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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO – UFOP
Instituto de Ciências Exatas e Aplicadas – ICEA
Curso: Engenharia Elétrica
Disciplina: CEA562 – Sinais e Sistemas
2º Exercício Computacional
Gerson Pereira de Souza
Vanessa Cecília da Silva
INTRODUÇÃO
De forma geral, o processamento de sinais de tempo discreto é mais flexivel e normalmente preferivel ao processamento de sinais de tempo contínuo. Sob tal pretexto podemos então utilizar a amostragem, que consiste em amostras deste sinal de tempo contínuo uniformemente espaçadas no tempo. Estes espaçamentos no tempo devem seguir um determinado critério para que sua reconstrução possa ser feita sem que ocorram perdas. Este critério é denominado "Teorema da amostragem". A informação de um sinal de tempo contínuo é equivalente à de um sinal de tempo discreto, de modo que um sinal amostrado é uma sequência de impulsos, enquanto que o sinal de tempo contínuo é uma sequência de numeros.
A DTFT permite a conversão de sinais discretos em função do tempo em sinais em função da frequencia, e deste modo constituem uma valiosa ferramenta na análise e compreensão de sinais e sistemas de tempo contínuo, visto que ele
OBJETIVOS
Implementar, no Matlab, os conceitos e fundamentos da teoria da amostragem;
Impulsionar a visão e análise em frequência de um sinal;
Aplicar conceitos vistos, durante a aula teórica, de sinais discretos;
DESENVOLVIMENTO
O arquivo de audio foi gravado a partir do programa Audacity, e editado para obter uma amostra de 20 segundos.
Exercício 1 – Calcule a tranformada discreta de fourier (DFT) do sinal e plote seu valor absoluto no intervalo [0;2π[, colocando, sobre o eixo horizontal, os valores da frequencia em Hertz.
Para qual é a máxima frequencia do sinal;
Para quais frequências de amostragem, o critério de Nyquist é observado?
Para a realização desta etapa, o seguinte programa foi executado:
%le o arquivo de áudio
[y, Fs] = audioread('amostragem.wav');
yb=sum(y,2); %soma os dois canais: direito e esquerdo
f = 0:1/20:Fs/2-1/20; %cria eixo até 22050Hz
%calcula fft e plota o grafico
ffy = abs(fft(yb)); %encontra o módulo da FFT
figure
plot(f, ffy(1:882000/2),'blue'); %plota metade dos valores
title('Espectro da Voz');
xlabel('Frequência (Hz)');
ylabel('Amplitude');
Ao aplicar a FFT, este sinal aparece aparece espelhado nas frequencias 22050 a 44100. Isso ocorre devido a propríedade da simetria de conjugado da Transformada de Fourier de um sinal real. Ou seja,
X-ω=X*(ω)
Este foi limitado às entre as frequencias 0 e 22050Hz. O gráfico obtido foi está representado na figura 1 abaixo:
Figura 1 - Espectro de voz
A frequência da voz varia com a fonética, podendo variar entre 50 e 3400 Hz. Em relação à voz amostrada, foi encontrada frequencia máxima de 7282Hz. Apesar do valor encontrado, é possivel ver que a maior amplitude se concentram entre as frequencias 150 a 800Hz, conforme figura 2:
Figura 2 – Espectro da voz entre freqüencia 0 e 900 Hz
O teorema de Nyquist estabelece que um sinal pode ser amostrado em um sinal discreto e novamente convertido em um sinal de tempo contínuo desde que a frequência de sua amostragem, fs, seja pelo menos duas vezes maior que a largura de faixa B de um sinal. Ou seja:
T < 12B
Uma vez que T= 1fs , teremos que:
fs > 2B
Desde modo, para o sinal analisado, a menor frequencia de amostragem é:
fs > 2*7282 Hz
fs > 14564 Hz
O sinal supracitado é amostrado à 44100 Hz, valor superior à frequencia máxima do mesmo. Logo, temos a observância do Teorema de Nyquist.
Exercício 2 – Re-amostre usando a expressão: x1n=x[10n].
Qual a frequência de amostragem empregada?
Ocorre aliasing? Justifique.
Plote o módulo da DFT deste sinal amostrado, seguindo as mesmas diretrizes do item (a) e compare com o grafico do sinal original. Houve perda de conteúdo espectral?
Para a execução desta etapa, foi utilizado o seguinte código:
%Lê arquivo de audio
[y, Fs] = audioread('amostragem.wav');
yb=sum(y,2); %soma os dois canais: direito e esquerdo
f = 0:1/20:Fs/10-1/20; %cria eixo até 4410Hz
%Sinal reamostrado
fy1 = downsample(yb,10);
fy2 = abs(fft(fy1)); %encontra o módulo da FFT
figure
plot(f, fy2(1:88200));
title('Espectro da Voz');
xlabel('Frequência (Hz)');
ylabel('Amplitude');
A frequencia de amostragem deste sinal foi 10 vezes menor que a amostragem do exercicio 1. Sabendo que a taxa de amostragem do sinal original é 44100 Hz, teremos:
fs=4410010=4410 Hz
Porem, como calculado anteriormente, para reconstrução sem perda deste sinal, é necessário que:
fs > 14564 Hz
Logo, esta amostragem não obedece ao teorema de Nyquist. Como o sinal estará subamostrado, ao reconstrui-lo em tempo contínuo através da interpolação, haverá perda de informações. Tal fato é facilmente percebido ao executar o audio reamostrado, através do código:
[y, Fs] = audioread('amostragem.wav');
yb=sum(y,2); %soma os dois canais: direito e esquerdo
fy0 = yb(1:10:882000); %x[n] = x[10n]
player = audioplayer(fy0, 4410);
play(player);
Como esperado, o som obtido perde em qualidade quando comparado ao original.
A operação de amostrar um sinal em tempo discreto a cada N-ésimo intervalo de tempo é chamado de dizimação. A sequência x[10n] amostrada é substituida então por uma sequencia xb[n], igual a sequência x[10n], porêm sem os espaços vazios gerados no processo. Desde modo, podemos dizer que xbn=x[10n]. No domínio da frequencia, temos que:
Xb(ejω)= Xp(ejω10)
Ou seja, os dois sinais possuem a mesma Transformada de Fourier, diferenciados apenas por um fator de escala na frequencia. Se o espectro original X(ejω) for apropriadamente limitado em banda, de modo que não haja aliasing na transformada do sinal amostrado, então o efeito da dizimação é espalhar o espectro da sequencia original sobre uma parte maior da banda de frequencia. A diferença entre a amostragem e a dizimação está no fato de que, na amostragem, os valores zeros entre as amostras são mantidos, e na dizimação, estes valores são descartados e a sequência é reescrita sem estes.
Como a frequencia de amostragem não foi adequada, ocorre o fenomeno de aliasing, perceptivel no grafico da figura 3:
Figura 3 - Espectro em frequencia do sinal x[10n]
Com isso, as informações do sinal se sobrepoem quando analisadas as frequencias mais altas, próximas de 2205 Hz. O sinal original, como visto na figura 4, tem vallor proximo de zero para frequencias mais altas, 22050 Hz.
Figura 4 - Sinal x[n] amostrado a 44100 Hz
Ao amostrar um sinal, a amplitude de seus termos é multiplicada por 1N , ou seja, para x[10n], os termos tem sua amplitude dividida por 10, reduzindo assim a energia total obtida no sinal amostrado. É importante notar que mesmo com redução da amplitude do sinal, o conteúdo espectral continua o mesmo, ou bem semelhante, para frequencias mais baixas (até 2205 Hz). Para frequencias maiores (2205 Hz até a frequencia máxima, 7282 Hz), o conteúdo espectral foi perdido na amostragem.
CONCLUSÃO
Cada pessoa tem uma frequencia de voz diferente, e ela que é responsável pelas particularidades de cada voz. A amostragem de um sinal analógico deve obedecer os critérios de Nyquist para que possa ser novamente reproduzido sem perda de informações, visto que a não observancia desta regra irá causar o aliasing, que alem de ser irreversível, compromete a qualidade e causa distorção do sinal.
BIBLIOGRAFIA
LATHI, B. P. Sinais e Sistemas Lineares. 2ª edição. Porto Alegre: Bookman, 2007
OPPENHEIM, A. S., WILLSKY, A. S., NAWAB, S. H. Sinais e Sistemas. 2ª edição. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.
