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6.7 Equações matriciais O problema abordado no item 6.2 pode ter equações matriciais. Quando o problema se estende para 2 ou mais graus de liberdade (2 GDL ou MGDL) este procedimento é utilizado por ser mais prático para resolver o número de incógnitas que existem nas diversas equações diferenciais. Para o exemplo citado no item 6.2 pode-se escrever as equações dinâmicas :
m1 x1 + (k1 + k 2 ) x1 − k 2 x2 = 0 m2 x2 + (k 2 + k 3 ) x2 − k 2 x1 = 0
Na forma matricial tem-se: 0 x1 k1 + k 2 + m2 x2 − k 2
m1 0
− k 2 x1 0 = k 2 + k3 x2 0
As matrizes são designadas como matriz de massa e de rigidez, ou seja,
[M ] =
m1 0
0 m2
e
k1 + k 2 − k2
[K ] =
− k2 k 2 + k3
Note que as matrizes de massa e de rigidez são simétricas. A equação matricial representa um sistema elasticamente acoplado, ou seja, não se pode resolver como dois sistemas de 1GDL. Substituindo-se as soluções harmônicas para x1 e x2 na equação matricial, tem-se: m −ω2 1 0
0 X1 k1 + k 2 sen (ω t ) + m2 X 2 − k2
− k2 X 1 0 sen (ω t ) = k 2 + k3 X 2 0
Ou ainda, k1 + k 2 − ω 2 m1 − k2
X1 − k2 0 sen(ω t ) = 2 k 2 + k3 − ω m2 X 2 0
Para a vibração livre sem amortecimento, na matriz da equação acima fazemos ω = ωn e, como os deslocamentos não são nulos, o determinante da matriz é igual a zero. k + k 2 − ω n2 m1 Det 1 − k2
− k2 =0 2 k 2 + k 3 − ω n m2
Assim, o determinante da matriz indicará a equação característica do sistema de 2GDL, que permitirá calcular as 2 freqüências naturais do sistema. Prof. Airton Nabarrete
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7. APLICAÇÕES DE VIBRAÇÃO EM 2GDL 7.1 Absorção dinâmica de vibração Outro meio de proteger equipamentos de eventuais distúrbios de vibração harmônica em freqüência constante é o absorvedor dinâmico de vibração. Este é obtido com a combinação de um segundo sistema massa-mola adicionado ao sistema que está vibrando para diminuir uma vibração específica. Os valores das propriedades de massa e mola do sistema adicionado são escolhidos para que o movimento resultante do sistema original seja mínimo. Entretanto, o sistema adicionado terá um movimento substancial. Mesa para dispositivo de precisão
F(t)=F0 sen(ω t) x m
Sistema de absorção da vibração
ka xa
Pernas da mesa
k /2
ma
k /2
As equações dinâmicas para a mesa com o absorvedor de vibração na forma matricial são: m 0 x k + k A 0 m x + − k A A A
− k A x F0 sen (ω t ) = k A x A 0
Para a solução de estado estacionário considera-se que os movimentos da massa da mesa e da massa absorvedora têm a mesma freqüência da força de excitação harmônica. Assim, as soluções harmônicas para os deslocamentos são: x(t ) = X 0 sen (ω t ) x A (t ) = X 0 A sen (ω t )
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A substituição na equação matricial gera a equação abaixo como no item 6.7 : k + k A − ω 2 m − k A X F0 ( ) = sen ω t sen (ω t ) k A − ω 2mA X 0 A − kA 0 O cancelamento da função harmônica sen(ωt) é permitido e as amplitudes X e X0A são obtidas após a inversão da matriz dinâmica. −1
− k A F0 X k + k A − ω 2 m = k A − ω 2 mA 0 − kA X 0A Revisando a operação de inversão de uma matriz 2 x 2, tem-se : a b A= c d
A−1 =
→
1 d − b Det ( A) − c a
Então,
k A − ω 2 m A X 1 = 2 kA k + k A − ω 2m k A − ω 2mA − k A X 0A
(
)(
)
F0 kA 2 k + k A − ω m 0
A solução para as amplitudes aparece como:
(k
)
− ω 2 m A F0 X= 2 k + k A − ω m k A − ω 2mA − k A
(
A 2
)(
)
X 0A =
(
k A F0 2 k + k A − ω m k A − ω 2 mA − k A 2
)(
)
Note que para anular a amplitude X da mesa, pode-se escolher kA e mA , de forma que: k A − ω 2 mA = 0
→
ω2 =
kA mA
Se o absorvedor de vibração é escolhido para satisfazer a equação acima, o movimento de estado estacionário da mesa é nulo (X = 0). Desta forma, a amplitude do deslocamento em estado estacionário do absorvedor é :
X 0A =
(
k A F0 F =− 0 2 2 kA k + k A − ω m ( 0) − k A
)
→
x A (t ) = −
F0 sen (ω t ) kA
Exemplo: Determinar a faixa de freqüência em que é compensador a adição de um
absorvedor de vibração sob uma mesa que alocará um dispositivo de precisão. Considere que a mesa possui m = 250 kg e os seus pés possuem keq = 100000 N/m. O dispositivo de precisão possui um motor de rotação que gera uma força de amplitude F0 = 5 N sobre a mesa em
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freqüência próxima à freqüência de ressonância da mesma. Como sugestão, o absorvedor deve ter no máximo 1% da massa da mesa. X0p ( ω ) :=
F0 k
1−
ω
2
ωp
2
2 1 − ω ⋅ F0 2 k ωa X ( ω ) := 2 2 2 2 1 + µ ⋅ ωa − ω ⋅ 1 − ω − µ ⋅ ωa 2 2 2 2 ωp ωp ωa ωp 8 .10
4
6 .10
4
X0p( ω ) 4 4 .10 ( ) X ω 2 .10
4
0
15
17.5
20
22.5
25
27.5
30
ω
Resp.: 19,3 rad/s < ω < 20,7 rad/s
7.2 Exercícios Propostos 1) Um equipamento de ar condicionado instalado em uma fábrica tem freqüência de
excitação igual a 15 Hz. Após a montagem do mesmo e início de operação, foi detectado que ocorre ressonância do mesmo. O equipamento está chumbado em uma viga bi-engastada de concreto que tem freqüência natural de mesmo valor à freqüência de operação. Um engenheiro acredita que um absorvedor de vibração seja a melhor solução. Especificar uma constante de mola equivalente para o absorvedor de vibração cuja massa seja de 10 kg.
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2) No sistema torcional do exemplo 2, do item 6.3, foi determinado as freqüências naturais
do conjunto. Se um momento torcional de valor 5 N.m com freqüência ω= 25 rad/s é aplicado sobre o disco 2 (J2), determinar as amplitudes angulares de vibração dos discos 1 e 2. Utilizar o procedimento indicado no item 6.7 para equacionar as matrizes e depois aplicar o vetor de momentos externos de forma semelhante ao desenvolvido no item 7.1.
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