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Exercícios de Revisão Primitivas Por Partes
§1 Introdução Teórica ..............................................................................................................2 §2 Exercícios Resolvidos..........................................................................................................2 §2.1 Polinómio/Exponencial ................................................................................................2 §2.2 Polinómio/(Sin ou Cos) ................................................................................................4 §2.3 (Exponencial ou Sin ou Cos)/ (Sin ou Cos) ................................................................4 §2.4 Logaritmo .....................................................................................................................6 §2.5 Trigonométricas ...........................................................................................................7 §2.6 Trigonométricas Inversas............................................................................................7 §2.7 Outras situações ...........................................................................................................8 §3 Exercícios Propostos ............................................................................................................9 §4 Soluções/Sugestões dos exercícios propostos....................................................................10
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§1 Introdução Teórica Regra da “uvelhinha”:
Puv´=uv −Pu´v ou equivalentemente: P ( fg ) = fG − P ( f ′G ) = gF − P ( g ′F ) = P ( gf ) em que G ≡ Pg
Neste texto usaremos sempre na primeira forma, os resultados são obviamente os mesmos, no entanto a primeira forma tem mostrado ser estatisticamente mais “fácil de fixar” por parte dos alunos. No entanto cada aluno deve sempre usar a forma que é explicada na sua disciplina.
§2 Exercícios Resolvidos §2.1 Polinómio/Exponencial Neste caso sabemos primitivar/derivar quer o polinómio, quer a exponencial. Devemos observar que a exponencial após se primitivar/derivar, fica na “mesma”. Ao passo que o polinómio não. Devemos escolher o polinómio como função a derivar, uma vez que “diminui um grau” por cada derivação “que sofre”. 2.1.1 Calcule uma primitiva das seguintes funções: (a) ( x + 3) e x 2 (b) (2 x 2 + 1) e 3 x (c)
x3 e x
(d)
x7 e x
4
Resolução:
(a)
P ( x − 3) ex 2
seja:
u = x+3 v′ = e
x2
;
u′ = 1 v = 2 ex 2
;
então: P ( x − 3) ex 2 = 2 ( x − 3) ex 2 − 2 P ex 2 = 2 ( x − 3) ex 2 − 4 P
(b)
P (2 x 2 + 1) e3 x
seja:
1 x2 e = 2 ( x − 3)ex 2 − 4 ex 2 2
u = 2 x2 + 1
;
u′ = 4 x
v′ = e3 x
;
v=
1 3x e 3
então: http://www.explicacoes.com/tabelas.php?login=sup117 93 852 13 50
2
P (2 x 2 + 1) e 3 x =
2 x 2 + 1 3x 4 e − P x e 3x 3 3 u= x
seja agora:
;
v′ = e3 x ;
u′ = 1 v=
1 3x e 3
então: P (2 x 2 + 1) e 3 x =
(c)
2 x 2 + 1 3x 4 ⎡ x 3x 1 3x ⎤ 2 x 2 + 1 3x 4 3x 4 3x e − ⎢ e − Pe ⎥ = e − xe + e 3 3⎣ 3 3 3 9 27 ⎦
P x3 ex
seja:
u = x3 ;
u′ = 3 x 2
v′ = e x ; v = e x
então: P x3 ex = x3 ex − 3 P x2 ex
de novo se:
u = x2 ;
u′ = 2 x
v′ = e x ; v = e x
fica:
[
]
P x3 ex = x3 ex − 3 x2 ex − 2 P x ex = x3 ex − 3 x2 ex + 6 P x ex u= x ;
e se:
u′ = 1
v′ = e x ; v = e x
[
]
obtém-se finalmente: P x 3 e x = x 3 e x − 3 x 2 e x + 6 x e x − P e x = x 3 e x − 3 x 2 e x + 6 x e x − 6 e x
(d)
4
P ( x7 ex ) =
4 1 P ( x4 4 x3 ex ) 4
seja:
u = x4
; 4
v ′ = 4 x3 ex ; 4
P ( x7 ex ) =
u′ = 4 x 3
v = ex
4
4 4 4 4 4 1 1 1 x 4 − 1 x4 P ( x 4 4 x 3 e x ) = ( x 4 e x − P 4x 3 e x ) = ( x 4 e x − e x ) = e 4 4 4 4
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§2.2 Polinómio/(Sin ou Cos) Neste caso sabemos primitivar/derivar quer o polinómio, quer o sen/cos. Devemos observar que o sen/cos após se primitivar/derivar, fica na “mesma”. Ao passo que o polinómio não. Devemos escolher o polinómio como função a derivar, uma vez que “diminui um grau” por cada derivação “que sofre”. 2.2.1 Calcule uma primitiva das seguintes funções: (a) (b)
(2 x − 1) sin 2 x x+2 cos 5x 3
Resolução:
(a)
P (2 x − 1) sin 2 x
seja:
P (2 x − 1) sin 2 x = −
(b)
P
x+2 cos5x 3
u = 2x − 1
;
u′ = 2
v′ = sin 2 x
;
1 v = − cos 2 x 2
2x − 1 2x − 1 1 cos 2 x + P cos 2 x = − cos 2 x + sin 2 x 2 2 2
seja:
u=
x+2 3
;
u′ =
1 3
;
v=
1 sin 5x 5
v′ = cos5x P
x+2 x+2 1 x+2 1 cos5x = sin 5x − P sin 5x = sin 5x + cos5x 3 15 15 15 75
§2.3 (Exponencial ou Sin ou Cos)/ (Sin ou Cos) Neste caso sabemos primitivar/derivar quer a exponencial, quer o sen/cos. Devemos observar que o sen/cos após se primitivar/derivar, fica na “mesma”. Tal como a exponecial. A escolha é arbitrária e a primitiva é “recurvisa”. No entanto a segunda escolha deve ser igual escolher o polinómio como função a derivar, uma vez que “diminui um grau” por cada derivação “que sofre”. 2.3.1 Calcule uma primitiva das seguintes funções: (a)
e 2 x sin 3x
(b)
sin 2 x cos 3x
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Resolução:
(a)
P e 2 x sin 3x
seja:
u = e2 x
;
v′ = sin 3x ; P e 2 x sin 3x = −
u′ = 2 e2 x v = −
1 cos 3x 3
1 2x 2 e cos 3x + P e 2 x cos 3x 3 3
seja:
u = e2 x
;
v ′ = cos 3x ;
u′ = 2 e2 x v =
1 sin 3x 3
P e 2 x sin 3x = −
⎤ 1 2x 2 ⎡ e2 x 2 e cos 3x + ⎢ sin 3x − P e 2 x sin 3x ⎥ 3 3⎣ 3 3 ⎦
P e 2 x sin 3x = −
1 2x 2 4 e cos 3x + e 2 x sin 3x − P e 2 x sin 3x 3 9 9
portanto: P e 2 x sin 3x +
4 1 2 P e 2 x sin 3x = − e 2 x cos 3x + e 2 x sin 3x 9 3 9
13 1 2 P e 2 x sin 3x = − e 2 x cos 3x + e 2 x sin 3x 9 3 9 P e2 x sin 3x =
(b)
2 2x 3 2 9 1 (− e2 x cos 3x + e2 x sin 3x ) = − e2 x cos 3x + e sin 3x 13 13 9 13 3
seja:
P sin 2x cos 3x
u = sin 2x v ′ = cos 3x
P sin 2x cos 3x =
=
1 sin 3x 3
;
v=
u = cos 2x
;
u′ = − 2 sin 2x
v ′ = sin 3x
;
v=−
1 2 sin 2x sin 3x − P cos 2x sin 3x 3 3
seja:
P sin 2x cos 3x =
u′ = 2 cos 2x
;
1 cos 3x 3
1 2⎡ 1 2 ⎤ sin 2x sin 3x − ⎢ − cos 2x cos 3x − sin 2x cos 3x ⎥ 3 3⎣ 3 3 ⎦ 1 2 4 sin 2x sin 3x 6 + cos 2x cos 3x + sin 2x cos 3x 3 9 9
ou seja: http://www.explicacoes.com/tabelas.php?login=sup117 93 852 13 50
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5 1 2 P sin 2x cos 3x = sin 2 x sin 3x + cos 2 x cos 3x 9 3 9 P sin 2x cos 3x =
9 1 2 ( sin 2 x sin 3x + cos 2 x cos 3x ) 5 3 9
P sin 2x cos 3x =
9 3 2 2 sin 2 x sin 3x + cos 2 x cos 3x = sin 2 x sin 3x + cos 2 x cos 3x 15 5 5 5
§2.4 Logaritmo Neste caso temos apenas “uma função” em que a função e primitivar é a unidade, i.e. v′ = 1 , pois a derivada de uma constante é nula. 2.4.1 Calcule uma primitiva das seguintes funções: (a) log x (b) log 2 x Resolução: (a)
P [ log x ]
u = log x ; u ′ =
seja:
v′ = 1
;
1 x v=x
⎡ 1⎤ P [ log x ] = x log x − P ⎢ x ⎥ = x log x − P [1] = x ( log x − 1) ⎣ x⎦ (b)
P ⎡⎣ log 2 x ⎤⎦
seja:
u = log2 x
;
u′ = 2
v′ = 1
;
v=x
1 log x x
P log 2 x = x log 2 x − 2 P log x
seja:
u = log x v′ = 1
u′ =
; ;
1 x
v=x
P log 2 x = x log 2 x − 2 [ x log x − P 1 ] = x log 2 x − 2 x log x + 2 x
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§2.5 Trigonométricas 2.5.1 Calcule uma primitiva das seguintes funções: (a)
tg 2 x sec x
Resolução:
(a)
P tg 2 x sec x = P
sec x sin 2 x 1 − cos2 x x P sec = sec x = P − P sec x = P sec 3 x − P sec x 2 2 cos x cos x cos2 x
A segunda primitiva é imediata P sec x = log sec x + tg x , a primeira primitiva-se por partes: u = sec x
;
u′ = tg x sec x
v ′ = sec x
;
v = tg x
2
P tg 2 x sec x = sec x tg x − P tg 2 x sec x − log sec x + tg x = sec x tg x − P tg 2 x sec x − log sec x + tg x
2 P tg 2 x sec x = sec x tg x − log sec x + tg x P tg 2 x sec x =
1 1 sec x tg x − log sec x + tg x 2 2
§2.6 Trigonométricas Inversas 2.6.1 Calcule uma primitiva das seguintes funções:
(a)
arctg 3x
(b)
arcsin
x 3
Resolução:
(a)
seja:
P arctg 3x
P arctg 3x = x arctg 3x − P
3 1 + 9x2
u = arctg 3x
;
u′ =
v′ = 1
;
v=x
3x 1 18 x 1 = x arctg 3x − P = x arctg 3x − log 1 + 9 x 2 2 2 6 6 1 + (3 x ) 1 + 9x
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(b)
P arcsin
x 3
u = arcsin
seja:
x 3
1−
v′ = 1 P arcsin
x x = x arcsin − P 3 3
x 3 = x arcsin + 3 2
x3 1−
x2 9
x2 9
v=x
;
= x arcsin
13
u′ =
;
x x x 2 −1 2 x 3 2x x 2 −1 2 − P ( 1− ) = x arcsin + P ( 1− ) 3 3 9 3 2 9 9
x2 1 2 ) x 9 = x arcsin + 3 12 3
( 1−
1−
x2 9
§2.7 Outras situações 2.7.1 Calcule uma primitiva das seguintes funções: (a) 1 − x 2 Resolução:
(a)
P 1 − x2 = P
seja:
1 − x2
1
=P
1 − x2
1 − x2
−P
x2 1 − x2
u =x v′ =
= arcsin x − P ;
x 1− x
2
=
x2 1 − x2
u′ = 1
−1 ( −2x )(1 − x 2 ) −1 2 ; v = − 1 − x 2 2
[
P 1 − x 2 = arcsin x − − x (1 − x 2 )1 2 + P 1 − x 2
]
= arcsin x + x 1 − x 2 − P 1 − x 2
portanto: 2 P 1 − x 2 = arcsin x + x 1 − x 2 P 1 − x2 =
arcsin x + x 1 − x 2 2
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§3 Exercícios Propostos (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i)
x2 − 2x + 5 ex x sin x cos x log x
x3 log x x log ( x + 1 + x 2 ) x sin 2 x sin ( log x ) log 2 x x2 arcsin 2 x
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§4 Soluções/Sugestões dos exercícios propostos x 2 − 2x + 5 = P ( x 2 − 2x + 5 ) e − x ex
(a)
P
Seja:
u = x 2 − 2x + 5 v ′ = e− x P
Seja:
v = − e− x
;
x 2 − 2x + 5 = − ( x 2 − 2 x + 5 ) e − x + P ( 2 x − 2) e − x ex
u = 2x − 2
u′ = 2
;
v ′ = e− x
P
u′ = 2x − 2
;
v = − e− x
;
x 2 − 2x + 5 x 2 − 2x + 5 2 − 2x x 2 − 2x + 5 2 − 2 x x2 + 5 2 =− + + 2 P e−x = − + − x =− x x x x x x e e e e e e e
1 P x sin 2x 2
(b)
P x sin x cos x =
Seja:
u =x
;
u′ = 1
v ′ = sin 2x
;
v=−
P x sin x cos x =
x x 1 1 1 1 ⎤ ⎡ x ⎢⎣− 2 cos 2x + 2 P cos 2x⎥⎦ = − 4 cos 2x + 4 2 sin 2x = − 4 cos 2x + 8 sin 2x
log x = P x −3 log x x3
(c)
P
Seja:
u = log x
v′ = x −3
P
1 2
1 cos 2x 2
u′ =
;
v=−
;
1 x
1 2 x2
log x log x 1 log x 1 =− + P x −3 = − − 2 3 2 2 2 2x 2x 4x x
log x = P x −1 2 log x x
(d)
P
Seja:
u = log x v ′ = x −1 2
u′ =
; ;
1 x
v = −2 x http://www.explicacoes.com/tabelas.php?login=sup117 93 852 13 50
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P
log x x
= 2 x log x − 2 P
x = 2 x log x − 2 P x −1 2 = 2 x log x − 4 x x
P log ( x + 1 + x 2 )
(e)
2x
1+
Seja:
u = log ( x + 1 + x 2 ) v′ = 1
2 1 + x2 = 1 + x2 = x + 1 + x2 x + 1 + x2
u′ =
; ;
P log ( x + 1 + x 2 ) = x log ( x + 1 + x 2 ) − P
1 1 + x2
v=x
x 1+ x
= x log ( x + 1 + x 2 ) −
2
= x log ( x + 1 + x 2 ) −
1 P 2x (1 + x 2 ) −1 2 2
1 (1 + x 2 )1 2 = x log ( x + 1 + x 2 ) − 1 + x 2 2 12
x = P x cos ec 2 x sin2 x
(f)
P
Seja:
u=x
;
u′ = 1
v′ = cos ec 2 x ; P
1 + x2 + x
v = − cot g x
x = − x cot g x + P cot g x = − x cot g x + log sin x sin 2 x
(g)
P sin ( log x )
Seja: u = sin ( log x ) v′ = 1
; ;
u′ =
1 cos( log x ) x
v=x
P sin ( log x ) = x sin ( log x ) − P cos( log x )
seja:
u = cos( log x )
;
u′ = −
v′ = 1
;
v=x
1 sin ( log x ) x
P sin ( log x ) = x sin ( log x ) − x cos( log x ) − P sin ( log x ) 2 P sin ( log x ) = x sin ( log x ) − x cos( log x ) P sin ( log x ) =
x sin ( log x ) − x cos( log x ) 2
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(h)
P
log2 x x2
Seja: u = log2 x v′ = x −2
P
Seja:
2 log x x
;
u′ =
;
v=−
1 x
log 2 x log 2 x log x = − + 2P 2 2 x x x
u = log x
u′ =
;
v ′ = x −2
P
1 x v = −
;
1 x
log 2 x log 2 x log 2 x log x 2 ⎡ log x −2 ⎤ = − + 2 − + P x = − −2 − 2 ⎢ ⎥ x x x x x x ⎣ ⎦
(i)
P arcsin2 x
Seja:
u = arcsin2 x v′ = 1
u′ =
;
1 − x2
v=x
;
P arcsin 2 x = x arcsin 2 x − 2 P
Seja:
2 arcsin x
x arcsin x 1 − x2
u = arcsin x v′ =
[
x 1 − x2
; u′ =
1 1 − x2
= x (1 − x 2 ) −1 2 ; v = − 1 − x 2
]
P arcsin 2 x = x arcsin 2 x − 2 − arcsin x 1 − x 2 + P 1 = x arcsin 2 x + 2 arcsin x 1 − x 2 − 2x
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