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Integração Numérica[1]
7.1. Introdução
O processo de integração numérica envolve integrais definidas num certo
intervalo, cujo cálculo representa a área sob a curva y = f(x) entre os
extremos x = a e x = b, ou seja,
que é o teorema fundamental do cálculo. Sua aplicação exige que exista
F(x), primitiva de f(x) e que esta primitiva possa ser obtida pelas regras
do cálculo. Isto nem sempre é possível; ou às vezes é demasiado trabalhoso.
Ainda, se f(x) for dada como função tabular, as regras de integração
analítica não têm como ser aplicadas. Nestes casos todos recorre-se à
integração numérica. Mesmo que a integração analítica seja possível, se
desejarmos utilizar um programa de computador para realizar a integração,
estaremos obrigados a aplicar os métodos numéricos.
Embora tratemos a integração simples sempre como cálculo de uma área, isto
pode ser apenas uma abstração, pois muitas vezes o problema se refere a
cálculos que nada têm a ver com superfícies mas sim a quantidade de energia
despendida num intervalo de tempo, o calor produzido numa reação química,
etc.
7.2. A Regra dos Trapézios
Considere uma função f(x), cujo gráfico está representado abaixo. Vamos
analisar o cálculo da área limitada por essa curva, o eixo dos x e as
ordenadas em x = a e x = b. Comecemos por dividir o intervalo total em N
intervalos iguais, cada um de tamanho h, onde h = (b - a)/N.
A área sob a curva y = f(x) entre a e b é A = .
Na segunda figura isolamos e ampliamos um destes (sub)intervalos de largura
h. Se h é suficientemente pequeno, então a área deste intervalo pode ser
aproximada bastante bem pela área do trapézio abcd:. Ai
(denotando-se f(xi) como yi )
Sendo a área total uma soma das áreas parciais, tem-se:
Área = = , ou ainda,
A =
onde x0 = a e xn = b. Note que todas as ordenadas entre i = 2 e i = n-1
estão multiplicadas por 2, porque cada uma delas pertence simultaneamente a
dois trapézios, um à sua esquerda, outro à sua direita, o que não ocorre
com as ordenadas extremas.
Esta é a regra do trapézio, assim chamada porque aproxima a integral
pela soma de n trapezóides. É uma das fórmulas mais simples para integração
numérica. O erro de truncamento é maior em relação a muitos outros
métodos, mas a grande simplicidade da técnica às vezes a torna atrativa. O
método é importante em qualquer caso porque demonstra a idéia básica de
fórmulas de integração nas quais o tamanho do intervalo é fixado
antecipadamente. Em resumo, a técnica é dividir o intervalo total em
pequenos intervalos e aproximar a curva y = f(x) em vários intervalos
pequenos por alguma curva mais simples cuja integral pode ser calculada
analiticamente.
7.3. A Regra de Simpson
Uma das mais largamente usadas técnicas de integração numérica, a Regra de
Simpson é similar à regra do trapézio no aspecto de ambas exigirem a
divisão do intervalo de integração em vários (sub)intervalos pequenos, de
mesma largura, h. Obtem-se então a integral de parte da figura e estende-se
ao resto do intervalo. Na Regra do Trapézio usamos a área de um trapézio
para aproximar a área de um (sub)intervalo. Na Regra de Simpson usamos a
área sob uma parábola para aproximar a área de dois intervalos adjacentes.
A Regra do Trapézio é exata para polinômios de 1º grau. Já a Regra de
Simpson, embora deduzida de uma figura do 2o grau (a parábola), resulta
exata para polinômios do 3o terceiro grau ou menor.
A Regra de Simpson para um par de (sub)intervalos é deduzida encontrando-se
a equação da parábola que passa por três pontos igualmente espaçados entre
sí (e não alinhados!). Para achar a área do intervalo total de integração,
somamos as áreas sob todas as parábolas "individuais".
Na figura a seguir, uma parábola foi passada pelos 3 pontos [x1,f(x1)],
[x2,f(x2)], [x3,f(x3)]. Sendo ela p(x) = ax2+bx+c e sendo sua integral
definida entre os extremos (x2+h) e (x2-h) dada por
Na dedução acima alguns termos foram somados e logo subtraídos à
expressão entre colchetes, artifício comum em álgebra, para completar as
três expressões da parábola, em (x2+h), em x2 e em (x2-h). No final, a
fórmula para uma parábola única é expressa como
e para diversas parábolas adjacentes, cobrindo todo o intervalo (a,b),
As ordenadas primeira e última, y1=ya e yn=yb contam apenas uma vez. As
ordenadas de índice par (os índices variam de 1 a n) são multiplicadas por
4, por serem centrais a cada uma das parábolas parciais. As ordenadas de
índice ímpar contam 2 vêzes, por participarem de duas parábolas, à esquerda
e à direita. Tem que ser n ímpar!
Exercícios Resolvidos:
1) Calcule a área de um quarto do círculo de raio 4, utilizando a regra
trapézio.
2) A equação da circunferência com centro na origem é: x2 + y2 = R2, daí,
Área = , a = 0 e b = 4
A =
"n = 5"h = 1 " "n = 6"h = 0,8" "n = 7 "h = 0,667" "n = 9 "h = 0,5 "
"x "F(x) " "x "F(x) " "x "F(x) " "x "F(x) "
"0 "4 " "0 "4 " "0 "4 " "0 "4 "
"1 "3,873 " "0,8 "3,873 " "0,667 "3,944 " "0,5 "3,969 "
"2 "3,464 " "1,6 "3,464 " "1,333 "3,771 " "1 "3,873 "
"3 "2,646 " "2,4 "2,646 " "2,0 "3,464 " "1,5 "3,708 "
"4 "0 " "3,2 "0 " "2,667 "2,981 " "2 "3,464 "
" " " "4,0 " " "3,333 "2,212 " "2.,5 "3,122 "
" " " " " " "4,0 "0 " "3 "2,646 "
" " " " " " " " " "3,5 "1,936 "
" " " " " " " " " "4 "0 "
Dividimos o intervalo [a,b] usando, sucessivamente, 5, 6, 7 e 9 pontos.
Calculamos h para cada um dos casos. Calculamos a área para cada uma das
hipóteses de divisão, como segue:
"n = 5 "A = = 11,983 "
"h = = 1 " "
"n = 6 "A = = 12,148 "
"h = = 0,8 " "
"n = 7 "A = = 12,254 "
"h = = 0,667 " "
"n = 9 "A = = 12,359 "
"h = = 0,5 " "
QUADRO RESUMO:
"n "h "Área "Ea "Er "
"5 "1 "11,983 "--- "--- "
"6 "0,8 "12,148 "0,165 "0,013582"
"7 "0,667 "12,254 "0,106 "0,008650"
"9 "0,5 "12,359 "0,105 "0,008496"
O cálculo através da fórmula é A' = . Podemos notar que a medida que
o número de intervalos vai aumentan o valor de h vai diminuindo e a área
calculada tende a se aproximar da área verdadeira.
Observação: Erro absoluto (Ea) é obtido subtraindo a área de uma
determinada linha pela área da linha anterior. O Erro relativo (Er)
corresponde a divisão do Erro absoluto pela área.
2) Calcule a área do exercício anterior, usando a regra Simpson.
Para aplicar a Regra de Simpson, dividimos a figura em um número par de
fatias, o que significa tomarmos sempre valores ímpares para n. Vamos
tomar, sucessivamente, n = 5, n = 7 e n = 9:
"n = 3 "h = 2 " "n = 5 "h = 1 " "n = 7 "h = "
" " " " " " " "0,667 "
"x "F(x) " "x "F(x) " "x "F(x) "
"0 "4 " "0 "4 " "0 "4 "
"2 "3,464 " "1 "3,873 " "0,667 "3,944 "
"4 "0 " "2 "3,464 " "1,333 "3,771 "
" " " "3 "2,646 " "2,0 "3,464 "
" " " "4 "0 " "2,667 "2,981 "
" " " " " " "3,333 "2,212 "
" " " " " " "4,0 "0 "
"N = 3 "A = = 11,904 "
"N = 5 "A = = 12,335 "
"N = 7 "A = A = 12,447 "
QUADRO RESUMO:
"n "h "Área "Ea "Er "
"3 "2 "11,904 "--- "--- "
"5 "1 "12,335 "0,431 "0,034941"
"7 "0,667 "12,447 "0,112 "0,008998"
A regra de Simpson converge mais rapidamente do que a regra do trapézio.
Exercícios propostos:
Calcular as integrais abaixo, usando o método do trapézio ou de Simpson.
"a) "d) "
"b) "e) "
"c) " "
"x " "
"0 "4 "
"1 "3,873 "
"2 "3,464 "
"3 "2,646 "
"4 "0 "
Aumentando o número de pontos, primeiro para 6, depois para 7, depois para
9:
"x " "
"0 "4 "
"0,8 "3,919 "
"1,6 "3,666 "
"2,4 "3,2 "
"3,2 "2,4 "
"4 "0 "
"x " "
"0 "4 "
"0,667"3,944 "
"1,333"3,771 "
"2,0 "3,464 "
"2,667"2,981 "
"3,333"2,212 "
"4,0 "0 "
"x " "
"0 "4 "
"0,5 "3,969 "
"1 "3,873 "
"1,5 "3,708 "
"2,0 "3,464 "
"2,5 "3,122 "
"3 "2,646 "
"3,5 "1,936 "
"4,0 "0 "
QUADRO RESUMO:
"n "h "Área "Ea "Er "
"5 "1 "11,983 "--- "--- "
"6 "0,8 "12,148 "0,165 "0,013582"
"7 "0,667 "12,254 "0,106 "0,008650"
"9 "0,5 "12,359 "0,105 "0,008496"
O cálculo através da fórmula é A' = . Podemos notar que a medida que
o número de intervalos vai aumentan o valor de h vai diminuindo e a área
calculada tende a se aproximar da área verdadeira.
Observação: Erro absoluto (Ea) é obtido subtraindo a área de uma
determinada linha pela área da linha anterior. O Erro relativo (Er)
corresponde a divisão do Erro absoluto pela área.
Limite, Convergência e Tolerância. Uma seqüência de números converge
(monotonicamente) para um limite quando as sucessivas diferenças, tn – tn-
1, entre dois números vizinhos na seqüência, vão diminuindo em módulo.
Claro que, ampliando-se o número de termos, chegará o momento em que tn –
tn-1 ( 0. A partir daí teremos então tn+1 ( tn , ou ainda, tn+1 – tn < (
(sendo ( tão pequeno quanto se queira). Diremos que tn atingiu um limite e
chamaremos ( de "tolerância".
Na integração numérica devemos aumentar n e recalcular A (a área) até que
Eabs ( ( (ou Eabs ( tolerância).
O critério de convergência, ou de limite, pode ser também medido através
do Erel. ( (.
(Pode ser necessário um n muito grande para atingir dada tolerância. Em
provas, é então fornecido outro parâmetro, para que a questão possa ser
dada como completa, o Número-de-Iterações, abreviado por NITER. P. Ex.:
"Deseja-se um Eabs com Tol ( 10-5 ou NITER = 8" significa "parar quando
Eabs ( 10-5 OU quando tiver feito 8 iterações, o que ocorrer primeiro)
Dedução por Gregory-Newton, intervalos iguais, em função de u. A fórmula da
regra dos trapézios pode ser deduzida da fórmula GNII em função de u, como
segue. Notar que o intervalo de integração, que para p(x) é expresso como
(a;b), ou como (x1;x2), ou ainda como (x1;x1+h), tem que ser trocado,
quando se usa p(u), para (u1;u2). Ora, u1 é o valor de u para x=x1 e u2 o
valor de u para x=x2=x1+h:
Para a regra de Simpsom o intervalo (a;b) é o mesmo que (x1;x3), ou
(x1;x1+2h), logo (u1;u2) = (0;2):
2ª Regra de Simpsom. Por caminhos semelhantes, estendendo o polinômio em
mais um termo e integrando de 0 a 3, podemos deduzir a 2ª regra de Simpsom,
ou regra dos 3/8, que dá
Para cada 4 pontos temos três intervalos e pelos 4 pontos passamos um
polinômio de grau 3 (parábola cúbica). Outras regras de graus ainda mais
elevados podem também ser deduzidas.
Erro na integração numérica. Seja Ep o erro da interpolação e Eg o erro da
integração. Uma vez que usamos um polinômio interpolante para fazer a
integração numérica e uma vez que
f(x) = p(x) + Ep, entende-se que
Tomando as fórmulas, já conhecidas, do erro da interpolação para os
polinômios de grau 1 e 2 (Gregory-Newton, intervalos iguais, em função de
u), temos as expressões abaixo para os erros Eg(T) e Eg(S) das fórmulas
simples da Regra dos Trapézios e da Regra (1ª ) de Simpsom. No caso desta
última, como ela é exata para polinômios até o grau 3, o Eg(S) dá zero
quando o calculamos com base na derivada 3ª , fazendo-se necessário
recorrer ao grau 4º
Para as fórmulas compostas, o erro total será a soma dos erros parciais.
Como h é sempre o mesmo, o fator variável é a derivada, podendo-se escrever
Sendo f(k)(x) contínua no intervalo (a,b), pelo teorema do valor médio deve
haver um x , sendo a £ x £ b, tal que:
a) no caso dos trapézios, N f(k)( x)= S f(k)( x i)
b) no caso da regra de Simpsom, (N / 2) f(k)( x)= S f(k)( x i).
Além disso, lembrando que h = (b-a)/N,
Note que nem sempre é possível determinar-se as derivadas (segunda, quarta,
...) da função, assim o erro não pode ser calculado.
Como exemplo, vamos tomar a função f(x) = 1/x. Tem-se f"(x) = 2/x3 e
f(iv)(x) = 24/x5. Vamos integrar no intervalo (3,0 ; 3,6). O cálculo
analítico dá I = 0,1823215. Por trapézios e por Simpsom, usando a fórmula
simples e calculando o erro, temos:
Usando fórmulas compostas, com n=7
"Xi "3,0 "3,1 "3,2 "3,3 "3,4 "3,5 "3,6 "
"Yi "0,333333 "0,322581"0,312500"0,303030"0,294118"0,285714"0,277778"
Extrapolação de Richardson – Este método permite melhorar o resultado da
integração para um dado número de pontos, depois de termos calculado A com
n e com m pontos, com erros En e Em. Assim, A = An + En = Am. + Em , donde
Am - An = - En - Em . Tomando a expressão do erro da fórmula composta
da Regra dos Trapézios:
Para a Regra de Simpsom:
Como exemplo, vamos melhorar o cálculo da área do quarto de círculo feita
acima (usando os dados já conhecidos):
Trapézios, com 7 e 9 pontos:
A = A(9) + 72 (A(9) – A(7)) / ( 92 - 72 ) = 12,359 + 49 ( 0,105 ) /
( 32 ) = 12,5198
Simpsom, com 5 e 7 pontos:
A = A(7) + 54 (A(7) – A(5)) / ( 74 - 54 ) = 12,447 + 625 ( 0,112 ) /
( 1776 ) = 12,4864
Em ambos casos o resultado melhorou. Também melhoraria aumentando o número
de pontos. Então se pergunta se é melhor aumentar n ou usar a
extrapolação de Richardson. A resposta apropriada é: depende da
conveniência. No caso de função tabular, nem sempre é possível aumentar n.
Integração dupla. Será feita apenas uma ligeira introdução ao problema:
seja D o retângulo delimitado por
a £ x £ b e c £ y £ d onde se deseja calcular a integral. Então,
Trata-se agora de calcular valores para vários G(xi) e aplicar um método
numérico na tabela formada. Assim a integração dupla se transforma em duas
integrações simples. No cálculo dos G(xi) os xi são considerados
constantes.
No exemplo seguinte faremos uma integração dupla de sen(x+y) , calculando
5 valores para G(x). Os G(xi) serão calculados com a fórmula simples de
Simpsom (3 pontos) e A com a fórmula composta (5 pontos).
Eixo dos x h = p / 8, xi. = { 0, p / 8, p / 4, 3p / 8, e p / 2 } [
5 pontos, entre 0 e p / 2 ]
Eixo dos y h = p / 8, yi: = { 0, p / 8, p / 4 }.
A soma de cada um dos x com cada um dos y gera os seguintes arcos (e
respectivos senos):
"(xi+yi"0 "p / 8 "p / 4 "3p / 8 "p / 2 "5p / 8 "3p / 4 "
") " " " " " " " "
"Seno "0 "0,38268 "0,70711 "0,92388 "1,0 "0,92388 "0,70711 "
Cálculo dos G(xi), lembrando que h / 3 = (p / 8 ) / 3 = p / 24:
"G(x1)"p / 24 * [ sen ( 0 ) + 4 sen (p / 8) " "
" "+ sen (p / 4) ] = 0,29231 " "
"G(x2)"p / 24 * [ sen (p / 8) + 4 sen (p / 4) " "
" "+ sen (3p / 8) ] = 0,54127 " "
"G(x3)"p / 24 * [ sen (p / 4) + 4 sen (3p / 8) +" "
" "sen (p / 2) ] = 0,70720 " "
"G(x4)"p / 24 * [ sen (3p / 8) + 4 sen (p / 2) +" "
" "sen (5p / 8) ] = 0,76547 " "
"G(x5)"p / 24 * [ sen (p / 2) + 4 sen (5p / 8) +" "
" "sen (3p / 4) ] = 0,70720 " "
A = p / 24 * [ G(x1) + 4 G(x2) + 2 G(x3) + 4 G(x4) + G(x5) ] = 1,00027
O cálculo analítico dá como valor 1,00000. O exemplo mostra que um problema
de integração dupla pode ser resolvido com a regra de Simpsom.
Funções Tabulares – até agora trabalhamos com funções analíticas, para
poder comparar os resultados da integração numérica com a integração
analítica. No caso de funções tabulares, as fórmulas se aplicam diretamente
aos dados das tabelas. Assim, dada a função tabular f(x) da tabela abaixo,
temos:
"Xi "Yi "Cálculo (Simpsom) " " "QUADRO RESUMO "
"0,0 "5,021"n=3, h=1,5 "n "h "Area "E abs. "E rel. "
"0,5 "6,146"A=1,5/3*[5,021+7,519+4*(6,"3 "1,5"20,1600 "--- "--- "
" " "945)] " " " " " "
"1,0 "6,630"A = 20,16 "7 "0,5"20,3293 "0,1693 "0,0083 "
"1,5 "6,945" " " "Extrapolação de Richardson "
"2,0 "7,178"n = 7, h = 0,5 " " " "
"2,5 "7,364"A=1,5/3*[5,021+7,519+4*(6," " "A = 20,3293 + 0,1693*( 9 / "
" " "146+6,945+7,364)+2*(6,630+" " "40 ) "
" " "7,178)] " " "= 20,3674 "
"3,0 "7,519"A = 20,3293 " " " "
A tabela acima só permitiu interpolar com 3 e 7 pontos. Para 5 pontos,
teríamos h = 0,75 e na tabela faltam os valores de f(0,75) e f(2,25). Se
quiséssemos obter estes valores, poderíamos interpolá-los na tabela. Por
interpolação linear temos p(0,75) = 6,388 e p(2,25) = 7,271 e poderemos
então integrar com 5 pontos. Lembre-se, porém, que os pontos dados são
considerados pertencentes à função, enquanto os pontos interpolados
pertencem ao polinômio interpolante, apresentando um erro de interpolação,
que certamente irá agravar o erro da integração. Se este erro é grande ou
despresível, depende do caso particular em exame. (Numa prova, não deixe de
acrescentar esta observação, pois é erro conceitual confundir pontos da
função com pontos meramente interpolados).
Um caso interessante da função tabular é o cálculo de áreas de contornos
irregulares. Na vida prática, ocorre no cálculo de áreas de terrenos. No
ambiente acadêmico, podemos usar uma figura em papel para aprender a
metodologia.
"Y "Na figura ao lado, suponha que se verificam as "
" "seguintes medidas para a área acima do eixo dos "
" "X: "
"y1 y2 y3 y4"x1 = 0, y1 = 2 "
"y5 "x2 = 2, y2 = 3 "
"X "x3 = 4, y3 = 4 "
" "x4 = 6, y4 = 3,5 "
" "x5 = 8, y5 = 0 "
"x1 x2 x3 "Temos aí todos os elementos necessários para "
"x4 x5 "aplicar Simpsom com 3 e 5 pontos. Para maior "
" "número de pontos, basta usar régua e esquadro "
" "para obter novas divisões e novas medidas. "
Portanto, tudo se resume a "fatiar" convenientemente a figura, fazendo
passar eixos de X e Y onde facilitem as medidas e calcular cada "fatia" por
integração numérica, usando divisões e redivisões para montar um "quadro
resumo" (mais de uma iteração, para poder medir erro e convergência).
Depois, somando-se as áreas das "fatias", tem-se a área global. Se houver
eixos de simetria, aproveite-os.
Atenção! Cuidado com reentrâncias que podem gerar "areas negativas". Não
existe área negativa, então a figura tem que ser "refatiada" para que a
área de cada fatia dê positiva.
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[1] Meus agradecimentos a André Gustavo Nepomuceno Matheus e Virgínia
Vilaronga, alunos do 1o Semestre de Matemática de 1997, que prepararam a 1a
versão destas Notas, dando o "chute inicial" para a presente obra.
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: n = 5 h = = 1
A = = 11,983
: n = 6 h = = 0,8
A = = 12,148
: n = 7 h = = 0,667
A = = 12,254
: n = 9, h = = 0,5
A =
A = 12,359
