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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO ´ ´ CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMATICA – AREA 2
´ CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1 PRIMEIRO EXERC´ICIO ESCOLAR
1a Quest˜ao 2a Quest˜ao 3a Quest˜ao 4a Quest˜ao -
SEGUNDO SEMESTRE DE 2004
5a Quest˜ao -
20 de dezembro de 2004
6a Quest˜ao Total -
Nome leg´ıvel – Assinatura – Turma –
CPF –
Justifique suas respostas. Mostre seus c´alculos. Respostas sem c´alculos ou justificativas n˜ao ser˜ao aceitas. 1a Quest˜ ao (1,5pt): Calcule a derivada de f (x) = xx . 2a Quest˜ ao (1,0pt): Suponha que f (3) = 6, f 0 (3) = 10, f 0 (6) = 5, f 0 (8) = 6, g(3) = 2, 0 g (3) = 2, g 0 (6) = 4 e g 0 (8) = 5. Calcule a derivada de f ◦ h no ponto x = 3, onde h(x) = xg(x). 3a Quest˜ ao (1,5pt): Suponha que f (a) = 3 e que a fun¸c˜ao f satisfa¸ca, para todo ∆x, 3 + 5∆x + sen(∆x) ≤ f (a + ∆x) ≤ 3 + 5∆x + sen(∆x) + (∆x)2 Mostre que f ´e diferenci´avel em x = a e calcule f 0 (a). 4a Quest˜ ao (1,0pt): Calcule lim √ x→−∞
3x 5x2 + 2
5a Quest˜ ao (2,5pts): Uma chapa retangular de metal tem 5m de largura e 8m de comprimento. Cortam-se quatro quadrados de mesma ´area, um de cada canto da chapa, de forma que a chapa resultante (o que sobrou ap´os se retirarem os quatro quadrados) possa ser dobrada e soldada de maneira a formar uma caixa aberta em cima (sem tampa). Qual a medida de cada lado dos quadrados retirados de forma que o volume da caixa aberta obtida pela maneira descrita acima seja m´aximo? Qual ´e esse volume m´aximo? ao (2,5pts): Um avi˜ao est´a em vˆoo horizontal com velocidade constante, a 6a Quest˜ uma altitude de 3km do solo, sobre uma linha reta que ir´a passar diretamente acima de um observador no solo. Em um dado instante, a eleva¸ca˜o angular do avi˜ao com rela¸ca˜o ao observador (o ˆangulo formado entre a reta que d´a a dire¸c˜ao de vˆoo do avi˜ao e a reta que passa pelo avi˜ao e pelo observador) ´e π/3 radianos e est´a aumentando a uma taxa de 1/60 radianos por segundo. Calcule a velocidade do avi˜ao.
