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UNIOESTE – UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ
CECE – CENTRO DE ENGENHARIA E CIÊNCIAS EXATAS
CURSO: ENGENHARIA ELÉTRICA
SIMULAÇÃO DE UM CIRCUITO RLC SÉRIE COM SAÍDA NO RESISTOR UTILIZANDO O
SOFTWARE SCILAB
LEANDRO COPETTI WALTER
FOZ DO IGUAÇU
2008
LEANDRO COPETTI WALTER
SIMULAÇÃO DE UM CIRCUITO RLC SÉRIE COM SAÍDA NO RESISTOR UTILIZANDO O
SOFTWARE SCILAB
Trabalho, como requisito parcial de
avaliação da disciplina de Transitórios
em Circuitos Elétricos do Curso de
Engenharia Elétrica da Universidade
Estadual do Oeste do Paraná.
FOZ DO IGUAÇU
2008
SUMÁRIO
1.
OBJETIVO................................................................
.........................................4
2.
INTRODUÇÃO..............................................................
.....................................5
2.1 PARÂMETROS
FUNDAMENTAIS................................................................
......5
2.1.1 FREQÜÊNCIA NATURAL
............................................................................
......5
2.2 FATOR DE
AMORTECIMENTO...............................................................
..........5
2.2 FREQÜÊNCIA DE RESSONÂNCIA COM
CARGA.............................................6
3. SIMULAÇÃO NO
SCICOS......................................................................
..........6
4. SIMULAÇÃO DO DIAGRAMA DE
BODE.......................................................10
5. FUNÇÃO DE RESPOSTA EM
FREQÜENCIA...............................................12
6.
CONCLUSÃO...................................................................
...............................14
7. REFERENCIAL
BIBLIOGRÁFICO...............................................................
..15
1. OBJETIVO
Colocar em prática os conceitos aprendidos em sala de aula sobre
transitórios em circuitos RLC série, analisando sua resposta em função da
freqüência, plotando gráficos no aplicativo Scicos, e Scilab. Através
dessas simulações é possível verificar as características do circuito
quanto ao amortecimento, linearidade, invariância, resposta em
freqüências, freqüência de corte, pólos e zeros.
2. INTRODUÇÃO
O circuito RLC série é um circuito conhecido como circuito ressonante
ou circuito aceitador, sendo este constituído de um resistor (R), um
indutor (L), e um capacitor (C), conectados em série.
O circuito RLC é chamado de circuito de segunda ordem visto que
qualquer tensão ou corrente nele pode ser descrita por uma equação
diferencial de segunda ordem.
2.1 PARÂMETROS FUNDAMENTAIS
Existem dois parâmetros fundamentais que descrevem o comportamento
dos circuitos RLC: a freqüência natural e o fator de amortecimento. Além
disso, existe ainda a freqüência de ressonância com carga.
2.1.1 FREQÜÊNCIA NATURAL (ω0)
Quando a resistência de um circuito RLC aproxima-se de zero, o circuito RLC
apresenta um comportamento similar ao de um circuito LC. No limite, R=0, a
freqüência será:
Esta freqüência é conhecida como freqüência natural. Isto é, a
freqüência natural de um circuito RLC, é a freqüência do circuito LC
correspondente.
2.1.2 FATOR DE AMORTECIMENTO (ζ)
É um fator denominado Zeta (ζ), que varia de zero a um, levando em
conta a resistência do circuito, capacitância e indutância, relacionando-os
com a uma determinada resposta. Se o circuito não tiver amortecimento (sem
resistor), não perderá energia, portanto, oscilará indefinidamente, sendo
então chamado de circuito não amortecido.
Se possuir um amortecimento maior que zero, e menor que um, será
considerado um circuito subamortecido. Já com zeta exatamente igual a um,
será um circuito criticamente amortecido. Para zeta maior que um, o
circuito dissipa energia rapidamente, sendo considerado então um circuito
superamortecido.
2.2 FREQÜÊNCIA DE RESSONÂNCIA COM CARGA
A freqüência de ressonância com carga deriva da freqüência natural e
do fator de amortecimento. Se o circuito estiver com uma carga pequena,
verifica-se que:
Onde, ωd é a freqüência natural amortecida (damped).
3. SIMULAÇÃO NO SCICOS
Para a simulação no scicos, é necessário primeiramente encontrar a
função de transferência do circuito RLC série, com saída no Resistor:
Para facilitar o cálculo, foi aplicada a transformada de Laplace,
passando os componentes para o domínio da freqüência:
Assim, pode-se aplicar a primeira lei de Kirchoff:
;
Sendo a corrente que circula o circuito dada pela divisão da tensão da
fonte pela resistência do circuito, temos:
;
(1);
Dividindo a equação (1) por L e multiplicando por s, temos:
(2);
Sabendo que 2α=R/L, e que ωn = 1/LC , podemos reescrever a equação (2)
da seguinte maneira:
(3);
A equação (3) é a função de transferência do circuito RLC série, com
saída no resistor.
Para facilitar a aplicação da função no scicos, será feita a
multiplicação cruzada dos termos, e será isolado o termo com "s" de maior
grau:
(4);
Se aplicarmos essa equação no scicos, teremos uma derivada na fonte,
o que poderá levar a erros e instabilidade do sistema, para eliminar esse
problema, a equação (4) será dividida por s, eliminando o problema.
(5);
Agora através da equação (5), podemos criar no scicos um ponto de
soma, e modelar a equação por blocos, ficando da seguinte forma:
Adotando uma capacitância de 0,1 F e uma indutância de 0,1 H, vemos
que, pelas fórmulas, a resistência deve ser menor que 2 Ω, para que o
circuito responda subamortecidamente, ou seja, 0 < ζ< 1. Com um valor igual
a 2 Ω, o coeficiente de amortecimento ζ fica exatamente igual a 1, tornando
o circuito críticamente amortecido. Já para um valor de ζ >1 a resistência
deve ser maior que 2 Ω. Simulando os gráficos ficaram:
Gráfico da Tensão no resistor para um circuito RLC série superamortecido.
Gráfico da Tensão no resistor para um circuito RLC série criticamente
amortecido.
Gráfico da tensão no resistor para um circuito RLC série Subamortecido.
4. SIMULAÇÃO DO DIAGRAMA DE BODE
O programa Scilab, já possui a função de plotagem de gráficos bode.
Adotando os mesmos valores de resistência, capacitância e indutância, o
gráfico de bode, pode ser feito através das seguintes linhas de comando:
Foi obtido como saída, o seguinte gráfico:
Pode-se verificar que, com os mesmos componentes aplicados, o
circuito possui sua freqüência de corte em uma freqüência de 10 rad/s, ou
seja, em torno de 1,6 Hz, nesse momento, a fase passa de um valor positivo,
para um valor negativo, variando de 90° para -90°.
5. FUNÇÃO DE RESPOSTA EM FREQÜENCIA
Para obter a função de resposta em freqüência, foi criado o seguinte
código no Scilab:
Através desse código, obteve-se a seguinte saída:
Através do gráfico é possível notar que, na freqüência de 10 rad/s, o
módulo da função de resposta em freqüência foi unitário, exatamente como
mostrado no gráfico de bode. E a fase encontra-se de acordo, possuindo
valor zero, à freqüência de 10 rad/s.
6. CONCLUSÃO
O uso de programas de simulação como o scilab, matlab, entre outros,
ajuda no aprimoramento dos conhecimentos adquiridos em sala de aula, e
facilita na compreensão de problemas de ordem complexa, demonstrando
claramente através de gráficos, respostas previamente calculadas. Isto os
torna uma ferramenta a mais na busca de soluções para problemas na
engenharia.
8. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Circuito RLC série – Disponível em:
Acesso em Junho de 2008.
CLOSE, Charles M. Circuitos lineares. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC Editora,
1975.
