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Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Naval e Oceânica PNV 2433 - Mecânica da Estrutura de Embarcações PROVA 1 – Estrutura Primária De volta a uma prova clássica!!! Divirtam-se... Você já deve ter percebido: - Cada atividade é de um jeito. Alguns trabalhos lhe pressionam quanto ao prazo, outros; quanto á precisão dos resultados numéricos, outros; dependem de estudos teóricos e analíticos. Algumas vezes o trabalho é individual, outras vezes parte de uma equipe multidisciplinar e algumas vezes parte de uma equipe desastrosa. Algumas respostas dependem de “esperteza”, outras, de profundo conhecimento sobre o assunto e algumas, dependem puramente de trabalho braçal. Desta vez, nada de histórias. O desafio é realizar um projeto com começo, meio e fim. Tempo não será problema. Mas o trabalho será longo e cansativo. Sejam rápidos, sejam espertos e, desta vez, acima de tudo, sejam criteriosos. Uma barcaça com as dimensões dadas na figura anexa é constituída de casco (até o convés dos tanques de lastro) em aço e superestrutura em alumínio. As condições de navegação (projeto) são as seguintes: •
Somente podem ser lastreados os tanques T2 e T5 com água doce. Os tanques T2 e T5, por questões de estabilidade, devem sempre possuir o mesmo volume de lastro.
•
A barcaça deve navegar com calado mínimo de segurança de 4 metros.
•
A barcaça deve transportar uma carga de 2700 ton. Igualmente distribuída em um comprimento de 40 metros.
•
O deslocamento leve da barcaça é de 6100 ton.
PARTE A – Equilíbrio da Viga Navio: Determine: a) A quantidade de lastro nos tanques T2 e T5 e a posição longitudinal da carga para que a barcaça navegue sem trim. (Determine a posição da carga com precisão de zero casas decimais.) b) As curvas de carga q1(x), q2(x) e q3(x). c) A curva de carga q(x). d) O Diagrama de Força Cortante Q(x) e) O Diagrama de Momento Fletor M(x) f) A posição das secções críticas e o tipo de esforço (Alquebramento ou Tosamento) atuante na barcaça. Nome: GABARITO
n.USP: Form. Técnico 2003
Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Naval e Oceânica PNV 2433 - Mecânica da Estrutura de Embarcações PROVA 1 – Estrutura Primária
PARTE B – Distribuição das Tensões Primárias: Determine: g) A secção equivalente em aço. h) A posição da linha neutra da secção equivalente. i) O momento de inércia da seção equivalente em relação à linha neutra. j) A distribuição da Tensão Normal devido a Flexão da Viga-Navio na secção equivalente. k) A distribuição da Tensão Normal devido a Flexão da Viga-Navio na secção real. l) Determine o momento estático de área da secção equivalente em relação à linha neutra. m) Determine a distribuição da Tensão de Cisalhamento devido aos esforços transversais atuantes na Viga-Navio, na secção equivalente. n) Determine a distribuição da Tensão de Cisalhamento devido aos esforços transversais atuantes na Viga-Navio, na secção real. Faça as hipóteses que achar adequadas. NÃO PERCA TEMPO calculando parcelas insignificantes e identifique CLARAMENTE cada parcela computada. PERCAM A MANIA DE ESCREVER NA MESA! ESCREVAM NA PROVA! Vista Lateral da Barcaça:
4m T1
4m
40 m
T2
T3
T4
T5
40 m
40 m
40 m
40 m
Vista Lateral da Carga: 2700 ton 40 m Nome: GABARITO
n.USP: Form. Técnico 2003
Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Naval e Oceânica PNV 2433 - Mecânica da Estrutura de Embarcações PROVA 1 – Estrutura Primária
Secção da Barcaça Estudada:
5
10
5
4
4 Ealuminio / Eaço = 1 / 3 5
5
5
5
Espessuras: •
Conveses Superiores, Costados Superiores e Convés Médio: t = 21 mm
•
Costados Inferiores e Fundo do Navio: t = 40 mm
Material: •
Conveses Superiores, Costados Superiores e Sicordas: Alumínio
•
Costados Inferiores, Convés Médio, Fundo do Navio e Quilhas: Aço Formulário
Secção da Quilha, Sicordas e Quilhas Laterais: 400 x 20 mm
400 x 40 mm
Nome: GABARITO
τ xyA ,real = τ xyA * τ xyA =
σ xxA =
Qsec ção LN I sec ção
A E material E aço
*
Ms A tA
M sec ção * y A LN I sec ção
n.USP: Form. Técnico 2003
PARTE A – Equilibrio da Viga Navio Vista Lateral da Carga: 2700 ton 40 m Vista Lateral da Barcaça:
4m T1
4m
40 m
T2
T3
T4
T5
40 m
40 m
40 m
40 m
a1) Determinação da Quantidade de Lastro: Equilibrio Vertical:
Peso Leve + Cargas = Flutuação
Peso Leve = 6100 ton Cargas = 2700 ton + Lastro T1 + Lastro T5
Flutuação: Calado mínimo de segurança = 4 m Flutuação = 4 * Calado * Ltanque 2,3,4,5 * Boca + (Calado * Ltanque 1 * Boca) / 2 Ltanque 1 = ( 40 / 8 ) * Calado = 20 m Flutuação = 4 * 40 * 40 * 20 + (4 * 20 * 20) / 2 Flutuação = 12800 + 800 = 13600 m3 Considerando ρágua = 1 ton / m3 Flutuação = 13600 ton
4m
20 m T1
4m 40 m
Portanto partindo da Equação do Equilibrio Vertical da Embarcação:
Peso Leve + Cargas = Flutuação 6100 + 2700 + Lastro T1 + Lastro T5 = 13600
(ton)
Sabe-se que devido a estabilidade Lastro T1 = Lastro T5 e portanto: Lastro T1 = Lastro T5 = 2400 ton Admitindo-se que o Lastro será preenchido com água doce com ρágua = 1 ton / m3 Lastro T1 = Lastro T5 = 2400 m3
a2) Determinação da Posição Longitudinal da Carga: Equilibrio de Momentos em Relação a Proa: LCGPeso Leve * Peso Leve + LCGCarga * Carga = LCBFlutuação * Flutuação Ou como:
Peso Leve + Carga = Flutuação
então:
LCGDeslocamento Total = LCBFlutuação
LCBFlutuação: LCBFlutuação * Flutuação = (4 * H * Lt-2,3,4,5 * B) * LCBt-2,3,4,5 + (H * Lt-1 * B) / 2 * LCBt-1 LCBFlutuação * 13800 = 12800 * LCBt-2,3,4,5 + 800 * LCBt-1 Posições calculadas em relação a proa do navio LCBt-1 = 20 + 2/3 * 20 = 33 m
4m
LCBt-2,3,4,5 = 120 m
4m
LCBFlutuação * 13800 = 12800 * 33 + 800 * 120 LCBFlutuação = 114.90 m ≈ 115 m
(da Proa)
LCBt-1 T1 40 m
Assumindo que o Peso Leve se distribui uniformemente ao longo da barcaça: LCGPeso Leve = 100 m Portanto partindo da Equação do Equilibrio de Momentos em Relação a Proa:
LCGPeso Leve * Peso Leve + LCGCarga * Carga = LCBFlutuação * Flutuação 100 * 6100 + LCGCarga * 2700 = 115 * 13600
Resolvendo adequadamente: LCGCarga = 139.5 m ≈ 140 m
(da Proa)
Assim a carga colocada exatamente sobre o tanque 4 garante a navegação sem trim. b) Curvas de Cargas: Assumindo que o Peso Leve se distribui uniformemente ao longo da barcaça: q1(x) = peso leve = 6100 / 200 = 30.5 ton / m Curva de Carga (Pes o Le ve ) q1(x) ton/m 35.0 30.0 25.0 20.0 15.0 10.0 5.0 0.0 0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Observação: Alguns alunos, na tentativa de serem mais precisos, calcularam o LCG do casco considerando a forma real. Neste caso a distribuição do peso leve deve também seguir a forma real do casco, pois do contrário o navio estará desequilibrado, resultando em um erro muito maior do que a hipótese do peso distribuído uniformemente ao longo do casco.
q2(x) = Lastro + Carga (Carga) q2(x) = 2700 / 40 = 67.5 ton / m
(120 m < x < 160 m)
(Lastro) q2(x) = 2400 / 40 = 60 ton / m
(40 m < x < 80 m) e (160 m < x < 200 m)
Curva de Carga (Las tro + Carga) q2(x) ton/m 80.0 70.0 60.0 50.0 40.0 30.0 20.0 10.0 0.0 -10.0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
q3(x) = flutuação (trecho 0-20) q3(x) = 0 ton / m
(0 m < x < 20 m)
(trecho 20-40) q3(x) = -4(x-20) ton / m
(20 m < x < 40 m)
(trecho 40-200) q3(x) = B * H = 80 ton / m
(40 m < x < 200 m)
Curva de Flutuação q3(x) ton/m 10.0 0.0 -10.0
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
-20.0 -30.0 -40.0 -50.0 -60.0 -70.0 -80.0 -90.0
Observação: Alguns alunos inverteram os nomes das curvas, ou mesmo separaram o carregamento real em 4 parcelas, dividindo o q2(x) em duas parcelas distintas. Realmente não existe nenhuma norma rigorosa para isto. Exige-se apenas coerência entre os resultados. O mesmo pode-se dizer do sinal de q3(x) que poderia ser positivo sem perda real de conceito.
c) Curva de Carga q(x) q(x) = q1(x) + q2(x) + q3(x) X Local q1 q2 ton/m ton/m 30.5 30.5 30.5 60 30.5 30.5 67.5 30.5 60
Trecho m 0-20 20-40 40-80 80-120 120-160 160-200
A-B B-C C-D D-E E-F F-G
q3 ton/m 0 -4x -80 -80 -80 -80
q(x) ton/m 30.5 30.5-4x 10.5 -49.5 18 10.5
Curva de Carga q(x) ton/m 40 30 20 10A
B
C
D
E
F
G
0 -10
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
-20 -30 -40 -50 -60
d) Diagrama de Força Cortante Q(x) Método Analítico, utilizando x Local: X Local
A-B B-C C-D D-E E-F F-G
Trecho m 0-20 20-40 40-80 80-120 120-160 160-200
q1 ton/m 30.5 30.5 30.5 30.5 30.5 30.5
q2 ton/m
60 67.5 60
q3 ton/m 0 -4x -80 -80 -80 -80
q(x) ton/m 30.5 30.5-4x 10.5 -49.5 18 10.5
Q(x) ton 30.5x+Q(A) 30.5x-2x²+Q(B) 10.5x+Q(C) -49.5x+Q(D) 18x+Q(E) 10.5x+Q(F)
M(x) ton*m 15.25x²+Q(A)x+M(A) 15.25x²-2x³/3+Q(B)x+M(B) 5.25x²+Q(C)x+M(C) -49.5x²/2+Q(D)+M(D) 9x²+Q(E)+M(E) 5.25x²+Q(F)x+M(F)
X Global m 0 20 27.625 40 80 96.97 120 160 200
Ponto
Trecho
A B P1 C D P2 E F G
A-B A-B B-C B-C C-D D-E D-E E-F F-G
X Local m
q(x) ton/m 30.5 30.5 0 -49.5 10.5 -49.5 -49.5 18 10.5
0 20 7.625 20 40 16.970 40 40 40
Q(x) Ton
M(x) ton*m
0 610 726 420 840 0 -1140 -420 0
0 6100 11342 19067 44267 51394 38267 7067 -1333
Determinando o ponto P1 ∆X P1 = 30.5 X P1
= 7.625m 30.5 − (−49.5) 20 = 20 + 7.625 = 27.625m
Diagram a de Força Cortante Q(x) ton 1000 750 500 250
A
B
0
20
0 -250 -500 -750 -1000 -1250
C P1
40
D 60
80
E 100
120
F 140
160
G 180
200
Determinando o ponto P2
∆X P 2 = 840 X P2
840 − (−1140) 40 = 80 + 16.97 = 96.97 m
= 16.97 m
e) Diagrama de Momento Fletor M(x) Mom ento Fletor M (x) ton*m 60000 50000 40000 30000 20000 10000
A
B
0
0 -10000
f)
20
C P1
40
D 60
80
E 100
P2
120
F 140
160
G 180
200
A secção localizada em P1, com x = 27.625 m a partir da proa da barcaça é
critica, pois é a secção submetida à máxima Força Cortante. Já a secção localizada em P2, com x ≈ 97 m a partir da proa da barcaça é crítica, pois é a secção submetida ao máximo Momento Fletor. Partindo da Curva de Carga q(x) pode-se substituir as cargas atuantes pelo conjunto de 3 forças tais que:
A partir desta configuração é fácil analisar que a viga navio na secção P2 sofre tração na fibra superior (convés superior) e compressão na fibra inferior (fundo), caracterizando um esforço de alquebramento. Observação: Alguns alunos continuam usando o Diagrama de Momento Fletor para caracterizar o tipo de esforço atuante na viga navio. Essa abordagem é perfeitamente válida, desde que tenha existido reflexão sobre o desenho do Diagrama de Momento Fletor, porque na maioria dos casos, como não existe um rigor exagerado no Diagrama de Momento Fletor, em geral este é desenhado de “qualquer forma”, utilizando qualquer sinal, e por isso não serve para justificar a caracterização do esforço atuante. REFAZENDO UTILIZANDO O MÉTODO DAS ÁREAS d) Diagrama de Força Cortante Q(x) Método das Áreas:
A2 A1 A4
A3
A6
A7
A5
A1 = 30.5 * 20 = 610 ton A2 = 30.5 * 7.625 / 2 = 116.3 ton A3 = 49.5 * 12.375 / 2 = 306.3 ton A4 = 10.5 * 40 = 420 ton A5 = 49.5 * 40 = 1980 ton A6 = 18 * 40 = 720 ton A7 = 10.5 * 40 = 420 ton
Determinando P1: ∆X P1 = 30.5 = 7.625m 30.5 − (−49.5) 20 X P1 = 20 + 7.625 = 27.625m
Diagram a de Força Cortante Q(x) ton 1000 750 500 250
A
B
0
20
0 -250
C P1
40
D 60
80
E 100
120
F 140
160
G 180
-500 -750 -1000 -1250
Q(A) = 0 ton Q(B) = A1 = 610 ton Q(P1) = A1 + A2 = 610 + 116.3 = 726.3 ton Q(C) = A1 + A2 – A3 = 726.3 - 306.3 = 420 ton Q(D) = A1 + A2 – A3 + A4 = 420 + 420 = 840 ton Q(E) = A1 + A2 – A3 + A4 – A5 = 840 – 1980 = - 1140 ton Q(F) = A1 + A2 – A3 + A4 – A5 + A6 = - 1140 + 720 = - 420 ton Q(G) = A1 + A2 – A3 + A4 – A5 + A6 + A7 = - 420 + 420 = 0 ton e) Diagrama de Momento Fletor M(x)
B1
B3 B2
B4
B5 B6
B7 B8
200
B1 = 610 * 20 / 2 = 6100 ton * m B2 = (610 + 726.3) / 2 * 7.625 = 5095 ton * m
B3 = (726.3 + 420) / 2 * 12.375 = 7093 ton * m B4 = (420 + 840) / 2 * 40 = 25200 ton * m
Determinando P2 ∆X P 2 = 840 = 16.97m 840 − (−1140) 40 X P 2 = 80 + 16.97 = 96.97m
B5 = 840 * 17 / 2 = 7140 ton * m B6 = 1140 * 23 / 2 = 13110 ton * m B7 = (1140 + 420) / 2 * 40 = 31200 ton * m B8 = 420 * 40 / 2 = 8400 ton * m
Os trechos são lineares, exceto o trecho B-C que é quadrático, concavidade ∩ e máximo em P1. Observação: Visto que a barcaça apresenta formas mais complexas, e, portanto um carregamento mais complexo na região de proa, pode ser mais interessante começar a traçar o diagrama a partir da popa da barcaça, além de obter valores ligeiramente mais precisos o desenho do diagrama torna-se mais fácil. Mom ento Fletor M (x) ton*m 60000 50000 40000 30000 20000 10000
A
B
0
0 -10000
20
C P1
40
D 60
80
E 100
P2
120
F 140
160
G 180
200
M(A) = 0 ton * m M(B) = B1 = 6100 ton * m M(P1) = B1+ B2 = 6100 + 5095 = 11195 ton * m
M(C) = B1 + B2 + B3 = 11195 + 7093 = 18288 ton * m M(D) = B1 + B2 + B3 + B4 = 18288 + 25200 = 43488 ton * m M(P2) = B1 + B2 + B3 + B4 + B5 = 43488 + 7140 = 50628 ton * m M(E) = B1 + B2 + B3 + B4 + B5 – B6 = 50628 – 13110 = 37518 ton * m M(F) = B1 + B2 + B3 + B4 + B5 – B6 – B7 = 37518 – 31200 = 6318 ton * m M(G) = B1 + B2 + B3 + B4 + B5 – B6 – B7 – B8 = 6318 – 8400 = -2082 ton * m Os trechos são quadráticos, exceto o trecho B-C que é cúbico crescente com inflexão em P1.
Comentário: Mom ento Fletor M (x) ton*m 60000 50000 40000 30000 20000 10000 0 0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
-10000
É interessante observar que em Engenharia, mais importante do que o resultado é a sensibilidade e a discussão do mesmo. Aqueles que fizeram uma boa prova, chegaram ao final da parte A, com uma questão interessante: O diagrama de Momento Fletor não resulta em zero. Para aqueles que fizeram a prova pelo método analítico, obtiveram -1333 ton * m. A maioria ignorou este valor, ou atribui-o a aproximações de contas. No entanto uma das provas teve a sensibilidade que eu esperava e buscou a fonte dessa diferença, que não está em aproximações de contas, mas sim na aproximação da posição longitudinal da carga. Ao aproximar o LCGcarga de 139.51 m para 140 m da proa do navio, provocouse o desequilíbrio do navio, resultando em um gráfico de Momento Fletor não equilibrado.
∆Momento = Peso C arg a * LCGc arg a = 2700 ton * 0.49 m = 1333 ton * m Aqueles que fizeram a prova pelo método das áreas, obtiveram uma diferença da ordem de -2000 ton*m, sendo que 666 ton * m se deviam a aproximação da parábola do trecho A-B da Força Cortante por dois tramos de reta, e, portanto teriam uma dificuldade maior em entender este comentário. Um engenheiro prudente deveria somar 1333 ton * m aos valores de Momento Fletor em posições posteriores a posição da carga.
Um comentário importante: Existem 2 condições de equilibrio que devem ser atendidas em um navio equilibrado. Ao errar a quantidade de lastro nos tanques, o navio passa a não atender a condição de equilibrio vertical (Peso Total = Flutuação) e portanto o diagrama de Força Cortante não apresenta valor nulo dos extremos. Mas ao errar a posição longitudinal da carga, o navio passa a não atender a segunda condição de equilibrio (LCG = LCB) e, embora o diagrama de Força Cortante apresente valor nulo nos extremos, o diagrama de Momento Fletor estará desequilibrado e não apresentará valores nulos nos extremos.
PARTE B – Distribuição das Tensões Principais na secção da barcaça. Secção da Barcaça (dimensões em metros) 5
10
5
4
4
5
5
5
5
Espessuras:
•
Conveses Superiores, Costados Superiores e Convés Médio: t = 21 mm
•
Costados Inferiores e Fundo do Navio: t = 40 mm
Material:
•
Conveses Superiores, Costados Superiores e Sicordas: Alumínio
•
Costados Inferiores, Convés Médio, Fundo do Navio e Quilhas: Aço
g) Determinando a secção equivalente em aço:
Para obter a secção equivalente, deve-se multiplicar a espessura das chapas pelo quociente do módulo de elasticidade do material da chapa pelo módulo de elasticidade do aço. Para secções compostas de aço e alumínio, deve-se dividir a espessura das chapas de alumínio por 3. 5
10
5
4
4
5
5
5
5
Espessuras:
•
Conveses Superiores, Costados Superiores: t = 7 mm
•
Convés Médio: t = 21 mm
•
Costados Inferiores e Fundo do Navio: t = 40 mm
•
Área da quilha, e das 2 quilhas laterais: 0.024 m2 , cada.
•
Área das 2 sicordas: 0.008 m2, cada.
h) Determinando a posição da linha neutra da secção transformada: YLN =
∑ (A *Y i
i , quilha
)
Area Secção
Convés Superior: A1*Y1,quilha = 2 * (5 * 0.007) * 8 = 0.56 m3 A1 = 2 * (5 * 0.007) = 0.07 m2
Sicordas: A2*Y2,quilha = 2 * (0.008)* 8 = 0.128 m3 A2 = 2 * (0.008) = 0.016 m2
Convés Médio: A3*Y3,quilha = (20 * 0.021) * 4 = 1.68 m3 A3 = (20 * 0.021) = 0.42 m2
Costados Superiores: A4*Y4,quilha = 2 * (4 * 0.007) * 6 = 0.336 m3 A4 = 2 * (4 * 0.007) = 0.056 m2
Costados Inferiores: A5*Y5,quilha = 2 * (4 * 0.040) * 2 = 0.64 m3 A5 = 2 * (4 * 0.040) = 0.32 m2
Convés Inferior e Quilhas: A6*Y6,quilha = (20 * 0.040) * 0 + 3 * (0.024) * 0 = 0.0 m3 A6 = (20 * 0.040) + 3 * 0.024 = 0.872 m2
Atenção: Momento de Área Desprezível, mas a Área precisa ser considerada.
YLN =
∑ ( A *Y i
i , quilha
Area Secção
)
=
0.56 + 0.128 + 1.68 + 0.336 + 0.64 + 0 3.344 = = 1.91 m 0.07 + 0.016 + 0.42 + 0.056 + 0.32 + 0.872 1.754
6.09 LN 1.91
i) Determinando o Momento de Inércia da Secção em Relação à Linha Neutra: I LN = ∑ ( I i , p + I i ,transf )
Convés Superior: I1,p = 2 * 5 * 0.0073 / 12 ≈ 0 m4 I1,transf = 2 * 5 * 0.007 * (8 - 1.91)2 = 2.60 m4
Sicordas: I2,p = 2 * 0.05 * 0.053 / 12 ≈ 0 m4 I2,transf = 2 * 0.008 * (8 - 1.91)2 = 0.59 m4
Convés Médio: I3,p = 20 * 0.0213 / 12 ≈ 0 m4 I3,transf = 20 * 0.021 * (4 - 1.91)2 = 1.84 m4
Costados Superiores: I4,p = 2 * 0.007 * 43 / 12 = 0.075 m4 I4,transf = 2 * 0.007 * 8 * (6 - 1.91)2 = 0.94 m4
Costados Inferiores: I5,p = 2 * 0.040 * 43 / 12 = 0.43 m4 I5,transf = 0.040 * 4 * (2 - 1.91)2 = 0.003 m4
Convés Inferior: I6,p = 20 * 0.0403 / 12 ≈ 0 m4 I6,transf = 20 * 0.040 * (0 - 1.91)2 = 2.91 m4
Quilha e Quilhas Laterais: I7,p = 3 * 0.15 * 0.153 / 12 ≈ 0 m4 I7,transf = 3 * 0.024 * (0 - 1.91)2 = 0.26 m4
I LN = ∑ ( I i , p + I i ,transf ) I LN = 0 + 2.60 + 0 + 0.59 + 0 + 1.84 + 0.08 + 0.94 + 0.43 + 0.00 + 0 + 2.91 + 0 + 0.26 = 9.65 m 4 j) Determinando a distribuição da Tensão Normal, na secção transformada:
σ xx =
Momemnto Fletormax * (Yquila − YLN ) I LN
A
1.91
B
σ xxA =
σ xxB =
σ Axx
6.09 LN
51394 ton * m * 6.09 m 9.65 m
4
51394 ton * m * 1.91 m 9.65 m
4
σ Bxx
= 32466 ton / m 2 = 324660 kPa = 324.7 MPa (tração)
= 10158 ton / m 2 = 101580 kPa = 101.6 MPa (compressão)
k) Determinando a distribuição da Tensão Normal, na secção original:
σ xx ,real =
E material Momemnto Fletormax * (Yquila − YLN ) * E aço I LN
A C
σ Axx
6.09 LN
D B
1.91
Mudança de Material
σ Bxx
1 51394 ton * m * 6.09 m = 10822 ton / m 2 = 108220 kPa = 108.2 MPa (tração) 3 9.65 m 4
σ xxA , real = *
1 51394 ton * m * 4.0 m = 3718 ton / m 2 = 37180 kPa = 37.2 MPa (tração) 3 9.65 m 4
σ xxC , real = *
1 51394 ton * m * 4.0 m = 11154 ton / m 2 = 111540 kPa = 111.5 MPa (tração) 4 1 9.65 m
σ xxD , real = *
1 51394 ton * m * 1.91 m = 10158 ton / m 2 = 101580 kPa = 102 MPa (compressão) 4 1 9.65 m
σ xxB , real = *
l) Determine o momento estático de área da secção equivalente em relação à linha neutra: LN Inf Μ s Secção = ∑ ( Ai * y i ) = Ms1Sup / 2 sec ção − Ms1 / 2
sec ção
= Ms G − Ms G = 0
É a própria definição de Linha Neutra. Momento de Área tem sinal!!! Demonstração rigorosa, encontrada em uma das provas. LN Μ sSecção = ∑ ( Ai * ( yi , quilha − yLN )) = ∑ ( Ai * yi , quilha ) − ∑ ( Ai * yLN ) = ∑ ( Ai * yi , quilha ) − yLN ∑ ( Ai )
LN quilha quilha Μ sSecção = ∑ ( Ai * yi , quilha ) − yLN * Asec ção = Μ sSecção − Μ sSecção =0
Essa demonstração não era necessária, mas foi muito bem vista.
m) Determinando o Momento Estático ao longo da secção transformada: A
B
C G
LN
H
Μ s = ∫ y LN da = Area * Braço A
t = l arg ura do corte
A 6.09
MsA = (0*0.007)*(8-1.91) = 0 m3
t A = 7 mm
LN 1.91
B 6.09
MsB = 0.262 m3
LN 1.91
C
MsB = ((5*0.007)+0.008)*(8-1.91)
6.09
t B = 7 mm
MsC = (0*0.021)*(4-1.91) = 0 m3
t C = 21 mm
LN 1.91
D
6.09
MsD = (10*0.021)*(4-1.91) = 0.440 m3
t D = 21 mm
LN 1.91
MsE = MsB+(4*0.007)*(6-1.91)
E 6.09
LN 1.91
F
6.09
MsE = 0.377 m3
t E = 7 mm
MsF = MsE + MsD = 0.816 m3
t F = 40 mm
LN 1.91
G
6.09
MsG = MsF+(4-1.91)*0.040*(4-1.91)/2 Ms G = 0.904 m3
LN 1.91
6.09
t G = 40 mm
MsH = (0*0.040)*(0-1.91) = 0 m3
t H = 40 mm
LN 1.91
H
6.09
MsI = ((10*0.040)+0.036)*(0-1.91) MsI = 0.831 m3
LN 1.91
t I = 40 mm
I
Importante: Observe que foi considerada apenas ½ área da quilha. Pois esta está sobre a linha de simetria. Se considerarmos a área total, estamos analisando um navio com 4 quilhas ao invés de 3.
MsG = MsI + (1.91*0.040) * 1.91/2
G 6.09
MsG = 0.904 m3
LN
t G = 40 mm
1.91
Verificação: o MsG calculado por cima da linha neutra é igual ao MsG calcula por baixo da linha neutra logo os cálculos de momento de área estão corretos. n) Determinando a Tensão Cisalhamento nos pontos chaves da secção transformada:
A
C
B
D
E F G
H
τ xy =
τ xyA =
τ
B xy
I
Força Cor tan te Máxima * Ms ponto I sec çao , LN * l arg ura de corte ponto Qmax Ms A 1140 0 * A = * = 0 ton / m 2 = 0 MPa 9.65 0.007 I ln t
Qmax Ms B 1140 0.262 * B = * = = 19403 ton / m 2 = 194 MPa 9.65 0.007 I ln t
τ xyC =
Qmax Ms C 1140 0 * C = * = 0 ton / m 2 = 0 MPa 9.65 0.021 I ln t
LN
τ xyD =
Qmax Ms D 1140 0.440 * D = * = 10852 ton / m 2 = 109 MPa 9.65 0.021 I ln t
τ xyE =
Qmax Ms E 1140 0.377 * E = * = 27890 ton / m 2 = 279 MPa I ln t 9.65 0.007
τ xyF =
Qmax Ms F 1140 0.816 * F = * = 10578 ton / m 2 = 106 MPa 9.65 0.040 I ln t
τ xyG =
Qmax Ms G 1140 0.904 * G = * = 11714 ton / m 2 = 117 MPa I ln t 9.65 0.040
τ xyH =
Qmax Ms H 1140 0 * H = * = 0 ton / m 2 = 0 MPa I ln t 9.65 0.040
τ xyI =
Qmax Ms I 1140 0.831 * I = * = 10772 ton / m 2 = 108 MPa I ln t 9.65 0.040
A
C
B
D
E F G
H
Mudança de Espessura
LN
I
Observa-se que neste caso o cisalhamento máximo não está sobre a linha neutra, este fato decorre da mudança de material existente ao longo da secção. No trecho da secção feito de aço, o maior valor encontra-se na linha neutra. Já no trecho da secção feito de aluminio o maior valor de cisalhamento encontra-se no ponto mais próximo a linha neutra.
m) Determinando a Tensão Cisalhamento nos pontos chaves da secção original:
A
B
D
C
E F G I
H
τ xy =
LN
Força Cor tan te Máxima * Ms ponto ponto I sec çao , LN * l arg ura de cortereal
τ
A real , xy
τ xy Q Ms A 1140 0 * = max * A = = = 0 ton / m 2 = 0 MPa 9.65 0.007 I ln 3 t real
τ
B real , xy
Q Ms B 1140 0.262 τ xy * = max * B = = = 6468 ton / m 2 = 65 MPa 9.65 0.007 3 I ln t real
A
B
C τ real , xy =
Qmax Ms C 1140 0 * C = * = 0 ton / m 2 = 0 MPa 9.65 0.021 I ln t real
D τ real , xy =
Qmax Ms D 1140 0.440 * D = * = 10852 ton / m 2 = 109 MPa I ln 9.65 0.021 t real
E τ real , xy =
Qmax Ms E 1140 0.377 τ xy * E = * = = 9297 ton / m 2 = 93 MPa I ln 9.65 0.007 3 t real
F τ real , xy =
Qmax Ms F 1140 0.816 * F = * = 10578 ton / m 2 = 106 MPa I ln 9.65 0.040 t real
G τ real , xy =
Qmax Ms G 1140 0.904 * G = * = 11714 ton / m 2 = 117 MPa I ln 9.65 0.040 t real
E
H τ real , xy =
Qmax Ms H 1140 0 * H = * = 0 ton / m 2 = 0 MPa I ln 9.65 0.040 t real
I τ real , xy =
Qmax Ms I 1140 0.831 * I = * = 10772 ton / m 2 = 108 MPa I ln 9 . 65 0 . 040 t real
A
C
B
D
E F G
H
LN
I
Observa-se que, corrigida a distribuição do cisalhamento da secção equivalente para a secção real, neste caso o cisalhamento máximo está sobre a linha neutra, como era o esperado.
Espero que tenham gostado da prova... PARABÉNS a todos os alunos que a fizeram, pois todos sem exceção fizeram boas provas, e a maior parte dos erros se deve a distrações, cansasso e erros naturais de conta.
Thiago Pontin Maio de 2004
