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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Continuidade
Análise Matemáti a I Funções, Limites e Derivadas
Joana Peres
MIEQ - 2009/2010
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Continuidade
Funções
Con eitos sobre funções:
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Continuidade
Funções
Con eitos sobre funções:
De nição de função
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Continuidade
Funções
Con eitos sobre funções:
De nição de função Composição de funções
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Continuidade
Funções
Con eitos sobre funções:
De nição de função Composição de funções Função periódi a
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Continuidade
Funções
Con eitos sobre funções:
De nição de função Composição de funções Função periódi a Função par e ímpar
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Continuidade
Funções
Con eitos sobre funções:
De nição de função Composição de funções Função periódi a Função par e ímpar Famílias de funções
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Continuidade
Funções
Con eitos sobre funções:
f (x ) De nição de função
f (x ) = (x − 2)2
Composição de funções Função periódi a Função par e ímpar Famílias de funções polinomiais
x
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Continuidade
Funções
Con eitos sobre funções:
f (x ) De nição de função
f (x ) = (x − 2)2
Composição de funções Função periódi a Função par e ímpar Famílias de funções polinomiais ra ionais
f (x ) = x
Joana Peres
Análise Matemáti a I
( x − 2) 2 x 2+1
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Continuidade
Funções
Con eitos sobre funções:
f (x ) De nição de função
f (x ) = (x − 2)2
Composição de funções Função periódi a
√
Função par e ímpar
f (x ) = x
Famílias de funções polinomiais ra ionais irra ionais
f (x ) = x
Joana Peres
Análise Matemáti a I
( x − 2) 2 x 2+1
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Continuidade
Funções
Con eitos sobre funções:
f (x ) De nição de função
f (x ) = (x − 2)2
Composição de funções
f (x ) = 201 ex √ f (x ) = x
Função periódi a Função par e ímpar Famílias de funções polinomiais ra ionais irra ionais
f (x ) = x
exponen iais
Joana Peres
Análise Matemáti a I
( x − 2) 2 x 2+1
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Continuidade
Funções
Con eitos sobre funções:
f (x ) De nição de função
f (x ) = (x − 2)2
Composição de funções
f (x ) = 201 ex √ f (x ) = x f (x ) = ln x
Função periódi a Função par e ímpar Famílias de funções polinomiais ra ionais irra ionais
f (x ) = x
exponen iais logarítmi as
Joana Peres
Análise Matemáti a I
( x − 2) 2 x 2+1
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Continuidade
Funções
Con eitos sobre funções:
f (x ) De nição de função
f (x ) = (x − 2)2
Composição de funções
f (x ) = 201 ex √ f (x ) = x f (x ) = ln x
Função periódi a Função par e ímpar Famílias de funções polinomiais ra ionais
2
irra ionais
f (x ) = (xx −2 +2)1 x f (x ) = sen x
exponen iais logarítmi as trigonométri as
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Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Continuidade
De nição Função real de variável real
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Continuidade
De nição Função real de variável real
Df ⊆ R
Cf ⊆ R
x
y = f (x )
Joana Peres
A função f é uma regra que faz
orresponder a ada número real
x ∈ Df um e um só número real y ∈ Cf , representado por y = f (x ). (Lê-se y igual a f de x).
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Continuidade
De nição Função real de variável real
Df ⊆ R
Cf ⊆ R
x
y = f (x )
A função f é uma regra que faz
orresponder a ada número real
x ∈ Df um e um só número real y ∈ Cf , representado por y = f (x ). (Lê-se y igual a f de x).
No aso mais frequente, a função f é de nida por uma expressão ou fórmula matemáti a. Neste aso, hamamos domínio natural de f ao onjunto de valores de x para os quais essa expressão faz sentido (em naturalmente).
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Análise Matemáti a I
R
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Continuidade
De nição Função real de variável real
Df ⊆ R
Cf ⊆ R
x
y = f (x )
A função f é uma regra que faz
orresponder a ada número real
x ∈ Df um e um só número real y ∈ Cf , representado por y = f (x ). (Lê-se y igual a f de x).
No aso mais frequente, a função f é de nida por uma expressão ou fórmula matemáti a. Neste aso, hamamos
x ≡ variável independente
domínio natural de f ao onjunto de valores de x para os quais essa
(argumento da função)
y ≡ variável dependente Df ≡ Cf ≡
expressão faz sentido (em naturalmente).
domínio da função f
ontradomínio da função f
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R
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Continuidade
Outra de nição de função
Grá os de funções
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Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Continuidade
Outra de nição de função
Grá os de funções A função f também pode ser de nida omo um onjunto de pares ordenados de números reais:
f
= {(x , f (x )) : x ∈ Df ∧ f (x ) ∈ Cf }
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Continuidade
Outra de nição de função
Grá os de funções A função f também pode ser de nida omo um onjunto de pares ordenados de números reais:
f
= {(x , f (x )) : x ∈ Df ∧ f (x ) ∈ Cf }
Se de nirmos um sistema de
oordenadas re tangulares Oxy no plano, é possível estabele er uma
orrespondên ia biúnivo a entre
ada par ordenado
(x , y )
e ada
ponto do plano o que nos permite representar a função f por meio de um grá o.
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Continuidade
Outra de nição de função
Grá os de funções A função f também pode ser de nida omo um onjunto de pares ordenados de números reais:
f
y
= {(x , f (x )) : x ∈ Df ∧ f (x ) ∈ Cf }
Se de nirmos um sistema de
oordenadas re tangulares Oxy no plano, é possível estabele er uma
orrespondên ia biúnivo a entre
ada par ordenado
(x , y )
e ada
ponto do plano o que nos permite
x
representar a função f por meio de um grá o.
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Continuidade
Outra de nição de função
Grá os de funções A função f também pode ser de nida omo um onjunto de pares ordenados de números reais:
f
y
= {(x , f (x )) : x ∈ Df ∧ f (x ) ∈ Cf }
Se de nirmos um sistema de
oordenadas re tangulares Oxy no plano, é possível estabele er uma
orrespondên ia biúnivo a entre
ada par ordenado
(x , y )
e ada
ponto do plano o que nos permite
x
representar a função f por meio de um grá o.
Joana Peres
Análise Matemáti a I
x
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Continuidade
Outra de nição de função
Grá os de funções A função f também pode ser de nida omo um onjunto de pares ordenados de números reais:
f
y
= {(x , f (x )) : x ∈ Df ∧ f (x ) ∈ Cf }
Se de nirmos um sistema de
(x , f (x ))
oordenadas re tangulares Oxy no plano, é possível estabele er uma
orrespondên ia biúnivo a entre
ada par ordenado
(x , y )
e ada
ponto do plano o que nos permite
x
representar a função f por meio de um grá o.
Joana Peres
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x
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Outra de nição de função
Grá os de funções A função f também pode ser de nida omo um onjunto de pares ordenados de números reais:
f
y
= {(x , f (x )) : x ∈ Df ∧ f (x ) ∈ Cf }
Se de nirmos um sistema de
oordenadas re tangulares Oxy no plano, é possível estabele er uma
f (x )
(x , f (x ))
orrespondên ia biúnivo a entre
ada par ordenado
(x , y )
e ada
ponto do plano o que nos permite
x
representar a função f por meio de um grá o.
Joana Peres
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x
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Continuidade
Outra de nição de função
Grá os de funções A função f também pode ser de nida omo um onjunto de pares ordenados de números reais:
f
y
= {(x , f (x )) : x ∈ Df ∧ f (x ) ∈ Cf }
Se de nirmos um sistema de
oordenadas re tangulares Oxy no plano, é possível estabele er uma
f (x )
(x , f (x ))
orrespondên ia biúnivo a entre
ada par ordenado
(x , y )
e ada
ponto do plano o que nos permite
x
representar a função f por meio de um grá o. Este onjunto de pontos formará uma urva no plano Oxy.
Joana Peres
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x
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Continuidade
Outra de nição de função
Grá os de funções A função f também pode ser de nida omo um onjunto de pares ordenados de números reais:
f
y
= {(x , f (x )) : x ∈ Df ∧ f (x ) ∈ Cf }
Se de nirmos um sistema de
oordenadas re tangulares Oxy no plano, é possível estabele er uma
f (x )
(x , f (x ))
orrespondên ia biúnivo a entre
ada par ordenado
(x , y )
e ada
ponto do plano o que nos permite
x
representar a função f por meio de
Domínio
um grá o. Este onjunto de pontos formará uma urva no plano Oxy.
Joana Peres
Análise Matemáti a I
x
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Continuidade
Outra de nição de função
Grá os de funções A função f também pode ser de nida omo um onjunto de pares ordenados de números reais:
f
y
= {(x , f (x )) : x ∈ Df ∧ f (x ) ∈ Cf }
Se de nirmos um sistema de
oordenadas re tangulares Oxy no
f (x )
plano, é possível estabele er uma
Contra-
orrespondên ia biúnivo a entre
Domínio
ada par ordenado
(x , y )
(x , f (x ))
e ada
ponto do plano o que nos permite
x
representar a função f por meio de
Domínio
um grá o. Este onjunto de pontos formará uma urva no plano Oxy.
Joana Peres
Análise Matemáti a I
x
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Continuidade
A urva será uma função?
Teste da linha verti al
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Continuidade
A urva será uma função?
Teste da linha verti al Uma urva no plano Oxy é o grá o duma dada função se e só se nenhuma linha verti al interse tar a urva mais do que uma vez.
Joana Peres
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Continuidade
A urva será uma função?
Teste da linha verti al Uma urva no plano Oxy é o grá o duma dada função se e só se nenhuma linha verti al interse tar a urva mais do que uma vez. Exemplo:
x 2 + y 2 = 25 ⇔ y = ±
√
25 − x 2
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Continuidade
A urva será uma função?
Teste da linha verti al Uma urva no plano Oxy é o grá o duma dada função se e só se nenhuma linha verti al interse tar a urva mais do que uma vez. Exemplo:
x 2 + y 2 = 25 ⇔ y = ±
√
25 − x 2
y
( 4, 3)
x ( 4, − 3)
x2 + y2
=
25
Joana Peres
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Continuidade
A urva será uma função?
Teste da linha verti al Uma urva no plano Oxy é o grá o duma dada função se e só se nenhuma linha verti al interse tar a urva mais do que uma vez. Exemplo:
x 2 + y 2 = 25 ⇔ y = ±
√
25 − x 2 y
y
( 4, 3)
x
x ( 4, − 3)
x2 + y2
=
25
y
=
p
25 − x 2
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Continuidade
A urva será uma função?
Teste da linha verti al Uma urva no plano Oxy é o grá o duma dada função se e só se nenhuma linha verti al interse tar a urva mais do que uma vez. Exemplo:
x 2 + y 2 = 25 ⇔ y = ±
√
25 − x 2 y
y
y
( 4, 3)
x
x
x
( 4, − 3)
x2 + y2
=
25
y
=
p
25 − x 2
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y
= −
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p
25 − x 2
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Operações algébri as sobre funções
De nição: Dadas as funções
f e g de nimos:
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Operações algébri as sobre funções
De nição:
f e g de nimos: (f + g )(x ) = f (x ) + g (x )
Dadas as funções
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Operações algébri as sobre funções
De nição:
f e g de nimos: (f + g )(x ) = f (x ) + g (x ) (f − g )(x ) = f (x ) − g (x )
Dadas as funções
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Operações algébri as sobre funções
De nição:
f e g de nimos: (f + g )(x ) = f (x ) + g (x ) (f − g )(x ) = f (x ) − g (x ) (fg )(x ) = f (x )g (x )
Dadas as funções
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Operações algébri as sobre funções
De nição:
f e g de nimos: (f + g )(x ) = f (x ) + g (x ) (f − g )(x ) = f (x ) − g (x ) (fg )(x ) = f (x )g (x ) (f /g )(x ) = f (x )/g (x )
Dadas as funções
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Operações algébri as sobre funções
De nição:
f e g de nimos: (f + g )(x ) = f (x ) + g (x ) (f − g )(x ) = f (x ) − g (x ) (fg )(x ) = f (x )g (x ) (f /g )(x ) = f (x )/g (x )
Dadas as funções
O domínio das funções f + g , f − g , fg e f /g , por de nição, é a interse ção dos domínios de f e g .
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Operações algébri as sobre funções
De nição:
f e g de nimos: (f + g )(x ) = f (x ) + g (x ) (f − g )(x ) = f (x ) − g (x ) (fg )(x ) = f (x )g (x ) (f /g )(x ) = f (x )/g (x )
Dadas as funções
O domínio das funções f + g , f − g , fg e f /g , por de nição, é a interse ção dos domínios de f e g . No aso da função f /g temos ainda de ex luir os pontos para os quais
g ( x ) = 0.
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Operações algébri as sobre funções
De nição:
f e g de nimos: (f + g )(x ) = f (x ) + g (x ) (f − g )(x ) = f (x ) − g (x ) (fg )(x ) = f (x )g (x ) (f /g )(x ) = f (x )/g (x )
Dadas as funções
Exemplos:
√
O domínio das funções f + g , f − g , fg e f /g , por de nição, é a interse ção dos domínios de f e g . No aso da função f /g temos ainda de ex luir os pontos para os quais
g ( x ) = 0.
Joana Peres
√
f (x ) = x , g (x ) = x e h (x ) = x então o domínio de fg é diferente do domínio natural de h . Mostre que se
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Operações algébri as sobre funções
De nição:
f e g de nimos: (f + g )(x ) = f (x ) + g (x ) (f − g )(x ) = f (x ) − g (x ) (fg )(x ) = f (x )g (x ) (f /g )(x ) = f (x )/g (x )
Dadas as funções
O domínio das funções
f
+ g,
f − g , fg e f /g , por de nição, é a interse ção dos domínios de f e g . No aso da função f /g temos ainda de ex luir os pontos para os quais
Exemplos:
√
Determine o domínio de f/g sabendo que
f (x ) = x 2 − 4 e
g (x ) = x − 2, isto é, o
domínio de
f (x ) = x 2 − 4 g (x ) x − 2
g ( x ) = 0.
Joana Peres
√
f (x ) = x , g (x ) = x e h (x ) = x então o domínio de fg é diferente do domínio natural de h . Mostre que se
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Composição de funções
Joana Peres
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Composição de funções
y = f (x )
Consiste na apli ação su essiva de duas ou mais funções, quando tal for possível.
f x
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g g ◦ f z = g (f (x ))
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Composição de funções
y = f (x )
Consiste na apli ação su essiva de duas ou mais funções, quando tal for possível.
f
Exemplo:
f (x ) = x + 1 e g (x ) = x 2
Joana Peres
x
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g g ◦ f z = g (f (x ))
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Composição de funções
y = f (x )
Consiste na apli ação su essiva de duas ou mais funções, quando tal for possível.
f
Exemplo:
f (x ) = x + 1 e g (x ) = x 2 g (f (x )) = (f (x ))2 = (x + 1)2
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x
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g g ◦ f z = g (f (x ))
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Composição de funções
y = f (x )
Consiste na apli ação su essiva de duas ou mais funções, quando tal for possível.
f (x ) = x + 1 e g (x ) = x 2 g (f (x )) = (f (x ))2 = (x + 1)2
De nição formal Dadas as funções
g ◦f por g ◦ f
por
g
f
Exemplo:
x
g ◦ f z = g (f (x ))
f e g , a omposição de g
om
f , denota-se
(lê-se g omposta om f, ou então g após f), é a função de nida
= g (f (x )).
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Composição de funções
y = f (x )
Consiste na apli ação su essiva de duas ou mais funções, quando tal for possível.
f (x ) = x + 1 e g (x ) = x 2 g (f (x )) = (f (x ))2 = (x + 1)2
De nição formal Dadas as funções
g ◦f por g ◦ f
por
g
f
Exemplo:
x
g ◦ f z = g (f (x ))
f e g , a omposição de g
om
f , denota-se
(lê-se g omposta om f, ou então g após f), é a função de nida
= g (f (x )).
g ◦ f é o onjunto de todos os valores de x g (f (x )) (lê-se g de f de x) faz sentido. Ou seja:
O domínio natural da função os quais a regra
Dg ◦f = {x ∈ R : x ∈ Df ∧ f (x ) ∈ Dg } Joana Peres
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para
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Composição de funções Propriedades
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Composição de funções Propriedades asso iativa:
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g ) ◦ f
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Composição de funções Propriedades asso iativa:
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g ) ◦ f não omutativa:
g ◦f
6=
f ◦g
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Composição de funções Propriedades asso iativa:
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g ) ◦ f não omutativa:
g ◦f
6=
f ◦g
domínios diferentes:
Dg ◦f 6= Df ◦g
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Composição de funções Propriedades asso iativa:
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g ) ◦ f não omutativa:
g ◦f
6=
f ◦g
domínios diferentes:
Dg ◦f = 6 Df ◦g Df ◦g = {x ∈ R : x ∈ Dg ∧ g (x ) ∈ Df }
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Composição de funções Propriedades Exemplos:
asso iativa:
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g ) ◦ f
Obter
g ◦f
de nição sendo:
6=
f (g (x )) e g (f (x ) e os
respe tivos domínios naturais de
não omutativa:
f ◦g
1
domínios diferentes:
f (x ) = sen(x ) e g (x ) = x 2
Dg ◦f = 6 Df ◦g Df ◦g = {x ∈ R : x ∈ Dg ∧ g (x ) ∈ Df }
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Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Composição de funções Propriedades Exemplos:
asso iativa:
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g ) ◦ f
Obter
g ◦f
de nição sendo:
6=
f (g (x )) e g (f (x ) e os
respe tivos domínios naturais de
não omutativa:
f ◦g
1
domínios diferentes:
Dg ◦f = 6 Df ◦g Df ◦g = {x ∈ R : x ∈ Dg ∧ g (x ) ∈ Df }
Joana Peres
2
f (x ) = sen(x ) e g (x ) = x 2 √ f (x ) = x e g (x ) = 1 − x 2
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Composição de funções Propriedades Exemplos:
asso iativa:
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g ) ◦ f
Obter
g ◦f
de nição sendo:
6=
f (g (x )) e g (f (x ) e os
respe tivos domínios naturais de
não omutativa:
f ◦g
1
domínios diferentes:
Dg ◦f = 6 Df ◦g Df ◦g = {x ∈ R : x ∈ Dg ∧ g (x ) ∈ Df }
2
f (x ) = sen(x ) e g (x ) = x 2 √ f (x ) = x e g (x ) = 1 − x 2
Expressar uma função omo a omposição de duas funções Função
g (x )
f (x )
Composição
(x 2 + 1)10
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Composição de funções Propriedades Exemplos:
asso iativa:
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g ) ◦ f
Obter
g ◦f
de nição sendo:
6=
f (g (x )) e g (f (x ) e os
respe tivos domínios naturais de
não omutativa:
f ◦g
1
domínios diferentes:
Dg ◦f = 6 Df ◦g Df ◦g = {x ∈ R : x ∈ Dg ∧ g (x ) ∈ Df }
2
f (x ) = sen(x ) e g (x ) = x 2 √ f (x ) = x e g (x ) = 1 − x 2
Expressar uma função omo a omposição de duas funções Função
(x 2 + 1)10
g (x ) x2 + 1
f (x )
Joana Peres
Composição
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Composição de funções Propriedades Exemplos:
asso iativa:
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g ) ◦ f
Obter
g ◦f
de nição sendo:
6=
f (g (x )) e g (f (x ) e os
respe tivos domínios naturais de
não omutativa:
f ◦g
1
domínios diferentes:
Dg ◦f = 6 Df ◦g Df ◦g = {x ∈ R : x ∈ Dg ∧ g (x ) ∈ Df }
2
f (x ) = sen(x ) e g (x ) = x 2 √ f (x ) = x e g (x ) = 1 − x 2
Expressar uma função omo a omposição de duas funções Função
(x 2 + 1)10
g (x ) x2 + 1
f (x ) x 10
Joana Peres
Composição
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Composição de funções Propriedades Exemplos:
asso iativa:
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g ) ◦ f
Obter
g ◦f
de nição sendo:
6=
f (g (x )) e g (f (x ) e os
respe tivos domínios naturais de
não omutativa:
f ◦g
1
domínios diferentes:
Dg ◦f = 6 Df ◦g Df ◦g = {x ∈ R : x ∈ Dg ∧ g (x ) ∈ Df }
2
f (x ) = sen(x ) e g (x ) = x 2 √ f (x ) = x e g (x ) = 1 − x 2
Expressar uma função omo a omposição de duas funções Função
(x 2 + 1)10
g (x ) x2 + 1
f (x ) x 10
Joana Peres
Composição
(x 2 + 1)10 = f (g (x ))
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Composição de funções Propriedades Exemplos:
asso iativa:
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g ) ◦ f
Obter
g ◦f
de nição sendo:
6=
f (g (x )) e g (f (x ) e os
respe tivos domínios naturais de
não omutativa:
f ◦g
1
domínios diferentes:
Dg ◦f = 6 Df ◦g Df ◦g = {x ∈ R : x ∈ Dg ∧ g (x ) ∈ Df }
2
f (x ) = sen(x ) e g (x ) = x 2 √ f (x ) = x e g (x ) = 1 − x 2
Expressar uma função omo a omposição de duas funções Função
(x 2 + 1)10
g (x ) x2 + 1
f (x ) x 10
Composição
(x 2 + 1)10 = f (g (x ))
sen3 x
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Composição de funções Propriedades Exemplos:
asso iativa:
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g ) ◦ f
Obter
g ◦f
de nição sendo:
6=
f (g (x )) e g (f (x ) e os
respe tivos domínios naturais de
não omutativa:
f ◦g
1
domínios diferentes:
Dg ◦f = 6 Df ◦g Df ◦g = {x ∈ R : x ∈ Dg ∧ g (x ) ∈ Df }
2
f (x ) = sen(x ) e g (x ) = x 2 √ f (x ) = x e g (x ) = 1 − x 2
Expressar uma função omo a omposição de duas funções Função
(x 2 + 1)10
sen3 x
g (x ) x2 + 1
f (x ) x 10
Composição
(x 2 + 1)10 = f (g (x ))
sen x
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Composição de funções Propriedades Exemplos:
asso iativa:
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g ) ◦ f
Obter
g ◦f
de nição sendo:
6=
f (g (x )) e g (f (x ) e os
respe tivos domínios naturais de
não omutativa:
f ◦g
1
domínios diferentes:
Dg ◦f = 6 Df ◦g Df ◦g = {x ∈ R : x ∈ Dg ∧ g (x ) ∈ Df }
2
f (x ) = sen(x ) e g (x ) = x 2 √ f (x ) = x e g (x ) = 1 − x 2
Expressar uma função omo a omposição de duas funções Função
(x 2 + 1)10
sen3 x
g (x ) x2 + 1
f (x ) x 10
sen x
x3
Joana Peres
Composição
(x 2 + 1)10 = f (g (x ))
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Composição de funções Propriedades Exemplos:
asso iativa:
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g ) ◦ f
Obter
g ◦f
de nição sendo:
6=
f (g (x )) e g (f (x ) e os
respe tivos domínios naturais de
não omutativa:
f ◦g
1
domínios diferentes:
Dg ◦f = 6 Df ◦g Df ◦g = {x ∈ R : x ∈ Dg ∧ g (x ) ∈ Df }
2
f (x ) = sen(x ) e g (x ) = x 2 √ f (x ) = x e g (x ) = 1 − x 2
Expressar uma função omo a omposição de duas funções Função
(x 2 + 1)10
sen3 x
g (x ) x2 + 1
f (x ) x 10
sen x
x3
Joana Peres
Composição
(x 2 + 1)10 = f (g (x ))
sen3 x = f (g (x ))
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Composição de funções Propriedades Exemplos:
asso iativa:
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g ) ◦ f
Obter
g ◦f
de nição sendo:
6=
f (g (x )) e g (f (x ) e os
respe tivos domínios naturais de
não omutativa:
f ◦g
1
domínios diferentes:
Dg ◦f = 6 Df ◦g Df ◦g = {x ∈ R : x ∈ Dg ∧ g (x ) ∈ Df }
2
f (x ) = sen(x ) e g (x ) = x 2 √ f (x ) = x e g (x ) = 1 − x 2
Expressar uma função omo a omposição de duas funções Função
(x 2 + 1)10
sen3 x
g (x ) x2 + 1
f (x ) x 10
sen x
x3
Composição
(x 2 + 1)10 = f (g (x ))
sen3 x = f (g (x ))
tan (x 5 )
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Composição de funções Propriedades Exemplos:
asso iativa:
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g ) ◦ f
Obter
g ◦f
de nição sendo:
6=
f (g (x )) e g (f (x ) e os
respe tivos domínios naturais de
não omutativa:
f ◦g
1
domínios diferentes:
Dg ◦f = 6 Df ◦g Df ◦g = {x ∈ R : x ∈ Dg ∧ g (x ) ∈ Df }
2
f (x ) = sen(x ) e g (x ) = x 2 √ f (x ) = x e g (x ) = 1 − x 2
Expressar uma função omo a omposição de duas funções Função
(x 2 + 1)10
sen3 x tan (x 5 )
g (x ) x2 + 1
f (x ) x 10
sen x
x3
Composição
(x 2 + 1)10 = f (g (x ))
sen3 x = f (g (x ))
x5
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Composição de funções Propriedades Exemplos:
asso iativa:
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g ) ◦ f
Obter
g ◦f
de nição sendo:
6=
f (g (x )) e g (f (x ) e os
respe tivos domínios naturais de
não omutativa:
f ◦g
1
domínios diferentes:
Dg ◦f = 6 Df ◦g Df ◦g = {x ∈ R : x ∈ Dg ∧ g (x ) ∈ Df }
2
f (x ) = sen(x ) e g (x ) = x 2 √ f (x ) = x e g (x ) = 1 − x 2
Expressar uma função omo a omposição de duas funções Função
(x 2 + 1)10
sen3 x tan (x 5 )
g (x ) x2 + 1
f (x ) x 10
sen x
x3
x5
tan x
Joana Peres
Composição
(x 2 + 1)10 = f (g (x ))
sen3 x = f (g (x ))
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Composição de funções Propriedades Exemplos:
asso iativa:
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g ) ◦ f
Obter
g ◦f
de nição sendo:
6=
f (g (x )) e g (f (x ) e os
respe tivos domínios naturais de
não omutativa:
f ◦g
1
domínios diferentes:
Dg ◦f = 6 Df ◦g Df ◦g = {x ∈ R : x ∈ Dg ∧ g (x ) ∈ Df }
2
f (x ) = sen(x ) e g (x ) = x 2 √ f (x ) = x e g (x ) = 1 − x 2
Expressar uma função omo a omposição de duas funções Função
(x 2 + 1)10
sen3 x tan (x 5 )
g (x ) x2 + 1
f (x ) x 10
sen x
x3
sen3 x = f (g (x ))
x5
tan x
tan (x 5 ) = f (g (x ))
Joana Peres
Composição
(x 2 + 1)10 = f (g (x ))
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Composição de funções Propriedades Exemplos:
asso iativa:
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g ) ◦ f
Obter
g ◦f
de nição sendo:
6=
f (g (x )) e g (f (x ) e os
respe tivos domínios naturais de
não omutativa:
f ◦g
1
domínios diferentes:
Dg ◦f = 6 Df ◦g Df ◦g = {x ∈ R : x ∈ Dg ∧ g (x ) ∈ Df }
2
f (x ) = sen(x ) e g (x ) = x 2 √ f (x ) = x e g (x ) = 1 − x 2
Expressar uma função omo a omposição de duas funções Função
(x 2 + 1)10
sen3 x tan (x 5 ) √
g (x ) x2 + 1
f (x ) x 10
sen x
x3
sen3 x = f (g (x ))
x5
tan x
tan (x 5 ) = f (g (x ))
Composição
(x 2 + 1)10 = f (g (x ))
4 − 3x
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Composição de funções Propriedades Exemplos:
asso iativa:
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g ) ◦ f
Obter
g ◦f
de nição sendo:
6=
f (g (x )) e g (f (x ) e os
respe tivos domínios naturais de
não omutativa:
f ◦g
1
domínios diferentes:
Dg ◦f = 6 Df ◦g Df ◦g = {x ∈ R : x ∈ Dg ∧ g (x ) ∈ Df }
2
f (x ) = sen(x ) e g (x ) = x 2 √ f (x ) = x e g (x ) = 1 − x 2
Expressar uma função omo a omposição de duas funções
g (x ) x2 + 1
f (x ) x 10
sen x
x3
sen3 x = f (g (x ))
tan (x 5 )
x5
tan x
tan (x 5 ) = f (g (x ))
√
4 − 3x
Função
(x 2 + 1)10
sen3 x
4 − 3x
Joana Peres
Composição
(x 2 + 1)10 = f (g (x ))
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Composição de funções Propriedades Exemplos:
asso iativa:
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g ) ◦ f
Obter
g ◦f
de nição sendo:
6=
f (g (x )) e g (f (x ) e os
respe tivos domínios naturais de
não omutativa:
f ◦g
1
domínios diferentes:
Dg ◦f = 6 Df ◦g Df ◦g = {x ∈ R : x ∈ Dg ∧ g (x ) ∈ Df }
2
f (x ) = sen(x ) e g (x ) = x 2 √ f (x ) = x e g (x ) = 1 − x 2
Expressar uma função omo a omposição de duas funções
g (x ) x2 + 1
f (x ) x 10
sen x
x3
sen3 x = f (g (x ))
tan (x 5 )
x5
tan x
tan (x 5 ) = f (g (x ))
√
4 − 3x
√
Função
(x 2 + 1)10
sen3 x
4 − 3x
Joana Peres
Composição
(x 2 + 1)10 = f (g (x ))
x
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Composição de funções Propriedades Exemplos:
asso iativa:
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g ) ◦ f
Obter
g ◦f
de nição sendo:
6=
f (g (x )) e g (f (x ) e os
respe tivos domínios naturais de
não omutativa:
f ◦g
1
domínios diferentes:
2
Dg ◦f = 6 Df ◦g Df ◦g = {x ∈ R : x ∈ Dg ∧ g (x ) ∈ Df }
f (x ) = sen(x ) e g (x ) = x 2 √ f (x ) = x e g (x ) = 1 − x 2
Expressar uma função omo a omposição de duas funções
g (x ) x2 + 1
f (x ) x 10
sen x
x3
sen3 x = f (g (x ))
tan (x 5 )
x5
tan x
tan (x 5 ) = f (g (x ))
√
4 − 3x
√
√
Função
(x 2 + 1)10
sen3 x
4 − 3x
Joana Peres
x
Composição
(x 2 + 1)10 = f (g (x ))
4 − 3x = f (g (x ))
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Composição de funções Propriedades Exemplos:
asso iativa:
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g ) ◦ f
Obter
g ◦f
de nição sendo:
6=
f (g (x )) e g (f (x ) e os
respe tivos domínios naturais de
não omutativa:
f ◦g
1
domínios diferentes:
2
Dg ◦f = 6 Df ◦g Df ◦g = {x ∈ R : x ∈ Dg ∧ g (x ) ∈ Df }
f (x ) = sen(x ) e g (x ) = x 2 √ f (x ) = x e g (x ) = 1 − x 2
Expressar uma função omo a omposição de duas funções
g (x ) x2 + 1
f (x ) x 10
sen x
x3
sen3 x = f (g (x ))
tan (x 5 )
x5
tan x
tan (x 5 ) = f (g (x ))
√
4 − 3x
√
√
Função
(x 2 + 1)10
sen3 x
4 − 3x
8+
x
Composição
(x 2 + 1)10 = f (g (x ))
4 − 3x = f (g (x ))
√
x Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Composição de funções Propriedades Exemplos:
asso iativa:
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g ) ◦ f
Obter
g ◦f
de nição sendo:
6=
f (g (x )) e g (f (x ) e os
respe tivos domínios naturais de
não omutativa:
f ◦g
1
domínios diferentes:
2
Dg ◦f = 6 Df ◦g Df ◦g = {x ∈ R : x ∈ Dg ∧ g (x ) ∈ Df }
f (x ) = sen(x ) e g (x ) = x 2 √ f (x ) = x e g (x ) = 1 − x 2
Expressar uma função omo a omposição de duas funções
g (x ) x2 + 1
f (x ) x 10
sen x
x3
sen3 x = f (g (x ))
tan (x 5 )
x5
tan x
tan (x 5 ) = f (g (x ))
√
4 − 3x
√
√
Função
(x 2 + 1)10
sen3 x
4 − 3x
8+
√
x
√
x
Composição
(x 2 + 1)10 = f (g (x ))
4 − 3x = f (g (x ))
x
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Composição de funções Propriedades Exemplos:
asso iativa:
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g ) ◦ f
Obter
g ◦f
de nição sendo:
6=
f (g (x )) e g (f (x ) e os
respe tivos domínios naturais de
não omutativa:
f ◦g
1
domínios diferentes:
2
Dg ◦f = 6 Df ◦g Df ◦g = {x ∈ R : x ∈ Dg ∧ g (x ) ∈ Df }
f (x ) = sen(x ) e g (x ) = x 2 √ f (x ) = x e g (x ) = 1 − x 2
Expressar uma função omo a omposição de duas funções
g (x ) x2 + 1
f (x ) x 10
sen x
x3
sen3 x = f (g (x ))
tan (x 5 )
x5
tan x
tan (x 5 ) = f (g (x ))
√
4 − 3x
√
√
√
8+x
Função
(x 2 + 1)10
sen3 x
4 − 3x
8+
√
x
x
Joana Peres
x
Composição
(x 2 + 1)10 = f (g (x ))
4 − 3x = f (g (x ))
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Composição de funções Propriedades Exemplos:
asso iativa:
h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g ) ◦ f
Obter
g ◦f
de nição sendo:
6=
f (g (x )) e g (f (x ) e os
respe tivos domínios naturais de
não omutativa:
f ◦g
f (x ) = sen(x ) e g (x ) = x 2 √ f (x ) = x e g (x ) = 1 − x 2
1
domínios diferentes:
2
Dg ◦f = 6 Df ◦g Df ◦g = {x ∈ R : x ∈ Dg ∧ g (x ) ∈ Df }
Expressar uma função omo a omposição de duas funções
g (x ) x2 + 1
f (x ) x 10
sen x
x3
sen3 x = f (g (x ))
tan (x 5 )
x5
tan x
tan (x 5 ) = f (g (x ))
√
4 − 3x
√
√
√
8+x
Função
(x 2 + 1)10
sen3 x
4 − 3x
8+
√
x
x
Joana Peres
x
Composição
(x 2 + 1)10 = f (g (x ))
4 − 3x = f (g (x ))
8+
√
x
= f (g (x ))
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Translação
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Translação Operação em
y
= f (x )
Adi ção de uma
onstante > 0 a f (x )
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Translação Operação em
Adi ção de uma
onstante > 0 a f (x )
Equação Nova
y
y
= f (x )
= f (x ) +
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Translação Operação em
Adi ção de uma
onstante > 0 a f (x )
Equação Nova
y
y
= f (x )
= f (x ) +
y y
=
x2
x
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Translação Operação em
Adi ção de uma
onstante > 0 a f (x )
Equação Nova
y
y
= f (x )
= f (x ) +
y
y y
= =
x2 + 1 x2
x
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Translação Operação em
Adi ção de uma
onstante > 0 a f (x )
Equação Nova
y
Efeito geométri o
Translação do grá o de f ( x ) de unidades para ima
y
= f (x )
= f (x ) +
y
y y
= =
x2 + 1 x2
x
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Translação Operação em
Adi ção de uma
onstante > 0 a f (x )
Equação Nova
y
Efeito geométri o
Translação do grá o de f ( x ) de unidades para ima
y
= f (x )
= f (x ) +
y
Subtra ção de uma onstante
> 0 a f (x )
y y
= =
x2 + 1 x2
x
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Translação Operação em
Adi ção de uma
onstante > 0 a f (x )
Subtra ção de uma onstante
> 0 a f (x )
Equação Nova
y
y
Efeito geométri o
Translação do grá o de f ( x ) de unidades para ima
y
= f (x )
= f (x ) +
y
y y
= =
= f (x ) −
x2 + 1 x2
x
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Translação Operação em
Adi ção de uma
onstante > 0 a f (x )
Subtra ção de uma onstante
> 0 a f (x )
Equação Nova
y
y
Efeito geométri o
Translação do grá o de f ( x ) de unidades para ima
y
= f (x )
= f (x ) +
y
y
y y
= f (x ) −
=
x2 + 1 x2
=
x2
=
x y
x Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Translação Operação em
Adi ção de uma
onstante > 0 a f (x )
Subtra ção de uma onstante
> 0 a f (x )
Equação Nova
y
y
Efeito geométri o
Translação do grá o de f ( x ) de unidades para ima
y
= f (x )
= f (x ) +
y
y
y y
= =
= f (x ) −
x2 + 1 x2
x y y
= =
x2 x2 − 1
x Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Translação Operação em
Adi ção de uma
onstante > 0 a f (x )
Subtra ção de uma onstante
> 0 a f (x )
Equação Nova
y
y
Efeito geométri o
Translação do grá o de f ( x ) de unidades para ima
y
= f (x )
= f (x ) +
y
y
= f (x ) −
Translação do grá o de f ( x ) de unidades para baixo
y y
= =
x2 + 1 x2
x y y
= =
x2 x2 − 1
x Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Translação Operação em
Adi ção de uma
onstante > 0 a f (x )
Subtra ção de uma onstante
> 0 a f (x )
Equação Nova
y
y
Efeito geométri o
Translação do grá o de f ( x ) de unidades para ima
y
= f (x )
= f (x ) +
y
y
= f (x ) −
Adi ção de uma
onstante > 0 a
x
Translação do grá o de f ( x ) de unidades para baixo
y y
= =
x2 + 1 x2
x y y
= =
x2 x2 − 1
x Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Translação Operação em
Adi ção de uma
onstante > 0 a f (x )
Subtra ção de uma onstante
> 0 a f (x )
Adi ção de uma
onstante > 0 a
Equação Nova
y
y
y
Efeito geométri o
Translação do grá o de f ( x ) de unidades para ima
y
= f (x )
= f (x ) +
y
y
= f (x ) −
x
= f (x + )
Translação do grá o de f ( x ) de unidades para baixo
y y
= =
x2 + 1 x2
x y y
= =
x2 x2 − 1
x Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Translação Operação em
Adi ção de uma
onstante > 0 a f (x )
Subtra ção de uma onstante
> 0 a f (x )
Adi ção de uma
onstante > 0 a
Equação Nova
y
y
y
Efeito geométri o
Translação do grá o de f ( x ) de unidades para ima
y
= f (x )
= f (x ) +
y
= f (x ) −
x
= f (x + )
Translação do grá o de f ( x ) de unidades para baixo
y y
= =
x2 + 1 x2
y
y y
x2
x
x y y
=
= =
x2 x2 − 1
x Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Translação Operação em
Adi ção de uma
onstante > 0 a f (x )
Subtra ção de uma onstante
> 0 a f (x )
Adi ção de uma
onstante > 0 a
Equação Nova
y
y
y
Efeito geométri o
Translação do grá o de f ( x ) de unidades para ima
y
= f (x )
= f (x ) +
y
y
= f (x ) −
x
= f (x + )
Translação do grá o de f ( x ) de unidades para baixo
y y
= =
x2 + 1 x2
y
= ( x + 1) 2
y
=
x2
x
x y y
y
= =
x2 x2 − 1
x Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Translação Operação em
Adi ção de uma
onstante > 0 a f (x )
Subtra ção de uma onstante
> 0 a f (x )
Adi ção de uma
onstante > 0 a
Equação Nova
y
y
y
Efeito geométri o
Translação do grá o de f ( x ) de unidades para ima
y
= f (x )
= f (x ) +
y
y
= f (x ) −
x
Translação do grá o de f ( x ) de unidades para baixo
y y
= =
x2 + 1 x2
Translação do grá o de f ( x ) de
unidades para a esquerda
y
y
= ( x + 1) 2
y
=
x2
x
x y y
= f (x + )
= =
x2 x2 − 1
x Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Translação Operação em
Adi ção de uma
onstante > 0 a f (x )
Subtra ção de uma onstante
> 0 a f (x )
Adi ção de uma
onstante > 0 a
Equação Nova
y
y
y
Efeito geométri o
Translação do grá o de f ( x ) de unidades para ima
y
= f (x )
= f (x ) +
y
y
= f (x ) −
x
Translação do grá o de f ( x ) de unidades para baixo
y y
= =
x2 + 1 x2
Translação do grá o de f ( x ) de
unidades para a esquerda
y
y
= ( x + 1) 2
y
=
x2
x
x y y
= f (x + )
= =
x2 x2 − 1
x Joana Peres
Análise Matemáti a I
Subtra ção de uma onstante
>0ax
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Translação Operação em
Adi ção de uma
onstante > 0 a f (x )
Subtra ção de uma onstante
> 0 a f (x )
Adi ção de uma
onstante > 0 a
Subtra ção de uma onstante
>0ax
Equação Nova
y
y
y
y
Efeito geométri o
Translação do grá o de f ( x ) de unidades para ima
y
= f (x )
= f (x ) +
y
y
= f (x ) −
x
Translação do grá o de f ( x ) de unidades para baixo
y y
= =
x2 + 1 x2
Translação do grá o de f ( x ) de
unidades para a esquerda
y
y
= ( x + 1) 2
y
=
x2
x
x y y
= f (x + )
= =
x2 x2 − 1
x Joana Peres
Análise Matemáti a I
= f (x − )
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Translação Operação em
Adi ção de uma
onstante > 0 a f (x )
Subtra ção de uma onstante
> 0 a f (x )
Adi ção de uma
onstante > 0 a
Subtra ção de uma onstante
>0ax
Equação Nova
y
y
y
y
Efeito geométri o
Translação do grá o de f ( x ) de unidades para ima
y
= f (x )
= f (x ) +
y
y
= f (x ) −
x
Translação do grá o de f ( x ) de unidades para baixo
y y
= =
x2 + 1 x2
Translação do grá o de f ( x ) de
unidades para a esquerda
y
y
= ( x + 1) 2
y
=
x2
x
x y y
= f (x + )
= =
x2 x2 − 1
x Joana Peres
y
y
=
x
Análise Matemáti a I
x2
= f (x − )
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Translação Operação em
Adi ção de uma
onstante > 0 a f (x )
Subtra ção de uma onstante
> 0 a f (x )
Adi ção de uma
onstante > 0 a
Subtra ção de uma onstante
>0ax
Equação Nova
y
y
y
y
Efeito geométri o
Translação do grá o de f ( x ) de unidades para ima
y
= f (x )
= f (x ) +
y
y
= f (x ) −
x
Translação do grá o de f ( x ) de unidades para baixo
y y
= =
x2 + 1 x2
Translação do grá o de f ( x ) de
unidades para a esquerda
y
y
= ( x + 1) 2
y
=
x2
x
x y y
= f (x + )
= =
x2 x2 − 1
x Joana Peres
y
x2
y
=
y
= ( x − 1) 2
x
Análise Matemáti a I
= f (x − )
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Translação Operação em
Adi ção de uma
onstante > 0 a f (x )
Subtra ção de uma onstante
> 0 a f (x )
Adi ção de uma
onstante > 0 a
Subtra ção de uma onstante
>0ax
Equação Nova
y
y
y
y
Efeito geométri o
Translação do grá o de f ( x ) de unidades para ima
y
= f (x )
= f (x ) +
y
y
= f (x ) −
x
Translação do grá o de f ( x ) de unidades para baixo
y y
= =
x2 + 1 x2
Translação do grá o de f ( x ) de
unidades para a esquerda
y
y
= ( x + 1) 2
y
=
x2
x
x y y
= f (x + )
= =
x2 x2 − 1
x Joana Peres
y
x2
y
=
y
= ( x − 1) 2
x
Análise Matemáti a I
= f (x − )
Translação do grá o de f ( x ) de unidades para a direita
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Re exão
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Re exão Operação em
y
= f (x )
Substituição de x por − x
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Re exão Operação em
Substituição de x por − x
Equação Nova
y
y
= f (x )
= f (− x )
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Re exão Operação em
Substituição de x por − x
Equação Nova
y
y
= f (x )
= f (− x )
y
y
=
exp x
x
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Re exão Operação em
Substituição de x por − x
Equação Nova
y
y
= f (x )
= f (− x )
y y
=
exp(− x )
y
=
exp x
x
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Re exão Substituição de x por − x
Operação em
y
= f (x )
Equação Nova
y
= f (− x )
Re exão do grá o de f ( x ) om respeito ao eixo Oy
Efeito geométri o
y y
=
exp(− x )
y
=
exp x
x
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Re exão Substituição de x por − x
Operação em
y
= f (x )
Equação Nova
y
Multipli ação de f ( x ) por -1
= f (− x )
Re exão do grá o de f ( x ) om respeito ao eixo Oy
Efeito geométri o
y y
=
exp(− x )
y
=
exp x
x
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Re exão Operação em
y
= f (x )
Equação Nova
Substituição de x por − x
Multipli ação de f ( x ) por -1
y
y
= f (− x )
= − f (x )
Re exão do grá o de f ( x ) om respeito ao eixo Oy
Efeito geométri o
y y
=
exp(− x )
y
=
exp x
x
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Re exão Operação em
y
= f (x )
Equação Nova
Substituição de x por − x
Multipli ação de f ( x ) por -1
y
y
= f (− x )
= − f (x )
Re exão do grá o de f ( x ) om respeito ao eixo Oy
Efeito geométri o
y
y y
=
exp(− x )
y
=
exp x
x
Joana Peres
Análise Matemáti a I
y
x
=
exp x
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Re exão Operação em
y
= f (x )
Equação Nova
Substituição de x por − x
Multipli ação de f ( x ) por -1
y
y
= f (− x )
= − f (x )
Re exão do grá o de f ( x ) om respeito ao eixo Oy
Efeito geométri o
y
y y
=
exp(− x )
y
=
exp x
Análise Matemáti a I
=
exp x
x
y
x
Joana Peres
y
= − exp x
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Re exão Operação em
y
= f (x )
Equação Nova
Substituição de x por − x
Multipli ação de f ( x ) por -1
y
y
= f (− x )
Re exão do grá o de f ( x ) om respeito ao eixo Oy
Efeito geométri o
= − f (x )
Re exão do grá o de f ( x ) om respeito ao eixo Ox
y
y y
=
exp(− x )
y
=
exp x
Análise Matemáti a I
=
exp x
x
y
x
Joana Peres
y
= − exp x
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Composição Continuidade Translação Re exão Compressão/Expansão
Compressão/Expansão Operação em
y
= f (x )
Equação Nova Efeito geométri o
Multipli ação de uma onstante 0 < < 1 por
f (x ) y = f (x )
Multipli ação de uma onstante
> 1 por f ( x )
Multipli ação de uma onstante 0 < < 1 por x
Multipli ação de uma onstante
> 1 por x
y
y
y
Compressão do grá o de f ( x ) na dire ção do eixo Oy
Expansão do grá o de f ( x ) na dire ção do eixo Oy
=
f (x )
= f ( x )
Expansão do grá o de f ( x ) na dire ção do eixo Ox
= f ( x )
Compressão do grá o de f ( x ) na dire ção do eixo Ox
y
y y
=
os x
y
=
1/ 2 os x
y x y
x
=
os x
=
os x / 2
=
os x
=
os 2x
y y
=
y
2 os x
y x
=
os x
Joana Peres
y x y
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites FunçãoContinuidade Periódi a Par/Ímpar
Testes de simetria TEOREMA (Testes de simetria)
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites FunçãoContinuidade Periódi a Par/Ímpar
Testes de simetria TEOREMA (Testes de simetria) (a) Uma urva plana é simétri a relativamente ao eixo dos equação equivalente ao substituirmos
x
por
Joana Peres
−x
y
se e só se obtivermos uma
na equação da urva.
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites FunçãoContinuidade Periódi a Par/Ímpar
Testes de simetria TEOREMA (Testes de simetria) (a) Uma urva plana é simétri a relativamente ao eixo dos equação equivalente ao substituirmos
x
por
−x
y
se e só se obtivermos uma
na equação da urva.
y (− x , y )
(x , y )
x
simétri a em relação a Oy
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites FunçãoContinuidade Periódi a Par/Ímpar
Testes de simetria TEOREMA (Testes de simetria) (a) Uma urva plana é simétri a relativamente ao eixo dos equação equivalente ao substituirmos
x
por
−x
(b) Uma urva plana é simétri a relativamente ao eixo dos equação equivalente ao substituirmos
y
por
−y
y
se e só se obtivermos uma
x
se e só se obtivermos uma
na equação da urva.
na equação da urva.
y (− x , y )
(x , y )
x
simétri a em relação a Oy
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites FunçãoContinuidade Periódi a Par/Ímpar
Testes de simetria TEOREMA (Testes de simetria) (a) Uma urva plana é simétri a relativamente ao eixo dos equação equivalente ao substituirmos
x
por
−x
(b) Uma urva plana é simétri a relativamente ao eixo dos equação equivalente ao substituirmos
y (− x , y )
y
por
−y
y
se e só se obtivermos uma
x
se e só se obtivermos uma
na equação da urva.
na equação da urva.
y (x , y )
(x , y )
x
x (x , − y )
simétri a em relação a Oy
simétri a em relação a Ox
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites FunçãoContinuidade Periódi a Par/Ímpar
Testes de simetria TEOREMA (Testes de simetria) (a) Uma urva plana é simétri a relativamente ao eixo dos
x
equação equivalente ao substituirmos
por
−x
(b) Uma urva plana é simétri a relativamente ao eixo dos
y
equação equivalente ao substituirmos
por
−y
y
se e só se obtivermos uma
x
se e só se obtivermos uma
na equação da urva.
na equação da urva.
( ) Uma urva plana é simétri a relativamente à origem se e só se obtivermos uma equação equivalente se substituirmos
y (− x , y )
x
por
−x
e
y
por
−y
na equação da urva.
y (x , y )
(x , y )
x
x (x , − y )
simétri a em relação a Oy
simétri a em relação a Ox
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites FunçãoContinuidade Periódi a Par/Ímpar
Testes de simetria TEOREMA (Testes de simetria) (a) Uma urva plana é simétri a relativamente ao eixo dos
x
equação equivalente ao substituirmos
por
−x
(b) Uma urva plana é simétri a relativamente ao eixo dos
y
equação equivalente ao substituirmos
por
−y
y
se e só se obtivermos uma
x
se e só se obtivermos uma
na equação da urva.
na equação da urva.
( ) Uma urva plana é simétri a relativamente à origem se e só se obtivermos uma equação equivalente se substituirmos
y
x
por
−x
e
y
por
−y
na equação da urva.
y
y
(x , y ) (− x , y )
(x , y )
(x , y )
x
x
x (x , − y ) (− x , − y )
simétri a em relação a Oy
simétri a em relação a Ox
Joana Peres
simétri a em relação à origem
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites FunçãoContinuidade Periódi a Par/Ímpar
Função Periódi a
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites FunçãoContinuidade Periódi a Par/Ímpar
Função Periódi a
f (x ) diz-se periódi a se ∀x ∈ R, e se existir um número
De nição Uma função estiver de nida positivo
p
tal que:
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites FunçãoContinuidade Periódi a Par/Ímpar
Função Periódi a
f (x ) diz-se periódi a se ∀x ∈ R, e se existir um número
De nição Uma função estiver de nida positivo
p tal que: f (x + p ) = f (x )
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites FunçãoContinuidade Periódi a Par/Ímpar
Função Periódi a
f (x ) diz-se periódi a se ∀x ∈ R, e se existir um número
De nição Uma função estiver de nida
p tal que: f (x + p ) = f (x ) O número positivo p é designado por período de f (x ). positivo
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites FunçãoContinuidade Periódi a Par/Ímpar
Função Periódi a
f (x ) diz-se periódi a se ∀x ∈ R, e se existir um número
De nição Uma função estiver de nida
p tal que: f (x + p ) = f (x ) O número positivo p é designado por período de f (x ). positivo
O grá o de uma função periódi a pode ser obtido por repetição periódi a do seu grá o em qualquer intervalo de omprimento
y
p.
x p
p
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites FunçãoContinuidade Periódi a Par/Ímpar
Função Periódi a
f (x ) diz-se periódi a se ∀x ∈ R, e se existir um número
De nição Uma função estiver de nida
p tal que: f (x + p ) = f (x ) O número positivo p é designado por período de f (x ). positivo
Exemplos de funções periódi as:
f (x ) = sen x f (x ) = os x f (x ) =
O grá o de uma função periódi a pode ser obtido por repetição periódi a do seu grá o em qualquer intervalo de omprimento
y
p.
x p
p
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites FunçãoContinuidade Periódi a Par/Ímpar
Função Periódi a
f (x ) diz-se periódi a se ∀x ∈ R, e se existir um número
De nição Uma função estiver de nida
p tal que: f (x + p ) = f (x ) O número positivo p é designado por período de f (x ). positivo
Exemplos de funções periódi as:
f (x ) = sen x f (x ) = os x f (x ) = Exemplos de funções não periódi as:
f (x ) = x 2 f (x ) = e x f (x ) = log x
O grá o de uma função periódi a pode ser obtido por repetição periódi a do seu grá o em qualquer intervalo de omprimento
y
p.
x p
p
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites FunçãoContinuidade Periódi a Par/Ímpar
Função Periódi a
f (x ) diz-se periódi a se ∀x ∈ R, e se existir um número
De nição Uma função estiver de nida
p tal que: f (x + p ) = f (x ) O número positivo p é designado por período de f (x ). positivo
O grá o de uma função periódi a pode ser obtido por repetição periódi a do seu grá o em qualquer intervalo de omprimento
y
p.
Exemplos de funções periódi as:
f (x ) = sen x f (x ) = os x f (x ) = Exemplos de funções não periódi as:
f (x ) = x 2 f (x ) = e x f (x ) = log x
p > 0 for um período da função f (x ), np ∈ N ) será ainda um período da mesma função, isto é, f (x + np ) = f (x ), ∀x ∈ R, ∀n ∈ N . Se
n
(
x p
p
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites FunçãoContinuidade Periódi a Par/Ímpar
Função Periódi a
f (x ) diz-se periódi a se ∀x ∈ R, e se existir um número
De nição Uma função estiver de nida
p tal que: f (x + p ) = f (x ) O número positivo p é designado por período de f (x ). positivo
O grá o de uma função periódi a pode ser obtido por repetição periódi a do seu grá o em qualquer intervalo de omprimento
y
p.
Exemplos de funções periódi as:
f (x ) = sen x f (x ) = os x f (x ) = Exemplos de funções não periódi as:
f (x ) = x 2 f (x ) = e x f (x ) = log x
p > 0 for um período da função f (x ), np ∈ N ) será ainda um período da mesma função, isto é, f (x + np ) = f (x ), ∀x ∈ R, ∀n ∈ N . Se
n
(
Designa-se por período primitivo duma função o menor período
p > 0 dessa função.
x p
p
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites FunçãoContinuidade Periódi a Par/Ímpar
Função Periódi a
f (x ) diz-se periódi a se ∀x ∈ R, e se existir um número
De nição Uma função estiver de nida
p tal que: f (x + p ) = f (x ) O número positivo p é designado por período de f (x ). positivo
O grá o de uma função periódi a pode ser obtido por repetição periódi a do seu grá o em qualquer intervalo de omprimento
y
p.
Exemplos de funções periódi as:
f (x ) = sen x f (x ) = os x f (x ) = Exemplos de funções não periódi as:
f (x ) = x 2 f (x ) = e x f (x ) = log x
p > 0 for um período da função f (x ), np ∈ N ) será ainda um período da mesma função, isto é, f (x + np ) = f (x ), ∀x ∈ R, ∀n ∈ N . Se
n
(
Designa-se por período primitivo duma função o menor período
p > 0 dessa função.
Funções sem período primitivo:
f (x ) = x p
algumas funções periódi as des ontínuas
p
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Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites FunçãoContinuidade Periódi a Par/Ímpar
Função Periódi a
f (x ) diz-se periódi a se ∀x ∈ R, e se existir um número
De nição Uma função estiver de nida
p tal que: f (x + p ) = f (x ) O número positivo p é designado por período de f (x ). positivo
O grá o de uma função periódi a pode ser obtido por repetição periódi a do seu grá o em qualquer intervalo de omprimento
y
p.
Exemplos de funções periódi as:
f (x ) = sen x f (x ) = os x f (x ) = Exemplos de funções não periódi as:
f (x ) = x 2 f (x ) = e x f (x ) = log x
p > 0 for um período da função f (x ), np ∈ N ) será ainda um período da mesma função, isto é, f (x + np ) = f (x ), ∀x ∈ R, ∀n ∈ N . Se
n
(
Designa-se por período primitivo duma função o menor período
p > 0 dessa função.
Funções sem período primitivo:
f (x ) = x
algumas funções periódi as des ontínuas
Nota: Em liguagem orrente
p
p
período duma função
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≡
período primitivo da função
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Função periódi a - Teoremas
Teorema Se
f (x ) e g (x ) forem funções periódi as de períodos pf
>0
respe tivamente, então a função
e
pg
> 0,
h (x ) = a f (x ) + b g (x ), a e b são duas onstantes quaisquer, é também uma função periódi a, de período p = m .m . .(pf , pg )
em que
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Função periódi a - Teoremas
Teorema Se
f (x ) e g (x ) forem funções periódi as de períodos pf
>0
e
respe tivamente, então a função
pg
> 0,
h (x ) = a f (x ) + b g (x ), a e b são duas onstantes quaisquer, é também uma função periódi a, de período p = m .m . .(pf , pg )
em que
Teorema Se (i) (ii)
f (x ) for função periódi a de período p , então:
p
| f (x / ), em que 6= 0, é uma função periódi a de período | | p f ( x ), em que 6= 0, é uma função periódi a de período
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|
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Função periódi a - Teoremas
Teorema Se
f (x ) e g (x ) forem funções periódi as de períodos pf
>0
e
respe tivamente, então a função
pg
> 0,
h (x ) = a f (x ) + b g (x ), a e b são duas onstantes quaisquer, é também uma função periódi a, de período p = m .m . .(pf , pg )
em que
Teorema Se (i) (ii)
f (x ) for função periódi a de período p , então:
p
| f (x / ), em que 6= 0, é uma função periódi a de período | | p f ( x ), em que 6= 0, é uma função periódi a de período
Exemplo Sabendo que o período primitivo das funções primitivo da função
h (x ) = sen 2x +
1
os x /2? 6
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sen x
e
|
os x
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é
2π,
qual será o período
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Função Par/Ímpar De nição
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Função Par/Ímpar De nição A função
f (x ) diz-se uma função par se
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Função Par/Ímpar De nição
f (x ) diz-se uma função par se f (−x ) = f (x ), ∀x ∈ Df
A função
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Função Par/Ímpar De nição
f (x ) diz-se uma função par se f (−x ) = f (x ), ∀x ∈ Df y
A função
f (−x )
−x
f (x )
x
x
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Função Par/Ímpar De nição
f (x ) diz-se uma função par se f (−x ) = f (x ), ∀x ∈ Df y
A função
f (−x )
−x
f (x )
x
x
Grá o duma função par pois f (− x ) = f ( x ) (simétri o em relação a Oy)
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Função Par/Ímpar De nição
f (x ) diz-se uma função par se f (−x ) = f (x ), ∀x ∈ Df y
A função
f (−x )
−x
f (x )
x
x
Grá o duma função par pois f (− x ) = f ( x ) (simétri o em relação a Oy) Exemplos de funções pares
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Função Par/Ímpar De nição
f (x ) diz-se uma função par se f (−x ) = f (x ), ∀x ∈ Df y
A função
f (−x )
−x
f (x )
x
x
Grá o duma função par pois f (− x ) = f ( x ) (simétri o em relação a Oy) Exemplos de funções pares
f (x ) = f (x ) = x 2
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Função Par/Ímpar De nição
f (x ) diz-se uma função par se f (−x ) = f (x ), ∀x ∈ Df y
A função
f (−x )
−x
f (x )
x
x
Grá o duma função par pois f (− x ) = f ( x ) (simétri o em relação a Oy) Exemplos de funções pares
f (x ) = f (x ) = x 2 f (x ) = x 4 f (x ) = os x
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Função Par/Ímpar De nição
f (x ) diz-se uma função par se f (−x ) = f (x ), ∀x ∈ Df y
A função
f (−x )
−x
A função
f (x ) diz-se uma função ímpar se
f (x )
x
x
Grá o duma função par pois f (− x ) = f ( x ) (simétri o em relação a Oy) Exemplos de funções pares
f (x ) = f (x ) = x 2 f (x ) = x 4 f (x ) = os x
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Função Par/Ímpar De nição
f (x ) diz-se uma função par se f (−x ) = f (x ), ∀x ∈ Df y
A função
f (−x )
−x
f (x ) diz-se uma função ímpar se f (−x ) = −f (x ), ∀x ∈ Df
A função
f (x )
x
x
Grá o duma função par pois f (− x ) = f ( x ) (simétri o em relação a Oy) Exemplos de funções pares
f (x ) = f (x ) = x 2 f (x ) = x 4 f (x ) = os x
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Função Par/Ímpar De nição
f (x ) diz-se uma função par se f (−x ) = f (x ), ∀x ∈ Df y
A função
f (x ) diz-se uma função ímpar se f (−x ) = −f (x ), ∀x ∈ Df y
A função
f (x )
−x f (−x )
−x
f (x )
x
f (−x )
x
Grá o duma função par pois f (− x ) = f ( x ) (simétri o em relação a Oy) Exemplos de funções pares
f (x ) = f (x ) = x 2 f (x ) = x 4 f (x ) = os x
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x
x
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Função Par/Ímpar De nição
f (x ) diz-se uma função par se f (−x ) = f (x ), ∀x ∈ Df y
A função
f (x ) diz-se uma função ímpar se f (−x ) = −f (x ), ∀x ∈ Df y
A função
f (x )
−x f (−x )
−x
f (x )
x
x
x
f (−x )
x
Grá o duma função par pois f (− x ) = f ( x )
Grá o duma função ímpar pois f (− x ) = − f ( x )
(simétri o em relação a Oy) Exemplos de funções pares
f (x ) = f (x ) = x 2 f (x ) = x 4 f (x ) = os x
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Função Par/Ímpar De nição
f (x ) diz-se uma função par se f (−x ) = f (x ), ∀x ∈ Df y
A função
f (x ) diz-se uma função ímpar se f (−x ) = −f (x ), ∀x ∈ Df y
A função
f (x )
−x f (−x )
−x
f (x )
x
x
x
f (−x )
x
Grá o duma função par pois f (− x ) = f ( x )
Grá o duma função ímpar pois f (− x ) = − f ( x )
(simétri o em relação a Oy)
(simétri o em relação à origem)
Exemplos de funções pares
f (x ) = f (x ) = x 2 f (x ) = x 4 f (x ) = os x
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Função Par/Ímpar De nição
f (x ) diz-se uma função par se f (−x ) = f (x ), ∀x ∈ Df y
A função
f (x ) diz-se uma função ímpar se f (−x ) = −f (x ), ∀x ∈ Df y
A função
f (x )
−x f (−x )
−x
f (x )
x
x
x
f (−x )
x
Grá o duma função par pois f (− x ) = f ( x )
Grá o duma função ímpar pois f (− x ) = − f ( x )
(simétri o em relação a Oy)
(simétri o em relação à origem)
Exemplos de funções pares
Exemplos de funções ímpares
f (x ) = f (x ) = x 2 f (x ) = x 4 f (x ) = os x
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Função Par/Ímpar De nição
f (x ) diz-se uma função par se f (−x ) = f (x ), ∀x ∈ Df y
A função
f (x ) diz-se uma função ímpar se f (−x ) = −f (x ), ∀x ∈ Df y
A função
f (x )
−x f (−x )
−x
f (x )
x
x
x
f (−x )
x
Grá o duma função par pois f (− x ) = f ( x )
Grá o duma função ímpar pois f (− x ) = − f ( x )
(simétri o em relação a Oy)
(simétri o em relação à origem)
Exemplos de funções pares
Exemplos de funções ímpares
f (x ) = f (x ) = x 2 f (x ) = x 4
f (x ) = x f (x ) = x 3
f (x ) = os x
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites FunçãoContinuidade Periódi a Par/Ímpar
Função Par/Ímpar De nição
f (x ) diz-se uma função par se f (−x ) = f (x ), ∀x ∈ Df y
A função
f (x ) diz-se uma função ímpar se f (−x ) = −f (x ), ∀x ∈ Df y
A função
f (x )
−x f (−x )
−x
f (x )
x
x
x
f (−x )
x
Grá o duma função par pois f (− x ) = f ( x )
Grá o duma função ímpar pois f (− x ) = − f ( x )
(simétri o em relação a Oy)
(simétri o em relação à origem)
Exemplos de funções pares
Exemplos de funções ímpares
f (x ) = f (x ) = x 2
f (x ) = x f (x ) = x 3
f (x ) = x 4
f (x ) = x 5 f (x ) = sen x
f (x ) = os x
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites FunçãoContinuidade Periódi a Par/Ímpar
Função Par/Ímpar De nição
f (x ) diz-se uma função par se f (−x ) = f (x ), ∀x ∈ Df y
A função
f (x ) diz-se uma função ímpar se f (−x ) = −f (x ), ∀x ∈ Df y
A função
f (x )
−x f (−x )
f (x )
x
−x
x
x
f (−x )
x
Grá o duma função par pois f (− x ) = f ( x )
Grá o duma função ímpar pois f (− x ) = − f ( x )
(simétri o em relação a Oy)
(simétri o em relação à origem)
Exemplos de funções pares
Exemplos de funções ímpares
f (x ) = f (x ) = x 2
f (x ) = x f (x ) = x 3
f (x ) = x 4
f (x ) = x 5 f (x ) = sen x
f (x ) = os x
Nota: O domínio Df , em qualquer dos asos, é sempre entrado na origem, por exemplo [− a , a ] ou ] − a , a [,
podendo ser R. Joana Peres
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Função par/ímpar - Teoremas
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Função par/ímpar - Teoremas Teorema Se
f (x ) e g (x ) forem funções pares, então as funções f (x ) + g (x ), f (x ) g (x ) e
também são funções pares.
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f (x ) g (x )
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites FunçãoContinuidade Periódi a Par/Ímpar
Função par/ímpar - Teoremas Teorema Se
f (x ) e g (x ) forem funções pares, então as funções f (x ) + g (x ), f (x ) g (x ) e
também são funções pares.
f (x ) g (x )
f (x ) e g (x ) forem funções ímpares, então a função f (x ) + g (x ) também é ímpar mas f (x ) são pares. as funções f (x ) g (x ) e g (x )
Se
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites FunçãoContinuidade Periódi a Par/Ímpar
Função par/ímpar - Teoremas Teorema Se
f (x ) e g (x ) forem funções pares, então as funções f (x ) + g (x ), f (x ) g (x ) e
também são funções pares.
f (x ) g (x )
f (x ) e g (x ) forem funções ímpares, então a função f (x ) + g (x ) também é ímpar mas f (x ) são pares. as funções f (x ) g (x ) e g (x ) Se f (x ) for uma função par e g (x ) for uma função ímpar, então as funções f (x ) g (x ) e f (x ) são funções ímpares. g (x ) Se
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites FunçãoContinuidade Periódi a Par/Ímpar
Função par/ímpar - Teoremas Teorema Se
f (x ) e g (x ) forem funções pares, então as funções f (x ) + g (x ), f (x ) g (x ) e
também são funções pares.
f (x ) g (x )
f (x ) e g (x ) forem funções ímpares, então a função f (x ) + g (x ) também é ímpar mas f (x ) são pares. as funções f (x ) g (x ) e g (x ) Se f (x ) for uma função par e g (x ) for uma função ímpar, então as funções f (x ) g (x ) e f (x ) são funções ímpares. g (x ) Se
Teorema Se
f (x ) for uma função par ou uma função ímpar, as funções | f (x ) | e (f (x ))2
funções pares.
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são
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Função par/ímpar - Teoremas Teorema Se
f (x ) e g (x ) forem funções pares, então as funções f (x ) + g (x ), f (x ) g (x ) e
também são funções pares.
f (x ) g (x )
f (x ) e g (x ) forem funções ímpares, então a função f (x ) + g (x ) também é ímpar mas f (x ) são pares. as funções f (x ) g (x ) e g (x ) Se f (x ) for uma função par e g (x ) for uma função ímpar, então as funções f (x ) g (x ) e f (x ) são funções ímpares. g (x ) Se
Teorema Se
f (x ) for uma função par ou uma função ímpar, as funções | f (x ) | e (f (x ))2
são
funções pares.
Exemplo Veri que se as funções seguintes são funções pares, ímpares ou nem uma oisa nem outra, justi ando a sua opção:
1
f (x ) =| x 3 |
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Função par/ímpar - Teoremas Teorema Se
f (x ) e g (x ) forem funções pares, então as funções f (x ) + g (x ), f (x ) g (x ) e
também são funções pares.
f (x ) g (x )
f (x ) e g (x ) forem funções ímpares, então a função f (x ) + g (x ) também é ímpar mas f (x ) são pares. as funções f (x ) g (x ) e g (x ) Se f (x ) for uma função par e g (x ) for uma função ímpar, então as funções f (x ) g (x ) e f (x ) são funções ímpares. g (x ) Se
Teorema Se
f (x ) for uma função par ou uma função ímpar, as funções | f (x ) | e (f (x ))2
são
funções pares.
Exemplo Veri que se as funções seguintes são funções pares, ímpares ou nem uma oisa nem outra, justi ando a sua opção:
1 2
f (x ) =| x 3 | f (x ) = x os 3x
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Função par/ímpar - Teoremas Teorema Se
f (x ) e g (x ) forem funções pares, então as funções f (x ) + g (x ), f (x ) g (x ) e
também são funções pares.
f (x ) g (x )
f (x ) e g (x ) forem funções ímpares, então a função f (x ) + g (x ) também é ímpar mas f (x ) são pares. as funções f (x ) g (x ) e g (x ) Se f (x ) for uma função par e g (x ) for uma função ímpar, então as funções f (x ) g (x ) e f (x ) são funções ímpares. g (x ) Se
Teorema Se
f (x ) for uma função par ou uma função ímpar, as funções | f (x ) | e (f (x ))2
são
funções pares.
Exemplo Veri que se as funções seguintes são funções pares, ímpares ou nem uma oisa nem outra, justi ando a sua opção:
1 2 3 4 5
f (x ) =| x 3 | f (x ) = x os 3x f (x ) = x 2 sen 4x f (x ) = sen x + os x f (x ) = x | x | Joana Peres
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Polinomiais
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Polinomiais De nição Chamamos função polinomial a qualquer função da forma seguinte:
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Polinomiais De nição Chamamos função polinomial a qualquer função da forma seguinte:
f (x ) = an x n + an −1 x n −1 + · · · + a2 x 2 + a1 x + a0 em que os oe ientes an , an −1 , · · · , a2 , a1 , a0 são números reais om an n ∈ Z+ 0 é o grau do polinómio.
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6= 0
e em que
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Polinomiais De nição Chamamos função polinomial a qualquer função da forma seguinte:
f (x ) = an x n + an −1 x n −1 + · · · + a2 x 2 + a1 x + a0 em que os oe ientes an , an −1 , · · · , a2 , a1 , a0 são números reais om an n ∈ Z+ 0 é o grau do polinómio.
6= 0
e em que
As funções polinomiais são pois somas de múltiplos onstantes de potên ias de expoente ( ) = p om ∈ Z+ 0
inteiro não-negativo, isto é, funções do tipo
f x
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x
p
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Polinomiais De nição Chamamos função polinomial a qualquer função da forma seguinte:
f (x ) = an x n + an −1 x n −1 + · · · + a2 x 2 + a1 x + a0 em que os oe ientes an , an −1 , · · · , a2 , a1 , a0 são números reais om an n ∈ Z+ 0 é o grau do polinómio.
6= 0
e em que
As funções polinomiais são pois somas de múltiplos onstantes de potên ias de expoente ( ) = p om ∈ Z+ 0
inteiro não-negativo, isto é, funções do tipo
f x
x
p
y
x6
2 x4 x
1
x
1 −1
Grá os de f ( x ) = x 2k om k ∈ N Joana Peres
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Polinomiais De nição Chamamos função polinomial a qualquer função da forma seguinte:
f (x ) = an x n + an −1 x n −1 + · · · + a2 x 2 + a1 x + a0 em que os oe ientes an , an −1 , · · · , a2 , a1 , a0 são números reais om an n ∈ Z+ 0 é o grau do polinómio.
6= 0
e em que
As funções polinomiais são pois somas de múltiplos onstantes de potên ias de expoente ( ) = p om ∈ Z+ 0
inteiro não-negativo, isto é, funções do tipo
f x
x
p
y
x6
y
2 x4 x
x7
x5
x3
1 −1
1 1 −1
x
−1
1
x
Grá os de f ( x ) = x 2k om k ∈ N Joana Peres
Grá os de f ( x ) = x 2k +1 om k ∈ N Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Ra ionais
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Ra ionais De nição Chamamos função ra ional a qualquer função da forma seguinte:
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Ra ionais De nição Chamamos função ra ional a qualquer função da forma seguinte:
f (x ) = pq ((xx )) em que
p (x ) e q (x ) são duas funções polinomiais quaisquer, om q (x ) 6= 0
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Ra ionais De nição Chamamos função ra ional a qualquer função da forma seguinte:
f (x ) = pq ((xx )) em que
p (x ) e q (x ) são duas funções polinomiais quaisquer, om q (x ) 6= 0
Algumas onsiderações:
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Ra ionais De nição Chamamos função ra ional a qualquer função da forma seguinte:
f (x ) = pq ((xx )) em que
p (x ) e q (x ) são duas funções polinomiais quaisquer, om q (x ) 6= 0
Algumas onsiderações: Contrariamente aos polinómios ujos grá os são urvas ontínuas, os grá os de funções polinomiais apresentam des ontinuidades nos pontos onde
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q (x ) = 0
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Funções Ra ionais De nição Chamamos função ra ional a qualquer função da forma seguinte:
f (x ) = pq ((xx )) em que
p (x ) e q (x ) são duas funções polinomiais quaisquer, om q (x ) 6= 0
Algumas onsiderações: Contrariamente aos polinómios ujos grá os são urvas ontínuas, os grá os de funções polinomiais apresentam des ontinuidades nos pontos onde pontos onde
q (x ) = 0
q (x ) = 0 (zeros do denominador também hamados de pólos da f (x )
função ra ional) não fazem parte do domínio natural da função
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Ra ionais De nição Chamamos função ra ional a qualquer função da forma seguinte:
f (x ) = pq ((xx )) em que
p (x ) e q (x ) são duas funções polinomiais quaisquer, om q (x ) 6= 0
Algumas onsiderações: Contrariamente aos polinómios ujos grá os são urvas ontínuas, os grá os de funções polinomiais apresentam des ontinuidades nos pontos onde
q (x ) = 0
q (x ) = 0 (zeros do denominador também hamados de pólos da f (x ) se nestes pontos não se anular também o numerador p (x ) o grá o de f (x ) pontos onde
função ra ional) não fazem parte do domínio natural da função
apresentará aí uma assímptota verti al.
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Ra ionais De nição Chamamos função ra ional a qualquer função da forma seguinte:
f (x ) = pq ((xx )) em que
p (x ) e q (x ) são duas funções polinomiais quaisquer, om q (x ) 6= 0
Algumas onsiderações: Contrariamente aos polinómios ujos grá os são urvas ontínuas, os grá os de funções polinomiais apresentam des ontinuidades nos pontos onde
q (x ) = 0
q (x ) = 0 (zeros do denominador também hamados de pólos da f (x ) se nestes pontos não se anular também o numerador p (x ) o grá o de f (x ) pontos onde
função ra ional) não fazem parte do domínio natural da função
apresentará aí uma assímptota verti al.
p (x )] ≤ grau[q (x )] o grá o de f (x ) apresentará uma assímptota
se o grau[ horizontal
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Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Ra ionais De nição Chamamos função ra ional a qualquer função da forma seguinte:
f (x ) = pq ((xx )) em que
p (x ) e q (x ) são duas funções polinomiais quaisquer, om q (x ) 6= 0
Algumas onsiderações: Contrariamente aos polinómios ujos grá os são urvas ontínuas, os grá os de funções polinomiais apresentam des ontinuidades nos pontos onde
q (x ) = 0
q (x ) = 0 (zeros do denominador também hamados de pólos da f (x ) se nestes pontos não se anular também o numerador p (x ) o grá o de f (x ) pontos onde
função ra ional) não fazem parte do domínio natural da função
apresentará aí uma assímptota verti al.
p (x )] ≤ grau[q (x )] o grá o de f (x ) apresentará uma assímptota
se o grau[ horizontal
p (x )] ≤ grau[q (x )] + 1 o grá o de f (x ) apresentará uma assímptota
se o grau[ oblíqua
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Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Ra ionais - Exemplos
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Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Ra ionais - Exemplos
Assímptotas horizontal e verti al
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Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Ra ionais - Exemplos
Assímptotas horizontal e verti al
y
x
Grá o de
2 2 f (x ) = xx 2 + −1
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Ra ionais - Exemplos
Assímptotas horizontal e verti al
Assímptota oblíqua
y
x
Grá o de
2 2 f (x ) = xx 2 + −1
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Ra ionais - Exemplos
Assímptotas horizontal e verti al
Assímptota oblíqua
y
y
x
Grá o de
2 2 f (x ) = xx 2 + −1
Joana Peres
x
f (x ) = x +x 0.5 2
Grá o de
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Ra ionais - Exemplos mais simples
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Ra ionais - Exemplos mais simples Ex luindo o aso
q (x ) = 1, os exemplos mais simples de funções ra ionais, são as potên ias de f (x ) = x −p om p ∈ N
expoente inteiro negativo, isto é, funções do tipo
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Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Ra ionais - Exemplos mais simples Ex luindo o aso
q (x ) = 1, os exemplos mais simples de funções ra ionais, são as potên ias de f (x ) = x −p om p ∈ N
expoente inteiro negativo, isto é, funções do tipo
y
x −6
1
x −2 −1 Grá os de
x −4 x
1
f ( x ) = x − 2k
om
k
∈N
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Ra ionais - Exemplos mais simples Ex luindo o aso
q (x ) = 1, os exemplos mais simples de funções ra ionais, são as potên ias de f (x ) = x −p om p ∈ N
expoente inteiro negativo, isto é, funções do tipo
y
y
x −5
x −1
1
x −6
x −3 x
−1
1 −1
1
x −2 −1 Grá os de
x −4 x
1
f ( x ) = x − 2k
om
k
∈N
Joana Peres
Grá os de
f (x ) = x −(2k −1)
Análise Matemáti a I
om
k
∈N
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Irra ionais
De nição
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Irra ionais
De nição Chamamos
função irra ional
a qualquer função uja fórmula ou expressão de
de nição pode ser onstruída utilizando a operação de
radi iação
(ou elevação a um
expoente fra
ionário) apli ada a polinómios e fra ções ra ionais, para além das quatro operações bási as já onsideradas na de nição das funções ra ionais.
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Irra ionais
De nição Chamamos
função irra ional
a qualquer função uja fórmula ou expressão de
de nição pode ser onstruída utilizando a operação de
radi iação
(ou elevação a um
expoente fra
ionário) apli ada a polinómios e fra ções ra ionais, para além das quatro operações bási as já onsideradas na de nição das funções ra ionais. Exemplos:
√
f (x ) = x 2 − 4
f (x ) = 3 √3 x (2 + x )
Joana Peres
f (x ) = x 2/3 (x + 2)2
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Irra ionais
De nição Chamamos
função irra ional
a qualquer função uja fórmula ou expressão de
de nição pode ser onstruída utilizando a operação de
radi iação
(ou elevação a um
expoente fra
ionário) apli ada a polinómios e fra ções ra ionais, para além das quatro operações bási as já onsideradas na de nição das funções ra ionais. Exemplos:
√
f (x ) = x 2 − 4
f (x ) = 3 √3 x (2 + x )
f (x ) = x 2/3 (x + 2)2
Duas onsiderações:
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Irra ionais
De nição Chamamos
função irra ional
a qualquer função uja fórmula ou expressão de
de nição pode ser onstruída utilizando a operação de
radi iação
(ou elevação a um
expoente fra
ionário) apli ada a polinómios e fra ções ra ionais, para além das quatro operações bási as já onsideradas na de nição das funções ra ionais. Exemplos:
√
f (x ) = x 2 − 4
f (x ) = 3 √3 x (2 + x )
f (x ) = x 2/3 (x + 2)2
Duas onsiderações: O fa to de as raízes de índi e par de números negativos não terem qualquer signi ado em
R
re e te-se no domínio de de nição de algumas funções
irra ionais
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Irra ionais
De nição Chamamos
função irra ional
a qualquer função uja fórmula ou expressão de
de nição pode ser onstruída utilizando a operação de
radi iação
(ou elevação a um
expoente fra
ionário) apli ada a polinómios e fra ções ra ionais, para além das quatro operações bási as já onsideradas na de nição das funções ra ionais. Exemplos:
√
f (x ) = x 2 − 4
f (x ) = 3 √3 x (2 + x )
f (x ) = x 2/3 (x + 2)2
Duas onsiderações: O fa to de as raízes de índi e par de números negativos não terem qualquer signi ado em
R
re e te-se no domínio de de nição de algumas funções
irra ionais é possivel a o orrên ia de bi os ou esquinas no grá o destas funções, em pontos onde a derivada não existe (o termo té ni o para designar estes pontos é
úspides).
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Funções Irra ionais - Exemplos mais simples
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Irra ionais - Exemplos mais simples Os exemplos mais simples de funções irra ionais são as funções raiz índi e natural, isto é, √ ( ) = 1/p ≡ p om ∈ N
funções do tipo
f x
x
x
p
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Irra ionais - Exemplos mais simples Os exemplos mais simples de funções irra ionais são as funções raiz índi e natural, isto é, √ ( ) = 1/p ≡ p om ∈ N
funções do tipo
f x
x
x
p
y
x 1/2 xx 11//46
1
x
1
Grá os de
f (x ) = x 1/(2k )
om
k
∈N
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Irra ionais - Exemplos mais simples Os exemplos mais simples de funções irra ionais são as funções raiz índi e natural, isto é, √ ( ) = 1/p ≡ p om ∈ N
funções do tipo
f x
x
x
p
y y
x 1/2 xx 11//46
1
x
1
Grá os de
f (x ) = x 1/(2k )
om
k
∈N
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−1
x 1/3 x 1/5
1 1 −1
Grá os de
x 1/7
f (x ) = x 1/(2k +1)
Análise Matemáti a I
x
om
k
∈N
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Irra ionais - Função módulo ou valor absoluto
De nição
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Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Irra ionais - Função módulo ou valor absoluto
De nição A função
f (x ) = abs(x ) = |x | ≡ x−,x ,
Joana Peres
se se
x ≥0 x <0
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Irra ionais - Função módulo ou valor absoluto
De nição A função
f (x ) = abs(x ) = |x | ≡ x−,x ,
x ≥0 x <0 √ x 2 , ∀x ∈ R também pode ser onsiderada uma função irra ional, já que |x | ≡
Joana Peres
se se
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Funções Irra ionais - Função módulo ou valor absoluto
De nição A função
f (x ) = abs(x ) = |x | ≡ x−,x ,
x ≥0 x <0 √ x 2 , ∀x ∈ R também pode ser onsiderada uma função irra ional, já que |x | ≡ y se se
x
| |
x Grá o de
f (x ) = |x |
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Exponen iais De nição
Joana Peres
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Funções Exponen iais De nição Chamamos função exponen ial de base
Joana Peres
a
à função
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Funções Exponen iais De nição Chamamos função exponen ial de base
a
à função
f (x ) = a x , em que a > 0
Joana Peres
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Exponen iais De nição Chamamos função exponen ial de base
a
à função
f (x ) = a x , em que a > 0 (se
a < 0, a expressão a x
por exemplo
(−2)1/ 2 )
não tem signi ado em
Joana Peres
R
para alguns valores de
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x,
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Exponen iais De nição Chamamos função exponen ial de base
a
à função
f (x ) = a x , em que a > 0 (se
a < 0, a expressão a x
por exemplo
(−2)1/ 2 )
não tem signi ado em
R
para alguns valores de
Regras bási as para trabalhar om expoentes, em que
Joana Peres
a > 0:
Análise Matemáti a I
x,
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Exponen iais De nição Chamamos função exponen ial de base
a
à função
f (x ) = a x , em que a > 0 (se
a < 0, a expressão a x
por exemplo
(−2)1/ 2 )
não tem signi ado em
R
para alguns valores de
Regras bási as para trabalhar om expoentes, em que
a a x
y =
a
(x + y )
Joana Peres
a > 0:
Análise Matemáti a I
x,
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Exponen iais De nição Chamamos função exponen ial de base
a
à função
f (x ) = a x , em que a > 0 (se
a < 0, a expressão a x
por exemplo
(−2)1/ 2 )
não tem signi ado em
R
para alguns valores de
Regras bási as para trabalhar om expoentes, em que
a a a a = a (x − y ) ay x y = x
(x + y )
Joana Peres
a > 0:
Análise Matemáti a I
x,
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Exponen iais De nição Chamamos função exponen ial de base
a
à função
f (x ) = a x , em que a > 0 (se
a < 0, a expressão a x
por exemplo
(−2)1/ 2 )
não tem signi ado em
R
para alguns valores de
Regras bási as para trabalhar om expoentes, em que
a a a a = a (x − y ) ay (a x )y = a xy x y = x
(x + y )
Joana Peres
a > 0:
Análise Matemáti a I
x,
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Exponen iais De nição Chamamos função exponen ial de base
a
à função
f (x ) = a x , em que a > 0 (se
a < 0, a expressão a x
por exemplo
(−2)1/ 2 )
não tem signi ado em
R
para alguns valores de
Regras bási as para trabalhar om expoentes, em que
a a a a = a (x − y ) ay (a x )y = a xy x y = x
(x + y )
por onvenção
axy
=
a > 0:
a (x y )
Joana Peres
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x,
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Funções Exponen iais De nição Chamamos função exponen ial de base
a
à função
f (x ) = a x , em que a > 0 (se
a < 0, a expressão a x
por exemplo
(−2)1/ 2 )
não tem signi ado em
R
para alguns valores de
Regras bási as para trabalhar om expoentes, em que
a a a a = a (x − y ) ay (a x )y = a xy x y = x
(x + y )
por onvenção
axy
=
a > 0:
a (x y )
Não esque er que por de nição:
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x,
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Exponen iais De nição Chamamos função exponen ial de base
a
à função
f (x ) = a x , em que a > 0 (se
a < 0, a expressão a x
por exemplo
(−2)1/ 2 )
não tem signi ado em
R
para alguns valores de
Regras bási as para trabalhar om expoentes, em que
a a a a = a (x − y ) ay (a x )y = a xy x y = x
(x + y )
por onvenção
axy
=
a > 0:
a (x y )
Não esque er que por de nição:
a − x ≡ (1/a )x
Joana Peres
∀a > 0
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x,
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Função exponen ial - Exemplos
Joana Peres
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Função exponen ial - Exemplos A função exponen ial mais importante é a função exponen ial de base natural em que a base é o número
e ≡ nlim →∞
Joana Peres
1+
1
n
n
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Função exponen ial - Exemplos A função exponen ial mais importante é a função exponen ial de base natural em que a base é o número Em vez de
f (x ) = e x
e ≡ nlim →∞
1+
1
n
n
é frequente usar-se a notação alternativa:
Joana Peres
Análise Matemáti a I
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Função exponen ial - Exemplos A função exponen ial mais importante é a função exponen ial de base natural em que a base é o número
f (x ) = e x ou f (x ) = exp(x ) Em vez de
e ≡ nlim →∞
1+
1
n
n
é frequente usar-se a notação alternativa:
Joana Peres
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f (x ) = exp x
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Função exponen ial - Exemplos A função exponen ial mais importante é a função exponen ial de base natural em que a base é o número
f (x ) = e x ou f (x ) = exp(x ) Em vez de
e ≡ nlim →∞
1+
1
n
n
é frequente usar-se a notação alternativa:
y 10x e x 2x
1
x Grá os de
f (x ) = a x
om
a
>1
Joana Peres
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f (x ) = exp x
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Função exponen ial - Exemplos A função exponen ial mais importante é a função exponen ial de base natural em que a base é o número
f (x ) = e x ou f (x ) = exp(x ) Em vez de
e ≡ nlim →∞
1+
1
n
n
é frequente usar-se a notação alternativa:
y 10x e x 2x
2−xe −x −xy 10
1
1
x Grá os de
f (x ) = a x
f (x ) = exp x
om
a
>1
Joana Peres
x Grá os de
f (x ) = a x
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om
0
0 e a 6= 1, o logarítmo na base a do número real positivo x é a potên ia a que a para se obter o número x :
deve ser elevado o número
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Logarítmi as De nição Se
a > 0 e a 6= 1, o logarítmo na base a do número real positivo x é a potên ia a que a para se obter o número x :
deve ser elevado o número
y = loga x om x > 0 ⇐⇒ a y = x
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Logarítmi as De nição Se
a > 0 e a 6= 1, o logarítmo na base a do número real positivo x é a potên ia a que a para se obter o número x :
deve ser elevado o número
y = loga x om x > 0 ⇐⇒ a y = x
Regras bási as para trabalhar om logarítmos, em que
Joana Peres
a > 0 e a 6= 1, x > 0 e y > 0:
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Logarítmi as De nição Se
a > 0 e a 6= 1, o logarítmo na base a do número real positivo x é a potên ia a que a para se obter o número x :
deve ser elevado o número
y = loga x om x > 0 ⇐⇒ a y = x
Regras bási as para trabalhar om logarítmos, em que
loga (xy ) = loga x + loga
y
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a > 0 e a 6= 1, x > 0 e y > 0:
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Logarítmi as De nição Se
a > 0 e a 6= 1, o logarítmo na base a do número real positivo x é a potên ia a que a para se obter o número x :
deve ser elevado o número
y = loga x om x > 0 ⇐⇒ a y = x
Regras bási as para trabalhar om logarítmos, em que
loga (xy ) = loga x + loga
y x loga ( y ) = loga x − loga y
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a > 0 e a 6= 1, x > 0 e y > 0:
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Logarítmi as De nição Se
a > 0 e a 6= 1, o logarítmo na base a do número real positivo x é a potên ia a que a para se obter o número x :
deve ser elevado o número
y = loga x om x > 0 ⇐⇒ a y = x
Regras bási as para trabalhar om logarítmos, em que
loga (xy ) = loga x + loga
y x loga ( y ) = loga x − loga y loga (x y ) = y loga x ∀y ∈ R
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a > 0 e a 6= 1, x > 0 e y > 0:
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Funções Logarítmi as De nição Se
a > 0 e a 6= 1, o logarítmo na base a do número real positivo x é a potên ia a que a para se obter o número x :
deve ser elevado o número
y = loga x om x > 0 ⇐⇒ a y = x
Regras bási as para trabalhar om logarítmos, em que
loga (xy ) = loga x + loga
y x loga ( y ) = loga x − loga y loga (x y ) = y loga x ∀y ∈ R
a > 0 e a 6= 1, x > 0 e y > 0:
Regra de mudança de base:
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Logarítmi as De nição Se
a > 0 e a 6= 1, o logarítmo na base a do número real positivo x é a potên ia a que a para se obter o número x :
deve ser elevado o número
y = loga x om x > 0 ⇐⇒ a y = x
Regras bási as para trabalhar om logarítmos, em que
loga (xy ) = loga x + loga
y x loga ( y ) = loga x − loga y loga (x y ) = y loga x ∀y ∈ R
a > 0 e a 6= 1, x > 0 e y > 0:
Regra de mudança de base:
loga
ln x x = ln a
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Logarítmi as De nição Se
a > 0 e a 6= 1, o logarítmo na base a do número real positivo x é a potên ia a que a para se obter o número x :
deve ser elevado o número
y = loga x om x > 0 ⇐⇒ a y = x
Regras bási as para trabalhar om logarítmos, em que
loga (xy ) = loga x + loga
y x loga ( y ) = loga x − loga y loga (x y ) = y loga x ∀y ∈ R
a > 0 e a 6= 1, x > 0 e y > 0:
Regra de mudança de base:
loga
ln x x = ln a
Destas regras deduz-se que:
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Logarítmi as De nição Se
a > 0 e a 6= 1, o logarítmo na base a do número real positivo x é a potên ia a que a para se obter o número x :
deve ser elevado o número
y = loga x om x > 0 ⇐⇒ a y = x
Regras bási as para trabalhar om logarítmos, em que
loga (xy ) = loga x + loga
y x loga ( y ) = loga x − loga y loga (x y ) = y loga x ∀y ∈ R
a > 0 e a 6= 1, x > 0 e y > 0:
Regra de mudança de base:
loga
ln x x = ln a
Destas regras deduz-se que:
loga ( x1 ) = − loga x
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Logarítmi as De nição Se
a > 0 e a 6= 1, o logarítmo na base a do número real positivo x é a potên ia a que a para se obter o número x :
deve ser elevado o número
y = loga x om x > 0 ⇐⇒ a y = x
Regras bási as para trabalhar om logarítmos, em que
loga (xy ) = loga x + loga
y x loga ( y ) = loga x − loga y loga (x y ) = y loga x ∀y ∈ R
a > 0 e a 6= 1, x > 0 e y > 0:
Regra de mudança de base:
loga
ln x x = ln a
Destas regras deduz-se que:
loga ( x1 ) = − loga x log1/ a
x = − loga x Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Logarítmi as De nição Se
a > 0 e a 6= 1, o logarítmo na base a do número real positivo x é a potên ia a que a para se obter o número x :
deve ser elevado o número
y = loga x om x > 0 ⇐⇒ a y = x
Regras bási as para trabalhar om logarítmos, em que
loga (xy ) = loga x + loga
y x loga ( y ) = loga x − loga y loga (x y ) = y loga x ∀y ∈ R
a > 0 e a 6= 1, x > 0 e y > 0:
Regra de mudança de base:
loga
ln x x = ln a
Destas regras deduz-se que:
loga ( x1 ) = − loga x log1/ a
A
x = − loga x
função logarítmi a de base e
(base natural) ostuma ser representada por:
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Logarítmi as De nição Se
a > 0 e a 6= 1, o logarítmo na base a do número real positivo x é a potên ia a que a para se obter o número x :
deve ser elevado o número
y = loga x om x > 0 ⇐⇒ a y = x
Regras bási as para trabalhar om logarítmos, em que
loga (xy ) = loga x + loga
y x loga ( y ) = loga x − loga y loga (x y ) = y loga x ∀y ∈ R
a > 0 e a 6= 1, x > 0 e y > 0:
Regra de mudança de base:
loga
ln x x = ln a
Destas regras deduz-se que:
loga ( x1 ) = − loga x log1/ a
A
x = − loga x
função logarítmi a de base e
(base natural) ostuma ser representada por:
f (x ) = ln x ou f (x ) = ln(x ) em vez de f (x ) = loge x Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Funções Logarítmi as - Exemplos
Exemplos de algumas funções logarítmi as
y
1
Grá os de
y
log2 x ln x log10 x
x
f (x ) = loga x om a > 1
Joana Peres
1
Grá os de
log0x. 1 x log1/ e x log0. 5 x
f (x ) = loga x om 0 < a < 1
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Trigonométri as (ou ir ulares) De nição geométri a
y 1
P (x , y ) θ −1
y x
tg θ 1
x
−1
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Trigonométri as (ou ir ulares) De nição geométri a
y 1
P (x , y ) θ −1
y x
tg θ 1
x
sin θ = y
os θ = x tan θ =
y x
−1
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Trigonométri as (ou ir ulares) De nição geométri a
y 1
P (x , y ) θ −1
y x
tg θ 1
sin θ = y
x
os θ = x tan θ =
y x
−1
π 1◦ = 180
rad
≈ 0.01745
rad
1
rad
´◦ ` ≈ 57◦ 17 ′ 44.8 ′′ = 180 π
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Função seno, osseno e tangente
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Função seno, osseno e tangente y 1 −π
−1
y
= sen x π
x
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Função seno, osseno e tangente y 1 −π
−1
y
Função:
= sen x
sen x
Domínio:
R
Contra-domínio:
π
x
Zeros:
x
= k π,
[−1, 1]
k
∈Z
função ímpar função periódi a de período primitivo
Joana Peres
Análise Matemáti a I
2π
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Função seno, osseno e tangente y y
1 −π
−1
1 −π/2 −1
Função:
= sen x
sen x
Domínio:
R
Contra-domínio:
π
x
Zeros:
x
= k π,
[−1, 1]
k
∈Z
função ímpar
y y
função periódi a de período primitivo
= os x
π/2
x
Joana Peres
Análise Matemáti a I
2π
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Função seno, osseno e tangente y y
1 −π
−1
1 −π/2 −1
Função:
= sen x
sen x
Domínio:
R
Contra-domínio:
π
x
Zeros:
x
= k π,
[−1, 1]
k
∈Z
função ímpar
y y
função periódi a de período primitivo
= os x
π/2
Função:
os x
Domínio:
x
R
Contra-domínio: Zeros:
x
2π
[−1, 1]
= ( 2k + 1 ) π 2,
k
∈Z
função par função periódi a de período primitivo
Joana Peres
Análise Matemáti a I
2π
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Função seno, osseno e tangente y y
1 −π
−1
sen x
Domínio:
R
Contra-domínio:
π
x
Zeros:
x
= k π,
[−1, 1]
k
∈Z
função ímpar
y y
1 −π/2 −1
Função:
= sen x
função periódi a de período primitivo
= os x
Função:
Domínio:
x
π/2
os x
Zeros:
y
R
Contra-domínio:
y = tg x
x
[−1, 1]
= ( 2k + 1 ) π 2,
k
∈Z
função par função periódi a de período primitivo
−3 π 2
-π
−π 2
π
2
π
2π
x 3π 2
Joana Peres
Análise Matemáti a I
2π
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Função seno, osseno e tangente y y
1 −π
−1
sen x
Domínio:
R
Contra-domínio:
π
x
Zeros:
x
[−1, 1]
= k π,
k
∈Z
função ímpar
y y
1 −π/2 −1
Função:
= sen x
função periódi a de período primitivo
= os x
Função:
Domínio:
x
π/2
os x
Zeros:
y
R
Contra-domínio:
y = tg x
x
[−1, 1]
= ( 2k + 1 ) π 2,
k
∈Z
função par função periódi a de período primitivo Função:
−3 π 2
-π
−π 2
π
2
π
2π
x 3π 2
2π
tg x
Domínio:
{x ∈ R :
Contra-domínio: Zeros:
x
= k π,
x
R
k
6= (2k + 1) π 2,
k
∈Z
função ímpar função periódi a de período primitivo
Joana Peres
Análise Matemáti a I
π
∈ Z}
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Identidades trigonométri as mais relevantes
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Identidades trigonométri as mais relevantes Identidade fundamental da trigonometria:
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Identidades trigonométri as mais relevantes Identidade fundamental da trigonometria:
os2 x + sen2 x = 1
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Identidades trigonométri as mais relevantes Identidade fundamental da trigonometria:
os2 x + sen2 x = 1
Fórmulas da adi ção:
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Identidades trigonométri as mais relevantes Identidade fundamental da trigonometria:
os2 x + sen2 x = 1
Fórmulas da adi ção:
sen(x + y ) = sen x os y + os x sen y
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Identidades trigonométri as mais relevantes Identidade fundamental da trigonometria:
os2 x + sen2 x = 1
Fórmulas da adi ção:
sen(x + y ) = sen x os y + os x sen y
os(x + y ) = os x os y − sen x sen y
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Identidades trigonométri as mais relevantes Identidade fundamental da trigonometria:
os2 x + sen2 x = 1
Fórmulas da adi ção:
sen(x + y ) = sen x os y + os x sen y
os(x + y ) = os x os y − sen x sen y sen(x − y ) = sen x os y − os x sen y
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Identidades trigonométri as mais relevantes Identidade fundamental da trigonometria:
os2 x + sen2 x = 1
Fórmulas da adi ção:
sen(x + y ) = sen x os y + os x sen y
os(x + y ) = os x os y − sen x sen y sen(x − y ) = sen x os y − os x sen y
os(x − y ) = os x os y + sen x sen y
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Identidades trigonométri as mais relevantes Identidade fundamental da trigonometria:
os2 x + sen2 x = 1
Fórmulas da adi ção:
sen(x + y ) = sen x os y + os x sen y
os(x + y ) = os x os y − sen x sen y sen(x − y ) = sen x os y − os x sen y
os(x − y ) = os x os y + sen x sen y
Fórmulas do ângulo duplo:
Joana Peres
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Identidades trigonométri as mais relevantes Identidade fundamental da trigonometria:
os2 x + sen2 x = 1
Fórmulas da adi ção:
sen(x + y ) = sen x os y + os x sen y
os(x + y ) = os x os y − sen x sen y sen(x − y ) = sen x os y − os x sen y
os(x − y ) = os x os y + sen x sen y
Fórmulas do ângulo duplo:
sen 2x = 2 sen x os x
Joana Peres
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Identidades trigonométri as mais relevantes Identidade fundamental da trigonometria:
os2 x + sen2 x = 1
Fórmulas da adi ção:
sen(x + y ) = sen x os y + os x sen y
os(x + y ) = os x os y − sen x sen y sen(x − y ) = sen x os y − os x sen y
os(x − y ) = os x os y + sen x sen y
Fórmulas do ângulo duplo:
sen 2x = 2 sen x os x
os 2x = os2 x − sen2 x
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Identidades trigonométri as mais relevantes Identidade fundamental da trigonometria:
os2 x + sen2 x = 1
Fórmulas da adi ção:
sen(x + y ) = sen x os y + os x sen y
os(x + y ) = os x os y − sen x sen y sen(x − y ) = sen x os y − os x sen y
os(x − y ) = os x os y + sen x sen y
Fórmulas do ângulo duplo:
sen 2x = 2 sen x os x
os 2x = os2 x − sen2 x
Fórmulas do semi-ângulo:
Joana Peres
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Identidades trigonométri as mais relevantes Identidade fundamental da trigonometria:
os2 x + sen2 x = 1
Fórmulas da adi ção:
sen(x + y ) = sen x os y + os x sen y
os(x + y ) = os x os y − sen x sen y sen(x − y ) = sen x os y − os x sen y
os(x − y ) = os x os y + sen x sen y
Fórmulas do ângulo duplo:
sen 2x = 2 sen x os x
os 2x = os2 x − sen2 x
Fórmulas do semi-ângulo:
os2 x =
1 + os 2x 2
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Identidades trigonométri as mais relevantes Identidade fundamental da trigonometria:
os2 x + sen2 x = 1
Fórmulas da adi ção:
sen(x + y ) = sen x os y + os x sen y
os(x + y ) = os x os y − sen x sen y sen(x − y ) = sen x os y − os x sen y
os(x − y ) = os x os y + sen x sen y
Fórmulas do ângulo duplo:
sen 2x = 2 sen x os x
os 2x = os2 x − sen2 x
Fórmulas do semi-ângulo:
1 + os 2x 2 1 − os 2x = 2
os2 x =
sen2 x
Joana Peres
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Identidades trigonométri as mais relevantes Identidade fundamental da trigonometria:
os2 x + sen2 x = 1
Fórmulas da adi ção:
sen(x + y ) = sen x os y + os x sen y
os(x + y ) = os x os y − sen x sen y sen(x − y ) = sen x os y − os x sen y
os(x − y ) = os x os y + sen x sen y
Fórmulas do ângulo duplo:
sen 2x = 2 sen x os x
os 2x = os2 x − sen2 x
Fórmulas do semi-ângulo:
1 + os 2x 2 1 − os 2x = 2
os2 x =
sen2 x
Outras fórmulas:
Joana Peres
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Identidades trigonométri as mais relevantes Identidade fundamental da trigonometria:
os2 x + sen2 x = 1
Fórmulas da adi ção:
sen(x + y ) = sen x os y + os x sen y
os(x + y ) = os x os y − sen x sen y sen(x − y ) = sen x os y − os x sen y
os(x − y ) = os x os y + sen x sen y
Fórmulas do ângulo duplo:
sen 2x = 2 sen x os x
os 2x = os2 x − sen2 x
Fórmulas do semi-ângulo:
1 + os 2x 2 1 − os 2x = 2
os2 x =
sen2 x
Outras fórmulas:
tg2 x + 1 = se 2 x
Joana Peres
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Polinomiais Continuidade Ra ionais Irra ionais Exponen iais Logarítmi as T
Identidades trigonométri as mais relevantes Identidade fundamental da trigonometria:
os2 x + sen2 x = 1
Fórmulas da adi ção:
sen(x + y ) = sen x os y + os x sen y
os(x + y ) = os x os y − sen x sen y sen(x − y ) = sen x os y − os x sen y
os(x − y ) = os x os y + sen x sen y
Fórmulas do ângulo duplo:
sen 2x = 2 sen x os x
os 2x = os2 x − sen2 x
Fórmulas do semi-ângulo:
1 + os 2x 2 1 − os 2x = 2
os2 x =
sen2 x
Outras fórmulas:
tg2 x + 1 = se 2 x 1 + otg2 x = ose 2 x
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Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Con eito de Limite Exemplo Qual o omportamento da função
f (x ) =
Joana Peres
sen x
x
na visinhança de zero?
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Con eito de Limite Exemplo Qual o omportamento da função
sen x
x
y
− 1. 0 − 0. 9 − 0. 8 − 0. 7 − 0. 6 − 0. 5 − 0. 4 − 0. 3 − 0. 2 − 0. 1 − 0. 01
0.84147 0.87036 0.89670 0.92031 0.94107 0.95885 0.97355 0.98507 0.99335 0.99833 0.99998
=
x
sen x
x
na visinhança de zero?
sen x
x
y
1. 0 0. 9 0. 8 0. 7 0. 6 0. 5 0. 4 0. 3 0. 2 0. 1 0. 01
0.84147 0.87036 0.89670 0.92031 0.94107 0.95885 0.97355 0.98507 0.99335 0.99833 0.99998
=
f (x ) =
x
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Con eito de Limite Exemplo Qual o omportamento da função
sen x
x
y
− 1. 0 − 0. 9 − 0. 8 − 0. 7 − 0. 6 − 0. 5 − 0. 4 − 0. 3 − 0. 2 − 0. 1 − 0. 01
0.84147 0.87036 0.89670 0.92031 0.94107 0.95885 0.97355 0.98507 0.99335 0.99833 0.99998
=
x
sen x
na visinhança de zero?
x
sen x
x
y
1. 0 0. 9 0. 8 0. 7 0. 6 0. 5 0. 4 0. 3 0. 2 0. 1 0. 01
0.84147 0.87036 0.89670 0.92031 0.94107 0.95885 0.97355 0.98507 0.99335 0.99833 0.99998
=
f (x ) =
y
x
Joana Peres
1
y
f (x ) x
0
x
=
sen x
x
x
f ( x ) aproxima-se de 1 à medida que x se aproxima de 0 pela esquerda ou pela direita
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Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Con eito de Limite Exemplo Qual o omportamento da função
sen x
x
y
− 1. 0 − 0. 9 − 0. 8 − 0. 7 − 0. 6 − 0. 5 − 0. 4 − 0. 3 − 0. 2 − 0. 1 − 0. 01
0.84147 0.87036 0.89670 0.92031 0.94107 0.95885 0.97355 0.98507 0.99335 0.99833 0.99998
=
x
sen x
na visinhança de zero?
x
sen x
x
y
1. 0 0. 9 0. 8 0. 7 0. 6 0. 5 0. 4 0. 3 0. 2 0. 1 0. 01
0.84147 0.87036 0.89670 0.92031 0.94107 0.95885 0.97355 0.98507 0.99335 0.99833 0.99998
=
f (x ) =
y
x
1
x
0
x
=
sen x
x
x
f ( x ) aproxima-se de 1 à medida que x se aproxima de 0 pela esquerda ou pela direita
De nição informal do on eito de limite
Joana Peres
y
f (x )
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Con eito de Limite Exemplo Qual o omportamento da função
sen x
x
y
− 1. 0 − 0. 9 − 0. 8 − 0. 7 − 0. 6 − 0. 5 − 0. 4 − 0. 3 − 0. 2 − 0. 1 − 0. 01
0.84147 0.87036 0.89670 0.92031 0.94107 0.95885 0.97355 0.98507 0.99335 0.99833 0.99998
=
x
sen x
na visinhança de zero?
x
sen x
x
y
1. 0 0. 9 0. 8 0. 7 0. 6 0. 5 0. 4 0. 3 0. 2 0. 1 0. 01
0.84147 0.87036 0.89670 0.92031 0.94107 0.95885 0.97355 0.98507 0.99335 0.99833 0.99998
=
f (x ) =
y
x
1
x
a , e es revemos
Joana Peres
0
=
sen x
x
x
x
f ( x ) aproxima-se de 1 à medida que x se aproxima de 0 pela esquerda ou pela direita
De nição informal do on eito de limite Dizemos que o número tende para
y
f (x )
L é o limite de f (x ) quando x
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Con eito de Limite Exemplo Qual o omportamento da função
sen x
x
y
− 1. 0 − 0. 9 − 0. 8 − 0. 7 − 0. 6 − 0. 5 − 0. 4 − 0. 3 − 0. 2 − 0. 1 − 0. 01
0.84147 0.87036 0.89670 0.92031 0.94107 0.95885 0.97355 0.98507 0.99335 0.99833 0.99998
=
x
sen x
na visinhança de zero?
x
sen x
x
y
1. 0 0. 9 0. 8 0. 7 0. 6 0. 5 0. 4 0. 3 0. 2 0. 1 0. 01
0.84147 0.87036 0.89670 0.92031 0.94107 0.95885 0.97355 0.98507 0.99335 0.99833 0.99998
=
f (x ) =
y
x
1
x
a , e es revemos
0
sen x
x
x
de 0 pela esquerda ou pela direita
L é o limite de f (x ) quando x
lim f (x ) = L,
x→ a
Joana Peres
=
x
f ( x ) aproxima-se de 1 à medida que x se aproxima
De nição informal do on eito de limite Dizemos que o número tende para
y
f (x )
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Con eito de Limite Exemplo Qual o omportamento da função
sen x
x
y
− 1. 0 − 0. 9 − 0. 8 − 0. 7 − 0. 6 − 0. 5 − 0. 4 − 0. 3 − 0. 2 − 0. 1 − 0. 01
0.84147 0.87036 0.89670 0.92031 0.94107 0.95885 0.97355 0.98507 0.99335 0.99833 0.99998
=
x
sen x
na visinhança de zero?
x
sen x
x
y
1. 0 0. 9 0. 8 0. 7 0. 6 0. 5 0. 4 0. 3 0. 2 0. 1 0. 01
0.84147 0.87036 0.89670 0.92031 0.94107 0.95885 0.97355 0.98507 0.99335 0.99833 0.99998
=
f (x ) =
y
x
1
x
a , e es revemos
0
=
sen x
x
x
de 0 pela esquerda ou pela direita
L é o limite de f (x ) quando x
lim f (x ) = L, x→ a f (x ) se aproxime tanto quanto quisermos de L, bastando para que isso a onteça que x se aproxime su ientemente de a , sem ontudo igualar a se onseguirmos que
Joana Peres
x
f ( x ) aproxima-se de 1 à medida que x se aproxima
De nição informal do on eito de limite Dizemos que o número tende para
y
f (x )
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
De nição rigorosa de limite
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
De nição rigorosa de limite Em linguagem matemáti a ...
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
De nição rigorosa de limite Em linguagem matemáti a ...
f (x ) se aproxime tanto quanto quisermos de L
Joana Peres
equivale a:
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
De nição rigorosa de limite Em linguagem matemáti a ...
f (x ) se aproxime tanto quanto quisermos de L equivale a: L − ε < f (x ) < L + ε ⇐⇒ |f (x ) − L| < ε (ε > 0)
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
De nição rigorosa de limite Em linguagem matemáti a ...
f (x ) se aproxime tanto quanto quisermos de L equivale a: L − ε < f (x ) < L + ε ⇐⇒ |f (x ) − L| < ε (ε > 0) x se aproxime su ientemente de a , sem ontudo igualar a
Joana Peres
Análise Matemáti a I
equivale a:
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
De nição rigorosa de limite Em linguagem matemáti a ...
f (x ) se aproxime tanto quanto quisermos de L equivale a: L − ε < f (x ) < L + ε ⇐⇒ |f (x ) − L| < ε (ε > 0) x se aproxime su ientemente de a , sem ontudo igualar a equivale a: a − δ(ε) < x < a + δ(ε) ∧ x 6= a ⇐⇒ 0 < |x − a | < δ(ε) (δ(ε) > 0)
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
De nição rigorosa de limite Em linguagem matemáti a ...
f (x ) se aproxime tanto quanto quisermos de L equivale a: L − ε < f (x ) < L + ε ⇐⇒ |f (x ) − L| < ε (ε > 0) x se aproxime su ientemente de a , sem ontudo igualar a equivale a: a − δ(ε) < x < a + δ(ε) ∧ x 6= a ⇐⇒ 0 < |x − a | < δ(ε) (δ(ε) > 0)
De nição rigorosa do on eito de limite
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
De nição rigorosa de limite Em linguagem matemáti a ...
f (x ) se aproxime tanto quanto quisermos de L equivale a: L − ε < f (x ) < L + ε ⇐⇒ |f (x ) − L| < ε (ε > 0) x se aproxime su ientemente de a , sem ontudo igualar a equivale a: a − δ(ε) < x < a + δ(ε) ∧ x 6= a ⇐⇒ 0 < |x − a | < δ(ε) (δ(ε) > 0)
De nição rigorosa do on eito de limite Se
f (x ) estiver de nida em todos os pontos de um x = a , ex epto
intervalo aberto ontendo o ponto
possivelmente nesse ponto, diremos que
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
De nição rigorosa de limite Em linguagem matemáti a ...
f (x ) se aproxime tanto quanto quisermos de L equivale a: L − ε < f (x ) < L + ε ⇐⇒ |f (x ) − L| < ε (ε > 0) x se aproxime su ientemente de a , sem ontudo igualar a equivale a: a − δ(ε) < x < a + δ(ε) ∧ x 6= a ⇐⇒ 0 < |x − a | < δ(ε) (δ(ε) > 0)
De nição rigorosa do on eito de limite Se
f (x ) estiver de nida em todos os pontos de um x = a , ex epto
intervalo aberto ontendo o ponto
possivelmente nesse ponto, diremos que
lim f (x ) = L,
x→ a
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
De nição rigorosa de limite Em linguagem matemáti a ...
f (x ) se aproxime tanto quanto quisermos de L equivale a: L − ε < f (x ) < L + ε ⇐⇒ |f (x ) − L| < ε (ε > 0) x se aproxime su ientemente de a , sem ontudo igualar a equivale a: a − δ(ε) < x < a + δ(ε) ∧ x 6= a ⇐⇒ 0 < |x − a | < δ(ε) (δ(ε) > 0)
De nição rigorosa do on eito de limite Se
f (x ) estiver de nida em todos os pontos de um x = a , ex epto
intervalo aberto ontendo o ponto
possivelmente nesse ponto, diremos que
lim f (x ) = L,
x→ a
se, dado um número positivo
ε
qualquer, por mais
pequeno que seja, for possível en ontrar um outro número positivo
δ(ε),
dependente de
ε,
tal que:
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
De nição rigorosa de limite Em linguagem matemáti a ...
f (x ) se aproxime tanto quanto quisermos de L equivale a: L − ε < f (x ) < L + ε ⇐⇒ |f (x ) − L| < ε (ε > 0) x se aproxime su ientemente de a , sem ontudo igualar a equivale a: a − δ(ε) < x < a + δ(ε) ∧ x 6= a ⇐⇒ 0 < |x − a | < δ(ε) (δ(ε) > 0)
De nição rigorosa do on eito de limite Se
f (x ) estiver de nida em todos os pontos de um x = a , ex epto
intervalo aberto ontendo o ponto
possivelmente nesse ponto, diremos que
lim f (x ) = L,
x→ a
se, dado um número positivo
ε
qualquer, por mais
pequeno que seja, for possível en ontrar um outro número positivo
δ(ε),
dependente de
ε,
tal que:
0 < |x − a | < δ(ε) =⇒ |f (x ) − L| < ε
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
De nição rigorosa de limite Em linguagem matemáti a ...
f (x ) se aproxime tanto quanto quisermos de L equivale a: L − ε < f (x ) < L + ε ⇐⇒ |f (x ) − L| < ε (ε > 0) x se aproxime su ientemente de a , sem ontudo igualar a equivale a: a − δ(ε) < x < a + δ(ε) ∧ x 6= a ⇐⇒ 0 < |x − a | < δ(ε) (δ(ε) > 0)
y
De nição rigorosa do on eito de limite Se
f (x ) estiver de nida em todos os pontos de um x = a , ex epto
intervalo aberto ontendo o ponto
possivelmente nesse ponto, diremos que
lim f (x ) = L,
x→ a
se, dado um número positivo
L ε
qualquer, por mais
pequeno que seja, for possível en ontrar um outro número positivo
δ(ε),
L+ ε
dependente de
ε,
L− ε
tal que:
0 < |x − a | < δ(ε) =⇒ |f (x ) − L| < ε
Joana Peres
x0a − δ a a + δ
Análise Matemáti a I
x1
x
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
De nição rigorosa de limite Em linguagem matemáti a ...
f (x ) se aproxime tanto quanto quisermos de L equivale a: L − ε < f (x ) < L + ε ⇐⇒ |f (x ) − L| < ε (ε > 0) x se aproxime su ientemente de a , sem ontudo igualar a equivale a: a − δ(ε) < x < a + δ(ε) ∧ x 6= a ⇐⇒ 0 < |x − a | < δ(ε) (δ(ε) > 0)
y
De nição rigorosa do on eito de limite Se
f (x ) estiver de nida em todos os pontos de um x = a , ex epto
intervalo aberto ontendo o ponto
possivelmente nesse ponto, diremos que
lim f (x ) = L,
x→ a
se, dado um número positivo
L ε
qualquer, por mais
pequeno que seja, for possível en ontrar um outro número positivo
δ(ε),
L+ ε
dependente de
ε,
L− ε
tal que:
x0a − δ a a + δ
0 < |x − a | < δ(ε) =⇒ |f (x ) − L| < ε Exemplo: Utilizando a de nição rigorosa de limite, provar que:
lim (2x − 1) = 5
x→ 3
lim x 2 = 9
x→ 3
lim
x → 0+
√
x
=0 Joana Peres
Análise Matemáti a I
x1
x
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Limites Laterais
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Limites Laterais Exemplo
y 1
f (x ) =
|x |
x
=
1, − 1,
x x
>0 <0
x
−1
y
Joana Peres
=
|x |
x
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Limites Laterais Exemplo
y 1
f (x ) =
|x |
x
=
1, − 1,
x x
>0 <0
x
−1
y
=
|x |
x
Notação matemáti a
x
apromixa-se de zero pelo lado direito
Joana Peres
≡
x
→ 0+
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Limites Laterais Exemplo
y 1
f (x ) =
|x |
x
=
1, − 1,
x x
>0 <0
x
−1
y
=
|x |
x
Notação matemáti a
x x
apromixa-se de zero pelo lado direito
≡
apromixa-se de zero pelo lado esquerdo
Joana Peres
x ≡
→ 0+
x
→ 0−
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Limites Laterais Exemplo
y 1
f (x ) =
|x |
x
=
1, − 1,
x x
>0 <0
x
−1
y
=
|x |
x
Notação matemáti a
x x
apromixa-se de zero pelo lado direito
≡
apromixa-se de zero pelo lado esquerdo
lim
x → 0+
|x |
x
=1
x ≡
→ 0+
x
Limite lateral à direita
Joana Peres
→ 0−
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Limites Laterais Exemplo
y 1
f (x ) =
|x |
x
=
1, − 1,
x x
>0 <0
x
−1
y
=
|x |
x
Notação matemáti a
x x
apromixa-se de zero pelo lado direito
≡
apromixa-se de zero pelo lado esquerdo
lim
|x |
x |x | lim x → 0− x x → 0+
=1 = −1
x ≡
→ 0+
x
Limite lateral à direita
→ 0−
Limite lateral à esquerda
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Relação entre limite e limites laterais Limite lateral à direita (De nição informal)
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Relação entre limite e limites laterais Limite lateral à direita (De nição informal) Dizemos que o número es revemos
L1
é o limite lateral à direita da função
x
se aproxime de
tende para
a, e
lim f (x ) = L1
x→ a+
se onseguirmos que o número isso que
f (x ) quando x
a
f (x ) se aproxime tanto quanto quisermos de L1 , bastando para a.
pelo lado direito, sem ontudo igualar
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Relação entre limite e limites laterais Limite lateral à direita (De nição informal) Dizemos que o número es revemos
L1
é o limite lateral à direita da função
x
se aproxime de
tende para
a, e
lim f (x ) = L1
x→ a+
se onseguirmos que o número isso que
f (x ) quando x
a
f (x ) se aproxime tanto quanto quisermos de L1 , bastando para a.
pelo lado direito, sem ontudo igualar
Limite lateral à esquerda (De nição informal)
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Relação entre limite e limites laterais Limite lateral à direita (De nição informal) Dizemos que o número es revemos
L1
é o limite lateral à direita da função
x
tende para
a, e
lim f (x ) = L1
x→ a+
se onseguirmos que o número isso que
f (x ) quando x
se aproxime de
a
f (x ) se aproxime tanto quanto quisermos de L1 , bastando para a.
pelo lado direito, sem ontudo igualar
Limite lateral à esquerda (De nição informal) Dizemos que o número e es revemos
L2
é o limite lateral à esquerda da função
x
se aproxime de
tende para
a,
lim f (x ) = L2
x→ a−
se onseguirmos que o número isso que
f (x ) quando x
a
f (x ) se aproxime tanto quanto quisermos de L2 , bastando para a.
pelo lado esquerdo, sem ontudo igualar
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Relação entre limite e limites laterais Limite lateral à direita (De nição informal) Dizemos que o número es revemos
L1
é o limite lateral à direita da função
x
tende para
a, e
lim f (x ) = L1
x→ a+
se onseguirmos que o número isso que
f (x ) quando x
se aproxime de
a
f (x ) se aproxime tanto quanto quisermos de L1 , bastando para a.
pelo lado direito, sem ontudo igualar
Limite lateral à esquerda (De nição informal) Dizemos que o número e es revemos
L2
é o limite lateral à esquerda da função
x
tende para
a,
lim f (x ) = L2
x→ a−
se onseguirmos que o número isso que
f (x ) quando x
se aproxime de
a
f (x ) se aproxime tanto quanto quisermos de L2 , bastando para a.
pelo lado esquerdo, sem ontudo igualar
Teorema
lim f (x ) = L ⇐⇒
x→ a
lim f (x ) = lim f (x ) = L
x→ a+
Joana Peres
x→ a−
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Limites laterais - Exemplos
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Limites laterais - Exemplos Existe
lim f (x )
Exemplo
quando
x
→
a
?
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Limites laterais - Exemplos Existe
lim f (x )
Exemplo
quando
y y
3
x
→
= f (x )
a
?
y
y y
3
= f (x )
2
2
1
1
1
a
x
a
Joana Peres
y
3
2
x
Análise Matemáti a I
a
= f (x )
x
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Limites laterais - Exemplos Existe
lim f (x )
Exemplo
quando
y y
3
x
→
= f (x )
a
?
y
y y
3
= f (x )
2
2
1
1
1
a
x
a
y
3
2
x
= f (x )
a
x
Exemplo
y
y
3
y
3
y
2
= f (x )
3
y
2
1
= f (x )
a
x
= f (x )
1
a
Joana Peres
y
2
1
x
Análise Matemáti a I
a
x
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Limites In nitos Exemplo
1
lim
x → 0−
x
= −∞
lim
e
x → 0+
y y
=
x
x 1
x
Cres e sem limite
x
= +∞
y y
=
1
x
1
x
x
1
x
1
1
x
x
x
De res e sem limite
-1
-0.1
-0.01
-0.001
-0.0001
-1
-10
-100
-1000
-10000
0
0.0001
0.001
0.01
0.1
1
10000
1000
100
10
1
Lado esquerdo Joana Peres
Lado direito Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Limites in nitos - De nição y
lim f ( x ) = + ∞
x→ a
y
lim f ( x ) = − ∞
x→ a
a a − δa + δ
M
x
M a ∀M >
0 ∃δ >
− δa + δ
a 0 : f (x )
>
x M se 0 < |x − a |
< δ
∀M <
0 ∃δ > 0 : f ( x ) < M se 0 < | x − a | < δ
De nição informal Dizemos que o limite de f ( x ) quando x tende para a é in nito, e es revemos, lim f ( x ) = + ∞ , x→ a se onseguirmos que o número f ( x ) ex eda qualquer número previamente es olhido (M ), por maior que seja, bastando para tal que x se aproxime su ientemente de a , sem ontudo igualar a . (De forma análoga de ne-se o xlim f (x ) = − ∞ ) →a À linha x = a hama-se assímptota verti al da urva y = f ( x ) . 0 Nota: quando lim f ( x ) = ±∞ , este limite não existe, pois o símbolo ∞ não representa qualquer x→ a
número real.
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Limites no in nito - De nição f (x )
lim
x → +∞
y
=
L
lim
x → −∞
f (x )
=
L y
L+ ε f (x ) L L− ε
L+ε f (x ) L L−ε N
∀ε >
x
x
0 ∃N > 0 : | f ( x ) − L| < ε se x > N
x ∀ε >
N
x
0 ∃N < 0 : | f ( x ) − L| < ε se x < N
De nição informal
L é o limite de f (x ) quando x tende para in nito, e es revemos, lim f (x ) = L, x → +∞ se onseguirmos que f (x ) se aproxime tanto quanto quisermos do número L, bastando para isso es olher valores de x su ientemente grandes. (De forma análoga de ne-se o lim f (x ) = L) x → −∞
Dizemos que
À linha
y
=
L hama-se assímptota horizontal da urva y Joana Peres
= f (x ).
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Teoremas sobre limites Limites bási os
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Teoremas sobre limites Limites bási os Teorema Seja
aek
números reais.
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Teoremas sobre limites Limites bási os Teorema Seja (a)
aek
lim k = k
x→ a
números reais. (b)
lim x = a
x→ a
( )
Joana Peres
lim
x → 0−
1
x
= −∞
Análise Matemáti a I
(d)
lim
x → 0+
1
x
= +∞
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Teoremas sobre limites Limites bási os Teorema Seja (a)
x→ a
Teorema Seja (a) (b)
( )
aek
lim k = k
a
números reais.
lim x = a
(b)
x→ a
um número real e seja
( )
lim
x → 0−
lim f (x ) = L1
x→ a
1
x e
= −∞
lim g (x ) = L2 ,
x→ a
lim (f (x ) + g (x )) = lim f (x ) + lim g (x ) = L1 + L2
x→ a
x→ a
x→ a
lim (f (x ) − g (x )) = lim f (x ) − lim g (x ) = L1 − L2
x→ a
lim (f (x ) g (x )) =
x→ a
„
x→ a
lim f (x )
x→ a
x→ a
«„
lim g (x )
x→ a
Joana Peres
«
(d)
= L1 L2
Análise Matemáti a I
lim
x → 0+
então:
1
x
= +∞
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Teoremas sobre limites Limites bási os Teorema Seja (a)
x→ a
Teorema Seja (a) (b)
( )
(d)
aek
lim k = k
a
números reais.
lim x = a
(b)
x→ a
um número real e seja
( )
lim
x → 0−
lim f (x ) = L1
x→ a
1
x e
= −∞
lim g (x ) = L2 ,
x→ a
lim (f (x ) + g (x )) = lim f (x ) + lim g (x ) = L1 + L2
x→ a
x→ a
x→ a
lim (f (x ) − g (x )) = lim f (x ) − lim g (x ) = L1 − L2
x→ a
lim (f (x ) g (x )) =
x→ a
lim
x→ a
f (x ) g (x )
=
„
x→ a
lim f (x )
x→ a
lim f (x )
x→ a
lim g (x )
x→ a
=
x→ a
«„
lim g (x )
x→ a
«
= L1 L2
L1 , desde que L2 6= 0 L2
Joana Peres
(d)
Análise Matemáti a I
lim
x → 0+
então:
1
x
= +∞
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Teoremas sobre limites Limites bási os Teorema Seja (a)
x→ a
Teorema Seja (a) (b)
( )
(d)
(e)
aek
números reais.
lim k = k
a
lim x = a
(b)
( )
x→ a
lim
x → 0−
lim f (x ) = L1
um número real e seja
x→ a
1
x e
= −∞
(d)
lim g (x ) = L2 ,
x→ a
lim (f (x ) + g (x )) = lim f (x ) + lim g (x ) = L1 + L2
x→ a
x→ a
x→ a
lim (f (x ) − g (x )) = lim f (x ) − lim g (x ) = L1 − L2
x→ a
lim (f (x ) g (x )) =
x→ a
lim
x→ a
lim
x→ a
f (x ) g (x )
=
x→ a
lim f (x )
x→ a
lim f (x )
x→ a
lim g (x )
x→ a
f (x ) =
p n
„
q n
=
lim g (x )
x→ a
«
= L1 L2
L1 , desde que L2 6= 0 L2
lim f (x ) =
x→ a
x→ a
«„
√ n
L1 , desde que L1 > 0 para n
Joana Peres
Análise Matemáti a I
par.
lim
x → 0+
então:
1
x
= +∞
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Teoremas sobre limites Limites bási os Teorema Seja (a)
x→ a
Teorema Seja (a) (b)
( )
(d)
(e)
aek
números reais.
lim k = k
a
lim x = a
(b)
lim
( )
x→ a
x → 0−
lim f (x ) = L1
um número real e seja
x→ a
1
x e
= −∞
(d)
lim g (x ) = L2 ,
x→ a
lim
x → 0+
1
x
= +∞
então:
lim (f (x ) + g (x )) = lim f (x ) + lim g (x ) = L1 + L2
x→ a
x→ a
x→ a
lim (f (x ) − g (x )) = lim f (x ) − lim g (x ) = L1 − L2
x→ a
lim (f (x ) g (x )) =
x→ a
lim
x→ a
lim
x→ a
f (x ) g (x )
=
x→ a
lim f (x )
x→ a
lim f (x )
x→ a
lim g (x )
x→ a
f (x ) =
p n
„
q n
=
lim g (x )
x→ a
«
= L1 L2
L1 , desde que L2 6= 0 L2
lim f (x ) =
x→ a
x→ a
«„
√ n
L1 , desde que L1 > 0 para n
par.
Estes resultados também são válidos para os limites laterais e para os limites no in nito tais
omo quando
x
→
a−
ou
x
→
a+
e quando
Joana Peres
x
→ ±∞ ,
respe tivamente.
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites quando x → a Exemplo
lim (k f (x )) = k lim
x→a
x→a
f (x ), onde k é uma onstante;
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites quando x → a Exemplo
lim (k f (x )) = k lim
x→a
x→a
f (x ), onde k é uma onstante;
lim (f (x ) − g (x ) + 3h (x )) = lim
x→a
x→a
f (x ) − xlim g (x ) + 3 xlim h (x ) →a →a
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites quando x → a Exemplo
lim (k f (x )) = k lim
x→a
x→a
f (x ), onde k é uma onstante;
lim (f (x ) − g (x ) + 3h (x )) = lim
x→a
lim (f (x )g (x )h (x )) =
x→a
“
lim
x→a
f (x ) − xlim g (x ) + 3 xlim h (x ) →a →a
x→a
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites quando x → a Exemplo
lim (k f (x )) = k lim
x→a
x→a
f (x ), onde k é uma onstante;
lim (f (x ) − g (x ) + 3h (x )) = lim
x→a
lim (f (x )g (x )h (x )) =
x→a
“
lim
x→a
x→a
f (x )
f (x ) − xlim g (x ) + 3 xlim h (x ) →a →a
”“
Joana Peres
lim
x→a
g (x )
”“
lim
x→a
h (x )
Análise Matemáti a I
”
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites quando x → a Exemplo
f (x ), onde k é uma onstante;
lim (k f (x )) = k lim
x→a
x→a
lim (f (x ) − g (x ) + 3h (x )) = lim
x→a
lim (f (x )g (x )h (x )) =
x→a
lim (f (x ))3 = lim
x→a
“
x→a
“
lim
x→a
x→a
f (x )
f (x ) − xlim g (x ) + 3 xlim h (x ) →a →a
”“
”3
f (x )
Joana Peres
lim
x→a
g (x )
”“
lim
x→a
h (x )
Análise Matemáti a I
”
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites quando x → a Exemplo
f (x ), onde k é uma onstante;
lim (k f (x )) = k lim
x→a
x→a
lim (f (x ) − g (x ) + 3h (x )) = lim
x→a
lim (f (x )g (x )h (x )) =
x→a
“
lim (f (x ))n =
f (x )
x→a
x→a
“
lim
x→a
f (x ) − xlim g (x ) + 3 xlim h (x ) →a →a
”“
”3
f (x )
“
f (x )
lim
x→a
lim (f (x ))3 = lim
x→a
x→a
lim
x→a
g (x )
”“
lim
x→a
h (x )
”n
Joana Peres
Análise Matemáti a I
”
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites quando x → a Exemplo
f (x ), onde k é uma onstante;
lim (k f (x )) = k lim
x→a
x→a
lim (f (x ) − g (x ) + 3h (x )) = lim
x→a
lim (f (x )g (x )h (x )) =
x→a
“
lim (f (x ))n =
f (x )
x→a
lim
x→a
xn =
“
x→a
“
lim
x→a
lim
x→a
x
”n
f (x ) − xlim g (x ) + 3 xlim h (x ) →a →a
”“
”3
f (x )
“
f (x )
lim
x→a
lim (f (x ))3 = lim
x→a
x→a
lim
x→a
g (x )
”“
lim
x→a
h (x )
”n
a
= n
Joana Peres
Análise Matemáti a I
”
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites
Limites indeterminados (símbolos de indeterminação)
+∞ −∞
−∞ +∞
0 · (+∞)
0 · (−∞)
0 0
±∞ ±∞
Mais tarde veremos que, em determinadas ondições, podemos resolver estas indeterminações através da Regra de L'H pital.
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Mais teoremas sobre limites
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Mais teoremas sobre limites
Teorema (Limite de funções ompostas) Se então
lim
x→a
lim
x→a
g (x ) = L e se xlim f (x ) = f (L) →L
f (g (x )) = f (L). Isto é, ” “ lim f (g (x )) = f lim g (x ) x→a x→a
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Mais teoremas sobre limites
Teorema (Limite de funções ompostas) Se então
lim
x→a
lim
x→a
g (x ) = L e se xlim f (x ) = f (L) →L
f (g (x )) = f (L). Isto é, ” “ lim f (g (x )) = f lim g (x ) x→a x→a
f , g e h funções tais que g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) para todo o x num intervalo aberto ontendo a , om a possibilidade das desigualdes não se veri arem em a . Se lim g (x ) = lim h (x ) = L então lim f (x ) = L. x→a x→a x→a
Teorema (Limite de funções enquadradas) Sejam
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Mais teoremas sobre limites
Teorema (Limite de funções ompostas) Se então
lim
x→a
lim
x→a
g (x ) = L e se xlim f (x ) = f (L) →L
f (g (x )) = f (L). Isto é, ” “ lim f (g (x )) = f lim g (x ) x→a x→a
f , g e h funções tais que g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) para todo o x num intervalo aberto ontendo a , om a possibilidade das desigualdes não se veri arem em a . Se lim g (x ) = lim h (x ) = L então lim f (x ) = L. x→a x→a x→a
Teorema (Limite de funções enquadradas) Sejam
Estes resultados também são válidos para os limites laterais e para os limites no in nito tais omo quando
x → a − ou x → a + e quando x → ±∞ , respe tivamente. Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites de polinómios quando x → a
p (x ) = 0 + 1 x + · · · + n x n e para todo o número real a , lim p (x ) = 0 + 1 x + · · · + n x n = p (a ) x→a
Teorema Para todo o polinómio
O limite do polinómio
p (x ) quando x → a é igual ao valor do polinómio em a.
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites de polinómios quando x → a
p (x ) = 0 + 1 x + · · · + n x n e para todo o número real a , lim p (x ) = 0 + 1 x + · · · + n x n = p (a ) x→a
Teorema Para todo o polinómio
O limite do polinómio
p (x ) quando x → a é igual ao valor do polinómio em a.
Exemplo Cal ule o limite de:
1
lim
x→5
x
x
` 2 ´ −4 +3
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites de polinómios quando x → a
p (x ) = 0 + 1 x + · · · + n x n e para todo o número real a , lim p (x ) = 0 + 1 x + · · · + n x n = p (a ) x→a
Teorema Para todo o polinómio
O limite do polinómio
p (x ) quando x → a é igual ao valor do polinómio em a.
Exemplo Cal ule o limite de:
1
lim
x→5
x x
x x
` 2 ´ −4 +3
` 7 ´35 2 lim −2 5 +1 x→1
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites de funções ra ionais quando x → a Exemplo
0 Nota: se q ( a ) = 0 e p ( a ) = 0 então tanto o numerador omo o denominador têm ( x − a ) omo fa tor omum. Simpli ando a expressão é possível al ular o limite. Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites de funções ra ionais quando x → a Exemplo
y
=
x
1 −
a y a
=
y
1
(x − a )2
lim lim
x→ a−
1
x
−
a
x
−
a
1
1
(x −
a )2
x a
x→ a+
= −
= +∞ = −∞
lim
1
x → a (x −
a )2
a
x
= +∞
lim −
x→ a
1
(x −
a )2
x
= −∞
0 Nota: se q ( a ) = 0 e p ( a ) = 0 então tanto o numerador omo o denominador têm ( x − a ) omo fa tor omum. Simpli ando a expressão é possível al ular o limite. Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites de funções ra ionais quando x → a Exemplo
y
=
x
1 −
a y a
=
y
1
(x − a )2
lim lim
x→ a−
−
a
x
−
a
Teorema Seja se
1
x
1
1
(x −
a )2
x a
x→ a+
= −
= +∞ = −∞
f (x )
=
p (x ) q (x )
lim
1
x → a (x −
a )2
a
x
= +∞
uma função ra ional e seja
a
lim −
x→ a
1
(x −
a )2
x
= −∞
um número real qualquer.
f (x ) = f (a ) q (a ) 6= 0 então xlim →a
se q (a ) = 0 e p (a ) 6= 0 então lim f (x ) não existe x→ a 0 Nota: se q ( a ) = 0 e p ( a ) = 0 então tanto o numerador omo o denominador têm ( x − a ) omo
fa tor omum. Simpli ando a expressão é possível al ular o limite. Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites de funções ra ionais quando x → a Exemplo
y
=
x
1 −
a y a
=
y
1
(x − a )2
lim lim
x→ a−
−
a
x
−
a
Teorema Seja se
1
x
1
1
(x −
a )2
x a
x→ a+
= −
= +∞ = −∞
f (x )
=
p (x ) q (x )
lim
1
x → a (x −
a )2
a
x
= +∞
uma função ra ional e seja
a
lim −
x→ a
1
(x −
a )2
x
= −∞
um número real qualquer.
f (x ) = f (a ) q (a ) 6= 0 então xlim →a
se q (a ) = 0 e p (a ) 6= 0 então lim f (x ) não existe x→ a 0 Nota: se q ( a ) = 0 e p ( a ) = 0 então tanto o numerador omo o denominador têm ( x − a ) omo
fa tor omum. Simpli ando a expressão é possível al ular o limite. Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites involvendo radi ais quando x → a
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites involvendo radi ais quando x → a Exemplo Cal ule o limite de:
1
2
x −1 x −1 √ x 2 + x + 23 − 5 x −1
lim √
x→1
lim
x→1
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites involvendo radi ais quando x → a Exemplo Cal ule o limite de:
1
2
x −1 x −1 √ x 2 + x + 23 − 5 x −1
lim √
x→1
lim
x→1
Uma estratégia de resolução:
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites involvendo radi ais quando x → a Exemplo Cal ule o limite de:
1
2
x −1 x −1 √ x 2 + x + 23 − 5 x −1
lim √
x→1
lim
x→1
Uma estratégia de resolução:
√
1 ra ionalizar o denominador multipli ando a expressão por √
Joana Peres
Análise Matemáti a I
x +1 x +1
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites involvendo radi ais quando x → a Exemplo Cal ule o limite de:
1
2
x −1 x −1 √ x 2 + x + 23 − 5 x −1
lim √
x→1
lim
x→1
Uma estratégia de resolução:
x +1 x +1 √ 2 + x + 23 + 5 x √ x 2 + x + 23 + 5 √
1 ra ionalizar o denominador multipli ando a expressão por √ 2 ra ionalizar o numerador multipli ando a expressão por
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites de funções de nidas por ramos quando x → a
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites de funções de nidas por ramos quando x → a Exemplo Seja
x
fx Cal ule (a)
x
1/( + 2), 2 − 5, ( )= √ + 13,
lim
x → −2
f (x )
x
(b)
Joana Peres
lim
x→0
x < −2 −2 < x ≤ 3 x >3
f (x )
( )
lim
x→3
Análise Matemáti a I
f (x )
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites de funções de nidas por ramos quando x → a Exemplo Seja
x
fx Cal ule (a)
y
x
1/( + 2), 2 − 5, ( )= √ + 13,
lim
x → −2
f (x )
x
(b)
lim
x→0
x < −2 −2 < x ≤ 3 x >3
f (x )
( )
lim
x→3
x
Grá o da função
f (x ) Joana Peres
Análise Matemáti a I
f (x )
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites de funções de nidas por ramos quando x → a Exemplo Seja
x
fx Cal ule (a)
y
x
1/( + 2), 2 − 5, ( )= √ + 13,
lim
x → −2
f (x )
x
(b)
lim
x→0
x < −2 −2 < x ≤ 3 x >3
f (x )
( )
lim
x→3
f (x )
Resolução: (a)
lim
x → − 2−
lim
x
(b)
( )
Grá o da função
x → − 2+
lim
x→0
f (x ) = · · ·
lim
x → 3−
lim
x → 3+
f (x ) Joana Peres
Análise Matemáti a I
f (x ) = · · · f (x ) = · · ·
f (x ) = · · · f (x ) = · · ·
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites de funções trigonométri as quando x → a
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites de funções trigonométri as quando x → a
Teorema Seja
a um numero real perten ente ao domínio natural da função
trigonométri a em ausa, então:
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites de funções trigonométri as quando x → a
Teorema Seja
a um numero real perten ente ao domínio natural da função
trigonométri a em ausa, então:
lim sen x = sen a
x→a
lim os x = os a
x→a
Joana Peres
lim tg x = tg a
x→a
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites de funções trigonométri as quando x → a
Teorema Seja
a um numero real perten ente ao domínio natural da função
trigonométri a em ausa, então:
lim sen x = sen a
x→a
lim ose x = ose a
x→a
lim os x = os a
x→a
lim se x = se a
x→a
Joana Peres
lim tg x = tg a
x→a
lim otg x = otg a
x→a
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites de funções polinomiais quando x → ±∞
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites de funções polinomiais quando x → ±∞ lim
x → +∞
xn
= +∞ ,
n
= 1, 2, 3, . . .
Joana Peres
lim
x → −∞
xn
=
−∞ , +∞ ,
Análise Matemáti a I
n n
= 1, 2, 3, . . . = 2, 4, 6, . . .
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites de funções polinomiais quando x → ±∞ lim
x → +∞
xn
= +∞ ,
n
lim
= 1, 2, 3, . . .
x → −∞
Exemplo
lim
2x 5 = +∞ ,
lim
−7x 6 = −∞ ,
x → +∞ x → +∞
lim
x → −∞
lim
=
−∞ , +∞ ,
2x 5 = −∞
x → −∞
Joana Peres
xn
−7x 6 = −∞
Análise Matemáti a I
n n
= 1, 2, 3, . . . = 2, 4, 6, . . .
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites de funções polinomiais quando x → ±∞ lim
x → +∞
xn
= +∞ ,
n
lim
= 1, 2, 3, . . .
x → −∞
Exemplo
lim
2x 5 = +∞ ,
lim
−7x 6 = −∞ ,
x → +∞ x → +∞ Se
n
6= 0,
lim
x → +∞
lim
x → +∞
lim
x → −∞
lim
xn
=
−∞ , +∞ ,
n n
= 1, 2, 3, . . . = 2, 4, 6, . . .
2x 5 = −∞
x → −∞
−7x 6 = −∞
então
0 + 1 x
n x n
+ ··· +
n x n
=
lim
x → −∞
lim
x → −∞
Joana Peres
0 + 1 x
n x n
+ ··· +
Análise Matemáti a I
n x n
=
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites de funções polinomiais quando x → ±∞ lim
x → +∞
xn
= +∞ ,
n
x → −∞
Exemplo
lim
2x 5 = +∞ ,
lim
−7x 6 = −∞ ,
x → +∞ x → +∞ Se
n
6= 0,
lim
x → +∞
lim
x → +∞
xn
lim
= 1, 2, 3, . . .
lim
x → −∞
lim
=
−∞ , +∞ ,
n n
= 1, 2, 3, . . . = 2, 4, 6, . . .
2x 5 = −∞
x → −∞
−7x 6 = −∞
então
0 + 1 x
n x n
+ ··· +
n x n
=
lim
x → −∞
Exemplo
lim
7x 5 − 4x 3 + 2x − 9 =
lim
−4x 8 + 17x 3 − 5x + 1 =
x → −∞ x → −∞
0 + 1 x
n x n
lim
x → −∞
Joana Peres
lim
x → −∞
+ ··· +
7x 5 = −∞
lim
x → −∞
−4x 8 = −∞
Análise Matemáti a I
n x n
=
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites de funções ra ionais quando x → ±∞ Exemplo: Cal ule os seguintes limites:
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites de funções ra ionais quando x → ±∞ Exemplo: Cal ule os seguintes limites:
3x + 5 6x − 8 4x 2 − x lim x → − ∞ 2x 3 − 5 5x 3 − 2x 2 + 1 lim x → +∞ 1 − 3x lim
x → +∞
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites de funções ra ionais quando x → ±∞ Exemplo: Cal ule os seguintes limites:
3x + 5 6x − 8 4x 2 − x lim x → − ∞ 2x 3 − 5 5x 3 − 2x 2 + 1 lim x → +∞ 1 − 3x lim
x → +∞
Uma estratégia:
Dividir ada termo do numerador e do denominador pela maior potên ia de denominador.
Joana Peres
Análise Matemáti a I
x
que o orre no
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites de funções ra ionais quando x → ±∞ Exemplo: Cal ule os seguintes limites:
3x + 5 6x − 8 4x 2 − x lim x → − ∞ 2x 3 − 5 5x 3 − 2x 2 + 1 lim x → +∞ 1 − 3x lim
x → +∞
Uma estratégia:
Dividir ada termo do numerador e do denominador pela maior potên ia de denominador.
x
que o orre no
Outra estratégia: O limite de uma função ra ional quando
x
→ ±∞
é determinado pelo quo iente dos termos
de maior grau no numerador e no denominador dessa fra ção.
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites de funções irra ionais quando x → ±∞
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites de funções irra ionais quando x → ±∞ Cal ule os seguintes limites, aso existam:
r 3 3x + 5 x → +∞ 6x − 8
lim
lim
x → +∞
lim
x → +∞
√
x2 + 2 3x − 6
√
e
x6 + 5 − x3
lim
√
x → −∞ e
x2 + 2 3x − 6
lim
x → −∞
√
Joana Peres
x6 + 5 − x3
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites de funções trigonométri as quando x → ±∞
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites de funções trigonométri as quando x → ±∞ Exemplo
y
y
= sen x
x
Não existe limite quando
x
→ +∞
Joana Peres
ou quando
x
→ −∞
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites de funções trigonométri as quando x → ±∞ Exemplo
y
y
= sen x
x
Não existe limite quando
x
Para esta função não existe limite quando
→ +∞
x
ou quando
→ +∞
e quando
x x
→ −∞ → −∞ ,
não porque a função
res e ou de res e sem limite, mas porque a função varia entre -1 e 1 sem se aproximar de um número real em parti ular.
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Cál ulo de limites de funções trigonométri as quando x → ±∞ Exemplo
y
y
= sen x
x
Não existe limite quando
x
Para esta função não existe limite quando
→ +∞
x
x
ou quando
→ +∞
e quando
x
→ −∞ → −∞ ,
não porque a função
res e ou de res e sem limite, mas porque a função varia entre -1 e 1 sem se aproximar de um número real em parti ular.
As funções trigonométri as, em geral, não têm limite quando
Joana Peres
x
→ ±∞
Análise Matemáti a I
porque são periódi as.
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Limites importantes
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Limites importantes Limites importantes quando
lim
x→ 0
lim
x→ 0
lim
x→ 0
lim
x→ 0
sen(x )
x
=1
1 − os(x )
e
x
x
−1
x
→ 0
=0
=1
ln(1 + x )
x
x
=1
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Limites importantes Limites importantes quando
lim
x→ 0
lim
x→ 0
lim
x→ 0
lim
x→ 0
sen(x )
x
=1
1 − os(x )
e
x
x
−1
x
→ 0
Limites importantes quando
lim
(1 +
lim
(1 +
x → +∞
=0
x → −∞
lim
=1
ln(1 + x )
x
x
x → +∞
lim
=1
x → +∞
Joana Peres
ln x
1
x
1
x
) =
e
)x =
e
x
→ ∞
= 0 , ∀a > 0
xa ex = +∞ xa
Análise Matemáti a I
x
, ∀a > 0
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Laterais In nitos No in nito Teoremas Cál ulo
Limites importantes Limites importantes quando
lim
x→ 0
lim
x→ 0
lim
x→ 0
lim
x→ 0
sen(x )
=1
x
1 − os(x )
e
x
x
−1
x
x
→ 0
Limites importantes quando
=0
x
(1 +
lim
(1 +
x → −∞
lim
=1
ln(1 + x )
lim
x → +∞
x → +∞
lim
=1
x → +∞
ln x
1
x
1
x
) =
e
)x =
e
x
x
→ ∞
= 0 , ∀a > 0
xa ex = +∞ xa
, ∀a > 0
Exemplo: Utilize teoremas onhe idos e/ou manipulação algébri a das expressões para al ular os seguintes limites:
1 2 3
lim x sen
x→ 0
lim
1
x
1 − os(x )
, sabendo que
x x 2 − 3x lim sen x→ 0 x x→ 0
lim
x→ 0
sen(x )
Joana Peres
x
=1
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Des ontinuidades Teoremas Intervalos Propriedades
Con eito de ontinuidade De nição
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Des ontinuidades Teoremas Intervalos Propriedades
Con eito de ontinuidade De nição
f (x ) é ontínua no ponto x = a se existir o limite de f (x ) quando a , e esse limite for igual ao valor que f (x ) assume no ponto x = a : lim f (x ) = f (a ) x→ a
Dizemos que a função
x
tende para
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Des ontinuidades Teoremas Intervalos Propriedades
Con eito de ontinuidade De nição
f (x ) é ontínua no ponto x = a se existir o limite de f (x ) quando a , e esse limite for igual ao valor que f (x ) assume no ponto x = a : lim f (x ) = f (a ) x→ a
Dizemos que a função
x
tende para
Dizemos que a função
f (x ) é des ontínua no ponto x
=
a
se estiver de nida numa
visinhança desse ponto, e se se veri ar uma das três ondições seguintes:
lim f (x )não
x→ a
existe
∨
f (a )não existe
Joana Peres
∨
lim f (x ) 6= f (a )
x→ a
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Des ontinuidades Teoremas Intervalos Propriedades
Con eito de ontinuidade De nição
f (x ) é ontínua no ponto x = a se existir o limite de f (x ) quando a , e esse limite for igual ao valor que f (x ) assume no ponto x = a : lim f (x ) = f (a ) x→ a
Dizemos que a função
x
tende para
Dizemos que a função
f (x ) é des ontínua no ponto x
=
a
se estiver de nida numa
visinhança desse ponto, e se se veri ar uma das três ondições seguintes:
lim f (x )não
x→ a
A função
existe
∨
f (a )não existe
lim f (x ) 6= f (a )
∨
f (x ) é ontínua à direita no ponto x
=
x→ a
a
se o limite lateral à direita nesse
ponto for igual ao valor que a função assume no mesmo ponto:
lim f (x ) = f (a )
x→ a+
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Des ontinuidades Teoremas Intervalos Propriedades
Con eito de ontinuidade De nição
f (x ) é ontínua no ponto x = a se existir o limite de f (x ) quando a , e esse limite for igual ao valor que f (x ) assume no ponto x = a : lim f (x ) = f (a ) x→ a
Dizemos que a função
x
tende para
Dizemos que a função
f (x ) é des ontínua no ponto x
=
a
se estiver de nida numa
visinhança desse ponto, e se se veri ar uma das três ondições seguintes:
lim f (x )não
x→ a
A função
existe
∨
f (a )não existe
lim f (x ) 6= f (a )
∨
f (x ) é ontínua à direita no ponto x
=
x→ a
a
se o limite lateral à direita nesse
ponto for igual ao valor que a função assume no mesmo ponto:
lim f (x ) = f (a )
x→ a+
Analogamente, a função
f (x ) é ontínua à esquerda
no ponto
x
=
a
se o limite lateral à
esquerda nesse ponto for igual ao valor que a função assume no mesmo ponto:
lim f (x ) = f (a )
x→ a−
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Des ontinuidades Teoremas Intervalos Propriedades
Con eito de ontinuidade De nição
f (x ) é ontínua no ponto x = a se existir o limite de f (x ) quando a , e esse limite for igual ao valor que f (x ) assume no ponto x = a : lim f (x ) = f (a ) x→ a
Dizemos que a função
x
tende para
Dizemos que a função
f (x ) é des ontínua no ponto x
=
a
se estiver de nida numa
visinhança desse ponto, e se se veri ar uma das três ondições seguintes:
lim f (x )não
x→ a
A função
existe
∨
f (a )não existe
lim f (x ) 6= f (a )
∨
f (x ) é ontínua à direita no ponto x
=
x→ a
a
se o limite lateral à direita nesse
ponto for igual ao valor que a função assume no mesmo ponto:
lim f (x ) = f (a )
x→ a+
Analogamente, a função
f (x ) é ontínua à esquerda
no ponto
x
=
a
se o limite lateral à
esquerda nesse ponto for igual ao valor que a função assume no mesmo ponto:
lim f (x ) = f (a )
x→ a−
A função
f (x ) será ontínua no ponto x
=
a
se e só se for ontínua à direita e ontínua
à esquerda nesse mesmo ponto. (Consequên ia do teorema sobre limites laterais)
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Des ontinuidades Teoremas Intervalos Propriedades
Tipos de des ontinuidades - in nita e nita
Des ontinuidade in nita
lim f (x ) = ±∞
O ponto
x
=
x→ a+
a
lim f (x ) = ±∞
e/ou
x→ a−
pode, ou não, fazer parte do domínio natural de de nição da função f(x).
Por exemplo, podemos ter:
lim f (x ) = ±∞
x→ a−
e
lim f (x ) = f (a )
x→ a+
Des ontinuidade nita (salto de ontinuidade)
lim f (x ) 6= lim f (x )
x→ a+
x→ a−
Limites diferentes mas ambos nitos
x = a pode, ou não, fazer parte do domínio natural de de nição da função f(x). f (a ) exista, poderá ser igual a um dos dois limites laterais, mas também poderá ser
O ponto Caso
diferente.
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Des ontinuidades Teoremas Intervalos Propriedades
Tipos de des ontinuidades - removível e fundamental
Des ontinuidade removível
lim f (x ) = lim f (x ) ∧
x→ a+
x→ a−
∄ f (a ) ou
f (x ) f (a ) 6= xlim →a
A des ontinuidade diz-se removível porque é sempre possível de nir uma nova função
g (x ), que oin ide om a função f (x ) para todos os valores de x 6= a , e que é ontínua no ponto x = a : f (x ), se x 6= a g (x ) = lim f (x ), se x = a x→ a A função g (x ) designa-se por prolongamento por ontinuidade ou ontinuação analíti a da função f (x ). Des ontinuidade fundamental
∄ lim x→ a+
f (x ) e/ou ∄ lim f (x ) x→ a− f (x ) mantém-se limitada na visinhança do ponto
e a função
x
=
a.
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Des ontinuidades Teoremas Intervalos Propriedades
Teoremas sobre funções ontínuas num ponto
Teorema Se
f (x ) e g (x ) são ontínuas no ponto x = a =⇒ f (x ) + g (x ) é ontínua no ponto x = a =⇒
Teorema Se
fxgx
é ontínua no ponto
x =a
fx gx
é ontínua no ponto
x = a , se g (a ) 6= 0
( ) ( ) ( ) ( )
g (x ) for ontínua no ponto x = a e f (x ) for ontínua no ponto x = g (a ), (f ◦ g )(x ) é ontínua no ponto x = a .
a função omposta
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Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Des ontinuidades Teoremas Intervalos Propriedades
Função ontínua num intervalo
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Des ontinuidades Teoremas Intervalos Propriedades
Função ontínua num intervalo
A função
f (x ) diz-se ontínua no intervalo aberto ]a , b [ sse for ontínua em
todos os pontos desse intervalo aberto.
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Des ontinuidades Teoremas Intervalos Propriedades
Função ontínua num intervalo
A função
f (x ) diz-se ontínua no intervalo aberto ]a , b [ sse for ontínua em
todos os pontos desse intervalo aberto.
a função pode ser des ontínua no ponto
Joana Peres
x = a e/ou no ponto x = b
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Des ontinuidades Teoremas Intervalos Propriedades
Função ontínua num intervalo
A função
f (x ) diz-se ontínua no intervalo aberto ]a , b [ sse for ontínua em
todos os pontos desse intervalo aberto.
a função pode ser des ontínua no ponto
A função
x = a e/ou no ponto x = b
f (x ) diz-se ontínua no intervalo fe hado [a , b ] sse forem satisfeitas
simultaneamente as três ondições seguintes:
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Des ontinuidades Teoremas Intervalos Propriedades
Função ontínua num intervalo
A função
f (x ) diz-se ontínua no intervalo aberto ]a , b [ sse for ontínua em
todos os pontos desse intervalo aberto.
a função pode ser des ontínua no ponto
A função
x = a e/ou no ponto x = b
f (x ) diz-se ontínua no intervalo fe hado [a , b ] sse forem satisfeitas
simultaneamente as três ondições seguintes:
f (x ) é ontínua no intervalo aberto ]a , b [
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Des ontinuidades Teoremas Intervalos Propriedades
Função ontínua num intervalo
A função
f (x ) diz-se ontínua no intervalo aberto ]a , b [ sse for ontínua em
todos os pontos desse intervalo aberto.
a função pode ser des ontínua no ponto
A função
x = a e/ou no ponto x = b
f (x ) diz-se ontínua no intervalo fe hado [a , b ] sse forem satisfeitas
simultaneamente as três ondições seguintes:
f (x ) é ontínua no intervalo aberto ]a , b [ f (x ) é ontínua à direita no ponto x = a : x →lima f (x ) = f (a ) +
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Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Des ontinuidades Teoremas Intervalos Propriedades
Função ontínua num intervalo
A função
f (x ) diz-se ontínua no intervalo aberto ]a , b [ sse for ontínua em
todos os pontos desse intervalo aberto.
a função pode ser des ontínua no ponto
A função
x = a e/ou no ponto x = b
f (x ) diz-se ontínua no intervalo fe hado [a , b ] sse forem satisfeitas
simultaneamente as três ondições seguintes:
f (x ) é ontínua no intervalo aberto ]a , b [ f (x ) é ontínua à direita no ponto x = a : x →lima f (x ) = f (a ) +
f (x ) é ontínua à esquerda no ponto x = b : x →limb f (x ) = f (b ) −
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Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Des ontinuidades Teoremas Intervalos Propriedades
Propriedades de funções ontínuas num intervalo fe hado
Teorema Se então:
f (x ) for ontínua em [a , b ], e se f (a ) < 0 < f (b ), ou se f (a ) > 0 > f (b ),
ab f
∃ ∈ [ , ]: ( ) = 0.
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Des ontinuidades Teoremas Intervalos Propriedades
Propriedades de funções ontínuas num intervalo fe hado
Teorema Se então:
f (x ) for ontínua em [a , b ], e se f (a ) < 0 < f (b ), ou se f (a ) > 0 > f (b ),
ab f
∃ ∈ [ , ]: ( ) = 0.
f (x ) for ontínua em [a , b ], então é limitada em [a , b ], isto é: K > 0 : |f (x )| < K ,∀x ∈ [a , b ]
Teorema Se
∃
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Des ontinuidades Teoremas Intervalos Propriedades
Propriedades de funções ontínuas num intervalo fe hado
Teorema Se então:
f (x ) for ontínua em [a , b ], e se f (a ) < 0 < f (b ), ou se f (a ) > 0 > f (b ),
ab f
∃ ∈ [ , ]: ( ) = 0.
f (x ) for ontínua em [a , b ], então é limitada em [a , b ], isto é: K > 0 : |f (x )| < K ,∀x ∈ [a , b ]
Teorema Se
∃
Teorema Se
f (x ) for ontínua em [a , b ], então a função tem um valor mínimo e um
valor máximo
nesse intervalo, isto é:
d ∈ [a , b ]: f ( ) ≤ f (x ) ≤ f (d ),∀x ∈ [a , b ].
∃ ,
Joana Peres
Análise Matemáti a I
Funções Novas funções Funções espe iais Famílias de funções Limites Con eito Continuidade Des ontinuidades Teoremas Intervalos Propriedades
Propriedades de funções ontínuas num intervalo fe hado
Teorema Se então:
f (x ) for ontínua em [a , b ], e se f (a ) < 0 < f (b ), ou se f (a ) > 0 > f (b ),
ab f
∃ ∈ [ , ]: ( ) = 0.
f (x ) for ontínua em [a , b ], então é limitada em [a , b ], isto é: K > 0 : |f (x )| < K ,∀x ∈ [a , b ]
Teorema Se
∃
Teorema Se
f (x ) for ontínua em [a , b ], então a função tem um valor mínimo e um
valor máximo
nesse intervalo, isto é:
d ∈ [a , b ]: f ( ) ≤ f (x ) ≤ f (d ),∀x ∈ [a , b ].
∃ ,
Corolário (ou Teorema) do valor intermédio Se
máximo
ab
[ , ] todos ( )
assume em
fd
os
valores intermédios
Joana Peres
f (x ) for ontínua em [a , b ], então f (x ) entre o valor mínimo f ( ) e o valor
Análise Matemáti a I
