Transcript
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
INDICE UNIDADE 1 - CIRCUITOS CONCENTRADOS E LEIS DE KIRCCHOFF - .............................................. 3 1.1. Circuitos Concentrados .................................................................................................. 3 1.2. Elementos Concentrados ............................................................................................... 3 1.3. Sentido de referência ..................................................................................................... 4 1.3.1. Sentido de referência para tensão de braço ............................................................. 4 1.3.2. Sentido de referência para corrente de braço .......................................................... 5 1.3.3. Sentido de referência associado .............................................................................. 5 1.4. Corrente Elétrica e Tensão .......................................................................................... 6 1.5. Leis de Kircchoff ............................................................................................................. 7 1.5.1 Leis das Correntes de Kircchoff ................................................................................. 7 1.5.2 Leis das Tensões de Kircchoff .................................................................................... 8 UNIDADE 2 – ELEMENTOS DE CIRCUITOS - .............................................................................. 14 2.1. Resistores..................................................................................................................... 14 2.2. Fontes Independentes de tensão e corrente ................................................................. 16 2.3. Equivalente Thevenin e Norton .................................................................................... 18 2.4. Divisão de corrente ...................................................................................................... 18 2.5. Divisão de tensão ......................................................................................................... 20 2.6. Ligação Y - ∆ (estrela – triângulo) .................................................................................. 23 2.7. Formas de ondas típicas ............................................................................................... 27 2.8. Capacitores .................................................................................................................. 32 2.9. Indutores...................................................................................................................... 35 2.10. Potência e Energia ...................................................................................................... 41 2.11. Componentes físicos x elementos de circuitos ............................................................ 45 UNIDADE 3 – CIRCUITOS SIMPLES - ......................................................................................... 48 3.1. Ligação série de elementos........................................................................................... 48 3.2. Ligação paralela de elementos...................................................................................... 53 UNIDADE 4 - CIRCUITOS LINEARES INVARIANTES NO TEMPO - ................................................ 63 4.1. Definições e propriedades dos circuitos ........................................................................ 63 4.2. Análise nodal ................................................................................................................ 63 4.3. Análise nodal com fontes de tensão ou fontes dependentes no circuito ....................... 66 4.4. Análise por malhas ....................................................................................................... 69
Página 1
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
UNIDADE 5 - TEOREMA DE REDES - ......................................................................................... 74 5.1. Teorema de Thevenin ................................................................................................... 74 5.2. Teorema de Norton ...................................................................................................... 76 5.3. Teorema da superposição............................................................................................. 77 5.4. Teorema da máxima transferência de potência ............................................................ 80 UNIDADE 6 - CIRCUITOS DE 1ª ORDEM – ................................................................................. 85 6.1. Circuito Linear Invariante no Tempo de Primeira Ordem.............................................. 85 6.1.1. Resposta a excitação zero ...................................................................................... 85 6.1.2. Resposta ao estado zero ........................................................................................ 91 6.1.3. Resposta completa: Transitório + Regime permanente .......................................... 97 6.1.4. Resposta ao Degrau Unitário ................................................................................. 98 UNIDADE 7 - CIRCUITOS DE 2ª ORDEM – ............................................................................... 104 7.1. Resposta a Excitação Zero.......................................................................................... 104 7.1.1. Circuito RLC paralelo ............................................................................................ 104 7.1.2. Circuito RLC série ................................................................................................. 111 7.2. Resposta ao Estado Zero ............................................................................................ 114 7.2.1. Excitação por fonte de corrente constante .......................................................... 114 7.2.2. Excitação por fonte de tensão constante ............................................................. 116 7.3. Resposta Completa .................................................................................................... 117 UNIDADE 8 - APLICAÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE .................................................. 120 9.
AULAS PRÁTICAS ........................................................................................................... 122 9.1
1° AULA PRÁTICA – CIRCUITOS I ............................................................................. 122
9.2
2° AULA PRÁTICA – CIRCUITOS I............................................................................. 129
10. BIBLIOGRAFIA.................................................................................................................. 132
Página 2
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
UNIDADE 1 - CIRCUITOS CONCENTRADOS E LEIS DE KIRCCHOFF 1.1. Circuitos Concentrados
É qualquer ligação de elemento concentrado, de tal forma que as dimensões sejam pequenas comparadas com o comprimento de onda da mais alta frequência de interesse. Se esta relação existir, são válidas as leis de Kircchoff. EXEMPLO a) Circuito de áudio
b) Circuitos de computador
- Não é um circuito concentrado-
1.2. Elementos Concentrados
A corrente elétrica circula através de um elemento e a diferença de potencial entre os terminais do mesmo é bem definida. A partir destas considerações, obtemos um elemento concentrado.
quantidades bem definidas
Principais elementos concentrados Com dois terminais:
Página 3
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Com mais de dois terminais:
DEFINIÇÕES
Braço - Elemento concentrado de dois terminais; Nós – São os terminais dos braços; Tensão de braço – Tensão entre nós; Corrente de braço – Corrente que flui entre os braços
1.3. Sentido de referência 1.3.1. Sentido de referência para tensão de braço
Dada a polaridade da tensão, por convenção, a tensão de braço num instante t é positiva sempre que o potencial elétrico no ponto A for maior que o potencial no ponto B, sendo medidas no mesmo plano de referência.
Página 4
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
1.3.2. Sentido de referência para corrente de braço
Dado o sentido de referência para a corrente de braço, por convenção, ela é positiva num instante t, sempre que um fluxo de cargas elétricas entrar num terminal (+) e sair num (-).
1.3.3. Sentido de referência associado
Se uma corrente i positiva (+) entrar no terminal positivo e sair no terminal negativo (-), a potência entregue ao circuito é POSITIVA.
*P(+), P(-)
P(+), *P(-) EXEMPLO:
Página 5
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
1.4. Corrente Elétrica e Tensão
Corrente elétrica
A proporção básica de um circuito é a de mover ou transferir cargas de um percurso fechado específico. Este movimento de cargas é a corrente elétrica denotada pelas letras:
Formalmente a corrente é a taxa de variação de carga no tempo
Tensão elétrica
As cargas em um condutor podem mover-se aleatoriamente, entretanto, se quisermos um movimento orientado, como no caso da i, devemos aplicar uma f.e.m. Portanto, um trabalho foi realizado sobre as cargas. Definimos a tensão sobre um elemento como o trabalho realizado para mover uma quantidade de carga através dos terminais de um elemento.
EXEMPLO:
Página 6
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
1.5. Leis de Kircchoff 1.5.1 Leis das Correntes de Kircchoff
Para qualquer circuito concentrado, para qualquer de seus nós, em qualquer instante de tempo, a soma algébrica de todas as correntes de braço que chegam a um nó e saem desse nó é zero.
Convenção
Corrente chegando no nó negativa (-) Corrente saindo do nó positiva (+)
EXEMPLO:
Página 7
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
NOTAS
A LCK impõe uma dependência linear entre as correntes de braço e as equações são lineares e homogêneas; A LCK se aplica a qualquer circuito elétrico concentrado, isto é, independe da natureza do elemento; A LCK expressa à conservação da carga em todos os nós. Não há nem acúmulo nem perda de carga.
1.5.2 Leis das Tensões de Kircchoff
Para qualquer circuito elétrico concentrado, para qualquer um de seus percursos fechados, em qualquer instante de tempo, a soma algébrica das tensões de braço ao redor de qualquer malha fechada é zero.
OBS.: 1) Percurso fechado - É o caminho percorrido a partir de um nó passando por outros nós e voltando ao mesmo nó inicial. 2) Malha Fechada – É um percurso fechado que não contém braços no seu interior.
Página 8
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
EXEMPLO
Usa-se o sentido horário para percorrer o percurso fechado
NOTAS
A LTK impõe uma dependência linear entre as tensões de braço de uma malha; A LTK se aplica a qualquer circuito elétrico concentrado, não importando se os elementos do circuito são lineares, não lineares, ativas, passivos, etc. A LTK é independente da natureza dos elementos.
EXEMPLOS 1) Algumas das correntes de braço do circuito abaixo são conhecidas, tais como: . É possível determinar todas as correntes de braço restantes?
Página 9
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
2) Suponhamos que no exemplo 1, nós empregamos sentido de referência associado para a tensão e corrente de braço, com as seguintes tensões: . É possível determinar as demais tensões de braço?
Página 10
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Como não podem ser calculados, é impossível de se resolver, pois o número de incógnitas é maior que o número de variáveis.
Página 11
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
EXERCÍCIOS
1) No circuito abaixo usando os sentidos de referência associados para as direções de referência das variáveis de braço
a) Aplicar a LCK aos nós 1, 2, 3 e 4. Demonstre que a LCK aplicada ao nó 4 é uma consequência das outras 3 equações. b) Escreva a LTK para as 3 malhas do circuito. Escreva a LTK para os percursos fechados; afe, abdf, acde, bcfe. Demonstre que estas equações são consequência das 3 equações de malhas.
2) Calcule
Página 12
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
3) Dado o circuito onde . Determine as outras tensões de braço possíveis.
4) Com o mesmo circuito anterior, onde . Determine as outras correntes de braço possíveis.
Página 13
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
UNIDADE 2 – ELEMENTOS DE CIRCUITOS 2.1. Resistores
Um elemento com dois terminais, que possuem resistência, é chamado de resistor e se, a qualquer tempo a sua tensão como uma curva no plano
e sua corrente
satisfazem uma relação definida
. Além disso, é necessário que exista uma relação entre a
corrente instantânea e a tensão instantânea.
Símbolo:
Classificação: o
Linear: resistor
o
Não linear: diodo, mosfet, etc.
o
Não variável no tempo
Em circuitos I, vamos estudar apenas os resistores lineares e invariantes no tempo.
Resistor invariável no tempo e linear: é um elemento com dois terminais cuja
característica é uma reta passando pela origem no plano
Página 14
.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Unidades: o o o o
Casos particulares: a) Circuito aberto: É chamado o elemento de dois terminais que a qualquer valor de tensão nos seus
terminais (tensão de braço), e corrente (corrente de braço) é igual a zero.
Página 15
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
b) Curto circuito: É chamado o elemento de dois terminais que a qualquer valor de corrente (corrente de braço), sua tensão (tensão de braço) é igual a zero.
2.2. Fontes Independentes de tensão e corrente a) Fonte de tensão: Um elemento de dois terminais é chamado de fonte de tensão ideal ou independente, se ele mantém uma tensão especificada
nos terminais do circuito ao qual está ligado,
independente da corrente através do circuito (carga).
Potência (+): absorvida Potência (-): fornecida
É conveniente usar direções de referência para a tensão e a corrente de uma fonte
independente. Página 16
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
OBS.: A fonte de tensão real pode ficar em circuito aberto, mas não em curto, pois a corrente vai a
. b) Fonte de corrente: É o elemento de dois terminais que mantém uma corrente especificada
em seus
terminais, independente da tensão aplicada.
OBS.: A fonte de corrente pode ficar em curto circuito, mas não pode ficar em circuito aberto, pois sua tensão vai a
.
Página 17
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
2.3. Equivalente Thevenin e Norton
Equivalente Thevenin → fonte de tensão
Equivalente Norton → fonte de corrente
A equivalência só é válida nos terminais, ou seja, produz a mesma tensão e corrente
nos terminais. As potências envolvidas no interior do circuito não são equivalentes.
A relação entre os equivalentes Thevenin e Norton é dada por:
2.4. Divisão de corrente
Seja o circuito com dois terminais abaixo:
Página 18
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Aplicando:
Lei das Correntes de Kircchoff (LCK):
Lei das Tensões de Kircchoff (LTK):
Pela Lei de Ohm:
Resolvendo para V:
Logo:
Página 19
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Circuito com
resistores em paralelo:
2.5. Divisão de tensão Seja o circuito abaixo:
Aplicando:
LTK:
LCK:
Pela Lei de Ohm:
Resolvendo para I:
Página 20
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Logo:
Para um circuito com
resistores em série:
Página 21
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Exercícios: 1) Calcule a
vista pela fonte e encontre
2) Uma carga requer
e absorve
:
. Se apenas uma fonte de
calcule o valor da resistência a ser colocada em paralelo com a carga.
3) Calcule a
vista pela fonte e calcule .
4) Encontre os valores de
.
Página 22
está disponível,
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
5) Calcule
6) Calcule
e a potência entregue pela fonte.
e a potência entregue pela fonte.
2.6. Ligação Y - ∆ (estrela – triângulo)
OBS.: Para esta relação ser válida, é necessário que seja respeitada a posição dos resistores no circuito, caso contrário, a transformação não valerá.
Página 23
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
a) Transformação de Y - ∆: Quando temos o circuito em estrela (Y) e necessitamos transformar para triângulo (∆), usamos as seguintes relações de resistências:
b) Transforma o de ∆ - Y: Quando temos o circuito em triângulo (∆), e necessitamos transformar para estrela (Y) usamos as seguintes relações de resistências:
Dica: Para facilitar a transformação e a localização dos resistores corretamente, desenha-se o Y dentro do ∆, assim é possível ter uma visualização exata da posição dos resistores.
Exercícios: 1) Determinar a resistência equivalente entre a)
Página 24
.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
b)
c)
d)
Página 25
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
2) Quando
, a potência será de
3) Determine as correntes indicadas:
4) Calcule :
Página 26
. Determine
e o valor de .
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
5) Calcule
:
6) Calcule
aplicando as LTK e LCK:
2.7. Formas de ondas típicas
a) Constante: , para qualquer tempo .
b) Função seno (ou cosseno):
Página 27
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Onde:
c) Função degrau unitário: é definida como:
d) Função degrau unitário defasado:
Página 28
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
e) Função de pulso:
OBS.: a área de um pulso é sempre . para todo .
Página 29
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
f) Função impulso unitário:
Relação entre δ(t) e u(t):
Página 30
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
g) Função rampa unitária:
Relação entre
e
Exercícios: 1. Faça os seguintes gráficos: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)
Página 31
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
2.8. Capacitores
Um elemento de dois terminais é chamado capacitor se, a qualquer instante de carga e sua tensão satisfazem uma relação definida por uma curva chamada de curva característica do capacitor.
Símbolo:
Classificação:
o
Linear
o
Não linear: capacitância em MOSFETs, diodos, etc.
o
Variável com o tempo
o
Invariante no tempo
Capacitores lineares e invariáveis no tempo:
Página 32
sua
Esta curva é
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Unidades:
Parâmetros: a) Carga no capacitor:
b) Corrente no capacitor:
c) Tensão no capacitor:
Características do capacitor: a) Se a tensão num capacitor não variar com o tempo, então a corrente nele será nula.
Como a tensão não varia com o tempo a derivada em relação ao tempo será nula:
Obs.: Um capacitor é um circuito aberto para corrente contínua.
Página 33
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Ex.: Capacitor carregado
.
b) Um capacitor pode armazenar energia, mesmo quando a corrente através dele seja nula. Ex.: Capacitor carregado com tensão constante.
c) É impossível alterar instantaneamente a tensão nos terminais de um capacitor, pois a corrente tenderia ao infinito. Temos que:
Se alterarmos a tensão, instantaneamente, temos:
d) Os capacitores nunca dissipam energia ativa, apenas armazenam energia em seu campo elétrico. e) Um capacitor carregado descarregado em
é equivalente a ligação série de um capacitor e uma fonte constante
é a condição inicial de tensão no capacitor em é a tensão no capacitor se, em
.
. .
Página 34
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
2.9. Indutores
• Símbolo:
• Comparação do indutor com o capacitor:
Página 35
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
• Parâmetros:
• Classificação: ◦ Linear ◦ Não linear ◦ Invariante no tempo ◦ Variável no tempo A grande maioria dos indutores são não lineares, mas, dependendo da aplicação, podemos aproximar a curva BxH por uma reta. Então, se o indutor for projetado para trabalhar nesta região, teremos um indutor linear.
Obs.: Se não há variação de corrente, a tensão nos terminais do indutor é zero.
Não variando ,
é zero, portanto
.
Página 36
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Obs.: Um indutor, para corrente contínua é um curto circuito.
a) Energia armazenada:
b) Quando a chave é aberta, a corrente I0 cai a zero num tempo muito curto, fazendo com que haja uma sobre tensão na chave.
Página 37
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Exercícios: 1) Seja o circuito abaixo, determine a forma de onda da tensão nos seguintes casos:
2) Seja o circuito abaixo, determine a forma de onda da corrente no capacitor nos seguintes casos:
Página 38
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
3) Assumir que a forma de onda da corrente no capacitor é a seguinte, calcule e esboce a forma de onda da tensão:
4) Seja o circuito abaixo, determine a forma de onda da tensão no indutor para os seguintes casos:
5) Seja o circuito abaixo, determine a forma de onda da corrente no indutor para os seguintes casos:
Página 39
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
6) Seja o circuito abaixo, calcular e esboçar a forma de onda de corrente.
7) Seja o circuito abaixo, calcule
Página 40
na fonte de
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
8) A corrente no capacitor é dada pela forma de onda abaixo e percorre o capacitor com . Calcular e esboçar a forma de onda de
para
instantânea e média entregue pela fonte.
2.10. Potência e Energia
•
– não armazena energia, mas dissipa.
•
– armazena energia em seu campo elétrico.
• – armazena energia em seu campo magnético.
• Corrente que entra igual a corrente que sai. a) Potência instantânea:
b) Energia: é a integral da potência instantânea a partir de
Página 41
até .
e a potência
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
c) Potência média e ativa:
Obs.: A expressão
só é válida para corrente cotínua. Para corrente
alternada, a potência média em um resistor, por exemplo, é dado por Desenvolvendo:
=
Indutor:
Página 42
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Obs.: Num sistema periódico,
portanto
.
Obs.: O capacitor tem um comportamento igual ao do indutor. Exercícios: 1) Seja o seguinte circuito:
Esboce a tensão, potência instantânea e média para:
c)
d)
Página 43
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
2) Calcular e esboçar a forma de onda de cada elemento abaixo, a tensão por:
Página 44
é dada
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
2.11. Componentes físicos x elementos de circuitos
Elementos de circuitos (Modelos de circuitos): Estes modelos são indispensáveis na análise e síntese de circuitos físicos. a) Faixa de operação: Qualquer elemento ou componente físico é especificado pela faixa de operação, como: • • • • Ex.: Um resistor de
,
, pode ter circulando no máximo a seguinte corrente:
Então, a tensão máxima aplicada deverá ser:
b) Efeito da temperatura: Diodos, mosfets, resistores, capacitores, entre outros, são sensíveis à temperatura. Esta variação de temperatura acarreta na variação dos parâmetros dos dispositivos. c) Efeito parasita:
Página 45
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Nos transformadores, além da resistência do fio, existe uma indutância de dispersão. d) Valores típicos dos componentes físicos: •
Resistores:
• Capacitores:
,
valores
múltiplos
de:
.
• Indutores:
.
Exercícios: 1) Seja o circuito abaixo:
Esboçar a tensão, potência instantânea e média em cada elemento, nos seguintes casos:
c)
Página 46
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
d)
2) Repetir o exercício anterior para o seguinte circuito:
Página 47
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
UNIDADE 3 – CIRCUITOS SIMPLES 3.1. Ligação série de elementos
a) Resistores
LTK:
LCK:
Obs.:
são percorridos pela mesma corrente.
Característica da curva
:
Página 48
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
b) Fontes de tensão: Considerando
fontes de tensão em série:
LTK:
LCK:
Todas as fontes de tensão são percorridas pela mesma corrente.
c) Fontes de corrente: Considerando n fontes de corrente em série:
LTK:
Página 49
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Para não violar a LCK, esta ligação só é possível se as fontes de correntes forem iguais.
d) Capacitores: Considerando n capacitores ligados em série:
LTK:
LCK:
Obs.: Todos os capacitores são percorridos pela mesma corrente.
Página 50
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
e) Indutores: Considerando n indutores em série:
LTK:
LCK:
Obs.: Todos os indutores são percorridos pela mesma corrente.
f) Resistor e fonte de tensão:
Página 51
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
LTK:
Equação Característica
Se
são conhecidos, a equação relaciona tensão e corrente.
Para:
g) Resistor e diodo:
Página 52
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Para:
3.2. Ligação paralela de elementos
a) Resistores:
LCK:
LTK:
Como
são submetidos à mesma tensão, temos:
Página 53
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Para
Obs.: A
resistores:
é sempre menor do que a menor das resistências ligadas em paralelo.
Página 54
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
b) Fontes de corrente:
LCK:
LTK:
Obs.: Todas as fontes estão submetidas a mesma
c) Fontes de tensão:
Página 55
.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
LCK:
LTK:
Obs.: Para a ligação das fontes de tensão em paralelo todas as fontes devem ser iguais. • Princípio de paralelismo de transformadores:
no secundário.
d) Indutores:
LCK:
LTK:
Todos os indutores estão submetidos a mesma tensão, então temos:
Página 56
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
e) Capacitores:
LCK:
LTK:
Todos os capacitores estão submetidos ao mesmo potencial, então temos:
Página 57
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
f) Resistor e fonte de corrente:
LTK:
LCK:
Para:
Página 58
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
g) Resistor e diodo:
Para:
h) Resistor, diodo e fontes de corrente:
Se:
Página 59
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Se:
Conclusões: 1) Para ligação de elementos em série, a corrente é a mesma em todos os elementos e a tensão é a soma algébrica das tensões em cada elemento. 2) Numa ligação de elementos em paralelo, é válido o princípio da dualidade, aplicado no item 1. Obs.: Caso singular:
Página 60
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Exercícios:
1) Determine as resistências equivalentes e a corrente em cada resistor.
2) Determine
:
a)
Página 61
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
b)
3) Para os circuitos abaixo:
a) b) c) d)
Determine a característica nos pontos Descrever a característica no plano . Obter o equivalente Thevenin. Obter o equivalente Norton.
4) Descrever analítica e graficamente a característica
Página 62
.
do circuito abaixo:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
UNIDADE 4 - CIRCUITOS LINEARES INVARIANTES NO TEMPO 4.1. Definições e propriedades dos circuitos
Componentes:
podem ser:
• Lineares • Não lineares • Variantes no tempo • Invariantes no tempo.
Circuitos com: • Componentes lineares → circuitos lineares • Componentes lineares invariantes → circuitos lineares e invariantes no tempo.
4.2. Análise nodal
Nesta seção consideremos métodos de análise de circuitos nos quais as tensões são incógnitas.
Temos:
Página 63
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Passos para a análise nodal:
a. Contar o número de nós Pela LTK o somatório das tensões em qualquer percurso fechado é zero. A LTK obriga uma dependência linear entre as tensões de braço.
b. Escolher uma referência (nesse caso, ) Como o foi adotado como referência
, temos:
Em geral, escolhemos um nó como referência e chamamos as tensões dos outros nós em relação a esta referência. Concluímos que em um circuito com
nós, teremos
Exemplos: 1)
Pela LCK:
Página 64
equações e
incógnitas.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Logo:
2)
Logo:
Página 65
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Obs.: Para circuitos que não tenham fontes de tensão ou fontes dependentes, o determinante pode ser escrito como forma de matriz, e definido como matriz de condutância do circuito.
Características da matriz condutância: • É simétrica em relação à diagonal principal quando no circuito só tiver fontes de corrente. • Os elementos da diagonal são positivos e os outros negativos.
4.3. Análise nodal com fontes de tensão ou fontes dependentes no circuito
Evitamos o uso do ramo com fonte de tensão, tratando os nós 2 e 3 como super nó. Super nó: Como o somatório das correntes que chegam no nó 2 e 3 são zero, quando tratarmos de corrente, o nó 2 e 3 será um super nó.
Página 66
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
LCK:
Logo:
Equação do super nó: como temos três incógnitas e dois nós (duas equações são obtidas pela LCK), temos que obter mais uma equação para termos o número de equações igual ao número de incógnitas. Procedimentos práticos para a análise nodal: a) Fazer um diagrama claro e simples do circuito, indicando todos os valores das fontes e elementos. b) Se o circuito possuir n nós, escolher um como referência e escrever as tensões dos nós em relação a referência. c) Se o circuito possuir somente fontes de corrente, aplique a LCK e forme a matriz condutância. d) Se o circuito possuir fontes de tensão, substitua-a por um curto circuito criando um super nó.
Página 67
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Exercícios:
1) Encontrar as tensões nos nós
2) No circuito abaixo, usar análise nodal para determinar
3) Substituir a fonte de por uma fonte de corrente dependente com seta para cima com valor de , onde ib é a corrente dirigida para baixo na condutância de Determine
4) Substituir a fonte de por uma fonte de tensão de dirigida para cima. Determine
com referência positiva
5) Substituir a fonte de por uma fonte de tensão dependente, referência positiva dirigida para baixo e definida como Determine
Página 68
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
4.4. Análise por malhas
• Só é possível se o circuito for uma superfície plana. • Somente malhas, não percursos fechados. • n malhas, n equações • Corrente de malha no sentido horário. • Na malha que estamos trabalhando, a corrente é positiva em relação às outras.
Exemplos:
1)
LTK:
Logo:
Página 69
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
2)
3)
Como criamos uma super malha, temos 3 incógnitas e somente 2 equações. Para conseguirmos a terceira equação, teremos que conseguir através da fonte de corrente.
Página 70
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
4)
5)
6)
Use a análise de malhas para determinar
Página 71
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
7)
Use análise de malhas para determinar
8)
Use análise de malhas para determinar
9)
Use análise de malhas para determinar
Página 72
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Procedimentos práticos para análise de malhas:
a) b) c) d)
Só é aplicada a uma rede de circuito planar. Atribuir uma corrente a cada malha, arbitrando sentido horário, aplicando a LTK. Empregam-se valores de resistência ao invés de condutância. Se o circuito tiver apenas fonte de tensão, a matriz resultante (matriz resistência) é simétrica em relação diagonal principal, sendo a diagonal principal positiva e o resto dos elementos negativos. e) Se o circuito houver fontes de corrente: 1) Fonte de corrente em paralelo com resistor, aplicar equivalente Thevenin. 2) Fonte de corrente em série com resistor, substituir por um circuito aberto.
Página 73
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
UNIDADE 5 - TEOREMA DE REDES -
5.1. Teorema de Thevenin
Estabelece que uma rede linear ativa com qualquer número de fontes pode ser substituída em parte ou totalmente por uma única fonte de tensão em série com uma resistência de Thevenin, onde é a tensão em circuito aberto e a éa resistência equivalente vista pelos terminais , com todas as fontes internas do circuito zeradas.
Obs.: As fontes de tensão são substituídas por um curto circuito.
Exemplo: Encontre o equivalente Thevenin do circuito abaixo:
Página 74
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Primeiramente, substituímos a fonte de tensão por um curto circuito. Depois calculamos o
Através da análise por malhas podemos achar o valor de
Então:
Página 75
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
5.2. Teorema de Norton
Estabelece que uma rede linear ativa com qualquer número de fontes pode ser substituída em parte ou totalmente por uma única fonte de corrente em paralelo com uma resistência de Norton, onde a fonte de corrente é a corrente nos terminais em curto circuito e é a resistência vista pelos terminais com todas as fontes zeradas.
Obs.: As fontes de corrente são substituídas por um circuito aberto.
Exemplo: Encontre o equivalente Norton do circuito abaixo:
Curto-circuitando os terminais
, temos a resistência equivalente
Página 76
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Com isso, podemos calcular o
5.3. Teorema da superposição
Para redes lineares é válido o princípio da superposição, que estabelece: A resposta de I ou V em qualquer trecho de um circuito linear que possui mais de uma fonte independente de corrente ou tensão, ou ainda, de ambos os tipos, pode ser obtida somando-se algebricamente as respostas nesses ramos produzidas pela ação de cada uma das fontes atuando isoladamente, isto é, estando as demais fontes zeradas.
Obs.: Cuidar as polaridades das fontes de tensão e de corrente.
Página 77
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Exemplo 3:
1) Para fonte de
a fonte de
é um curto e a de
é um circuito aberto.
Logo:
2) Para a fonte de aberto.
a fonte de
Página 78
é um curto e a de
é um circuito
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Logo:
3) Para a fonte de
a fonte de
Temos então:
Página 79
e
são um curto circuito.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
5.4. Teorema da máxima transferência de potência
Um teorema muito útil sobre a potência pode ser desenvolvido com referência a uma fonte de tensão ou corrente.
A potência fornecida para
é:
Sendo:
Portanto:
Para obter a máxima transferência de potência, faz-se:
Página 80
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Para verificar se a função é de máximo ou de mínimo:
Portanto:
Exercícios:
1) Encontre o equivalente Thevenin e Norton dos seguintes circuitos: a)
Página 81
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
b)
c)
d)
Página 82
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
e)
2) Determine
aplicando análise nodal:
3) Determine a corrente em todos os elementos, empregando análise nodal:
Página 83
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
4) Determine Ix usando: a) Análise nodal. b) Análise de malhas.
5) Determine fontes.
empregando o princípio da superposição e a potência gerada pelas
Página 84
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
UNIDADE 6 - CIRCUITOS DE 1ª ORDEM – 6.1. Circuito Linear Invariante no Tempo de Primeira Ordem
Estudaremos nesta unidade o comportamento de certa grandeza no circuito. Esta poderá ser tensão, corrente ou a combinação das duas. Além disso, os circuitos de primeira ordem são caracterizados por possuírem apenas um elemento capaz de armazenar energia, podendo ser a carga num capacitor ou fluxo de corrente num indutor. Isto irá resultar, em uma equação diferencial de primeira ordem com os coeficientes constantes, já que está sendo considerados circuitos lineares invariantes no tempo. A resposta destas grandezas no circuito será devido a:
Fontes independentes, que são as entradas ou excitações; Condições iniciais do circuito.
6.1.1. Resposta a excitação zero
Ocorrerá num circuito que não possui entradas ou excitações. O comportamento de tal circuito será função somente das condições iniciais, ou seja, a energia armazenada no circuito no instante de tempo t=0. Estudaremos então dois circuitos de primeira ordem:
Circuito RC Circuito RL
6.1.1.1. Circuito RC (Resistor- Capacitor)
Figura 6.1- Circuito RC
Para t<0, a chave S1 fechada e S2 aberta, o capacitor está carregado com tensão V0, dado pela fonte V0; Em t=0, a chave S1 é aberta e S2 é fechada (simultaneamente); Fisicamente, devido a carga inicial do capacitor ( ), aparecerá uma corrente na malha RC. A carga vai decrescendo gradualmente até zero.
Página 85
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Durante este processo a energia no capacitor será dissipada no resistor na forma de calor. Analisando o circuito para t ≥ 0:
Figura 6.2- Circuito RC para t ≥ 0
LTK:
LCK:
As duas equações de braços dos dois elementos serão:
Capacitor
Quando Vc(t)
0
Resistor
Temos, portanto, quatro equações para quatro incógnitas. Supondo que queiramos a tensão no capacitor como resposta:
A expressão das correntes será:
Página 86
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Observando a equação das correntes chegamos podemos observar que esta será uma equação diferencial, linear, de primeira ordem, homogênea, com os coeficientes constantes. Então chegamos que a solução para a equação das correntes é dada pela seguinte equação:
Onde:
K1 é uma constante determinada pelas condições iniciais do circuito; é a freqüência de amortecimento dada pela expressão:
RC=τ=constante de tempo No instante de tempo
temos que:
OBS.: Quanto menor for o capacitor, mais rápido será a descarga. A resposta geral será da seguinte forma:
Pelas equações obtidas pela LKC obtemos:
Logo:
Com as expressões da ,
,
e
Página 87
obteremos os seguintes gráficos:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Figura 6.3 – Gráfico da corrente no capacitor.
Figura 6.4- Gráfico da corrente no resistor.
Figura 6.5 – Gráfico da tensão no capacitor.
A figura 6.5(gráfico da tensão do capacitor) mostra o comportamento do capacitor, ou seja, a descarga do mesmo ao longo do tempo. Podemos observar que a curva característica é uma exponencial, e desta forma, pode ser caracterizada por duas condições:
A ordem da curva em é a condição inicial; A constante de tempo dependerá exclusivamente dos parâmetros do circuito (R, L, C) e da forma como os mesmos estão conectados.
Página 88
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Figura 6.6- Gráfico da tensão do capacitor.
6.1.1.2. Circuito RL (Resistor - Indutor)
Figura 6.7 – Circuito RL
Para
, a chave S1 está ao terminal b e o indutor está carregado com a corrente ; Para , S1 é conectada ao terminal c, pois a fonte de corrente não pode ficar em circuito aberto;
O indutor fica conectado ao resistor (R) e a fonte de corrente fica curto-circuitada e a energia armazenada no campo magnético do indutor é dissipada no resistor na forma de calor.
Analisando o circuito para
(figura 6.8)
Figura 6.8 – Circuito RL para
Página 89
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
LTK
LCK
Portando obtemos
A energia armazenada no indutor (fluxo) vai descarregar gradualmente até zero. Durante este processo, a energia armazenada no campo magnético do indutor é dissipada na forma de calor pelo resistor. As equações de braços serão:
Indutor
Resistor
Como queremos
como resposta e sabemos que:
Então obtemos
Onde esta equação corresponde a uma equação diferencial linear, homogênea, de primeira ordem com os coeficientes constantes então a solução para a equação será da seguinte forma:
Página 90
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Onde:
K1 é uma constante determinada pelas condições iniciais do circuito;
No instante de tempo
temos que:
é a freqüência de amortecimento dada pela expressão:
= τ = constante de tempo OBS.: Todos estes cálculos valem somente para
Com a análise exponencial obtemos o seguinte comportamento para o indutor:
Figura 6.9- Gráfico da corrente no indutor.
6.1.2. Resposta ao estado zero
6.1.2.1. Circuito RC
Para
, S1 é fechada. Obtemos então;
Página 91
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Figura 6.10 – Circuito Rc em resposta ao estado zero
Em , S1 abre, e a fonte de corrente é conectada ao circuito Para Após um pequeno intervalo com a chave aberta obtemos:
;
Figura 6.11 – Circuito RC com S1 aberta.
, Pois
Pela LTK:
A partir disto, obteremos as seguintes considerações:
Com a fonte de corrente, a tensão no capacitor não varia instantaneamente; parte de zero (valor inicial) e sobe gradativamente. Portanto: Em
Página 92
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Ou seja, a corrente fluirá toda pelo capacitor
À medida que
cresce,
cresce, aplicando uma
e diminuindo a
LCK:
Quando deixarmos o circuito ligado,
O capacitor carregado é um circuito aberto e toda a corrente I passará pelo resistor. Isto ocorrerá quando:
cresce até um valor e fica estável
Considerando a tensão do capacitor como a resposta almejada, temos:
Quando analisamos o circuito para , a tensão no capacitor permanece nula, e a corrente no resistor também. A corrente flui então somente pelo capacitor. Logo após, com a corrente fluindo pelo capacitor, ocorre um aumento na tensão .
Então teremos um
,e
tende a crescer diminuindo assim,
Página 93
, pois:
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
OBS.:
Para , o capacitor estará carregado, e será considerado um circuito aberto quando toda a corrente da fonte fluir pelo resistor.
Quando isto ocorrer, o capacitor será um circuito aberto.
Note que para determinarmos a resposta da tensão do capacitor ao estado zero, dependemos dos parâmetros do circuito e ainda da função de entrada que no nosso caso será . Esta resposta é denominada solução em regime permanente (solução particular) e representa a solução do circuito para um tempo infinitamente grande e é conhecida como solução em regime permanente, ou solução para o estado zero do circuito. Então a expressão para a solução particular será determinada exclusivamente a partir da forma da função de entrada ( ). Com estas considerações podemos definir que a solução geral para a equação da tensão no capacitor será do tipo:
Onde a
depende além dos parâmetros do circuito, das condições iniciais
no circuito no instante de tempo
Onde
é determinado pelas condições iniciais.
Já a
que dependerá dos parâmetros do circuito e ainda da função de
excitação de entrada.
A partir disto podemos obter a equação da solução geral pela seguinte expressão:
Mas para obtermos
será realizado pela expressão geral: ,
Página 94
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
E as correntes serão dadas pelas equações
Logo
Podemos obter então a corrente no resistor
. Sabemos que:
Então
Figura 6.12- Gráfico da corrente e da tensão do capacitor.
6.1.2.2. Resposta ao estado zero com fonte de corrente senoidal
Considerando o circuito abaixo ao qual é excitado por uma fonte de corrente
Página 95
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Figura 6.13 – Circuito RC alimentado por uma fonte senoidal.
Onde Amplitude; Frequencia angular
;
= Fase A solução geral para o circuito será da seguinte forma:
Onde a solução homogênea será
E a solução particular
Onde as constantes
e
são as constantes a serem determinadas
Solução geral
Para determinar
, faz-se: ,
Página 96
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
6.1.3. Resposta completa: Transitório + Regime permanente
Figura 6.14 – Circuito RC para resposta completa.
Para Em
Para
, a chave curto-circuita a fonte; , vale a seguinte equação:
:
Temos aqui a resposta à excitação e ao estado zero onde: Resposta à excitação zero; Resposta ao estado zero. Solução para
:
Solução para
:
Solução geral:
Onde: Resposta completa Página 97
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Resposta à excitação zero Resposta ao estado zero Isolando
Dependerá das condições iniciais e repentina aplicação da tende a desaparecer e por causa disto, é chamado de
excitação que em TRANSITORIO; Esta parcela continua conforme o transitório vai se esgotando, sendo, portanto, chamado de regime permanente e é ligado a forma de onda da excitação
. Figura 6.15 – Gráfico da tensão em resposta completa.
6.1.4. Resposta ao Degrau Unitário
Para Para
, ,
; .
Página 98
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Figura 6.16 – Analogia entre a função degrau e uma chave no circuito.
Obs.:
é análogo a uma chave que atua em t=0
Exemplo:
Figura 6.17 – Exemplo do circuito utilizando a função degrau.
Para
,
Para
,
LTK:
Página 99
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Solução homogênea:
Solução particular (
)
O indutor carregado é um curto circuito
Para
,
Para
,
Para
Página 100
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
EXERCÍCIOS 1) Determine
2)
3)
4)
Página 101
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
5)
6)
7)
8) Determine
Página 102
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
9) Determine
10) Obter
para o circuito abaixo
.
Página 103
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
UNIDADE 7 - CIRCUITOS DE 2ª ORDEM –
7.1. Resposta a Excitação Zero 7.1.1. Circuito RLC paralelo
figura 7.1- Circuito de segunda ordem paralelo
Pelas equações de braço podemos obter:
Resistor
Capacitor
Indutor
Aplicando a LTK Pela LCK temos
Com isso, podemos perceber que temos 6 incógnitas, duas em cada equação
Página 104
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Derivando e dividindo por C obtemos:
Por conveniência, vamos definir dois parâmetros:
Constante de amortecimento:
Frequência angular ressonante:
Por quem definimos
e
?
Eles nos ajudam a caracterizar o comportamento do circuito RLC, que hora nos dá uma resposta exponencial, hora senoidal.
Substituindo na equação
Substituindo
por S chegamos na equação característica
Raízes:
Os zeros do polinômio, ou suas raízes, são chamados de frequências naturais do circuito; As raízes deste polinômio nos dizem o tipo de comportamento do circuito;
De acordo com os valores de
e de
, teremos quatro tipos de comportamento
Circuito superamortecido; Circuito criticamente amortecido; Página 105
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Circuito subamortecido; Circuito sem perdas.
7.1.1.1 Circuito superamortecido (
)
As frequências naturais são raízes reais e negativas, cuja resposta é o somatório de duas exponenciais.
Onde K1 e K2 são determinadas pelas condições iniciais do circuito. Isto pode ser percebido a partir da resposta quando t=0
Derivando
Página 106
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
7.1.1.2 Circuito Criticamente Amortecido (
)
As frequências naturais são reais, negativas e iguais.
Resposta:
- Surge devido à descarga de corrente tensão.
do indutor sobre o capacitor aumentando sua
7.1.1.3 Circuito Subamortecido (
)
As frequências naturais são raízes imaginárias, complexas, conjugadas.
Página 107
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Cuja resposta é:
Onde
e
dependem das condições iniciais
7.1.1.4 Circuito sem perdas (
)
As frequências naturais são imaginárias.
Página 108
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Resposta
Exemplo: Dado o circuito abaixo determinar zero para cada caso.
para a resposta à excitação
a) b) c)
Página 109
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
a)
Cálculo de
e
- Circuito superamortecido
Cálculo das frequências naturais
Determinação de K1 e K2 A tensão no capacitor para
Derivando
Como
é
em
, temos
Página 110
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Logo
7.1.2. Circuito RLC série
Figura 7.2- Circuito RLC série
LTK
LCK
Página 111
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Derivando a equação e dividindo por L
Substituindo
por S Equação característica
As raízes deste polinômio nos dão o comportamento do circuito, em relação ao amortecimento. Raízes
Da mesma forma que o circuito RLC paralelo, os valores de determinam o tipo de amortecimento do sistema.
Circuito superamortecido (
Circuito criticamente amortecido (
Circuito subamortecido (
Circuito criticamente amortecido (
)
)
)
)
Página 112
e
são os valores que
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
EXERCÍCIOS 1) Seja o circuito
Determine
e esboçar a forma de onda.
2) Seja o circuito
Determine
para
a) b) c) d)
3) Seja o circuito
Determine 4) Repita o exercício 2 para
Página 113
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
5) No circuito abaixo, a chave indicada estava fechada há bastante tempo, sendo aberta em . Calcular a tensão a partir deste instante
7.2. Resposta ao Estado Zero
7.2.1. Excitação por fonte de corrente constante
Figura 7.3- Circuito RLC paralelo excitado por uma fonte de corrente
LTK
LCK
Polinômio
Solução geral Página 114
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Onde
são os quatro casos de amortecimento e
é para t
tendendo para o infinito, regime permanente. Supondo que o sistema seja superamortecido a
pode ser expressa por
Já a é igual a zero, pois num tempo muito grande o indutor é um curto circuito, então a tensão no capacitor será igual a zero. Solução Geral
Determinação das constantes K1 e K2 , logo
Derivando
em função do tempo para
Onde S1 e S2 são as raízes do polinômio
EXEMPLO
Página 115
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
7.2.2. Excitação por fonte de tensão constante
Figura 7.4- Circuito RLC serie excitado por uma fonte de tensão
LTK
LCK
Derivando e dividindo por L
Solução geral
Como
Então toda tensão da fonte é aplicada no indutor
Página 116
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
7.3. Resposta Completa
É determinada pela resposta transitória mais a resposta em regime permanente.
Figura 7.5- Circuito RLC série
LTK
LCK
A equação de segundo grau que descreve este circuito é
Como
logo é um sistema superamortecido.
Pela equação característica
Página 117
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Determinação de K1 e K2 Como
Derivando
para
Portanto
Logo
Resposta completa
EXERCÍCIOS 1) Considere
, refaça o exercício anterior para
2) Encontre
Página 118
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
3) Determine
4) Determine
Página 119
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
UNIDADE 8 - APLICAÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Figura 7.6- Circuito RL
Equação
Aplicando Laplace
Resolvendo por frações parciais
Pela tabela das transformadas de Laplace temos:
Página 120
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
EXERCÍCIOS 1) Resolver por Laplace
2) Refazer o exercício anterior com
Página 121
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
9. AULAS PRÁTICAS 9.1 1° AULA PRÁTICA – CIRCUITOS I Tempo de descarga do capacitor A principal característica do capacitor é a propriedade de armazenar energia na forma de campo elétrico. Ao aplicarmos em um capacitor uma tensão contínua, esse se carrega com uma tensão cujo valor depende do intervalo de tempo em que se desenvolverá o processo.
Figura 1 No circuito da figura 1, uma fonte de tensão de 30 volts é ligada em série com um capacitor para t<0, assim deixando o capacitor carregado com tensão 30 V. Em t=0 o capacitor é ligado em série com a resistência e esta começa a dissipar a tensão carregada no capacitor transformado-a em calor. Ao observar a tensão no capacitor consegue-se notar o decaimento da mesma de forma exponencial, segundo a fórmula abaixo:
Página 122
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Tarefa pratica 1 Completar a tabela abaixo utilizando a montagem descrita na figura 1 respondendo as questões abaixo: a) Calcule o tempo de descarga do capacitor para cada valor de capacitância; b) Esboce a curva de descarga para as três capacitâncias (V x t); Valor de capacitor Tempo de descarga calculado* Tempo de descarga no experimento *
Esboço da curva
*Interprete como tensão final 1.2 V c) Compare e discuta a diferença entre os valores de tempo obtidos nos três casos. Explique o porquê.
10. Qual o valor de resistência escolhido pelo grupo? Qual a influência deste valor na experiência?
Página 123
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Retificadores Um exemplo da utilização de capacitores é como filtro na saída de pontes retificadoras de onda completa (Figura 2).
Figura 2- Ponte retificadora de onda completa com filtro capacitivo. Tarefa prática 2. 2.1. Montar o circuito da figura 3, retificador de onda completa, e desenhar a forma de onda de tensão obtida na saída da ponte retificadora utilizando o osciloscópio.
Página 124
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Figura 3- Ponte retificadora de onda completa
2.2. Montar o circuito da figura 2, retificador de onda completa com filtro capacitivo, e desenhar a forma de onda de tensão obtida na saída da ponte retificadora alternando a capacitância. Utilize o osciloscópio. Valor de capacitor
Esboço da curva
a) Qual é a diferença da forma de onda da tensão com e sem capacitor?
Página 125
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
b) O valor do capacitor interfere na forma de onda de saída? Por quê?
Utilização do capacitor como filtro Devido ao seu comportamento quando submetido a tensões em determinadas frequências o capacitor é muito utilizado em circuito de filtros. Um exemplo simples da utilização dele como filtro é na alimentação de microcontroladores.
Página 126
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Figura 5 - Retirada da folha de especificação do microcontrolador KA2 da Freescale® Fora utilização para filtro de ruídos em alta frequência, o capacitor é utilizado para sinais conhecidos tais como onda quadrada, dente de serra, senoidal, pois dependendo da frequência da onda conseguem-se sinais específicos e úteis para a eletrônica em geral. Tarefa de casa Repita a tarefa um, utilizando um indutor em série com uma fonte de corrente. Utilize um simulador de circuitos, por exemplo, LTspice (http://www.ufsm.br/materiais) . Obtenha o gráfico da corrente em função do tempo ( ) para três valores diferentes de indutância.
Página 127
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Osciloscópio
Botões
Botões de seleção: utilizados para interagir com as opções dos menus do osciloscópio; Regulador de níveis de medida: utilizado para selecionar as faixas de escala do osciloscópio no momento em que se faz a análise da medida obtida; Medidas: Seleciona quais medidas que irão ser mostradas no momento de aquisição da medida; Auto set: Calcula e mostra a escala adequada à forma de onda; Run/Pause: Pausa e continua o processo de leitura; Trigger menu: seleciona se irá ser feita uma interpretação da amplitude do sinal ou da diferenças de tempos (utiliza o botão 1 para regulagem); SEC/Div: Seleciona a base para a escala de tempo; VOLTS/Div: Seleciona a base para a escala de tensão. Modo de utilização do osciloscópio: Ligue a ponteira do osciloscópio no local aonde deve ser feita a medida; Ligue o osciloscópio; Selecione auto set; Selecione a base de tempo ideal da amostra (depende do valor do capacitor e do resistor) selecionando no botão 7; Selecione a base de tensão ideal da amostra (
) selecionando no botão 8;
Selecione Trigger Menu (6) e selecione a analise no tempo; Selecione medidas, escolha os valores de aquisição e utilize o botão 2 para leitura dos dados no tempo quando a curva estiver parada (5).
Página 128
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
9.2
2° AULA PRÁTICA – CIRCUITOS I
Circuito RLC 1. Introdução teórica:
O circuito RLC, onde: R é resistência, L indutância e C capacitância, é um circuito elétrico oscilante. Pela lei das malhas de Kircchoff temos:
(1)
Assim:
Substituindo na equação (1), temos: + Derivando a equação
e dividindo por L, temos:
Temos então: e
Página 129
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Tipo de amortecimento Superamortecido ( Criticamente amortecido ( Sub-amortecido (
Sem perdas
2. Laboratório A partir do circuito abaixo obter:
Variando a capacitância obtenha os três tipos de amortecimento.
Dados Rinterna da fonte
50 (Ω)
Rdécada
40 (Ω)
Página 130
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
Frequência
80 (Hz)
Tensão de alimentação
____ (V)
Indutor
____ (H)
a) Sub-amortecido C= ω0 = α= GRÁFICO
b) Super amortecido C= ω0 = α= GRÁFICO
c) Criticamente amortecido C= ω0 = α= GRÁFICO
Página 131
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA - CIRCUITOS ELÉTRICOS I
10. BIBLIOGRAFIA
[1] - JOHNSON, D. E.; Hilburn, J. R. Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos. ed. 4, p. 542, LTC, 2001. [2] - ORSINI, L. Q. Curso de Circuitos Elétricos. v. 1, p. 286, Edgard Blüncher, 2002. [3] - MARIOTTO, P. A. Análise de Circuitos Elétricos. p. 400, Prentice Hall, 2002.
COLABORADORES – Programa de Educação Tutorial de Engenharia Elétrica (PET-EE) O que é o programa? O PET é desenvolvido por grupos de estudantes, com tutoria de um docente, organizados a partir de cursos de graduação das Instituições de Ensino Superior do país, sendo um grupo por curso orientados pelo princípio da indissociabilidade entre ensino, pesquisa e extensão e da educação tutorial. A Universidade Federal de Santa Maria (UFSM) possui atualmente dez grupos PET ativos, os quais buscam atuar constantemente tanto na comunidade acadêmica quanto fora dos limites do campus da UFSM, promovendo atividades integradas de ensino, pesquisa e extensão. Os principais objetivos do programa são: contribuir para a elevação da qualidade de formação acadêmica dos alunos de graduação; estimular a formação de profissionais e docentes de elevada qualificação técnica, científica, tecnológica e acadêmica; formular novas estratégias de desenvolvimento e modernização do ensino superior no país; e estimular o espírito crítico, bem como a atuação profissional pautada pela ética, pela cidadania e pela função social da educação superior.
Atividades do grupo – Programa de Apoio as Disciplinas (PAD) O PAD foi criado para estimular a utilização de laboratórios e a motivação dos alunos e professores através da solução de problemas práticos e auxílio na elaboração de atividades práticas. Através do PAD o PET-EE vem contribuindo com a organização de planos de aulas e material didático de apoio para realização de aulas práticas e utilização dos laboratórios. Assim, busca-se atuar, positivamente, de forma direta na graduação, onde alunos e professores trabalham em conjunto para o crescimento, desenvolvimento e integração do curso como um todo. Revisão 2 - Otávio
Página 132
