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Instituto Superior de Engenharia de Coimbra 2◦ Teste de Álgebra Linear - V1 Licenciatura em Engenharia Mecânica e Electromecânica 19 de Dezembro de 2013
Duração: 1h30m
1. Considere os subconjuntos de R3 : S1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x = y+3z}, S2 =< (1, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 2, 1) > . (a) Mostre que S1 é um subespaço vetorial de R3 . (b) Mostre que S2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x = z}. De seguida, determine uma base de S2 e indique a respectiva dimensão.
1 2. Seja A = 1 0
0 k . 4
−2 −1 k
(a) Calcule o determinante de A. (b) Considere k = 1 i. Calcule a matriz adjunta de −5 ii. Mostre que A−1 = 31 −4 1
A. 8 4 −1
−2 −1 . 1
3. (a) Duas matrizes quadradas A e B da mesma ordem dizem-se semelhantes se existe uma matriz P não singular tal que A = P −1 BP . Calcule det(A) sabendo que det(B) = 8. a b c −2a −2b −2c (b) Supondo que p q r = −1, calcule 2p + x 2q + y 2r + z . x y z 3x 3y 3z
8 4. Considere a matriz A = 0 0
1 −3 1
3 −6 . 2
(a) Escreva o polinómio característico e determine os valores próprios de A. (b) Determine uma base para o subespaço próprios associado ao valor próprio −1. (c) Diga se A é diagonalizável e no caso afirmativo indique uma matriz diagonalizante.
Bom Trabalho.
Cotação das perguntas 1.(a) 1.0
1.(b) 1.0
2.(a) 0.5
2.(bi) 1.0
2.(bii) 0.5
3.(a) 0.5
3.(b) 0.5
4.(a) 1.0
4.(b) 1.0
4.(c) 1.0
