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´ ´ UFPE – CCEN – DEPARTAMENTO DE MATEMATICA – AREA II 1a Quest˜ao -
´ CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1
2a Quest˜ao -
PRIMEIRO EXERC´ICIO ESCOLAR
3a Quest˜ao -
SEGUNDO SEMESTRE DE 2005
4a Quest˜ao -
06 de fevereiro de 2006
Total -
Nome leg´ıvel – Curso –
Turma –
ASSINATURA – OBS. 1: Entender o enunciado das quest˜oes ´e parte integral da prova; os fiscais n˜ao dar˜ao informa¸c˜oes complementares. OBS. 2: Assuma o valor do seguinte limite especial: lim x→0 OBS. 3: N˜ao ´e permitido usar a regra de L’Hˆopital.
sen(x) = 1. x
1. Determine o valor dos seguintes limites. Justifique sua resposta. sen(x + 1) . a) (0.5 ponto) lim x→−1 x2 − 1 sen(x + 1) 1 sen(x + 1) 1 sen(x + 1) Solu¸ c˜ ao : lim = lim lim = − lim , x→−1 (x + 1)(x − 1) x→−1 (x − 1) x→−1 x+1 2 x→−1 x + 1 e fazendo x + 1 = h obtemos 1 sen(h) 1 sen(x + 1) = − lim =− . x→−1 x+1 2 h→0 h 2 √ x+1−1 . b) (0.5 ponto) lim x→0 x √ √ √ ( x + 1 − 1)( x + 1 + 1) x+1−1 x √ = lim Solu¸ c˜ ao : lim = lim √ = x→0 x→0 x( x + 1 + 1) x→0 x x( x + 1 + 1) 1 1 = . lim √ x→0 2 √ x+1+1 x−1 c) (0.5 ponto) lim+ . x→0 x
− 12 lim
√
tende a −1 Solu¸ c˜ ao : Basta observar que quando x → 0+ o numerador de f (x) = x−1 x e o denominador tende a zero (positivamente), ou seja, torna-se cada vez mais pequeno. Portanto,√ x−1 lim+ = −∞. x→0 x 1 2 . d) (0.5 ponto) lim (x − 1) cos x→1 x2 − 1
Solu¸ c˜ ao : Primeiro notemos que 2 1 1 2 0 ≤ (x − 1) cos x2 −1 = |x − 1| cos x2 −1 ≤ |x2 − 1|, logo 1 2 lim (x − 1) cos = 0. x→1 x2 − 1 Note que aqui usamos o Teorema do Confronto.
2. Considere a fun¸c˜ao: ax + 1 , L, f (x) = 2 x −1,
se x < 1, se x = 1, se x > 1.
a) (1.0 ponto) Encontrar todos os valores de a e L para que exista lim f (x). x→1
Solu¸ c˜ ao : Para que lim f (x) exista deve–se ter x→1
lim f (x) = lim+ f (x)
x→1−
x→1
Se x → 1− ent˜ao x < 1 e f (x) = ax + 1. Portanto, lim f (x) = lim− ax + 1 = a + 1
x→1−
x→1
Se x → 1+ ent˜ao x > 1 e f (x) = x2 − 1. Portanto, lim+ f (x) = lim+ x2 − 1 = 0
x→1
x→1
Da´ı, lim f (x) = lim+ f (x) ⇔ a + 1 = 0 ⇒ a=-1
x→1−
x→1
b) (1.0 ponto) Encontre os valores de a e L tal que f seja cont´ınua em x = 1, e neste caso esboce o gr´afico de f . Solu¸ c˜ ao : Para que f seja cont´ınua em x = 1, deve existir lim f (x), o que, pelo item (a) x→1 s´o acontece se a = −1. Al´em disso, L = f (1) = lim f (x) = 0 x→1
⇒ L=0
Para a = −1 e L = 0, o gr´afico de f ´e: 6 @
@
@
@
@p pp pp p
-
2
x . Encontre a equa¸c˜ao cartesiana da reta tangente l `a 3. (2.0 pontos) Seja f (x) = x+1 curva y = f (x) no ponto (1, 1/2) e determine o ponto de interse¸c˜ao de l com o eixo dos x.
Solu¸ c˜ ao: A derivada da fun¸c˜ao f (x) ´e calculada usando a regra do quociente: f ′ (x) =
x2 + 2x (x + 1)2x − x2 = . (x + 1)2 (x + 1)2
Assim, a inclina¸c˜ao da reta tangente ao gr´afico no ponto dado ´e igual a f ′ (1) = 3/4 e portanto esta reta tangente tem equa¸c˜ao 1 3 3 1 = (x − 1) ou y = x − . 2 4 4 4 A interse¸c˜ao com o eixo dos x ´e obtida fazendo y = 0; assim determinamos x = 1/3 e o ponto procurado ´e portanto (1/3, 0). y−
4. Calcule a derivada das seguintes fun¸c˜oes : a) (1.0 ponto) f (x) = tg(x) sec(x). sen(x) 1 = cos(x) , logo pela regra do quociente, do Solu¸ c˜ ao : Temos que f (x) = sen(x) cos(x) cos(x) cos(x) ′ ′ produto e como (cos(x)) = −sen(x) e (sen(x)) = cos(x), segue-se que
f ′ (x) =
(sen(x))′ cos2 (x)−sen(x)(cos(x) cos(x))′ cos4 (x)
b) (1.0 ponto) f (x) =
=
cos3 (x)+2 cos(x)sen2 (x) cos4 (x)
Solu¸ c˜ ao : f ′ (x) =
1+sen2 (x) . cos3 (x)
ex . 1+x2
Solu¸ c˜ ao : Pela regra do quociente, f ′ (x) = vez que (ex )′ = ex e (x2 )′ = 2x. c) (1.0 ponto) f (x) =
=
ex 2
ex ′ 2
+
+
(ex )′ (1+x2 )−ex (1+x2 )′ (1+x2 )2
=
ex (1+x2 )−ex (2x) , (1+x2 )2
uma
1 . 2ex
1 ′ x 2e
=
ex 2
+
[(1)′ ex −(ex )′ ] e2x
√ d) (1.0 ponto) f (x) = 3 x ex + x1 . √ √ Solu¸ c˜ ao : f ′ (x) = 3( x)′ ex + 3 x (ex )′ + √ ( x)′ = 2√1 x .
(1)′ x−(x)′ x2
=
ex 2
−
1 , 2ex
desde que (ex )′ = ex .
√ = 3 2√1 x ex + 3 x ex −
1 , x2
desde que
