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Instituto Superior de Engenharia de Coimbra Licenciatura em Engenharia Mecˆanica Frequˆencia de An´alise Matem´atica I Dura¸ c˜ ao: 1h30
20 de novembro de 2013 (v2)
Regras para a realiza¸ c˜ ao da frequˆ encia: • Os equipamentos m´ oveis devem estar desligados durante a realiza¸ca ˜o da prova. • N˜ ao pode utilizar calculadora. • N˜ ao pode utilizar corretor e as respostas devem ser apresentadas com caneta de tinta azul ou preta. • Pode trocar a ordem das quest˜ oes, desde que identifique a sua resposta. • Justifique convenientemente as suas respostas, indicando no fim de cada exerc´ıcio a resposta simplificada. • Qualquer tentativa de fraude ser´ a punida com a anula¸ca ˜o imediata da prova.
1. Considere a fun¸c˜ ao f (x) =
√ 1 + cos(2x) definida no seguinte dom´ınio de injetividade [0, π2 ]. Determine a
fun¸c˜ao inversa de f indicando dom´ınio, contradom´ınio e express˜ao anal´ıtica. 2. Calcule apenas dois limites: i. lim
x→0
sin(x) ; x2 + x
ii.
lim xex ;
x→−∞
iii. lim+ xx . x→0
3. Considere a fun¸c˜ ao f (x) = ln(x2 ). (a) Mostre que f (−2) = f (2) e f ′ (x) ̸= 0 no intervalo ] − 2, 2[. Enuncie o Teorema de Rolle e analise se os resultados obtidos est˜ao em contradi¸c˜ao com o teorema. (b) Determine a aproxima¸c˜ ao linear de f em torno de x0 = 1 e calcule o valor aproximado de ln(0.25). (c) Indique um majorante para o erro da aproxima¸c˜ao da al´ınea anterior. √ 3 √ 1 + 6 x2 3 √ 4. Mostre por defini¸ca ˜o de primitiva que a fun¸ca˜o F (x) = ln( x + 2x) ´e primitiva de . 3 3x + 6 x5 5. Calcule as primitivas: ∫ (a) (e3x + 3)2 dx;
∫
∫ 3
(b)
sin (x) cos(x) dx;
(c)
1 + x ln(x2 + 1) dx; x2 + 1
Formul´ ario ′′
′
Pn (x) = f (x0 ) + Rn (x) =
f (x0 ) f (n) (x0 ) f (x0 ) (x − x0 ) + (x − x0 )2 + · · · + (x − x0 )n 1! 2! n!
f (n+1) (c) (x − x0 )n+1 (n + 1)!
Cota¸ c˜ ao das perguntas 1
2
3(a)
3(b)
3(c)
4
5(a)
5(b)
5(c)
5(d)
0.75
0.75
0.75
0.75
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
1
∫ (d)
tan3 (x) cos(x) dx.
