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7.5 Dedução das fórmulas de integração a partir das fórmulas de Gregory-
Newton
A fórmula da regra dos trapézios pode ser deduzida da fórmula de
interpolação de Gregory-Newton para intervalos iguais, em função de u, como
segue.
Para o polinômio em função de x, p(x), o intervalo de integração é expresso
como (a; b), ou como (x1; x2), ou ainda como (x1; x1+h). Quando se usa
p(u), este intervalo tem que ser trocado para (u1; u2), sendo que u1 é o
valor de u quando x = x1 e u2 é o valor de u quando x = x2 ,ou seja, quando
x = x1+ h.
Da definição u h = (x – x1) tira-se u1 = 0, u2 = 1 e
dx = h du.
Para a regra de Simpson o intervalo (a; b) é ( x1; x3 ) ou (x1; x1 +
2h), logo u1 = 0 e u2 = 1:
7.6 - 2ª Regra de Simpson.
Por caminhos semelhantes, estendendo o polinômio em mais um termo e
integrando de 0 a 3, podemos deduzir a 2ª regra de Simpson, ou regra dos
3/8, que dá
Para cada 4 pontos temos três intervalos e pelos 4 pontos passamos um
polinômio de grau 3 (parábola cúbica). Outras regras de graus ainda mais
elevados podem também ser deduzidas.
7.7 Erro na integração numérica.
Seja Ep o erro da interpolação e Eg o erro da integração. Uma vez que
usamos um polinômio interpolante para fazer a integração numérica e uma vez
que
f(x) = p(x) + Ep, entende-se que
Tomando a fórmula, já conhecida, do erro da interpolação para o polinômio
interpolante de Gregory-Newton para intervalos iguais em função de u, de
grau 1 (interpolação linear), temos a expressão abaixo para o erro da
fórmula simples da Regra dos Trapézios, Eg(T)
Para a fórmula simples da Regra de Simpson (1ª Regra), tomamos o erro da
interpolação de grau 2:
Verificamos que dá erro zero. Isto se explica porque a fórmula de Simpson,
embora seja de grau 2, é exata para polinômios até o grau 3. Vamos então
elevar o grau da expressão do erro da interpolação:
Para as fórmulas compostas, o erro total será a soma dos erros
parciais. Como h é constante, o fator variável é a derivada, podendo-se
escrever
Sendo f(k)(x) contínua no intervalo (a,b), pelo teorema do valor médio deve
haver algum valor de x , sendo a £ x £ b, tal que:
Além disso, lembrando que h = (b - a) / N,
Note que nem sempre é possível determinar-se as derivadas (segunda, quarta,
...) da função, assim o erro não pode ser calculado.
Exemplo: Integrar f(x) = 1 / x no intervalo (3,0 ; 3,6) e calcular o erro.
Tem-se f"(x) = 2 / x3 e f (iv)(x) = 24 / x5. O cálculo analítico dá I =
0,1823215. Usando as fórmulas simples, temos:
Usando fórmulas compostas, com n = 7:
"Xi "3,0 "3,1 "3,2 "3,3 "3,4 "3,5 "3,6 "
"Yi "0,333333 "0,322581"0,312500"0,303030"0,294118"0,285714"0,277778"
7.8 Extrapolação de Richardson.
Este método permite melhorar o resultado da integração para um número m de
pontos, depois de termos calculado as áreas com n e com m pontos, Am e
An. cujos erros seriam, respectivamente, En e Em. Assim
A = An + En = Am + Em , donde Am - An = - ( Em -
En.)
Considerando a expressão do erro da Regra dos Trapézios,
Identicamente, para a fórmula de Simpson,
Como exemplo, vamos melhorar o cálculo da área do quarto de círculo feita
acima, usando os dados já conhecidos, calculados com Trapézios (usando 7 e
9 pontos) e por Simpson (usando 5 e 7 pontos):
Em ambos casos o resultado melhorou. Também melhoraria aumentando-se o
número de pontos. Então cabe perguntar se é melhor aumentar n ou usar a
extrapolação de Richardson. A resposta é que depende da conveniência. No
caso de função tabular, nem sempre é possível aumentar n: neste caso, a
extrapolação de Richardson é a única forma de melhorar o cálculo.
7.9 Integração dupla.
Será feita apenas uma ligeira introdução ao problema: seja D o retângulo
delimitado por a £ x £ b e
c £ y £ d onde se deseja calcular a integral. Então,
Trata-se agora de calcular valores para vários G(x i) e aplicar um método
numérico na tabela formada. Assim a integração dupla se transforma em duas
integrações simples. No cálculo dos G(x i) os x i são considerados
constantes.
No exemplo seguinte faremos uma integração dupla de sen(x+y) , calculando
5 valores para G(x). Os G(xi) serão calculados com a fórmula simples de
Simpson (3 pontos) e A com a fórmula composta (5 pontos).
Eixo dos x h = p / 8, xi. = { 0, p / 8, p / 4, 3p / 8, e p / 2 } [
5 pontos, entre 0 e p / 2 ]
Eixo dos y h = p / 8, yi: = { 0, p / 8, p / 4 }.
A soma de cada um dos x com cada um dos y gera os seguintes arcos (e
respectivos senos):
"(x i "0 "p / 8 "p / 4 "3p / 8 "p / 2 "5p / 8 "3p / 4 "
"+y i )" " " " " " " "
"Seno "0 "0,38268 "0,70711 "0,92388 "1,0 "0,92388 "0,70711 "
Cálculo dos G(x i), lembrando que h / 3 = (p / 8 ) / 3 = p / 24:
"G(x1)"p / 24 * [ sen ( 0 ) + 4 sen (p / 8) + " "
" "sen (p / 4) ] = 0,29231 " "
"G(x2)"p / 24 * [ sen (p / 8) + 4 sen (p / 4) + " "
" "sen (3p / 8) ] = 0,54127 " "
"G(x3)"p / 24 * [ sen (p / 4) + 4 sen (3p / 8) + " "
" "sen (p / 2) ] = 0,70720 " "
"G(x4)"p / 24 * [ sen (3p / 8) + 4 sen (p / 2) + " "
" "sen (5p / 8) ] = 0,76547 " "
"G(x5)"p / 24 * [ sen (p / 2) + 4 sen (5p / 8) + " "
" "sen (3p / 4) ] = 0,70720 " "
A = p / 24 * [ G(x1) + 4 G(x2) + 2 G(x3) + 4 G(x4) + G(x5) ] = 1,00027
O cálculo analítico dá como valor 1,00000. O exemplo mostra como um
problema de integração dupla pode ser resolvido com a regra de Simpson.
7.10 Funções Tabulares.
Até agora trabalhamos com funções analíticas, para poder comparar os
resultados da integração numérica com a integração analítica. No caso de
funções tabulares, as fórmulas se aplicam diretamente aos dados das
tabelas. Assim, dada a função tabular f(x) da tabela abaixo, temos:
"Xi "Yi "Cálculo (Simpson) " " "QUADRO RESUMO "
"0,0 "5,021"n=3, h=1,5 "n "h "Area "E abs. "E rel. "
"0,5 "6,146"A=1,5/3*[5,021+7,519+4*(6,"3 "1,5"20,1600 "--- "--- "
" " "945)] " " " " " "
"1,0 "6,630"A = 20,16 "7 "0,5"20,3293 "0,1693 "0,0083 "
"1,5 "6,945" " " "Extrapolação de Richardson "
"2,0 "7,178"n = 7, h = 0,5 " " " "
"2,5 "7,364"A=1,5/3*[5,021+7,519+4*(6," " "A = 20,3293 + 0,1693*( 9 / "
" " "146+6,945+7,364)+2*(6,630+" " "40 ) "
" " "7,178)] " " "= 20,3674 "
"3,0 "7,519"A = 20,3293 " " " "
A tabela acima só permitiu interpolar com 3 e 7 pontos. Para 5 pontos,
teríamos h = 0,75 e na tabela faltam os valores de f(0,75) e f(2,25). Se
quiséssemos obter estes valores, poderíamos interpolá-los na tabela. Por
interpolação linear temos p(0,75) = 6,388 e p(2,25) = 7,271 e poderemos
então integrar com 5 pontos. Lembre-se, porém, que os pontos dados são
considerados pertencentes à função, enquanto os pontos interpolados
pertencem ao polinômio interpolante, apresentando um erro de interpolação,
que certamente irá agravar o erro da integração. Se este erro é grande ou
desprezível, depende do caso particular em exame.
Numa prova, não deixe de acrescentar uma observação do tipo acima, pois é
erro conceitual confundir pontos da função com pontos de um polinômio
interpolante qualquer.
Um caso interessante da função tabular é o cálculo de áreas de contornos
irregulares. Na vida prática, isto ocorre no cálculo de áreas de terrenos,
por exemplo. Neste curso, podemos usar uma figura em papel para aprender a
metodologia.
" Y "Na figura ao lado, suponha que se verificam as "
" "seguintes medidas, sendo y1,...,y5 as ordenadas "
" "da parte acima do eixo dos X e z1,...,z5 as "
" "ordenadas da parte abaixo do eixo dos X: "
"Y1 y2 y3 " "
"y4 y5 "x1 = 2, y1 = 4,0 z1 = 4,2 "
" "x2 = 4, y2 = 5,0 z2 = 4,2 "
"X "x3 = 6, y3 = 4,8 z3 = 4,0 "
"x1 x2 x3 "x4 = 8, y4 = 3,5 z4 = 3,7 "
"x4 x5 "x5 = 10, y5 = 3,0 z5 = 3,2 "
" " "
"z1 z2 z3 "Temos aí os elementos necessários para aplicar "
"z4 z5 "Simpson com 3 e com 5 pontos. Para maior número "
" "de pontos, basta usar régua e esquadro para obter"
" "novas divisões e novas medidas. "
" " "
"Z " "
Primeiro, devemos "fatiar" convenientemente a figura, fazendo passar eixos
de X e Y onde facilitem as medidas. Na figura acima, criamos duas "fatias",
acima e abaixo do eixo dos X. Á área de cada parcela da figura pode então
ser calculada por integração numérica. A soma das áreas parciais dá a área
total.
Para calcular a área de cada parcela da figura, o eixo dos x (desta parcela
da figura) tem que ser dividido em partes iguais. Para usar Simpson, o
número de pontos tem que ser ímpar. O eixo deve ser redividido para
cálculos com número crescente de pontos (será sempre necessário fazer mais
de uma iteração, para poder medir o erro e a convergência entre iterações).
Quadros resumos como os usados acima explicitam erros e convergência.
No exemplo acima, um único eixo dos x serve às parcelas superior e
inferior, sendo que chamamos de yi as ordenadas "para cima" e de zi as
ordenadas "para baixo". Neste caso, as ordenadas zi são tomadas como
positivas, pois afinal não existe área negativa.
No caso particular acima, em lugar de calcular duas áreas em separado,
podemos aplicar as propriedades associativa e distributiva da soma e da
multiplicação e calcular a área com base numa tabela (Xi, Wi) onde wi = yi
+ zi .
Quando a figura em estudo apresentar eixos de simetria, aproveite-os para
simplificar os cálculos.
Outro lembrete: o eixo dos x na figura acima poderia ser traçado abaixo de
toda a figura, gerando ordenadas yi até a borda superior e zi até a borda
inferior. A área procurada seria então aquela obtida com as ordenadas yi
(desde a borda superior até o eixo dos x ) menos a área obtida com as
ordenadas zi. (desde a borda inferior até o eixo dos x )
Atenção! Cuidado com reentrâncias na figura, porque podem gerar areas
negativas. Se necessário, divida a figura em pedaços e faça integrações
parciais. É bem o caso da figura abaixo, onde os elementos yin e yang são
simétricos e basta calcular um deles. Mas isto vai exigir a divisão da
figura em partes. A tentativa de calcular a área do S que separa as duas
partes apresenta a mesma dificuldade. Tente!
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