´ ´ UFPE – CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMATICA – AREA II 1a Quest˜ao -
´ CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1
2a Quest˜ao -
PRIMEIRO EXERC´ICIO ESCOLAR
3a Quest˜ao -
PRIMEIRO SEMESTRE DE 2006
4a Quest˜ao -
17 de julho de 2006
Total -
Nome leg´ıvel – Curso –
Turma –
ASSINATURA – OBS: Verifique se seu caderno de prova est´a completo. N˜ao ´e permitido o uso de m´aquina de calcular. Entender o enunciado das quest˜oes ´e parte integral da prova; os fiscais n˜ao dar˜ao informa¸co˜es complementares. 1. (2,0 pontos) Calcule os limites abaixo, usando as propriedades de limite vistas em classe. Justifique suas respostas. x4 − 5x + 1 ; x→1 x+1
(a) lim
(b) lim+ x→1
x3 + 3x + 2 ; x−1
tg5 x + x5 ; x→0 sen5 x
(c)lim
(d) lim+ x→0
√
x5 sen4 (
1 ). x3
2. (2,0 pontos) Considere a curva determinada pela equa¸c˜ao x2 − y 2 + 3xy = −3. (a) Determine a equa¸ca˜o da reta tangente `a curva no ponto P = (1, −1). (b) Determine os pontos de tangˆencia das retas tangentes `a curva que s˜ao paralelas `a reta y = x.
3. (4,0 pontos) Usando as regras de deriva¸ca˜o, calcule a derivada das seguintes fun¸co˜es: (a) f (x) = x3 (5 ln x + sen x); (b) g(x) = etg x ; (OBS. tg=tan denota a tangente) (c) h(x) =
arcsen x ; 2 + cos x
√ cos2 x + arctg( 3 x) (d) q(x) = . x2 + 1
4. (2,0 pontos) Seja f : R → R a fun¸c˜ao definida por ½ 2 x +2 se x < 1, f (x) = 2x + 1 se x ≥ 1. Justifique a resposta de cada um dos itens abaixo. (a) Calcule lim f (x); a fun¸c˜ao f (x) ´e cont´ınua em x = 1? x→1
(b) A fun¸ca˜o f (x) ´e diferenci´avel em x = 1? (c) Esboce os gr´aficos de f (x) e f 0 (x).
