)
20
12
d)
35
90
100
?
15
175
b)
c)
30
e)
180
25 150
240 40
94. (BACEN 1994)
7G
11 L
5E
13 N
3C
17 R 2B
a) 19 T
.......
b) 20 U
c) 21 V
d) 22 X
e) 23 Z
95. (Analista BACEN 2005 FCC) No quadriculado seguinte os números foram colocados nas células obedecendo a um determinado padrão. 16 13 29
34 19 15
27 28 55
X 42 66
Seguindo esse padrão, o número X deve ser tal que (A)X > 100 (D) 70 < X < 80 (B) 90 < X < 100 (E) X < 70 (C) 80 < X < 90 96. (TRT Auxiliar Judiciário MS 2006 FCC) Note que, dos pares de números seguintes, quatro têm uma característica comum. (1;5) − (3;7) − (4;8) − (7;10) − (8;12) O único par que não tem tal característica é (A) (1;5) (B) (3;7) (C) (4;8) (D) (8;12) (E) (7;10) Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco 97. (TRF/RS técnico 2004 FCC) Considere os seguintes pares de números: (3,10) ; (1,8) ; (5,12) ; (2,9) ; (4,10). Observe que quatro desses pares têm uma característica comum. O único par que não apresenta tal característica é (A) (3,10) (B) (1,8) (C) (5,12) (D) (2,9) (E) (4,10) 98. (MPE/PE Analista 2006 FCC) Das 5 ternas abaixo, 4 delas têm uma mesma característica comum, baseada em operações com seus elementos, enquanto uma delas NÃO tem essa característica. (9, 1, 3) _ (3, 2, 1) _ (2, 3, 4) _ (7, 4, 1) _ (8, 5, 2) A terna que NÃO possui essa característica comum é a terna (A) (9, 1, 3) (C) (2, 3, 4) (E) (8, 5, 2) (B) (3, 2, 1) (D) (7, 4, 1) 99. (TRT Auxiliar Judiciário MS 2006 FCC) que devem ser efetuadas em cada linha na coluna da extrema direita. 2 4 7 Para que o resultado da terceira linha seja número (A) 4 (B) 5 (C)6
No quadro seguinte, as letras A e B substituem as operações a fim de obter-se o correspondente resultado que se encontra A 4 B A 5 B A 8 B correto, o
1 = 5 6 = 3 9 = ? ponto de interrogação deverá ser substituído pelo
(D) 7
(E) 8
100. (TRF/RS técnico 2004 FCC) Instruções: Observe o exemplo seguinte, no qual são dados três conjuntos de números, seguidos de cinco alternativas.
(A) 10
(B) 12
(C) 13
(D) 15
(E) 18
O objetivo da questão é. determinar o número x que aparece abaixo do traço no terceiro conjunto. No primeiro conjunto, acima do traço, têm-se os números 3 e 4, e, abaixo, o número 12. Note que o número 12 é resultado de duas operações sucessivas: a adição dos números acima do traço (3 + 4 = 7), seguida da adição de 5 à soma obtida (7 + 5 =12). Da mesma forma, foi obtido o número 11 do segundo conjunto: 1+5 = 6; 6 + 5 = 11. Repetindo-se a seqüência de operações efetuadas nos conjuntos anteriores com os números do terceiro conjunto, obtém-se o número x, ou seja, 2 + 8 = 10; 10 + 5 = x. Assim, x = 15 e a resposta é a alternativa(D). Atenção: Em questões desse tipo, podem ser usadas outras operações, diferentes das usadas no exemplo dado. Com base nas instruções acima, responda: considere os conjuntos de números:
Mantendo para os números do terceiro conjunto a seqüência das duas operações efetuadas nos conjuntos anteriores para se obter o número abaixo do traço, é correto afirmar que o número x é (A) 9 (B) 16 (C) 20 (D) 36 (E) 40 101. (TRF/RS 2004 FCC) A tabela seguinte é a de uma operação ∆ definida sobre o conjunto E= {a.b,c,d,e}. ∆ a b c d e a a b c d e b b c d e a c c d e a b d d e a b c e e a b c d Assim, por exemplo, temos: (b ∆ d) ∆ c = e ∆ c = b Nessas condições, se x ∈ E e d ∆ x = c ∆ (b ∆ e), então x é igual a (A) a (B) b (C) c (D) d (E) e Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco 102. (TCE-SP 2005 FCC) Considere as sentenças seguintes: 2+2=6 4 × 4 = 34 7:1=1 26 : 2 = 5 Obviamente as quatro sentenças são falsas! Entretanto, uma mesma alteração feita em cada um dos doze números que nelas aparecem pode torná-las verdadeiras. Feita essa alteração e mantidas as operações originais, então, entre os resultados que aparecerão no segundo membro de cada igualdade, o menor será (A) 2 (B)3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 103. (Analista BACEN 2005 FCC) Na seqüência seguinte o número que aparece entre parênteses é obtido segundo uma lei de formação. 63(21)9; 186(18)31; 85( ? )17 O número que está faltando é (A)15 (B) 17 (C) 19 (D) 23 (E) 25 # SEQUÊNCIAS LÓGICAS DE FIGURAS 104. (TRT - Técnico Judiciário - MS 2006 FCC) Observe que há uma relação entre as duas primeiras figuras representadas na seqüência abaixo.
A mesma relação deve existir entre a terceira figura e a quarta, que está faltando. Essa quarta figura é
105. (TCE-SP 2005 FCC) Observe que a seqüência de figuras seguinte está incompleta. A figura que está faltando, à direita, deve ter com aquela que a antecede, a mesma relação que a segunda tem com a primeira. Assim,
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
106. (TCE-SP 2005 FCC) Abaixo tem-se uma sucessão de quadrados, no interior dos quais as letras foram colocadas obedecendo a um determinado padrão.
Segundo esse padrão, o quadrado que completa a sucessão é
Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco 107. (MPE/PE Analista 2006 FCC) Observe abaixo que há uma relação entre as duas primeiras figuras.
Se a mesma relação é válida entre a 3ª e a 4ª figuras, então a 4ª figura é
108. (TCE-SP 2005 FCC) As pedras de dominó abaixo foram, sucessivamente, colocadas da esquerda para a direita e modo que, tanto a sua parte superior como a inferior, seguem determinados padrões.
A pedra de dominó que substitui a que tem os pontos de interrogação é
109. (Analista BACEN 2005 FCC) As pedras de dominó mostradas abaixo foram dispostas, sucessivamente e no sentido horário, de modo que os pontos marcados obedeçam a um determinado critério.
Com base nesse critério, a pedra de dominó que completa corretamente a sucessão é
Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco 110. (Analista BACEN 2005 FCC) Em cada linha do quadro abaixo, as figuras foram desenhadas obedecendo a um mesmo padrão de construção.
Segundo esse padrão, a figura que deverá substituir corretamente o ponto de interrogação é
111. (MPE/PE técnico 2006 FCC) Considere a seqüência de figuras:
Mantendo a mesma lei de formação, a 1ª figura é igual à (A) 11ª figura. (B) 12ª figura. (C) 13ª figura. (D) 14ª figura. (E) 15ª figura. 112. (TCE-SP 2005 FCC) Em cada linha do quadro abaixo, as figuras foram desenhadas obedecendo a um mesmo padrão de construção.
Segundo esse padrão, a figura que deve substituir o ponto de interrogação é
Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco 113. (Técnico BACEN 2005 FCC) Na seqüência de quadriculados abaixo, as células pretas foram colocadas obedecendo a um determinado padrão. figura I figura II figura III figura IV
Mantendo esse padrão, o número de células brancas na Figura V será (A) 101 (B) 99 (C) 97 (D) 83 (E) 81 114. (Técnico BACEN 2005 FCC) Das 5 figuras abaixo, 4 delas têm uma característica geométrica em comum, enquanto uma delas não tem essa característica.
A figura que NÃO tem essa característica é a (A) I. (B) II. (C) III.
(D) IV.
(E) V.
115. (TRT Auxiliar Judiciário MS 2006 FCC) Observe que, quatro das figuras seguintes têm uma característica comum.
A única figura que NÃO tem a característica das demais é
(A)
(B)
Raciocínio Lógico
(C)
(D)
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(E)
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Pró-Concurso de Pernambuco 116. (TRT Auxiliar Judiciário MS 2006 FCC) Do conhecido “jogo-da-velha” participam duas pessoas que devem, alternadamente, assinalar suas respectivas marcas nas casas de um esquema formado por linhas paralelas, duas horizontais e duas verticais. O vencedor será aquele que primeiro conseguir assinalar sua marca em três casas de uma mesma linha, coluna ou diagonal do esquema. Considere que, após três jogadas sucessivas, tem-se o seguinte esquema:
Dos esquemas seguintes, o único que NÃO apresenta jogadas equivalentes à do esquema acima
(B)
(A)
(C)
(D)
(E)
# QUESTÕES LÓGICAS QUE ENVOLVEM DADOS 117. (TRT PARANÁ (cargo S17) 2004 FCC) Um dado é feito com pontos colocados nas faces de um cubo, em correspondência com os números de 1 a 6, de tal maneira que a somados pontos que ficam em cada par de faces opostas é sempre sete. Dentre as três planificações indicadas, a(s) única(s) que permite(m) formar, apenas com dobras, um dado com as características descritas é (são):
(A) I
(B) I e lI.
Raciocínio Lógico
(C) I e III.
(D) II e III.
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(E) I, II, III
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Pró-Concurso de Pernambuco 118. (TRT PARANÁ (cargo 124) 2004 FCC) Em um dado convencional os pontos que correspondem aos números de 1 a 6 são colocados nas faces de um cubo, de tal maneira que a soma dos pontos que ficam em cada par de faces opostas é sempre igual a sete. Considere que a figura seguinte indica dois dados convencionais, e que suas faces em contato não possuem quantidades de pontos iguais.
A soma dos pontos que estão nas faces em contato dos dois dados é (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 11 (E) 12 119. (TRT Paraná (cargo N13) 2004 FCC) Um certo número de dados de seis faces formam uma pilha única sobre uma mesa. Sabe-se que: - os pontos de duas faces opostas de um dado sempre totalizam 7; - a face do dado da pilha que está em contato coma mesa é a do número 6; - os pontos das faces em contato de dois dados da pilha são sempre iguais. Sendo verdadeiras as três afirmações acima, na pilha, a face do dado da pilha mais afastada da mesa (A) necessariamente tem um número de pontos ímpar. {B} tem 6 pontos, se o número de dados da pilha for par. (C) tem 6 pontos, se o número de dados da pilha for ímpar. (D) tem 1 ponto, se o número de dados da pilha for par. (E} necessariamente tem um número par de pontos. 120. (TCE-SP 2005 FCC) O desenho seguinte mostra a planificação de um cubo que apresenta um número pintado em cada face, como é mostrado na figura abaixo.
A partir dessa planificação, qual dos seguintes cubos pode ser montado?
Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco # QUESTÕES LÓGICAS QUE ENVOLVEM PALITOS 121. (TRT PARANÁ (cargo S17) 2004 FCC) Movendo alguns palitos de fósforo da figura I, é possível transformá-la na figura II:
O menor número de palitos de fósforo que deve ser movido para fazer tal transformação é (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 122. (TRT PARANÁ (cargo 124) 2004 FCC) Movendo-se palito(s) de fósforo na figura I, é possível transformá-la na figura II
o menor número de palitos de fósforo que deve ser movido para fazer tal transformação é (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 # QUESTÕES LÓGICAS COM FIGURAS 123. (TRT -Técnico Judiciário - MS 2006 FCC) Considere a figura abaixo:
Se você pudesse fazer uma das figuras seguintes deslizar sobre o papel, aquela que, quando sobreposta à figura dada, coincidiria exatamente com ela é
(B)
(A)
(C)
(D)
(E)
124. (TRF/RS técnico 2004 FCC) Observe a figura seguinte:
Qual figura é igual à figura acima representada?
(A)
(B)
Raciocínio Lógico
(C)
(D)
(E)
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Pró-Concurso de Pernambuco 125. (Técnico BACEN 2005 FCC) Considere a figura abaixo.
Supondo que as figuras apresentadas nas alternativas abaixo possam apenas ser deslizadas sobre o papel, aquela que coincidirá com a figura dada é
126. (TRT Auxiliar Judiciário MS 2006 FCC) Observe a figura abaixo.
Qual dos desenhos seguintes pode ser encontrado no interior da figura dada?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
127. (CEAL ALAGOAS FCC) Considere o desenho seguinte:
A alternativa que apresenta uma figura semelhante à outra que pode ser encontrada no interior do desenho dado é
Raciocínio Lógico
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A)
B)
C)
D)
E) 128. (Analista BACEN 2005 FCC) Observe com atenção a figura abaixo: Dos desenhos seguintes, aquele que pode ser encontrado na figura dada é
129. (Analista BACEN 2005 FCC) O sólido representado na figura seguinte é um paralelepípedo retoretângulo.
Uma planificação desse sólido é
(A)
Raciocínio Lógico
(B)
(C)
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(D)
(E)
130. (TCE-SP 2005 FCC) Considere que o cubo mostrado na figura foi montado a partir de pequenos cubos avulsos, todos de mesmo tamanho.
O número de cubos que podem ser visualizados nessa figura é (A) 9 (B) 18 (C) 27 (D) 36 (E) 48 131. (Técnico BACEN 2005 FCC) Analise a figura abaixo.
O maior número de triângulos distintos que podem ser vistos nessa figura é (A) 20 (B) 18 (C) 16 (D) 14 (E) 12 # QUESTÕES DE CONJUNTOS 132. (TRT PARANÁ (cargo S17) 2004 FCC) Uma empresa divide-se unicamente nos departamento A e B. Sabe-se que 19 funcionários trabalham em A, 13 trabalham em B e existem 4 funcionários que trabalham em ambos os departamentos. O total de trabalhadores dessa empresa é (A) 36 (D) 28 (B) 32 (E) 24 (C) 30 133. (TRT PARANÁ (cargo S17) 2004 FCC) O resultado de uma pesquisa com os funcionários de uma empresa sobre a disponibilidade para um dia de jornada extra no sábado e/ou no domingo, é mostrado na tabela abaixo: Disponibilidade Número de funcionários apenas no sábado 25 no sábado 32 no domingo 37 Dentre os funcionários pesquisados, o total que manifestou disponibilidade para a jornada extra "apenas no domingo'” é igual a (A) 7 (D) 30 (B) 14 (E) 37 (C) 27
Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco 134. (MPE/PE técnico 2006 FCC) Dos 63 alunos que concluíram o curso técnico no ano passado, em uma escola, 36 têm formação na Área Informática e 40 na Área Eletrônica. Somente 6 deles não têm formação nessas áreas. Sobre esses alunos, é verdade que (A) mais de 16 têm formação só na Área Informática. (B) menos de 20 têm formação só na Área Eletrônica. (C) o número dos que têm formação nas duas áreas é um número par. (D) o número dos que têm formação em pelo menos uma dessas duas áreas é maior que 58. (E) o número dos que têm formação só na Área Informática ou só na Área Eletrônica é um número ímpar. 135. (Técnico BACEN 2005 FCC) Para um grupo de funcionários, uma empresa oferece cursos para somente dois idiomas estrangeiros: inglês e espanhol. Há 105 funcionários que pretendem estudar inglês, 118 que preferem espanhol e 37 que pretendem estudar simultaneamente os dois idiomas. Se 1/7 do total de funcionários desse grupo não pretende estudar qualquer idioma estrangeiro, então o número de elementos do grupo é (A) 245 (D) 224 (B) 238 (E) 217 (C) 231 136. (Analista Judiciário TRT/MT 2004 FCC) Em uma pesquisa sobre hábitos alimentares realizada com empregados de um Tribunal Regional, verificou-se que todos se alimentam ao menos uma vez ao dia, e que os únicos momentos de alimentação são: manhã, almoço e jantar. Alguns dados tabelados dessa pesquisa são: - 5 se alimentam apenas pela manhã; - 12 se alimentam apenas no jantar; - 53 se alimentam no almoço; - 30 se alimentam pela manhã e no almoço; - 28 se alimentam pela manhã e no jantar; - 26 se alimentam no almoço e no jantar; - 18 se alimentam pela manhã, no almoço e no jantar. Dos funcionários pesquisados, o número daqueles que se alimentam apenas no almoço é (A) 80% dos que se alimentam apenas no jantar. (B) o triplo dos que se alimentam apenas pela manhã. (C) a terça parte dos que fazem as três refeições. (D) a metade dos funcionários pesquisados. (E) 30% dos que se alimentam no almoço. 137. (ICMS/SP 2006 FCC) Numa sala de 30 alunos, 17 foram aprovados em Matemática, 10 em História, 9 em Desenho, 7 em Matemática e em História, 5 em Matemática e Desenho, 3 em História e Desenho e 2 em Matemática, História e Desenho. Sejam: • v o número de aprovados em pelo menos uma das três disciplinas; • w o número de aprovados em pelo menos duas das três disciplinas; • x o número de aprovados em uma e uma só das três disciplinas; • y o número de aprovados em duas e somente duas das três disciplinas; • z o número dos que não foram aprovados em qualquer uma das três disciplinas. Os valores de v, w , x, y, z são, respectivamente, (A) 30, 17, 9, 7, 2 (D) 23, 11, 12, 9, 7 (B) 30, 12, 23, 3, 2 (E) 23, 11, 9, 7, 2 (C) 23, 12, 11, 9, 7 138. (ICMS/SP 2006 FCC) Um seminário foi constituído de um ciclo de três conferências: uma de manhã, outra à tarde e a terceira à noite. Do total de inscritos, 144 compareceram de manhã, 168 à tarde e 180 à noite. Dentre os que compareceram de manhã, 54 não voltaram mais para o seminário, 16 compareceram às três conferências e 22 compareceram também à tarde, mas não compareceram à noite. Sabe-se também que 8 pessoas compareceram à tarde e à noite, mas não de manhã. Constatouse que o número de ausentes no seminário foi de um oitavo do total de inscritos. Nessas condições, é verdade que (A) 387 pessoas compareceram a pelo menos uma das conferências. (B) 282 pessoas compareceram a somente uma das conferências. (C) 108 pessoas compareceram a pelo menos duas conferências. Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco (D) 54 pessoas inscritas não compareceram ao seminário. (E) o número de inscritos no seminário foi menor que 420. 139. (AFC/96 Esaf) Em um grupo de 160 estudantes, 60% assistem a aulas de francês e 40% assistem a aulas de inglês mas não às de francês. Dos que assistem a aulas de francês, 25% também assistem a aulas de inglês. O número de estudantes, do grupo de 160 estudantes, que assistem a aulas de inglês é a) 40 b) 64 c) 66 d) 88 e) 90 140. (RJ 1999 FCC) Em uma pesquisa de mercado verificou-se que 300 pessoas não consomem o produto A, 200 não consomem o produto B, 100 não consomem A ou B e 50 consomem A e B. O número de consumidores consultados é igual a (A) 250 (D) 550 (B) 350 (E) 650 (C) 450 141. (TTN 1998 Esaf) Considere dois conjuntos, A e B, tais que A = {4, 8, x, 9, 6} e B = {1, 3, x, 10, y, 6}. Sabendo que a intersecção dos conjuntos A e B é dada pelo conjunto {2, 9, 6}, o valor da expressão y(3x + 3) é igual a a) -28 d) 6 b) -19 e) 0 c) 32 # PROBLEMAS LÓGICOS 142. (Analista Judiciário TRT/MT 2004 FCC) A figura mostra a localização dos apartamentos de um edifício de três pavimentos que tem apenas alguns deles ocupados:
Sabe-se que: - Maria não tem vizinhos no seu andar, e seu apartamento localiza-se o mais a leste possível; - Taís mora no mesmo andar de Renato, e dois apartamentos a separam do dele; - Renato mora em um apartamento no segundo andar exatamente abaixo do de Maria; - Paulo e Guilherme moram no andar mais baixo, não são vizinhos e não moram abaixo de um apartamento ocupado. - No segundo andar estão ocupados apenas dois apartamentos. Se Guilherme mora a sudoeste de Tais, o apartamento de Paulo pode ser: (A) 1 ou 3
(B) 1 ou 4
Raciocínio Lógico
(C) 3 ou 4
(D) 3 ou 5
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(E) 4 ou 5
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Pró-Concurso de Pernambuco 143. (Técnico Judiciário TRT/MT 2004 FCC) Em um dia de trabalho no escritório, em relação aos funcionários Ana, Cláudia, Luis, Paula e João, sabe-se que: - Ana chegou antes de Pauta e Luís. - Paula chegou antes de João. - Cláudia chegou antes de Ana. - João não foi o último a chegar. Nesse dia, o terceiro a chegar no escritório para o trabalho foi (A) Ana. (D) Luís. (B) Cláudia. (E) Paula. (C) João. 144. (Analista BACEN 2005 FCC) Cinco times – Antares, Bilbao, Cascais, Deli e Elite – disputam um campeonato de basquete e, no momento, ocupam as cinco primeiras posições na classificação geral. Sabe-se que: - Antares está em primeiro lugar e Bilbao está em quinto; - Cascais está na posição intermediária entre Antares e Bilbao; - Deli está à frente do Bilbao, enquanto que o Elite está imediatamente atrás do Cascais. Nessas condições, é correto afirmar que (A) Cascais está em segundo lugar. (B) Deli está em quarto lugar. (C) Deli está em segundo lugar.
(D) Elite está em segundo lugar. (E) Elite está em terceiro lugar.
145. (Técnico Judiciário TRT/MT 2004 FCC) O diagrama indica percursos que interligam as cidades A, B, C, D e E, com as distâncias dadas em quilômetros:
Partindo-se de A e passando por E, C e D, nessa ordem,a menor distância que poderá ser percorrida para chegar a B é, em quilômetros, (A) 68 (D) 71 (B) 69 (E) 72 (C) 70 146. (IPEA 2004 FCC) Encontram-se sentados em torno de uma mesa quadrada quatro juristas. Miranda, o mais antigo entre eles, é alagoano. Há também um paulista, um carioca e um baiano. Ferraz está sentada à direita de Miranda. Mendes, à direita do paulista. Por sua vez, Barbosa, que não é carioca, encontra-se à frente de Ferraz. Assim (A) Ferraz é carioca e Barbosa é baiano. (D) Ferraz é baiano e Barbosa é paulista. (B) Mendes é baiano e Barbosa é paulista. (E) Ferraz é paulista e Barbosa é baiano. (C) Mendes é carioca e Barbosa é paulista. 147. (TRT Paraná (cargo N13) 2004 FCC) Em uma urna temos 3 bolas azuis, cada uma com 5 cm3 de volume, 3 cubos pretos, cada um com 2 cm3 de volume e 1 cubo azul de 3 cm3 de volume. Retirandose quatro objetos da uma, sem reposição, necessariamente um deles (A) terá volume menor do que 3 cm3. (D) será azul. (B) terá volume maior do que 3 cm3. (E) será preto. (C) será uma bola.
Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco 148. (TRT PARANÁ (cargo S17) 2004 FCC) Em uma urna contendo 2 bolas brancas, 1 bola preta, 3 bolas cinzas, acrescenta-se 1 bola, que pode ser branca, preta ou cinza. Em seguida, retira-se dessa uma, sem reposição, um total de 5 bolas. Sabe-se que apenas 2 das bolas retiradas eram brancas e que não restaram bolas pretas na urna após a retirada. Em relação às bolas que restaram na uma, é correto afirmar que (A) ao menos uma ê branca. (D) exatamente uma é cinza. (B) necessariamente uma é branca. (E) todas são cinzas. (C) ao menos uma é cinza. 149. (TRT PARANÁ (cargo 124) 2004 FCC) Para fazer pesagens, um comerciante dispõe de uma balança de pratos, um peso de 1/2kg, um de 2kg e um de 3kg.
Com os instrumentos disponíveis, o comerciante conseguiu medir o peso de um pacote de açúcar. O total de possibilidades diferentes para o peso desse pacote de açúcar é (A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 9 (E) 10 150. (TRT PARANÁ (cargo S17) 2004 FCC) Um número de 1 a 10 foi mostrado para três pessoas. Cada pessoa fez a seguinte afirmação sobre o número: Pessoa I: o número é divisível apenas por 1 e por ele mesmo. Pessoa II: o número é ímpar. Pessoa III: o número é múltiplo de 5. Considerando que apenas duas pessoas dizem a verdade, o total de números distintos que podem ter sido mostrados às três pessoas é: (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6 151. (TRT PARANÁ (cargo 124) 2004 FCC) Em um concurso. João. Pedro e Lígia tentam adivinhar um número selecionado entre os números naturais de 1 a 9. Ganha o concurso aquele que mais se aproximar do número sorteado. Se João escolheu o número 4, e Pedro o número 7, a melhor escolha que Lígia pode fazer para maximizar sua chance de vitória é o número (A) 2 (D) 6 (B) 3 (E) 8 (C) 5 Instruções: Para responder a próxima questão considere os dados abaixo. Em certo teatro hà uma fila com seis poltronas que estão uma ao lado da outra e são numeradas de 1 a 6, da esquerda para a direita. Cinco pessoas - AIan, Brito, Camila, Décio e Efraim - devem ocupar cinco dessas poltronas, de modo que: - Camila não ocupe as poltronas assinaladas com números impares; - Efraim seja a terceira pessoa sentada, contando-se da esquerda para a direita; - Alan acomode-se na poltrona imediatamente à esquerda de Brito. 152. (CEAL ALAGOAS FCC) Para que essas condições sejam satisfeitas, a poltrona que NUNCA poderá ficar desocupada é a de número (A) 2 (D) 5 (B) 3 (E) 6 (C) 4
Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco 153. (TRF/RS técnico 2004 FCC) Seis rapazes (Álvaro, Bruno, Carlos, Danilo, Elson e Fábio) conheceramse certo dia em um bar. Considere as opiniões de cada um deles em relação aos demais membros do grupo: - Álvaro gostou de todos os rapazes do grupo; - Bruno, não gostou de ninguém; entretanto, todos gostaram dele; - Carlos gostou apenas de dois rapazes, sendo que Danilo é um deles; - Danilo gostou de três rapazes, excluindo-se Carlos e Fábio; - Elson e Fábio gostaram somente de um dos rapazes. Nessas condições, quantos grupos de dois ou mais rapazes gostaram um dos outros? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5 154. (MPE/PE Analista 2006 FCC) De um grupo de 5 homens (A, B, C, D e E) e 6 mulheres (M, N, O, P, Q e R), deverá ser formado um grupo de trabalho constituído de 3 homens e 3 mulheres, satisfazendo as seguintes condições: - A se recusa a trabalhar com M e Q; - B se recusa a trabalhar com N e P; - C se recusa a trabalhar com P e R; - D se recusa a trabalhar com N e R; - E se recusa a trabalhar com N e Q; - Q se recusa a trabalhar com N e R. Se Q pertencer ao grupo, então os outros membros desse grupo serão (A) B, C, E, O e P. (C) B, C, D, M e P. (E) B, D, E, M e O. (B) B, C, D, M e O. (D) B, C, D, N e O. 155. (TRT Paraná (cargo N13) 2004 FCC) Uma pesquisa sobre intenção de votos dos três únicos candidatos à prefeitura de uma cidade revela que: - 50 eleitores preferem A a C, e C a B; - 40 eleitores preferem B a C, e C a A; - 30 eleitores preferem C a B, e B a A. Sabe-se que um dos candidatos desistiu da candidatura, ficando a disputa apenas entre os outros dois. Admitindo-se que a retirada da candidatura não tenha afetado a transitividade dos resultados verificados, a pesquisa indica que (A) sendo A o candidato desistente, então B será eleito. (B) sendo C o candidato desistente, então A será eleito. (C) não sendo A o candidato desistente, então ele será o eleito. (D) não sendo B o candidato desistente, então ele será o eleito. (E) não sendo C o candidato desistente, então ele será o eleito. 156. (TRT PARANÁ (cargo S17) 2004 FCC) Após zerar e acionar um cronômetro que marca minutos e segundos, João inicia a subida de um morro, que é c0ncluída quando o cronômetro marca 36 minutos e 15 segundos. No início do percurso de descida, realizado pela mesma trilha da subida, João também zera e aciona o cronômetro. Ao final da descida, João nota que, curiosamente, o cronômetro marcou novamente 36 minutos e 15 segundos. Apenas com base nessas informações, é correto afirmar que (A) em algum ponto da trilha, o cronômetro de João acusou exatamente a mesma marcação de tempo na subida e na descida. (B) em algum ponto da descida João parou para descansar. (C) João não parou para descansar ao longo da subida e da descida. (D) João fez o trajem todo em um tempo superior a 1 hora e 1/4 de hora. (E) a trilha percorrida por João é pouco íngreme. 157. (TRT Paraná (cargo N13) 2004 FCC) Considere as proposições abaixo: I. entre estas seis proposições, apenas três são falsas. II. 2 + 2 = 4 III. 3 x 6 = 17 IV. 8 : 4 = 2 V. 13 – 6 = 5 VI. apenas as proposições 2 e 4 são verdadeiras. Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco Do ponto de vista lógico, para que haja contradição entre as frases, são verdadeiras apenas . (A) II, IV e VI. (D) I, II e IV. (B) II, IV e V. (E) I, II, IV e VI. (C) II e IV. 158. (TRT Paraná (cargo N13) 2004 FCC) Um funcionário executa urna tarefa a cada 4 dias de trabalho. A primeira vez que fez essa tarefa foi em uma quinta-feira, a segunda vez foi em uma quarta-feira, a terceira em uma terça-feira, a quarta em um sábado, e assim por diante. Sabendo-se que não houve feriados no período indicado e que o funcionário folga sempre no(s} mesmo(s) dia(s) da semana, é correto afirmar que sua(s) folga(s) ocorre(m) apenas: (A) segunda-feira. (D) domingo e sexta-feira. (B) sexta-feira. (E) domingo e segunda-feira. (C) domingo. 159. (TRT Paraná (cargo N13) 2004 FCC) Em relação aos países A, B, C, D e E que irão participar das Olimpíadas de Atenas neste ano, quatro pessoas fizeram os seguintes prognósticos de classificação: João Luís Teresa Célia
O país melhor colocado será B O país melhor colocado será B ou D O país melhor colocado não será D e nem C O país E não será o melhor colocado
Se após as Olimpíadas for verificado que apenas duas pessoas acertaram seu próprio prognóstico, concluise que o melhor colocado, entre os cinco países, foi (A) A (D) D (B) B (E) E (C) C 160. (BACEN 1994) Considerando as afirmativas abaixo, marque a única opção logicamente possível: I - Assinale a letra A, se E estiver certa. II- Assinale a letra C, se B for incorreta. III- A letra E será o gabarito, se D for a opção verdadeira IV- Se D estiver correto, B também estará. a) A
b) B
c) C
d) D
e) E
161. (MPE/PE Analista 2006 FCC) Para a implementação de uma biblioteca, um analista ministerial foi incumbido de dar plantões, num período de 30 dias. Durante esse período, observou-se que: - sempre que deu plantão de manhã, também deu plantão à tarde; - houve 10 manhãs e 6 tardes sem plantão. Nessas condições, é verdade que houve (A) 7 dias sem plantão. (D) 22 dias de plantão de manhã e de tarde. (B) 6 dias de plantão só de manhã. (E) 28 dias de plantão de manhã ou de tarde. (C) 4 dias de plantão só à tarde. 162. (EPUSP) Depois de n dias de férias, um estudante observa que: (1) choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde. (2) quando chove de manhã não chove à tarde. (3) houve 5 tardes sem chuva. (4) houve 6 manhãs sem chuva. Então, n é igual a: a) 7 b) 9 c) 10 d) 11 e) n.d.a. 163. (TCE-SP 2005 FCC) Ernesto é chefe de uma seção do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo, na qual trabalham outros quatro funcionários: Alicia, Benedito, Cíntia e Décio. Ele deve preparar uma escala de plantões que devem ser cumpridos por todos, ele inclusive, de segunda à sexta-feira. Para tal, ele anotou a disponibilidade de cada um, com suas respectivas restrições: − Alicia não pode cumprir plantões na segunda ou na quinta-feira, enquanto que Benedito não pode cumprilos na quarta-feira; − Décio não dispõe da segunda ou da quinta-feira para fazer plantões; − Cíntia está disponível para fazer plantões em qualquer dia da semana; − Ernesto não pode fazer plantões pela manhã, enquanto que Alicia só pode cumpri-los à noite; − Ernesto não fará seu plantão na quarta-feira, se Cíntia fizer o dela na quinta-feira e, reciprocamente. Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco Nessas condições, Alicia, Benedito e Décio poderão cumprir seus plantões simultaneamente em uma (A) terça-feira à noite. (D) quarta-feira pela manhã. (B) terça-feira pela manhã. (E) sexta-feira pela manhã. (C) quarta-feira à noite. 164. (Técnico Judiciário TRT/MT 2004 FCC) A tabela indica os plantões de funcionários de uma repartição pública em três sábados consecutivos: 11/setembro 18/setembro 25/setembro Cristina Ricardo Silvia Beatriz Cristina Beatriz Julia Fernanda Ricardo Dos seis funcionários indicados na tabela, 2 são da área administrativa e 4 da área de informática. Sabe-se que para cada plantão de sábado são convocados 2 funcionários da área de informática, 1 da área administrativa, e que Fernanda é da área de informática. Um funcionário que necessariamente é da área de informática é (A) Bealriz. (D) Ricardo. (B) Cristina. (E) Silvia. (C) Julia. 165. (TCE-SP 2003 FCC) As equipes de plantão de um pronto-socorro são sempre compostas por um médico e três enfermeiros. A tabela abaixo mostra as escalas para os plantões em quatro dias consecutivos: Dia 12 13 14 15 Ana Bob Gil Bob Equipe de Plantão Bob Célia Felipe Felipe Célia Eva Davi Ana Davi Felipe Bob Gil Dentre as pessoas citadas na tabela, há dois médicos e cinco enfermeiros. Então, os médicos são (A) Davi e Eva. (D) Célia e Gil. (B) Bob e Eva. (E) Davi e Gil. (C) Ana e Felipe. 166. (TCE PIAUÍ 2005 FCC) Um departamento de uma empresa de consultoria é composto por 2 gerentes e 3 consultores. Todo cliente desse departamento necessariamente é atendido por uma equipe formada por 1 gerente e 2 consultores. As equipes escaladas para atender três diferentes clientes são mostradas abaixo: cliente 1: André, Bruno e Cecília. cliente 2: Cecília, Débora e Evandro. cliente 3: André, Bruno e Evandro. A partir dessas informações, pode-se concluir que (A) André é consultor. (D) Débora é consultora. (B) Bruno é gerente. (E) Evandro é consultor. (C) Cecília é gerente. 167. (CVM 2000 ESAF) João e José sentam-se, juntos, em um restaurante. O garçom, dirigindo-se a João, pergunta-lhe: “Acaso a pessoa que o acompanha é seu irmão?”. João responde ao garçom: “Sou filho único, e o da pessoa que me acompanha é filho de meu pai”. Então, José é: a) pai de João d) avô de João b) filho de João e) tio de João c) neto de João 168. (Fuvest-SP) Cada um dos cartões abaixo tem de um lado um número e outro uma letra.
A
Raciocínio Lógico
B
2
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3
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Pró-Concurso de Pernambuco Alguém afirmou que todos os cartões que têm uma vogal numa face têm um número par na outra. Para verificar se tal afirmação é verdadeira: a) é necessário virar todos os cartões. d) é suficiente virar os dois cartões do meio. b) é suficiente virar os dois primeiros cartões. e) é suficiente virar o primeiro e o último cartão. c) é suficiente virar os dois últimos cartões. 169. (Fiscal MS 2000 ESAF) Em um concurso para fiscal de rendas, dentre os 50 candidatos de uma sala de provas, 42 são casados. Levando em consideração que as únicas respostas à pergunta "estado civil" são "casado" ou "solteiro", qual o número mínimo de candidatos dessa sala a que deveríamos fazer essa pergunta para obtermos, com certeza, dois representantes do grupo de solteiros ou do grupo de casados? a) 03 c) 21 b) 09 d) 26 170. (MPU Controle Interno 2004 ESAF) Ana guarda suas blusas em uma única gaveta em seu quarto. Nela encontram-se sete blusas azuis, nove amarelas, uma preta, três verdes e três vermelhas. Uma noite, no escuro, Ana abre a gaveta e pega algumas blusas. O número mínimo de blusas que Ana deve pegar para ter certeza de ter pego ao menos duas blusas da mesma cor é a) 6. d) 8. b) 4. e) 10. c) 2. # PROBLEMAS ARITMÉTICOS 171. (TRT Auxiliar Judiciário MS 2006 FCC) Josué foi incumbido de tirar cópias de um conjunto de informações sobre legislação trabalhista, que deverão ser entregues a 11 pessoas. Se 8 dessas pessoas deverão receber apenas um conjunto e as restantes solicitaram dois conjuntos a mais do que elas, a quantidade exata de conjuntos que Josué deverá tirar cópias é um número compreendido entre (A) 30 e 35 (C) 20 e 25 (E) 10 e 15 (B) 25 e 30 (D)15 e 20 172. (TRT PARANÁ (cargo 124) 2004 FCC) Se Cauê tem o triplo da sexta parte da idade de Peri, e Peri tem o dobro da idade de Ceci, então Cauê (A) é mais velho que Peri (D) tem a mesma idade que Peri (B) é mais novo que Ceci (E) tem a terça parte da idade de Peri (C) tem a mesma idade que Ceci 173. (TRT PARANÁ (cargo 124) 2004 FCC) Sabe-se que: i. Rifa tem 6 anos a mais que Ana e 13 anos a mais que Bia. ii. Paula tem 6 anos a mais que Bia. Então, com relação às quatro pessoas citadas, é correto dizer que (A) Rifa não é a mais velha. (D) Paula e Ana têm a mesma idade. (B) Ana é a mais nova. (E) Rifa e Paula têm a mesma idade. (C) Paula é mais nova que Ana. 174. (Técnico Judiciário TRT/MT 2004 FCC) Em um mês, Laura despachou dois processos a mais que o triplo dos processos despachados por Paulo. Nesse mesmo mês, Paulo despachou um processo a mais que Rita. Em relação ao total de processos despachados nesse mês pelos três juntos é correto dizer que é um número da seqüência (A) 1, 6, 11, 16, ... (B) 2, 7, 12, 17, .... (C) 3, 8, 13, 18, ... (D) 4, 9, 14, 19, ... (E) 5, 10, 15, 20, ... 175. (TRT PARANÁ (cargo S17) 2004 FCC) Em um dia de trabalho, certo funcionário de um fórum arquivou 31 processos trabalhistas. 35 processos criminais e alguns processos cíveis. Sabe-se que o serviço completo foi realizado de acordo com o seguinte cronograma: Horário Processos arquivados 8h as 10h 18 trabalhistas e 11 criminais 10h as 12h 8 trabalhistas, 4 criminais e 10 cíveis 13h as17h 16 cíveis, X trabalhistas e Y criminais
Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco Em relação aos processos arquivados pelo funcionário nesse dia é correto afirmar que (A) o total de cíveis é maior que o total de trabalhistas. (B) o total de cíveis é maior do que X + Y. (C) o total de cíveis é menor que X.. (D) o total de cíveis é menor que Y. (E) X é maior que Y 176. (Técnico BACEN 2005 FCC) Uma pessoa tem 7 bolas de mesmo peso e, para calcular o peso de cada uma, colocou 5 bolas em um dos pratos de uma balança e o restante junto com uma barra de ferro de 546 gramas, no outro prato. Com isso, os pratos da balança ficaram totalmente equilibrados. O peso de cada bola, em gramas, é um número (A) maior que 190. (D) entre 165 e 180. (B) entre 185 e 192. (E) menor que 170. (C) entre 178 e 188. 177. (TRT Paraná (cargo N13) 2004 FCC) No retângulo abaixo, cada um dos quatro símbolos diferentes representa um número natural. Os números indicados fora do retângulo representam as respectivas somas dos símbolos na linha 2 e nas colunas 2 e 4:
Conclui-se das informações que o símbolo X representa o número (A) 3 (B) 5 (C) 7 (D) 8 (E) 9 178. (Técnico Judiciário TRT/MT 2004 FCC) A figura indica um quadrado de 3 linhas e 3 colunas contendo três símbolos diferentes:
Sabe-se que: - cada símbolo representa um número; - a soma dos correspondentes números representados na 1ª linha é 16; - a soma dos correspondentes números representados na 3ª coluna é 18; - a soma de todos os correspondentes números no quadrado é 39. Nas condições dadas, o valor numérico do símbolo (A) 8 (B) 6 (C) 5 (D) 3
é (E) 2
179. (Analista Judiciário TRT/MT 2004 FCC) A figura indica três símbolos, dispostos em um quadrado de 3 linhas e 3 colunas, sendo que cada símbolo representa um número inteiro.Ao lado das linhas e colunas do quadrado, são indicadas as somas dos correspondentes números de cada linha ou coluna, algumas delas representadas pelas letras X, Y e Z.
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Nas condições dadas. X+ Y + Z é igual a (A) 17 (B) 18 (C) 19
(D) 20
(E) 21
180. (Analista Judiciário TRT/MT 2004 FCC) Em uma repartição pública, o número de funcionários do setor administrativo é o triplo do número de funcionários do setor de informática. Na mesma repartição, para cada quatro funcionários do setor de informática, existem cinco funcionários na contabilidade. Denotando por A. I e C o total de funcionários dos setores administrativo, de informática e contábil, respectivamente, é correto afirmar que (A) 3C = 2A (B) 4C = 15A (C) 5C = 15A (D) 12C = 5A (E) 15C = 4A 181. (TRT 22ªRg 2004 FCC) Dos funcionários de uma empresa sabe-se que o número de mulheres está para o de homens, assim como 12 está para 13. Relativamente ao total de funcionários dessa empresa, é correto afirmar que o número de funcionários do sexo feminino corresponde a (A) 40% (B) 42% (C) 45% (D) 46% (E) 48% 182. (TRF 5R 2003 FCC) Os salários de dois funcionários A e B, nessa ordem, estão entre si assim como 3 está para 4. Se o triplo do salário de A somado com o dobro do salário de B é igual a R$ 6 800,00, qual é a diferença positiva entre os salários dos dois? (A) R$ 200,00 (D) R$ 350,00 (B) R$ 250,00 (E) R$ 400,00 (C) R$ 300,00 183. (TRT -Técnico Judiciário - MS 2006 FCC) Uma pessoa dispõe apenas de moedas de 5 e 10 centavos, totalizando a quantia de R$ 1,75. Considerando que ela tem pelo menos uma moeda de cada tipo, o total de moedas que ela possui poderá ser no máximo igual a (A) 28 (C) 34 (E) 40 (B) 30 (D) 38 184. (Analista BACEN 2005 FCC) Uma cafeteira automática aceita apenas moedas de 5, 10 ou 25 centavos e não devolve troco. Se, feito nessa máquina, cada cafezinho custa 50 centavos, de quantos modos podem ser usadas essas moedas para pagá-lo? (A) 13 (B) 12 (C) 11 (D) 10 (E) 9 185. (TRT Auxiliar Judiciário MS 2006 FCC) No caixa de uma lanchonete há apenas moedas de 10, 25 e 50 centavos, sendo 15 unidades de cada tipo. Usando essas moedas, de quantos modos distintos uma pessoa pode receber de troco a quantia de R$ 1,00? (A) 9 (C) 7 (E) 5 (B) 8 (D) 6 186. (FUVEST) Em uma caixa automática de banco só trabalha com notas de 5 e 10 reais. Um usuário deseja fazer um saque de R$ 100,00. De quantas maneiras diferentes a caixa eletrônica poderá fazer esse pagamento? a) 5 d) 15 b) 6 e) 20 c) 11
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Pró-Concurso de Pernambuco 187. (TRT PARANÁ (cargo 124) 2004 FCC) Quando somamos um número da tabuada do 4 com um número da tabuada do 6, necessariamente obtemos um número da tabuada do (A) 2 (D) 10 (B) 6 (E) 12 (C) 8 188. (Técnico BACEN 2005 FCC) Suponha que, num banco de investimento, o grupo responsável pela venda de títulos é composto de três elementos. Se, num determinado período, cada um dos elementos do grupo vendeu 4 ou 7 títulos, o total de títulos vendidos pelo grupo é sempre um número múltiplo de (A) 3 (D) 6 (B) 4 (E) 7 (C) 5 189. (Analista BACEN 2005 FCC) Se, para numerar as páginas de um livro, um tipógrafo usou 747 algarismos, então o número de páginas desse livro é (A) 350 (D) 298 (B) 315 (E) 285 (C) 306 190. Escrevendo os números inteiros positivos numa fila única obtemos: 123456789101112131415161718192021... o algarismo que ocupará a 200ª posição nesta fila será: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 191. (MPE/PE técnico 2006 FCC) Existem três caixas I, II e III contendo transistores. Um técnico constatou que: − se passasse 15 transistores da caixa I para a caixa II, esta ficaria com 46 transistores a mais do que a caixa I tinha inicialmente; − se passasse 8 transistores da caixa II para a caixa III, esta ficaria com 30 transistores a mais do que a caixa II tinha inicialmente. Se o total de transistores nas três caixas era de 183, então o número inicial de transistores em (A) I era um número par. (D) I e II era igual a 98. (B) II era um número ímpar. (E) I e III era igual a 119. (C) III era um número menor que 85. 192. (MPE/PE Analista 2006 FCC) Na beira de uma lagoa circular existe, dentre outras coisas, um bebedouro (B), um telefone público (T) e uma cerejeira (C). Curiosamente, uma pessoa observou que, caminhando de: - B a T, passando por C, percorreu 455,30 metros; - C a B, passando por T, percorreu 392,50 metros; - T a C, passando por B, percorreu 408,20 metros. O perímetro da lagoa, em metros, é igual a (A) 942 (C) 785 (E) 571 (B) 871 (D) 628 193. (Analista BACEN 2005 FCC) Certo dia, X funcionários e o presidente da empresa em que trabalham estavam sentados em torno de uma mesa circular. Num dado momento, o presidente começou a passar aos funcionários um pacote com 29 balas e, sucessivamente, cada um retirou uma única bala a cada passagem do pacote. Considerando que 1 < X < 15 e que o presidente retirou a primeira e a última bala do pacote, o número de funcionários que estavam sentados à mesa poderia ser (A) 14 (D)6 (B) 12 (E) 4 (C) 9 194. (Técnico Judiciário TRT/MT 2004 FCC) Em uma eleição onde concorrem os candidatos A, B e C, cada eleitor receberá uma cédula com o nome de cada candidato e deverá atribuir o número 1 a sua primeira escolha, o número 2 a sua segunda escolha, e o número 3 a terceira escolha. Ao final da eleição, sabese que todos eleitores votaram corretamente, e que a soma dos números atribuídos a cada candidato foi: - 22 para A - 18 para B - 20 para C Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco Em tais condições, o número de pessoas que votou nessa eleição é igual a (A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12 (E) 15 195. (TRF/RS 2004 FCC) Certo dia, no início do expediente de uma Repartição Pública, dois funcionários X e Y receberam, cada um, uma dada quantidade de impressos. Então, X cedeu a Y tantos impressos quanto Y tinha e, logo em seguida, Y cedeu a X tantos impressos quanto X tinha. Se, após as duas transações, ambos ficaram com 32 impressos, então, inicialmente, o número de impressos de X era (A) 24 (D) 48 (B) 32 (E) 52 (C) 40 196. (Téc Jud TRT AM 2005 FCC) No esquema seguinte tem-se indicadas as operações que devem ser sucessivamente efetuadas, a partir de um número X, a fim de obter-se como resultado final o número 12.
É verdade que o número X é (A) primo. (B) par. (C) divisível por 3.
(D) múltiplo de 7. (E) quadrado perfeito.
197. (Governo do Maranhão 2005 FCC) Um mesmo caminhão fez três viagens para transportar alguns animais. Na primeira viagem foi levada a terça parte do total de animais e, a cada viagem subseqüente, a terça parte do número restante. Se após as três viagens 16 animais deixaram de ser transportados, o número de animais que havia inicialmente era (A) 54 (D) 64 (B) 56 (E) 68 (C) 60 198. (AFC 2002 ESAF) Pedro saiu de casa e fez compras em quatro lojas, cada uma num bairro diferente. Em cada uma gastou a metade do que possuía e, ao sair de cada uma das lojas pagou R$ 2,00 de estacionamento. Se no final ainda tinha R$ 8,00, que quantia tinha Pedro ao sair de casa? a) R$ 220,00 d) R$ 188,00 b) R$ 204,00 e) R$ 180,00 c) R$ 196,00 199. (Técnico Judiciário TRT/MT 2004 FCC) Em uma estante, a prateleira B é reservada para os livros de literatura brasileira, e a prateleira E para os de literatura estrangeira. Sabe-se que: 1. ambas as prateleiras têm, de início, o mesmo número de livros; 2. retiram-se 25 livros da prateleira B colocando-os na prateleira E; 3. após a etapa anterior, retiram-se 25 livros, ao acaso, da prateleira E colocando-os na prateleira B. Após a etapa 3, é correto afirmar que o número de livros de literatura brasileira em (A) B é o dobro que em E. (D) E é igual ao de literatura estrangeira em B. (B) B é menor que em E. (E) E é a terça parte que em B. (C) B é igual ao de E. 200. (TRF/RS técnico 2004 FCC) Sabe-se que um número inteiro e positivo N é composto de três algarismos. Se o produto de N por 9 termina à direita por 824, a soma dos algarismos de N é (A) 11 (B) 13 (C) 14 (D) 16 (E) 18 201. (TRT PARANÁ (cargo S17) 2004 FCC) X9 e 9X representam números naturais de dois algarismos. Sabendo-se que X9 + 9X - 100 é o número natural de dois algarismos ZW, é correto dizer que Z – W é igual a (A) 5 (D) 2 (B) 4 (E) 1 (C) 3
Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco 202. (TCE-SP 2005 FCC) Um fato curioso ocorreu com meu pai em 22 de outubro de 1932. Nessa data, dia de seu aniversário, ele comentou com seu avô que sua idade era igual ao número formado pelos dois últimos algarismos do ano de seu nascimento. Ficou, então, muito surpreso quando seu avô, que igualmente fazia aniversário na mesma data, observou que o mesmo ocorria com a sua idade. Nessas condições, é correto afirmar que a diferença positiva entre as idades de meu pai e desse meu bisavô, em anos, é (A) 40 (D) 47 (B) 42 (E) 50 (C) 45 203. (TRF/RS 2004 FCC) Uma pessoa distrai-se usando palitos para construir hexágonos regulares, na seqüência mostrada na figura abaixo.
Se ela dispõe de uma caixa com 190 palitos e usar a maior quantidade possível deles para construir os hexágonos, quantos palitos restarão na caixa? (A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 16 (E) 31 204. (Técnico Judiciário TRT/MT 2004 FCC) Em uma repartição pública que funciona de 2ª a 6ª feira, 11 novos funcionários foram contratados. Em relação aos contratados, é necessariamente verdade que (A) todos fazem aniversário em meses diferentes. (B) ao menos dois fazem aniversário no mesmo mês. (C) ao menos dois começaram a trabalhar no mesmo dia do mês. (D) ao menos três começaram a trabalhar no mesmo dia da semana. (E) algum começou a trabalhar em uma 2ª feira. 205. (TRT Paraná (cargo N13) 2004 FCC) Admitindo que certo Tribunal tem 1800 processos para serem lidos e que cada processo não possui mais do que 200 páginas, é correto afirmar que (A) não existem 2 processos com o mesmo número de páginas. (B) não existe processo com exatamente 9 páginas. (C) cada processo tem, em média, 9 páginas. (D) existem pelo menos 9 processos com o mesmo número de páginas. (E) mais de 100000 páginas serão lidas na realização do serviço. 206. (Analista Orçamento MARE 99 FCC) Numa sala estão 100 pessoas, todas elas com menos de 80 anos de idade. É FALSO afirmar que pelo menos duas dessas pessoas (A) nasceram num mesmo ano. (D) nasceram numa mesma hora do dia. (B) nasceram num mesmo mês. (E) têm 50 anos de idade. (C) nasceram num mesmo dia da semana. 207. Qual o número mínimo de pessoas que devemos ter em um grupo, de modo que possamos garantir que 3 delas nasceram no mesmo mês? a) 36 d) 37 b) 25 e) 49 c) 48 208. (UNESP) Em uma festa compareceram 500 pessoas. Podemos ter certeza que entre os presentes: a) existe alguém que aniversaria em maio. b) existem dois que não aniversariam no mesmo dia. c) existem pelo menos dois que aniversariam no mesmo dia. d) existem mais de dois que aniversariam no mesmo dia. e) nenhum aniversaria no mesmo dia que outro. 209. (TCE-RN 2000 Esaf) Um homem caridoso observou alguns mendigos em uma praça e pensou: “Se eu der R$ 5,00 a cada mendigo, sobrar-me-ão R$ 3,00. Ah, mas se eu tivesse apenas mais R$ 5,00, eu teria a quantia exata para poder dar a cada um deles R$ 6,00. O número de mendigos era, portanto, a) 5 c) 7 e) 9 b) 6 d) 8 Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco 210. (TFC-97 Esaf) Anair, Bela e Camilo fazem aniversário no mesmo dia. A soma das idades de Anair e Bela é igual ao triplo da idade de Camilo. Daqui a cinco anos, Camilo terá a idade que Anair tem hoje. Sabendo-se que Bela é 10 anos mais velha do que Anair, então a soma das idades de Anair, Bela e Camilo, daqui a dois anos, será: a) 80 b) 85 c) 86 d) 95 e) 100 211. (TFC/96 Esaf) Uma viúva recebeu um terço da herança de seu marido, e cada um de seus três filhos recebeu um terço do restante. Sabendo-se que a soma da parte da viúva com a de um de seus filhos foi igual a R$ 45.000,00, o montante total da herança foi de: a) R$ 50.625,00 d) R$ 90.000,00 b) R$ 67.500,00 e) R$ 101.250,00 c) R$ 81.000,00 212. (TFC/96 Esaf) Em uma maratona, um dos participantes desiste ao completar 2/5 do percurso total da prova. No entanto, se tivesse corrido mais 40km, teria cumprido a metade do percurso total. Assim, o percurso total da prova era de: a) 400km b) 500km c) 600km d) 700km e) 800km 213. (TFC/96 Esaf) Maria tem 8 reais a mais do que Bruno, mas 15 reais a menos do que Júlia. Se Maria tem x reais, então a soma dos reais de Júlia e de Bruno é igual a. a) 2x – 23 d) 2x + 7 b) 2x – 15 e) 2x + 23 c) 2x - 7 214. (AFC 2002 ESAF) Os números A, B e C são inteiros positivos tais que A < B < C. Se B é a média aritmética simples entre A e C, então necessariamente a razão (B – A) / (C – B) é igual a: a) A / A d) B / C b) A / B e) – (B/B) c) A / C 215. (AFCE TCU 99 Esaf) Em uma escola de música, exatamente 1/4 do número total de vagas é destinado para cursos de violino, e exatamente 1/8 das vagas para os cursos de violino são destinadas para o turno diurno. Um possível valor para o número total de vagas da escola é: a) 160 c) 168 b) 164 d) 172 216. (TFC/96 Esaf) Em um edifício de apartamentos, exatamente 1/3 dos apartamentos são de três dormitórios, e exatamente 1/7 dos apartamentos de três dormitórios são apartamentos de frente. Um valor possível para o número total de apartamentos do edifício é: a) 42 b) 50 c) 51 d) 56 e) 57 217. (TFC/96 Esaf) Em uma agência dos Correios há apenas selos de R$ 0,15 e de R$ 0,25. Uma pessoa compra 75 selos correspondentes a um total de R$ 14,25. Quantos selos de R$ 0,25 a pessoa comprou? a) 15 b)20 c) 25 d) 30 e) 45 218. (AFC/96 Esaf) Se A, B e C são inteiros positivos e consecutivos tais que A < B < C, qual das seguintes expressões corresponde, necessariamente, a um número inteiro ímpar? a) ABC d) A+BC b) A + B + C e) (AB) +(BC) c) (A + B) (B + C) 219. (Téc. MPU Controle Interno 2004 ESAF) Se Y é diferente de zero, e se X/Y = 4 , então a razão de 2X–Y para X, em termos percentuais, é igual a a) 75%. d) 175%. b) 25%. e) 200%. c) 57%. 220. (Tec Jud Adm- TRE-PI 2002/ FCC) Um lote de processos deve ser dividido entre os funcionários de uma seção para serem arquivados. Se cada funcionário arquivar 16 processos, restarão 8 a serem arquivados. Entretanto, se cada um arquivar 14 processos, sobrarão 32. O número de processos do lote é Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco (A) 186 (B) 190 (C) 192
(D) 194 (E) 200
221. (ANPAD 2002) Vinte e oito pessoas que trabalham em uma empresa combinaram comprar um presente de casamento para seu chefe. Sete delas, porém, não pagaram, obrigando as outras a arcarem com mais R$ 5,00 cada uma. Então, o presente custou a) R$ 150,00 d) R$ 420,00 b) R$ 280,00 e) R$ 560,00 c) R$ 315,00 222. Em uma caixa havia x laranjas. Uma pessoa retirou metade das laranjas mais meia laranja. Outra pessoa retirou a metade das que restaram mais meia laranja, e a caixa ficou vazia. Qual o valor de x ? a) 6 c) 4 b) 5 d) 3 223. (ANPAD 2002) Quanto pesa uma mercadoria se ela pesa 10 quilos a mais que a metade de seu peso? a) 5 d) 20 b) 8 e) 38 c) 10 224. (ANPAD 2002) A soma de dois números é 6 e o seu produto é 5. Então, o maior desses números é a) 1 d) 5 b) 2 e) 6 c) 3 225. (Governo do Maranhão 2005 FCC) Ao catalogar os tipos de produtos agrícolas existentes em estoque, um auxiliar de serviços de campo observou que gastava, em média, 25 minutos para catalogar 15 tipos. Nessas condições, se trabalhar ininterruptamente por 1 hora e 20 minutos, espera-se que o número de produtos que ele consiga catalogar seja (A) 36 (D) 45 (B) 38 (E) 48 (C) 42 226. (TRT 22ªRg 2004 FCC) Um funcionário protocolou alguns documentos recebidos em 1 hora e 15 minutos de trabalho contínuo. Outro funcionário, cuja capacidade operacional é 60% da capacidade do primeiro, executaria a mesma tarefa se trabalhasse ininterruptamente por um período de (A) 1 hora e 50 minutos. (D) 2 horas e 50 minutos. (B) 2 horas e 5 minutos. (E) 3 horas e 15 minutos. (C) 2 horas e 25 minutos.
# PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 227. (TRT -Técnico Judiciário - MS 2006 FCC) Se um livro tem 400 páginas numeradas de 1 a 400, quantas vezes o algarismo 2 aparece na numeração das páginas desse livro? (A) 160 (C) 170 (E)180 (B) 168 (D) 176 228. (Técnico BACEN 2005 FCC) Os clientes de um banco contam com um cartão magnético e uma senha pessoal de quatro algarismos distintos entre 1 000 e 9 999. A quantidade dessas senhas, em que a diferença positiva entre o primeiro algarismo e o último algarismo é 3, é igual a (A) 936 (D) 768 (B) 896 (E) 728 (C) 784 229. (BNB 2002 FCC) Apesar de todos caminhos levarem a Roma, eles passam por diversos lugares antes. Considerando-se que existem três caminhos a seguir quando se deseja ir da cidade A para a cidade B, e que existem mais cinco opções da cidade B para Roma, qual a quantidade de caminhos que se pode tomar para ir de A até Roma, passando necessariamente por B? a) Oito b) Dez c) Quinze d) Dezesseis e) Vinte Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco 230. (AFCE TCU 99 ESAF) A senha para um programa de computador consiste em uma seqüência LLNNN, onde “L” representa uma letra qualquer do alfabeto normal de 26 letras e “N” é um algarismo de 0 a 9. Tanto letras como algarismos podem ou não ser repetidos, mas é essencial que as letras sejam introduzidas em primeiro lugar, antes dos algarismos. Sabendo que o programa não faz distinção entre letras maiúsculas e minúsculas, o número total de diferentes senhas possíveis é dado por: a) 226 310 b) 262 103 c) 226 210 d) 26! 10! 231. (ANPAD 2002) A quantidade de números de dois algarismos cujo algarismo das dezenas é múltiplo de 2 e o das unidades é múltiplo de 3 é a) 10 d) 16 b) 12 e) 20 c) 15 232. Um edifício tem 8 (oito) portas. De quantas formas uma pessoa poderá entrar no edifício e sair por uma porta diferente da que usou para entrar? 233. Uma linha ferroviária tem 16 estações. Quantos tipos de bilhetes devem ser impressos, se cada tipo deve assinalar a estação de partida e de chegada, respectivamente? 234. Quantos são os gabaritos possíveis de um teste de 10 questões de múltipla escolha com 5 alternativas por questão? 235. Numa festa, 3 meninos devem ser apresentados a 5 meninas. De quantas maneiras possíveis eles podem ser apresentados? 236. Em um campeonato de futebol, participam 20 times. Quantos resultados são possíveis para os três primeiros lugares? 237. Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar aberto? 238. Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0, 1, 2, ..., 9. O segredo do cofre é formado por uma seqüência de 3 dígitos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer (no máximo) para conseguir abri-lo? (Suponha que a pessoa sabe que o segredo é formado por dígitos distintos.) 239. Um mágico se apresenta em público vestindo calça e paletó de cores diferentes. Para que ele possa se apresentar em 24 sessões com conjuntos diferentes, qual é o número mínimo de peças (número de paletós mais número de calças) de que ele precisa? 240. Considerando as letras do alfabeto (26 letras: 5 vogais e 21 consoantes) sem repetições, de quantas formas podemos selecionar 3 letras de modo que a palavra formada tenha consoantes e vogais alternadas? 241. Quantos números de três algarismos podem ser construídos com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4 e 5, para cada uma das seguintes situações: a. os números podem possuir algarismos repetidos?. b. cada número deve ser par? c. cada número deve ser ímpar? d. os números devem possuir algarismos distintos? e. cada número deve ser ímpar e com algarismos distintos? f. cada número deve ser par e com algarismos distintos?
Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco # QUESTÕES LÓGICAS DE INTERPRETAÇÃO DE TEXTO 242. (TRT -Técnico Judiciário - MS 2006 FCC) Na sentença abaixo falta a última palavra. Procure nas alternativas a palavra que melhor completa essa sentença. A empresa está revendo seus objetivos e princípios à procura das causas que obstruíram o tão esperado sucesso e provocaram esse inesperado (A) êxito. (C)malogro. (E) lucro (B) susto. (D) fulgor. 243. (TRT Auxiliar Judiciário MS 2006 FCC) A sentença seguinte é seguida de um número entre parênteses, que corresponde ao número de letras de uma palavra que se aplica à definição dada. “Tudo aquilo que não é cópia ou imitação.” (8) A alternativa onde se encontra a letra inicial de tal palavra é (A) A (B)O (C) P (D) Q
(E) R
244. (TCE-SP 2005 FCC) Distinguir pensamentos, emoções e reações é um instrumento importante para avaliar a inteligência pessoal de um indivíduo e permitir que ele tenha uma consciência desenvolvida e eficaz de si mesmo. Considerando os pensamentos como processos cognitivos, as emoções como resultados psicológicos e as reações como respostas físicas, analise o seguinte fato. Você gasta mais de uma hora escolhendo o que vestir para ir a uma festa na empresa onde trabalha, pois pretende impressionar o seu chefe. Entretanto, ele deixa de cumprimentá-la por seu aspecto. O que você faria? 1. Gostaria de fazer algum comentário. 2. O questionaria sobre sua indumentária. 3. Se sentiria deprimido por não sentir que seu esforço foi reconhecido. As opções de respostas, 1, 2 e 3 são, respectivamente, caracterizadas como (A) pensamento, emoção e reação. (B) pensamento, reação e emoção. (C) emoção, pensamento e reação. (D) emoção, reação e pensamento. (E) reação, emoção e pensamento. 245. (TCE-SP 2005 FCC) Distinguir pensamentos, emoções e reações é um instrumento importante para avaliar a inteligência pessoal de um indivíduo e permitir que ele tenha uma consciência desenvolvida e eficaz de si mesmo. Considerando os pensamentos como processos cognitivos, as emoções como resultados psicológicos e as reações como respostas físicas, analise o seguinte fato. No último minuto, teu melhor amigo deixa de ir a um jogo de futebol contigo, porque foi a um churrasco com outras pessoas. O que você faz? 1. Te sentes incomodado. 2. Acredita que ele não soube ser leal a quem merecia. 3. Não liga e busca outra alternativa de programa. As opções de respostas 1, 2 e 3 são, respectivamente, caracterizadas como (A) pensamento, emoção e reação. (B) pensamento, reação e emoção. (C) emoção, pensamento e reação. (D) emoção, reação e pensamento. (E) reação, emoção e pensamento.
Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco 246. (TCE-SP 2005 FCC) Incumbido de fazer um discurso no casamento de seu amigo Fábio, Daniel rascunhou alguns dados que achava essenciais para compor a sua fala: 1. o primeiro apartamento que comprou com seu salário ficava a uma quadra do seu local de trabalho; 2. Fábio nasceu em 31 de março de 1976, no interior de São Paulo; 3. conheceu Taís, sua futura esposa, em março, durante um seminário sobre Administração Pública; 4. seus pais se mudaram para a capital, onde Fábio cursou o ensino básico e participou de algumas competições de voleibol; 5. nos conhecemos na universidade, onde ambos fazíamos parte do time de voleibol; 6. Fábio apresentou-me à Taís uma semana depois de conhecê-la; 7. Fábio estudou na Universidade de São Paulo, onde formou-se em Administração; 8. Fábio pediu Taís em casamento no dia de Natal seguinte; 9. o primeiro emprego de sua vida aconteceu somente após sua formatura, em uma empresa de Campinas. Para que Daniel possa redigir coerentemente seu discurso, esses dados podem ser inseridos no discurso na seqüência (A) 2 – 3 – 6 – 8 – 7 – 5 – 9 – 1 – 4 (D)2 – 4 – 7 – 5 – 9 – 1 – 3 – 6 – 8 (B) 2 – 3 – 4 – 6 – 9 – 1 – 7 – 5 – 8 (E) 2 – 4 – 9 – 3 – 6 – 8 – 7 – 5 – 1 (C) 2 – 4 – 7 – 8 – 6 – 5 – 3 – 9 – 1 247. (Analista BACEN 2005 FCC) Em seu livro Primal Leadership: Realizing the Power of Emotional Intelligence (2001), Daniel Goleman destaca quatro tipos de lideranças positivas: visionária, formativa, afetiva e democrática. - os líderes visionários são aqueles cujas instruções são claras, se assegurando que todos os seus subordinados progridam visando os objetivos empresariais, mas dando liberdade para que decidam livremente como chegar a eles; - os líderes formativos procuram relacionar o interesse dos subordinados aos objetivos da empresa; - os líderes afetivos procuram desenvolver equipes unidas e motivadas, fomentando um relacionamento são e amistoso, quase que superando os objetivos empresariais; - os líderes democráticos obtêm o respaldo e o compromisso político porque fomentam a participação. Empregam trabalhos em grupo, a negociação e a empatia, de modo que seus subordinados se sintam valorizados. Com base nas informações dadas, analise as afirmações seguintes: I. Se os subordinados estão satisfeitos e sentem que têm o respaldo de seu chefe, os objetivos são atingidos. II. Nenhum indivíduo por si só tem todas as respostas; com freqüência recorro à minha equipe para que me dêem idéias. III. Acho que saber escutar é tão importante quanto ser um bom comunicador. Das três afirmações, a figura do líder democrático está caracterizada APENAS em (A) II. (B) III. (C) I e II. (D) I e III. (E) II e III. Atenção: As duas próximas questões apresentam sentenças, em cada uma das quais falta a última palavra. Você deve procurar, entre as alternativas apresentadas, a palavra que melhor completa a sentença dada. 248. (Analista BACEN 2005 FCC) A ficar hesitando entre duas soluções, é preferível e mais prático decidir de vez e determinar qual delas deve (A) simplificar. (B) prevalecer. (C) confirma (D) resilir. (E) coincidir. 249. (Analista BACEN 2005 FCC) Novas idéias e invenções criam necessidades de expressão, novas palavras para denominar os inventos da ciência e da tecnologia. Surgem, então, os chamados (A) neologismos. (D) neocíclicos. (B) modernismos. (E) neófitos. (C) silogismos. Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco 250. (Analista BACEN 2005 FCC) No Japão, muitas empresas dispõem de lugares para que seus funcionários se exercitem durante os intervalos de sua jornada de trabalho. No Brasil, poucas empresas têm esse tipo de programa. Estudos têm revelado que os trabalhadores japoneses são mais produtivos que os brasileiros. Logo, deve-se concluir que a produtividade dos empregados brasileiros será menor que a dos japoneses enquanto as empresas brasileiras não aderirem a programas que obriguem seus funcionários à prática de exercícios. A conclusão dos argumentos é válida se assumirmos que (A) a produtividade de todos os trabalhadores pode ser aumentada com exercícios. (B) a prática de exercícios é um fator essencial na maior produtividade dos trabalhadores japoneses. (C) as empresas brasileiras não dispõem de recursos para a construção de ginásios de esporte para seus funcionários. (D) ainda que os programas de exercícios não aumentem a produtividade dos trabalhadores brasileiros, estes programas melhorarão a saúde deles. (E) os trabalhadores brasileiros têm uma jornada de trabalho maior que a dos japoneses.
Raciocínio Lógico
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Pró-Concurso de Pernambuco 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
D B C C B VFFVVVVFFVVF B E D A C B A B B E D FFV VVFV C ver abaixo B A A A E C C E E A E A A D
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85
36 37 38 39 40 41
C B Falso B D C
86 87 88 89 90 91
GABARITO F 101 E E 102 B A 103 A D 104 E E 105 C B 106 C D 107 E D 108 C E 109 E C 110 B D 111 C B 112 D B 113 A B 114 C D 115 A A 116 E B 117 D C 118 A B 119 B C 120 B D 121 C E 122 B B 123 A D 124 D E 125 D E 126 A B 127 C B 128 C D 129 C C 130 D E 131 B B 132 D E 133 D D 134 A a.512, b.17, c.21, 135 E d.3210, e.29, f.16e9, g.428, h.7, i.2, j.42 D 136 B D 137 D B 138 D E 139 D E 140 C D 141 E
42 43 44 45 46 47 48 49 50
A B E D D E A C F, F
92 93 94 95 96 97 98 99 100
B E A A E E A C B
142 143 144 145 146 147 148 149 150
C E C C E D C E B
21. a) O tempo não será frio ou não será chuvoso. b) Ela não estudou muito e não teve sorte na prova. c) Maria é Morena e Regina não é baixa. d) O tempo está chuvoso e não está frio.
Raciocínio Lógico
86
151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185
B A A B E A D E A, D C C B A A D E B E A A D C C A B C A E A D E E C D D
201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235
E E B D D E A C D C C A D A A A D C D E D D D D E B E E C B D 56 240 510 15
186 187 188 189 190 191
C A A E A E
236 237 238 239 240 241
192 193 194 195 196 197 198 199 200
D D C C E A D D C
242 243 244 245 246 247 248 249 250
6840 63 720 10 2520 a)180 b)90 c)90 d)100 e)48 f)52 C B B C D E B A B
e) Algum corvo não é negro. f) Algum triângulo é retângulo. g) Nenhum sapo é bonito. h) Todas as vidas são importantes.
Prof. Weber Campos
