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Instituto Superior de Engenharia de Coimbra Licenciatura em Engenharia Mecˆanica Frequˆencia de An´alise Matem´atica I Dura¸ c˜ ao: 1h
18 de dezembro de 2013 (v2)
Regras para a realiza¸ c˜ ao da frequˆ encia: • Qualquer tentativa de fraude ser´ a punida com a anula¸ca ˜o imediata da prova. • Os equipamentos m´ oveis devem estar desligados durante a realiza¸ca ˜o da prova. • As respostas devem ser apresentadas com caneta de tinta azul ou preta. N˜ ao pode utilizar corretor. • Pode trocar a ordem das quest˜ oes, desde que as identifique devidamente. • Justifique convenientemente todas as respostas, indicando no fim de cada exerc´ıcio a resposta simplificada. Se nada for dito em contr´ ario, deve apresentar na resposta o valor exato da solu¸ca ˜o ou o valor aproximado com 4 casas decimais.
1. Utilize uma fun¸c˜ ao da forma f (x) = xn − a, com a constante real e n n´ umero natural, para aproximar o valor √ 3 de 7 ∈ [1.75, 2] efetuando 3 itera¸c˜ oes de um m´etodo num´erico `a sua escolha. Indique um majorante para o erro absoluto e a precis˜ao do resultado quanto ao n´ umero de casas decimais corretas. 2. Na tabela s˜ao dadas as medidas de for¸ca quando um peda¸co de madeira ´e cortado por uma serra el´etrica, com um cilindro hidr´aulico. A vari´ avel x representa a extens˜ao do cilindro em mm e F ´e a for¸ca dada em N. x 101.6 203.2 304.8 F (x)
88964.43
97860.88
66723.32
Construa a tabela das diferen¸cas divididas e aproxime o valor da for¸ca quando a extens˜ao ´e de 250 mm. 3. A for¸ca exercida pela ´agua numa represa sobre uma comporta vertical cujo topo est´a a 2 metros de profundidade, com o formato de um trap´ezio is´osceles, entre 2 e 5 metros de profundidade ´e dada por ∫ −2 F =k h(y)L(y) dy, −5
onde k = 1000 kg/m3 ´e a densidade da ´agua, h(y) = −y ´e a profundidade e L(y) = 32 (y + 26) ´e o comprimento horizontal. Aproxime a for¸ca exercida pela regra dos trap´ezios, com n = 3, e indique um majorante para o erro da aproxima¸c˜ ao. 4. A equa¸c˜ao diferencial N ′ = 0.4236 (650 − N ) representa a evolu¸c˜ao de uma popula¸c˜ao de coiotes ao longo do tempo, t, medido em anos. Sabendo que a popula¸c˜ao inicial de coiotes ´e de 300 indiv´ıduos, determine um valor aproximado de N (2) utilizando o m´etodo de Euler, com passo igual a 0.5 anos. 5. Identifique o m´etodo num´erico associado ao algoritmo e preencha a informa¸c˜ao em falta. Ler a, b, y0 , h n := ...... t := a y := ...... Para i de 1 at´e n fazer y := y + h × ..... t := t + h Escrever y Cota¸ c˜ ao das perguntas 1
2
3
4
5
1.5
1.5
1.5
1.0
0.5
1
