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1. O Projeto O presente trabalho consiste no projeto de um portão elétrico deslizante. Para isso, deve-se transferir o torque de um motor elétrico de 4 pólos para uma árvore através de uma transmissão por correia. Da árvore, o torque é transmitido a um par de engrenagens de corrente. O carrinho do portão, que anda sobre um trilho, é preso a esta corrente por uma haste, assim, com a rotação do motor, a árvore põe-se em movimento, provocando a translação do carrinho e, conseqüentemente, o portão abre-se ou fecha-se dependendo do sentido de rotação do motor. As figuras 1a e 1b mostram esquematicamente o mecanismo em questão.
Figura 1a: Mecanismo do portão elétrico (motor, transmissão por correia e transmissão por corrente).
Figura 1b: Detalhe da transmissão por corrente e do acoplamento entre corrente e carrinho.
Os dados de projeto são: Motor: elétrico de 4 pólos; 1
Distância entre centros da transmissão por correia: 1200mm; Relação de transmissão para a correia: 3,7; Relação de transmissão para a corrente: 1,0; Diâmetros primitivos das engrenagens de corrente: 220mm; Comprimento do portão: 12m; Peso do portão: 1000kgf; Velocidade de abertura e fechamento do portão: 6,0m/min. Deve-se executar: Todos os cálculos de projeto necessários; Desenho de conjunto da árvore com a polia e a engrenagem de corrente; Desenho de conjunto do eixo do motor com sua polia. 2. Memorial de Cálculo 2.1. Cálculo da Força Necessária para Mover o Portão
⎛ µ ⋅d + 2⋅k ⎞ W = β ⋅ (Q + G0 ) ⋅ ⎜ ⎟ D ⎝ ⎠ onde: W : força de atrito (N) β : coeficiente que leva em consideração o estado do trilho (adm) Q : peso do portão (N) G0 : peso dos carrinhos (N) µ : coeficiente de atrito nos mancais das rodas (adm) d : diâmetro dos mancais das rodas (m) k : coeficiente de atrito de rolamento (m) D : diâmetro da roda de translação (m) Admite-se: β = 1,4 e µ = 0,1 (mancal de deslizamento); k = 5 ⋅ 10 −4 m Dados: Q = 1000kgf = 9800 N ; G0 = 10kgf = 98 N (peso dos dois d = 2cm = 0,02m ; D = 10cm = 0,1m
carrinhos
somados);
W = 415,7 N
É importante ressaltar que o número de carrinhos utilizados para apoiar o portão não influencia o valor da força necessária para arrastá-lo. O importante é que seja computado o peso total dos carrinhos em G0 . 2.2. Dimensionamento da Transmissão por Corrente
Dados: i = 1,0 e d1 = d 2 = 220mm Tensão na corrente: T1 = W Î T1 = 415,7 N Frup
Î Frup = 6 ⋅ T1 Î Frup = 254,5kgf 6 Utilizar-se-á uma corrente simples (série européia) DIN 8187 do fabricante Rex cujo modelo é 05B1. Seus parâmetros mais importantes são: t = 3 " = 9,53mm ; Frup = 1000kgf ; G = 0,40kg / m . 8
Escolha da corrente: Fadm =
2
Dentes: d =
t 180º ÎZ = Î Z 1 = Z 2 = 72,5 Î Z1 = Z 2 = 73dentes ⎛ 180º ⎞ ⎛t⎞ sen⎜ arcsen⎜ ⎟ ⎟ ⎝ Z ⎠ ⎝d ⎠
Diâmetros primitivos: d =
t Î d1 = d 2 = 221,5mm ⎛ 180º ⎞ sen⎜ ⎟ ⎝ Z ⎠
Velocidade linear: v = 6m / min = 0,1m / s Velocidade angular: ω1 = ω 2 =
2⋅v Î ω1 = ω 2 = 0,903rad / s d
Momento na engrenagem motora: M 1 = T1 ⋅
d1 Î M 1 = 46,0 N .m 2
Adota-se uma distância entre centros A = 12470mm > 12m 2 ⋅ A (Z 1 + Z 2 ) ⎛ Z 2 − Z 1 ⎞ t + +⎜ Número de elos: N e = ⎟ ⋅ Î N e = 2690elos (número par de elos, 2 t ⎝ 2 ⋅π ⎠ A portanto não é necessário usar grampos) 2
Comprimento da corrente: L = N e ⋅ t Î L = 25636 mm = 25,64 m Potência na corrente: N corrente = M 1 ⋅ ω1 Î N corrente = 41,5W Admitindo o rendimento da corrente η corrente = 0,98 Potência no eixo: N eixo =
N corrente
η corrente
Î N eixo = 42,4W
2.3. Dimensionamento da Transmissão por Correia
Dados: i = 3,7 ; A = 1200mm ; ω 2 = 0,903rad / s e N 2 = 42,4W Velocidade angular na polia motora: i =
Momento na polia movida: M 2 =
Momento na polia motora: i ≅
N2
ω2
ω1 Î ω1 = i ⋅ ω 2 Î ω1 = 3,34rad / s ω2
Î M 2 = 46,95 N .m
M M2 Î M 1 ≅ 2 Î M 1 = 12,69 N .m M1 i
Escolha da correia:
3
Potência projetada: N = M 1 ⋅ ω1 = M 2 ⋅ ω 2 Î N = 42,39W = 0,057 HP 60 ⋅ ω1 Î n1 = 31,9rpm Rotação do eixo mais rápido: n1 = 2 ⋅π Entrando-se com estes dados num gráfico de seleção de correias, pode-se afirmar que uma única correia tipo A é suficiente. Escolhe-se o diâmetro primitivo d1 = 100mm da polia motora. Diâmetro primitivo da polia movida: i =
π
d2 Î d 2 = i ⋅ d1 Î d 2 = 370mm d1
⋅ (d 2 + d1 ) +
(d 2 − d1 )2
Î L = 3153,5mm 2 4⋅ A A correia mais próxima é a A-120 da Gates, com L = 3080mm .
Comprimento da correia: L = 2 ⋅ A +
d12 (i − 1) Î d1 = 90,4mm Recalcula-se os diâmetros: L = 2 ⋅ A + ⋅ d1 ⋅ (i + 1) + 4⋅ A 2 d 2 = i ⋅ d1 Î d 2 = 334,6mm
π
Ângulos
de
2
⎛ d − d1 ⎞ ⎛ 180º −α 1 ⎞ d 2 − d1 Î α 1 = 180º −2 ⋅ arcsen⎜ 2 sen⎜ ⎟Î ⎟= 2 2⋅ A ⎝ 2⋅ A ⎠ ⎝ ⎠
abraçamento:
α 1 = 168,3º α 2 = 360º −α 1 Î α 2 = 191,7º Com β = 38º (ângulo de cunha) e µ = 0,25 (coeficiente de atrito entre a correia e a polia), verificase o escorregamento: M 1 = (T1 − T2 ) ⋅
Lei de Euler:
d1 2 ⋅ M1 Î T2 = T1 − 2 d1
µ ⋅α T1 ≤ e sen ( β / 2 ) , mas pode-se ajustar T1 até T1 = Tadm . Assim: T2
µ ⋅α Tadm ≤ e sen ( β / 2 ) 2 ⋅ M1 Tadm − d1
O valor numérico de Tadm para a correia escolhida não é fornecido no catálogo do fabricante, portanto não foi possível verificar o escorregamento. No entanto, acredita-se que não haverá este tipo de problema, já que a potência transmitida é relativamente pequena. Admite-se o rendimento de correia de η correia = 0,96 Potência do motor: N motor =
N
η correia
Î N motor = 44,16W
O motor trifásico de 4 pólos escolhido para mover o sistema é o 112M da linha F da Weg, com potência nominal de 2,6kW >> N motor e rendimento de 77%. Assim:
4
N eletr =
N motor
η motor
Î N eletr = 57,35W (potência consumida pelo motor)
Freqüência elétrica do motor: n1 = motor. f = 1,06 Hz
n ⋅P 60 ⋅ f Î f = 1 , onde P é o número de pares de pólos do P 60
Para fornecer a rotação desejada, deverá ser usado um inversor de freqüência, mais conhecido como “inverter”, para transformar a freqüência da rede (60Hz) na freqüência calculada (1,06Hz). 2.4. Verificação da Vida dos Rolamentos
Segundo o catálogo de rolamentos da NSK, a força no eixo devido à transmissão por corrente pode ser calculada por: Pcorrente =
2 ⋅ M eixo Î Pcorrente = 415,3 N d eng ,corr
De acordo com o mesmo catálogo, a força no eixo devido à transmissão por correia pode ser calculada da mesma maneira utilizando-se um fator de correção de 2,5, fator este que leva em consideração a pré-tensão na correia. ⎛ 2 ⋅ M eixo Pcorreia = 2,5 ⋅ ⎜ ⎜ d ⎝ polia
⎞ ⎟ Î Pcorreia = 701,6 N ⎟ ⎠
Assim, o eixo está sujeito às forças e reações dos mancais indicadas na figura 2.
Figura 2: Esforços solicitantes no eixo (RA e RB são as reações dos mancais de rolamento).
Fazendo o equilíbrio de forças em y: ΣFy = 0 Î R A + R B + 701,6 − 415,3 = 0 Î R A + R B = −286,3
5
Fazendo o equilíbrio de momentos em z no ponto A: ΣM z , A = 0 Î − 701,6 ⋅ 0,138 + R B ⋅ 0,184 − 415,3 ⋅ 0,317 = 0 Î RB = 1241,7 N
R A = −1528,0 N Usar-se-á um par de rolamentos rígidos de uma carreira de esferas, mais especificamente o modelo 6206 da SKF. Os parâmetros mais importantes desse rolamento são: C = 20,3kN ; C 0 = 11,2kN ; d = 30mm ; D = 62mm ; B = 16mm e m = 0,2kg ).
⎛C⎞ Verificação da vida do rolamento: L = ⎜ ⎟ ⎝P⎠ F Se axial < e Î P = Fradial Fradial F Se axial > e Î P = X ⋅ Fradial + Y ⋅ Faxial Fradial onde e , X e Y são dados pelo fabricante.
3
⎛ C Como não há carregamento axial: P = Fradial Î L = ⎜⎜ ⎝ Fradial Para o rolamento A: L A = 2344,9 milhões de rotações Para o rolamento B: LB = 4369,6 milhões de rotações
⎞ ⎟⎟ ⎠
3
Assim, L = L A = 2344,9 milhões de rotações, o que equivale a mais de 135 milhões de operações de abertura ou fechamento do portão. Com isso, pode-se afirmar que os rolamentos terão vida infinita nesta aplicação. 2.4. Verificação da Vida em Fadiga do Eixo
O eixo que se pretende construir, já com suas dimensões características, está esboçado na figura a seguir. A figura 3 mostra, também, os esforços aos os quais o eixo está submetido.
Figura 3: Dimensões do eixo e seus esforços solicitantes
6
O diagrama de esforços solicitantes do eixo em questão é exibido na figura 4. É importante ressaltar que os momentos fletores que atuam sobre o eixo são alternados, já que o eixo encontra-se em rotação e as forças estão paradas em relação a um referencial inercial.
Figura 4: Diagrama de momento fletor do eixo.
Analisando a geometria do eixo e seu diagrama de momento fletor, pode-se concluir que a seção mais crítica para uma falha em fadiga é a seção imediatamente à esquerda do mancal A (onde existe um rebaixo e o momento fletor é máximo e igual a 91,21 N.m). É importante ressaltar, também, que existe um momento torçor constante de módulo igual 46,95 N.m em no trecho entre a polia e a engrenagem de corrente, já que o eixo transmite o torque da transmissão por correia à transmissão por corrente. Lei de Goodman:
σ eq ,m σa 1 , onde + = σ e,corr S ut η fad σa 1 ⎛ 32 ⎞ =⎜ ⋅ 3 ⎟ 2 σ e,corr ⎝ π ⋅ d ⎠ σ e,corr σ eq ,m S ut
2 ⎡⎛ ⎤ Faa ⋅ d ⎞ 3 2 ⋅ ⎢⎜ k fF ⋅ M Fa + k fFa ⋅ ⎟ + ⋅ (k fT ⋅ Ta ) ⎥ 8 ⎠ 4 ⎢⎣⎝ ⎥⎦
2 ⎤ Fam ⋅ d ⎞ 1 ⎡⎛ 3 ⎛ 32 ⎞ 2 ( ) =⎜ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ k M k k T ⎜ ⎟ ⎟ ⎢ ⎥ fF Fm fFa fT m 3 2 8 ⎠ 4 ⎝ π ⋅ d ⎠ S ut ⎣⎢⎝ ⎦⎥
Para o eixo em questão, onde só há momento fletor alternado e momento torçor médio, a Lei de Goodman fica:
7
1
η fad
=
32 π ⋅d3
⎛ k fF ⋅ M fa 3 ⋅ k fT ⋅ Tm ⋅⎜ + ⎜ σ e ,corr 2 ⋅ S ut ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
O material escolhido para o eixo é o aço ABNT 1040, que possui S ut = 590MPa .
σ e,corr = k a ⋅ k b ⋅ k r ⋅ S e S e = 0,504 ⋅ S ut Î S e = 297,4MPa k a : fator de condição superficial Para um eixo usinado: k a = 4,51 ⋅ S ut
−0 , 265
Î k a = 0,922
k b : fator de tamanho ⎛ d ⎞ Para 2,79 ≤ d ≤ 51mm : k b = ⎜ ⎟ ⎝ 7,62 ⎠
−0 ,1133
Î k b = 0,863
k r : fator de confiabilidade Para uma confiabilidade de 90%: k r = 0,897
σ e,corr = 212,23MPa (válida não só nesta secção como também em toda a extensão do eixo) k fF : fator de concentração em fadiga para momento fletor
k fF = 1 + q ⋅ (k tM − 1)
q : sensibilidade ao entalhe (obtido graficamente a partir de S ut e r , raios de arredondamento dos rebaixos do eixo). Considerando r = 0,5mm , obtém-se q = 0,66 k t M : fator de concentração de tensão para momento fletor (obtido graficamente a partir de D 30 r 0,5 = = 1,071 e = = 0,0179 ). Obtém-se k tM = 2,25 d 28 d 28 k fF = 1 + q ⋅ (k tM − 1) Î k fF = 1,825 k fF : fator de concentração em fadiga para momento torçor k fT = 1 + q ⋅ (k tT − 1)
q : sensibilidade ao entalhe: q = 0,66 k t T : fator de concentração de tensão para momento torçor (também obtido graficamente a partir de D r = 1,071 e = 0,0179 ). Obtém-se k tT = 1,6 d d k fT = 1 + q ⋅ (k tT − 1) Î k fT = 1,396 8
Agora já se pode calcular η fad :
1
η fad
=
32 π ⋅d3
⎛ k fF ⋅ M fa 3 ⋅ k fT ⋅ Tm ⋅⎜ + ⎜ σ e ,corr 2 ⋅ S ut ⎝
⎞ ⎟ Îη = 2,45 fad ⎟ ⎠
Como η fad = 2,45 > 1 , o eixo tem vida infinita nesta aplicação. Por precaução, a mesma verificação deve ser feita para a secção transversal onde a chaveta da polia encontra-se posicionada. Apesar de o momento fletor ter um módulo pequeno(10,65 N.m), as concentrações de tensões são grandes devido a profundidade do rasgo no eixo. Não se pode esquecer, também, que além deste momento fletor alternado, o eixo está sujeito a um momento torçor médio de 46,95 N.m. k fF : fator de concentração em fadiga para momento fletor
k fF = 1 + q ⋅ (k tM − 1)
q : sensibilidade ao entalhe (obtido graficamente a partir de S ut e r , raio de arredondamento do rasgo de chaveta). Considerando r = 3,175mm , obtém-se q = 0,83 k t M : fator de concentração de tensão para momento fletor (obtido graficamente a partir de 26 3,175 D r = = 1,14 e = = 0,139 ). Obtém-se k tM = 1,5 d 22,825 d 22,825 k fF = 1 + q ⋅ (k tM − 1) Î k fF = 1,415 k fF : fator de concentração em fadiga para momento torçor k fT = 1 + q ⋅ (k tT − 1)
q : sensibilidade ao entalhe: q = 0,83 k t T : fator de concentração de tensão para momento torçor (também obtido graficamente a partir de D r = 1,14 e = 0,139 ). Obtém-se k tT = 1,2 d d k fT = 1 + q ⋅ (k tT − 1) Î k fT = 1,166
Agora já se pode calcular η fad :
1
η fad
=
32 π ⋅d3
⎛ k fF ⋅ M fa 3 ⋅ k fT ⋅ Tm ⋅⎜ + ⎜ σ e ,corr 2 ⋅ S ut ⎝
⎞ ⎟ Îη = 7,71 fad ⎟ ⎠
Como η fad = 7,71 > 1 , esta secção é ainda menos crítica que aquela analisada anteriormente e o eixo realmente tem vida infinita nesta aplicação.
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2.5. Dimensionamento das Chavetas do Eixo
O diâmetro da secção do eixo onde as chavetas serão fixadas é d = 26mm = 1,02in . Para d = 15 " a d = 1 3 " , pode-se utilizar uma chaveta quadrada com L = 1 " = 6,35mm (largura da 16 8 4 chaveta) e P = 1 " = 3,175mm (profundidade do rasgo da chaveta). 8 O material escolhido para as chavetas é o aço ABNT 1010 ( σ esc = 180MPa e σ rup = 320MPa ). Calcula-se, então, o comprimento mínimo da chaveta: M eixo =
Fchav
N eixo
ω eixo = 3612 N
e,
também,
M eixo = Fchav ⋅
Da Resistência dos Materiais: τ adm =
Fchav = τ adm ⋅ L ⋅ C Î C =
τ esc 2
=
d 2
Î
σ esc 2⋅ 3
N eixo
ω eixo
= Fchav ⋅
d 2
Î Fchav =
2 ⋅ N eixo d ⋅ ω eixo
Î
Î τ adm = 52MPa
Fchav Î C = 0,011m = 11mm τ adm ⋅ L
Utilizar-se-á chavetas com C = 20mm
3. Bibliografia Consultada
NORTON, R. L.; Projeto de Máquinas – Uma Abordagem Integrada. Editora Bookman. 2ª edição. São Paulo, 2004. MANFÉ, G.; POZZA, R.; SCARATO, G.; Desenho Técnico Mecânico – Volume 2. Editora Hemus. MANFÉ, G.; POZZA, R.; SCARATO, G.; Desenho Técnico Mecânico – Volume 3. Editora Hemus. RUDENKO, N.; Máquinas de Elevação e Transporte. Editora LTC. Rio de Janeiro, 1976. 425p. Notas de aula da disciplina PME 2421 – Elementos de Máquinas II, ministrada pelo Prof. Dr. Marcelo Alves em 2006. Notas de aula da disciplina PMR 2371 – Elementos de Máquinas I, ministrada pelo Prof. Dr. Gilberto Souza em 2004. Catálogo online de rolamentos SKF. Disponível em: www.skf.com.br. Acesso em: 14/05/2006. Catálogo online de rolamentos NSK. Disponível em: www.nsk.com.br. Acesso em: 14/05/2006. Catálogo online de anéis elásticos Tecnofix. Disponível em: www.tecnofix.com.br. Acesso em: 14/05/2006. Catálogo de engrenagens para correntes de transmissão da IBAF. Catálogo de correias de transmissão da Gates. Catálogo de correntes de transmissão da Rex. Catálogo de motores trifásicos da linha F da Weg.
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