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2.003 Primavera 2002
Conjunto de Problemas 1 - Soluções
Problema 1 - Palm 1.6
(**Tradução da palavra na figura acima e no cálculo abaixo em a): friction = atrito)
a) Sempre comece um balanço de forças com um diagrama de corpo livre. Se assumirmos que v >0, a fricção seca atuará em oposição a f 1 (como mostra a figura).
Para achar a velocidade, precisamos integrar dv/dt em relação ao tempo
ii) f 1 = 5N
A aceleração agora é negativa, o que significa que a velocidade da massa diminui. Para descobrir se a massa chega a parar ou se de fato inverte sua direção de movimento e começa a ir morro abaixo a partir de algum ponto, podemos considerar um novo diagrama de corpo livre, onde a força de fricção, f friction, age no sentido ascendente:
Assim, se a massa tivesse uma velocidade na direção morro abaixo (x negativo), a aceleração agiria para diminuí-la (uma vez que a aceleração é positiva). A massa não reverterá sua direção, portanto, chegará a parar.
Problema 2 - Palm 2.5 Para simplificar o problema, seja f = (T - mg) Deste modo, a equação de movimento para este sistema torna-se;
A equação de movimento é uma equação diferencial ordinária (EDO) de primeira ordem. A solução geral para uma EDO de primeira ordem da forma
é a seguinte:
onde
Adequando nosso sistema à solução geral, quando h(0) = v(0) = 0, obtemos o seguinte:
A altura do projétil, h(t), é justamente a integral no tempo da velocidade.
Alternativamente podemos resolver este problema usando transformadas de Laplace. Para o método da transformada de Laplace precisamos rescrever a equação do movimento para considerar entrada degrau unitário (u(t)):
Tomando a transformada de Laplace deste sistema:
Desenvolvendo a fração parcial, teremos:
Tomando a transformação de Laplace inversa para achar v(t):
Desta maneira, para
Problema 3 - Palm 2.6
Mais uma vez é uma EDO de primeira ordem. Usando a solução geral para uma ODE de primeira ordem, obtemos o seguinte:
Alternativamente, podemos resolver o problema usando a transformada de Laplace.
Visto que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
Queremos achar o tempo no qual x = 2500, assim
Esta equação pode ser resolvida ou graficamente ou por iteração newtoniana. De maneira mais simples podemos tirar vantagem do fato de que uma exponencial decai até 2% do seu valor depois de 4τ. Neste caso τ = 0.25, o que significa que o termo exponencial é praticamente irrelevante acima de 1 segundo. Deste modo t = 22:47.
Problemas 4-5 Palm 2.9 Eu combinei as soluções dos problemas 4 a 5. No problema 4 você é solicitado apenas a determinar as respostas de regime (v ss ) e o tempo para 98% de vss . Problema 5 lhe solicita a determinar a resposta de tempo do sistema e a fazer o diagrama dela usando MATLAB. Apenas um scriptexemplo para a elaboração do gráfico é apresentado. a)
Visto que v(0) = 0, sabemos que a resposta deste sistema consiste somente na resposta forçada. Usando a Tabela 2.2-1 no livro texto, encontramos que para sistemas de primeira ordem, na forma mdv/dt + cv = f:
(**Tradução de "time constant" na expressão acima = constante de tempo)
para nosso sistema m = 2, c = 1, e f = 10. Então:
Uma maneira de fazer o gráfico desta resposta mediante o uso do MATLAB é a seguinte: clear all; close all; %limpa a area de trabalho de variaveis antigas e graficos. m=2; c=1; f=10; %Cria variaveis m, c, e f com valores dados tau=m/c; %Cria e calcula a variavel tau. t=[0:0.01:10]; %Cria um vetor de 1-10 s com 1000 pontos. %Simulei um pouco alem de 98% tempo de 8 segundos para deixar completo v=(f/c)*(1-exp(-t/tau)); %Calcula um vetor v. plot(t,v) %Cria um gráfico com t no eixo x e v no eixo y xlabel(’Tempo(s)’); ylabel(’v’); title(’Tempo versus v’); %Cria titulo e designacoes dos eixos x e y. b) Para esta parte a equação do movimento e a função forçante são idênticas. A única diferença é que nós temos agora temos uma condição inicial v(0) = 5. Resolvemos este problema com o conceito de superposição. Isto é, nós podemos juntar a solução da resposta forçada com a solução de uma resposta livre (a resposta de um sistema a condições iniciais, mas sem função forçante), para obter a resposta total. Na Tabela 2.2-1 encontramos que a resposta livre é a seguinte:
Combinando a resposta livre com a resposta forçada, resulta em:
Figura 1: Resposta para 2.9-a (**Tradução das legendas nas figuras 1, 2 e 3: time vs v = tempo versus v Time (s) = Tempo (s) )
Visto que τ é igual para a resposta livre e para a forçada, e v ss = 0 para o sistema livre: t98% = 4 * 2 = 8s v ss = 10 c) Esta é idêntica à parte a) exceto f(t) = 20u(t). Por conseguinte: t98% = 4 * 2 = 8s v ss = 200
Figura 2: Resposta para 2.9-b
Figura 3: Resposta para 2.9-c
Problema 6 - Palm 1.15
b)
Problema 7 - Palm 1.16
Note: A função ‘atan2’ no MATLAB retorna o ângulo do 4º quadrante (correto). Marcando a posição do número no plano complexo pode-se eliminar ambigüidade sobre o ponto em coordenadas polares. O ângulo NÃO é igual a 26.6º (que está no 1º quadrante); ele está a 180º dele em 153º.
Novamente, marcar o ponto no plano complexo pode ser útil.
