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Cálculo Diferencial e Integral de uma variável para os cursos de Engenharia e CC
Anotações de Aula
Eurípedes Machado Rodrigues
UNIP UNIDADE UNIVERSITÁRIA DE SOROCABA ENGENHARIA MECATRÔNICA / ELÉTRICA-1ºANO
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE UMA VARIÁVEL (CÁLCULO I)
ALUNO:_______________________________ RA.:___________
TURMA:______________________________ SALA:__________
PROF. MACHADO
AGOSTO/2010
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INDICE 1. Sistema Cartesiano Ortogonal....................................................................................02 2. Variáveis e Constantes...............................................................................................02 3. Funções......................................................................................................................03 3.1. Função Constante...............................................................................................03 3.2. Função Afim.........................................................................................................04 3.3. Equação da reta que “passa” por um ponto dado...............................................05 3.4. Função Quadrática..............................................................................................06 3.5. Exercícios de Funções........................................................................................07 3.6. Funções Trigonométricas....................................................................................11 3.6.1. Função Seno.............................................................................................11 3.6.2. Função Co-seno........................................................................................12 3.6.3. Função Tangente.......................................................................................13 3.6.4. Função Co-tangente, Secante e Co-secante............................................13 3.6.5. Exercícios propostos de trigonometria......................................................13 3.7. Função Exponencial............................................................................................14 3.8. Logaritmo.............................................................................................................15 3.9. Função Logaritmo................................................................................................16 4. Derivadas....................................................................................................................17 4.1. Taxa de variação.................................................................................................17 4.2. Noções intuitiva de Derivada...............................................................................18 4.3. A Derivada como Velocidade..............................................................................21 4.4. Regras de Derivação...........................................................................................23 4.5. Exercícios resolvidos...........................................................................................24 4.6. Exercícios propostos...........................................................................................25 4.7. Regra da Cadeia..................................................................................................26 4.8. Derivada Implícita................................................................................................27 4.9. Exercícios propostos...........................................................................................28 5. Noções de Integração.................................................................................................30 5.1. Integral Indefinida................................................................................................30 5.2. Regras de Integração..........................................................................................30 5.3. Exercícios Resolvidos..........................................................................................31 5.4. Exercícios Propostos...........................................................................................32 5.5. Método da Substituição.......................................................................................32 5.6. Exercícios Resolvidos..........................................................................................33 5.7. Método da Integração por Partes........................................................................34 5.8. Tabela de Integrais imediatas..............................................................................36 5.9. Integrais Definidas...............................................................................................36 5.10. Propriedades da Integral Definida.....................................................................38 5.11. Exercícios Resolvidos........................................................................................39 5.12. Exercícios Propostos.........................................................................................40 5.13. Exercícios Gerais de Integral.............................................................................41 5.14. Exercícios Resolvidos........................................................................................43 6. Gabarito dos Exercícios Propostos (livro indicado pela Unip)....................................48
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SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL* 1. Coordenadas cartesianas ortogonais Seja α o plano determinado por dois eixos Ox e Oy perpendiculares em O. Considere um ponto P qualquer do plano, e conduza por ele as paralelas aos eixos, que interceptarão Ox e Oy respectivamente em P1 e P2. Escolhida uma unidade de medida (geralmente a mesma sobre os dois eixos), adotase a seguinte nomenclatura: a) Abscissa de P é o número real xP = OP1 ; b) Ordenada de P é o número real yP = OP2 ; c) Coordenadas de P são os números reais xP e yP indicados na forma de um par ordenado (xP ; yP); d) O eixo dos x ou Ox será chamado eixo das abscissas; e) O eixo dos y ou Oy será chamado eixo das ordenadas; f) O plano formado pelo par de eixos Ox e Oy será chamado plano cartesiano; g) O sistema de eixos formados por Ox e Oy é chamado sistema cartesiano ortogonal (ou ortonormal ou retangular); h) O ponto O é chamado de origem do sistema cartesiano ortogonal. y xP (abscissa de P) P(x ; y)
•
P2
yP (ordenada de P) O
P1
x
α
NOTA: Os eixos coordenados Ox e Oy dividem o plano cartesiano em quatro regiões angulares que são denominadas quadrantes: y 2º quadrante (- ; +)
1º quadrante (+ ; +)
O 3º quadrante (- ; -)
x 4º quadrante (+ ; -)
* A palavra “cartesiano” refere-se ao nome do criador da Geometria Analítica, René Descartes, o qual assinava as obras escrevendo seu nome em latim: Cartesius. A palavra “ortogonal” é utilizada aqui pelo fato de os eixos OX e OY formarem ângulo reto.
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Representar no sistema de eixos cartesianos ortogonais os pontos: A(4 ; 3) , B(−1; 3) , C(−3 ; −4) , D(4 ; −2) , E(2 ; 0) , y
F(0 ; 4)
x
VARIÁVEIS E CONSTANTES A grande finalidade dos números é sua utilização no sistema de medidas das grandezas do mundo real. Uma constante é uma quantidade cujo valor permanece invariável num problema particular, como por exemplo: altitude de uma região, temperatura em que a água ferve, etc. Uma variável é uma quantidade que assume diversos valores num determinado problema particular, como por exemplo: temperatura ambiente, uma distância percorrida, etc. A matemática trabalha basicamente com variáveis e constantes. As variáveis ou quantidades que mudam na realidade ou nas nossas simulações são em geral representadas pelas últimas letras do alfabeto: x, y, z, .... . As constantes são em geral representadas pelas primeiras letras do alfabeto: a, b, c, ..... Existem dois tipos de constantes: a) constantes absolutas que sempre têm o mesmo valor: números ou símbolos denotando números (ex. temperatura em que a água ferve, valor de π, etc.); b) constantes paramétricas que têm o mesmo valor em cada problema dado, mas podem ter valores diferentes em problemas diferentes. Tais quantidades dependem da situação particular representada no problema. Exemplo: 1) Na equação da área de um círculo, A = πr2 temos que: π é uma constante numérica (aproximadamente igual a 3,1416); A e r são variáveis . 2) Na equação segmentaria da reta
x y + = 1 , temos: a b
1 é constante numérica; a e b são parâmetros; x e y são variáveis NOTA: Na matemática aplicada freqüentemente convenciona-se representar uma variável pela primeira letra do seu nome – por exemplo: p para preço, q para quantidade, c para custo, d para demanda, o para oferta, r para receita e assim por diante.
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FUNÇÕES 1. Definição – dizemos que uma relação f de um conjunto A em um conjunto B, não vazios, é uma função de A em B, se e somente se, cada elemento (x) de A se relaciona com um único elemento (y) de B. Essa relação é denotada por y = f(x). Notação: f:A B x y = f(x) NOTA: x é denominado de variável independente e y de variável dependente, ou seja, o valor de y depende do valor de x que geralmente é expresso por uma lei de formação ou lei de dependência, por exemplo: y = 2.x + 3 2. Domínio – o conjunto A é denominado de domínio da função , indicado por D(f) e representa os valores que a variável independente x pode assumir; 3. Contradomínio – o conjunto B é denominado contradomínio da função, indicado por CD(f) e representa os valores da variável y; 4. Imagem – o conjunto imagem da função é o conjunto de valores que a variável dependente y pode assumir para cada x correspondente. A B A é o domínio ou seja, conjunto de partida B é o contradomínio– conjunto de chegada x f y Conjunto Imagem da função : Im (f) y é a imagem do domínio x Im(f) = { y ∈ B | ∃ x ∈ A com y = f(x) }
Observações: 1. Uma função definida em valores reais f: A B , A e B são subconjuntos reais; 2. Por simplificação, deixamos muitas vezes de explicitar o domínio e o contradomínio da função f, falando apenas da lei y = f(x). Neste caso, fica implícito que o contradomínio é real e o domínio o “maior” subconjunto dos reais para o qual a função está definida (ou seja, para que faça sentido a lei); 3. Algumas funções que comumente são usadas na matemática e por serem utilizadas muitas vezes em operações na própria matemática ou nas aplicações de fenômenos físicos, químicos ou biológicos, ou na área econômica, são denominadas funções elementares. No estudo de tais funções, necessitamos sempre de informações, tais como: Domínio, Imagem, Raízes, gráficos e suas principais propriedades.
I. FUNÇÃO CONSTANTE 1. Definição – f: R R é uma função constante se para cada x ∈ D(f) existe um único y tal que f(x) = k ou y = k, k é uma constante real f: R R x y=k 2. O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo Ox pelo ponto (o ; k) y k
(0; k) ⊡
Im(f) = { k } x 4
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II. FUNÇÃO AFIM (ou função polinomial do 1º grau) 1. Definição – denomina-se função afim a função f: R R x y = ax + b , com a ≠ 0 2. Gráfico – o gráfico da função afim é uma reta (não vertical)de coeficiente angular a e coeficiente linear b, ou seja, a reta que “passa” pelos pontos (0 ; b) e (−b/a ; 0). Para
(f é estritamente crescente)
a>0 y −b/a ● b
Para
a<0 y
● b (−b/a ; 0)
(f é estritamente decrescente)
(0 ; b)
x
● −b/a
● (0 ; b)
(−b/a ; 0) x
Nota: o ponto onde a reta “corta“ o eixo x recebe o nome de raiz da função e é obtido fazendo y = o Temos: y = ax + b se y = 0
ax + b = 0
se x = 0 y = 0.x + b “corta” o eixo dos y .
ax = − b
x = − b/a
que é a raiz ou zero da função
y = b, ou seja, b corresponde ao valor de y onde a reta
3. Inclinação A inclinação da reta é o ângulo “convexo”α entre o eixo x e a reta r, sempre medido de x para r no sentido anti-horário. As únicas situações possíveis são: Reta Horizontal
Reta “Crescente”
y
y
Reta “Decrescente”
y
r
⊡
Reta Vertical
r
y r
α
r
α
α
⊡ x α = 0º
x
0º < α < 90º
x α = 90º
x
90º < α < 180º
4. Coeficiente angular da reta O coeficiente angular, ou declividade da reta r, não vertical, é a tangente trigonométrica do ângulo α, ou seja, a = tg α NOTA: Alguns autores denotam a função do 1º grau por y = mx + n, neste caso: m = tg α 5
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y P y ∆y = y – n
α
(0 ; n)
•
∆x α
0
x
x
A partir do ponto (0 ; n), para uma variação ∆x de x haverá uma correspondente variação ∆y de y. No triângulo retângulo do gráfico acima temos que: ∆y y −n tg α = = x . tg α = y – n y = tg α . x + n ∆x x m Portanto, m = tg α
4.1. Como obter o coeficiente angular “m” sendo dados dois pontos: y r P2 y2 ● y2 – y1 P1 y1
●
α
•
x2 – x1
α x1
x2
x
Seja r uma reta, não vertical, e sejam P1(x1 ; y1) e P2(x2 ; y2) dois pontos distintos de r. No triângulo retângulo da figura, temos: tg α =
y 2 − y1 x 2 − x1
m =
y 2 − y1 x 2 − x1
5. Equação da reta que passa por um ponto Po(xo ; yo) Se Q(x ; y) é qualquer outro ponto da reta (isto é, um ponto genérico), então pode ser usado, juntamente com o ponto Po(xo ; xo) para determinar o coeficiente angular ou y − yo declividade da reta: m = e, como a declividade é constante, podemos x − xo escrever: y – yo = m . (x – xo)
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III. FUNÇÃO QUADRÁTICA (ou polinomial do 2º grau) 1. Definição – denomina-se função quadrática ou função polinomial do 2º grau a função f:R R x y = ax2 + bx + c , com a ≠ 0 Ex.: y = x2 – 5x + 6 ; f(x) = – x2 – 4 ; y = 2x2 ; etc.
2. Gráfico – o gráfico da função polinomial do 2º grau é uma parábola nas seguintes condições: ∆>0
∆=0
y
∆<0
y
y
a>0 x1
x2
x
x1 = x2
x x
x1 ≠ x2
∃x∈ R
y
y
x1 = x2
y x
a<0
∃x∈ R x
x x1 ≠ x2
Os pontos onde o gráfico intercepta os eixos cartesianos Ox e Oy, denominam-se interceptos. No eixo x temos os interceptos (x1 ; 0) e (x2 ; 0) e, no eixo y, o intercepto (0 ; c). ∆ = b2 – 4ac é o discriminante (determina o nº de raízes reais da função). As raízes ou zeros da função polinomial do 2º grau são obtidas através da fórmula de −b ± ∆ Báscara : x = 2a NOTA 1: Se ∆ > 0, a função tem duas raízes reais e distintas: −b+ ∆ −b− ∆ x1 = e x2 = , podemos escrever: 2a 2a f(x) = a . (x – x1) . (x – x2) NOTA 2: Se ∆ = 0, a função tem uma única raiz real de multiplicidade 2: −b x1 = x2 = , neste caso, podemos escrever: 2a f(x) = a . (x – x1)2
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y
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y
a>0
NOTA 3 :
a<0 (Concavidade para baixo)
(Concavidade para cima)
yV
●
V(xV ; yV)
xV xV
x
x ● V (xV ; yV)
yV
eixo de simetria As coordenadas do vértice da parábola são : xV =
−b 2a
e
yV =
−∆ 4a
−∆ −b , logo: V = ; 4a 2a
OBSERVAÇÃO: 1. Se a > 0 , V é ponto de mínimo (ou minimante) da função. A imagem da − ∆ função neste caso, será: Im(f) = ; +∞ 4a 2. Se a < 0 , V é ponto de máximo (ou maximante) da função. A imagem da −∆ função neste caso, será: Im(f) = − ∞ ; 4a
EXERCÍCIOS GERAIS DE FUNÇÃO 1. Se (a + 2b, a – 4) e (2 – a, 2b) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, determine o valor de ab. 2. Sejam os conjuntos A = {1; 2; 3} e B = {0; 1; 3; 5}. Represente num diagrama de flechas as seguintes relações binárias de A em B: a. f = { (x; y) ∈ A x B | y = x + 2}; b. g = { (x; y) ∈ A x B | y > x}; c. h = { (x; y) ∈ A x B | y = 2x – 1} 3. Sendo A = {0; 2; 4} e B = {1; 3; 5}, represente no gráfico cartesiano de A x B a relação y = x + 1, com x ∈ A e y ∈ B. 4. Represente graficamente a função f: R
R, definida por y = x + 1.
5. Quais dos seguintes diagramas definem uma função de A ={a, b, c, d} em B = {x, y,z,w} A B A B A B A B A B a x a x a x x x a a b y b y b y y y b b c z c z c z z z c c d w d w d w w w d d (I) a) II, III e IV
(II) b) I e IV
(III) c) IV e V
(IV)
(V)
d) I, III e V
e) I, IV e V 8
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6. “Quando uma máquina tem t anos de idade, seu valor de revenda é de: v(t) = 4800 . e-t/5 + 400 reais.” Qual era o preço, em reais, da máquina nova? 7. Considere as funções f(x) = 3x – 5, g(x) = 3x2 + 2x – 4, h(x) = x – x2 e o número real f(0) ÷ g( −1) . Determine o valor de 5 . A −1 A = h(2) 8. O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, denominada bandeirada, e uma parcela que depende da distância percorrida. Se a bandeirada custa R$ 3,44 e cada quilômetro rodado custa R$ 0,86, calcule: a) o preço de uma corrida de 11 km; b) a distância percorrida por um passageiro que pagou R$ 21,50 pela corrida. Solução: Seja P(x) o preço, em reais, a ser pago por uma corrida de x km. De acordo com o enunciado, temos: P(x) = 3,44 + 0,86 . x a) Para x = 11 P(11) = 3,44 + 0,86 . 11 = 3,44 + 9,46 P(11) = R$ 12,90 b) Para P(x) = 21,50, teremos: 3,44 + 0,86 . x = 21,50 0,86x = 18,06 x = 21 km 9. O diagrama abaixo representa uma função f de A em B. Determine o domínio e a imagem dessa função. A 0 1 2 3
B f
2 4 10 0 9
D(f) = Im(f) =
10. Determine o domínio das funções: 2 b) f(x) = a) y = x−4 d) f(x) = (2x – 6) 0,333... g) y =
2−x
e) y = h) f(x) =
2
x − 4x + 4
x−5 5
x−5 x−2 x−3
c) y =
2 2
x −4 x−2 f) f(x) = x−3 i) y =
x−2 x−3
11. Qual dos gráficos seguintes representa uma função f de R *+ em R ? R R R a) b) c)
R
R
R 9
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R
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R
d)
e)
R R 12. O gráfico de f(x) = x2 + bx + c, em que b e c são constantes, passa pelos pontos (0; 0) e (1; 2). Determine a imagem do domínio x = −2/3 13. Seja f: R R a função definida por f(x) = 2x – 4. Construa o gráfico de f e complete as sentenças abaixo: a) O conjunto solução da equação f(x) = 0 ou 2x – 4 = 0 é S = { } b) O conjunto solução de f(x) > 0 ou 2x – 4 > 0 é S = { } c) O conjunto solução de f(x) < 0 ou 2x – 4 < 0 é S = { } 14. Seja g: R R a função definida por g(x) = – x + 3. Construa o gráfico de g e complete as sentenças abaixo: a) O conjunto solução da equação g(x) = 0 ou – x + 3 = 0 é S = { } b) O conjunto solução de g(x) > 0 ou – x + 3 > 0 é S = { } c) O conjunto solução de g(x) < 0 ou – x + 3 < 0 é S = { } 15. A função f, do 1º grau, é definida por f(x) = 3x + k. Determine: a) O valor de k para que o gráfico de f “corte” o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5; b) O ponto em que o gráfico de f “corta” o eixo das abscissas.
16. Determine a função polinomial do 1º grau que contém os pontos (1; 3) e (3; 7) 17. Esboce o gráfico da função f :R R definida por f(x) = x2 – 4x + 3 e determine o conjunto solução das inequações abaixo: a) x2 – 4x + 3 > 0 b) x2 – 4x + 3 ≥ 0 d) x2 – 4x + 3 ≤ 0 c) x2 – 4x + 3 < 0 18. Esboce o gráfico da função f :R R definida por f(x) = x2 – 4x + 4 e determine o conjunto solução das inequações abaixo: a) x2 – 4x + 4 > 0 b) x2 – 4x + 4 ≥ 0 c) x2 – 4x + 4 < 0 d) x2 – 4x + 4 ≤ 0 19. Um homem-bala é lançado de um canhão e sua trajetória descreve uma parábola. Considerando que no instante de lançamento (t = 0) ele está a 3 metros do solo, 1 segundo após ele atinge a altura de 4 metros e 3 segundos após o lançamento ele atinge o solo, pede-se: a) A altura h do homem-bala, medida em metros e a partir do chão, em função do Resp.: h(t) = − t2 + 2t + 3 tempo t, medido em segundos; b) O valor de h para t = 2. Resp.: 3 metros 10
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20. Determine o vértice da parábola de função y =
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1 (x + 4) (x – 8) 4
21. Obtenha o vértice e o conjunto-imagem da função f : R f(x) = x2 – 6x + 5 22. Determine o conjunto-imagem da função f : R
R definida por
R definida por f(x) = −x2 + 8x – 12.
23. Esboçar o gráfico e obter o conjunto-imagem da função f : [−1; 4] f(x) = x2 – 2x – 3.
R definida por
24. Esboce o gráfico da função f : [0; 5] R definida por f(x) = x2 – 4x + 3. Ache o máximo e o mínimo de f. 25. Nas funções polinomiais do 2º grau abaixo, determine os interceptos e construa o seu gráfico: a) f(x) = x2 – 2x b) f(x) = x2 – 4 c) y = – x2 + 2x + 3 d) y = x2 – 6x + 8 26. Uma indústria produz óculos de sol pelo preço de R$ 20,00 cada. Calcula-se que se cada óculos for vendido por p reais, os consumidores comprarão 120 – p unidades. a) expresse o lucro L(p) da indústria em função do preço de venda; b) esboçar o gráfico; c) calcular o preço para o qual o lucro será máximo Resolução: a) O lucro é expresso pelo produto : (preço vendido – custo de fabricação) . (unidades vendidas) , ou seja: L(p) = – p2 + 140 p – 2400
L(p) = (p – 20) . (120 – p)
b) As raízes ou zeros da função são dadas por – p2 + 140 p – 2400 = 0 ou então, por (p – 20) . (120 – p) = 0 p – 20 = 0 ou 120 – p = 0
p1 = R$ 20,00
I1 (20 ; 0)
p2 = R$ 120,00
I2 (120 ; 0)
p1 + p 2 20 + 120 = = 70 xV = R$ 70,00 e 2 2 yV = L(xV) = L(70) = (70 – 20) . ( 120 – 70) = 50 . 50 yV = R$ 2500,00 que representa o preço máximo de lucro, ou seja, LMÀX = R$ 2.500,00 L(p)
O vértice é dado por : xV =
c) do gráfico e do cálculo do item (b) , concluímos que o lucro será máximo quando o preço p for igual ao xV , ou seja:
2500
p = R$ 70,00 20
70
120
p 11
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IV. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 1. FUNÇÃO SENO A) Definição: é uma função de IR em IR, tal que a cada x associa um y = sen x. f : IR IR | y = sen x Geometricamente, o valor do seno de x é a medida algébrica do segmento ON obtido pela projeção ortogonal do raio OP em que AP é um arco trigonométrico. Eixo dos senos
Sinal do Seno :
P
N⊡ 1 x
Sen x
IIº Q
⊕ A
⊕
⊕
Θ
Θ
Iº Q
O
Θ
IIIº Q
IVº Q
y = sen x = ON B) Gráfico: O gráfico da função seno é uma curva chamada “senóide”. 1
−
−2π −
3π 2
π 2
⊕
−π
⊕
π 2
0
π
3π 2 Θ Θ
4π
2π
−1
x 0º = 0 rad 30º = π/6 45º = π/4 60º = π/3
y 0 1/2
90º = π/2 180º = π 270º = 3π/2 360º = 2π
1 0 −1 0
Do gráfico, temos: 1) sen x = sen (x ± 2π), pois x e (x ± 2π) são arcos de mesma extremidade no ciclo trigonométrico; 2) D(f) = IR e Im(f) = [−1; 1] ou Im(f) = {y ∈ IR | −1 ≤ y ≤ 1}; 3) a função é crescente no 1º e no 4º quadrantes; 4) a função é decrescente no 2º e 3º quadrantes; 5) o período (comprimento da senóide) da função seno é 2π; 6) a função seno é ímpar, pois sen (−x) = −sen x
2 /2
3 /2
2. FUNÇÃO CO-SENO A) Definição: é uma função de IR em IR, tal que a cada x associa um y = cos x. f : IR IR | y = cos x Geometricamente, o valor do co-seno de x é a medida algébrica do segmento OM obtido pela projeção ortogonal do raio OP em que AP é um arco trigonométrico. P Eixo dos co-senos
1 ⊕ x ⊡ A M O cos x Θ
y = cos x = OM
Sinal do co-seno : IIº Q
IIIº Q
Θ
⊕
Θ
⊕
Iº Q
IVº Q
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B) Gráfico: O gráfico da função co-seno é uma curva chamada “co-senóide”. y
x 0º = 0 rad 30º = π/6
1 ⊕
−π −2π
−
−
3π 2
π 2
π 2
0
Θ
45º = π/4 60º = π/3 4π x 90º = π/2 180º = π 270º = 3π/2 360º = 2π
⊕
π
3π 2
Θ
2π
−1
y 1 3 /2
Do gráfico, temos: 1) cos x = cos (x ± 2π), pois x e (x ± 2π) são arcos de mesma extremidade no ciclo trigonométrico; 2) D(f) = IR e Im(f) = [−1; 1] ou Im(f) = {y ∈ IR | −1 ≤ y ≤ 1}; 3) a função é crescente no 3º e no 4º quadrantes; 4) a função é decrescente no 1º e 2º quadrantes; 5) o período (comprimento da co-senóide) da função co-seno é 2π; 6) a função co-seno é par, pois cos (−x) = cos x.
2 /2 1/2 0 −1 0 1
3. FUNÇÃO TANGENTE A) Definição: é uma função de IR – {
π + n π, n ∈ Z } em IR, tal que a cada x associa 2
um único y = tg x, ou seja: f : IR – {
π + n π, n ∈ Z } 2
IR | y = tg x
Geometricamente, o valor da tangente de x é a medida algébrica do segmento AT obtido pela projeção ortogonal do segmento OT no eixo das tangentes, em que AP é um arco trigonométrico, conforme figura: Eixo das tangentes
Sinal da tangente:
T P 1 x
•
tg x
⊕
IIº Q
Θ
⊕
⊕
Θ
Iº Q
A
O
Θ
IIIº Q
IVº Q
y = tg x = AT B) Gráfico: o gráfico da função tangente é uma curva chamada “tangentóide”. y
π 2
−π
−2π
−
3π 2
−
π 2
D(f) = { x ∈ IR| x ≠
0
x 0º = 0 rad 30º = π/6
3π 2 π
4π 2π
x
π + n π, n ∈ Z }, Im(f) = IR e período = π 2
y 0 3 /3
45º = π/4 60º = π/3
1
90º = π/2 180º = π 270º = 3π/2 360º = 2π
∫ 0 ∫ 0
3
13
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Anotações de Aula
Eurípedes Machado Rodrigues
4. FUNÇÃO COTANGENTE, SECANTE E CO-SECANTE O estudo das funções Cotangente, Secante e Co-secante pode ser feito a partir das três funções já vistas (seno, co-seno e tangente), pois elas são funções inversas. Assim, podemos escrever: 1 sen x FUNÇÃO COTANGENTE: f(x) = cotg x = , com tg x ≠ 0 e tg x = tg x cos x 1 FUNÇÃO SECANTE: f(x) = sec x = , com cosx ≠ 0 cos x 1 FUNÇÃO CO-SECANTE: f(x) = cossec x = , com sen x ≠ 0 sen x NOTA: A relação fundamental da trigonometria é: sen 2 x + cos 2 x = 1. Dessa relação, obtemos duas relações auxiliares: 1) sec 2 x = 1 + tg2 x 2) cos sec 2 x = 1 + cotg 2 x
EXERCÍCIOS 1. Esboce os gráficos das funções e determine a sua imagem: a) y = | sen x|
e) y = 2. cos x
b) f(x) = | cos x|
f) y = 1 + sen x
c) y = | tg x | , para −
π π
0 e a ≠1, chama-se função exponencial de base a à IR *+ definida por f(x) = ax
função f: IR •
Domínio = IR
•
Contradomínio = Conjunto Imagem = IR *+
Em a > 0 e a ≠1, temos:
0
1 a 01
Gráfico: O gráfico da função exponencial é uma curva exponencial do tipo: A) Crescente se a > 1 y
B) Decrescente se 0 < a < 1 y
a 1 1
∙
∙
a 1
x
1
x
Exemplo 1. Esboçar o gráfico da função definida em IR por f(x) = 2x x
y = 2x
-3
1/8
-2
1/4
-1
1/2
0
1
1
2
2
4
3
8
Exemplo 2.
1 2
x
Esboçar o gráfico da função exponencial definida em IR por f(x) = 15
Cálculo Diferencial e Integral de uma variável para os cursos de Engenharia e CC
Anotações de Aula
Eurípedes Machado Rodrigues
x
y=(1/2)x
-3
8
-2
4
-1
2
0
1
1
1/2
2
1/4
3
1/8
PROPRIEDADES: P1 : ∀ x ∈ IR, ax > o P2 : f(0) = a o = 1 f(1) = a 1 = a Se x1 , x2 ∈ IR e 0 < a ≠ 1 , então: P3 : a
x1
P4 : a
x1
= a x2 ⇔ x1 = x 2
x ≥ x 2 , se a > 1 ≥ a x2 ⇒ 1 x1 ≤ x 2 , se 0 < a < 1
NOTA: Um caso particular importante é o número de Euler “e” = 2, 7182818184..., que é usado no cálculo dos logaritmos naturais ou neperianos (em homenagem ao seu criador John Napier 1550 - 1617) cuja base usa a constante de “Néper” que é o número de Euler. Assim, f(x) = ex é a função exponencial natural. LOGARITMO – Chama-se logaritmo de um número N, numa base a o expoente x que se deve elevar a base a para se obter o número N, ou seja:
log N = x ⇔ a x = N a
, onde N e a são números reais, tais que N > 0 e
0 0)
x3 = 43
x2 – 1 = 31
(0 < x ≠ 1)
x=4 x2 = 4
x= ± 2
VI. FUNÇÃO LOGARITMO Dado um número real a, tal que, 0 < a ≠ 1, chama-se função logarítmica de base a a função f: IR *+ IR definida por f(x) = log x a
• •
IR *+
Domínio = Contradomínio = Imagem = IR
Gráfico: O gráfico da função logarítmica é uma curva logarítmica do tipo: A) Crescente se y
B) Decrescente se y
a>1
0 1
P3 : log a x1 ≤ log a x2
x1 ≥ x2 , se 0 < a < 1
log a x ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 log a x ≤ 0 ⇔ 0 < x ≤ 1
P4 : para a > 1, temos:
log a x ≥ 0 log a x ≤ 0
⇔ 0 < x ≤1 ⇔ x ≥ 1
P5 : para 0 < a < 1 , temos:
DERIVADAS (Resumo) 1. TAXA DE VARIAÇÃO Dada a função f(x) = 2x + 3, quando atribuímos valores para a variável x, obtemos valores correspondentes para a variável y ou f(x): x
y = 2x + 3
0 1 2 3
y = f(0) = 2 . 0 + 3 y = f(1) = 2 . 1 + 3 y = f(2) = 2 . 2 + 3 y = f(3) = 2 . 3 + 3
(x ; y) = = = =
3 5 7 9
(0 ; 3) (1 ; 5) (2 ; 7) (3 ; 9)
De acordo com os valores da tabela, notamos que, a medida que x varia de 0 até 3, a variável y varia de 3 até 9, ou seja: x1 = 0 y1 = 3 x2 = 3 y2 = 9 ∆x = x2 – x1 = 3 (a variação de x foi de 3 unidades)
∆y = y2 – y1 = 6 (a variação de y foi de 6 unidades)
A taxa de variação de uma função em relação a sua variável independente x, dada ∆y , representa o coeficiente angular da reta ou a sua inclinação, e que é no caso por ∆x sempre constante, quando a função dada é linear. Vejamos a tabela para y = 2x + 3: 18
Cálculo Diferencial e Integral de uma variável para os cursos de Engenharia e CC
x1
x2
∆x = x2 – x1
0 1 2 3
1 3 5 6
1–0=1 3–1=2 5–2=3 6–3=3
Anotações de Aula
Eurípedes Machado Rodrigues
y1 = f(x1)
y2 = f(x2)
∆y = y2 – y1
3 5 7 9
5 9 13 15
5–3=2 9–5=4 13 – 7 = 6 15 – 9 = 6
∆y ∆x 2 ÷1 = 2 4 ÷2 = 2 6 ÷3 = 2 6 ÷3 = 2
∆y = 2 , isto significa que o coeficiente angular da reta (m) ∆x é constante e igual a 2, ou seja, m = 2 na reta de equação y = mx + n. Assim, a taxa de variação
Para uma função do 2º grau, a taxa de variação não será mais uma constante, por exemplo, seja a função f(x) 2x2 – 1 x1
x2
0 1 2 3
–1 –2 4 5
∆x = x2 – x1
y1 = f(x1)
y2 = f(x2)
∆y = y2 – y1
–1 1 7 17
1 7 31 49
1 – (–1) = 2 7–1=6 31 – 7 = 24 49 – 17 = 32
–1 – 0 = –1 –2 – 1 = –3 4–2=2 5–3=2
Veja a situação dos dois gráficos: y
y
∆y ∆x –2 –2 12 16
y = x2 – 1
y = 2x + 3
7 2=(∆y) 5
=(∆y) 1=(∆x) 2=(∆y)
3
= (∆x) 1=(∆x) 1
2
=(∆y)
x
x =(∆x)
Taxa de variação constante: ∆y 2 2 = = =2 ∆x 1 1
Taxa de variação não constante: ∆y 6 2 = ≠ ∆x 1 1
2. NOÇÃO INTUITIVA DE DERIVADA Seja a função y = f(x) contínua num intervalo [a ; b], com a ≤ x1 ≤ x2 ≤ b. Se ∆x = x2 – x1 e ∆y = y2 – y1 = f(x2) – f(x1) , então a taxa de variação é dada y 2 - y1 f(x 2 ) − f(x1 ) ∆y = = (I) por: x 2 − x1 x 2 − x1 ∆x 19
Cálculo Diferencial e Integral de uma variável para os cursos de Engenharia e CC
Como ∆x = x2 – x1
Anotações de Aula
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x2 = x1 + ∆x
Substituindo em (I) , teremos:
∆y = ∆x
y
f(x 2 ) − f(x1 ) f(x1 + ∆x) − f(x1 ) = x 2 − x1 ∆x f(x) reta secante
Q y2 ∆y = y2 – y1 P y1 ∆x = x2 – x1 a
x1
b x2 = x1 + ∆x
x
Sendo ∆x um acréscimo dado em x (positivo ou negativo) e ∆y um acréscimo dado ∆y em y (positivo ou negativo), a taxa de variação , que é um quociente de acréscimos, ∆x pode ser também positiva ou negativa, significando coeficiente angular ou inclinação ∆y positiva ou negativa . Essa taxa de variação também é chamada de razão ∆x ∆y incremental ou taxa média de variação. Na figura acima, a taxa de variação ∆x representa o coeficiente angular da reta secante à curva determinada pelos pontos P(x1 ; y1) e Q(x2 ; y2). Quando o ponto Q tende a P, isto é, o ponto Q desloca-se sobre a curva até coincidir com o ponto P, a reta secante se aproxima da reta tangente à curva. Isto faz com que ∆x 0 (lê-se: delta x tende a zero). y
reta
reta x
Como vimos no gráfico, à medida que x2 x1 (x2 tende a x1), ∆x vai tendendo a zero, conseqüentemente , a reta secante vai se aproximando da reta tangente. Usando a teoria dos limites, podemos escrever:
f(x 2 ) − f(x1 ) f(x 1 + ∆x ) − f(x1 ) ∆y = lim = lim que é o coeficiente ∆x → o ∆x → o ∆x → o ∆x x 2 − x1 ∆x angular da reta secante quando Q P, ou seja, Q tende a coincidir com P. 20 lim
Cálculo Diferencial e Integral de uma variável para os cursos de Engenharia e CC
Anotações de Aula
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∆y , que é o limite de uma taxa instantânea de variação ou ∆x → o ∆x simplesmente, taxa de variação quando ∆x → 0, chamamos de derivada da função f(x) no ponto x1∈D(f) e indicamos por f’(x1), quando o limite existe e é finito. A esse limite, lim
f’(x1) = lim
Portanto:
∆x → o
f(x 1 + ∆x ) − f(x1 ) ∆y = lim ∆x → o ∆x ∆x
NOTA: Se um ponto P(x0 ; y0) pertence a uma função y = f(x), então o coeficiente angular da reta tangente à curva dada pela função será: f(x 0 + ∆x ) − f(x 0 ) ∆y = lim ∆x → o ∆x ∆x
m = f’(x0) = lim
∆x → o
A derivada de uma função y = f(x) é a função denotada por y’ ou f’(x), tal que, seu valor em qualquer x do domínio de f é dado por: y’ = f’(x) = lim
∆x → o
f(x + ∆x ) − f(x ) ∆x
, se o limite existir.
NOTA: Dizemos que uma função é derivável quando existe a derivada para todos os pontos do seu domínio. OBSERVAÇÃO: A derivada de uma função pode ser denotada por: y’
ou
f’(x) ou
dy dx
ou
df dx
ou
Dx(y)
ou Df(x)
notação de Leibniz
Exemplos:
1) Calcular a derivada da função f(x) = 3x2 f(x + ∆x ) − f(x ) 3.(x + ∆x )2 − 3 x 2 = lim f’(x) = lim ∆x → o ∆x → o ∆x ∆x f’(x) = lim
3.( x 2 + 2x∆x + ∆x 2 ) − 3x 2 3x 2 + 6x∆x + 3 ∆x 2 − 3 x 2 = lim ∆x → o ∆x ∆x
f’(x) = lim
0 6 x∆x + 3 ∆x 2 ∆x . ( 6x + 3 ∆x) = lim = lim 6x + 3 ∆x = 6x + 3.0 ∆x → o ∆x → o ∆x ∆x
∆x → o
∆x → o
Portanto : f’(x) = 6x
ou
y’ = 6x
2) Calcular o coeficiente angular da reta tangente à curva f(x) = 3x2 no ponto P( 1 ; 3 ) Solução: xo yo Da questão (1) vimos que f’(x) = 6x e, sabendo que m = f’(x0) , onde xo é a abscissa de um ponto pertencente à curva dada, concluímos que: m = f’(xo) = f’(1) = 6 .1
m=6
21
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Anotações de Aula
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y reta tangente (y = mx + n) 3
P(1 ; 3) x
1
3) Determine a equação da reta tangente à curva f(x) = 3 x2, no ponto P(1; 3)
Solução: A equação da reta tangente pode ser obtida pela fórmula: y – yo = m . ( x – xo ) Das questões (1) e (2) , temos que: m = 6, xo = 1 e yo = 3 Portanto: y – 3 = 6 . (x – 1)
y – 3 = 6x – 6
y = 6x – 3 que é a
equação da reta tangente representada no gráfico acima.
A) A DERIVADA COMO VELOCIDADE S(t) S(t + ∆t) ∆S
∆S = S(t+∆t) – S(t) é o deslocamento
S(t)
t t
(t + ∆t) ∆t
Temos que:
∆S S(t + ∆t) − S(t) = = vm ∆t ∆t
Quando ∆t→0 , obtemos a velocidade instantânea, ou velocidade no instante t, que é o limite das velocidades médias, ou seja: S(t + ∆t) − S(t) dS = ∆t dt ∆t → 0
v(t) = lim
ou
v(t) =
dS = S' (t) dt
Esse valor é o que se vê no velocímetro de um auto.
B) ACELERAÇÃO – De modo análogo à velocidade, temos: A aceleração média no instante t é dada por: 22
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am =
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v(t + ∆t) − v(t) ∆t
Quando ∆t→0 , obtemos a aceleração instantânea, ou aceleração no instante t, que é o limite das acelerações médias, ou seja: v(t + ∆t) − v(t) dv = ∆t dt ∆t → 0
a(t) = lim
ou
a(t) =
dv = v' (t) dt
EXEMPLO 1: No instante t = 0 um corpo inicia um movimento em linha reta. Sua posição no instante t é dada por S(t) = 16t – t2 . Determinar: a) a velocidade média do corpo no intervalo de tempo [2 ; 4]; b) a velocidade do corpo no instante t = 2; c) a aceleração média no intervalo [0 ; 4]; d) a aceleração no instante t = 4 Resolução: ∆S S(4) − S(2) (16.4 − 4 2 ) − (16.2 − 2 2 ) 48 − 28 = = = = 10 unid. vel. ∆t 4−2 2 2 b) V(t) = S’(t) = 16 – 2t no instante t = 2, temos: v(2) = 16 – 2 . 2 = 12 unid. vel. ∆V v(4) − v(0) (16 − 2.4) − (16 − 2.0) 8 − 16 − 8 c) am = = = = = = − 2 unid. acel. ∆t 4−0 4 4 4 d) a(t) = V’(t) = S’’(t) = −2 no instante t = 4, temos: a(4) = −2 unid. acel.
a) Vm =
2. Calcular a taxa de variação da função f(x) = x2 + 3x – 1, quando x varia de 1 para 3. ∆y f (3) − f (1) (3 2 + 3.3 − 1) − (12 + 3.1 − 1) 17 − 3 14 = = = = 7 = ∆x 3−1 2 2 2
3. Dada a função y = x2 + x + 1, determinar a taxa de variação da função quando x aumenta de 0 para 1. ∆y f (1) − f (0) (12 + 1 + 1) − (0 2 + 0 + 1) 3 − 1 2 = = = = = 2 ∆x 1− 0 1 1 1
4. Uma cidade é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é, aproximadamente, dado por: t3 f (t ) = 64t − . 3 a) qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4 ?; b) qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8 ?; c) quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º dia ? Resolução: 23
Cálculo Diferencial e Integral de uma variável para os cursos de Engenharia e CC
Anotações de Aula
Para um tempo t qualquer, a taxa é dada por
Eurípedes Machado Rodrigues
f’(t) = 64 – t2
a) no tempo t = 4 , temos: f’(4) = 64 – 42 = 64 – 16 = 48 pessoas / dia; b) no tempo t = 8 , temos: f’(8) = 64 – 82 = 64 – 64 = 0 a epidemia está totalmente controlada. c) Como o tempo foi contado em dias a partir do 1º dia de epidemia, o 5º dia corresponde à variação de t do 4º para o 5º dia. O número de pessoas atingidas pela moléstia durante o 5º dia foi: 5 3 4 3 125 64 f(5)–f(4) = 64 . 5 − ≅ 43 pessoas − 64 . 4 − = 320 − − 256 + 3 3 3 3 OBSERVAÇÃO: dS * A taxa de variação da função horária é chamada de velocidade escalar = V; dt dv * A taxa de variação da velocidade é chamada de aceleração escalar = a. dt
Para facilitar o cálculo das derivadas das funções, evitando o uso da definição, podemos usar as regras de derivação a seguir: REGRAS DE DERIVAÇÃO: (derivadas de algumas funções elementares) Função Derivada y=k y’ = 0 y=x y’ = 1 y=k.x y’ = k n y=x y’ = n . x n – 1 y=k.xn y’ = k . n . x n − 1 y=k.u y’ = k . u’ n y=u y’ = n . u n – 1 . u’ y=u±v y=u.v u y= v y = eu y = ln u y = au y = log u a
y = sen u y = cos u y = tg u y = cotg u
y’ = u’ ± v’ y’ = u’.v + v’. u u'. v − v' . u y’ = v2 u y’ = e . u’ u' y’ = u y’ = au . ln a . u’ u' u' y’ = . log e ou y’ = a u u . ln a y’ = u’ . cos u
K = constante real; u e v são funções de x; n é um número natural.
Obtidas a partir da Regra da Cadeia
y’ = − u’ . sen u y’ = u’ . sec2 u y’ = − u’ . cossec2 u
Exemplos: I) Calcular pela regra de derivação a derivada das seguintes funções: 24
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1) f(x) = 5
f’(x) = D(k) = 0
2) f(x) = 3 . x
f’(x) = D(k . x) = k
3) f(x) = x3
f’(x) = D(xn) = n . x n – 1 f’(x) = 3 . x
4) f(x) = 3x + 2
Eurípedes Machado Rodrigues
f’(x) = 3 , n=3
3–1
f’(x) = 3 x2
f’(x) = D(u + v) = u’ + v’ = 3 + 0 = 3
5) f(x) = (2x + 3)3
f’(x) = D(un) = n . un – 1 . u’ n=3 u = 2x + 3 u’ = 2 + 0 = 2 f’(x) = 3 . (2x + 3)3 – 1 . 2
6) y = x3 – 12x + 5 7) y =
f’(x) = 6 . (2x + 3)2
y’ = 3x2 – 12
2
2
x − 3x
1 2 3x)
y’ = D(un) = n . un−1 . u’
y = (x – n = 1/2 u = x2 – 3x
u’ = 2x – 3
1
−1 1 y’ = . (x2 – 3x) 2 . (2x – 3) 2
8) y = (2 + 3x).(5 – 2x)
1 y’ = . (x2 – 3x) 2
2x + 4 3x − 1
y’ =
2 . (3x − 1) − 3 . (2x + 4) (3 x − 1) 2
6 x − 2 − 6 x − 12
=
(3 x − 1)2
f’(x) = D(ln u) =
5x –2
2 − 3x
u
13) y = log (2x + 3) u = 2x + 3 14) y = sen 5x
u’ = 3x2
− 14 (3 x − 1)2
y’ =
u
f’(x) = D(e ) = e . u’ u = 5x – 2 u’ = 5 y’ = D(au) = au . ln a . u’ y’ = 2 x
y’ =
u' u
u = x3 – 2
12) y = 2 x
y’ = 11 – 12x
u'. v − v' . u u y’ = D = v v2 u = 2x + 4 u’ = 2 v = 3x – 1 v’ = 3
10) f(x) = ln (x3 – 2)
11) f(x) = e
. (2x – 3)
y’ = D(u . v) = u’.v + v’. u u = 2 + 3x u’ = 3 v = 5 – 2x v’ = −2
y’ = 3 . (5 – 2x) + (−2) . (2 + 3x) = 15 – 6x – 4 – 6x 9) y =
−1 2
3x 2 x3 − 2
y’ = 5. e5x – 2 a = 2 , u = x2 – 3x
u’ = 2x – 3
2 − 3x
. ln 2 . (2x – 3) u' y’ = D(log u) = u . ln a 2 u’ = 2 y’ = (2x + 3) . ln 10 y’ = D(sen u) = u’ . cos u 25
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u = 5x
Anotações de Aula
u’ = 5
Eurípedes Machado Rodrigues
y’ = 5 . cos 5x
15) y = cos (2x + 3) u = 2x + 3
y’ = D(cos u) = − u’ . sen u u’ = 2 y’ = − 2 . sen (2x + 3)
16) y = tg (x2 – 4x) u = x2 – 4x
y’ = D(tg u) = u’ . sec2 u u’ = 2x – 4 y’ = (2x – 4) . sec2 (x2 – 4x)
II) Dada a função f(x) = x2 + 2x –1 , determine: 1) a variação de y quando x aumenta de 1 para 3 para x1 = 1 , temos: y1 = 12 + 2 . 1 – 1 = 1 + 2 – 1
y1 = 2
para x2 = 3 , temos: y2 = 32 + 2 . 3 – 1 = 9 + 6 – 1
y2 = 14
Temos: quando x varia de 1 para 3, y varia de 2 para 14 ∆y ∆x 14 − 2 12 = = = 6 3 − 1 2
2) a taxa de variação
y − y1 ∆y = 2 ∆x x 2 − x1
EXERCÍCIOS 1) Calcular a primeira derivada das seguintes funções: a) f(x) = – 10 d) f(x) = x
b) f(x) = 4x e) y = (x2 – 3x).(x + 1)
1 3 x
g) y = j) f(x) = (2x + 3)5 m) y = 9x3 + 5
1 − x 4
1 x+2 k) y = 4x2 + 2x n) y = (7 – x)(7 + x)
h) y =
p) y = 4x3 + 5x2 +10x – 3 q) y = (2x + 2)2 + (x –1)2 x2 t) y = ( x + 3)5 . x + 3 s) y = x+4 v) y = 3 2 x + 4
x) f(x) = log (x2 +5)
c) y = 5x2 + 6x - 2 x−2 f) y = x+3 3 i) y = x + 3
x +4 x2 − 3 o) y = x r) y = (2x + 4)0,5 l) y =
1
1 + 2x 3 u) y = x z) y = ln (x3 – 3x)
3
2) Se λ é a curva de equação y = x3 – 12x, determine a equação da reta tangente à curva, no ponto de abscissa 4, ou seja, xo = 4. 3) Determine a taxa de variação da função f(x) = x2 + 1 quando x varia de 1 para 3. 4) O lucro semanal de uma fábrica em função do preço de venda, é dado pela lei denominada função lucro por: L(p) = 20.(10 – p).(p – 2) . Determinar a taxa de variação do lucro se o preço p variar de R$ 2,00 para R$ 6,00. 26
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Anotações de Aula
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REGRA DA CADEIA (Derivada da função composta) dy du e existem, então a du dx função composta y = g[f(x)] tem derivada que é dada por:
Seja y = g(u), u = f(x) e se as derivadas
dy dy du = . dx du dx
ou
y’(x) = g’(u) . f ' (x)
dy : dx a) y = (x2 + 3x + 4)5. A função equivale a y = u5 , então: dy du = 5.u4 ; sendo u = x2 + 3x + 4, temos = 2x + 3 . Logo: du dx dy dy du = . = 5. u4 . (2x + 3) = 5.(x2 + 3x + 4)4.(2x + 3) dx du dx
Exemplo: Determine as derivadas
Obs.: Note que: se y = un, então y’ = n.un−1.u’ b) y = (2x +1)100 u = 2x + 1
∴
y = un du =2 dx
e
dy = 100.u99 du
dy dy du = . = 100.u99.2 = 200.(2x + 1)99 dx du dx
c) y = ln(x2 + 1)
y = ln u du dy 1 = 2x e = u = x2 + 1 dx du u dy dy du 1 2x = . = . 2x = ∴ dx du dx u x2 + 1
d) y = 5 . x2 + 3 y = 5 . (x2 + 3)1/2 dy y’ = = a.n.un−1.u’ dx a=5 , n=½ du u = x2 + 3 u’ = = 2x dx 1
dy 2x = y’ = dx x2 + 1
y = a.un
−1
−1 dy 1 = y’ = 5 . . (x2 + 3) 2 . 2x = 5x . (x2 + 3) 2 = dx 2
dy = y’ = dx
5x 1 (x 2 + 3) 2
ou
5x x2 + 3
27
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DERIVADA IMPLÍCITA Seja F(x; y) = 0 uma equação nas variáveis x e y. Se existir uma função f, tal que para todo x pertencente ao seu domínio [∀x∈D(f)] se tenha F(x; y) = 0, dizemos que f é dada implicitamente por essa equação.
Exemplos: 1 y − 1 = 0 define implicitamente a função y = 2.(1- x2) 2 Verificação: substituindo y = 2.(1 – x2) na equação dada, temos: 1 x2 + . 2 . (1 – x2) – 1 = 0 x2 + 1 – x2 – 1 = 0 0 = 0 (V) 2
a) A equação x2 +
b) A equação x2 + y2 = 4 (que é a equação de uma circunferência de centro na origem e raio igual a 2) define, implicitamente, as funções: x2 + y2 = 4 y=
4 − x2 ou
y=−
y2 = 4 –x2
y=±
4 − x2
funções na forma implícita
4 − x2
A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA IMPLÍCITA Suponhamos que F(x; y) = 0 defina implicitamente uma função derivável y = f(x). Podemos determinar y’, sem explicitar y (sem precisar isolar y), usando a regra da cadeia.
Exemplos: 1) Determinar as derivadas implicitamente: a) x2 + y2 = 4 derivando ambos os membros em relação a x, temos: d (x2 + y 2 ) d(4) = ou (x2 + y2)’ = (4)’ dx dx
dx 2 dy 2 + =0 ou dx dx dy =0 ou 2x + 2y . dx dy isolando-se ou y’ , temos: dx dy 2y . = − 2x ou dx dy − 2x x = ou =− dx 2y y
(x2)’ + (y2)’ = 0 2x + 2y . y’ = 0
2y . y’ = − 2x y’ =
− 2x x =− 2y y
1 y–1=0 2 derivando membro a membro, temos:
b) x2 +
28
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'
2 1 x + y − 1 = 0’ 2 1 y ’ = − 2x 2
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'
1 (x )’ + y - (1)’ = 0 2
1 2x + y' - 0 = 0 2
2
y’ = − 4x
c) x2 + 5y3 – x = 5 temos: (x2 + 5y3 – x )’ = 5’ 15y2 . y’ = 1 – 2x
y’ =
2x + 15y2.y’ – 1 = 0 1 − 2x 15y2
d) x . y – ln y = 2 temos: (x . y – ln y)’ = 2’ 1 y’ . − x = y y
1 . y + y’ . x -
1 − xy = y y’ . y
1 . y’ = 0 y y’ =
y2 1 − xy
e) x2.y + 3x.y3 – 3 = x temos: (x2.y + 3x.y3 – 3)’ = x’
(x2.y)’ + 3(x.y3)’ – 3’ = 1
2x.y + x2.y’ + 3.(1.y3 + 3x2.y’) – 0 = 1 2xy + x2y’ + 3y3 + 9x2.y’ = 1 y’ =
y’.(x2 + 9xy2) = 1 – 2xy – 3y3
1 − 2xy − 3y 3 x2 + 9xy 2
2) Determinar a equação da reta tangente à curva x2 +
1 y–1=0 2
no
ponto (−1 ; 0).
Solução: I) Derivando implicitamente em relação a x, temos: 2x +
1 y’ = 0 2
1 y’ = −2x 2
y’ = − 4x
ou
f’(x) = − 4x
II) No ponto de abscissa xo = −1 determinamos o coeficiente angular da reta: m = f’(xo) = f’(−1) = −4.(−1) III) Equação da reta: y – yo = m.(x – xo) y = 4 . (x + 1)
m=4 y – 0 = 4 . [x – (-1)]
y = 4x + 4
EXERCÍCIOS DO LIVRO: UM CURSO DE CÁLCULO – HAMILTON LUIZ GUIDORIZZI, indicados no cronograma do programa. Página 148: 29
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Exercícios 7.3 2. Calcule g’(x) sendo g dada por: a) g(x) = x6 e) g(x) =
b) g(x) = x100
1 x
3
f) g(x) =
c) g(x) =
1 x
1 x
d) g(x) = x2 h) g(x) = x−3
g) g(x) = x
7
Página 159: Exercícios 7.7 1. Calcule f ’(x). a) f(x) = 3x2 + 5x
b) f(x) = x3 + x2 + 1
c) f(x) = 3x3 – 2x2 + 4
e) f(x) = 5 + 3x−2 f) f(x) = 2 3 x 4 5 2 3 1 2 h) f(x) = + i) f(x) = x + x 2 x 3 4 x 1 1 + j) f(x) = 3 x + x l) f(x) = 2x + m) f(x) = 6x3 + 3 x 2 x x n) f(x) = 5x4 + bx3 + cx2 + k, onde a, b, c e k são constantes.
d) f(x) = 3x +
x 1 g) f(x) = 3x + x
7. Calcule F’(x) onde F(x) é igual a: x2 − 1 x a) b) x +1 x2 + 1 Página 160: Exercícios 7.7
c)
9. Calcule f ’(x) onde f(x) é igual a: cos x a) 3x2 + 5cos x b) x2 + 1 12. Calcule f ’(x). a) f(x) = x2. ex
3x 2 + 3 5x − 3
c) x . sen x
i) f(x) =
x x +1
d) x2. tgx
c) f(x) = ex . cos x
b) f(x) = 3x + 5 ln x
e) f(x) = x2. ln x + 2ex
d)
ln x x
Página 179: Exercícios 7.11 1.Determine a derivada. a) y = sen 4x b) y = cos 5x e) y = sen t3
f) g(t) = ln (2t + 1)
i) y = (sen x + cos x)3
c) f(x) = e3x
d) f(x) = cos 8x
g) y = esen t
h) f(x) = cos ex
j) y =
3x + 1
Página 180: Exercícios 7.11 (regra da cadeia - funções compostas) 4.Derive. a) y = x e3x d) y = e−2t sen 3t
b) y = ex cos 2x 2
e) f(x) = e − x + ln (2x + 1)
c) y = e−x sen x g) y =
cos 5x sen 2x 30
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Anotações de Aula
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NOÇÕES DE INTEGRAÇÃO I) INTEGRAL INDEFINIDA A integral é a operação inversa da derivada, ou seja, conhecida a derivada de uma função, a integração ou antiderivação desta gera a função que originou a derivada. Exemplo: a derivada da função f(x) = x3 + C é a função f’(x) = 3x2 , então a integral ou integração da função f’(x) = 3x2 é a função f(x) = x3 + C , onde C = constante real. Simbolicamente podemos escrever: dy = 3x 2 , cuja diferencial é representada por dy = 3x2 . dx dx 2 y = x3 + C ou f(x) = x3 + C ∫ dy = ∫ 3x . dx
∫
símbolo da operação integração (lê-se: integral)
Definições: I. Uma função F(x) é chamada uma primitiva da função f(x) em um intervalo dado, se para todo valor de x pertencente ao intervalo dado, tem-se F’(x) = f(x); II. Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + C, onde C é uma constante é chamada integral indefinida da função f(x) e é denotada por:
∫ f ( x ) dx = F(x) + C
(notação de Leibniz)
III. Da definição de integral indefinida, decorre que:
∫ f ( x ) dx = F(x) + C f(x) F(x) F(x) + C C
F’(x) = f(x)
é a função integrando; é uma integral; é a integral indefinida; é uma constante de integração
Obs.: O processo que permite achar a integral indefinida de uma função é chamado Integração.
PROPRIEDADES DA INTEGRAL INDEFINIDA I. II. III.
∫ k .f ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx , ∫ [f ( x ) ± g(x)] .dx = ∫ f ( x ) dx
[
]
k = constante real ±
∫ g( x) dx
d f ( x ) . dx = f(x) , ou seja, a derivada da integral de uma função é a própria dx ∫ função.
REGRAS DE INTEGRAÇÃO: Considerando: C ∈ IR, K ∈ IR, u = f(x) , v = g(x) e n ≠ −1, temos as seguintes integrais (elementares) imediatas: 31
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∫ dx = x + C xn + 1 n 3. ∫ x dx = + n +1
Anotações de Aula
∫ k dx = k ∫ dx = k . x + C 1 4. ∫ x −1 dx = ∫ x dx = ln |x| + C
1.
∫ 7. ∫ (du ± dv) a x dx =
5.
2. C
ax + C, 00). Solução: senx = cosx
x = π/4, com x ∈ 1º quadrante.
Gráfico:
A
y = senx
π/4
y = cosx
A=
∫
π 4
[cos x − senx] dx = senx − ( − cos x)
0
π 4
o
= senx + cos x
π 4
o
2 π π 2 A = sen + cos − (sen0 + cos 0 ) = + − (0 + 1) 4 4 2 2
A=
2 2 2
− 1
A = ( 2 − 1 ) u.a.
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Anotações de Aula
Eurípedes Machado Rodrigues
ENGENHARIA MECATRÔNICA/ELÉTRICA – CÁLCULO DIF. E INTEGRAL – 1º ANO GABARITO DOS EXERCÍCIOS DO LIVRO DO GUIDORIZZI CAPÍTULO 7 7.3
7.7
7.11
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CAPÍTULO 10 10.2
Anotações de Aula
Eurípedes Machado Rodrigues
CAPÍTULO 12 12.2
CAPÍTULO 13 13.3
50
