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PMR-2360 - Controle e Automação I 1a. Prova - 2o. Semestre 2005 03/10/2005 Duração da prova - 1h30min Esta folha deve ser devolvida em conjunto com a folha de respostas [Ex. 1] (3.0pt) Um sistema G(s) foi submetido a um experimento para a determinação de sua curva de resposta em freqüência. O Diagrama de Bode levantado experimentalmente está ilustrado na Figura abaixo: Bode Diagram 0 −10
Magnitude (dB)
−20
−20dB/dec
−30 −40
−40dB/dec
−50 −60 −70 −80 0
Phase (deg)
−45
−90
−135
−180 −1
10
0
1
10
10
2
10
Frequency (rad/sec)
(a) (1.5pt) Determine a função de transferência G(s) do sistema. Resp: Pelo gráfico apresentado, o sistema não possui ganho pois a reta horizontal é de 0dB. O gráfico possui duas transições: 1/T1 = 1 quando o gráfico pode ser representado por uma assíntota com decaimento -20dB/década e uma outra transição em 1/T2 = 10 quando o gráfico passa a ser representado por uma assíntota de -40dB/década. Desta forma a função de transferência do sistema pode ser representado por: 1 1 = (1) G(jω) = (jωT1 + 1)(jωT2 + 1) (jω1 + 1)(jω0.1 + 1) ou 10 . (2) G(s) = (s + 1)(s + 10) (b) (1.5pt) Para um sistema de controle em malha fechada para este sistema G(s), que tipo de controlador H(s) permite que o erro estacionário ess seja nulo para uma entrada a degrau. Resp: Sabemos que pelo Princípio do Modelo Interno que para um sistema em malha fechada obter erro estacionário nulo a degrau o sistema em mlha aberta G(s)H(s) deve conter pelo menos um integrador. Desta forma, um possível controlador seria um do tipo PI: µ ¶ 1 H(s) = Kp 1 + . (3) Ti s 1
Qd
Fluxo de disturbio
Q + qi
Q
Qd + qd H max H+h Q + qo
C
R
[Ex. 2] (7.0pt) Um sistema de controle de nível de líquidos, ilustrado na figura abaixo, é um sistema com características não lineares, onde: • • • • • • • • •
H é a altura do líquido (m), Q é o fluxo de líquido gen’erico (m3 /seg), Qd é o fluxo de líquido de perturbação que não pode ser controlado (m3 /seg), R é a resistência ao fluxo de líquido e é definida como a variação no nível de líquido H causada pela variação no fluxo Q, C é a capacitância do reservatório e é definida a variação no volume de líquido armazenado causada pela variação na altura H. qi é a variação do fluxo de entrada, qo é a variação do fluxo de saída, qd é a variação do fluxo de perturbação, h é a variação da altura.
O sistema pode ser representado através de funções de transferência realizando uma linearização do sistema em torno de um ponto de operação nominal estacionário (H, Q). A equação linearizada que descreve o sistema é dada por: dh 1 C + h = qi + qd . (4) dt R Desta forma, a função de transferência de h em função de qi e qd são iguais. Um sistema de controle em malha fechada pode ser representado da seguinte forma:
Qd(s) Gd(s)
+ T(s) +
Qi(s) Gc(s)
G(s)
+
H(s)
_
Pergunta-se: (a) (1.0pt) O sistema em malha aberta, considerando apenas G(s) consegue manter o erro estacionário ess a degrau nulo, i.e., ess = 0 ? Inicialmente, vamos deduzir qual seria a função de transferência do sistema. Partindo da Equação diferencial dada por 4 podemos escrever: CsH(s) +
1 H(s) = Qi (s) + Qd (s), R 2
(5)
Ou seja: R R Qi (s) + Qd (s) RCs + 1 RCs + 1 = G(s)Qi (s) + Gd (s)Qd (s).
H(s) =
(6) (7)
Em malha fechada obtemos: H(s) =
Gc (s)G(s) Gd (s) T (s) + Qd (s). 1 + Gc (s)G(s) 1 + Gc (s)G(s)
(8)
(b) (1.0pt) Caso seja utilizado um controlador proporcional Gc (s) = Kp é possível obter erro estacionário ess nulo para entrada a degrau ? Resp: Caso seja utilizado um controlador do tipo Proporcional Gc (s) = Kp , a malha aberta resultante G(s)Gc (s) não tem nenhum integrador 1/s. Desta forma, o sistema resultante não permite obter erro estaciionário ess = 0. (c) (1.5pt) Deseja-se projetar um controlador do tipo integral Gc (s) = Ki /s. Admitindo que R = 0.01 e C = 300 para o ponto de operação estático desejado, projete o controlador de tal forma que: • o sistema nunca transborde mesmo que o sinal de referência T (s) coloque o sistema para operar em Hmax , • tempo de assentamento ts < 100seg. Resp: Nesta parte devemos considerar apenas a malha relativa a G(s). Desta forma, a malha aberta pode ser dada por: G(s)Gc (s). (9) Como R = 0.01 e C = 300 então: G(s)Gc (s) =
Ki 0.01 s 3s + 1
(10)
A imposição de que o sistema nunca transborda mesmo que ele opere em Hmax é equivalente a impor que o sistema não permite sobresinal. O que também é equivalente a dizer que somente pólos de malha fechada reais são permitidos. A segunda restrição de tempo de assentamento ts : ts = Como σ = ζωn então:
4 < 100seg. ζωn
(11)
σ > 0.04.
(12)
Na figura baixo, temos o LR do sistema em questão. O sistema possui dois pólos em mlha aberta: s1 = 0 e s2 = −0.33 Podemos escolher qualquer ponto do eixo real desde que σ > 0.04. Mas lembre-se que você também não pode escolher pólos de malha fechada entre −0.33 e −0.29 já que estes teriam um outro pólo correspondente com σ < 0.04. Vamos escolher então o ponto de transição no eixo real correspondente a amortecimento crítico ζ = 1. Pelo gráfico s = −0.167 e Ki = 8.33.
3
Root Locus
0.02 0.998
0.015
0.996
0.991
0.98
0.95
0.85
0.999
sigma > 0.04 0.01
1 System: s2 Gain: 8.33 Pole: −0.167 + 2.67e−009i Damping: 1 Overshoot (%): 0 Frequency (rad/sec): 0.167 0.15 0.1
0.005
0.35 0
0.3
0.25
0.2
0.05
−0.005 1
−0.01
−0.015
0.999
0.998 −0.02 −0.35
−0.3
0.996 −0.25
0.991
−0.2
−0.15
0.98 −0.1
0.95 −0.05
0.85 0
Real Axis
(d) (1.5pt) Utilizando o controlador Gc (s) projetado no ítem anterior não é possível anular um distúrbio do tipo rampa Qd (s) = A/s2 . Entretanto é possível diminuir o efeito do distúrbio aumentando o valor de Ki . Qual é o maior valor de Ki que pode ser utilizado mantendo as especificações de projeto ? Resp: Desprezamos agora a entrada T (s). Desta forma, H(s) = −E(s). Podemos então trabalhar com a função de transferência: Gd (s) H(s) = Qd (s). (13) 1 + Gc (s)G(s) Utilizando um controlador Integral obteríamos como resposta estacionária: Gd (s) Qd (s), 1 + Gc (s)G(s) h(∞) = lim sH(s), H(s) =
s→0
= lim s s→0
=
1
0.01 3s+1 0.01 + Ksi 3s+1
A s2
1 . Ki
(14) (15) (16) (17)
Desta forma, aumentando Ki podemos diminuir o erro estático. O maior Ki que pode ser utilizado corresponde à condição de amortecimento crítico (ζ = 1). Observando o LR do exercício anterior observamos que a solução apresentada com s = −0.167 e Ki = 8.33 é a solução desejada. (e) (2.0pt) Projete um controlador PI mantendo as especificações de projeto acima. Resp: Para o controlador PI: ¶ µ 1 . (18) Gc (s) = Kp 1 + Ti s A malha aberta pode ser escrita como: ¶ µ 0.01 1 . G(s)Gc (s) = Kp 1 + Ti s 3s + 1 4
(19)
Vamos escolher o zero do sistema −1/Ti = −0.5 à esquerda do pólo p = −0.33. Ou seja, Ti = 2 Desta forma, a malha aberta torna-se: µ ¶ 2s + 1 0.01 G(s)Gc (s) = Kp . (20) 2s 3s + 1 O LR neste caso pode ser representado como na Figura abaixo:
Root Locus
0.4 0.95
0.3
0.9
0.82
0.7
0.52
0.3
0.978
sigma>0.04
0.2 0.994 System: s3 Gain: 26.8 Pole: −0.211 + 5.72e−009i Damping: 1 Overshoot (%): 0 Frequency (rad/sec): 0.211 0.4 0.2
Imaginary Axis
0.1
1.4 0
1.2
1
0.8
0.6
−0.1 0.994 −0.2
−0.3
0.978
0.95 −0.4 −1.4
−1.2
0.9 −1
0.82
−0.8
−0.6
0.7 −0.4
0.52 −0.2
0.3 0
Real Axis
Escolheremos aqui, o ponto correspondente ao amortecimento crítico (ζ = 1), o que resulta em Kp = 28.8 e s = −0.211
5
