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IF-UFRJ Laboratório de Física Moderna Eletrônica
FIW 362 Curso de Licenciatura em Física Prof. Antonio Carlos
Aula 8: Sistemas de numeração e portas lógicas Este material foi baseado em livros e manuais existentes na literatura (vide referências) e na internet e foi confeccionado exclusivamente para uso como nota de aula para as práticas de Laboratório de Física Moderna Eletrônica. Pela forma rápida que foi confeccionado, algumas partes foram extraídas quase verbatim de outros autores citados na lista de referências. Trata-se de um texto em processo de constante modificação. Por gentileza, me informe os erros que encontrar.
Em um sistema de unidades de base n utilizamos n algarismos para expressar uma quantidade qualquer. Na base 10 utilizamos os algarismos (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) para representar uma quantidade, exemplo : 59410 = (5 × 102) + (9 × 101)+ (4 × 100)
Sistema binário Na base 2, utilizamos 2 algarismos (0,1) para expressar uma quantidade. Definições : bit → 1 ou 0 (binary digit) 4 bits = 1 nibble 8 bits = 1 byte 10 20 30 40 1 kB (kilobyte) = 2 , 1 MB (megabyte) = 2 bytes, 1 GB (gigabyte) = 2 bytes, 1 TB (terabyte)= 2 bytes
Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Binário 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001
Conversão binário para decimal 011102 → (0 × 24) + (1 × 23) + (01× 22) + (1 × 21) + (0 × 20) = 0 +8 + 4 + 2 + 0 = 1410 4
2 0
3
2 1
2
2 1
1
2 1
0
2 0
Exercícios : 1- converta para o sistema decimal
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a – 1001102 b - 0111102 c - 1110112 d - 0110011001101012 e - 110101102 conversão decimal para binário 4710 = ? 5
2 1 Último quociente MSB
47 2 1 23 2 1 11 2 1o resto 1 5 2o resto 1 3o resto
2 2 0
2 1
4
2 0 o 5 resto
3
2 1 o 4 resto
2
2 1 o 3 resto
1
2 1 o 2 resto
0
2 1 o 1 resto LSB
MSB = most significant bit
Ultimo quociente
LSB = least significant bit
4o resto 5o resto
Exercícios 2 – converta para o sistema binário a – 7810 = b - 10210 = c -21510 = d- 40410 = e – 80810 = f – 1638310= conversão de números binários fracionário em decimais vamos escrever o numero 10,5 na base 10 1
0
10,510 → 1 × 10 + 0 × 10 +5 × 10
-1
do mesmo modo no sistema binário 2 1 0 -1 -2 -3 101,1012 = 1 × 2 + 0 × 2 + 1 × 2 + 1 × 2 + 0 × 2 + 1 × 2 = 4 +1 + 0,5 +0,125 = 5,62510 agora convertendo do sistema decimal para o binário Quando se trata de números fracionais, para se obter o código binário, multiplica-se o numero após a virgula (parte fracionaria) por 2. Separa-se a parte inteira do resultado obtido multiplica-se a parte fracionaria por. Prossegue-se o processo ate que se atinja uma aproximação desejada ou quando a parte fracionária se torne nula. A seqüência de 0 e 1 constituida pela sucessão das partes inteiras separadas, fornecera o numero em código binário. Exemplo: 0,687510 0,6875 × 2 = 1,3750 → parte inteira 1 (MSB) 0,3750 × 2 = 0,7500 → parte inteira 0
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0,7500 × 2 = 1,5000 → parte inteira 1 0,5000 × 2 = 1,0000 → parte inteira 1 logo 0,687510 = 0,10112
Exercícios 3 – transforme para o decimal os seguintes números binários a – 11,112 b – 1000,0012 c – 1010,10102 d – 1100,11012 e – 10011,100112 4 – transforme os seguintes numeros decimais em binarios a – 0,12510 b – 0,062510 c – 0,710 d – 7,910 e – 0,9210
sistema octal de numeração atualmente, o sistema octal é pouco utilizado em eletrônica digital Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
octal 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12
Conversão octal para decimal 2
1
0
1448 = 1 × 8 + 4 × 8 + 4 × 8 = 64 + 32 + 4 = 10010 6 - transforme os números octais para o sistema decimal a- 148 b- 678 c- 1538 d - 15448 e -20638
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conversão decimal para octal
9210 = ?
92 8 LSB
4 11 8 3 1
MSB
Ultimo quociente 9210= 1348
7 – converta para o sistema octal a- 10710 = b- 18510= c- 204810 = d- 40910= e – 566610=
8 – porque o numer 15874 não pode ser octal ?
conversão octal para binário A regra consiste em transformar cada algarismo diretamente no correspondente em binário, respeitando-se o numero 3 padrão de bits do sistema 2 = 8, onde 3 é o numero de bits. Ex. 278 2 010
7 111
278 = 010 111 =0101112 9- converta os seguintes números octais em binários a- 4778 b- 15238 c- 47648 d- 67408 e- 100218 conversão binário para octal É só aplicar o processo inverso Ex. 1100102 = 110 010 = 6 2 = 628
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10 – converta os seguintes números binários em octais a- 10112 b - 100111002 c - 1101011102 d- 10000000012 e- 11010001012 o sistema hexadecimal Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Hexadecimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
Conversão do sistema hexadecimal para o decimal 1
0
3F16 = 3× 16 + F× 16 = 3× 16 + 15 = 6310 2
1
0
1C316 = 1× 16 +C× 16 + 3× 16 = 256 + 12 × 16 + 3 = 45110 11 – converta para o sistema decimal os seguintes números hexadecimais a- 47916 b- 4AB16 c- F0CA16 d – BDE16 e- 2d3F16 conversão decimal para hexadecimal 100010= ?
1000 LSB
16
8 62 16 14 3 MSB Ultimo quociente
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como 1410 = E16 100010 = 3E816 12 – converta os seguintes números decimais para hexadecimais a- 48610= b- 200010 = c- 409610 = d- 555510 = e- 3547910= conversão do sistema hexadecimal para o sistema binário 4
análoga a conversão octal-binario 2 =16
C1316
4 → numero de bits
C16= 1210= 11002 ,
116 = 110 = 00012 ,
316 = 310= 00112
Logo, C1316= 1100 0001 0112 13 – converta para o sistema binário a- 8416 b- 7F16 c- 3B8C16 d – 47FD16 e- F1CD16 conversão binário para hexadecimal
análoga a conversão binário para octal, somente que neste caso, agrupamos de 4 em 4 exemplo 100110002 = 1001 1000 = 9816 14 – converta para o sistema hexadecimal a – 100112 b- 11100111002 c- 1001100100112 d -111110111100102 e- 10000000001000102 operações aritméticas no sistema binário I – adição
0 0 _+0_ _+1 0 1
1 _+0 1
1 +1 10 39
Exemplos
11 +10 101
110 +111 1101
11001 +01011 100100
101101 +11100011 100010000
11111 +111111 1011110
15- efetue as operações a- 10002 + 10012 b – 100012 + 111102 c- 1012 + 1001012
II – subtração
0 0 1 _- 0_ _-1 _- 0 0 1 1
1 -1 0
Exemplos:
111 -100 011
1000 - 111 0001
1112 -1002 : A partir da direita para a esquerda, vamos executar a operação algarismo por algarismo: 1-0 =1 (o primeiro resultado mais à direita) 1-0 =1 (o segundo resultado mais à direita) 1-1 =0 (o resultado mais à esquerda) 10002 -1112: A partir da direita 0-1 =1 e transporta 1 para a coluna seguinte. A coluna seguinte fica então 0-1-1 = 0 e transporta 1 para a coluna seguinte. A terceira coluna fica 0-1-1 =0 e transporta 1 para a coluna seguinte. A coluna mais à esquerda fica 1-1 =0 16 - Exercícios:
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a- 10102 -10002 b- 100102 - 100012 c- 110002 -1112
III – Multiplicação 0×0 =0 0×1 =0 1×0 =0 1×1 =1
11010 X 10 00000 +11010__ 110100 17 – multiplique a- 101012 × 112 = b- 110012 × 1012 = notação de número binários positivos e negativos (sinal-magnitude de números binários) 3510=1000112 = + 1000112 = 0 1000112 , onde 0 é o bit de sinal (0 indica +)
-7310 =? 7310 = 10010012 -10010012 =1 10010012 onde 1 é o bit de sinal ( 1 indica -) Uma outra forma para representar números binários negativos bastante utilizada é a notação do complemento de 2, mas para obtê-la, devemos primeiramente converter o número na notação do complemento de 1, conforme se segue. A obtenção do complemento de 1 de um número binário se dá pela troca de cada bit do número pelo seu inverso ou complemento. Por exemplo, o complemento de 1 do número 10011011 é o número 01100100. A notação complemento de 2 é utilizada para representar números binários negativos. Sua obtenção se dá somando-se 1 ao complemento de 1 do número binário inicial. Por exemplo, o número -110011012→ 00110010 (complemento de 1) →00110010 + 1 = 00110011 (complemento de 2). Logo, a representação na notação complemento de 2 do número -110011012 é 001100112. (Nota: a notação do complemento de 2 para um número positivo é idêntica à do sistema binário, exemplo o complemento de 2 de 110011012 é 110011012) 18 – Determine o complemento de 2 de: a- -100101102 b- 1110012 c- -1112 Podemos utilizar o complemento de 2 em operações aritméticas conforme ilustrado: vamos efetuar a operação 110101112 -1001012. Note que esta operação equivale à soma de um número binário positivo com outro negativo: A + (-
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B). Primeiramente determinamos o complemento de 2 do segundo (negativo) com mesmo número de bits do primeiro, efetuando a soma e eleiminando o bit em excesso, conforme ilustrado abaixo: 110101112 -1001012 Complemento de 1 de 00100101→11011010 Complemento de 2 11011010 +1 =11011011 Operação: 11010111 + 11011011 = 110110010 ( o algarismo mais a esquerda é o estouro do número de bits e deve ser desconsiderado!) Logo 110101112 -1001012 =101100102 19 – efetue as subtrações, utilizando o complemento de 2: a- 10101011 – 1000100 b- 10011-100101 (pelo fato do minuendo (10011) ser menor do que o subtraendo (100101) a resposta é negativa, estando na notação do complemento de 2. Para obtê-la na notação binária normal, basta determinar novamente o complemento de 2 e acrescentar o sinal negativo)
PORTAS LÓGICAS Em eletrônica digital trabalhamos com grandezas binarias. Estas grandezas assumem apenas dois valores distintos denominados estados lógicos. Estes estados, conforme o contexto, podem ser chamados de :1 ou 0, ON ou OFF, TRUE ou FALSE, LO (baixo) ou HI (alto) Lógica positiva e Lógica negativa Na lógica positiva associamos ao estado 1 (ON) ↔ 5V e ao estado 0 (OFF) ↔ 0 V Na lógica negativa associamos ao estado 1 (ON) ↔ 0V e ao estado 0 (OFF) ↔ 5 V
Utilizaremos a lógica positiva FUNÇÕES LÓGICAS
Função E (AND)
A B
S
A
B
S
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
S=A∧B=A×B=A.B
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Chave A
Chave B
V
Chave aberta → 0 Chave fechada → 1 Lâmpada apagada → 0 Lâmpada acesa → 1
S
Função OU (OR)
A B
S
A
B
S
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
S=A+B=A∨B
Chave A
V
Chave B
Chave aberta → 0 Chave fechada → 1 Lâmpada apagada → 0 Lâmpada acesa → 1
S
Função Não (NOT)
A
S
A
S
0
1
1
0
43
S=A
V
Chave aberta → 0 Chave fechada → 1 Lâmpada apagada → 0 Lâmpada acesa → 1
S
Chave A
Função NÃO E (NE, NAND)
A B
S
A
B
S
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
A
B
S
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
A
B
S
0
0
0
0
1
0
1
0
1
S = A× B Função Não OU (NOU, NOR)
A B
S
S = A+ B
Função OU EXCLUSIVO (EXOR, EXCLUSIVE OR)
A B
S
44
1
1
0
A
B
S
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
S = A⊕ B Função COINCIDENCIA (Não OU EXCLUSIVO , EXCLUSIVE OR)
A B
S
S = A⊗ B
EXERCICIOS SOBRE PORTAS LÓGICAS 1- Escreva a expressão booleana executada pelo circuito da figura abaixo
A B S C D
2- Determine a expressão booleana caracateristica do circuito abaixo
A B C
S 45
D
3- Desenhe o circuito que executa a expressão booleana S = A .B . C + (A+B).C
4 – Idem para a expressão
[
]
S = (A + B ) + (C + D ) • D
5- Levante a tabela verdade da expressão S = ( A + B ) ⋅ ( B ⋅ C )
A 0 0 0 0 1 1 1 1
B 0 0 1 0 0 0 1 1
C 0 0 0 1 0 1 0 1
S
Expressões Booleanas obtidas de tabelas da verdade
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⇒ Data de entrega do relatório (no início da aula)
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