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INTRODUÇÃO
O estudo das respostas de um determinado sistema é a etapa mais
importante de seu projeto. Através deste estudo analisa-se suas saídas,
oscilações e interferências, de modo que seja possível otimizar seu
funcionamento.
Este estudo começa pela escolha de um modelo para o sistema. Os
sistemas precisam ser modelados matematicamente para que possam ser
analisados. A escolha de um modelo adequado, que represente de maneira
satisfatória o sistema, é fundamental para obtenção de bons resultados. O
modo adotado para este estudo foi a utilização de equações diferenciais.
Estas equações podem ser obtidas através de leis físicas que regem o
sistema.
Neste trabalho o foco está nos sistemas de segunda ordem. Um sistema
de segunda ordem é caracterizado por uma equação diferencial de segunda
ordem, que por sua vez é caracterizada por conter uma derivada segunda da
variável de entrada.
Figura 1. Exemplo de um sistema de segunda ordem mecânico.
A figura 1 apresenta um exemplo de um sistema de segunda ordem
mecânico, representado por um sistema massa-mola-amortecedor. Um sistema de
segunda ordem pode ser modelado conforme a equação 1.
(Equação 1)
Ao dividir a equação 1 por a2, obtem-se a equação 2.
(Equação 2)
onde:
, e .
Pode-se definir também .
Através destes equacionamentos e de entradas bem definidas, pode-se
estudar o comportamento do sistema. Deve-se tomar o cuidado para que este
modelo corresponda consideravelmente ao seu sistema. Isto pode ser
assegurado pelas pequenas perdas e pela correta inferência das constantes
envolvidas.
RESPOSTA DO SISTEMA À ENTRADA DEGRAU
O sistema citado anteriormente pode ser modelado conforme a equação
1, e dessa forma as constantes tomam os valores abaixo:
(Equação 3)
m: massa do bloco (kg)
c: constante de amortecimento (do amortecedor) (Nm/s)
k: constante elástica (da mola) (Nm)
F(t): função de excitação no tempo (N)
A entrada do sistema considerada é chamada de função degrau. Esta
função tem o valor zero até um determinado tempo t0 e, a partir deste
tempo, assume o valor F0. Esta entrada modela de forma eficiente o problema
do carro passando por cima de uma balança, por isso merece uma atenção
especial.
Figura 2. Representação gráfica da função degrau.
(Equação 4)
Na figura 2 e na equação 4 pode-se ter uma visão melhor da função
degrau. Para obter a resposta à este sinal do sistema modelado, aplica-se a
integral da convolução na equação de segundo grau obtida anteriormente.
(Equação 5)
Resolvendo a equação 5, para t > t0, tem-se:
(Equação 6)
onde
Para o caso particular t0=0s, a equação 6 fica:
(Equação 7)
É possível ainda observar a influência do coeficiente de
amortecimento. Para um caso particular, onde = 0, a equação 7
pode ser simplificada para:
(Equação 8)
Para obter a resposta estacionária do sistema (resposta após um longo
período de tempo), podemos calcular o limite da equação 8, quando .
(Equação 9)
Ao plotar as informações obtidas na simulação e modelagem num gráfico
de resposta pelo tempo, pode-se observar que a resposta consiste numa
função constante de amplitude F0/k, menos uma função oscilatória que decai
no tempo, tendendo a zero.
Figura 3. Resposta do sistema de segundo grau à uma entrada degrau, em
função do coeficiente de amortecimento
Simulação Dinâmica da Balança
Com o objetivo de se fazer as medições de peso causadas pelo movimento
do carro sobre a balança, faz-se necessário a análise do comportamento do
sistema frente aos estímulos causados pelo veículo. Desse modo é
interessante simular toda esta dinâmica, visando atingir um modelo que mais
se aproxima do real.
Como explicado anteriormente, a balança consiste de um sistema de 2a
ordem, apresentando os coeficientes de massa, amortecimento e elasticidade
a se determinar.
A constante de massa é facilmente obtida, pois é só utilizar uma
balança comum para realizar a medição. Porém, os coeficientes de
amortecimento e de elasticidade são mais difíceis de se obter, pois
dependem do tipo de material e de suas dimensões.
Para esta simulação foi utilizada uma constate de massa m = 0,2kg e
coeficiente c = 0,5 kg/s e K = 200 N/m.Estes valores foram escolhidos sem
base em modelos reais, pois é necessário saber como vai ser a balança em
todo seu aspecto, fato este ainda não possível de se realizar. Porém, estes
parâmetros nos fornecem um estímulo mais acentuado que o real fazendo com
que o controle seja superdimensionado, além de nos fornecer dados mais
fáceis de serem visualizados e tratados como poderemos ver nas figuras que
virão.
A simulação foi realizada através do simulink, parte integrante do
software Matlab.
A excitação foi definida como uma onda quadrada, porém pode-se obter
desta uma onda degrau e para pequenos períodos, um impulso. Vale lembra que
a análise é a mesma.
Um ruído de alta freqüência foi somado a esta onda quadrada de modo a
se obter uma onda mais parecida com a onda real.
A seguir temos a figura do sistema em simulink.
Na figura seguinte temos todos os formatos de onda gerados. A primeira
é a onda quadrada cuja amplitude pico a pico (Vpp) é de 4 (a unidade aqui
não é relevante). O valor quatro é uma suposição do peso do carrinho,
meramente didática, servindo apenas para a elaboração do modelo. A segunda
é o ruído, cujo Vpp foi definido com aproximadamente 0,04. A terceira onda
é a soma das duas anteriores. E a quarta é a resposta do sistema a este
estímulo.
Para a análise do sinal foi necessário um amplificador devido ao fato
de se colocar uma função de transferência correspondente à dinâmica da
balança. Além disso, foi necessário utilizar um integrador para minimizar o
efeito de ruído do sinal. É interessante notar que quanto maior a
freqüência do sinal de excitação, maior deve ser o ganho de entrada do
sistema. Para esta simulação foi obtido o valor de ganho de 800.
A figura a seguir mostra a Transformada de Fourier (FFT) do sinal
original, apresentando a forma do próprio sinal, sua transformada e o seu
espectro de freqüência. Na mesma figura é apresentado o sinal filtrado.
Pode-se notar que o valor de pico corresponde a 4, valor este igual ao
original. A inclinação da curva é determinada pelo integrador, de modo que
quanto maior seu denominador, maior a inclinação e maior o ganho
necessário. É importante também deixar um período suficientemente grande
para que o valor se estabilize e se aproxime do valor real.
