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Departamento de Matem´ atica - CCEN - UFPE ´ ´ CALCULO I - AREA II PRIMEIRO SEMESTRE — 2003 Data: 19 de Maio de 2003 GABARITO DO 1o . EXERC´ICIO ESCOLAR 1. a) Primeiro note que √ √ x+2−2 3x+10−4
√ (x−2) √ ( 3x ( x+2+2)
=
√ √ ( x+2+2) √ x+2−2 √ 3x+10−4 ( x+2+2)
√
+ 10 − 4) ((√3x+10+4) = 3x+10+4)
=
(x−2) √ √ ( x+2+2)( 3x+10−4)
√ (x−2)( 3x+10+4) √ ( x+2+2)(3x−6)
=
=
√ ( 3x+10+4) √ . 3( x+2+2)
Portanto, √ x+2−2 2 lim √ = . x→2 3 3x + 10 − 4 √ √ √ √ b) Observe que: sen(x 2x) = 2 sen√(2x2x) , logo fazendo θ = 2x e observando que se x → 0 ent˜ao θ → 0 teremos que: √ sen(θ) √ sen( 2x) √ lim = 2 lim = 2, x→0 θ→0 x θ sen(θ) desde que j´a sabemos que lim = 1. θ→0 θ ´ conhecido que a fun¸ca˜o 0 ≤ sen2 (θ) ≤ 1, isto ´e limitada e que a fun¸c˜ao x4 → 0 quando c) E x → 0, assim µ ¶ 2 4 2 lim x sen = 0. x→0 x3 Um outro argumento ´e usar o Teorema do Sanduiche ou do Confronto, desde que: 0 ≤ x4 sen2
¡2¢ x3
≤ x4 .
2. a.) Como para x 6= 1, f (x) ´e um polinˆomio, ela ´e cont´ınua se x 6= 1. Para x = 1 temos lim− f (x) = lim− (x2 + 2) = 3 e lim+ f (x) = lim+ (ax − 2) = a − 2. Logo, para f (x) ser cont´ınua x→1
x→1
x→1
x→1
em x = 1, 3 = a − 2 e a = 5. Assim, para a = 5 f (1) = 3 e lim f (x) = 3. x→1
2
x − 5x + 6 (x − 2)(x − 3) x−3 = = . Os limites laterais s˜ao: x2 − 4x + 4 (x − 2)2 x−2 lim− f (x) = ∞ e lim+ f (x) = −∞. Portanto lim f (x) n˜ao existe e x = 2 ´e uma descontinuidade
b.)
x→2
Para x 6= 2, f (x) = x→2
x→2
essencial e n˜ao existe valor de a tal que f (x) ´e cont´ınua em x = 2. f (x0 + h) − f (x0 ) . Nesse caso x0 = 1. h→0 h 1 −1 1 − (1 + h) −h −1 = lim = lim = lim = −1. Ent˜ao, f 0 (1) = lim 1+h h→0 h→0 h(1 + h) h→0 h(1 + h) h→0 1 + h h
3. Por defini¸c˜ao f 0 (x0 ) = lim
4. (a) f (x) =
√
x tan x,
f (x) ´e um produto de fun¸c˜oes. Logo
√ √ d d√ d 1 f (x) = ( x ) tan x + x ( tan x ) = √ tan x + x sec2 x. dx dx dx 2 x (b) f (x) =
3x2 +x , (x+1)5
f (x) ´e um quociente de fun¸c˜oes. Logo
d f (x) dx
1/2
c) f (x) = e( 2+sen x ) cadeia, temos
,
d dx
(3x2 +x) ] (x+1)5 − (3x2 +x) [ [ (x+1)5 ]2
d (x+1)5 dx
=
[
=
[ 6x+1] (x+1)5 − (3x2 +x) [ 5(x+1)4 ] (x+1)10
=
[ 6x+1] (x+1) − 5 (3x2 +x) (x+1)6
=
−9x2 +2x+1 (x+1)6
]
f (x) ´e a composta de trˆes fun¸co˜es. Logo, usando duas vezes a regra da d 1 1/2 √ f (x) = e( 2+sen x ) cos x. dx 2 2 + sen x
5. Derivando implicitamente a equa¸ca˜o y 11 + y 7 x6 + yx + x2 = 1, temos: 11y 10 y 0 + 7y 6 y 0 x6 + 6y 7 x5 + y 0 x + y + 2x = 0 ⇒ y 0 (11y 10 + 7y 6 x6 + x) = 6y 7 x5 + y + 2x −6y 7 x5 − y − 2x ⇒ y 0 = − . 11y 10 + 7y 6 x6 + x Note que se x = 0 ent˜ao a ordenada deve satisfazer a equa¸ca˜o : y 11 = 1, de onde encontramos que y = 0 e o ponto pertencente `acurva ´e P (0, 1). Assim, os coeficientes angulares das retas tangente 1 1 e normal `a curva no ponto (0, 1) s˜ao, respectivamente, mt = y 0 (0, 1) = − e mn = − = 11. 11 mt Logo, as equa¸co˜es das retas tangente e normal `a curva no ponto (0, 1) s˜ao: reta tangente: y − 1 = −
1 (x − 0) ⇒ x + 11y − 11 = 0 11
reta normal: y − 1 = 11(x − 0) ⇒ 11x − y + 1 = 0.
