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Departamento de Matem´ atica - CCEN - UFPE ´ ´ CALCULO I - AREA II- 2008 - 1 GABARITO DO PRIMEIRO EXERC´ICIO √ √ x−1 x−1 (2 + 5 − x) √ √ √ 1. (a) lim = lim = lim 2 + 5 − x = 4. x→1 2 − 5 − x x→1 (2 − 5 − x) (2 + 5 − x) x→1 sen x 2 ( ) 2 sen 2 x x (b) lim 2 = lim 2 sen x = 1. x→0 x + x sen x x→0 1+( ) x 2. Por defini¸ca˜o, µ ¶ 1 f (−1 + h) − f (−1) 1 3 f 0 (−1) = lim = lim + 1 = lim = −3 h→0 h→0 h h→0 3h − 1 h 3h − 1 3. Calculando a derivada de f temos que f 0 (x) = 3(2x2 + 2x − 1). (a) Como f 0 (−1) = −3, temos que a reta tangente no ponto (−1, 3) ´e y − 3 = −3(x + 1), isto ´e, y = −3x. 1 (b) Se a reta tangente ´e perpendicular `a reta y = − x − 3, devemos ter que 9 f 0 (x) = 9. Da´ı, x = −2 ou x = 1. Portanto, os pontos s˜ao: (1, 1) e (−2, 1). 4. a) Como f (0) = 1, lim+ f (x) = 1 lim− f (x) = lim− (2x2 + 3x + α) = α, para que f x→0
x→0
x→0
seja cont´ınua em x = 0, devemos ter que α = 1 2.5
2.0
1.5
1.0
0.5
0.0 −1.5
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
c) A fun¸ca˜o f n˜ao possui derivada em x = 0, pois o gr´afico de f faz um bico no ponto (0, 1). Temos f−0 (0) = 3 e f+0 (0) = 1. 5. (a) Usando a regra do quociente temos que f 0 (x) =
(2x4 + 1)( 13 x−2/3 − 1) − (8x3 )(x1/3 − x) . (2x4 + 1)2
(b) Pela regra do produto e regra da cadeia g 0 (x) = e−x (cos x − sen x). 2 cos x sen x (c) Usando a regra da cadeia, h0 (x) = − . 1 + cos2 x
