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ENGENHARIA CÁLCULO I – DERIVADA
Prof. Luiz Elpídio M. Machado DERIVADA
Definição – 1
f
A derivada de uma função
f
seja dado por
é a função denotada por
f ( x + ∆x ) − f ( x )
f ( /x ) = lim
∆x
∆x → 0
A fórmula
f ( /x1 ) = lim
f ( x ) − f ( x1 )
/
, tal que seu valor em qualquer número
x
do domínio de
, se esse limite existir.
é uma alternativa para cálculo da derivada.
x − x1
x → x1
f
Teorema – 1 Se
c
for uma constante e se
f( x ) = c
x , então f ( /x ) = 0 .
para todo
Teorema – 2 Se
r
Se
r < 1 então x ≠ 0 .
for um número e se
f ( x ) = x r , então f ( /x ) = rx r − 1 .
Teorema – 3 Se
f
for uma função,
c
uma constante e
F
a função definida por
F( x ) = c f ( x )
então, se
f ( /x )
existir,
F( /x ) = c f ( /x ) . Teorema – 4 Se
f1
e
existirem,
f2
forem funções e se
f
for a função definida por
f ( x ) = f1 ( x ) + f 2 ( x )
então, se
f 1/( x )
e
f 2/ ( x )
f ( /x ) = f1/( x ) + f 2/ ( x ) .
Teorema – 5 A derivada da soma de um número finito de funções é igual à soma de suas derivadas, se estas existirem.
Teorema – 6 Se a função
f
x
for derivável em
será derivável em
e a função
F
for derivável em
x , e (F o f )( x ) = F( / f ( x ) ) . f ( /x ) /
ou
f ( x ) , então a função composta F o f = F( f ( x ) )
F( /f( x ) ) = F( /f( x ) ) . f ( /x ) .
1
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ENGENHARIA CÁLCULO I – DERIVADA
Prof. Luiz Elpídio M. Machado
Teorema – 7 Se
f1
f2
e
existirem,
F
forem funções e
F( x ) = f 1 ( x ) + f 2 ( x )
for a função definida por
então, se
f 1/( x )
e
f 2/ ( x )
F( /x ) = f 1/( x ) . f 2 ( x ) + f1 ( x ) . f 2/ ( x ) .
Teorema – 8
f( x ) = e x
Se
f
for uma função
Se
f
for uma função e
F
então a derivada de
a função definida por
f
é
F( x ) = e
f ( /x ) = e x . f( x )
então a derivada de
F
é.
F( \x ) = e
f( x )
. f ( \x ) .
Teorema – 9
f ( x ) = ln x
Se
f
for uma função
Se
f
for uma função e
F
então a derivada de
a função definida por
f
é
f ( /x ) =
F( x ) = ln f ( x )
1 x
.
então a derivada de
F
é.
F( /x ) =
1 f( x )
. f ( \x ) .
Teorema – 10
Se
f
f1
/ 2(x
e
f2
forem funções e
) existirem,
/ (x
F
)
=
F
for a função definida por
f 1/( x ) . f 2 ( x ) − f 2/ ( x ) . f 1 ( x )
[f
2(x
)
]
2
F( x ) =
f1 ( x ) f2 ( x )
onde
f 2 ( x ) ≠ 0 , então
se
f 1/( x )
e
F
é
.
Teorema – 11 Se
f
for uma função
f
Se
f ( x ) = sen (x )
for uma função e
F
então a derivada de
f
é
f ( /x ) = cos(x ) . F( x ) = sen ( f ( x ) )
a função definida por
então a derivada de
F( /x ) = cos( f ( x ) )× f ( /x ) . Teorema – 12 Se
f
for uma função
f ( x ) = cos(x )
então a derivada de
f
é
f ( /x ) = − sen (x ) .
2
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ENGENHARIA CÁLCULO I – DERIVADA f
Se
for uma função e
Prof. Luiz Elpídio M. Machado F
F( x ) = cos( f ( x ) )
a função definida por
então a derivada de
F
é
então a derivada de
F
é
F
é
F
é
F
é
F( /x ) = − sen ( f ( x ) )× f ( /x ) . Teorema – 13 Se
f
for uma função
f
Se
f ( x ) = tg (x )
for uma função e
F
f
então a derivada de
f ( /x ) = sec 2 (x ) .
é
F( x ) = tg ( f ( x ) )
a função definida por
F( /x ) = sec 2 ( f ( x ) )× f ( /x ) . Teorema – 14 Se
f
for uma função
f
Se
f ( x ) = sec(x )
for uma função e
F
então a derivada de
f
é
f ( /x ) = sec(x ) tg ( x ) . F( x ) = sec( f ( x ) )
a função definida por
então a derivada de
F( /x ) = sec( f ( x ) ) tg ( x ) × f ( /x ) . Teorema – 15 Se
f
for uma função
f
Se
f ( x ) = cot g (x )
for uma função e
F
então a derivada de
f
f ( /x ) = − cos ec 2 (x ) .
é
F( x ) = cot g ( f ( x ) )
a função definida por
então a derivada de
F( /x ) = − cos ec 2 ( f ( x ) )× f ( /x ) . Teorema – 16 Se
f
Se
for uma função
f
f ( x ) = cos ec( x )
for uma função e
F
f
então a derivada de
a função definida por
é
f ( /x ) = − cos ec(x ) cot g ( x ) .
F( x ) = cos ec( f ( x ) )
então a derivada de
F( /x ) = − cos ec( f ( x ) ) cot g ( x ) × f ( /x ) . Exercícios Nos exercícios a baixo determine a derivada usando os teoremas anteriores. E-1.
f ( x ) = 3x − 8
E-3.
f ( x ) = 4 x − 13
E-2.
f ( x ) = −2 x + 5
E-4.
f ( x ) = 4 x 2 + 5x + 1 3
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ENGENHARIA CÁLCULO I – DERIVADA
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E-5.
f ( x ) = 2x 2 − 7 x + 1
E-20.
f( x ) = x3 − 6x 2 − 1
E-6.
f ( x ) = −3 x 2 + 8 x − 2
E-21.
f ( x ) = −4 x 3 + x 2 + 5
E-7.
f ( x ) = 5 x 2 − 3x + 6
E-22.
f ( x ) = −4 x 3 − 2 x + 3
E-8.
f ( x ) = 2x 3 − 7 x
E-23.
f( x ) =
E-9.
f ( x ) = −6 x 3 + 5 x 2 + 1
x+3 x−4
E-24.
f( x ) =
x−3 x+4
E-25.
f( x ) =
2x − 7 3x − 8
E-26.
f( x ) =
x2 + 4 x2 + 2
E-27.
f( x ) =
x+4 x2 + 2
E-28.
f( x ) = 2x3 − 7x
E-29.
f( x ) = 7 x 5 − 6 x 4 + 3x 2
E-30.
f ( x ) = −3 x 8 + 9 x 5 − 7 x 3 + 4 x
E-42.
f ( x ) = ln (6 x )
E-43.
f ( x ) = ln (6 x − 1)
E-44.
f ( x ) = ln (x 2 + 1)
3x + 7 = 4x − 1
E-10.
f( x )
E-11.
f ( x ) = 4x + 6 x + 5
E-12.
f ( x ) = −6 x 2 + 7 x − 9
E-13.
f ( x ) = 5x 3 − 4 x − 1
E-14.
f ( x ) = −2 x − 8 x − 12
E-15.
2
3
f( x )
2
5x − 2 = 2x + 7
E-16.
f ( x ) = 2x + 5
E-17.
f( x ) = x − 3
E-18.
f( x ) = x2 + 3
E-19.
f( x ) = x3 + 6x2 −1
E-31.
f ( x ) = 3x 7 + 2 x 6 − 6 x 5 + 3x 4 + 7 x − 3
E-32.
f ( x ) = −4 x10 + 5 x 8 + 2 x 6 − 7 x 4 + 8 x 2 − 9
E-33.
f( x ) = e7x
E-34.
f( x ) = ex
E-35.
f ( x ) = e 2x
E-36.
f( x ) = x3 + e7x
E-45.
f ( x ) = x 7 − ln (2 x )
E-37.
f ( x ) = x3e7 x
E-46.
f ( x ) = x 7 ln (2 x )
E-38.
f ( x ) = xe x
E-47.
f ( x ) = x ln x
E-48.
E-39.
e2x = 3 x
f( x ) =
E-49.
f ( x ) = (2 x − 5) (3 x + 8)
E-50.
f ( x ) = (2 x − 5)
E-51.
f ( x ) = (2 x 5 − 5) (3 x 6 + 8)
E-40. E-41.
2
f( x )
f( x ) =
6
9
5x
e x
f ( x ) = 5 ln x
ln x x 7
11
10
4
(3x + 8)20 8
4
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ENGENHARIA CÁLCULO I – DERIVADA E-52.
E-53.
E-54.
E-55.
E-56.
f ( x ) = (2 x 5 − 5 )
20
f( x
(x ) = (x
f( x ) =
3
6
+ 8)
10
+ 4)
5
+ 2)
7
(8x + 4)5 (9 x + 2)7
(2 x (3x (5 x ) = (2 x
f( x ) =
f( x
2
(3x
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4
− 5)
f ( x ) = 4 cos(8 x )
E-71.
f ( x ) = 7tg (2 x )
E-72.
f ( x ) = 5 sec(9 x )
E-73.
f ( x ) = 3 cos ec(4 x )
E-74.
f ( x ) = 8 cot g (3 x )
E-75.
f ( x ) = 2 sen (x ) + 9tg (x )
E-76.
f ( x ) = 4 cos(x ) − 3 sec(x )
E-77.
f ( x ) = 7tg (x ) − 2 cos ec(x )
E-78.
f ( x ) = 5 sec(x ) − 6 sen (x )
E-79.
f ( x ) = 3 cos ec(x ) − 8 cos(x )
8
6
− 7)
6
+ 4)
3
E-70.
9
7
− 6)
4
E-57.
f ( x ) = 2 sen (x )
E-58.
f ( x ) = 4 cos(x ) f ( x ) = 7tg (x )
E-80.
f ( x ) = 8 cot g (x ) + 4 sen (x )
E-59.
f ( x ) = 5 sec(x )
E-81.
f ( x ) = x 3 sen (x )
E-61.
f ( x ) = 3 cos ec( x )
E-82.
f ( x ) = x 2 cos(x )
f ( x ) = 8 cot g ( x )
E-83.
E-62.
f ( x ) = x 4 tg (x )
E-63.
f ( x ) = sen (2 x )
E-84.
f ( x ) = x 5 sec(x )
E-64.
f ( x ) = cos(4 x )
E-85.
f ( x ) = x 7 cos ec( x )
E-65.
f ( x ) = tg (7 x )
E-86.
f ( x ) = x 6 cot g (x )
E-66.
f ( x ) = sec(5 x )
E-87.
f ( x ) = x 2 sen (x ) − x sen (x ) + sen x
E-67.
f ( x ) = cos ec(3 x )
E-88.
f ( x ) = x 2 cos(x ) − x cos(x ) + cos x
E-68.
f ( x ) = cot g (8 x )
E-89.
f ( x ) = x 2 tg (x ) − xtg (x ) + tgx
E-69.
f ( x ) = 2 sen (5 x )
E-90.
f ( x ) = x 2 sec(x ) − x sec(x ) + sec x
E-91.
f ( x ) = x 2 cos ec(x ) − x cos ec(x ) + cos ecx
E-92.
f ( x ) = x 2 cot g (x ) − x cot g (x ) + cot gx
E-93.
f( x ) =
sen (x ) + 3 sen (x ) − 2
E-96.
f( x ) =
cos(x ) + 3 cos(x ) − 2
E-94.
f( x ) =
cos(x ) + 3 sen (x ) − 2
E-97.
f( x ) =
sen (x ) − 3 sen (x ) − 2
E-95.
f( x ) =
sen (x ) + 3 cos(x ) − 2
E-98.
f( x ) =
sen (x ) + 3 sen (x ) + 2
E-60.
5
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Prof. Luiz Elpídio M. Machado
Respostas
=3
R - 18
f
/
(x)
= 2x
(x)
= −2
R - 19
f
/
(x)
= 3 x 2 + 12 x
/
(x)
=4
R - 20
f
/
(x)
= 3 x 2 − 12 x
f
/
(x)
= 8x + 5
R - 21
f
/
(x)
= −12 x 2 + 2 x
R-5
f
/
(x)
= 4x − 7
R - 22
f
/
(x)
= −12 x 2 − 2 x
R-6
f
/
(x)
= −6 x + 8
R - 23
f
/
(x)
=−
R-7
f
/
(x)
= 10 x − 3
R-8
f
/
(x)
= 6x2 − 7
R - 24
f
/
(x)
=
R-9
f
/
(x)
= −18 x 2 + 10 x
7 ( x − 4 )2
R - 25
f
/
(x)
=
5 (3x − 8)2
R - 26
f
/
(x)
=−
f
\
(x)
=
R - 28
f
\
(x)
=
R - 29
f
\
(x)
= 35 x 4 − 24 x 3 + 6 x
R - 30
f
\
(x)
= −24 x 7 + 45 x 4 − 21x 2 + 4
R - 39
f ( \x ) =
2 x 3 e 2 x − 3x 2 e 2 x x6
f ( \x ) =
2 xe 2 x − 3e 2 x x4
R - 40
f ( \x ) =
5 xe 5 x − e 5 x x2
R - 41
f ( \x ) =
5 x
R-1
f
/
(
R-2
f
/
R-3
f
R-4
x
)
=−
31
f
/
R - 11
f
/
(x)
= 8x + 6
R - 12
f
/
(x)
= −12 x + 7
R - 10
(x)
(4 x − 1)2
R - 13
f
/
(x)
= 15 x 2 − 4
R - 14
f
/
(x)
= −6 x 2 − 16 x
R - 15
f
/
(x)
=
(2 x + 7 )2
f
/
(x)
=2
R - 17
f
/
(x)
= 2x
R - 31
f
\
(x)
= 21x 6 + 12 x 5 − 30 x 4 + 12 x 3 + 7
R - 32
f
\
(x)
= −40 x 9 + 40 x 7 + 12 x 5 − 28 x 3 + 16 x
R - 33
f ( \x ) = 7e 7 x = 6x e
5 x6
R - 34
f
R - 35
f ( \x ) = 18 x 8 e 2 x
R - 36
f ( \x ) = 3 x 2 + 7 e 7 x
R - 37
f ( \x ) = 3 x 2 e 7 x + 7 x 3 e 7 x
R - 38
f
\ (x
)
)
= e + xe x
9
x
(x
4x 2
+ 2)
2
− x 2 − 8x + 2
39
R - 16
\ (x
R - 27
7 ( x − 4 )2
(x
2
+ 2)
2
x2 + 4x − 4 (x + 2)2
simplificando
.
6
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ENGENHARIA CÁLCULO I – DERIVADA R - 42
R - 43
f ( \x ) = f ( \x ) =
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1 x 6 6x −1
f ( \x ) = 7 x 6 ln (2 x ) + x 6
R - 47
f ( \x ) = ln x + 1
R - 48
f ( \x ) =
2x x2 + 1
R - 44
f ( \x ) =
R - 45
f ( \x ) = 7 x 6 −
R - 49
f
\
(x)
= (2 x − 5) (3 x + 8) (108 x − 53)
R - 50
f
\
(x)
= 10 (2 x − 5) (3 x + 8) (15 x − 22)
R - 51
f
\
(x)
R - 52
f
\
(x
R - 53
f
\
f
\
f
\
f
\
R - 57
f
R - 58
ln x − 1 x2
1 x 6
10
9
19
(
) (3x + 8) (51x − 90 x + 40) ) = 20 x (2 x − 5) (3 x + 8 ) (48 x − 45 x + 80) x (x + 4 ) (− 11x − 84 x + 20 ) ) = (x + 2) = 8x 4 2 x5 − 5 4
3
7
6
19
5
4
2
(x
R - 46
6
9
6
6
3
8
3
4 (8 x + 4 ) (61x + 43) =− (9 x + 2)8 4
R - 54
(x)
=
2 x 3 (2 x 4 − 5) (− 66 x 6 + 405x 2 − 224)
(x)
=
6 x 2 (5 x 6
\
(x)
= 2 cos(x )
R - 65
f
\
(x)
= 7 sec 2 (7 x )
f
\
(x)
= −4 sen (x )
R - 66
f
\
(x)
= 5 sec(5 x )tg (5 x )
R - 59
f
\
(x)
= 7 sec 2 (x )
R - 67
f
\
(x)
= −3 cos ec(3 x )cot g (3 x )
R - 60
f
\
(x)
= 5 sec(x )tg (x )
R - 68
f
\
(x)
= −8 cot g (8 x )tg (8 x )
R - 61
f
\
(x)
= −3 cos ec(x ) cot g (x )
R - 69
f
\
(x)
= 10 cos(5 x )
R - 62
f
\
(x)
= −8 cos ec 2 (x )
R - 70
f
\
(x)
= −32 sen (8 x )
R - 63
f
\
(x)
= 2 cos(2 x )
R - 71
f
\
(x)
= 14 sec 2 (2 x )
R - 64
f
\
(x)
= −4 sen (4 x )
R - 72
f
\
(x)
= 45 sec(9 x )tg (9 x )
R - 73
f
\
(x)
= −12 cos ec(4 x ) cot g (4 x )
R - 74
f
\
(x)
= −24 cos ec 2 (3 x )
R - 75
f
\
(x)
= 2 cos(x ) + 9 sec 2 (x )
7
R - 55
R - 56
(x)
(3x − 7 ) + 4 ) (50 x − 21x (2 x − 6) 10
6
6
6
3
3
− 16)
5
7
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R - 76
f
\
(x)
= −4 sen (x ) − 3 sec(x )tg (x )
R - 77
f
\
(x)
= 7 sec 2 (x ) + 2 cos ec(x ) cot g (x )
R - 78
f
\
(x)
= 5 sec(x )tg (x ) − 6 cos(x )
R - 79
f
\
(x)
= −3 cos ec(x ) cot g (x ) + 8 sen (x )
R - 80
f
\
(x)
= −8 cos ec 2 (x ) + 4 cos(x )
R - 81
f
\
(x)
= 3 x 2 sen (x ) + x 3 cos(x )
R - 82
f
\
(x)
= 2 x cos(x ) − x 2 sen (x )
R - 83
f
\
(x)
= 4 x 3 tg (x ) + x 4 sec 2 (x )
R - 84
f
\
(x)
= 5 x 4 sec(x ) + x 5 sec(x )tg (x )
R - 85
f
\
(x)
= 7 x 6 cos ec(x ) − x 7 cos ec(x )cot g (x )
R - 86
f
\
(x)
= 6 x 5 cot g (x ) − x 6 cos ec 2 (x )
R - 87
f
\
(x)
= 2 x sen (x ) + x 2 cos(x ) − sen (x ) − x cos(x ) + cos x
R - 88
f
\
(x)
= 2 x cos(x ) − x 2 sen (x ) − cos(x ) + x cos(x ) − sen x
R - 89
f
\
(x)
= 2 xtg (x ) + x 2 sec 2 (x ) − tg (x ) − x sec 2 (x ) + sec 2 (x )
R - 90
f
\
(x)
= 2 x sec(x ) + x 2 sec(x )tg (x ) − sec(x ) − x sec(x )tg (x ) + sec(x )tg (x )
R - 91
f
\
(x)
= 2 x cos ec(x ) − x 2 cos ec(x )cot g (x ) − cos ec(x ) + x cos ec(x ) cot g (x ) − cos ec(x ) cot g (x )
R - 92
f
\
(x)
= 2 x cot g (x ) − x 2 cos ec 2 (x ) − cot g (x ) + x cos ec 2 (x ) − cos ec 2 (x )
R - 93
f
\
(x)
=−
R - 94
f
\
(x)
=
R - 95
f
\
(x)
=
5 cos(x ) [sen (x ) − 2] 2
R - 96
f
\
(x)
=
5 sen (x ) [cos(x ) − 2] 2
2 sen (x ) + 3 cos(x ) − 1 [sen (x ) − 2] 2
R - 97
f
\
(x)
=
cos(x ) [sen(x ) − 2] 2
1 − 2 cos(x ) + 3 sen (x ) [cos(x ) − 2] 2
R - 98
f
\
(x)
=−
cos(x ) [sen (x ) + 2] 2
Bibliografia LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica. Tradução Cyro de Carvalho Patarra. Revisão técnica Wilson Castro Ferreira Junior e Silvio Pregnolatto. 3. ed. São Paulo: Ed. Harbra, 1994. v.1. 685p. TAN, S.T. Matemática aplicada á administração e economia. 5.ed. americana Trad. Edson de Faria. São Paulo: Pioneira Thompon Learning, 2003. 638p.
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