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Conteúdo
1.USO DO MATLAB NO ESTUDO DE CONTROLE DE PROCESSOS 2
2.ANÁLISE DA RESPOSTA TRANSITÓRIA 3
2.1.Introdução 3
2.2.Utilização da janela de comandos para análise da resposta transitória 4
2.3.Utilização do Simulink para análise da resposta transitória 7
2.4.Análise e apresentação dos resultados 8
3.AÇÕES DE CONTROLE BÁSICAS 10
3.1.Introdução 10
3.2.Tipos de ação de controle 11
3.2.1.Ação de controle proporcional – P 11
3.2.2.Ação de controle proporcional+integral – PI 11
3.2.3.Ação de controle proporcional+derivativa – PD 11
3.2.4.Ação de controle proporcional+integral+derivativo – PID 12
3.3.Utilização da janela de comandos para análise das ações de controle 13
3.4.Analise e apresentação dos resultados 16
4.CONCLUSÃO 17
5.REFERÊNCIAS 18
1.USO DO MATLAB NO ESTUDO DE CONTROLE DE PROCESSOS
O MATLAB é tanto uma linguagem de programação quanto um ambiente de computação técnica de alto nível que possibilita a análise e visualização de dados, cálculos matemáticos e envolvimento de algoritmos, entre outras aplicações. "Quando utilizado com rotinas do software parceiro, a Toolbox de Sistemas de Controle, o MATILAB pode ser empregado para analisar e projetar problemas de sistemas e controle" (NORMAN S. Nise 3ª Ed.).
Um recurso muito poderoso no MATLAB é o Simulink. "O Simulink é usado para simular sistemas. Você pode posicionar blocos, ajustá-los, rotulá-los, especificar seus parâmetros e interconectá-los para formar sistemas completos para os quais podem ser executadas simulações." (NORMAN S. Nise 3ª Ed.)
Por todos esses motivos o MATLAB se tornou uma ferramenta poderosíssima e indispensável no estudo de controle de processos. Mesmo assim o conhecimento dessa ferramenta não dispensa a prática e o estudo dos cálculos envolvidos no aprendizado de controle de processos sem a ajuda do computador.
Por isso esse trabalho irá mostrar um comparativo entre os resultados alcançados com as técnicas tradicionais e os alcançados através da janela de comando do MATLAB e a ferramenta Simulink.
2.ANÁLISE DA RESPOSTA TRANSITÓRIA
2.1.Introdução
"Sistemas com armazenamento de energia não podem responder instantaneamente e terão resposta transitória sempre que submetidos a excitações e perturbações. Na prática, a resposta transitória de um sistema de controle freqüentemente apresenta oscilações amortecidas antes de alcançar o estado ou regime permanente" (OGATA, Katsuhiko).
O período transitório da resposta de um sistema a uma determinada excitação transmite informações importantes a respeito do desempenho desejado de um sistema, e deve ser analisado com muito cuidado. Primeiramente parâmetros do próprio sistema devem ser observados como ωn = freqüência natural não-amortecida e ζ = coeficiente de amortecimento do sistema. Outros parâmetros importantes são: tempo de pico, tempo de acomodação e overshoot.
Será analisada agora a resposta ao degrau em sistema exemplo para diferentes coeficientes de amortecimento com a ajuda do MATLAB.
2.2.Utilização da janela de comandos para análise da resposta transitória
Para o sistema:
Gs=1s2+s+1
Utilizando um comando do MATLAB podemos gerar a resposta ao degrau do sistema rapidamente:
num = [0 0 1];
den = [1 1 1];
step(num, dem);
São apresentados na figura 1 os gráficos para as respostas ao degrau unitário para ξ = 0,5 (subamortecido), ξ = 1 (criticamente amortecido) e ξ = 1,5 (superamortecido), através do seguinte código:
% Inicia variáveis que serão usadas
t = [0:0.1:15];
yset = 1;
num = [0 0 1];
den1 = [1 1 1]; %denominador do sistema sub-amortecido
den2 = [1 2 1]; %denominador do sistema criticamente amortecido
den3 = [1 3 1]; %denominador do sistema superamortecido
%gera a resposta ao degrau unitário de cada denominador
[y1,x1,t] = step(num, den1, t);
[y2,x2,t] = step(num, den2, t);
[y3,x3,t] = step(num, den3, t);
%imprime as respostas no mesmo diagrama através do comando plot
plot (t, y1, t, y2, t, y3, t, yset,'k--');
%títulos e legendas
xlabel ('Tempo (s)');
ylabel ('Amplitude');
legend ('Sistema sub-amortecido','Sistema criticamente amortecido',...
'Sistema super-amortecido','Set-point','Location','Best')
Figura 1 Gráficos dos sistemas sub-amortecido, criticamente amortecido e superamortecido
Podemos através do gráfico, de maneira muito simples, encontrar informações importantes a respeito da resposta transitória, como o tempo de pico, tempo de acomodação e overshoot. Após obter a resposta ao degrau do sistema o gráfico gerado pelo MATLAB será:
Figura 2 Resposta ao degrau unitário
Para encontrar o valor desejado basta clicar sobre o ponto e poderemos visualizar o valor, começaremos com o tempo de pico, pela figura 3 temos tempo de pico igual a 3,4.
Figura 3 Tempo de pico
De maneira similar podemos encontrar o overshoot que é a diferença entre valor máximo alcançado pelo gráfico e o set-point figura 4.
Figura 4 overshoot
O ultimo ponto escolhido para demonstrar as facilidades do uso do MATLAB é o tempo de acomodação de 2% figura 5, que "é o tempo necessário para que a curva de resposta alcance valores dentro de uma faixa em torno do valor final e aí permaneça" (OGATA, Katsuhiko.).
Figura 5 Tempo de acomodação
2.3.Utilização do Simulink para análise da resposta transitória
Como já foi mencionado o Simulink nos proporciona o poder de simular nossos sistemas o mais próximo do mundo real. Será repetido o exemplo anterior através dessa ferramenta. Primeiramente temos que montar o sistema através dos blocos do Simulink, o sistema final ficará como aparece na figura 6.
Figura 6 Blocos do Simulink
Após ocorrer a simulação desse sistema o Simulink será gerado um gráfico do resultado da simulação que pode ser visualizado através do Scope figura 7.
Figura 7 Gráfico gerado pelo Simulink
Através do gráfico gerado pelo Simulink também é possível de forma simples localizar os postos importantes do regime transitório, são eles: tempo de pico = 4,6s, overshoot = 0,16 e o tempo de acomodação = 9s.
2.4.Análise e apresentação dos resultados
Foi relatado que através das ferramentas disponíveis no MATLAB podemos de forma simples localizar pontos importantes do regime transitório, apenas localizando tais pontos nos gráficos gerados pelo MATLAB.
Agora será realizado um comparativo entre os valores obtidos através do MATLAB e os encontrado de forma tradicional através da regras da análise do regime transitório. Primeiramente serão encontrados os valores para o tempo de pico, overshoot e tempo de acomodação usando as técnicas tradicionais, para o sistema:
Gs=1s2+s+1
Sistema de segunda ordem:
ωn2s+2ξωn+ωn2
Freqüência natural não amortecida (ωn)
ωn=1
Coeficiente de amortecimento (ξ)
2ξ=1
ξ=0,5
Freqüência natural amortecida (ωd)
ωd=ωn1-ξ2
ωd=1-0,52
ωd=0,87
Atenuação (σ)
σ= ξωn
σ=0,5
Tempo de pico (tp):
tp=πωd
tp=π0,87
tp=3,65
Tempo de acomodação (2%)
ta=4σ(2%)
ta=40,5
ta=8
Overshoot
Mp= -πσωd
Mp= -π0,50,87
Mp=0,16
Na tabela abaixo é apresentado um comparativo entre os valores encontrados através dos três métodos usados.
Tabela 1: Dados encontrados através dos três métodos usados no relatório
Janela de comando MATLAB
SIMULINK
Cálculos manuais
Tempo de pico
3,4
4,6
3,65
Tempo de acomodação (2%)
8,11
9
8
Overshoot
0,16
0,16
0,16
Foi observado que os valores encontrados através dos cálculos manuais e os resultados da janela de comando do MATLAB foram bem próximos, indicando a eficiência e agilidade que o MATLAB pode proporcionar ao estudo do regime transitório. No SIMULINK os resultados dos tempos foram aproximadamente 1s maior, devido a um deslocamento do inicio da resposta gerada na simulação. O overshoot foi exatamente igual nos três métodos.
3.AÇÕES DE CONTROLE BÁSICAS
3.1.Introdução
"Um controlador automático compara o valor real da grandeza de saída do processo com a grandeza de referência, determina o desvio e produz um sinal de controle que reduzirá o desvio a zero ou a um valor pequeno". (OGATA, Katsuhiko). As maneiras com que os controladores geram o sinal de controle são chamadas de ação de controle.
Cada ação de controle se enquadra melhor com cada tipo de processo. Sendo assim, na escolha do tipo de controlador deve-se levar em conta o tipo do processo, as condições de operação além de outras considerações como segurança, custo, disponibilidade, o tipo de variável a ser controlada e onde se deve ter mais precisão, no regime transitório ou permanente. Assim sendo a mesma variável pode ser controlada por mais de uma ação de controle, mas todos esses fatores listados serão de crucial importância na escolha de uma ou outra ação de controle.
Será apresentada rápida introdução dos princípios básicos do MATLAB usados para o estudo das ações de controle.
3.2.Tipos de ação de controle
Existem algumas maneiras de se obter as ações de controle e são elas que dão os nomes às ações de controle. A seguir serão listados os tipos de ação de controle e uma rápida descrição de cada uma.
3.2.1.Ação de controle proporcional – P
Como o nome já indica, o sinal de saída do controlador U(s) é proporcional ao sinal do erro E(s).
U(s)E(s)=Kp
"O controlador proporcional é essencialmente um amplificador com ganho ajustável." (OGATA, Katsuhiko). Essa ação de controle possui um erro no regime estacionário sendo indicado para variáveis que não exigem grande precisão.
3.2.2.Ação de controle proporcional+integral – PI
A função de transferência dessa ação é definida como:
U(s)E(s)=Kp(1+1Tis)
Onde Ti é chamado de tempo integral. Essa ação elimina o erro do regime estacionário, mas a resposta oscila por um tempo até o regime permanente. É indicada para processos que necessitam de precisão em regime permanente sem a necessidade de uma resposta rápida.
3.2.3.Ação de controle proporcional+derivativa – PD
A ação de controle proporcional+derivativa é assim definida pela seguinte função de transferência:
U(s)E(s)=Kp(1+Tds)
Aqui Td é chamada de tempo derivativo. Esta ação de controle também elimina o erro em regime permanente, mas oscila menos que a ação anteriormente descrita e a saída é proporcional à derivada do erro. "Uma vantagem em se usar ação de controle derivativa é que ela responde à taxa de variação do erro atuante e pode produzir um correção significativa antes de o valor do erro torna-se demasiadamente grande" (OGATA, Katsuhiko). Devido a essas características é indicada para processos que necessitam de uma resposta rápida no período transitório.
3.2.4.Ação de controle proporcional+integral+derivativo – PID
Esta ação de controle reúne as vantagens de todas as outras descritas anteriormente. É definida pela seguinte função de transferência:
U(s)E(s)=Kp(1+1Tis+Tds)
3.3.Utilização da janela de comandos para análise das ações de controle
Agora será usada a janela de comando do MATLAB para análise das ações de controle para o mesmo sistema usado como exemplo na experiência anterior.
Gs=1s2+s+1
O diagrama de blocos do sistema ficará como indicado na figura 8. Onde o bloco PID(s) está representando os controladores. Primeiramente teremos que encontrar a função de transferência de malha fechada para cada ação de controle, assim através da janela de comando do MATLAB, poderá aplicar o degrau na função.
Figura 8 Diagrama de blocos do dos controladores
Em seguida aplicaremos o degrau às ações de controle. A função de transferência de malha fechada do controlado proporcional, para um Kp=2 ficará assim:
Gs=2s2+s+3
Agora aplicaremos o degrau unitário com a ajuda da janela de comandos do MATLAB, como já foi mostrado, o resultado obtido é apresentado na figura 9.
num = [0 0 2];
den = [1 1 3];
step(num,den)
Figura 9 Resposta ao degrau da ação de controle proporcional
O próximo controlador é o PI, que para um Ti = 2 e o Kp continuando o mesmo, a função de transferência ficará:
Gs=4s+22s3+2s2+6s+2
O gráfico da resposta ao degrau será como apresentado na figura 10.
num = [0 0 4 2];
den = [2 2 6 2];
step(num,den)
Figura 10 Resposta ao degrau do controlador PI
No controlador Proporcional+derivativo para o mesmo Kp e Td = 2 a função de transferência de malha fechada do sistema será:
Gs=4s+2s2+s+1
Na figura 11 é apresentado o gráfico da resposta ao degrau do controlador PD.
num = [0 4 2];
den = [1 1 1];
step(num,den)
Figura 11 Resposta ao degrau do controlador PD
Para finalizar aplicaremos o degrau ao controlado PID, será usado os mesmo valores para as constantes Kp, Ti e Td. A função de transferência ficará como se segue:
Gs=4s2+4s+1s3+5s2+5s+1
Para o controlador PID o gráfico gerado pólo MATLAB será o apresentado na figura12
num = [0 4 4 1];
den = [1 5 5 1];
step(num,den)
Figura 12 Resposta ao degrau do controlador PID
3.4.Analise e apresentação dos resultados
Através da janela de comando do MATLAB é possível visualizar as principais características, apresentadas anteriormente, de cada ação de controle. Podemos também, apresentar os gráficos na mesma janela, tornado melhor a visualização das diferenças entre as características associadas a cada ação de controle.
Figura 13 Controladores proporcional, PI, PD e PID
4.CONCLUSÃO
Após esses experimentos fica comprovada toda a potência do MATLAB no auxílio no estudo de controle de processos. Tanto para o iniciante que pode através dos gráficos gerados, visualizar as principais características do objeto estudado, como para o profissional que obtêm de maneira muito prática e rápida, respostas para sistemas extremamente complexos auxiliando-o em seu trabalho e assim otimizando o tempo de projeto.
5.REFERÊNCIAS
