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Sistemas Lineares Francisco Oliveira de Lima 2 de abril de 2016
Sistemas Lineares
SIGLAS UFBA - Universidade Federal da Bahia. UEPB - Universidade Estadual da Para´ıba. UNICAMP - SP - Universidade Estadual de Campinas. UFPA - Universidade Federal do Par´a. IFPA - Instituto Federal de Educa¸c˜ao, Ciˆencia e Tecnologia do Par´a IFMA - Instituto Federal de Educa¸ca˜o, Ciˆencia e Tecnologia do Maranh˜ao. IFAP - Instituto Federal de Educa¸ca˜o, Ciˆencia e Tecnologia do Amap´a. ITA - SP - Instituto Tecnol´ogico da Aeron´autica. IFES - Instituto Federal de Educa¸ca˜o, Ciˆencia e Tecnologia do Espirito Santo. FGV - Funda¸ca˜o Get´ ulio Vargas. IFPI - Instituto Federal de Educa¸ca˜o, Ciˆencia e Tecnologia do Piau´ı. UNIFOR - CE - Universidade de Fortaleza. Mackenzie - SP - Universidade Presbiteriana Mackenzie. FUVEST - SP - Funda¸ca˜o Universit´aria para o Vestibular. UEMS - Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul. UFES - Universidade Federal do Espirito Santo. UFSCAR - SP - Universidade Federal de S˜ao Carlos. IFCE - Instituto Federal de Educa¸ca˜o, Ciˆencia e Tecnologia do Cear´a. IFPE - Instituto Federal de Educa¸ca˜o, Ciˆencia e Tecnologia de Pernambuco. PUC - RS - Pontif´ıcia Universidade Cat´olica do Rio Grande do Sul. PUC - MG - Pontif´ıcia Universidade Cat´olica de Minas Gerais. IF Sert˜ao - PE - Instituto Federal de Educa¸ca˜o, Ciˆencia e Tecnologia do Sert˜ao Pernambucano. IFPE - Instituto Federal de Educa¸ca˜o, Ciˆencia e Tecnologia de Pernambuco. UEL - PR - Universidade Estadual de Londrina. UFCSPA - RS - Universidade Federal de Ciˆencias da Sa´ ude de Porto Alegre. IME - RJ - Instituto Militar de Engenharia. NUCEPE - UESPI - N´ ucleo de Concursos e Promo¸ca˜o de eventos da Universidade Estadual do Piau´ı. UECE - Universidade Estadual do Cear´a. CESUPA - Centro Universit´ario do Estado do Par´a. FURG - RS - Universidade Federal do Rio Grande. CESPE - UNB - Centro de Sele¸c˜ao e de Promo¸ca˜o de Eventos da Universidade de Bras´ılia. FCC - Funda¸ca˜o Carlos Chagas. UFRGS - Universidade Federal do Rio Grande do Sul. UFPR - Universidade Federal do Paran´a. UNIMONTES - MG - Universidade Estadual de Montes Claros.
Lima, Francisco Oliveira de. T´ıtulo: Sistemas Lineares. Local: Dom Eliseu - PA: 2016. Temas Estudados: 1. 2. 3. 4. 5.
Opera¸c˜oes Elementares. Discuss˜ao de Sistemas. Circuito El´etrico. Rea¸c˜oes Qu´ımicas. Problemas do 1 grau.
N´ıvel: Matem´atica (Ensino M´edio) XXXXXX
”A matem´atica ´e linda, igualmente um sorriso estampado no rosto de uma crian¸ca sapeca”
Janu´ ario Oliveira de Lima.
Pref´ acio Neste texto estudamos os sistemas lineares usando as opera¸co˜es elementares, fizemos aplica¸co˜es na qu´ımica (balanceamento de rea¸co˜es qu´ımicas) e aplica¸co˜es na f´ısica (circuito el´etrico). Esse material ´e destinado aos alunos do ensino m´edio que queiram aprender ou revisar esta parte da matem´atica. Notamos, que o estudo dos sistemas ´e uma importante ferramenta na resolu¸ca˜o de v´arios problemas.
Local: Dom Eliseu - PA ( Janeiro de 2016 )
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Sum´ ario Pref´ acio
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1 Sistemas Lineares 1.1 Introdu¸ca˜o . . . . . . . . . . . . 1.2 Opera¸co˜es elementares . . . . . 1.3 Discuss˜ao de um sistema linear 1.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . 1.5 Respostas . . . . . . . . . . . .
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7 . 7 . 7 . 10 . 16 . 37
2 Aplica¸c˜ oes na Qu´ımica 47 2.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.2 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3 Aplica¸c˜ oes na F´ısica 3.1 Introdu¸ca˜o . . . . 3.2 Leis de Kirchhoff 3.3 Exerc´ıcios . . . . 3.4 Respostas . . . .
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52 52 53 57 58
4 Problemas 4.1 Introdu¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59 59 64 70
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5 EXTRA 73 5.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Referˆ encias Bibliogr´ aficas
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Cap´ıtulo 1 Sistemas Lineares 1.1
Introdu¸c˜ ao
Seja o sistema linear a seguir formado por m equa¸co˜es lineares e n inc´ognitas a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 .. .. .. .. .. (1.1) . . . . . a x + a x + ··· + a x = b m1 1
m2 2
mn n
m
Diremos que uma n-upla de n´ umeros reais (x1 , x2 , · · · , xn ) ser´a uma solu¸ca˜o do sistema (1.1) quando satisfazer ao mesmo tempo todas as m equa¸co˜es. Um sistema linear poder´a ter: 1) uma u ´nica solu¸ca˜o. 2) infinitas solu¸c˜oes. 3) nenhuma solu¸c˜ao. Exemplo 1.1.1. Seja o sistema linear formado por 3 equa¸c˜oes lineares e 3 inc´ognitas a + b + c = 2 2b + 5c = 0 3c = 12. Resolvendo, obtemos a solu¸c˜ao (a, b, c) = (8, −10, 4).
1.2
Opera¸c˜ oes elementares
1) Permuta da i-´esima e j-´esima linhas (Li ←→ Lj ). 2) Multiplica¸ca˜o da i-´esima linha por um n´ umero n˜ao nulo k. (Li −→ k.Lj ). 3) Troca da i-´esima linha pela i-´esima linha mais k vezes a j-´esima linha (Li −→ Li + k.Lj ).
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CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES
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Exemplo 1.2.1. Resolva o sistema linear usando opera¸co˜es elementares. x − y = 5 4x + 5y = 29 Solu¸c˜ ao: Primeiramente, fazemos L2 −→ L2 − 4L1 . Assim, temos x − y = 5 9y = 9 Resolvendo, obtemos x = 6 e y = 1. Exemplo 1.2.2. Resolva o sistema linear x − 2y + 2x + y − x − 3y −
usando opera¸co˜es elementares. z = 4 4z = 0 5z = 1.
Solu¸c˜ ao: Inicialmente, usaremos a terceira opera¸ca˜o elementar. Ou seja, faremos L2 −→ L2 − 2L1 e L3 −→ L3 − L1 . Dessa forma, temos x − 2y + z = 4 5y − 6z = −8 −y − 6z = −3. Agora, aplicando a primeira opera¸ca˜o x − 2y − y 5y
elementar (L2 ←→ L3 ), encontramos + z = 4 − 6z = −3 − 6z = −8.
Usando novamente a terceira opera¸c˜ao elementar L3 −→ L3 + 5L2 , obtemos 4 x − 2y + z = − y − 6z = −3 − 36z = −23. Finalmente, as inc´ognitas s˜ao iguais a x = possui uma u ´nica solu¸c˜ao.
61 , 36
y=
−5 6
ez=
23 . 36
Ou seja, esse sistema
Exemplo 1.2.3. Resolva o sistema linear usando opera¸co˜es elementares. x − 2y + z = 0 2x + y − 4z = 0. Solu¸c˜ ao: Inicialmente, usaremos a terceira opera¸ca˜o elementar. Ou seja, faremos L2 −→ L2 − 2L1 . Dessa forma, temos x − 2y + z = 0 5y − 6z = 0.
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES
9
Finalmente, fazendo L1 −→ 5L1 + 2L2 , resulta que 5x − 7z = 0 5y − 6z = 0. Assim, z ´e uma vari´avel livre. Por outro lado, podemos fazer z = β ∈ R. Portanto, 5x = 7β =⇒ x =
7β 5
e
5y = 6β =⇒ y =
6β 5
Ou seja, a solu¸ca˜o geral ´e dada por 7β 6β , ,β ,β ∈ R . 5 5 Assim, conclu´ımos que esse sistema tem infinitas solu¸c˜oes. Exemplo 1.2.4. Resolva o sistema linear usando opera¸co˜es elementares. x + y − z + w = 0 3x − y + 4z + 4w = 0. Solu¸c˜ ao: Inicialmente, fazemos a opera¸c˜ao L2 −→ L2 − 3L1 . Assim, temos x − y + z + w = 0 − 4y + 7z − w = 0. Finalmente, fazendo L1 −→ 4L1 + L2 , resulta em 4x + 3z + 3w = 0 − 4y + 7z − w = 0. Assim, observamos que z e w s˜ao vari´aveis livres. Portanto, podemos fazer z = α ∈ R e w = β ∈ R. Logo, temos 4x + 3α + 3β = 0 =⇒ x = −
3α 3β 7α β − e − 4y + 7α − β = 0 =⇒ y = − 4 4 4 4
Ou seja, a solu¸ca˜o geral ´e dada por −3α − 3β 7α − β , , α, β , α, β ∈ R . 4 4 Assim, conclu´ımos que esse sistema tem infinitas solu¸c˜oes.
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES
1.3
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Discuss˜ ao de um sistema linear
Discutir um sistema linear em rela¸c˜ao ao parˆametro λ ∈ R, significa classificar em: 1) SP D, sistema poss´ıvel e determinado. Nesse caso, o sistema tˆem solu¸ca˜o u ´nica. 2) SP I, sistema poss´ıvel e indeterminado. Nesse caso, o sistema tˆem infinitas solu¸co˜es. 3) SI, sistema imposs´ıvel. Nesse caso, a solu¸ca˜o do sistema ´e vazio. Exemplo 1.3.1. Discuta em rela¸c˜ao ao parˆametro λ ∈ R, o sistema linear abaixo: 2x + 4y = 1 3x + λy = 7 Solu¸c˜ ao: Primeiramente, seja a matriz A formada pelos coeficientes do sistema. Em seguida, encontramos o determinante. Ou seja, 2 4 = 2λ − 12. det(A) = 3 λ Por outro lado, sabemos que o sistema tem solu¸ca˜o u ´nica, quando det(A) = 2λ−12 6= 0. Portanto, resulta em λ 6= 6. Agora, substituindo λ = 6 no sistema acima, temos 2x + 4y = 1 3x + 6y = 7 Fazendo a opera¸ca˜o L2 −→ 2L2 − 3L1 , temos 2x + 4y = 1 0x + 0y = 12 Assim, observamos que n˜ao existe x, y ∈ R tal que 0x + 0y = 12. Ou seja, para λ = 6, o sistema ´e imposs´ıvel. ˜ CONCLUSAO: 1) SP D, quando λ 6= 6. 2) SI, quando λ = 6. Exemplo 1.3.2. Discuta o sistema linear em fun¸c˜ao dos parˆametros a, b ∈ R. ax + 4y = a − 4 (1.2) x + ay = b + 2 Solu¸c˜ ao: Devemos calcular o determinante da matriz A formada pelos coeficientes desse sistema. Dessa forma, segue que a 4 = a2 − 4. det(A) = 1 a
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES
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Para esse sistema ter solu¸ca˜o u ´nica, basta que a2 − 4 6= 0. Ou seja, a 6= 2 e a 6= −2. Al´em disso, substituindo a = 2, no sistema (1.2), temos 2x + 4y = −2 x + 2y = b + 2 Fazendo a opera¸ca˜o L2 −→ 2L2 − L1 , temos 2x + 4y = −2 0x + 0y = 2b + 6 Para o sistema ser imposs´ıvel, devemos ter 2b + 6 6= 0. Ou seja, b 6= −3. Al´em disso, quando b = −3, o sistema se torna indeterminado. Agora, substituindo a = −2, no sistema (1.2), temos 2x + 4y = −6 x + 2y = b + 2 Fazendo a opera¸ca˜o L2 −→ 2L2 − L1 , temos 2x + 4y = −2 0x + 0y = 2b + 10 Para o sistema ser imposs´ıvel, devemos ter 2b + 10 6= 0. Ou seja, b 6= −5. Al´em disso, quando b = −5, o sistema se torna indeterminado. ˜ CONCLUSAO: 1) SP D, quando a 6= 2 e a 6= −2. 2) SP I, quando a = 2 e b = −3. 3) SI, quando a = 2 e b 6= −3. 4) SP I, quando a = −2 e b = −5. 5) SI, quando a = −2 e b 6= −5. Exemplo 1.3.3. Discuta em rela¸c˜ao ao parˆametro p ∈ R, o sistema linear abaixo: x + py − z = 0 x + y + pz = 1 x − y − z = 2 Solu¸c˜ ao: Seja A a matriz formada pelos coeficientes desse sistema. Assim, temos 1 p −1 p = p2 + 2p + 1 = (p + 1)2 det(A) = 1 1 1 −1 −1 Notamos que o sistema ´e poss´ıvel e determinado quando (p + 1)2 6= 0. Ou seja, p 6= −1. Agora, substituimos p = −1 no sistema acima x − y − z = 0 x + y − z = 1 x − y − z = 2
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES
12
Fazendo L3 −→ L3 − L1 , temos x − y − z = 0 x + y − z = 1 0x + 0y + 0z = 2 Sabemos que n˜ao existe x, y, z ∈ R tais que 0x + 0y + 0z = 2. Logo, o sistema ´e imposs´ıvel. Portanto, conclu´ımos que: I) SP D, quando p 6= −1. II) SI, quando p = −1. Exemplo 1.3.4. (UEL - PR) O sistema ax + 3y = 2 2x − y = 0 ´e poss´ıvel e determinado: a) para qualquer valor de a. b) somente para a = 0. c) somente para a = 6. d) se a 6= 0. e) se a 6= −6. Solu¸c˜ ao: Para esse sistema linear ser SP D o determinante da matriz formada pelos coeficientes, deve ser n˜ao - nulo. assim, temos a 3 2 −1 = −a − 6 6= 0. Logo, a resposta ´e a alternativa E. Exemplo 1.3.5. Encontre p ∈ R de modo que o sistema linear tenha solu¸ca˜o u ´nica: x − py + 3z = 0 4x + 5y − pz = 0 −2x + 2y + z = 0. Solu¸c˜ ao: Para um sistema homogˆeneo ter somente a solu¸ca˜o trivial, o determinante da matriz formada pelos coeficientes deve ser diferente de zero. Assim, temos que 1 −p 3 4 5 −p = −2p2 + 6p + 59 6= 0. −2 2 1 Resolvendo, encontramos p 6=
3+
√ 4
127
e p 6=
3−
√ 127 . 4
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES
13
Exemplo 1.3.6. Exiba α ∈ R de modo que o sistema linear tenha infinitas solu¸c˜oes: x + (sen(α))y − z = 0 (sen(α))x − y − z = 0 x + y − (sen(α))z = 0. Solu¸c˜ ao: Para um sistema homogˆeneo ter infinitas solu¸co˜es, o determinante da matriz formada pelos coeficientes deve ser nulo. Portanto, temos 1 sen(α) −1 sen(α) = sen3 (α) − sen(α) = 0. −1 −1 1 1 −sen(α) Resolvendo a equa¸ca˜o trigonom´etrica sen3 (α) − sen(α) = 0, obtemos a solu¸ca˜o geral α = kπ
ou α =
π + kπ , com k ∈ Z. 2
Exemplo 1.3.7. (UFES) Para que valores de a e b o sistema 3x + ay + 4z = 0 x + y + 3z = −5 2x − 3y + z = b n˜ao admite solu¸ca˜o ? A) a = −2 e b = 2 B) a = −2 e b 6= 5 C) a = 2 e b 6= 5 D) a = −2 e b = 5 D) a = 2 e b 6= 2 Solu¸c˜ ao: Seja a matriz B formada pelos coeficientes do sistema. Agora, calculemos 3 a 4 det(B) = 1 1 3 = 5a + 10. 2 −3 1 Resolvendo 5a + 10 = 0, obtemos a = −2. 3x − 2y + x + y + 2x − 3y +
Substituindo no sistema acima, temos 4z = 0 3z = −5 z = b
Fazendo L2 −→ 3L2 − L1 e L3 −→ 3L3 − 2L1 , obtemos 3x − 2y + 4z = 0 + 5y + 5z = −15 − 5y − 5z = 3b
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES Finalmente, fazendo L3 −→ L3 + L2 , resulta 3x − 2y + 4z + 5y + 5z 0z
14 em = 0 = −15 = 3b − 15
Portanto, o sistema n˜ao tem solu¸ca˜o, quando 3b − 15 6= 0, ou seja b 6= 5. Logo, a resposta ´e a alternativa B. Exemplo 1.3.8. Discuta o sistema linear em fun¸c˜ao do parˆametro k ∈ R. (k + 5)x + 2y = 3 x − (k + 2)y = 4
(1.3)
Solu¸c˜ ao: Vamos obter o determinante da matriz B formada pelos coeficientes do sistema (1.3). Portanto, resulta k+5 2 = −k 2 − 7k − 12. det(B) = 1 −k − 2 Para esse sistema ter solu¸ca˜o u ´nica, basta que det(A) = −k 2 − 7k − 12 6= 0. Ou seja, k 6= −3 e k 6= −4. Al´em disso, substituindo k = −3, no sistema (1.3), temos 2x + 2y = 3 x + y = 4 Fazendo, L2 −→ 2L2 − L1 , temos 2x + 2y = 3 0x + 0y = 5 Portanto, o sistema acima ´e imposs´ıvel. Al´em disso, substuindo k = −4 no sistema (1.3), temos x + 2y = 3 x + 2y = 4 Fazendo, L2 −→ L2 − L1 , temos
x + 2y = 3 0x + 0y = 1
Ou seja, o sistema acima ´e imposs´ıvel. RESPOSTA: 1) SP D, quando k 6= −3 e k 6= −4. 2) SI, quando k = −3 ou k = −4.
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES
15
Exemplo 1.3.9. Determine λ ∈ R de modo que o sistema linear tenha somente a solu¸ca˜o nula. 1 −5 x x · =λ· −4 2 y y Solu¸c˜ ao: Desenvolvendo o produto matricial, encontramos o seguinte sistema x − 5y = λx −4x + 2y = λy De forma equivalente, temos (1 − λ)x − 5y = 0 −4x + (2 − λ)y = 0
(1.4)
Para o sistema homogˆeneo (1.4) ter somente a solu¸ca˜o nula, o determinante da matriz A formada pelos coeficientes do sistema deve ser diferente de zero. Assim, (1 − λ) −5 det(B) = = λ2 − 3λ − 18. −4 (2 − λ) Resolvendo det(B) 6= 0, obtemos a resposta λ 6= 6 e λ 6= −3. Exemplo 1.3.10. Discuta o sistema linear em fun¸c˜ao do parˆametro p ∈ R. (log(p − 8))x + 2y = 1 x − y = 0
(1.5)
Solu¸c˜ ao: Seja X a matriz formada pelos coeficientes do sistema (1.5), calculando o determinante, temos log(p − 8) 2 = −log(p − 8) − 2. det(X) = 1 −1 Notamos que o dom´ınio da fun¸ca˜o f (x) = log(p − 8) ´e dado por D(f ) = (8, +∞). Agora, para o sistema (1.5) ter solu¸ca˜o u ´nica, devemos ter det(X) 6= 0. Portanto, resulta que det(X) = −log(p − 8) − 2 6= 0. Ou seja, que p 6= 8, 01. Por outro lado, substituindo p = 8, 01 no sistema (1.5), resulta −2x + 2y = 1 x − y = 0 Fazendo, a opera¸ca˜o L2 −→ 2L2 + L1 , temos −2x + 2y = 1 0x + 0y = 1 Ou seja, o sistema ´e imposs´ıvel. RESPOSTA: 1) SP D, quando p > 8 e p 6= 8, 01. 2) SI, quando p = 8, 01.
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES
1.4
Exerc´ıcios
1. Obtenha valor da express˜ao
p x2 + y 2 + 12, em rela¸ca˜o ao sistema linear: 4x − 3y = 6 x + 2y = 7.
2. Resolva o sistema linear: x − 3y + 2z = −15 x − y − 3z = 11 2x + y − z = 19. 3. Discuta o sistema linear em rela¸ca˜o aos parˆametros a, b ∈ R. 2x + y = 1 ax + 4y = b. 4. Discuta o sistema linear abaixo em fun¸c˜ao dos parˆametros m, p ∈ R. x − 2y = p x − my = 7. 5. Seja o sistema linear e o parˆametro p ∈ R. px + 2y = 4 8x + py = 1 Considere os itens abaixo: I) O sistema ´e poss´ıvel e determinado, quando p = 4. II) O sistema tem infinitas solu¸co˜es, quando p 6= −4. III) O sistema ´e indeterminado, quando p < 2. Ent˜ao, conclu´ımos que: A) Somente I e II s˜ao verdadeiras. B) Somente III ´e verdadeira. C) Todas s˜ao falsas. D) Todas s˜ao verdadeiras. 6. Em rela¸ca˜o ao sistema abaixo: x + 4y = λx 2x − y = λy onde λ ∈ R. Podemos afirmar que: A) Para λ 6= 2, o sistema tem infinitas solu¸co˜es. B) Para λ = 0, o sistema tem somente a solu¸c˜ao trivial. C) Para λ = 3, o sistema ´e imposs´ıvel. D) Para λ 6= −3, o sistema tem duas solu¸c˜oes distintas.
16
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES
17
7. (IF Sert˜ao - PE) Resolvendo o sistema ( y = 18 4· x+ 6 2x − y = 13. o valor encontrado para x2 − y 2 ser´a: (A) zero. (B) −34 (C) −16 (D) 34 (E) 16 8. (UNICAMP - SP) Considere o sistema linear abaixo, no qual a ´e um parˆametro real: ax + y + z = 1 x + ay + z = 2 x + y + az = −3 a) Mostre que para a = 1 o sistema ´e imposs´ıvel. b) Encontre os valores do parˆametro a para os quais o sistema tem uma u ´nica solu¸ca˜o. 9. (PUC - RS) O sistema linear x − y + 3z = 0 4x + 2y − 6z = 0 x − 5y + 15z = 0 a) admite infinitas solu¸co˜es. b) admite apenas duas solu¸c˜oes. c) n˜ao admite solu¸co˜es. d) admite solu¸c˜ao u ´nica. e) admite apenas a solu¸c˜ao trivial. 10. Mostre que para todo p ∈ R, o sistema abaixo tem solu¸c˜ao u ´nica: 2x + py = 3 (1 − p)x + 4y = 2 11. Encontre o valor do parˆametro λ > 0 de modo que o sistema linear 1 2 x x · =λ· 7 8 y y admita mais de uma solu¸ca˜o.
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES
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12. (UFES) Para que o sistema x + y + z = 6 7x + y − 3z = 10 4x + y − αz = β seja indeterminado, os valores de α e β s˜ao, respectivamente: a) 1 e 8 b) −1 e 6 c) 2 e 8 d) 1 e 2 e) 2 e 1 13. (IFPE - 2015) Considere o sistema 6x + by ax + 5y 6x + y
abaixo: + cz = 4 − 7z = 2 + z = 6
Os valores de a, b e c para que o sistema seja classificado como poss´ıvel e indeterminado ´e: a) a = 6, b = 5 e c = −7 b) a = 3, b = 10 e c = −14 c) a = 1, b = 1 e c = 1 d) a = 6, b = 1 e c = 1 e) a = 6, b = 10 e c = −7 14. (IFCE) Seja (a, b) a solu¸c˜ao do sistema linear 2log2 x + log2 y = 5 log2 x + 3log2 y = 10 O valor de ab ser´a igual a: A) 2. B) 10. C) 16. D) 64. E) 256. 15. Discuta o sistema linear abaixo em rela¸ca˜o ao parˆametro m ∈ R. −x + 3y − 2z = 1 2x − 6y + mz = 0
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES 16. (ITA - SP - 2016) Se o sistema x + x + 3x +
19
de equa¸c˜oes y + 4z = 2 2y + 7z = 3 y + az = b
´e imposs´ıvel, ent˜ao os valores de a e b s˜ao tais que A) a = 6 e b 6= 4. B) a 6= 6 e b 6= 4. C) a 6= 6 e b = 4. D) a = 6 e b = 4. E) a ´e arbitr´ario e b 6= 4. 17. (UFES) Dado o sistema linear x + y + z = 0 x − y + mz = 2 mx + 2y + z = 1 a) Ele admite solu¸ca˜o u ´nica se m 6= 0. b) Ele admite solu¸ca˜o u ´nica se m 6= 1. c) Existem infinitas solu¸co˜es para m = 0. d) Sempre admite solu¸ca˜o qualquer que seja m. e) Ele admite solu¸ca˜o u ´nica se m 6= 0 e m 6= 1. 18. (ITA - SP - 2006) A condi¸c˜ao para que as constantes reais a e b tornem incompat´ıvel o sistema linear x + y + 3z = 2 x + 2y + 5z = 1 2x + 2y + az = b. A) a − b 6= 2. B) a + b = 10. C) 4a − 6b = 0. D) a/b = 3/2. E) a · b = 24. 19. Discuta o sistema linear nas vari´aveis x e y, em rela¸c˜ao ao parˆametro p ∈ R. px − 2y = p−1 x + (2 − 4p)y = p + 3
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES
20
20. (UEMS) Dado o sistema ax − y + 2z = b 2ax − y + 2z = 1 2x + y + 2z = 3 Para que o sistema seja indeterminado, os valores de a e b devem ser: a) a 6= 0 e b = 1 b) a = 0 e b = 1 c) a 6= 0 e b 6= 1 d) a = 0 e b 6= 1 e) a = b 21. (UNICAMP - SP) Seja A a matriz formada pelos coeficientes do sistema linear abaixo λx + y + x = λ + 2 x + λy + x = λ + 2 x + y + λx = λ + 2 a) Ache as ra´ızes da equa¸ca˜o: detA = 0. b) Ache a solu¸ca˜o geral desse sistema para λ = −2. 22. Sabe-se que o sistema linear x 2x x
abaixo possui infinitas solu¸co˜es: − y + 3z = a + y − z = b + 2y − 4z = c
Ent˜ao, a rela¸ca˜o entre a, b, c ∈ R ´e igual a: A) a − 2b − c = 0. B) a − b + c = 0. C) 4a + b − c = 0. D) a + b + c = 0. 23. Encontre a solu¸ca˜o geral: x + 5y − 2z = 0 a) x − y − z = 0 b)
x − 7y + z = 3 2y − z = −2
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES
21
24. Determine a solu¸ca˜o geral: x + y − 2z + 3w = 0 a) 3x − 2y + z − 5w = 0 b)
x − 5y + z − 2w = −1 3y − 2z + w = 2
25. (UFSCAR - SP) Sendo m e n n´ umeros reais positivos, o sistema linear (log2 m)x + (log2 n)y = 1 x + y = 2 nas vari´aveis x e y ser´a poss´ıvel e determinado se e somente se: a) m 6= 2n √ b) m√6= n c) m n 6= 1 d) n = 2m e) m = 2n 26. (Mackenzie - SP) As afirma¸co˜es abaixo referem-se ao sistema x + ky = 2 kx + 4y = 2 − k, k ∈ R. I. Existe um u ´nico valor de k para o qual o sistema admite mais de uma solu¸ca˜o. II. Existe um u ´nico valor de k para o qual o sistema n˜ao admite solu¸c˜ao. III. Existe k irracional para o qual o sistema tem solu¸ca˜o u ´nica. Ent˜ao: a) somente III ´e verdadeira. b) somente II ´e verdadeira. c) somente I ´e verdadeira. d) somente I e II s˜ao verdadeiras. e) somente II e III s˜ao verdadeiras. 27. Seja a matriz A formada pelos coeficientes do sistema linear abaixo: x − 5y = 10 −2x + 4y = −8 a) Ache as ra´ızes de det(A − λI) = 0, onde I ´e a identidade de ordem 2. b) Determine todas as solu¸c˜oes do sistema homogˆeneo, quando λ = 6. (1 − λ)x − 5y = 0 −2x + (4 − λ)y = 0
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES
22
c) Encontre todas as solu¸co˜es do sistema linear, quando λ = 4. (1 + λ)x − 5y = 10 −2x + (4 + λ)y = −8 28. (FGV - SP) Sendo k um n´ umero real, o sistema linear 9x − 6y = 21 6x − 4y = k possui infinitas solu¸co˜es (x, y) para k igual a: a) −10, 5 b) 0 c) 7 d) 10, 5 e) 14 bx + y = 1 by + z = 1 , n˜ao admite solu¸ca˜o se somente 29. (ITA - SP) O sistema linear x + bz = 1 o n´ umero real b for igual a: A) −1 B) 0 C) 1 D) 2 E) −2 30. Discuta o sistema em fun¸ca˜o do parˆametro β ∈ R. (sen(2β))x + 4y = 1 (cos(β))x + y = 4 31. Ache o valor do parˆametro α ∈ R, de modo que o sistema tenha solu¸ca˜o u ´nica. x − 3y = 2 x − (log(α)) = 4 32. Seja o sistema linear abaixo: x + y + z = 7 x − 2y + z = 1 4x + y − z = 2 Ent˜ao, o valor de x2 + y 2 + z 2 ´e igual a: A) 17 B) 21 C) 32
D) 44
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES
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3π , 2π de modo que o sistema abaixo seja imposs´ıvel. 33. Encontre α ∈ 2 (sen(α))x + 3y = 2 x + 4(sen(α))y = 1
34. Ache λ ∈ R de modo que o sistema linear tenha solu¸ca˜o diferente da trivial: 1 λ x x · =λ· 2 1 y y 35. Sabe-se que o sistema linear abaixo ´e poss´ıvel e determinado: x + y = 1 x + (cos(α))y = 2sen(β) Ent˜ao, podemos afirmar que: π A) α 6= 2kπ e β 6= + 2kπ, com k ∈ Z. 6 π B) α = 2kπ e β = + 2kπ, com k ∈ Z. 6 π C) α 6= kπ e β 6= + 2kπ, com k ∈ Z. 3 π D) α = kπ e β = + 2kπ, com k ∈ Z. 3 36. Sabendo que sistema linear possui uma u ´nica solu¸ca˜o: 2x + y + z = 6 x + py + 3z = 5 px + y + z = 4 Ent˜ao, sobre A) p = 2 e B) p 6= 2 e C) p = 4 e D) p = 2 e
o parˆametro p podemos afirmar que: p=3 p 6= 3 p=3 p 6= 5
37. Discuta o sistema linear em fun¸ca˜o do parˆametro p ∈ R. x + 7y = 8 4x + y = 5 x + py = 7 38. Encontre β ∈ R de modo que o sistema linear tenha solu¸c˜ao u ´nica: 4(sen(β))x + y = 8 x + (cos(β))y = 9
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES
24
39. Seja o sistema homogˆeneo e o parˆametro α ∈ R, abaixo: 3y + z = 0 x + x + (cos(α))y + z = 0 x + y + (cos(α))z = 0 Esse sistema possui infinitas solu¸c˜oes, quando: A) α 6= kπ, com k ∈ Z. B) α = kπ, com k ∈ Z. π C) α 6= + kπ, com k ∈ Z. 2 D) α = 2kπ, com k ∈ Z. 40. Seja o sistema linear e os parˆametros p, q ∈ R. (log(p − 5))x + 2y = 1 4x + 2y = log(q + 3) Esse sistema possui infinitas solu¸c˜oes. Ent˜ao, podemos afirmar que: A) p = 105 e q 6= 97. B) p = 97 e q = 105. C) p 6= 97 e q 6= 105. D) p = 105 e q = 97. 41. Em rela¸ca˜o ao sistema n˜ao linear abaixo 2 2 6 2 + = 5 x y 2 2 4 3 − = 3 x y Podemos afirmar que x2 + y 2 ´e igual a: A) 4 B) 9 C) 13
D) 28
42. (FUVEST - SP - 2015) No sistema linear ax − y = 1 y+z =1 x+z =m ´ correto afirmar: nas vari´aveis x, y e z, a e m s˜ao constantes reais. E a) No caso em que a = 1, o sistema tem solu¸ca˜o se, e somente se, m = 2. b) O sistema tem solu¸ca˜o, quaisquer que sejam os valores de a e de m. c) No caso em que m = 2, o sistema tem solu¸ca˜o para qualquer valor de a. d) O sistema s´o tem solu¸ca˜o se a = m = 1. e) O sistema n˜ao tem solu¸ca˜o, quaisquer que sejam os valores de a e de m.
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES
25
43. (FUVEST - SP) Considere o sistema: x − my = 1 − m (1 + m)x + y = 1 a) Prove que o sistema admite solu¸c˜ao u ´nica para cada n´ umero real m. b) Determine m de modo que o valor de x seja o maior poss´ıvel. 44. (UNICAMP - SP - 2016) Considere o sistema linear nas vari´aveis x, y, z e w. x−y =1 y+z =2 w−z =3 Logo, a soma x + y + z + w ´e igual a: a) −2 b) 0 c) 6
d) 8
45. (UNICAMP - SP - 2015) Considere o sistema linear nas vari´aveis x, y e z x + 2y + 3z = 20 7x + 8y − mz = 26 onde m ´e um n´ umero real. Sejam a < b < c n´ umeros inteiros consecutivos tais que (x, y, z) = (a, b, c) ´e uma solu¸c˜ao desse sistema. O valor de m ´e igual a: a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 πi 46. (IFES) Sejam α, β e θ ∈ 0, . Determine α + β + θ, sabendo que: 2 4senα + 2cosβ − tgθ = 2 senα − cosβ + tgθ = 1 senα + cosβ − tgθ = 0 h
a)
3π 4
b) π c)
5π 4
d) 2π e)
11π 4
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES
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47. (UFCSPA - RS - 2009) O sistema linear x − 2y = 4 4x + ay = 4 ´e poss´ıvel e determinado SE E SOMENTE SE: a) a = −2 b) a 6= 2 c) a < 0 d) a 6= 0 e) a 6= −8 48. (UFCSPA - RS - 2007) O sistema linear em −x + 5y + 6z 2x − 3y − z x + 2y + bz
x, y e z = 1 = a = 7
´e imposs´ıvel, se as constantes reais a e b forem: A) a = −6 e b 6= 5. B) a 6= −6 e b = −5. C) a 6= 6 e b = −5. D) a 6= 6 e b = 5. E) a = 6 e b 6= 4. x + mz = 1 2x − y + z = n , temos as equa¸co˜es de 49. (UEPB - 2012) No sistema linear y−z =2 trˆes planos paralelos distintos no espa¸co R3 , ent˜ao: a) m = 0 e n = 0. b) m = 1 e n 6= 0. c) m = 0 e n 6= 0. d) m = −1 e n 6= 0. e) m = 2 e n 6= 0. 50. (IME - RJ) Determinar o valor minado x + 2x + 3x +
de a para que o sistema abaixo seja indeter3y + 2z = 0 5y + az = 0 7y + z = 0
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES
27
51. Considere o parˆametro p ∈ R e o sistema linear nas vari´aveis x e y px + y = 1 9x + py = p Dizemos que esse sistema possui infinitas solu¸co˜es quando: A) p = 2 B) p = 3 C) p = 4 D) p = 5 ax + by = c 52. (IME - RJ - 2013) Considere o sistema de equa¸co˜es , px + qy = d com a, b, c, d, p e q reais, abcd 6= 0, a + b = m e d = nc. Sabe-se que o sistema ´e indeterminado. O valor p + q ´e: a) m m b) n c) m2 − n2 d) m · n e) m + n 53. (IME - RJ - 2011) abaixo: 1 0 1 3 4 2
Considere o sistema de equa¸co˜es lineares representado 3 2 5 1 0 0
0 0 0 2 0 0
2 3 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 2
×
a b c d e f
=
13 11 7 9 8 13
Os valores de a e d s˜ao, respectivamente: a) 1 e 2 b) 2 e 3 c) 3 e 2 d) 2 e 2 e) 3 e 1 54. (IME - RJ - 2009) Seja o 6Y1 + Y2 Y1 + 6Y2 Y1 + Y2 Y + Y2 1 Y1 + Y2 O valor de 7Y1 + 3Y3 ´e: a) 12 b) 24
sistema de equa¸co˜es lineares dadas por: + Y3 + Y3 + 6Y3 + Y3 + Y3 c) 36
+ Y4 + Y4 + Y4 + 6Y4 + Y4
+ Y5 + Y5 + Y5 + Y5 + 6Y5 d) 48
= 10 = 20 = 40 = 80 = 160 e) 60
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES 55. (IME - RJ - 2007) Considere o x + 2x − 5x −
28
sistema de equa¸co˜es lineares dado por: y + 2z = b1 y + 3z = b2 y + az = b3
Sendo b1 , b2 e b3 valores reais quaisquer, a condi¸ca˜o para que o sistema possua solu¸ca˜o u ´nica ´e: a) a = 0 b) a 6= 2 c) a 6= 8 d) a 6= b1 + b2 − b3 e) a = 2b1 − b2 + 3b3 56. (ITA - SP - 2008) Considere o sistema Ax = b, em que 1 −2 3 1 k 6 , b = 6 e k ∈ R. A= 2 −1 3 k − 3 0 Sendo T a soma de todos os valores de k que tornam o sistema imposs´ıvel e sendo S a soma de todos os valores de k que tornam o sistema poss´ıvel e indeterminado, ent˜ao o valor de T − S ´e: a) −4 b) −3 c) 0 d) 1 e) 4 57. Seja o parˆametro p ∈ R e o sistema linear Ax = b, onde 2 1 1 2 A = 1 p 2 e b = 7 . p 1 1 p Ent˜ao, o valor de p de modo que o sistema seja indeterminado ´e: a) 1 b) 2 c) 6 d) 8 58. (ITA - SP) Determinar os indeterminado o sistema x 3x −2x
valores de m e k, de modo que seja poss´ıvel e + 2y − mz = −1 − y + z = 4 + 4y − 2z = k
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES
29
59. (Mackenzie - SP - 2013) O valor de y na u ´nica solu¸ca˜o do sistema linear xsenθ + z = 0 xsen(−θ) + ycos(−θ) + z = 0 xsen(−θ) + ycosθ − z = senθ em que sen(2θ) 6= 0, ´e: a) tg(2θ) b) tgθ c) cosθ d) sen(2θ) e) sen(−θ) 60. (UNESP - SP) Considere a equa¸c˜ao matricial A + BX = X + 2C, cuja inc´ognita ´e a matriz X e todas as matrizes s˜ao quadradas de ordem n. A condi¸ca˜o necess´aria e suficiente para que esta equa¸c˜ao tenha solu¸c˜ao u ´nica ´e que: (A) B − I 6= O, onde I ´e a matriz identidade de ordem n e O ´e a matriz nula de ordem n. (B) B seja invert´ıvel. (C) B 6= O, onde O ´e a matriz nula de ordem n. (D) B − I seja invert´ıvel, onde I ´e a matriz identidade de ordem n. (E) A e C sejam invert´ıveis. 61. Sejam as matrizes A, B e H invert´ıveis de ordem n. Ent˜ao, a solu¸c˜ao da equa¸ca˜o A · X · H = B ´e representada por: a) X = B · A · H b) X = A−1 · B · H −1 c) X = B · A−1 · H d) X = B · A−1 · H 62. Seja o sistema nas vari´aveis x e y. Sabe-se que esse sistema ´e imposs´ıvel: kx + y = 1 5x + y = k Ent˜ao, sobre k ´e correto afirmar que: A) k < 2 B) k = 3 C) k = 5 D) k > 6
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES
30
63. (ITA - SP) Qual ´e a rela¸ca˜o que a, b e c devem satisfazer tal que o sistema abaixo tenha pelo menos uma solu¸c˜ao ? x + 2y − 3z = a 2x + 6y − 11z = b x + 2y + 7z = c a) 5a = 2b − c b) 5a = 2b + c c) 5a 6= 2b + c d) n˜ao existe rela¸ca˜o entre a, b e c. e) nenhuma das respostas anteriores. 64. Dado o sistema linear vari´aveis x, y 3(x − 2) + 4(x + y) − 5(x + z) +
e z, abaixo: 2(x + z) = 0 3(y − z) = 0 4(y + 1) = 0
O valor da express˜ao 4y + 3z ´e igual a: A) −6 B) 12 C) −10 D) 17 65. Qual ´e a rela¸ca˜o entre as constantes seguir tenha solu¸c˜ao u ´nica ? ax − y x + by x − y
a, b e c de modo que o sistema linear a + z = 1 − z = 0 + cz = 2
a) abc 6= a + b − c b) abc = a − 2b + c c) bc 6= a + b + c d) bc = 5a − b + c 66. Discuta o sistema linear a seguir, segundo os parˆametros a, b ∈ R. x + 2y = b −2x − 4y = a 67. Discuta o sistema linear abaixo, em rela¸ca˜o ao parˆametro p ∈ R. px + 2py = 1 2x − py = 0
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES
31
−x + y − mz = 1 2 − y + z = 3 ´e poss´ıvel 68. (NUCEPE - 2015) O sistema linear 3x − 2y + 3mz = n e indeterminado se: a) m =6= 2 e n = 2. b) m 6=
1 e n = 2. 2
c) m = 2 e n = 2. 1 e n = 2. 2 1 e) m = e n 6= 2. 2 d) m =
69. (NUCEPE - 2014) Qual o valor de m para que o sistema mx + 2y = −z −y + 3z = 2mx 2x − 2z = 3y admita solu¸co˜es pr´oprias ? 14 a) m 6= − 9 14 b) m = − 9 14 c) m 6= 9 14 d) m = 9 e) m = 0
70. Sabendo que o sistema linear abaixo admite solu¸c˜ao diferente da trivial. x + 3y = ky 2x + 4y = kx Determine o valor de k. 71. Discuta o sistema nas vari´aveis x, y x − y px + 2y x + y
e z, em rela¸c˜ao aos parˆametros p, q ∈ R. + 2z = 0 + z = 5 − z = q
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES 72. (UECE) Se x, y e z constitui a solu¸c˜ao do x + y + z x + 2y + 3z x + 4y + 5z
32 sistema linear = 1 = −2 = −4
ent˜ao o produto x · y · z ´e igual a A) −4. B) −8. C) −2. D) −6. 73. Seja o sistema de equa¸co˜es lineares nas vari´aveis x, y e z: x + y + λz = 1 x + 2y + z = 2 W : λx + 2y + 3z = 3. Considere as seguintes afirmativas: I) W ´e poss´ıvel e indeterminado, quando λ 6= 1 e λ 6= −4. II) W ´e imposs´ıvel, quando λ 6= 5. III) W ´e poss´ıvel e determinado, quando λ 6= −3. Ent˜ao, podemos afirmar que: A) Somente I e II s˜ao verdadeiras. B) Todas s˜ao verdadeiras C) Somente II ´e falsa. D) Todas s˜ao falsas. 3x + 2y = 7 74. (FURG - RS) O sistema ´e indeterminado quando: 6x + ay = b A) a = 4 e b 6= 14 B) a = 4 e b = 14 C) a = 14 e b = 4 D) a 6= 4 e b = 14 E) a 6= 14 e b = 4 2x + ky + z = 0 x + y + kz = 0 ´e: 75. (FURG - RS - 2001) O sistema x + ky + z = 0 A) determinado para k = 1. B) determinado para todo k ∈ R. C) imposs´ıvel para k = −1. D) indeterminado k 6= 1. E) indeterminado para k = −1.
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES
33
2x + 3y = −1 x + 2z = −3 76. (FURG - RS - 2003) Dado o sistema −z + 4y = −2 Sendo x, y, z a solu¸c˜ao do sistema acima, ent˜ao, 2x + 7y − z ´e igual a A) −7. B) 1. C) −3. D) 3. E) 7. 77. Sabendo que o sistema linear abaixo ´e poss´ıvel e indeterminado: −2x + py = −2 x − 3y = log(m) Ent˜ao, sobre A) p = 6 e B) p 6= 6 e C) p = 5 e D) p 6= 5 e
os parˆametros p, m ∈ R podemos afirmar: m = 10. m 6= 10. m 6= 25. m = 30.
78. O sistema linear
−2x + 5y = 0 possui somente a solu¸ca˜o trivial. x − my = 3x
Ent˜ao: A) m 6= −4. B) m 6= −5. C) m = −4. D) m = −5. 79. Qual a condi¸ca˜o sobre o parˆametro k para x, y e z, tenha solu¸c˜ao u ´nica ? x + y = y − kz = kx + z = √ A) k 6= 3 B) k 6= 3√ e C) k 6= 2 D) k 6= 2 e
√ e k 6= − 3 k 6= −3 √ e k 6= − 2 k 6= −2
que o sistema linear nas vari´aveis 1 x −2
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES 80. (CESGRANRIO) Para que x −2x −x
34
o sistema linear + 2y − 5z = −7 + y − 2z = 8 + 3y − 7z = A
seja poss´ıvel e indeterminado, devemos ter A igual a (A) −56 (B) −15 (C) −1 (D) 1 (E) 23 81. (CESGRANRIO) Se o sistema linear
3x − 6y = a possui infinitas −x + by = 1
solu¸co˜es reais, o produto ab ´e igual a (A) −6
(B) −1
82. (FCC - 2005) O sistema de −x 5x 2x
(C) −
1 6
(D)
1 6
(E) 6
equa¸c˜oes − y + z = 0 + 4y − 2z = 1 + y + z = 1
´e: (A) incompat´ıvel. 2 determinado e seu conjunto-solu¸ca˜o ´e , 1, 0 . 3 determinado e seu conjunto-solu¸ca˜o ´e {(4, 2, 1)}. indeterminado e seu conjunto-solu¸ca˜o ´e {(x, x, x), x ∈ R}. indeterminado e seu conjunto-solu¸ca˜o ´e {(1 − 2z, 3z − 1, z), z ∈ R}.
(B) (C) (D) (E)
83. Em rela¸ca˜o ao seguinte sistema nas vari´aveis x e y log3 (x) + log3 (y) = 3 log3 (x) + log 1 (y) = 0. 9
Podemos afirmar que x2 + y 2 ´e igual: a) 35 b) 44 c) 50 d) 75 e) 90
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES
35
84. (URCA - CE - 2012) O conjunto solu¸ca˜o do sistema ( log 1 (x−y) = 0 3log3 (x+y) − 5 5 2 2 log2 x − log2 y = 2. ´e:
(
a) S = ( b) S = ( c) S = ( d) S = ( e) S =
√ !) √ 3 2 3 ,± ± 3 3 √ √ !) 2 3 3 , 3 3 √ √ !) 2 3 3 , − 3 3 √ !) √ 2 3 3 ,− 3 3 √ √ !) 2 3 3 ,− − 3 3
85. (UFRGS) A soma dos valores de k x + y kx + 3y x + ky
que tornam o sistema + z = 0 + 4z = 0 + 3z = 0
indeterminado ´e: a) −7 b) −2 c) 2 d) 7 e) 10 86. (UNIMONTES) Dado o sistema linear x + y + z = 1 2x + 2y + 2z = 2 3x + 3y + 3z = −1 podemos afirmar que: a) o sistema ´e incompat´ıvel b) o sistema ´e compat´ıvel e indeterminado c) o sistema ´e compat´ıvel e determinado d) nada se pode concluir sobre o comportamento das solu¸co˜es desse sistema.
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES 87. (PUC - MG) O valor de a que torna imposs´ıvel o sistema x + ay = 1 x + 2y = a ´e: a) −2 b) −1 c) 0 d) 1 e) 2
36
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES
1.5
Respostas
˜ 1. QUESTAO: 5 ˜ 2. QUESTAO: x = 2, y = 3 e z = −4 ˜ 3. QUESTAO: 1) SP D, quando a 6= 8 e ∀ b ∈ R. 2) SP I, quando a = 8 e b = 4. 3) SI, quando a = 8 e b 6= 4. ˜ 4. QUESTAO: 1) SP D, quando m 6= 2 e ∀ p ∈ R. 2) SP I, quando m = 2 e p = 7. 3) SI, quando m = 2 e p 6= 7. ˜ 5. QUESTAO: Alternativa C ˜ 6. QUESTAO: Alternativa B ˜ 7. QUESTAO: Alternativa E ˜ 8. QUESTAO: a) demonstra¸ca˜o. b) a 6= 1 e a 6= −2. ˜ 9. QUESTAO: Alternativa A
37
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES ˜ 10. QUESTAO: demonstra¸ca˜o ˜ 11. QUESTAO: λ=
9+
√
105
2
.
˜ 12. QUESTAO: Alternativa A ˜ 13. QUESTAO: Alternativa B ˜ 14. QUESTAO: Alternativa E ˜ 15. QUESTAO: 1) SP I, quando m 6= 4. 2) SI, quando m = 4. ˜ 16. QUESTAO: Alternativa A ˜ 17. QUESTAO: Alternativa E ˜ 18. QUESTAO: Alternativa A ˜ 19. QUESTAO:
38
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES 1 1) SP D, quando p 6= 1 e p 6= − . 2 1 2) SI, quando p = 1 ou p =6= − . 2 ˜ 20. QUESTAO: Alternativa B ˜ 21. QUESTAO: a) λ = 1 (dupla) e λ = −2. b) S = {(a, a, a), a ∈ R} ˜ 22. QUESTAO: Alternativa B ˜ 23. QUESTAO: 7β β , ,β ,β ∈ R a) 6 6 b)
5β − 8 β − 2 , ,β ,β ∈ R 2 2
˜ 24. QUESTAO: 3α − β 7α − 14β a) , , α, β , α, β ∈ R 5 5 b)
7α + β + 7 2α − β + 2 , , α, β , α, β ∈ R 3 3
˜ 25. QUESTAO: Alternativa B ˜ 26. QUESTAO: Alternativa A
39
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES ˜ 27. QUESTAO: a) λ = 6 ou λ = −1. b) S = {(−k, k), k ∈ R}. c) S = {(1, −1)}. ˜ 28. QUESTAO: Alternativa E ˜ 29. QUESTAO: Alternativa A ˜ 30. QUESTAO: π i) SP D, quando β 6= + kπ, onde k ∈ Z. 2 π ii) SI, quando β = + kπ, onde k ∈ Z. 2 ˜ 31. QUESTAO: α > 0 e α 6= 1000. ˜ 32. QUESTAO: Alternativa B ˜ 33. QUESTAO: α=
5π . 3
˜ 34. QUESTAO: λ=2±
√ 3
˜ 35. QUESTAO: Alternativa A
40
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES ˜ 36. QUESTAO: Alternativa B ˜ 37. QUESTAO: i) SP D, quando p = 6. ii) SI, quando p 6= 6. ˜ 38. QUESTAO: β 6=
π + kπ, 12
com k ∈ Z.
˜ 39. QUESTAO: Alternativa D ˜ 40. QUESTAO: Alternativa D ˜ 41. QUESTAO: Alternativa C ˜ 42. QUESTAO: Alternativa A ˜ 43. QUESTAO: a) demonstra¸ca˜o. 1 b) m = − 2 ˜ 44. QUESTAO: Alternativa D ˜ 45. QUESTAO: Alternativa A
41
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES ˜ 46. QUESTAO: Alternativa A ˜ 47. QUESTAO: Alternativa E ˜ 48. QUESTAO: Alternativa D ˜ 49. QUESTAO: Alternativa C ˜ 50. QUESTAO: a=
3 2
˜ 51. QUESTAO: Alternativa B ˜ 52. QUESTAO: Alternativa D ˜ 53. QUESTAO: Alternativa B ˜ 54. QUESTAO: Alternativa D ˜ 55. QUESTAO: Alternativa C ˜ 56. QUESTAO: Alternativa A
42
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES ˜ 57. QUESTAO: Alternativa B ˜ 58. QUESTAO: m=
3 5
e
k = −6
˜ 59. QUESTAO: Alternativa B ˜ 60. QUESTAO: Alternativa D ˜ 61. QUESTAO: Alternativa B ˜ 62. QUESTAO: Alternativa C ˜ 63. QUESTAO: Alternativa D ˜ 64. QUESTAO: Alternativa C ˜ 65. QUESTAO: Alternativa A ˜ 66. QUESTAO: 1)SP I, quando a = −2b. 2) SI, quando a 6= −2b.
43
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES ˜ 67. QUESTAO: 1)SP D, quando p 6= 0 e p 6= −4. 2) SI, quando p = 0 ou p = −4. ˜ 68. QUESTAO: Alternativa D ˜ 69. QUESTAO: Alternativa B ˜ 70. QUESTAO: k=
5±
√
17
2
˜ 71. QUESTAO: 1)SP D, quando p 6= 8 e ∀q ∈ R. 2) SP I, quando p = 8 e q = 1. 3) SI, quando p = 8 e q 6= 1. ˜ 72. QUESTAO: Alternativa A ˜ 73. QUESTAO: Alternativa D ˜ 74. QUESTAO: Alternativa B ˜ 75. QUESTAO: Alternativa E
44
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES ˜ 76. QUESTAO: Alternativa C ˜ 77. QUESTAO: Alternativa A ˜ 78. QUESTAO: Alternativa B ˜ 79. QUESTAO: Alternativa C ˜ 80. QUESTAO: Alternativa D ˜ 81. QUESTAO: Alternativa A ˜ 82. QUESTAO: Alternativa E ˜ 83. QUESTAO: Alternativa E ˜ 84. QUESTAO: Alternativa B ˜ 85. QUESTAO: Alternativa D ˜ 86. QUESTAO: Alternativa A
45
CAP´ITULO 1. SISTEMAS LINEARES ˜ 87. QUESTAO: Alternativa E
46
Cap´ıtulo 2 Aplica¸ c˜ oes na Qu´ımica Em qu´ımica estuda-se v´arias rea¸co˜es qu´ımicas. Nessa se¸c˜ao vamos usar sistemas lineares para fazer o balanceamento de algumas rea¸c˜oes. Exemplo 2.0.1. Fa¸ca o balanceamento da equa¸ca˜o qu´ımica: CaO + P2 O5 −→ Ca3 (P O4 )2 Solu¸c˜ ao: Nesse balanceamento, devemos observar a conserva¸ca˜o da quantidade de a´tomos de c´alcio, oxigˆenio e f´osforo nos dois lados da equa¸ca˜o qu´ımica. Al´em disso, fazendo xCa O + yP2 O5 −→ zCa3 (P O4 )2 . Relacionando as constantes x, y e z, temos:
calcio (Ca) : oxigenio (O) : f osf oro (P ) :
Reagentes x.1 x.1 + y.5 y.2
= = = =
Produtos z.3 z.4.2 z.1.2
Dessa forma, encontramos o sistema de equa¸c˜oes lineares abaixo 3z = 0 x − x + 5y − 8z = 0 2y − 2z = 0. Fazendo a opera¸ca˜o L2 −→ L2 − L1 , x 5y 2y
temos − 3z = 0 − 5z = 0 − 2z = 0.
Finalmente, com a opera¸ca˜o L3 −→ 5L3 − 2L2 , resulta em − 3z = 0 x 5y − 5z = 0 0y + 0z = 0. 47
˜ CAP´ITULO 2. APLICAC ¸ OES NA QU´IMICA
48
Equivalentemente, temos
x
− 3z = 0 5y − 5z = 0
Assim, z ´e uma vari´avel livre, e podemos fazer z = α ∈ R. Portanto, segue que x = 3α e y = α. Logo, a solu¸c˜ao geral ´e (x, y, z) = (3α, α, α), com α ∈ R. Fazendo, α = 1, temos uma solu¸ca˜o particular dada por (3, 1, 1). Portanto, a resposta desejada ´e 3CaO + P2 O5 −→ Ca3 (P O4 )2 Exemplo 2.0.2. Fa¸ca o balanceamento da rea¸ca˜o qu´ımica: C2 H6 O + O2 −→ CO2 + H2 O Solu¸c˜ ao: No balanceamento dessa rea¸ca˜o, devemos observar a conserva¸ca˜o da quantidade de a´tomos de oxigˆenio, carbono e hidrogˆenio nos dois lados da equa¸ca˜o qu´ımica. Al´em disso, fazendo xC2 H6 O + yO2 −→ zCO2 + wH2 O. Relacionando as constantes x, y, z e w, temos a seguinte configura¸ca˜o
oxigenio (O) : carbono (C) : hidrogenio (H) :
Reagentes x + 2y 2x 6x
= = = =
Produtos 2z + w z 2w
Assim, obtemos o seguinte sistema linear x + 2y − 2z − w = 0 2x − z = 0 6x − 2w = 0. Fazendo as opera¸co˜es L2 −→ L2 − 2L1 e L3 x + 2y − 2z − 4y + 3z − 12y + 12z Finalmente, fazendo L3 −→ L3 − 3L2 , x + 2y − − 4y + +
−→ L3 − 6L1 , obtemos − w = 0 + 2w = 0 + 4w = 0.
resulta em 2z − w = 0 3z + 2w = 0 3z − 2w = 0.
˜ CAP´ITULO 2. APLICAC ¸ OES NA QU´IMICA
49
Assim, w ´e uma vari´avel livre, e podemos fazer w = α ∈ R. Portanto, segue que 3z − 2w = 0
=⇒
3z = 2α
−4y + 3z + 2w = 0
=⇒
4y = 3
=⇒
2α 3
=⇒
x = −2α + 2
2α 3
x + 2y − 2z − w = 0
z=
+ 2α 2α 3
=⇒
y=α
+α
=⇒
x=
α 3
Logo, a solu¸c˜ao geral do sistema ´e α 2α , α, , α , com α ∈ R 3 3 Al´em disso, fazendo α = 3, obtemos uma solu¸c˜ao particular (1, 3, 2, 3). Portanto, 1C2 H6 O + 3O2 −→ 2CO2 + 3H2 O Exemplo 2.0.3. Fa¸ca o balanceamento da rea¸ca˜o qu´ımica: P + O2 −→ P5 O5 Solu¸c˜ ao: No balanceamento dessa rea¸ca˜o, devemos observar a conserva¸ca˜o da quantidade de a´tomos de oxigˆenio e fosforo nos dois lados da equa¸c˜ao qu´ımica. Al´em disso, fazendo xP + yO2 −→ zP5 O5 . Relacionando as constantes x, y e z, obtemos Reagentes = Produtos oxigenio (O) : x = 5z f osf oro (C) : 2y = 5z Assim, obtemos o seguinte sistema linear x − 5z = 0 2y − 5z = 0. Logo, z ´e uma vari´avel livre. Logo, podemos fazer z = β ∈ R. Ou seja, x − 5z = 0
=⇒
x = 5β
e
2y − 5z = 0
=⇒
y=
5β 2
Assim, a solu¸c˜ao geral do sistema ´e 5β 5β, , β , com β ∈ R 2 Al´em disso, fazendo β = 2, obtemos uma solu¸c˜ao particular (10, 5, 2). Portanto, 10P + 5O2 −→ 2P5 O5
˜ CAP´ITULO 2. APLICAC ¸ OES NA QU´IMICA
2.1
Exerc´ıcios
1. Fa¸ca o balanceamento das equa¸c˜oes qu´ımicas: a) C12 H22 O11 −→ C + H2 O b) Al + O2 −→ Al2 O3 c) Al2 (CO3 )3 −→ Al2 O3 + CO2 d) H3 P O3 + N aOH −→ N a3 P O4 + H2 O
50
˜ CAP´ITULO 2. APLICAC ¸ OES NA QU´IMICA
2.2
Respostas
˜ 1. QUESTAO: a) 1C12 H22 O11 −→ 12C + 11H2 O
b) 4Al + 3O2 −→ 2Al2 O3
c) 1Al2 (CO3 )3 −→ 1Al2 O3 + 3CO2
d) 1H3 P O3 + 3N aOH −→ 1N a3 P O4 + 3H2 O
51
Cap´ıtulo 3 Aplica¸ c˜ oes na F´ısica 3.1
Introdu¸c˜ ao
Defini¸c˜ ao 3.1.1. N´o ´e ponto do circuito onde a corrente el´etrica ´e dividida em trˆes ou mais vezes. Defini¸c˜ ao 3.1.2. Ramo ´e uma parte do circuito compreendido entre dois n´os consecutivos. Defini¸c˜ ao 3.1.3. Malha ´e uma parte do circuito que forma uma trajet´oria eletricamente fechada.
Figura 3.1: circuito com trˆes ramos Observa¸c˜ao 3.1.1. No circuto acima destacamos a presen¸ca de dois n´os (B e F); trˆes ramos (FEAB, FDB e FGCB) e finalmente de trˆes malhas (FEABDF,GFDBCG e ABCGFEA). 52
˜ CAP´ITULO 3. APLICAC ¸ OES NA F´ISICA
3.2
53
Leis de Kirchhoff
Defini¸c˜ ao 3.2.1. (Primeira Lei de Kirchhoff ) A soma das intensidades das correntes que chegam em um n´o ´e igual a soma das das intensidades das correntes que saem. Defini¸c˜ ao 3.2.2. (Segunda Lei de Kirchhoff ) Ao se percorrer uma malha, num sentido arbitr´ario, at´e se retornar ao ponto de partida, a soma algebrica das ddps ´e igual a zero.
Figura 3.2: circuito com trˆes correntes Observa¸c˜ao 3.2.1. Usando a primeira Lei de Kirchhoff ao n´o B do circuito 3.2, temos: I1 + I2 = I3 . Aplicando a segunda Lei de Kirchhoff na malha FEABDF do circuito 3.2, vem: E1 + R1 · I1 + E2 − R2 · I2 + R4 · I1 = 0. De modo semelhante, na malha GFDBCG do circuito, temos a rela¸ca˜o E4 + R2 · I2 − E2 − E3 + R3 · I3 = 0. Portanto, para obter as correntes I1 , I2 e I3 . Basta resolver o sistema linear I1 + I2 − I3 = 0 E1 + R1 · I1 + E2 − R2 · I2 + R4 · I1 = 0 E4 + R2 · I2 − E2 − E3 + R3 · I3 = 0.
˜ CAP´ITULO 3. APLICAC ¸ OES NA F´ISICA
54
Exemplo 3.2.1. No circuito abaixo, existem trˆes correntes (I1 , I2 e I3 ). Encontre o valor de cada uma delas:
Figura 3.3:
Solu¸c˜ ao: Inicialmente, aplicando em A a primeira Lei de Kirchhoff, temos a rela¸ca˜o I1 + I3 = I2 Al´em disso, aplicando a segunda Lei de Kirchhoff, nas malhas DCA e ACB, obtemos respectivamente, as rela¸co˜es 4I1 + 2I2 = −24 e 4I1 − 3I3 = 6. Portanto, encontramos o sistema I1 − I2 + I3 = 0 4I1 + 2I2 = −24 4I1 − 3I3 = 6. Fazendo as opera¸co˜es L2 −→ L2 − 4L1 e L3 −→ L3 − 4L1 , temos I1 − I2 + I3 = 0 6I2 − 4I3 = −24 4I2 − 7I3 = 6. Finalmente, fazendo a opera¸c˜ao L3 −→ 3L3 − 2L2 , encontramos I1 − I2 + I3 = 0 6I2 − 4I3 = −24 − 13I3 = 66. 30 96 66 Resolvendo, obtemos I1 = − A, I2 = − A e I3 = − A. Ou seja, encontramos 13 13 13 trˆes correntes negativas, isso significa que o sentido adotado no circuito deve ser invertido. Portanto, o sentido correto de I1 e I3 ´e de baixo para cima; e o sentido de correto de I2 ´e da direita para a esquerda.
˜ CAP´ITULO 3. APLICAC ¸ OES NA F´ISICA
55
Exemplo 3.2.2. Determine as correntes no circuito abaixo:
Figura 3.4:
Solu¸c˜ ao: Primeiramente, devemos adotar um sentido qualquer para as correntes a, b e c. Nesse caso, temos a seguinte configura¸c˜ao:
Figura 3.5:
Agora, aplicando em X a primeira Lei de Kirchhoff, temos a rela¸ca˜o a − b + c = 0. Al´em disso, aplicando a segunda Lei de Kirchhoff, nas malhas ZY X e XY K, obtemos respectivamente, as rela¸c˜oes 7a + 4b + 6 = 0 e 4b + 3c + 2 = 0.
˜ CAP´ITULO 3. APLICAC ¸ OES NA F´ISICA
56
Assim, obtemos o sistema a − b + c = 0 7a + 4b = −6 4b + 3c = −2. Fazendo a opera¸ca˜o L2 −→ L2 − 7L1 , a − b 11b 4b
temos + c = 0 − 7c = −6 + 3c = −2.
Finalmente, fazendo a opera¸c˜ao L3 −→ 11L3 − 4L2 , encontramos a − b + c = 0 11b − 7c = −6 61c = 2. 32 2 34 A. Ou seja, encontramos Resolvendo, obtemos a = − A, b = − A e c = 61 61 61 duas correntes negativas, isso significa que o sentido adotado no circuito deve ser invertido. Portanto, o sentido correto de a ´e da direita para a esquerda; e o sentido correto de b ´e de cima para baixo. Exemplo 3.2.3. Encontre as correntes a, b e c, no circuito abaixo:
Figura 3.6:
RESPOSTA: a = −
9 A, 55
b=
3 A 11
e
c=
24 A. 55
˜ CAP´ITULO 3. APLICAC ¸ OES NA F´ISICA
3.3
Exerc´ıcios
1. Calcule o valor das correntes:
Figura 3.7:
2. Determine o valor de cada corrente:
Figura 3.8:
57
˜ CAP´ITULO 3. APLICAC ¸ OES NA F´ISICA
3.4
Respostas
˜ 1. QUESTAO: a=
82 A, 75
b=
44 A 75
e
c=
42 A. 25
b=
14 A 31
e
c=−
˜ 2. QUESTAO: a=
72 A, 31
58 A. 31
58
Cap´ıtulo 4 Problemas 4.1
Introdu¸c˜ ao
Exemplo 4.1.1. A soma de dois n´ umeros ´e 15 e a diferen¸ca entre eles ´e 3. Encontre esses n´ umeros. Solu¸c˜ ao: Suponhamos que x e y sejam os n´ umeros procurados. Representamos a soma de dois n´ umeros por x + y = 15 e a diferen¸ca entre eles por x − y = 3. Logo, x + y = 15 x − y = 3. Finalmente, fazendo a opera¸c˜ao L2 −→ L2 − L1 , obtemos x + y = 15 − 2y = −12.
(4.1)
Resolvendo, a equa¸c˜ao −2y = −12, obtemos y = 6. Agora, substituindo esse resultado na primeira equa¸ca˜o de (4.1), encontramos x = 9. Exemplo 4.1.2. A soma de dois n´ umeros ´e 27. Determine esses n´ umeros, sabendo que um deles ´e o dobro do outro. Solu¸c˜ ao: Suponhamos que x e y sejam os n´ umeros procurados. A soma dos n´ umeros ´e denotada por x + y = 15 e um deles ´e o dobro do outro, representamos por x = 2y. Assim, encontramos x + y = 27 x − 2y = 0. Finalmente, fazendo a opera¸c˜ao L2 −→ L2 − L1 , obtemos x + y = 27 − 3y = −27.
(4.2)
Resolvendo, a equa¸c˜ao −3y = −27, obtemos y = 9. Agora, substituindo esse resultado na primeira equa¸ca˜o de (4.2), encontramos x = 18. 59
CAP´ITULO 4. PROBLEMAS
60
Exemplo 4.1.3. Um terreno retangular tem 42 metros de per´ımetro. Encontre as dimens˜oes desse terreno, sabendo que o comprimento tem 13 metros a mais que a largura. Solu¸c˜ ao: Denotamos por x o comprimento e y a largura do terreno. Sabemos que o per´ımetro ´e 42 metros. Ent˜ao, vale a igualdade 2x + 2y = 42. Al´em disso, sabe-se que o comprimento tem 13 metros a mais que a largura. Dessa forma, obtemos a rela¸ca˜o x = y + 13. Ou seja, resulta em 2x + 2y = 42 x − y = 13. Finalmente, fazendo a opera¸c˜ao L2 −→ 2L2 − L1 , obtemos 2x + 2y = 42 − 4y = −16.
(4.3)
Resolvendo, a equa¸c˜ao −4y = −16, obtemos y = 4. Agora, substituindo esse resultado na primeira equa¸ca˜o de (4.3), encontramos x = 17. Portanto, comprimento vale 17 metros e a largura vale 4 metros. Exemplo 4.1.4. Ana Paula guardou em uma caixa notas de 10 reais e 20 reais, num total de 40 notas. Determine a quantas notas de cada tipo ela possui, sabendo que na caixa tem 480 reais. Solu¸c˜ ao: Denotamos por x a quantidade de notas de 10 reais, e por y a quantidade de notas de 20 reais. Sabemos que o total de notas ´e 40. Assim, representa-se por x + y = 40. Na outra informa¸ca˜o, sabe-se que na caixa tem 480 reais. Ou seja, representamos por 10x + 20y = 480. Portanto, encontramos o sistema x + y = 40 10x + 20y = 480. Por outro lado, fazendo a opera¸c˜ao L2 −→ L2 − 10L1 , obtemos x + y = 40 + 10y = 80.
(4.4)
Resolvendo a equa¸ca˜o 10y = 80, obtemos y = 8 e finalmente, substituindo esse valor na primeira equa¸ca˜o de (4.4) encontramos x = 32. Portanto, na caixa existem 8 notas 20 reais e 32 notas de 10 reais. Exemplo 4.1.5. Adriano gastou 520 reais para comprar um sapato e um rel´ogio. Sabendo que o sapato custa 80 reais a mais que o rel´ogio. Calcule o valor de cada objeto. Solu¸c˜ ao: Representando por x = pre¸co do sapato e y = pre¸co do rel´ogio, sabemos que juntos eles custam 520 reais. Ou seja, x + y = 520 e o sapato custa 80 reais a mais que o rel´ogio. Ou seja, x = y + 80. Portanto, obtemos o sistema linear x + y = 520 x − y = 80.
CAP´ITULO 4. PROBLEMAS Finalmente, fazendo a opera¸c˜ao L2 −→ L2 − L1 , obtemos x + y = 520 − 2y = −440.
61
(4.5)
Resolvendo a equa¸ca˜o −2y = −440, obtemos y = 220 e finalmente, substituindo esse valor na primeira equa¸c˜ao de (4.5) encontramos x = 300. Portanto, o sapato custa 300 reais e o rel´ogio custa 220 reais. Exemplo 4.1.6. Em um p´atio est˜ao estacionados motos e carros, que totalizam 23 ve´ıculos e 64 rodas. Encontre a quantidade de cada ve´ıculo. Solu¸c˜ ao: Representamos por x a quantidade de motos e por y a quantidade de carros. Nesse p´atio existem 23 ve´ıculos. Logo, denotamos por x + y = 23. Sabe-se que existem 64 rodas. No entanto, uma moto tem 2 rodas e um carro tem 4 rodas. Portanto, obtemos a rela¸c˜ao 2x + 4y = 64. Assim, resulta em x + y = 23 2x + 4y = 64. Finalmente, fazendo a opera¸c˜ao L2 −→ L2 − 2L1 , obtemos x + y = 23 + 2y = 18.
(4.6)
Resolvendo a equa¸c˜ao 2y = 18, obtemos y = 9 e finalmente, substituindo esse valor na primeira equa¸ca˜o de (4.6) encontramos x = 14. Portanto, nesse p´atio existem 9 carros e 14 motos. Exemplo 4.1.7. (IFAP - 2012) Numa papelaria, trˆes l´apis e duas canetas custam R$ 3,50. J´a um l´apis e quatro canetas custam R$ 4,50. Quanto ser´a pago na compra de dez l´apis e cinco canetas? a) R$ 9,50 b) R$ 10,50 c) R$ 10,00 d) R$ 11,00 e) R$ 11,50 Solu¸c˜ ao: Denotamos por x pre¸co do l´apis e y o pre¸co da caneta. Assim, trˆes l´apis e duas canetas custam R$ 3,50, representamos por 3x+2y = 3, 50; e um l´apis e quatro canetas custam R $ 4,50. Representa-se por x + 4y = 4, 50. Portanto, obtemos 3x + 2y = 3, 50 x + 4y = 4, 50. Finalmente, fazendo a opera¸c˜ao L2 −→ 3L2 − L1 , obtemos 3x + 2y = 3, 50 + 10y = 10.
(4.7)
CAP´ITULO 4. PROBLEMAS
62
Resolvendo a equa¸ca˜o 10y = 10, obtemos y = 1 e finalmente, substituindo esse valor na primeira equa¸ca˜o de (4.7) encontramos x = 0, 50. Ent˜ao, dez l´apis e cinco canetas, v˜ao custar 10x + 5y = 10 · 0, 50 + 5 · 1 = 10, 00. Ou seja, a resposta ´e a alternativa C. Exemplo 4.1.8. (IFMA - 2013) A loja Vendebem fez uma promo¸ca˜o para vender pratos e copos decorados para o Natal. Sem mudar os valores dos produtos, criou dois kits natalinos. No primeiro, foi colocado 3 pratos e 4 copos a um pre¸co de R$ 77,00 e no segundo kit foi colocado 4 pratos e 3 copos por um pre¸co de R$ 84,00. Mantendo os pre¸cos individuais de cada prato e cada copo, quanto custaria 1 copo mais um prato? a) R$ 18,00 b) R$ 22,00 c) R$ 15,00 d) R$ 23,00 e) R$ 14,00 Solu¸c˜ ao: Sendo x o pre¸co do prato e y o pre¸co do copo. No primeiro kit, 3 pratos e 4 copos custam R$ 77,00, representamos por 3x + 4y = 77; no segundo kit, 4 pratos e 3 copos custam R $ 84,00. Representa-se por 4x + 3y = 84. Portanto, obtemos 3x + 4y = 77 4x + 3y = 84. Finalmente, fazendo a opera¸c˜ao L2 −→ 3L2 − 4L1 , obtemos 3x + 4y = 77 − 7y = −56.
(4.8)
Resolvendo a equa¸c˜ao −7y = −56, obtemos y = 8 e finalmente, substituindo esse valor na primeira equa¸ca˜o de (4.8) encontramos x = 15. Ent˜ao, 1 copo mais 1 prato, v˜ao custar x + y = 15 + 8 = 23. Ou seja, a resposta ´e a alternativa D. Exemplo 4.1.9. Um Supermercado vende bolas amarelas, bolas brancas e bolas cinzas. Nesse supermercado existem trˆes vendedores (Lucas, Marcos e Rosane). Sobre a venda deles foi descrito na seguinte tabela: Supermercado Quantidade de bolas V alor Lucas A, 3B e C M arcos 2A, 4B e C Rosane A, 2B e 3C
em reais 29 42 31
Ent˜ao, o valor de 1 Bola Amarela + 1 Bola Branca + 1 Bola Cinza ´e igual a: a) R$ 24,00 b) R$ 12,00 c) R$ 36,00
CAP´ITULO 4. PROBLEMAS
63
d) R$ 17,00 Solu¸c˜ ao: Primeiramente, denotamos as cores por amarela = a, branca = b e cinza = c. Dessa forma, obtemos o seguinte sistema de equa¸co˜es lineares a + 3b + c = 29 2a + 4b + c = 42 a + 2b + 3c = 31. Fazendo as opera¸co˜es L2 −→ L2 − 2L1 e a + 3b + − 2b − − b +
L3 −→ L3 − L1 , encontramos c = 29 c = −16 2c = 2.
Fazendo L3 −→ 2L3 − L2 , obtemos a + 3b + c = 29 − 2b − c = −16 + 5c = 20. Resolvendo a equa¸ca˜o 5c = 20, obtemos c = 5. Agora, substituindo em −2b − c = −16, encontramos b = 6. E finalmente, substituindo em a + 3b + c = 29, obtemos a = 7. Portanto, o valor de 1 Bola Amarela + 1 Bola Branca + 1 Bola Cinza ´e 17. Ou seja, a resposta ´e a alternativa D.
CAP´ITULO 4. PROBLEMAS
4.2
64
Exerc´ıcios
1. A soma das idades de dois irm˜aos ´e 39 anos, e a diferen¸ca ´e 9 anos. Determine a idade do irm˜ao mais velho. 2. (UNIFOR - CE) Paguei R$ 35,00 por uma cal¸ca e uma camiseta. Se eu tivesse pago R$ 8,00 a menos pela cal¸ca e R$ 7,00 a mais pela camiseta, seus pre¸cos teriam sido iguais. Quanto paguei pela cal¸ca ? a) R$ 25,00 b) R$ 22,00 c) R$ 20,00 d) R$ 18,00 e) R$ 15,00 3. A soma das idades de Adriano e Rebeca ´e 69 anos. Encontre a idade de Adriano sabendo que, daqui a 12 anos, a idade de Adriano ser´a o dobro da idade de Rebeca. 4. (UFBA) Uma pessoa retira R$ 70,00 de um banco, recebendo 10 notas, algumas de R$ 10,00 e outras de R$ 5,00. Calcule quantas notas de R$ 5,00 a pessoa recebeu. 5. Sabendo que a soma dos dois algarismos de um n´ umero ´e 7. Trocando a ordem desses algarismos, obtemos um n´ umero que tem 9 unidades a menos que o primeiro. Qual ´e esse n´ umero ? 6. (IFPI - 2013) Em Mandacaru, propriedade dos pais de Isabela, h´a bodes e carneiros. Sabe-se que a quantidade de animais, dentre bodes e carneiros, ´e 975. Assim, se a quantidade de carneiros ´e o dobro da quantidade de bodes, podemos afirmar que a quantidade de bodes ´e igual a: a) 310 b) 315 c) 320 d) 325 e) 330 7. (IFAP - 2014) Trˆes salgados e quatro sucos custam R$ 14,25. Cinco salgados e dois sucos custam R$ 13,25. O pre¸co de quatro salgados e cinco sucos ´e: a)R$ 16,75 b)R$ 17,00 c)R$ 17,25 d)R$ 18,00 e)R$ 18,25
CAP´ITULO 4. PROBLEMAS
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8. (IFES) Uma lanchonete vende 3 tamanhos de pizza, pequena P , m´edia M , grande G, e cobra a pizza de acordo com o tamanho. Num relat´orio sobre vendas di´arias de 3 dias consecutivos da lanchonete, tem-se o seguinte quadro: Lanchonete T otal de vendas V alor total 1o Dia 3P, 2M, 5G R$ 181,00 o 2 Dia 2P, 1M, 2G R$ 88,00 o 3 Dia 1P, 2M, 3G R$ 111,00 A partir desse relat´orio, os pre¸cos das pizzas pequena, m´edia e grande ser˜ao, respectivamente: a) R$ 25,00, R$ 28,00 e R$ 30,00 b) R$ 5,00, R$ 10,00 e R$ 15,00 c) R$ 16,00, R$ 20,00 e R$ 22,00 d) R$ 15,00, R$ 18,00 e R$ 20,00 e) R$ 12,00, R$ 16,00 e R$ 18,00 9. (IFES) Tenho a ter¸ca parte da idade de C´ıcero. Daqui a quatro anos C´ıcero ter´a duas vezes e meia da idade que terei. Quantos anos eu tenho? a) 9. b) 10. c) 11. d) 12. e) 13. 10. (IFAP - 2012) Dois amigos foram a um supermercado para comprar caf´e e a¸cu ´car. O primeiro pagou R$18,20 por 2 pacotes de caf´e e 5 sacos de a¸cu ´car. O segundo pagou R$19,60 por 3 pacotes de caf´e e 4 sacos de a¸cu ´car. Quanto custa um pacote de caf´e? a) R$ 3,60 b) R$ 1,40 c) R$ 2,20 d) R$ 7,20 e) R$ 8,80 11. (IFMA - 2012) No p´atio de uma revendedora de ve´ıculos existem motos e autom´oveis num total de 120 ve´ıculos e 320 rodas. A quantidade de motos e autom´oveis, respectivamente, ´e: a) 80 motos e 40 autom´oveis b) 40 motos e 80 autom´oveis c) 100 motos e 35 autom´oveis d) 20 motos e 80 autom´oveis e) 150 motos e 15 autom´oveis
CAP´ITULO 4. PROBLEMAS
66
12. (IFMA - 2013) Ricardo e Lucas s˜ao irm˜aos. Atualmente a diferen¸ca de suas idades ´e de 6 anos. Sabendo-se que daqui a 4 anos a soma de suas idades ser´a de 28 anos, qual a idade do irm˜ao mais velho, hoje? a) 13 anos b) 11 anos c) 9 anos d) 7 anos e) 15 anos 13. (UNIFOR - CE - 2016) A apresenta¸c˜ao de um show de Rock gerou uma receita de R$ 11.000,00. Havia dois tipos de ingresso: um era vendido por R$ 20,00 e o outro R$ 40,00. Sabendo-se que foram vendidos ao todo 400 ingressos, podemos concluir que o n´ umero de ingressos vendidos a R$ 20,00 foi de (A) 150. (B) 180. (C) 200. (D) 220. (E) 250. 14. (IFPA - 2012) Um agricultor do interior do Par´a comprou trˆes lotes de terra. Os trˆes juntos foram comprados por R$ 25.000,00. O pre¸co do lote intermedi´ario ´e igual ao dobro do menor, e a diferen¸ca entre o maior e o menor lote ´e igual a R$ 7.000,00. Qual ´e o pre¸co do menor lote? A) R$ 4.500,00 B) R$ 9.000,00 C) R$ 11.500,00 D) R$ 18.000,00 E) R$ 23.000,00 15. (NUCEPE - UESPI - 2014) A loja ”Pre¸co Bom ”vende dois tipos de lˆampada x e y. Paula comprou 3 lˆampadas tipo x e 7 tipo y, pelas quais pagou R$ 48,90. Bernardo comprou 4 lˆampadas tipo x e 10 tipo y, pelas quais pagou R$ 68,40. Nas condi¸co˜es dadas, a compra de duas lˆampadas, sendo uma de cada tipo, custa nessa loja: a) R$ 9,90. b) R$ 11,40. c) R$ 11,70. d) R$ 12,30. e) R$ 13,20.
CAP´ITULO 4. PROBLEMAS
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16. (CESUPA - 2014) Uma m˜ae e seu filho tˆem juntos 122 anos. Tirando-se 11 anos da idade da m˜ae e acrescentando-se a` do filho, tornam-se iguais as idades. Neste caso, a idade do filho ´e, em anos, igual a A) 38 B) 42 C) 46 D) 50 17. (IFPE - 2013) Andr´e e Victor chamaram seu primo Fernando para acompanh´a-los ao Shopping Center. L´a chegando, viram uma loja de roupa masculina com itens em promo¸c˜ao. Todas as camisas, cal¸cas e pares de tˆenis dessa promo¸ca˜o eram iguais. Fernando comprou duas camisas, trˆes cal¸cas e um par de tˆenis; Victor comprou quatro camisas, duas cal¸cas e dois pares de tˆenis e Andr´e duas camisas, uma cal¸ca e um par de tˆenis. Fernando gastou R$ 890,00, Victor gastou R$ 1.350,00 e Andr´e R$ 590,00. Nessa loja, quem for comprar uma dessas camisas, uma dessas cal¸cas e um desses pares de tˆenis pagar´a: a) R$ 380,00 b) R$ 390,00 c) R$ 420,00 d) R$ 450,00 e) R$ 480,00 18. (IFPE - 2016) Em um estacionamento, h´a triciclos e quadriciclos, totalizando 17 ve´ıculos e 61 rodas. Quantos triciclos h´a nesse estacionamento? a) 10 b) 8 c) 7 d) 17 e) 12 19. (FURG - RS - 2007) O consumo de cinco sandu´ıches, sete refrigerantes e dois peda¸cos de torta, por um grupo de estudantes, totalizou R$ 36,00. Outro grupo consumiu sete sandu´ıches, dez refrigerantes e um peda¸co de torta, o que totalizou R$ 47,00. Sabendo que cada refrigerante custa R$ 1,00, ent˜ao o consumo de um sandu´ıche, um refrigerante e um peda¸co de torta totaliza o valor de: A) R$ 10,00. B) R$ 8,00. C) R$ 6,00. D) R$ 7,50. E) R$ 12,50.
CAP´ITULO 4. PROBLEMAS
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20. (CESPE - UNB) Um sitiante cria caprinos e aves, totalizando 250 animais, dos quais 40% s˜ao caprinos. Nesse caso, o total de patas desse plantel ´e igual a A) 400. B) 500. C) 600. D) 700. 21. (CESPE - UNB) Uma dona de casa adquiriu 13 kg de alimentos entre arroz e feij˜ao. Se ela comprou 7 kg de arroz a mais que a quantidade de quilogramas de feij˜ao, ent˜ao ela comprou A) mais de 5 kg de feij˜ao. B) menos de 8 kg de arroz. C) 10 kg de arroz. D) 4 kg de feij˜ao. 22. (FCC) Foram colocados em uma balan¸ca 5 pacotes de arroz e 3 de farinha, observando-se que a balan¸ca marcava 7,5 kg. Tirando 2 pacotes de cada produto, a balan¸ca passou a marcar 4,1 kg. Nessas condi¸c˜oes, est´a correto afirmar que 1 pacote de arroz mais 1 pacote de farinha tˆem, juntos, massa de (A) 1,2 kg. (B) 1,5 kg. (C) 1,7 kg. (D) 1,9 kg. 23. (FCC) Uma empresa est´a montando pacotes com brindes promocionais para presentear seus clientes. Veja a composi¸ca˜o de dois tipos de pacotes montados: I. Uma garrafa de vinho e dois panetones; II. Duas garrafas de vinho e um panetone. Determine o valor gasto pela empresa pela compra de uma garrafa de vinho e um panetone, sabendo que o pacote tipo I custa R$ 50,00 e o pacote tipo II custa R$ 55,00. (A) R$ 15,00. (B) R$ 20,00. (C) R$ 25,00. (D) R$ 30,00. (E) R$ 35,00.
CAP´ITULO 4. PROBLEMAS
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24. (UNIR - 2009) Uma ind´ ustria fabrica quatro tipos de o´leo (I, II, III e IV). Os dois u ´ltimos tipos s˜ao obtidos da mistura dos dois primeiros da seguinte forma: ⇒ 5 L do Tipo III = 2 L do Tipo I + 3 L do Tipo II. ⇒ 5 L do Tipo IV = 3 L do Tipo I + 2 L do Tipo II. O pre¸co do litro do Tipo III ´e R$ 2,00 e do litro do Tipo IV ´e R$ 2,20. Com base nessas informa¸c˜oes, qual o pre¸co do litro do o´leo Tipo I? A) R$ 1,60 B) R$ 3,20 C) R$ 2,60 D) R$ 2,20 E) R$ 2,00
CAP´ITULO 4. PROBLEMAS
4.3
Respostas
˜ 1. QUESTAO: 24 anos. ˜ 2. QUESTAO: Alternativa D. ˜ 3. QUESTAO: Adriano = 50 anos. ˜ 4. QUESTAO: 6 notas. ˜ 5. QUESTAO: 43 ˜ 6. QUESTAO: Alternativa D ˜ 7. QUESTAO: Alternativa E ˜ 8. QUESTAO: Alternativa D ˜ 9. QUESTAO: Alternativa D ˜ 10. QUESTAO: Alternativa A
70
CAP´ITULO 4. PROBLEMAS ˜ 11. QUESTAO: Alternativa A ˜ 12. QUESTAO: Alternativa A ˜ 13. QUESTAO: Alternativa E ˜ 14. QUESTAO: Alternativa A ˜ 15. QUESTAO: Alternativa A ˜ 16. QUESTAO: Alternativa D ˜ 17. QUESTAO: Alternativa C ˜ 18. QUESTAO: Alternativa C ˜ 19. QUESTAO: Alternativa B ˜ 20. QUESTAO: Alternativa D ˜ 21. QUESTAO: Alternativa C
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CAP´ITULO 4. PROBLEMAS ˜ 22. QUESTAO: Alternativa C ˜ 23. QUESTAO: Alternativa E ˜ 24. QUESTAO: Alternativa C
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Cap´ıtulo 5 EXTRA 5.1
Exemplos
Exemplo 5.1.1. Resolva o sistema linear nas vari´aveis x e y, sabendo que m 6= 4. 2x − 8y = 1 −x + my = 3 Solu¸c˜ ao: Inicialmente, fazendo a opera¸c˜ao L2 −→ 2L2 + L1 , obtemos 2x − 8y = 1 (2m − 8)y = 7 7 Logo, da igualdade (2m − 8)y = 7, encontramos y = . Agora, substituindo 2m − 8 m + 24 . Portanto, a solu¸ca˜o desse sistema ´e em 2x − 8y = 1, encontramos x = 2m − 8 m + 24 7 S= , 2m − 8 2m − 8 . Exemplo 5.1.2. (FGV - 2013) Em um jogo de rugby, os times da Nova Zelˆandia e da Fran¸ca fizeram um total de 62 pontos. A Nova Zelˆandia venceu por uma diferen¸ca de 16 pontos. A Fran¸ca fez (A) 46 pontos. (B) 39 pontos. (C) 36 pontos. (D) 28 pontos. (E) 23 pontos. Solu¸c˜ ao: Suponhamos que x e y sejam a quantidade de pontos feitos por Nova Zelˆandia e Fran¸ca, respectivamente. Assim, o total de pontos representamos por x + y = 62, e a diferen¸ca foi de 16 pontos. Logo, temos x − y = 16. Portanto, temos x + y = 62 x − y = 16. 73
CAP´ITULO 5. EXTRA
74
Agora, fazendo a opera¸ca˜o L2 −→ L2 − L1 , obtemos x + y = 62 − 2y = −46. Resolvendo, a equa¸c˜ao −2y = −46, obtemos y = 23. Finalmente, substituindo esse resultado em x + y = 62, obtemos x = 39. Ou seja, a resposta ´e a alternativa E. Exemplo 5.1.3. (IFPI - 2016) Numa classe de 32 alunos, a raz˜ao entre o n´ umero 3 de meninos e o de meninas ´e . Quantos s˜ao os meninos? 5 a) 24 b) 20 c) 12 d) 10 e) 8 Solu¸c˜ ao Suponhamos que x e y representem a quantidade de meninos e meninas, respectivamente. Assim, numa classe de 32 alunos, representamos por x + y = 32, 3 x e a raz˜ao entre meninos e meninas, representamos por = , de forma equivalente y 5 temos 5x = 3y. Logo, resulta x + y = 32 5x − 3y = 0. Finalmente, fazendo a opera¸c˜ao L2 −→ L2 − 5L1 , obtemos x + y = 32 − 8y = −160.
(5.1)
Resolvendo a equa¸ca˜o −8y = −160, obtemos y = 20. Agora, substituindo y = 20 na igualdade x + y = 32, obtemos x = 12. Portanto, a resposta ´e a alternativa C. Exemplo 5.1.4. Sabendo que sistema nas vari´aveis x e y abaixo ´e imposs´ıvel: x + y = 2 2x + 2y = 8sen(2α). Ent˜ao, afirmamos que: π a) α 6= + 2kπ, com k ∈ Z. 6 π b) α = + kπ, com k ∈ Z. 8 π c) α 6= + kπ, com k ∈ Z. 12 π d) α = + 2kπ, com k ∈ Z. 18
CAP´ITULO 5. EXTRA
75
Solu¸c˜ ao: Inicialmente, fazemos a opera¸c˜ao L2 −→ L2 − 2L1 . Assim, obtemos x + y = 2 0x + 0y = 8sen(2α) − 4. Portanto, para o sistema acima ser imposs´ıvel, devemos ter 8sen(2α) − 4 6= 0. Ou π 1 + kπ, seja, devemos resolver sen(2α) 6= . Assim, encontramos a solu¸c˜ao α 6= 2 12 com k ∈ Z. Dessa forma, a resposta ´e a alternativa C. Exemplo 5.1.5. Dado o sistema linear nas vari´aveis x, y e z: x − 2y + z = 0 x + 3y + 5z = 0 2x + y + 6z = 0 Ent˜ao, a solu¸ca˜o geral em fun¸ca˜o de k ∈ R ´e igual a: 13k 4k A) − ,− ,k . 5 5 k 5k B) , − , −k . 12 12 3k k C) − , − , 4k . 4 4 18k 8k D) − , ,k . 7 7 Solu¸c˜ ao: Fazendo as opera¸co˜es L2 −→ L2 − L1 e x − 2y + z = + 5y + 4z = + 5y + 4z =
L3 −→ L3 − 2L1 , obtemos 0 0 0
Agora, fazendo L3 −→ L3 − L2 , obtemos x − 2y + z = 0 + 5y + 4z = 0 Finalmente, fazendo L1 −→ 5L1 + 5L2 , obtemos 5x + 13z = 0 + 5y + 4z = 0 Por outro lado, fazendo z = k ∈ R, temos 5x + 13k = 0
⇒
x=
−13k 5
e
5y + 4k = 0
⇒
x=
−4k 5
CAP´ITULO 5. EXTRA
76
Assim, a solu¸c˜ao geral ´e dada por 13k 4k ,− ,k S= − 5 5 Exemplo 5.1.6. Discuta o sistema linear em fun¸c˜ao do parˆametro k ∈ R. x − y = kz kx + 3y = 4 − z −x + y = −3z Solu¸c˜ ao: Notamos que o sistema (5.2) pode ser escrito da seguinte forma, x − y − kz = 0 kx + 3y + z = 4 −x + y + 3z = 0. Seja a matriz X formada pelos coeficientes do 1 −1 −k 3 1 det(X) = k −1 1 3
(5.2)
(5.3)
sistema (5.3). Agora, calculando = −k 2 + 9.
Para o sistema acima ter solu¸c˜ao u ´nica devemos ter det(X) = −k 2 + 9 6= 0. Assim, temos k 6= −3 e k 6= 3. Por outro lado, substituindo k = −3 em (5.3), temos x − y + 3z = 0 −3x + 3y + z = 4 −x + y + 3z = 0. Fazendo as seguintes opera¸co˜es L2 −→ L2 + 3L1 e L3 −→ L3 + L1 , obtemos x − y + 3z = 0 + 10z = 4 + 6z = 0. Assim, atrav´es das rela¸co˜es 10z = 4 e 6z sistema ´e imposs´ıvel. Por fim, substituindo x − y − 3x + 3y + −x + y +
= 0, conclu´ımos que para k = −3, o k = 3 em (5.3), obtemos 3z = 0 z = 4 3z = 0.
Fazendo as seguintes opera¸co˜es L2 −→ L2 − 3L1 e L3 −→ L3 + L1 , obtemos x − y + 3z = 0 + 6y + 10z = 4.
CAP´ITULO 5. EXTRA
77
Fazendo a opera¸ca˜o L1 −→ 6L1 + L2 , encontramos 6x + 28z = 4 + 6y + 10z = 4. Logo, z ´e uma vari´avel livre. Assim, podemos fazer z = β ∈ R, resulta em 6x + 28β = 4 ⇒ x =
4 − 28β 6
e
6y + 10β = 4 ⇒ y =
4 − 10β 6
Ou seja, a solu¸ca˜o geral ´e S=
4 − 28β 4 − 10β , ,β 6 6
Portanto, para k = 3, o sistema possui infinitas solu¸c˜oes. ˜ CONCLUSAO: 1) SP D, quando k 6= −3 e k 6= 3. 2) SP I, quando k = 3. 3) SI, quando k = −3. Exemplo 5.1.7. (UFPA) O valor x − x − 2x +
de k, para que o sistema linear y − z = 0 2y − 2z = 0 ky + z = 0
admita solu¸co˜es pr´oprias, ´e a) k = 0 b) k = 1 c) k = −1 d) k 6= 0 e) k 6= 1 Solu¸c˜ ao: Seja a matriz W formada pelos coeficientes do sistema acima. Agora, 1 −1 −1 det(W ) = 1 −2 −2 = k − 1. 2 k 1 Para esse sistema ter solu¸c˜oes pr´oprias, devemos ter det(W ) = k − 1 = 0. encontramos k = 1. Portanto, a resposta ´e a alternativa B. 2x + 5y − z = x + 10y − 2z = Exemplo 5.1.8. (UFPR) Para que o sistema 6x − 15y + mz = mita solu¸ca˜o u ´nica, deve-se ter:
Logo, 0 0 ad0
CAP´ITULO 5. EXTRA
78
a) m 6= 1 b) m 6= 2 c) m 6= −2 d) m 6= 3 e) m 6= −3 Solu¸c˜ ao: Seja a matriz P formada pelos coeficientes do sistema acima. Agora, 2 5 −1 det(P ) = 1 10 −2 = 15m − 45. 6 −15 m Para esse sistema ter solu¸co˜es pr´oprias, devemos ter det(P ) = 15m − 45 6= 0. Logo, encontramos m 6= 3. Portanto, a resposta ´e a alternativa D. Exemplo 5.1.9. Qual a rela¸ca˜o entre as constantes a e b de modo que o sistema tenha solu¸ca˜o u ´nica ? ax − 4y = 1 3bx + y = −5 A) 2a = 7b. B) a 6= −12b. C) b = −5b. D) 3a 6= b. Solu¸c˜ ao: Seja a matriz N formada pelos coeficientes do sistema acima. Portanto, a −4 = a + 12b. det(N ) = 3b 1 Para ter solu¸ca˜o u ´nica, devemos ter det(N ) = a + 12b 6= 0. Logo, a 6= −12b. Ou seja, a resposta ´e a alternativa B.
Referˆ encias Bibliogr´ aficas [1] Iezzi, Gelson & Hazzan, Samuel. Fundamentos de matem´ atica elementar, volume 4, Sequˆencias, matrizes, determinantes e sistemas. 2 edi¸c˜ao. Atual editora, S˜ao Paulo, SP. [2] Souza, Joamir Roberto de. Novo olhar matem´ atica, volume 2, FTD. S˜ao Paulo - SP, 2013. [3] Iezzi, Gelson...[et al]. Matem´ atica ciˆ encia e aplica¸co ˜es, volume 2, Atual Editora. S˜ao Paulo - SP, 2004.
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