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Universidade de Taubaté – UNITAU Aulas II Semestre 2013
Álgebra Linear -- Prof. Armando
Matrizes: Conceitos Iniciais – Tipos de Matrizes MATRIZES Definição: Dados dois números m e n naturais e não nulos, chama-se matriz m por n toda tabela A, formada por números reais distribuídos em linhas e colunas. Utilizamos letras maiúsculas para indicar matrizes na forma genérica e letras minúsculas para indicar seus elementos.
⎡ a11 a12 ⎢a a22 A = ⎢ 21 ⎢ ... ... ⎢ ⎣ am1 am 2
... a1n ⎤ ... a2 n ⎥⎥ ... ... ⎥ ⎥ ... amn ⎦
Como a forma genérica é bastante extensa, a matriz mxn será representada abreviadamente por:
A = ( aij )
mxn
Os elementos da matriz A são indicados por aij , onde:
i ∈ {1,2,3,..., m}
j ∈ {1,2,3,..., n}
O elemento aij é representado por dois índices, onde o primeiro, i, representa a linha, e o segundo, j, indica a coluna às quais o elemento aij pertence. Assim temos: a11 (lê-se: a um um) → elemento localizado na 1ª linha e 1ª coluna
a32 (lê-se: a três dois) → elemento localizado na 3ª linha e 2ª coluna
Representamos uma matriz colocando os números entre parênteses, colchetes, ou barras duplas. A ordem ou tipo da matriz é determinado pelo número de linhas e pelo número de colunas.
⎛ 3 −5 ⎜ ⎝ 7 −1
Exemplo:
1⎞ ⎡ 3 −5 ⎟ , A=⎢ 0 ⎠2 x3 ⎣7 −1
1⎤ 3 −5 1 ou A = ⎥ 7 − 1 0 2 x3 0⎦ 2 x3
Matriz Quadrada Chama-se matriz quadrada aquela em que o número de linhas é igual ao número de colunas. Exemplo: B =
−2 6 − 5 7 2x2
matriz quadrada de ordem 2
⎛ − 1 11 − 2 ⎞ ⎜ ⎟ C = ⎜ 0 4 − 3 ⎟ matriz quadrada de ordem 3 ⎜ 1 9 − 5⎟ ⎝ ⎠ 3 x3
Os elementos aij de uma matriz quadrada, em que i = j , formam uma diagonal, denominada diagonal principal. A outra diagonal será chamada de diagonal secundária. (os elementos
aij são tais que: i + j = n + 1 ). 1
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Matrizes: Conceitos Iniciais – Tipos de Matrizes
5⎞ ⎛−1 2 ⎟ ⎜ Veja: Dada a matriz A, de ordem 3, A 3 = ⎜ 3 0 − 3 ⎟ , devemos saber que: ⎜ 5 7 − 6⎟ ⎠ ⎝
• • • • •
O subscrito 3 indica a ordem da matriz; A diagonal principal é a diagonal formada pelos elementos –1, 0 e –6; A diagonal secundária é a diagonal formada pelos elementos 5, 0 e 5; Observe que: a 11 = – 1 é elemento da diagonal principal, pois i = j = 1; Observe que: a 31 = 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 = 3 + 1.
Matriz Linha
É aquela que possui somente uma linha. Exemplo: D = (2 − 1 5)1x3 Matriz Coluna
É aquela que possui somente uma coluna.
Exemplo:
3 2 E= 1 0
4 x1
Matriz Nula
É aquela em que todos os seus elementos são iguais a zero. ⎛0 0⎞ ⎟⎟ ⎝ 0 0 ⎠ 2x2
Exemplo: ⎜⎜
Matriz Identidade
É uma matriz quadrada de ordem n, em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 (um) e os demais elementos são iguais a 0 (zero). Representa-se a matriz identidade por In . ⎛1 0⎞
⎟⎟ matriz identidade de ordem 2 Exemplo: I 2 = ⎜⎜ ⎝0 1⎠
1 0 0 I 3 = 0 1 0 matriz identidade de ordem 3 0 0 1
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Matriz Transposta
Se A é uma matriz de ordem mxn , denominamos transposta de A a matriz de ordem nxm obtida, trocando-se ordenadamente as linhas pelas colunas. Indica-se a transposta de A por At . ⎡1
0⎤
Exemplos: Sendo A = ⎢⎢3 − 1⎥⎥
⎢⎣5 − 2⎥⎦ 3x2
⎡1
3
5⎤
, a sua transposta é por: At = ⎢ ⎥ ⎣0 − 1 − 2 ⎦ 2 x 3
Matriz Simétrica: Uma matriz A é dita simétrica, se e somente se, AT = A . 0 − 1⎤ 0 − 1⎤ ⎡3 ⎡3 ⎥ ⎢ ⎢ T A=⎢0 2 − 7⎥ ⇒ A = ⎢ 0 2 − 7 ⎥⎥ = A ⎢⎣− 1 − 7 5 ⎥⎦ ⎢⎣− 1 − 7 5 ⎥⎦
Veja:
Matriz Anti-Simétrica: Uma matriz A é dita anti-simética, se e somente se, AT = − A . 1 − 3⎤ ⎡0 ⎡ 0 −1 3 ⎤ ⎥ ⎢ T A = ⎢− 1 0 5 ⎥ ⇒ A = ⎢⎢ 1 0 − 5⎥⎥ = − A ⎢⎣ 3 − 5 0 ⎥⎦ ⎢⎣− 3 5 0 ⎥⎦
Veja:
Matriz Oposta: Chamamos de matriz oposta da matriz A, a matriz que é obtida a partir da matriz
A, trocando-se o sinal de cada elemento de A e, será notada por: – A
3⎤ ⎡ 2 −1 −3⎤ ⎡ −2 1 ⎥ ⎢ ⎢ Veja: Se A = ⎢ 4 7 5 ⎥ então, a oposta de A será dada por: − A = ⎢ −4 −7 −5⎥⎥ ⎢⎣1 −2 9 ⎥⎦ ⎢⎣ −1 2 −9 ⎥⎦
Matriz Diagonal: É toda matriz quadrada onde só os elementos da diagonal principal são diferentes
de zero. Exemplo:
⎡ 2 0⎤ A2 = ⎢ ⎥ ⎣0 1 ⎦
⎛ 4 0 0⎞ ⎟ ⎜ B3 = ⎜ 0 3 0 ⎟ . ⎜0 0 7⎟ ⎠ ⎝
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Matrizes: Conceitos Iniciais – Tipos de Matrizes
Praticando – Faça Você:
1- Construa a matriz A = (aij )3x 2 sendo aij = i + j . 2- Construa a matriz B = (bij ) quadrada de ordem 3 tal que bij = j − i . 3- Ache os elementos da matriz A = (aij ) de ordem 3, em que aij = i 2 + j 2 . 4- Determine os elementos da matriz B = (bij )2 x3 , em que bij = 2i + j − 1 . Construas as matrizes dadas pelas leis de formação: ⎧i + j , se i ≤ j
5- B = (bij )4x 2 , tal que bij = ⎨ ⎩i - j, se i > j
i+ j ⎧ 6- C = (cij )3 x3 , tal que cij = ⎪⎨(− 1) , se i ≠ j .
⎪⎩
0,
se i = j
⎧i - j, se i = j
7- Determine a transposta da matriz da matriz D = (d ij )3x 2 , em que d ij = ⎨ . ⎩ j - i, se i ≠ j
8- Observe a matriz
⎡− 1 ⎢2 ⎢ A=⎢ 3 ⎢ ⎢4 ⎢⎣ 5
0 −1 1 2 6 3 8 0 9 5
11⎤ 12⎥⎥ 13⎥ e ⎥ 14⎥ 15⎥⎦
responda:
a) Qual a ordem da matriz?
b) Escreva o elemento a52 .
c) Escreva sua transposta.
d) Para que valores de i tem-se aij = 0 ?
IGUALDADE DE MATRIZES
( )
Sejam as matrizes A = aij
( )
e B = bij
de mesma ordem. Se cada elemento de A for igual ao elemento
corresponde (elemento que ocupa a mesma posição) de B, as matrizes A e B são ditas iguais.
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Matrizes: Conceitos Iniciais – Tipos de Matrizes Assim:
(aij )mxn = (bij )mxn ⇔ aij = bij
Exemplo: ⎛ 2 5⎞ ⎛ x + y 3x − y ⎞ ⎟⎟ e B = ⎜⎜ ⎟⎟ , calcular x e y para que A = B t . 9) Dadas as matrizes A = ⎜⎜ 1 ⎠ ⎝10 1 ⎠ ⎝ 5
OPERAÇÕES COM MATRIZES 1.
Adição e Subtração
A adição ou a subtração de duas matrizes A e B, do mesmo tipo, é efetuada somando-se ou subtraindo-se seus respectivos elementos. Exemplo: 10) Sendo A = •
4
3
−2 1
e B=
1 −2 5
7
, calcule:
a) A + B
b) A – B
Matriz Oposta Denomina-se matriz oposta de uma matriz A a matriz –A cujos elementos são os simétricos (opostos) dos
elementos correspondentes de A. Exemplo: 2.
⎡ 2 − 5⎤ ⎡− 2 5 ⎤ ⇒ −A = ⎢ A=⎢ ⎥ ⎥ ⎣− 6 7 ⎦ ⎣ 6 − 7⎦
Multiplicação de um número real por uma matriz
Para multiplicar uma matriz por um número real, basta multiplicar todos os elementos da matriz pelo número, e o resultado é uma matriz de mesma ordem.
( ) e um número real
Dada uma matriz A = a ij
( )
k , chama-se produto de k por A a matriz B = bij , onde
bij = k . aij .
Exemplo:
⎡ 4 10 −8⎤ 1 ⎢ ⎥ 11) Calcular: − . 20 6 −6 ⎢ ⎥ 2 ⎢⎣ −2 0 20 ⎥⎦ EXERCÍCIOS
⎛ 2x + 3y ⎞ ⎛ 7 ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ . 12) Calcule x e y , sabendo que ⎜⎜ ⎝ 3x − y ⎠ ⎝16 ⎠
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Matrizes: Conceitos Iniciais – Tipos de Matrizes ⎡0 3 ⎤ ⎡− 2 4 ⎤ ⎡ 4 2⎤ Dadas as matrizes A = ⎢ , B=⎢ e C=⎢ ⎥ ⎥ ⎥ , calcule: ⎣2 − 5⎦ ⎣ 0 − 1⎦ ⎣− 6 0⎦ 13) A + B
14) A – C 15) B + C + A ⎛1 −1 0 ⎞ ⎜ ⎟ 16) Dada a matriz A = ⎜ 2 3 4 ⎟ , obtenha a matriz X tal que X = A + At . ⎜ 0 1 − 2⎟ ⎝ ⎠
⎛ m 2m ⎞ ⎛ n − n ⎞ ⎛ 7 8 ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎝ p p ⎠ ⎝ q − 3q ⎠ ⎝ 1 5 ⎠
17) Ache m, n, p e q, de modo que: ⎜⎜
⎡ − 1⎤ ⎡ 3⎤ ⎢ ⎥ 18) Dadas as matrizes A = ⎢− 2⎥ e B = ⎢⎢− 4⎥⎥ , calcular a matriz X, tal que X − A + B = 0 . ⎢⎣ 2 ⎥⎦ ⎢⎣ 5 ⎥⎦ ⎞ ⎛ 1 a2 ⎟ ⎜ ⎛ 2b 16 ⎟ e B=⎜ 19) Sejam A = ⎜ ⎜ a3 ⎜ − 27 log 1 ⎟ ⎝ ⎟ ⎜ 3 81 ⎠ ⎝
9 ⎞⎟ . Determine a,b e c para que A = B . c ⎟⎠
MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES
( )mxn
Dada uma matriz A = aij
( )nxp ,
e uma matriz B = bij
denomina-se produto de A por B a matriz
( )mxp tal que o elemento cij é a soma dos produtos da i-ésima linha de A pelos elementos correspondentes da j-
C = cij
ésima coluna de B. A operação de multiplicação é efetuada multiplicando-se linha por coluna, isto é, cada elemento de uma linha é multiplicado pelo elemento correspondente de uma coluna e, em seguida, os produtos são adicionados. Na multiplicação de duas matrizes A e B, o número de colunas de A deve ser igual ao número de linhas de B, e o produto AB tem o mesmo número de linhas de A e o mesmo número de colunas de B.
Amxn . Bnxp =
( A . B )mxp
Exemplos: Determinar o produto entre as matrizes dadas abaixo:
⎛9 7⎞ ⎛ 1 2 3⎞ ⎟ .⎜ ⎟ ⎝0 8⎠ ⎝ 4 5 6⎠
20) ⎜
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⎛ 0⎞ ⎜ ⎟ 21) (1 2 3) . −2 ⎜ ⎟ ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠
[
22) Resolver a equação matricial: X . 1
⎡2 4 6⎤ 2 3] = ⎢ ⎥ ⎣1 2 3⎦ EXERCÍCIOS
Dadas as matrizes abaixo, encontre a matriz resultante do produto entre elas:
⎛ 5 −3 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎟ .⎜ ⎟ ⎝ −1 4 ⎠ ⎝ −2 ⎠
23) ⎜
⎛ 2⎞ ⎜ ⎟ 24) (1 3 5 ) . 0 ⎜ ⎟ ⎜ 3⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ 25) 2 . ( 0 −3 2 ) ⎜ ⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 0 0⎞ ⎛2 2 1⎞ ⎟ ⎜ ⎟⎜ 26) 1 1 0 . 1 2 2 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜0 1 1⎟ ⎜ 2 1 2⎟ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎛ 2 0⎞ ⎜ ⎟ ⎛−1 2 27) Dadas as matrizes A = ⎜ − 1 1 ⎟ e B = ⎜⎜ ⎜ 3 4⎟ ⎝ 0 1 ⎝ ⎠
( )
(
3⎞ ⎟⎟ , calcule A + B t 0⎠
) (A t
t
)
−B .
( )
28) Considere as matrizes A = aij e B = bij , quadradas de ordem 2, com aij = 3i + 4 j e bij = −4i − 3 j . Sabendo que C = A + B , determine C 2 .
⎛1 0 0⎞ ⎛3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 29) Resolva a equação 2 1 0 . X = 8 . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜1 3 2⎟ ⎜11⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
MATRIZ INVERSA
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Chama-se matriz inversa a matriz que satisfaz a igualdade A.B = B. A = I . Observações:
I. I é a matriz identidade de mesma ordem que as matrizes A e B; II. Se existir a inversa, dizemos que a matriz A é inversível e, em caso contrário, não inversível ou singular; III. Se a matriz quadrada A é inversível, ela é única. Exemplo:
⎛ 2 4⎞ ⎟⎟ . ( será feito em sala) 30) Determinar a inversa da matriz A = ⎜⎜ ⎝1 5⎠ Faça você ...
Determinar a inversa das matrizes: ⎛1 0 0 ⎞ ⎟ ⎜ 32) B = ⎜1 3 1 ⎟ ⎜1 2 0 ⎟ ⎠ ⎝
⎡3 4⎤ 31) A = ⎢ ⎥ ⎣1 0⎦
⎛ 3 2⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎟⎟ e B = ⎜⎜ ⎟⎟ , calcule a matriz C, onde C = A.B + A−1 . ⎝7 5⎠ ⎝ − 1 1⎠
33) Dadas as matrizes A = ⎜⎜
⎡2 1⎤ ⎡1 0 ⎤ 34) Dadas as matrizes A = ⎢ e M =⎢ ⎥ ⎥: ⎣1 1⎦ ⎣2 1⎦ a)
determine M −1 ;
b) Sabendo que traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal, determine o traço da matriz B, −1
sabendo que a matriz B = M . A.M .
EXERCÍCIOS – SÉRIE 01
1 – Escreva a matriz A= (a ij )2 x 3 , onde a ij =2i+3j 2 – Escreva a matriz B= (b ij )3x 3 , onde b ij =
i . j
3 – Escreva a matriz C= (c ij )4 x1 , onde c ij = i 2 + j . 8
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4 – Escreva a matriz D= (d ij )1x 3 , onde d ij = i – j.
⎧2, se i ≥ j 5 – Escreva a matriz A= (a ij )4 x 3 , onde a ij = ⎨ ⎩− 1, se i < j ⎧i + j, se i = j 6 – Escreva a matriz A= (a ij )3 x 3 , onde a ij = ⎨ ⎩0, se i ≠ j ⎧2i + j, se i ≥ j 7 – Escreva a matriz A= (a ij )2 x 3 , onde a ij = ⎨ ⎩i − j, se i < j ⎛ 2 0 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛1 2 ⎞ ⎟⎟ e B = ⎜ 2 3 − 5 ⎟ . 8 – Determine o traço de cada uma das matrizes A = ⎜⎜ ⎝ 4 3⎠ ⎜ −1 0 −1⎟ ⎝ ⎠ Obs: Chamamos de “traço” de uma matriz quadrada a soma dos elementos da diagonal principal.
2 ⎞ ⎛1 ⎟⎟ , determinar: 9 – Dada a matriz A= ⎜⎜ ⎝ −1 − 4⎠ a) a transposta de A b) a oposta de A
⎛1 2⎞ ⎛ x 3⎞ ⎟⎟ e B = ⎜⎜ ⎟⎟ , determinar a, b e x para que A= B t . 10 – Dadas as matrizes A= ⎜⎜ ⎝a 3⎠ ⎝ b 3⎠ ⎛ 2a + 1⎞ ⎛ b + 2 ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ 11 – Determinar os valores de a e b, tais que: ⎜⎜ ⎝ b + 3 ⎠ ⎝ a + 3⎠ ⎛ log 3 x ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 12 – Determine x e y na igualdade: ⎜ y 2 ⎟ = ⎜ 9 ⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎜5⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4⎞ ⎛ m+n 3 ⎟⎟ para que tenhamos: 13 – Seja A= (a ij )2 x 3 , com a ij =i + j. Ache m, n e p, em B= ⎜⎜ ⎝ n − 1 m − 2p 5 ⎠ A=B.
⎡a + b x + y ⎤ ⎡3 2⎤ 14 – Determine a, b, x e y, tais que: ⎢ ⎥=⎢ ⎥. ⎣a − b 2 x − y⎦ ⎣1 1 ⎦
15-) Determine x e y, tais que:
⎡log 2 x ⎤ ⎡ 3 ⎤ a) ⎢⎢ y ⎥⎥ = ⎢⎢ 5 ⎥⎥. ⎢⎣ x 2 ⎥⎦ ⎢⎣64⎥⎦
0 ⎤ ⎡2x + 3y 0⎤ ⎡5 =⎢ b) ⎢ . ⎥ 7⎦ ⎣1 5x + 2 y⎥⎦ ⎣ 1 9
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RESPOSTAS
8 11⎤ ⎡5 1) A= ⎢ ⎥ ⎣7 10 13 ⎦
⎡2 − 1 − 1⎤ ⎢2 2 − 1⎥ ⎥ 5) A= ⎢ ⎢2 2 2⎥ ⎢ ⎥ 2⎦ ⎣2 2
9)
15)
⎡2 0 0⎤ 6) A= ⎢⎢0 4 0⎥⎥ ⎢⎣0 0 6⎥⎦
⎡1 − 1 ⎤ a) A t = ⎢ ⎥ ⎣ 2 − 4⎦
12) x = 81 e
⎡2⎤ ⎢5⎥ 3) C= ⎢ ⎥ ⎢10⎥ ⎢ ⎥ ⎣17⎦
⎡1 12 13 ⎤ ⎥ ⎢ 2) B= ⎢2 1 23 ⎥ ⎢3 3 1 ⎥ 2 ⎣ ⎦
y = ±3
a) x = 8 e y = ± 5
⎡ 3 7) A = ⎢ ⎣ 5
⎡ − 1 − 2⎤ b) – A= ⎢ 4 ⎥⎦ ⎣1
− 1 − 2⎤ 6 − 1⎥⎦
10) a = 3, b = 2 e x = 1
13) m = – 2, n = 4 e p = –3
b) x =
4) D= [0 − 1 − 2]
7 5
e
8) trA = 4 e trB = 4
11) a = 1 e b = 1
14) a = 2, b = 1,
y=
x =1 e y = 1
11 15
10
