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PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FÍSICA Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo http://www.cce.ufes.br/anderson
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Última atualização: 28/11/2006 11:27 H
11 - Movimento Ondulatório
Fundamentos de Física 2 Halliday, Resnick, Walker 4ª Edição, LTC, 1996 Cap. 17 - Ondas I
Física 2 Resnick, Halliday, Krane 4ª Edição, LTC, 1996 Cap. 19 - Movimento Ondulatório
Física 2 Resnick, Halliday, Krane 5ª Edição, LTC, 2003 Cap. 18 - Movimento Ondulatório
Prof. Anderson (Itacaré, BA - Fev/2006)
Problemas Resolvidos de Física
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FUNDAMENTOS DE FÍSICA 2
CAPÍTULO 17 - ONDAS I
EXERCÍCIOS E PROBLEMAS 01 11 21 31 41 51 61
02 12 22 32 42 52 62
03 13 23 33 43 53 63
04 14 24 34 44 54 64
05 15 25 35 45 55 65
06 16 26 36 46 56 66
07 17 27 37 47 57 67
08 18 28 38 48 58
09 19 29 39 49 59
10 20 30 40 50 60
[Início documento]
06. Escreva a equação para uma onda se propagando no sentido negativo do eixo x e que tenha uma amplitude de 0,010 m, uma freqüência de 550 Hz e uma velocidade de 330 m/s. (Pág. 131) Solução. A equação geral de uma onda progressiva que se propaga no sentido −x é: y( x ,t ) = ym sen ( kx + ωt ) Para compor a equação, é preciso apenas determinar o valor da amplitude da onda (ym), do número de onda angular (k) e da freqüência angular (ω). A amplitude foi dada no enunciado. A freqüência angular pode ser calculada a partir da freqüência (f):
ω = 2π f = 2π ( 550 Hz ) = 3.455, 7519" rad/s ≈ 3.460 rad/s O número de onda angular está relacionado com a velocidade de propagação da onda: ω ( 3.455, 7519" rad/s ) = 10, 4719" rad/m ≈ 10,5 rad/m k= = v ( 330 m/s ) Logo: y( x ,t ) = ( 0, 010 m ) sen ⎡⎣(10,5 rad/m ) x + ( 3.460 rad/s ) t ⎤⎦ [Início seção]
[Início documento]
11. A equação de uma onda transversal se propagando numa corda é dada por y( x ,t ) = ( 2, 0 mm ) sen ⎡⎣ 20 m −1 x − 600 s −1 t ⎤⎦
(
) (
)
(a) Ache a amplitude, freqüência, velocidade e o comprimento de onda. (b) Ache a velocidade escalar máxima de uma partícula da corda. (Pág. 131) ________________________________________________________________________________________________________ a Cap. 17 – Ondas I Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
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Solução. (a) Comparando-se a função de onda fornecida pelo enunciado com a função de onda geral de uma onda transversal progressiva: y( x ,t ) = ym sen ( kx − ωt ) Podemos identificar imediatamente a amplitude ym: ym = 2, 0 mm A freqüência f vale: ω ( 600 rad/s ) = = 95, 4929" Hz f = 2π 2π f ≈ 95, 5 Hz A velocidade de propagação da onda v vale: ω ( 600 rad/s ) v= = k ( 20 rad/m )
v = 30 m/s O comprimento de onda λ vale: ( 30 m/s ) = 0,3141" m v λ= = f ( 95,4929 s −1 )
λ ≈ 0, 31 m (b) A velocidade de uma partícula da corda u, localizada na coordenada x é dada por:
u( x ,t ) =
∂y( x ,t ) ∂t
∂ ⎡ ym sen ( kx − ωt ) ⎤⎦ = ⎣ ∂t
u( x ,t ) = −ω ym cos ( kx − ωt ) A velocidade u será máxima (umax) quando a função cosseno for ± 1. umax = ω ym umax = ( 2, 0 mm ) ( 600 s −1 )
umax = 1, 2 m/s [Início seção]
[Início documento]
15. Prove que, se uma onda transversal está se propagando ao longo de uma corda, então a inclinação de qualquer ponto da corda é numericamente igual à razão entre a velocidade escalar da partícula e a velocidade escalar da onda naquele ponto. (Pág. 131) Solução. Considere a seguinte onda transversal progressiva: y( x ,t ) = ym sen ( kx − ωt ) O gráfico da função acima, no instante t e intervalo 0 ≤ x 4π/k, está representado na figura abaixo:
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y ym v
x1
x
−ym ⎛ ∂y ⎞ A inclinação da corda (declividade da função) em x = x1 é dada por ⎜ ⎟ , que é a derivada parcial ⎝ ∂x ⎠ x1 de y(x,t) em relação a x, no ponto x = x1. ⎛ ∂y ⎞ ⎜ ⎟ = kym cos ( kx − ωt ) ⎝ ∂x ⎠ x1
(1)
A razão entre a velocidade escalar transversal, u, e a velocidade escalar da onda, v, no ponto x = x1 vale: ⎛ ∂y ⎞ u x1 ⎜⎝ ∂t ⎟⎠ x1 ω ym = = cos ( kx − ωt ) v v v Como: ω =k v Temos: u x1 = kym cos ( kx − ωt ) (2) v Comparando-se (1) e (2): u x1 ⎛ ∂y ⎞ , ⎜ ⎟ = v ⎝ ∂x ⎠ x1 que é o que queríamos provar. [Início seção]
[Início documento]
16. Uma onda de freqüência 500 Hz tem uma velocidade de 350 m/s. (a) Quão afastados estão dois pontos que têm uma diferença de fase de π/3 rad? (b) Qual é a diferença de fase entre dois deslocamentos, num determinado ponto, em tempos separados de 1,00 ms? (Pág. 131) Solução. Seja y(x,t) uma onda transversal que progride no sentido positivo de x: y( x ,t ) = ym sen ( kx − ωt + φ ) ________________________________________________________________________________________________________ a Cap. 17 – Ondas I Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
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Sendo conhecidas a freqüência f e a velocidade de propagação v, podemos determinar k e ω, que serão usados adiante. ω = 2π f 2π f (1) v v (a) Deseja-se determinar a distância, sobre o eixo x, que corresponda a uma diferença de fase φ = π/3. Considere o seguinte esquema: y λ (2π) k=
ω
=
x x (π/3)
Há pelo menos duas maneiras de calcular x. A primeira é por comparação: λ x = 2π π / 3 λ x= 6 Como: 2π 2π v λ= = = 2π f k f v Na equação acima, k foi substituído por (1): ( 350 m/s ) = 0,1166" m v x= = 6 f 6 ( 500 Hz ) x ≈ 0,117 m
A segunda forma de calcular x é considerando-se a existência de duas ondas, y1 e y2, defasadas de π/3: y1( x ,t ) = ym sen ( kx − ωt )
π⎞ ⎛ y2( x ,t ) = ym sen ⎜ kx − ωt − ⎟ 3⎠ ⎝ As funções y1 e y2 estão representadas no gráfico abaixo:
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y y1 y2
x2
x1
x
x
Como os pontos x1 e x2 correspondem a y1 = 0 e y2 = 0, respectivamente, temos: y1 = y2 = 0
π⎞ ⎛ ym sen ( kx1 − ωt ) = ym sen ⎜ kx2 − ωt − ⎟ 3⎠ ⎝ kx1 − ωt = kx2 − ωt − k ( x2 − x1 ) = x2 − x1 = x =
π 3
π 3
π 3k
Utilizando-se (1): x2 − x1 = x = 3
x=
π 2π f v
v 6f
(b) Vamos utilizar o primeiro método usado no item (a) para o cálculo de Δφ. Δt T = 2π Δφ 1 Δt f = 2π Δφ
(
)(
)
Δφ = 2π f Δt = 2π 500 s −1 1, 00 × 10 −3 s = π rad Δφ ≈ 3,14 rad [Início seção]
[Início documento]
20. A tensão num fio preso em ambos os extremos é duplicada sem que haja qualquer mudança considerável em seu comprimento. Qual é a razão entre as velocidades das ondas transversais nesse fio, antes e depois do aumento de tensão? (Pág. 131) Solução. ________________________________________________________________________________________________________ a Cap. 17 – Ondas I Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
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Vamos utilizar o índice 1 para a situação inicial e 2 para a final. As velocidades v1 e v2 valem:
τ1 μ
v1 =
2τ 1
v2 =
μ
Nas equações acima, τ é a tensão e μ é a densidade linear de massa das cordas. A razão pedida é:
τ1 μ 2τ 1 μ
v1 = v2
v1 1 = v2 2 [Início seção]
[Início documento]
25. Uma corda esticada tem uma massa por unidade de comprimento de 5,0 g/cm e uma tensão de 10 N. Uma onda senoidal nessa corda tem uma amplitude de 0,12 mm e uma freqüência de 100 Hz e se propaga no sentido de x decrescente. Escreva uma equação para essa onda. (Pág. 132) Solução. A equação geral para uma onda transversal que se propaga no sentido de x decrescente é: y( x ,t ) = ym sen ( kx + ωt ) A amplitude ym foi dada no enunciado. Vamos calcular o número de onda angular k. k=
2π
λ
=
2π 2π f 2π f = = = 2π f v v τ f μ
μ = 2π (100 Hz ) τ
( 0,50 kg/m ) = 140, 4962" rad/m (10 N )
k ≈ 140 rad/m A freqüência angular ω vale:
ω = 2π f = 2π (100 Hz ) = 628,3185" rad/s
ω ≈ 630 rad/s Logo: y( x ,t ) = ( 0,12 mm ) sen ⎡⎣(140 rad/m ) x + ( 630 rad/s ) t ⎤⎦ [Início seção]
[Início documento]
27. Uma onda senoidal transversal senoidal está se propagando ao longo de uma corda no sentido de x decrescente. A Fig. 17-24 mostra um gráfico do deslocamento como função da posição, no instante t = 0. A tensão na corda é 3,6 N e sua densidade linear é 25 g/m. Calcule (a) a amplitude, (b) o comprimento de onda, (c) a velocidade da onda e, (d) o período da onda. (e) Ache a velocidade máxima de uma partícula da corda. (f) Escreva uma equação descrevendo a ________________________________________________________________________________________________________ a Cap. 17 – Ondas I Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
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onda progressiva.
(Pág. 132) Solução. λ y (cm)
ym
x (cm)
A análise do gráfico mostra que: (a) Amplitude: ym = 5, 0 cm (b) Comprimento de onda: λ = 40 cm (c) Velocidade de propagação:
v=
τ = μ
( 3, 6 N )
( 2,5 ×10
−2
kg
)
v = 12 m/s (d) Período: λ ( 0, 40 m ) = 0, 0333" s T= = v (12 m/s ) T ≈ 33 ms (e) A velocidade máxima umax de um elemento de corda é dada por (ver Probl. 11 - Item (b)) umax = ω ym
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umax =
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2π 2π ym = ( 0, 050 m ) = 9, 4247" m/s T ( 0, 0333"s )
umax ≈ 9, 4 m/s (f) Para compor a função de onda, precisamos determinar a freqüência angular ω, 2π 2π = = 188, 4955" rad/s ω= T ( 0, 0333" s )
ω ≈ 190 rad/s o número de onda angular k, 2π 2π = = 15, 7079" rad/m k= λ ( 0, 40 m )
k ≈ 16 rad/m e a constante de fase φ. No instante t = 0, o deslocamento vertical da onda é y(5,0) = 4,0 cm. Ou seja: y(5,0) = 0, 040 m y(5,0) = ym sen ( kx + φ )
( 0, 040 m ) = ( 0, 050 m ) sen ⎡⎣(15, 7079" rad/m )( 0, 050 m ) + φ ⎤⎦ sen ⎡⎣(15, 7079" rad/m )( 0, 050 m ) + φ ⎤⎦ = 0,80
Há dois ângulos entre 0 e 2π rad cujo seno é igual a 0,80: φ1 = 0,9272... rad e φ2 = 2,2142... rad. A análise da velocidade vertical do elemento de onda em x = 0 é capaz de indicar o valor correto. A velocidade vertical do elemento de onda em x no instante t, u(x,t), vale:
∂ ⎡ ym sen ( kx − ωt + φ ) ⎤⎦ = ⎣ = ω ym cos ( kx − ωt + φ ) ∂t ∂t Para φ1 = 0,9272... rad, no instante t =0, a velocidade vertical do elemento de onda em x = 0, u(0,0) vale: u( x ,t ) =
∂y( x ,t )
u1( 0,0 ) = (190 rad/s )( 0, 050 m ) cos ⎡⎣ 0 − 0 + ( 0,9272" rad ) ⎤⎦ ≈ 5, 7 m/s
Para φ2 = 2,2142... rad: u2( 0,0 ) = (190 rad/s )( 0, 050 m ) cos ⎣⎡0 − 0 + ( 2, 2142 " rad ) ⎦⎤ ≈ −5, 7 m/s
Segundo o enunciado, a onda movimenta-se no sentido −x, ou seja, para a esquerda. Isto implica em que, no instante t = 0 (que é o instante retratado na Fig. 17-24), o elemento de corda que cruza o eixo y esteja se movendo no sentido +y, ou seja, para cima (u > 0). Portanto, a constante de fase correta é φ = φ1 = 0,9272... rad. Finalmente: y( x ,t ) = ( 0, 050 m ) sen ⎡⎣(16 rad/m ) x + (190 rad/s ) t + ( 0,93 rad ) ⎤⎦ [Início seção]
[Início documento]
30. Um fio de 10,0 m de comprimento e de massa 100 g é tracionado por uma tensão de 250 N. Se dois pulsos, separados no tempo de 30,0 ms, são gerados, um em cada extremidade do fio, onde eles se encontrarão pela primeira vez? (Pág. 132) ________________________________________________________________________________________________________ a Cap. 17 – Ondas I Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
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Solução. Considere o seguinte esquema da situação: v t01 = 0 −v
v t02 = Δt 0 v
d −v
L
x
t1 = t2 O pulso 1 foi gerado no instante t01 = 0, enquanto que o pulso 2 em t02 = Δt =30,0 ms. A velocidade escalar dos pulsos é a mesma e dada por:
τ τL = μ m
v=
onde τ é a tensão no fio, μ é a densidade linear de massa do fio, m é a sua massa e L o seu comprimento. Vamos analisar o movimento, com velocidade constante, do pulso 1:
x1 = x01 + vx1 ( t1 − t01 ) d = 0+
τL m
( t1 − 0 )
m τL Agora vamos analisar o movimento do pulso 2: t1 = d
(1)
x2 = x02 + vx 2 ( t2 − t02 ) ⎡ τL ⎤ d = L + ⎢− ⎥ ( t 2 − Δt ) m ⎣ ⎦ ⎛ τL ⎞ m (2) t2 = ⎜⎜ L − d + Δt ⎟ m ⎟⎠ τ L ⎝ Como os pulsos deverão encontrar-se no ponto d no mesmo instante de tempo, conclui-se que t1 = t2. Igualando-se (1) e (2):
d
m ⎛ τL ⎞ m = ⎜⎜ L − d + Δt ⎟ τL ⎝ m ⎟⎠ τ L
1⎛ τL ⎞ 1 ⎡ −3 d = ⎜⎜ L + Δt ⎟⎟ = ⎢(10, 0 m ) + ( 30, 0 × 10 s ) 2⎝ m ⎠ 2⎢ ⎣
( 250 N )(10, 0 m ) ⎤⎥ = 7,3717" m ( 0,100 kg ) ⎥⎦
d ≈ 7,37 m [Início seção]
[Início documento]
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33. A potência P1 é transmitida por uma onda de freqüência f1 numa corda sob tensão τ1. Qual é a potência transmitida P2 em termos de P1 (a) se a tensão da corda for aumentada para τ2 = 4 τ1 e (b) se, ao invés, a freqüência for diminuída para f2 = f1/2? (Pág. 132) Solução. A situação 1 é caracterizada pelos seguintes parâmetros: P1, f1 e τ1. (a) P2 = ? para τ2 = 4 τ1 A potência transmitida na situação 1 é dada por: 1 P1 = μ v1ω12 ym2 1 2 Onde: v1 =
τ1 μ
ω1 = 2π f1 Logo: P1 =
τ 1 μ 1 4π 2 f12 ym2 1 μ 2
(1)
Na situação 2, teremos: P2 =
4τ 1 2 2 2 1 μ 4π f1 ym1 μ 2
(2)
Dividindo-se (2) por (1):
P2 4τ 1 = τ1 P1 P2 = 2 P1 (b) P2 = ? para f2 = f1/2 Agora, na situação 2, teremos:
τ 1 2 f12 2 1 P2 = μ ym1 4π μ 2 4
(3)
Dividindo-se (3) por (1): f12 P2 = 42 P1 f1 P2 =
P1 4 [Início seção]
[Início documento]
35. Uma onda senoidal transversal é gerada numa extremidade de uma longa corda horizontal, por uma barra que se move para cima e para baixo entre extremos que distam 1,00 cm. O movimento é contínuo e repetido regularmente 120 vezes por segundo. A corda tem uma ________________________________________________________________________________________________________ a Cap. 17 – Ondas I Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
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densidade linear de 120 g/m e é mantida sob uma tensão de 90,0 N. Ache (a) o valor máximo da velocidade transversal u e (b) o valor máximo da componente transversal da tensão. (c) Mostre que os dois valores máximos, calculados acima, ocorrem para os mesmos valores de fase da onda. Qual é o deslocamento transversal y da corda nessas fases? (d) Qual é a máxima potência transferida ao longo da corda? (e) Qual é o deslocamento transversal y quando esta transferência máxima de potência acontece? (f) Qual é a transferência mínima de potência ao longo da corda? (g) Qual é o deslocamento transversal y quando esta transferência mínima de potência ocorre? (Pág. 132) Solução. (a) A velocidade máxima umax de um elemento de corda é dada por (ver Probl. 11 - Item (b))
(
)(
)
umax = ω ym = 2π fym = 2π 120 s −1 5, 00 × 10 −3 m = 3, 7699" m/s
umax ≈ 3, 77 m/s (b) A componente transversal da tensão (τy) é dada, para pequenas amplitudes, por:
⎛ ∂y( x ,t ) ⎞ ⎟ ⎝ ∂x ⎠
τ y =τ ⎜
Note que se ∂y / ∂x = 0 (corda na horizontal, tal como na parte superior de um pulso), teremos τ y = 0 . Logo, para uma função de onda transversal progressiva do tipo: y( x ,t ) = ym sen ( kx − ωt ) A componente transversal da tensão será:
τ y = τ .kym cos ( kx − ωt ) O valor máximo de τy (τy,max) ocorrerá quando cos ( kx − ωt ) = ±1 .
τ y ,max = τ .kym = τ .
ω
ym = τ .
v
μ 2π fym τ
τ y ,max = 2π fym μτ = 2π (120 s −1 )( 5, 00 ×10−3 m )
( 0,120 kg/m )( 90, 0 N ) = 12,3891" N
τ y ,max ≈ 12, 4 N (c) Como foi demonstrado nos itens (a) e (b), umax e τy,max ocorrem quando cos (kx − ωt) = ± 1. O deslocamento transversal (y) é zero quando cos (kx − ωt) = ± 1, pois sen (kx − ωt) = 0. (d) A potência máxima é dada por: 1 2 dmumax 2 dK max μ dxumax τ 2 2 2 2 Pmax = 2 =2 = = μ v ( 2π fym ) = 4π 2 μ vf 2 ym2 = 4π 2 μ f ym dt dt dt μ
Pmax = 4π 2 f 2 ym2 μτ
(
Pmax = 4π 2 120 s −1
) ( 5, 00 ×10 2
−3
m
) ( 0,120 kg/m )(90, 0 N ) = 46, 7061" W 2
Pmax ≈ 46, 7 W (e) A potência máxima Pmax ocorre quando a velocidade transversal e a deformação da corda forem máximos (energias cinética e potencial máximas). Isso ocorre no mesmo deslocamento transversal em que umax ocorre (cos (kx − ωt) = ± 1), ou seja, em y = 0.
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(f) A transferência mínima de potência ocorre quando a velocidade transversal e a deformação da corda forem mínimas. Como em y = ym a velocidade transversal é zero, a energia cinética também é zero. Em y = ym a energia potencial também é zero. Logo, a potência mínima também é zero. (g) A potência P é mínima quando y = ym = 0,500 cm. [Início seção]
[Início documento]
38. Uma fonte S e um detector de ondas de rádio D estão localizados ao nível do solo a uma distância d (Fig. 17-26). Ondas de rádio de comprimento λ chegam a D, pelo caminho direto ou por reflexão, numa certa camada da atmosfera. Quando a camada está numa altura H, as duas ondas chegam em D exatamente em fase. À medida que a camada sobe, a diferença de fase entre as duas ondas muda, gradualmente, até estarem exatamente fora de fase para uma altura de camada H + h. Expresse λ em termos de d, H, e h.
(Pág. 133) Solução. Considere o esquema abaixo: B
h A
H d/2
d/2
S
D d Se as ondas que chegam ao detector (D) pelos caminhos SD e SAD estão em fase, a diferença entre as distâncias percorridas deve ser igual a nλ, onde n é um número inteiro: d SAD − d SD = nλ 1/ 2
⎛ d2 ⎞ 2⎜ + H2⎟ ⎝ 4 ⎠
(d
2
+ 4H 2
)
1/ 2
− d = nλ − d = nλ
(1)
A perda de sinal observada em D quando a onda percorre o caminho SBD é devida à interferência destrutiva que ocorre quando esta encontra a onda que percorreu o caminho SD. Isto significa que o caminho SBD é maior do que SAD em apenas λ/2. Ou seja: ________________________________________________________________________________________________________ a Cap. 17 – Ondas I Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
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d SBD − d SD = nλ +
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λ
(2)
2 Substituindo-se o valor de nλ de (1) em (2):
⎡ d 2 + 4 ( H + h )2 ⎤ ⎣ ⎦
1/ 2
(
− d = d 2 + 4H 2 2 1/ 2
λ = 2 ⎡d 2 + 4 ( H + h ) ⎤ ⎣
⎦
)
1/ 2
(
− 2 d 2 + 4H 2 [Início seção]
−d +
λ 2
)
1/ 2
[Início documento]
41. Determine a amplitude de uma onda resultante da combinação de duas ondas senoidais que se propagam no mesmo sentido, possuem mesma freqüência, têm amplitudes de 3,0 cm e 4,0 cm e diferença de fase de π/2 rad. (Pág. 133) Solução. Sejam y1 e y2 as equações das ondas transversais que se propagam no sentido de x crescente:
π⎞ ⎛ y1( x ,t ) = ym1 sen ⎜ kx − ωt + ⎟ = ym1 cos ( kx − ωt ) 2⎠ ⎝ y2( x ,t ) = ym 2 sen ( kx − ωt ) A combinação (sobreposição) das duas ondas resulta em: y( x ,t ) = y1( x ,t ) + y2( x ,t ) = ym1 cos ( kx − ωt ) + ym 2 sen ( kx − ωt )
(1)
A determinação da amplitude ym da função y(x,t) pode ser feita por meio da localização dos seus pontos de máximo, y = ym, ou mínimo, y = −ym. ∂y( x ,t ) = − kym1 sen ( kx − ωt ) + kym 2 cos ( kx − ωt ) = 0 ∂x
ym1 sen ( kx − ωt ) = ym 2 cos ( kx − ωt ) tan ( kx − ωt ) =
ym 2 ym1
⎛y ⎞ kx − ωt = tan −1 ⎜ m 2 ⎟ ⎝ ym1 ⎠
(2)
Isto significa que sempre que kx − ωt assumir o valor tan−1(ym2/ym1), o valor de y(x,t) será um ponto de máximo ou mínimo. Substituindo-se (2) em (1): ⎡ ⎡ ⎛ y ⎞⎤ ⎛ y ⎞⎤ y( x ,t ) = ym = ym1 cos ⎢ tan −1 ⎜ m 2 ⎟ ⎥ + ym 2 sen ⎢ tan −1 ⎜ m 2 ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎢⎣ ⎝ ym1 ⎠ ⎥⎦ ⎝ ym1 ⎠ ⎥⎦
⎧⎪ ⎧⎪ −1 ⎡ ( 4, 0 cm ) ⎤ ⎫⎪ ⎡ ( 4, 0 cm ) ⎤ ⎫⎪ ym = ( 3, 0 cm ) cos ⎨ tan −1 ⎢ ⎥ ⎬ + ( 4, 0 cm ) sen ⎨ tan ⎢ ⎥⎬ ⎢⎣ ( 3, 0 cm ) ⎥⎦ ⎭⎪ ⎢⎣ ( 3, 0 cm ) ⎥⎦ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎩⎪ ym = 5, 0 cm [Início seção]
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46. Uma corda de violão, de náilon, tem uma densidade linear de 7,2 g/m e está sob uma tensão igual a 150 N. Os suportes fixos estão distanciados 90 cm. A corda está oscilando de acordo com o padrão de onda estacionária mostrado na Fig. 17-27. Calcule (a) a velocidade escalar, (b) o comprimento de onda e (c) a freqüência das ondas cuja superposição origina essa onda estacionária.
(Pág. 133) Solução. (a) A velocidade escalar da onda vale:
v=
τ = μ
(150 N )
( 7, 2 ×10
−3
kg/m )
= 144,3375" m/s
v ≈ 140 m/s (b) A Fig. 17-27 mostra que a vibração ocorre no terceiro harmônico (n = 3), logo o comprimento de onda vale: 2 L 2 ( 0,90 m ) λ= = n 3 λ = 0, 60 m (c) A freqüência vale: v (144,3375" m/s ) f = = = 240,5626" Hz λ ( 0, 60 m ) f ≈ 240 Hz [Início seção]
[Início documento]
49. Uma corda de comprimento igual a 125 cm tem massa 2,00 g. Ela é esticada sob uma tensão de 7,00 N entre dois suportes fixos. (a) Qual é a velocidade da onda nessa corda? (b) Qual é a mais baixa freqüência de ressonância para essa corda? (Pág. 133) Solução. (a) A velocidade escalar de propagação da onda vale:
v=
τ τL = = m μ
( 7, 00 N )(1, 25 m )
( 2, 00 ×10
−3
kg )
= 66,1437" m/s
v ≈ 66,1 m/s
(b) Uma corda ressonante fixa em ambas as extremidades é capaz de acomodar um número inteiro de meios comprimentos de onda: λ n = 1, 2, 3, ... L=n , 2 ________________________________________________________________________________________________________ a Cap. 17 – Ondas I Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
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Como:
λ=
v f
L=
nv 2f
Logo:
nv 2L Onde f1, f2, f3, etc. são as freqüências de ressonância para n =1, 2, 3, etc. A mais baixa freqüência de ressonância é f1: fn =
f1 =
1v ( 66,1437 " m/s ) = = 26, 4575" Hz 2L 2 (1, 25 m )
f1 ≈ 26,5 Hz [Início seção]
[Início documento]
51. Um fio de 1,50 m tem massa 8,70 g e é mantido sob uma tensão de 120 N. O fio é rigidamente seguro em ambas as extremidades e levado a vibrar. Calcule (a) a velocidade das ondas nesse fio, (b) os comprimentos de onda que produzem ondas estacionárias, com um e dois meios comprimentos de onda, nesse fio e (c) as freqüências das ondas que produzem ondas estacionárias, nas mesmas condições do item anterior. (Pág. 133) Solução. (a) A velocidade escalar de propagação da onda vale:
v=
τ τL = = m μ
(120 N )(1,50 m )
(8, 70 ×10
−3
kg )
= 143,8389" m/s
v ≈ 144 m/s (b) A onda estacionária com um meio comprimento de onda deve satisfazer à seguinte condição: L
L=
λ 2
λ = 2 L = 2 (1,50 m ) λ = 3, 00 m A onda estacionária com dois meios comprimentos de onda deve satisfazer à seguinte condição: L
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L=2
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λ 2
λ=L λ = 1, 50 m (c) A freqüência de uma onda estacionária pode ser calculada por meio de: v f = λ Para λ = 3,00 m: (143,8389" m/s ) = 47,9463" m f = ( 3, 00 m ) f ≈ 47, 9 m
Para λ = 1,50 m: (143,8389" m/s ) = 95,8926" m f = (1,50 m ) f ≈ 95,9 m [Início seção]
[Início documento]
53. A corda A está esticada entre dois grampos separados por uma distância l. A corda B, de mesma densidade linear e submetida à mesma tensão que a corda A, está esticada entre dois grampos separados por uma distância 4l. Considere os primeiros oito harmônicos da corda B. Qual deles - se algum - tem uma freqüência de ressonância igual a alguma freqüência de ressonância de A? (Pág. 134) Solução. Pelo fato de ambas as cordas terem a mesma densidade linear de massa e estarem sujeitas à mesma tensão, a velocidade escalar das ondas transversais produzidas nessas cordas devem ser iguais, ou seja, vA = vB = v. Para uma corda que tem suas extremidades fixas, temos as seguintes freqüências de ressonâncias (veja a solução Probl. 49, item b): nv n = 1, 2, 3, etc. fn = , 2l As oito primeiras freqüências da corda B são: 1v v 5v = f B1 = n=1 n=5 f B5 = 2 ( 4l ) 8l 8l B
n=2
fB2 =
2v v = 2 ( 4l ) 4l
n=6
fB6 =
3v 4l
3v 7v n=7 fB7 = 8l 8l v v n=8 n=4 fB4 = f B8 = l 2l Analisando-se as possíveis freqüências de ressonância da corda A, temos:
n=3
f B3 =
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n=1
f A1 =
1v v = 2 ( l ) 2l
n=5
f A5 =
5v 2l
n=2
f A2 =
2v v = 2 (l ) l
n=6
f A6 =
3v l
3v etc. 2l 2v etc. n=4 f A4 = l Vemos que apenas duas freqüências de ressonância de B coincidem com as freqüências de A. São elas: f A3 =
n=3
f A1 = f B 4 f A2 = f B8 [Início seção]
[Início documento]
54. Duas ondas estão se propagando na mesma corda, muito comprida. Um vibrador no extremo esquerdo da corda gera uma onda dada por π y1 = ( 6, 0 cm ) cos ⎡⎣( 2, 0 m −1 ) x + ( 8, 0 s −1 ) t ⎤⎦ 2 enquanto um outro no extremo direito da corda gera a onda π y1 = ( 6, 0 cm ) cos ⎡⎣( 2, 0 m −1 ) x − ( 8, 0 s −1 ) t ⎤⎦ 2 (a) Calcule a freqüência, o comprimento de onda e a velocidade escalar de cada onda. (b) Determine os pontos onde não existe movimento (os nós). (c) Em quais pontos o movimento da corda é máximo? (Pág. 134) Solução. (a) Comparando-se as funções das ondas fornecidas no enunciado com uma função geral da onda transversal progressiva: y( x ,t ) = ym cos ( kx − ωt ) Vemos que as freqüências das duas ondas são idênticas e valem:
π
(8, 0 s ω 2 f = = 2π 2π f = 2, 0 s
−1
) (8, 0 s ) = −1
4
−1
Da mesma forma, os comprimentos de onda são iguais: 2π 2π = = 4 ( 2, 0 m ) λ= π k −1 ( 2, 0 m ) 2 λ = 2, 0 m Idem para a velocidade escalar das duas ondas: v = λ f = ( 2, 0 m ) ( 2, 0 s −1 )
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v = 4, 0 m/s
(b) Vamos construir a onda resultante da sobreposição das duas ondas dadas, que corresponde à soma das duas funções de onda:
π π ⎧ ⎫ y = ( 6, 0 cm ) ⎨cos ⎡⎣( 2, 0 m −1 ) x + ( 8, 0 s −1 ) t ⎤⎦ + cos ⎡⎣( 2, 0 m −1 ) x − ( 8, 0 s −1 ) t ⎦⎤ ⎬ 2 2 ⎩ ⎭ A expressão acima pode ser representada por: y = ( 6, 0 cm )( cos α + cos β ) Aplicando-se a identidade trigonométrica: 1 1 cos α + cos β = 2 cos (α + β ) + cos (α − β ) 2 2 Teremos: ⎧ 1 ⎡π ⎧ 1 ⎡π π π ⎤⎫ y = ( 6, 0 cm ) 2 cos ⎨ ⎢ 2, 0 m −1 x + 2, 0 m −1 x ⎥ ⎬ cos ⎨ ⎢ 8, 0 s −1 t + 8, 0 s −1 2 2 ⎦⎭ ⎩2 ⎣ 2 ⎩2 ⎣ 2
(
)
(
)
(
)
(
) t ⎤⎥⎦ ⎫⎬ ⎭
⎤ ⎡π ⎤ ⎡π y = (12 cm ) cos ⎢ 2, 0 m −1 x ⎥ cos ⎢ 8, 0 s −1 t ⎥ ⎦ ⎣2 ⎦ ⎣2 Uma representação geral para a onda estacionária acima pode ser:
(
)
(
)
y = ym ( x ) cos (ωt ) Onde ym(x) é a amplitude da onda estacionária em cada ponto x da corda. Os nós da onda estacionária correspondem aos pontos da corda onde ym(x) =0, ou seja: ⎡π ⎤ cos ⎢ 2, 0 m −1 xnó ⎥ = 0 ⎣2 ⎦ Isto implica em:
(
π
)
( 2, 0 m ) x 2 −1
nó
1⎞ ⎛ = ⎜ n + ⎟π , 2⎠ ⎝
n = 0, 1, 2, 3, etc.
1⎞ ⎛ xnó = ⎜ n + ⎟ (1, 0 m ) , 2⎠ ⎝ (c) Os antinós ocorrerão em:
n = 0, 1, 2, 3, etc.
⎡π ⎤ cos ⎢ ( 2, 0 m −1 ) xantinó ⎥ = nπ , ⎣2 ⎦
n = 0, 1, 2, 3, etc.
xantinó = n (1, 0 m ) ,
n = 0, 1, 2, 3, etc.
Veja o esquema da onda estacionária: nós
0
1
antinós
2
3
4
5
x (m) ________________________________________________________________________________________________________ a Cap. 17 – Ondas I Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
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56. Uma corda está esticada entre suportes fixos separados por 75,0 cm. Observou-se que tem freqüências ressonantes em 420 e 315 Hz e nenhuma outra neste intervalo. (a) Qual é a freqüência de ressonância mais baixa dessa corda? (b) Qual é a velocidade de onda para essa corda? (Pág. 134) Solução. (a) A fórmula geral para as freqüências ressonantes numa corda esticada com ambas as extremidades fixas é (veja a solução Probl. 49, item b): nv n = 1, 2, 3, etc. fn = , 2l Como não há outras freqüências ressonantes entre as duas freqüências dadas, conclui-se que essas freqüências são harmônicos consecutivos. ou seja: nv fn = = 315 Hz 2l ( n + 1) v = 420 Hz f n +1 = 2l Fazendo-se a diferença entre essas freqüências: ( n + 1) v − nv = 1v = f f n +1 − f n = 1 2l 2l 2l Logo:
f1 = f n +1 − f n = ( 420 Hz ) − ( 315 Hz ) f1 = 105 Hz (b) Para o primeiro harmônico, o comprimento de onda é: λ1 = 2L Veja o esquema:
L = λ1/2
Logo, a velocidade escalar da onda será:
v = λ1 f1 = 2 Lf1 = 2 ( 0, 750 m ) (105 s −1 ) = 157,5 m/s
v ≈ 158 m/s [Início seção]
[Início documento]
58. Dois pulsos se propagam ao longo de uma corda em sentidos opostos, como na Fig. 17-29. (a) Se a velocidade de onda v é 2,0 m/s e os pulsos estão a uma distância de 6,0 cm em t = 0, esboce os padrões resultantes para t = 5,0, 10, 15, 20 e 25 ms. (b) O que aconteceu com a energia em t = 15 ms?
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(Pág. 134) Solução. (a) Após um intervalo de tempo Δt, o pulso da esquerda (pulso 1) terá executado um deslocamento: Δx1 = vΔt Enquanto que o pulso da direita (pulso 2): Δx2 = −vΔt Após Δt, a posição de cada pulso será: x1 = x1,0 + Δx1 = x1,0 + vΔt x2 = x2,0 + Δx2 = x2,0 − vΔt
Portanto, a distância d entre os pulsos será: d = x2 − x1 = ( x2,0 − vΔt ) − ( x1,0 + vΔt ) = x2,0 − vΔt − x1,0 − vΔt d = x2,0 − x1,0 − 2vΔt = d 0 − 2vΔt
d = ( 0, 060 m ) − ( 4, 0 m/s ) Δt
Nas equações acima, representamos d0 como a distância original entre os pulsos. Portanto, após Δt = 5,0 ms:
(
)
d = ( 0, 060 cm ) − ( 4, 0 m/s ) 5, 0 × 10−3 s = 0, 04 m
d = 40 cm v t = 5,0 ms −v
Após Δt = 10 ms:
(
)
d = ( 0, 060 cm ) − ( 4, 0 m/s ) 10 ×10−3 s = 0, 02 m
d = 20 cm v t = 10 ms −v
Após Δt = 15 ms:
(
)
d = ( 0, 060 cm ) − ( 4, 0 m/s ) 15 × 10−3 s = 0, 0 m
d = 0 cm t = 15 ms Após Δt = 20 ms: ________________________________________________________________________________________________________ a Cap. 17 – Ondas I Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
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(
)
d = ( 0, 060 cm ) − ( 4, 0 m/s ) 20 × 10−3 s = 0, 2 m
d = 20 cm v t = 20 ms
−v
Após Δt = 25 ms:
(
)
d = ( 0, 060 cm ) − ( 4, 0 m/s ) 25 × 10−3 s = 0, 4 m
d = 40 cm v t = 25 ms
−v (b) Quando os pulsos estão viajando, transportam energia cinética (devido à velocidade transversal das partículas de corda) e energia potencial (devido ao estiramento da corda para formar o pulso). Quando os pulsos se tocam, seus deslocamentos transversais, de sinais opostos, anulam-se, até desaparecerem quando da sobreposição total. Como não há mais deslocamento transversal nesse instante, não haverá energia potencial armazenada na onda. Devido à conservação da energia mecânica do sistema, toda a energia transportada estará na forma de energia cinética. [Início seção]
[Início documento]
61. A vibração de um diapasão a 600 Hz estabelece ondas estacionárias numa corda presa nas duas extremidades. A velocidade escalar da onda na corda é 400 ms. A onda estacionária tem dois comprimentos de onda e uma amplitude de 2,0 mm. (a) Qual é o comprimento da corda? (b) Escreva uma equação para o deslocamento da corda em função da posição e do tempo. (Pág. 134) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: L λ
(a) O comprimento da corda vale: ( 400 m/s ) = 1,3333" m v L = 2λ = 2 = 2 f ( 600 Hz ) L ≈ 1, 33 m
(b) A equação de uma onda estacionária pode ser representada por: y( x ,t ) = ( 2 ym sen kx ) cos ωt = ( ym' sen kx ) cos ωt
Na equação acima, ym é a amplitude das ondas que originaram a onda estacionária e ym' é a amplitude da onda estacionária. Para compor a função da onda estacionária, precisamos apenas determinar k e ω. A freqüência angular vale: ________________________________________________________________________________________________________ a Cap. 17 – Ondas I Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
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ω = 2π f = 2π ( 600 Hz ) = 3.769,91" rad/s O número de onda angular vale: ω ( 3.769,91" rad/s ) k= = = 9, 4247 " rad/m v ( 400 m/s ) Logo: y( x ,t ) = ( 2, 0 mm ) sen ⎡⎣( 9, 42 rad/m ) x ⎤⎦ cos ⎡⎣( 3.770 rad/s ) t ⎤⎦ [Início seção]
[Início documento]
62. Numa experiência com ondas estacionárias, uma corda de 90 cm de comprimento está conectada ao terminal de um diapasão elétrico e oscilando perpendicularmente ao seu comprimento, na freqüência de 60 Hz. A massa da corda é 0,044 kg. (a) A que tensão deve ser a corda submetida (pesos estão presos na outra ponta) para ela vibrar com dois comprimentos de onda? (b) O que aconteceria se o diapasão fosse girado de forma a vibrar paralelamente ao comprimento da corda? (Pág. 134) Solução. Considere o seguinte esquema: L λ
(a) A tensão na corda pode ser obtida por meio da manipulação de alguns parâmetros envolvidos na composição da onda, tais como a densidade linear de massa μ, a velocidade escalar da onda v, a massa da corda m, o comprimento da corda L e a freqüência de vibração f: 2
m⎛ L⎞ 2 ⎛m⎞ τ = μv = ⎜ ⎟ (λ f ) = ⎜ ⎟ f 2 L⎝2⎠ ⎝L⎠ 2
mLf 2 ( 0, 044 kg )( 0,90 m )( 60 Hz ) τ= = = 35, 64 N 4 4 τ ≈ 36 N 2
[Início seção]
[Início documento]
63. Considere uma onda estacionária que é a soma de duas ondas idênticas se propagando em sentidos opostos. Mostre que a energia cinética máxima em cada meio comprimento de onda dessa onda estacionária é 2π2μ ym2f v. (Pág. 134) Solução. Seja a equação de onda estacionária: ________________________________________________________________________________________________________ a Cap. 17 – Ondas I Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
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y( x ,t ) = ( 2 ym sen kx ) cos ωt A velocidade transversal de um elemento do meio que conduz a onda é: ∂y( x ,t ) u( x ,t ) = = −2ω ym sen kx sen ωt ∂t A velocidade transversal máxima é atingida quando sen ωt =± 1, ou seja, em y(x,t) = 0. Logo: umax( x ) = 2ω ym sen kx
(1)
Considerando-se meio comprimento de onda transversal, como no esquema que segue: L x
dx dm
umax(x) A energia cinética máxima de um elemento de massa dm da corda é dado por: 1 1 2 2 dK max( x ) = dmumax( μ dxumax( x) = x) 2 2 Substituindo-se (1) em (2): 1 2 dK max( x ) = μ dx ( 2ω ym sen kx ) = 2 μω 2 ym2 sen 2 ( kx ) dx 2 A energia cinética máxima em meio comprimento de onda será dado pela integral: K max,λ / 2 = 2 μω 2 ym2 ∫
λ/2
0
(2)
⎛λ 1 ⎞ sen 2 ( kx ) dx = 2 μω 2 ym2 ⎜ − sen k λ ⎟ ⎝ 4 4k ⎠
Como kλ = 2π (verifique!), teremos: ⎛λ⎞ 1 K max,λ / 2 = 2 μω 2 ym2 ⎜ ⎟ = μλω 2 ym2 ⎝4⎠ 2
(3)
Da relação v =ω/k:
ω 2 = v2k 2 ⎛ 4π 2 ⎞ 4π 2 v 2 4π 2 v 2 λ = = 2 ⎟ v λ ⎝ λ ⎠ f
ω 2λ = v 2 k 2λ = v 2 ⎜ ω 2 λ = 4π 2 vf
(4)
Substituindo-se (4) em (3):
K max,λ / 2 = 2π 2 μ ym2 vf [Início seção]
[Início documento]
65. Uma corda, submetida a uma tensão de 200 N e presa em ambas as extremidades, oscila no segundo harmônico de uma onda estacionária. O deslocamento da corda é dado por y = ( 0,10 m )( sen π x / 2 ) sen12π t onde x = 0 numa das pontas da corda, x é dado em metros e t em segundos. Quais são (a) o ________________________________________________________________________________________________________ a Cap. 17 – Ondas I Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
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comprimento da corda, (b) a velocidade escalar das ondas na corda e (c) a massa da corda? (d) Se a corda oscilar num padrão de onda estacionária referente ao terceiro harmônico, qual será o período de oscilação? (Pág. 134) Solução. Considere o seguinte esquema, que mostra uma onde estacionária que vibra em seu segundo harmônico: L
Comparando-se a equação da onda estacionária fornecida no enunciado com a equação geral de uma onda estacionária:
π⎞ ⎛ y( x ,t ) = ( 2 ym sen kx ) cos ωt = ( 2 ym sen kx ) sen ⎜ ωt + ⎟ 2⎠ ⎝ Podemos concluir que o número de onda angular k vale: π
k=
m −1
2 E que a velocidade angular ω vale: k = 12π s −1 (a) Como a onda estacionária vibra no segundo harmônico, isto significa que há dois meios comprimentos de onda (meio comprimento de onda para cada harmônico) no comprimento L da corda.
2π 2π ⎛λ⎞ L = 2⎜ ⎟ = λ = = k ⎛ π −1 ⎞ ⎝2⎠ ⎜ m ⎟ ⎝2 ⎠ L = 4, 0 m (b) A velocidade de propagação da onda transversal vale: v=
(12π s ) = −1
ω
⎛ π −1 ⎞ ⎜ m ⎟ ⎝2 ⎠
k
v = 24 m/s (c) A massa da corda vale: v=
m=
τ τL = m μ
τL v
2
=
( 200 N )( 4, 0 m ) = 1,3888" kg 2 ( 24 m/s )
m ≈ 1, 4 kg
(d) O esquema a seguir mostra uma onda estacionária vibrando em seu terceiro harmônico:
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L λ
Quando a onda vibra em seu terceiro harmônico, temos: ⎛λ⎞ L = 3⎜ ⎟ ⎝2⎠ 2L λ= 3 O período da onda estacionária será: T=
λ v
=
2 L 2 ( 4, 0 m ) = = 1,1111" s 3v 3 ( 24 m/s )
T ≈ 1,1 s [Início seção]
[Início documento]
67. Uma onda estacionária resulta da soma de duas ondas transversais progressivas dadas por y1 = 0, 050cos (π x − 4π t )
y2 = 0, 050 cos (π x + 4π t ) onde x, y1 e y2 estão em metros e t em segundos. (a) Qual é o menor valor positivo de x que corresponde a um nó? (b) Em quais instantes no intervalo 0 ≤ t ≤ 0,50 s a partícula em x = 0 terá velocidade zero? (Pág. 134) Solução. A onda estacionária resultante y da sobreposição de y1 e y2 corresponde à soma dessas duas ondas: y = y1 + y2 = 0, 050 ⎡⎣cos (π x − 4π t ) + cos (π x + 4π t ) ⎤⎦
Aplicando-se a identidade trigonométrica: 1 1 cos α + cos β = 2 cos (α + β ) + cos (α − β ) 2 2 Teremos: ⎡1 ⎤ ⎡1 ⎤ y = 0, 050.2 cos ⎢ (π x − 4π t + π x + 4π t ) ⎥ cos ⎢ (π x − 4π t − π x − 4π t ) ⎥ ⎣2 ⎦ ⎣2 ⎦
y = 0,10 cos π x cos ( −4π t ) y = ( 0,10 cos π x ) cos 4π t
(1)
Uma representação geral para a onda estacionária acima pode ser:
y = ym ( x ) cos (ωt ) (a) Os nós da onda estacionária ocorrerão sempre que cos πx = 0, ou seja, quando: 1⎞ ⎛ n = 0, 1, 2, 3, etc. π x = ⎜ n + ⎟π , 2⎠ ⎝ ________________________________________________________________________________________________________ a Cap. 17 – Ondas I Halliday, Resnick, Walker - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
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O menor valor positivo de x onde há nó corresponde ao valor de n = 0: 1⎞ π ⎛ π x = ⎜ 0 + ⎟π = 2⎠ 2 ⎝ x=
1 m 2
O esquema a seguir mostra a onda estacionária y no instante t = 0, em 0 ≤ x ≤ 5: y
x
(b) A velocidade transversal da corda u é dada por: ∂y ∂ ( 0,10 cos π x cos 4π t ) u= = = 0,10.4π cos π x ( − sen 4π t ) ∂t ∂t u = −0, 40π cos π x sen 4π t Em x = 0, a velocidade transversal será zero sempre que sen 4πt = 0. ou seja: 4π t = nπ , n = 0, 1, 2, 3, etc. n t= 4 Entre 0,0 e 0,5 s, inclusive, a partícula da corda em x = 0 terá velocidade zero nos seguintes instantes: t = 0 s, t = ¼ s e t = ½ s. [Início seção]
[Início documento]
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Problemas Resolvidos de Física
Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FÍSICA 2
CAPÍTULO 19 - MOVIMENTO ONDULATÓRIO
PROBLEMAS 01 11 21 31 41 51
02 12 22 32 42 52
03 13 23 33 43 53
04 14 24 34 44 54
05 15 25 35 45 55
06 16 26 36 46 56
07 17 27 37 47 57
08 18 28 38 48 58
09 19 29 39 49 59
10 20 30 40 50 60
[Início documento]
18. Na Fig. 27a, a corda n.o tem densidade linear de massa 3,31 g/m, e a corda n.o 2 é 4,87 g/m. Elas estão esticadas devido ao peso de um bloco cuja massa é M = 511 g. (a) Calcule a velocidade de onda em uma corda. (b) O bloco agora é dividido em dois (com M1 + M2 = M e o aparelho é rearranjado como aparece na Fig. 27b. Determine M1 e M2 para que as velocidades de onda nas duas cordas sejam iguais.
(Pág. 119) Solução. (a) A figura abaixo mostra o diagrama das forças que agem na polia central da Fig. 27a, onde F é a tensão na corda e P é o peso da massa M:
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Problemas Resolvidos de Física
F
F
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y z
x
P A partir do diagrama é fácil concluir que: 2F = P = Mg Mg 2 A velocidade de uma onda transversal numa corda é dada por: F=
F
v=
μ
Logo, a velocidade da onda na corda 1 vale:
v1 =
F
μ1
=
Mg = 2μ1
( 511 g ) ( 9,81 m/s2 ) = 27,5179" m/s 2 ( 3,31 g/m )
v1 ≈ 27,5 m/s A velocidade da onda na corda 2 vale:
Mg = v1 = 2μ2
( 511 g ) ( 9,81 m/s2 ) = 22, 6863" m/s 2 ( 4,87 g/m )
v1 ≈ 22, 7 m/s (b) O enunciado agora exige que as velocidades em ambas as cordas sejam iguais: v1 = v2 F1
μ1
=
F2
μ2
M1g
=
M2 =
μ2 M μ1 1
μ1
M2g
μ2
(1)
Mas existe a seguinte restrição: M1 + M 2 = M M 2 = M − M1
(2)
Igualando-se (1) e (2): M1 =
( 3,31 g/m )( 511 g ) = 206, 7738" g μ1M = μ1 + μ 2 ( 3,31 g/m ) + ( 4,87 g/m )
M 1 ≈ 207 g Logo: M 2 ≈ 304 g ________________________________________________________________________________________________________ a Cap. 19 – Movimento Ondulatório Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
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21. O tipo de borracha usada em algumas bolas de beisebol e de golfe obedece a lei de Hooke numa para ampla faixa de alongamentos. Uma tira desse material tem comprimento L e massa m. Quando uma força F é aplicada, a tira aumenta de ΔL. (a) Qual é a velocidade (em termos de m, ΔL e constante de força k) para ondas transversais nessa tira? (b) Usando sua resposta à parte (a), mostre que o tempo necessário para um pulso transversal percorrer o comprimento da tira de borracha é proporcional a 1/ ΔL se Δl << L e é constante se Δl >> L. (Pág. 119) Solução. Considere o seguinte esquema da situação: L
m, k
Elástico ΔL F
(a) A velocidade da onda transversal na tira é dada por: v=
F
μ
(1)
A força F aplicada na tira produz uma deformação que é proporcional ao módulo da força (lei de Hooke), sendo que no equilíbrio, F corresponde à tensão na tira: F = k ΔL A densidade linear da tira, μ, é a razão entre a sua massa, que é constante, e seu comprimento, que depende do grau de estiramento: m μ= L + ΔL Substituindo F e μ em (1):
v=
v=
k ΔL m L + ΔL k ΔL2 ⎛ L ⎞ ⎜1 + ⎟ m ⎝ ΔL ⎠
(b) A velocidade de um pulso que percorre a tira vale: Δx v= Δt Para um deslocamento Δx = L + ΔL , o intervalo de tempo vale: L + ΔL Δt = v Substituindo-se a expressão de v obtida no item (a) em (2):
(2)
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m ( L + ΔL ) L + ΔL = k ΔL ( L + ΔL ) k ΔL ( L + ΔL ) m 2
Δt =
m ( L + ΔL ) k ΔL
Δt =
Para Δl << L, teremos:
mL 1 ∝ k ΔL ΔL
Δt ≈
Para Δl >> L, teremos:
m = constante k
Δt ≈
[Início seção]
[Início documento]
22. Uma corda uniforme de massa m e comprimento L está dependurada do teto. (a) Mostre que a velocidade de uma onda transversal nessa corda é uma função de y, a distância a partir do extremo inferior, e é dada por v = gy . (b) Mostre que o tempo necessário para uma onda transversal percorrer o comprimento da corda é t = 2 L / g . (c) A massa da corda afeta os resultados de (a) e (b)? (Pág. 119) Solução. Considere o seguinte esquema:
L
v(y) y
(a) A tensão na corda é variável. Num dado ponto da corda, a tensão é igual ao peso da porção da corda abaixo daquele ponto. No esquema acima, a tensão no ponto P, localizado a uma altura y da extremidade inferior da corda, vale: F( y ) = m( y ) g = μ gy Logo, a velocidade da onda transversal na corda vale:
v( y ) =
F( y )
μ
=
μ gy μ
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v( y ) = gy (b) O tempo que a onda leva para percorrer o comprimento da corda pode ser obtido da seguinte forma: dy v( y ) = = gy dt dy dt = gy t
L
0
0
∫ dt = ∫
dy gy L
2 gy t= g
0
L g
t=2
(c) A massa da corda não interfere nos resultados dos itens (a) e (b). [Início seção]
[Início documento]
23. Um fio não uniforme de comprimento L e massa M tem densidade linear de massa variável, dada por μ = kx, onde x é a distância a uma extremidade do fio e k uma constante. (a) Mostre que M = kL2/2. (b) Mostre que o tempo t necessário para que um pulso gerado em uma das extremidades do fio chegue à outra extremidade é t = 8ML / 9 F , onde F é a tração no fio. (Pág. 119) Solução. (a) A massa da corda pode ser calculada a partir da definição da densidade linear de massa: dm μ( x ) = = kx dx
∫
M
0
L
dm = ∫ kxdx 0
2
kL 2 (b) O tempo que a onda leva para percorrer a extensão da corda pode ser calculado a partir da definição da velocidade: M=
v( x ) =
dx = dt
F
μ( x )
=
F kx
kx dx = dt F
∫
t
0
dt =
k L xdx F ∫0
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k 2 3 4kL3 L = F 3 9F Do item (a), temos: 2M k= 2 L Logo: t=
t=
8ML 9F [Início seção]
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27. Uma onda progride uniformemente em todas as direções, a partir de uma fonte puntiforme. (a) Justifique a seguinte expressão para o deslocamento y do meio a qualquer distância r da fonte: Y y = sen k ( r − vt ) . r Considere a velocidade, direção de propagação, periodicidade e intensidade da onda. (b) Quais são as dimensões da constante Y. (Pág. 119) Solução. (a) No esquema abaixo, a uma distância r1 da fonte sonora F, a intensidade da onda é I1 e a área da frente de onda é A1. Pode-se afirmar que a potência transmitida P é a mesma para cada frente de onda. r2 I I2
v
I1 F
y
A1 A2
r1
A r
Logo:
P1 = P2 I 1 A1 = I 2 A2
(1)
I = 1 / 2 ρvω 2 y m2
(2)
Mas: Ou seja: I ∝ y m2
Substituindo-se (2) em (1) e simplificando-se: y m2 1 A1 = y m2 2 A2 ________________________________________________________________________________________________________ a Cap. 19 – Movimento Ondulatório Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4 Ed. - LTC - 1996.
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y m2 1 4πr12 = y m2 2 4πr22 y m2 1 r12 = y m2 2 r22 = y m2 r 2 = Cte = Y 2
O termo constante foi arbitrariamente chamado de Y. A amplitude de deslocamento ym da onda sonora vale: Y (3) ym = r A equação geral de uma onda sonora progressiva, em termos de deslocamento é: y ( x ,t ) = y m sen( kx − ωt + φ ) Considerando-se que a constante de fase φ = 0 (arbitrário) e que a coordenada x é r: y ( r ,t ) = y m sen( kr − ωt ) Multiplicando-se e dividindo-se o argumento da função seno de (4) por k, o número de onda angular, e substituindo-se o valor de ym dado por (3): Y y ( r ,t ) = sen k (r − vt ) r
(4)
(5)
Em (5), foi usada a identidade v = ω/k. (b) Como ym e r devem ter dimensão L, cuja unidade SI é o metro, a constante Y deverá ter dimensão L2. [Início seção]
[Início documento]
37. Uma onda progride uniformemente em todas as direções, a partir de uma fonte puntiforme. (a) Justifique a seguinte expressão para o deslocamento y do meio a qualquer distância r da fonte: y = Y/r sen k(r-vt). Considere a velocidade, direção de propagação, periodicidade e intensidade da onda. (b) Quais são as dimensões da constante Y. (Pág. 120) Solução.
[Início seção]
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RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 5.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 2003.
FÍSICA 2
CAPÍTULO 18 - MOVIMENTO ONDULATÓRIO
EXERCÍCIOS 01 11 21 31
02 12 22 32
03 13 23 33
04 14 24 34
05 15 25
06 16 26
07 17 27
08 18 28
09 19 29
10 20 30
07 17
08 18
09 19
10 20
PROBLEMAS 01 11 21
02 12 22
03 13
04 14
05 15
06 16
[Início documento] [Início seção]
[Início documento]
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35
